資源簡介

3.1.1　橢圓及其標準方程
[課標解讀]　1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程.2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程．3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關(guān)問題．
教材要點
要點一　橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的________等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的________，焦距的________稱為半焦距．
用集合語言描述橢圓的定義：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．
狀元隨筆　(1)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)>|F1F2|時，動點M的軌跡為橢圓；
(2)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時，動點M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點的線段；
(3)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)<|F1F2|時，動點M的軌跡不存在．
要點二　橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
圖形
焦點 坐標 ________________ __________________
a，b，c 的關(guān)系 ________________
狀元隨筆　橢圓的焦點在x軸上 標準方程中含x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上 標準方程中含y2項的分母較大．因此由橢圓的標準方程判斷橢圓的焦點位置時，要根據(jù)方程中分母的大小來判斷，簡記為“焦點位置看大小，焦點隨著大的跑”．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲線是橢圓．(　　)
(4)設(shè)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)為定點，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動點M的軌跡是橢圓．(　　)
2．設(shè)P是橢圓＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　B．5 C．8　　　D．10
3．橢圓＋y2＝1的焦點坐標是(　　)
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
4．方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則(　　)
A．m>n>0 B．n>m>0
C．mn>0 D．mn<0
5．已知橢圓的焦距是6，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于10，則橢圓的標準方程是________．
題型 1　求橢圓的標準方程
例1　求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0，2)和(1，0)；
(2)兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0，2)，并且橢圓經(jīng)過點(－)；
(3)經(jīng)過點P()，Q(0，－)．
方法歸納
用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟
鞏固訓練1　(1)已知橢圓的焦點為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，且經(jīng)過P(，－)，則橢圓的標準方程為________．
(2)與橢圓＝1有相同焦點，且過點(3，)的橢圓的標準方程為________．
題型 2　橢圓定義及其應(yīng)用
例2　(1)已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
(2)已知點P是橢圓＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積．
方法歸納
橢圓定義的應(yīng)用技巧
鞏固訓練2　設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面積．
題型 3　與橢圓有關(guān)的軌跡問題
例3　(1)已知P是橢圓＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為________．
(2)一個動圓與圓Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓Q2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求這個動圓圓心的軌跡方程．
方法歸納
求軌跡方程的常用方法
鞏固訓練3　已知點M在橢圓＝1上，MP′垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為P′，且M為線段PP′的中點，求點P的軌跡方程．
易錯辨析　忽略橢圓焦點位置的討論致錯
例4　已知橢圓的標準方程為＝1(m>0)，并且焦距為6，則實數(shù)m的值為________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.當橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
綜上可知，實數(shù)m的值為4或 .
答案：4或
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
易錯之處是認為焦點在x軸上，從而漏掉一解． 涉及橢圓的標準方程的問題，如果沒有明確地指出橢圓焦點的位置，一般都要分兩種可能的情況進行討論，不能想當然認為焦點在x軸上或y軸上去求解．
3.1.1　橢圓及其標準方程
新知初探·課前預習
要點一
距離的和　焦距　一半
要點二
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)　F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)　c2＝a2－b2
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由橢圓方程知a2＝25，則a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故選D.
答案：D
3．解析：由題設(shè)方程，橢圓焦點在x軸上且c＝＝，
∴焦點坐標為(±，0)．
答案：B
4．解析：方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n>0.
答案：A
5．解析：由題意，橢圓的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，
又由橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，
則b2＝a2－c2＝25－9＝16，
當橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的方程為＝1；
當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＝1.
答案：＝1或＝1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設(shè)它的標準方程為＝1(a>b>0)．
又橢圓經(jīng)過點(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的橢圓的標準方程為＋x2＝1.
(2)設(shè)橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)，
由橢圓的定義知，
2a＝ ＋
＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
(3)方法一　①當橢圓焦點在x軸上時，
可設(shè)橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
依題意，有
解得
由a>b>0，知不合題意，故舍去；
②當橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
依題意，有
解得
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
方法二　設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
則解得
所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，
故橢圓的標準方程為＝1.
鞏固訓練1　解析：(1)設(shè)橢圓F的標準方程為：＝1(a>b>0)，依題意得c＝2，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝
＋ ＝2，
∴a＝，則b2＝a2－c2＝6，故橢圓F的標準方程為＝1.
(2)因為所求橢圓與橢圓＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝25－9＝16.
設(shè)所求橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　①.
又點(3，)在所求橢圓上，所以＝1，即＝1　②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標準方程為＝1.
答案：(1)＝1　(2)＝1
例2　解析：(1)由橢圓的方程得a＝.設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由橢圓的標準方程知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由橢圓的定義知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
答案：(1)C　(2)見解析
鞏固訓練2　解析：由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
例3　解析：(1)設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，又＝1.
所以＝1，即點Q的軌跡方程為x2＋＝1.
(2)兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.
設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由題意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由橢圓的定義可知點M在以Q1，Q2為焦點的橢圓上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故動圓圓心的軌跡方程為＝1.
答案：(1)x2＋＝1　(2)見解析
鞏固訓練3　解析：設(shè)點P的坐標為(x，y)，點M的坐標為(x0，y0)．
因為點M在橢圓＝1上，所以＝1.
因為M是線段PP′的中點，所以
代入＝1，得＝1，即x2＋y2＝36.
所以點P的軌跡方程為x2＋y2＝36.3.1.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
[課標解讀]　1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出相應(yīng)的曲線．
教材要點
要點　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
標準方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
范圍 ____≤x≤____， ≤y≤____ ____≤y≤____， ≤x≤____
對稱性 關(guān)于____軸、____軸對稱，關(guān)于原點對稱
頂點坐標 A1______，A2______， B1______，B2________ A1______，A2______， B1______，B2________
軸長 長軸長|A1A2|＝____，短軸長|B1B2|＝____
離心率 e＝________(0狀元隨筆　(1)橢圓位于直線x ＝±a和y＝±b所圍成的矩形區(qū)域里．
(2)離心率表示橢圓的扁平程度．當e越接近1時，c越接近于a，從而b＝越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b＝越大，因此橢圓越接近圓；當e＝0時，c＝0，a＝b，兩焦點重合，圖形就是圓．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)橢圓＝1(a>b>0)的長軸長等于a.(　　)
(2)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　)
(3)橢圓＝1的離心率e＝.(　　)
(4)橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0，13)，另一個頂點是(－10，0)，則焦點坐標為(0，±)．(　　)
2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點坐標是(　　)
A．(－1，0)，(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
3．橢圓＝1的短軸長為(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
4．下列四個橢圓中，形狀最扁的是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是(4，0)，(0，2)，則此橢圓的方程是________．
題型 1　由橢圓方程求橢圓的幾何性質(zhì)
例1　求橢圓x2＋9y2＝81的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標．
方法歸納
由標準方程研究性質(zhì)時的2點提醒
　　　
鞏固訓練1　(1)已知橢圓的方程為＝1，則其焦距為(　　)
A． B．6
C．2 D．2
(2)已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e＝，求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標．
題型 2　根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)求其標準方程
例2　求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1)長軸長是10，離心率是.
(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.
(3)經(jīng)過點M(1，2)，且與橢圓＝1有相同離心率的橢圓的標準方程．
方法歸納
已知橢圓的幾何性質(zhì)，求橢圓的標準方程的一般步驟
鞏固訓練2　(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3，0)，則橢圓的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，兩個焦點恰好將長軸三等分，則該橢圓的標準方程是________．
(3)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標準方程是________．
題型 3　求橢圓的離心率
例3　(1)如圖為學生做手工時畫的橢圓C1、C2、C3(其中網(wǎng)格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為e1，e2，e3，則(　　)
A．e1＝e2C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1
(2)設(shè)F1、F2是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
(3)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形F1F2PQ是菱形，則C的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
方法歸納
求橢圓離心率(或范圍)的2種常用方法
鞏固訓練3　(1)已知等邊三角形的一個頂點在橢圓E上，另兩個頂點位于E的兩個焦點處，則E的離心率為(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
(2)已知橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸垂線交橢圓于點P，若△PF1F2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________．
易錯辨析　忽視橢圓焦點的位置致誤
例4　若橢圓＝1的離心率為e＝，則實數(shù)m的值等于________．
解析：若5>m，則e＝＝，解得m＝3；
若5答案：3或
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
易錯之處是認為焦點在x軸上，從而漏掉一解． 橢圓＝1的焦點可能在x軸上也可能在y軸上，應(yīng)分類討論，不能直接當成焦點在x軸上的情況求解．
第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
新知初探·課前預習
要點
－a　a　－b　b　－a　a　－b　b　x　y　(－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：橢圓方程可化為x2＋＝1，則長軸的端點坐標為(0，±)．故選D.
答案：D
3．解析：b2＝16，所以b＝4，所以短軸長為2b＝8.
答案：B
4．解析：由e＝ ，根據(jù)選項中的橢圓的方程，可得的值滿足<<<，因為橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，所以這四個橢圓中，橢圓＝1的離心率最大，故其形狀最扁．
答案：A
5．解析：由已知a＝4，b＝2，橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓方程是＝1.
答案：＝1
題型探究·課堂解透
例1　解析：把已知方程化成標準方程為＝1，
于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以橢圓的長軸長2a＝18，短軸長2b＝6，離心率e＝＝.兩個焦點的坐標分別為F1(－6，0)，F(xiàn)2(6，0)，
四個頂點的坐標分別為A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
鞏固訓練1　解析：(1)因為橢圓的方程為＝1，所以a2＝5、b2＝2，所以c2＝a2－b2＝3，所以c＝，則焦距為2c＝2.
(2)將方程化為標準形式，
即＝1(m＞0)，
所以a＝，b＝ ，c2＝.
又e＝，則＝，解得m＝1，
從而a＝1，b＝，c＝.
所以橢圓的長軸長2a＝2，短軸長2b＝1，
焦點坐標F1，F(xiàn)2.
答案：(1)C　(2)見解析
例2　解析：(1)設(shè)橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，
∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴橢圓的標準方程為＝1或＝1.
(2)依題意可設(shè)橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求橢圓的標準方程為＝1.
(3)方法一　由題意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，設(shè)所求橢圓的方程為＝1或＝1.
將點M(1，2)代入橢圓方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求橢圓方程為＝1或＝1.
方法二　設(shè)所求橢圓方程為＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，將點M的坐標代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求橢圓的標準方程為＝1或＝1.
鞏固訓練2　解析：(1)由題意，得
解得
因為橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓的標準方程為＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因為2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
(3)因為橢圓的長軸長是6，cos ∠OFA＝，所以點A不是長軸的端點(是短軸的端點)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以橢圓的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B　(2)＝1　(3)＝1或＝1
例3　解析：(1)由圖知橢圓C1的半長軸和半短軸分別為： a＝2，b＝1.5，
橢圓C2的半長軸和半短軸分別為：a＝4，b＝2，
橢圓C3的半長軸和半短軸分別為：a＝6，b＝3,
所以e1＝＝＝＝＝，
e2＝＝＝ ＝ ＝，
e3＝＝＝ ＝ ＝，
所以e2＝e3>e1.
(2)如下圖所示，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則有|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°，
所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.
又因為|F1F2|＝2c，所以2c＝3a－2c，所以e＝＝.故選C.
(3)如圖所示：
由題意可知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，
因為四邊形F1F2PQ是菱形，所以|F1Q|＝|QP|＝2c，則|OQ|＝c，
所以P點坐標為(2c，c)，
將P點坐標為(2c，c)代入C：＝1(a>b>0)得：
＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
故4e4－8e2＋1＝0，由于0所以e＝ ＝.
答案：(1)D　(2)C　(3)C
鞏固訓練3　解析：(1)依題意可知b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝4c2，＝＝.
(2)橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點P.
由△PF1F2為等腰直角三角形可知，＝2c，即a2－2ac－c2＝0，
可化為1－2e－e2＝0，故e＝－1或e＝－－1(舍)．
答案：(1)B　(2)－1第2課時　直線與橢圓的位置關(guān)系
[課標解讀]　1.了解橢圓在實際生活中的應(yīng)用.2.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．
教材要點
要點　直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程
位置關(guān)系 解的個數(shù) Δ的取值
相交 ____解 Δ____0
相切 ____解 Δ____0
相離 ____解 Δ____0
狀元隨筆　(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；
(2)過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；
(3)過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)過點A(0，1)的直線一定與橢圓x2＋＝1相交．(　　)
(2)長軸是橢圓中最長的弦．(　　)
(3)直線y＝k(x－a)與橢圓＝1的位置關(guān)系是相交. (　　)
(4)過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長最短．(　　)
2．直線y＝x＋1與橢圓x2＋＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相離 B．相切
C．相交 D．無法確定
3．直線x＋2y＝m與橢圓＋y2＝1只有一個交點，則m的值為(　　)
A．2 B．±
C．±2 D．±2
4．若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點，則b等于(　　)
A．1 B．±1
C．－1 D．±2
5．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝x＋1截得的弦長為________．
題型 1　實際生活中的問題
例1　(多選)中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器．如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是(　　)
A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2
C．
方法歸納
解決與橢圓有關(guān)的實際問題的一般步驟
鞏固訓練1　圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．直線l：x＋2y－8＝0與橢圓C：＝1相切于點P，橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2，由光學性質(zhì)知直線PF1，PF2與l的夾角相等，則∠F1PF2的角平分線所在的直線的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
題型 2　直線與橢圓的位置關(guān)系
例2　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：
(1)有兩個公共點；
(2)有且只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
方法歸納
判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的一般步驟
鞏固訓練2　在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍．
題型 3　直線與橢圓的相交弦問題
例3　已知橢圓＝1和點P(4，2)，直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A，B兩點．
(1)當直線l的斜率為時，求線段AB的長度；
(2)當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程．
方法歸納
1．直線被橢圓截得的弦長的2種求法
2．解決橢圓中點弦問題的2種方法
鞏固訓練3　過橢圓＝1內(nèi)一點M(2，1)引一條弦，使弦被M點平分．
(1)求此弦所在的直線方程；
(2)求此弦長．
易錯辨析　忽視隱含條件致錯
例4　若直線y＝kx＋1與橢圓＝1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：由于直線y＝kx＋1過定點(0，1)，故點(0，1)恒在橢圓內(nèi)或橢圓上，所以m∈[1，＋∞)．又因為m≠5，所以實數(shù)m的取值范圍是[1，5)
答案：[1，5)
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
本題容易忽視隱含條件m≠5致錯，錯誤答案為[1，＋∞)． 注意圓不是橢圓的特殊情況，解答此類問題時，一定要排除圓的情況．
第2課時　直線與橢圓的位置關(guān)系
新知初探·課前預習
要點
兩　>　一　＝　無　<
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：聯(lián)立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16>0，
∴直線與橢圓相交．
答案：C
3．解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.
∴m＝±2.
答案：C
4．解析：因為橢圓x2＋＝1的焦點F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3)，所以b＝1或－1.
答案：B
5．解析： 由消去y并化簡得x2＋2x－6＝0.
設(shè)直線與橢圓的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦長|MN|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：由圖可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；
a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時平方得+2a1c2+2a2c1
所以+2a1c2+2a2c1，
即+2a1c2+2a2c1，由圖可得，，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C錯誤，D正確．
答案：BD
鞏固訓練1　解析： P(2，3)，
直線l的斜率為－，
由于直線PF1，PF2與l的夾角相等，則∠F1PF2的角平分線所在的直線的斜率為2，
所以所求直線方程為y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
答案：A
例2　解析：直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.
方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)當Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程①有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個公共點．
(2)當Δ＝0，即m＝±3時，方程①有兩個相同的實數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3)當Δ＜0，即m＜－3或m＞3時，方程①沒有實數(shù)解，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．
鞏固訓練2　解析：由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范圍為.
例3　解析：(1)由已知可得直線l的方程為y－2＝(x－4)，
解方程組可得x2－18＝0，若設(shè)A(x1，y1)，
B(x2，y2)．則x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝＝×6＝3.
(2)方法一　易知直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，
則其方程為y－2＝k(x－4)．
聯(lián)立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋64k2－64k－20＝0，
若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，
由于AB的中點恰好為P(4，2)，所以＝＝4，
解得k＝－，且滿足Δ>0.
所以直線AB的方程為y＝－x＋4.
方法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
兩式相減得＝0，＝－，
由于P(4，2)是AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
kAB＝－＝－，
所以直線AB的方程為y＝－x＋4.
鞏固訓練3　解析：(1)設(shè)直線與橢圓的交點為，y2)．
又M(2，1)為AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，
則)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，即kAB＝－.
又直線AB過點M(2，1)，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
(2)設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以|AB|＝·＝2.3.2.1　雙曲線及其標準方程
[課標解讀]　1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單問題．
教材要點
要點一　雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的__________________等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離|F1F2|叫做雙曲線的________．
用集合語言描述雙曲線的定義：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a<|F1F2|}．
狀元隨筆　若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)．若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在．
要點二　雙曲線的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
圖形
焦點坐標 F1________，F(xiàn)2________ F1________，F(xiàn)2________
a，b，c的關(guān)系 c2＝________
狀元隨筆　焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，即若x2的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2的系數(shù)為正，則焦點在y軸上．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)雙曲線標準方程中的兩個參數(shù)a和b確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件．(　　)
(3)雙曲線的焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．(　　)
(4)點P到兩定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)的距離之差為6，則點P的軌跡為雙曲線的一支．(　　)
2．動點P到點M(1，0)的距離與點N(3，0)的距離之差為2，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．兩條射線 D．一條射線
3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．＝1
B．＝1
C．＝1或＝1
D．＝0或＝0
4．雙曲線－y2＝1的焦點坐標是(　　)
A．(±，0) B．(0，±2)
C．(0，±) D．(±2，0)
5．已知雙曲線＝1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上的點P到點F1的距離為12，則點P到點F2的距離為________．
題型 1　雙曲線標準方程的判斷
例1　方程＝1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是________．
方法歸納
(1)判斷雙曲線的類型首先要將方程化為標準方程．
(2)若方程為＝1(mn≠0)，需要對參數(shù)m，n進行討論，只有mn<0時，方程才表示雙曲線，若，則雙曲線的焦點在x軸上；若，則雙曲線的焦點在y軸上．
鞏固訓練1　已知雙曲線＝1，焦點在y軸上，若焦距為4，則a等于(　　)
A．B．5
C．7 D．
題型 2　求雙曲線的標準方程
例2　根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程．
(1)a＝4，經(jīng)過點A(1，－)；
(2)與雙曲線＝1有相同的焦點，且經(jīng)過點(3，2)；
(3)過點P(3，)，Q(－，5)且焦點在坐標軸上．
方法歸納
求雙曲線標準方程的2種方法
鞏固訓練2　(1)已知雙曲線的一個焦點F1(5，0)，且過點(3，0)，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)與橢圓＋y2＝1共焦點且過點Q(2，1)的雙曲線方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．x2－＝1
題型 3　雙曲線定義的應(yīng)用
例3　(1)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)如圖所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三個內(nèi)角A，B，C滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當?shù)淖鴺讼担箜旤cC的軌跡方程．
方法歸納
應(yīng)用雙曲線定義的3種策略
鞏固訓練3　(1)已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．＝1(x≤－)
B．＝1(x≥)
C．＝1
D．＝1
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線＝1的左、右焦點，點P在雙曲線上，滿足|PF1|＝2|PF2|，則△PF1F2的面積為________．
易錯辨析　忽略雙曲線上的點到焦點的距離最小值致錯
例4　若雙曲線E：＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝________．
解析：由雙曲線定義得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝13或1.
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去．
答案：13
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
由雙曲線定義求得錯解|PF2|＝1或13，原因是忽略了|PF2|min＝c－a＝2 利用雙曲線定義求|PF1|(或|PF2|)時，若有兩解，一定要檢驗解是否滿足|PF|≥c－a
3.2.1　雙曲線及其標準方程
新知初探·課前預習
要點一
距離的差的絕對值　焦距
要點二
(－c，0)　(c，0)　(0，－c)　(0，c)　a2＋b2
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線NP.故選D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故選C.
答案：C
4．解析：由雙曲線的標準方程－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，c2＝3＋1＝4，則c＝±2.
因為焦點在x軸上，所以焦點坐標為(±2，0)．
答案：D
5．解析：設(shè)F1為左焦點，F(xiàn)2為右焦點，當點P在雙曲線左支上時，|PF2|－|PF1|＝10，則|PF2|＝22；當點P在雙曲線右支上時，|PF1|－|PF2|＝10，則|PF2|＝2.
答案：22或2
題型探究·課堂解透
例1　解析：∵方程＝1表示雙曲線，
∴(k＋1)(k－2)<0，
∴－1答案：(－1，2)
鞏固訓練1　解析：根據(jù)題意可知，雙曲線的標準方程為＝1.
由其焦距為4，得c＝2，則有c2＝2－a＋3－a＝4，
解得a＝.
答案：D
例2　解析：(1)當焦點在x軸上時，設(shè)所求標準方程為＝1(b>0)，把點A的坐標代入，得b2＝－<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設(shè)所求標準方程為＝1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標準方程為＝1.
(2)方法一　∵焦點相同，
∴設(shè)所求雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵雙曲線經(jīng)過點(3，2)，∴＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標準方程為＝1.
方法二　設(shè)所求雙曲線的方程為＝1(－4<λ<16)．
∵雙曲線過點(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴雙曲線的標準方程為＝1.
(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵點P，Q在雙曲線上，
∴解得
∴雙曲線的標準方程為＝1.
鞏固訓練2　解析：(1)因為雙曲線的一個焦點F1(5，0)，且過點(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴該雙曲線的標準方程是＝1.故選A.
(2)由橢圓方程可得焦點坐標為(±，0)，設(shè)與其共焦點的雙曲線方程為：＝1(0雙曲線過點Q(2，1)，則：＝1，整理可得：m2－8m＋12＝0，
結(jié)合0答案：(1)A　(2)A
例3　解析：(1)雙曲線C：＝1，c＝2，所以|F1F2|＝4，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設(shè)P在第一象限，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|PF1|－|PF2|＝m－n＝2，
所以(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，m2＋n2＝8＋2mn，在△F1PF2中，根據(jù)余弦定理：
cos 60°＝＝，即＝，解得：mn＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8.
(2)以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R為△ABC的外接圓半徑)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．
由題意，設(shè)所求軌跡方程為＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求軌跡方程為＝1(x>)．
答案：(1)D　(2)見解析
鞏固訓練3　解析：(1)設(shè)動圓M的半徑為r，又圓C1與圓C2的半徑均為，
則由已知得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又點C1(－4，0)，C2(4，0)，
則|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根據(jù)雙曲線的定義可知，點M的軌跡是以C1(－4，0)，C2(4，0)為焦點的雙曲線的右支．
因為a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
于是點M的軌跡方程為＝1(x≥)．
(2)由題意得|PF1|＝2|PF2|,
又|PF1|－|PF2|＝4，
所以|PF1|＝8，|PF2|＝4，又|F1F2|＝4，
所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
所以∠F1F2P＝，
所以＝·|PF2|·|F1F2|＝×4×4＝8.
答案：(1)B　(2)8第1課時　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)
[課標解讀]　1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì).2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．
教材要點
要點一　雙曲線的幾何性質(zhì)
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性 質(zhì) 圖形
焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 ________或________， y∈R ________或________， x∈R
對稱性 對稱軸：________；對稱中心：________
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：________；虛軸：線段B1B2，長：________；半實軸長：________，半虛軸長：________
離心率 e＝∈________
漸近線 y＝±x y＝±x
狀元隨筆　(1)雙曲線的范圍說明雙曲線是非封閉曲線，而橢圓則是封閉曲線．
(2)由于＝＝＝，因此e越大，漸近線的斜率的絕對值就越大，雙曲線的開口就越大．
(3)雙曲線的漸近線決定了雙曲線的形狀．由雙曲線的對稱性可知，當雙曲線的兩支向外無限延伸時，雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永遠不會相交．
要點二　等軸雙曲線
________________的雙曲線，它的漸近線方程是________，離心率為________．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．(　　)
(2)以y＝±2x為漸近線的雙曲線有2條．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.(　　)
(4)離心率e越大，雙曲線＝1的漸近線的斜率絕對值越大．(　　)
2．雙曲線－x2＝1的實軸長為(　　)
A．2 B．4
C． D．
3．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1或＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
4．雙曲線－y2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．雙曲線9y2－16x2＝144的離心率e＝________．
題型 1　由雙曲線的方程研究雙曲線的性質(zhì)
例1　求雙曲線4x2－9y2＝－4的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．
方法歸納
由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟
鞏固訓練1　(1)若實數(shù)k滿足0A．離心率相等 B．虛半軸長相等
C．實半軸長相等 D．焦距相等
(2)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)，離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為________．
題型 2　由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標準方程
例2　(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，實軸長與虛軸長之比為2∶3，且經(jīng)過點P(，2)，求雙曲線方程；
(2)求與雙曲線＝1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線的標準方程．
(3)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，焦距為10，求雙曲線方程．
方法歸納
用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的4種方法
鞏固訓練2　(1)已知雙曲線C過點(1，)且漸近線為y＝±x，則雙曲線C的方程是(　　)
A．3x2－y2＝1 B．x2－3y2＝1
C．y2－3x2＝1 D．3y2－x2＝1
(2)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2，0)，且離心率為e＝，則雙曲線的標準方程為________．
題型 3　求雙曲線的離心率
例3　(1)已知點A(－4，0)到雙曲線C：＝1(a>0，b>0)漸近線的距離為，則C的離心率為(　　)
A． B．
C． D．2
(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．4＋2 B．－1
C．D．＋1
方法歸納
求雙曲線離心率的2種常用方法
鞏固訓練3　(1)雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．4
(2)過雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交曲線C于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝45°，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．－1
C． D．＋1
易錯辨析　忽略對焦點所在軸的討論致誤
例4　已知雙曲線的漸近線方程是y＝±x，焦距為2，求雙曲線的標準方程．
解析：當雙曲線的焦點在x軸上時，由解得所以所求雙曲線的標準方程為＝1.
當雙曲線的焦點在y軸上時，由
解得所以所求雙曲線的標準方程為＝1.
故所求雙曲線的標準方程為＝1或＝1.
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤認為焦點一定在x軸上，得到答案：＝1，而漏掉焦點在y軸上的情況． 當題目條件沒有明確雙曲線的焦點所在軸時，應(yīng)分兩種情況進行討論．同時注意兩種情況下，漸近線方程是有區(qū)別的：焦點在x軸上時，漸近線方程為y＝±x；焦點在y軸上時，漸近線方程為y＝±x.
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)
新知初探·課前預習
要點一
x≤－a　x≥a　y≤－a　y≥a　坐標軸　原點　2a　2b　a　b　(1，＋∞)
要點二
實軸和虛軸等長　y＝±x　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由題知a2＝4，b2＝1，所以雙曲線的實軸長為2a＝4.
答案：B
3．解析：由題意知2a＝2，2b＝4，
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，
又雙曲線的焦點位置不確定，故選D.
答案：D
4．解析：由雙曲線方程得：a＝，b＝1，∴漸近線方程為：y＝±x＝±x.故選B.
答案：B
5．解析：雙曲線9y2－16x2＝144可化為：＝1.
所以a2＝16，b2＝9，
所以離心率為：e＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：雙曲線方程可化為：－x2＝1，
則雙曲線焦點在y軸上，a2＝，b2＝1，∴c2＝＋1＝；
∴a＝，b＝1，c＝，
∴頂點坐標為；焦點坐標為；實軸長為2a＝；虛軸長為2b＝2；離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x＝±x.
鞏固訓練1　解析：(1)∵00，25－k>0，
雙曲線＝1的實半軸長為5，虛半軸長為，焦距為2＝2，離心率為，
雙曲線＝1的實半軸長為，虛半軸長為3，
焦距為2＝2，離心率為，
因此，兩雙曲線的焦距相等，故選D.
(2)因為e＝＝ ＝2，
所以＝，又雙曲線的焦點在x軸上，
所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.
答案：(1)D　(2)y＝±x
例2　解析：(1)設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，由題意知＝.
又∵雙曲線過點P(，2)，∴＝1，
依題意可得解得
故所求雙曲線方程為y2－x2＝1.
(2)雙曲線＝1的焦點為(±2，0)，
可設(shè)所求雙曲線的方程為＝1(a，b>0)，
由題意可得c＝2，即a2＋b2＝20，
將點(3，2)代入雙曲線方程可得，
＝1，
解得a＝2，b＝2，
所求雙曲線的方程為＝1.
(3)方法一　當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線方程為＝1，由漸近線方程為y＝±x得，
＝，2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴雙曲線方程為＝1.
同理，當焦點在y軸上時，可得雙曲線方程為＝1.
即所求雙曲線方程為＝1或＝1.
方法二　由漸近線方程為y＝±x可設(shè)雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求雙曲線方程為＝1或＝1.
鞏固訓練2　解析：(1)由y＝±x，可得y2＝3x2，可設(shè)雙曲線的方程為3x2－y2＝λ(λ≠0)，
又雙曲線經(jīng)過點(1，)，
可得3－2＝λ，即λ＝1，所以雙曲線的方程為3x2－y2＝1.
(2)由焦點坐標，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，則雙曲線的標準方程為＝1.
答案：(1)A　(2)＝1
例3　解析：(1)由雙曲線的對稱性，不妨取雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線bx－ay＝0，
由已知得＝，即9c2＝25(c2－a2)，16c2＝25a2，4c＝5a，e＝＝.
(2)依題意知，若雙曲線焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，
∴|F1F2|＝2c，則△MF1F2的高為c，即M(0，c)，
∴N，代入雙曲線方程：＝1，整理得：b2c2－3a2c2＝4a2b2，
∵b2＝c2－a2，
∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±2，
∵e>1，
∴e＝＋1.
答案：(1)A　(2)D
鞏固訓練3　解析：(1)因為雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
又其中一條漸近線的傾斜角為120°，
所以－＝tan 120°＝－，則＝，
所以該雙曲線離心率為e＝＝＝＝＝＝2.
(2)由題知△PF1F2是等腰直角三角形，且∠F1PF2＝45°，
∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，
又∵|PF1|＝，∴＝2c，即b2＝2ac，
∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝2ac，即e2－2e－1＝0，
解得e＝＝1±，
∵e>1，∴e＝1＋.
答案：(1)C　(2)D3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
第2課時　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2)
[課標解讀]　1.了解雙曲線在實際生活中的應(yīng)用.2.進一步掌握雙曲線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.3.能運用直線與雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題．
教材要點
要點　直線與雙曲線的位置關(guān)系
將y＝kx＋m與＝1聯(lián)立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 位置關(guān)系 交點個數(shù)
k＝±且m≠0時 相交 只有________交點
k≠±且Δ＞0 有________交點
k≠±且Δ＝0 相切 只有________交點
k≠±且Δ＜0 相離 ________公共點
狀元隨筆　當直線與雙曲線的漸近線平行時，把直線方程代入雙曲線方程，得到的是一次方程，根本得不到一元二次方程，當然也就沒有所謂的判別式了．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若直線與雙曲線只有一個交點，則直線與雙曲線相切．(　　)
(2)過點A(1，0)作與雙曲線x2－y2＝1只有一個公共點的直線，這樣的直線可作2條．(　　)
(3)直線l：y＝x與雙曲線C：2x2－y2＝2有兩個公共點．(　　)
2．若一直線l平行于雙曲線的一條漸近線，則l與雙曲線的公共點個數(shù)為(　　)
A．0或1 B．1
C．0或2 D．1或2
3．直線y＝kx＋d(k，d∈R)與雙曲線＝1(a，b∈R*)最多有幾個交點(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若直線x＝t與雙曲線－y2＝1有兩個交點，則t的值可以是(　　)
A．4 B．2
C．1 D．－2
5．已知雙曲線＝1(a>0，b>0)，則過它的焦點且垂直于x軸的弦長為________．
題型 1　實際生活中的問題
例1　第24屆冬季奧林匹克運動會，又稱2022年北京冬季奧運會，于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現(xiàn)代風格融為一體，呈現(xiàn)出新時代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運五環(huán)，不僅象征五大洲的團結(jié)，而且強調(diào)所有參賽運動員應(yīng)以公正、坦誠的運動員精神在比賽場上相見．其中奧運五環(huán)的大小和間距按以下比例(如圖)：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個圓的圓心分別為O1，O2，O3，O4，O5，若雙曲線C以O(shè)1，O3為焦點、以直線O2O4為一條漸近線，則C的離心率為(　　)
A． B．
C．D．2
方法歸納
解決與雙曲線有關(guān)的實際問題的一般步驟
鞏固訓練1　由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線＝1(a>0，b>0)下支的一部分，離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
題型 2　直線與雙曲線的位置關(guān)系
例2　已知直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4，試討論實數(shù)k的取值范圍，使直線與雙曲線滿足：
(1)相離；(2)相切；(3)相交于兩點；(4)相交于異支兩點；(5)與左支相交于兩點；(6)相交于一點．
方法歸納
直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法
鞏固訓練2　(1)過點P(1，1)與雙曲線 ＝1只有一個交點的直線共有________條．
(2)若雙曲線＝1(a>0，b>0)與直線y＝2x無交點，則離心率e的取值范圍是(　　)
A．(1，2) B．(1，2]
C．(1，) D．(1，]
題型 3　直線與雙曲線的相交弦問題
例3　(1)已知雙曲線E的中心為坐標原點，F(xiàn)(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)若過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|的長為________．
方法歸納
解決直線與雙曲線相交弦問題的方法
解決直線與雙曲線相交弦問題和解決直線與橢圓相交弦問題的方法一樣．
(1)雙曲線的弦長公式：與直線與橢圓相交所得的弦的長度求法一樣．設(shè)直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝ |y1－y2|＝.
(2)中點弦問題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線＝1(a>0，b>0)上不同的兩點，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)為線段AB的中點，則
兩式相減可得·＝，即kAB·＝.
鞏固訓練3　已知雙曲線焦距為4，焦點在x軸上，且過點P(2，3)．
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)若直線m經(jīng)過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長．
第2課時　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2)
新知初探·課前預習
要點
一個　兩個　一個　沒有
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：由題意，由于漸近線與雙曲線沒有公共點，
如圖所示，若直線l平行于雙曲線的一條漸近線，
故l與雙曲線的公共點個數(shù)為1個．
答案：B
3．解析：由題意知，聯(lián)立直線y＝kx＋d(k，d∈R)與雙曲線＝1(a，b∈R*)可得關(guān)于x或者y的二次方程．最多有兩個根．即最多有兩個交點．
答案：B
4．解析：在－y2＝1中，x∈(－∞，－2]
當t＝－2或t＝2時，均只有一個交點，
當t∈(－∞，－2)時，有兩個交點，
當t∈(－2，2)時，無交點．
故選A.
答案：A
5．解析：設(shè)一個焦點為F(c，0)，其中c2＝a2＋b2，過F且垂直于x軸的弦為AB，則A(c，y0)，∵A(c，y0)在雙曲線上＝1.∴y0＝±b＝±.∴|AB|＝2|y0|＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：如圖建立直角坐標系，過O4向x軸引垂線，垂足為A，易知O4A＝11，O2A＝13，
∴＝，
∴e＝ ＝.
答案：A
鞏固訓練1　解析：由已知可得＝＝＝＝，
因此，該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x＝±x.
答案：B
例2　解析：由題意得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
(1)
解得k<－或k>.
(2)
解得k＝－或k＝.
(3)
解得－(4)
解得－1(5)
解得－(6)1－k2＝0或
解得k＝±1或k＝±.
鞏固訓練2　解析：(1)經(jīng)過點P(1，1)與漸近線平行有兩條，經(jīng)過點P(1，1)與雙曲線相切有兩條．
(2)由題意可得，≤2，所以e≤.又e>1，所以1答案：(1)4　(2)D
例3　解析：(1)設(shè)雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)．由題意知c＝3，a2＋b2＝9.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
兩式作差得＝＝＝.
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以雙曲線的標準方程是＝1.
(2)易得雙曲線的左焦點F1(－2，0)，
所以直線AB的方程為y＝(x＋2)，
與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2－4x－13＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝＝3.
答案：(1)B　(2)3
鞏固訓練3　解析：(1)設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，
由已知可得左、右焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－2，0)，(2，0)，則|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，所以雙曲線方程為x2－＝1.
(2)由題意可知直線m的方程為y＝x－2，聯(lián)立雙曲線及直線方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
設(shè)兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦長公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝6.3．3.1　拋物線及其標準方程
[課標解讀]　1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.3.明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．
教材要點
要點一　拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的____________的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的____________，直線l叫做拋物線的____________．
狀元隨筆　注意定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．
要點二　拋物線的標準方程
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2＝2px(p>0) ________ ________
y2＝－2px(p>0) ________ ________
x2＝2py(p>0) ________ ________
x2＝－2py(p>0) ________ ________
狀元隨筆　焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以寫成y＝ax2，這與以前所學習的二次函數(shù)的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦點坐標和準線方程時，必須先將拋物線的方程化成標準形式．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)標準方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離．(　　)
(2)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　)
(3)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．(　　)
(4)焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2，這與以前學習的二次函數(shù)的解析式是一致的．(　　)
2．下列關(guān)于拋物線y＝x2的圖象描述正確的是(　　)
A．開口向上，焦點為(0，)
B．開口向右，焦點為(，0)
C．開口向上，焦點為(0，)
D．開口向右，焦點為(，0)
3．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝(　　)
A．1　　　　B．2
C．2 D．4
4．若點(－1，2)在拋物線x＝ay2上，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝2
5．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是(0，－3)，則該拋物線的標準方程為________．
題型 1　求拋物線的標準方程
例1　(1)已知拋物線y2＝2px上的點M(2，y0)到該拋物線焦點的距離為3，則拋物線的方程是(　　)
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝－2x D．y2＝－4x
(2)頂點在原點，且過點(－4，4)的拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
(3)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線標準方程為________．
方法歸納
求拋物線標準方程的2種常用方法
鞏固訓練1　(1)頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)頂點在原點，焦點在坐標軸上，以直線y＝－1為準線的拋物線方程是________．
題型 2　拋物線定義的應(yīng)用
例2　(1)若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程；
(2)如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點坐標．
方法歸納
拋物線定義的兩種應(yīng)用
鞏固訓練2　(1)已知M(x0，y0)是拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)是C的焦點，y0＝|MF|＝6，則p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若點P是拋物線x2＝8y上的動點，則點P到點A(4，0)的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值是________．
題型 3　拋物線的實際應(yīng)用
例3　某市為慶祝建黨100周年，舉辦城市發(fā)展巡展活動，巡展的車隊要經(jīng)過一個隧道，隧道橫斷面由一段拋物線A1OA及一個矩形A1C1CA的三邊組成，尺寸如圖(單位：m)．
(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點O為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，求該段拋物線A1OA所在拋物線的方程；
(2)若車隊空車時能通過此隧道，現(xiàn)裝載一集裝箱，箱寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？請說明理由．
方法歸納
利用拋物線有關(guān)知識解決實際問題的一般步驟
鞏固訓練3　拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射加熱的一種裝置．當旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，焦點到灶底(拋物線的頂點)的距離為2m，若灶口直徑AB是灶深CD的4倍，則AB＝(　　)
A．8m　　　B．6m C．4m　　　D．2m
易錯辨析　忽略拋物線標準方程的特征致誤
例4　若拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值是________．
解析：把拋物線方程 y＝ax2化為標準方程得x2＝y(tǒng)，所以－＝2，解得a＝－.
答案：－
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
受二次函數(shù)的影響，誤以為y＝ax2就是拋物線的標準方程，從而得到－＝2，即a＝－8的錯誤結(jié)論． 根據(jù)拋物線方程求準線方程時，應(yīng)先把拋物線的方程化為標準方程，即等式左端是二次項且系數(shù)是1，等式右端是一次項，這樣才能準確寫出拋物線的準線方程．
3．3.1　拋物線及其標準方程
新知初探·課前預習
要點一
距離相等　焦點　準線
要點二
F(，0)　x＝－　F　x＝　F(0，)　y＝－　F(0，－)　y＝
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：y＝x2，即x2＝y(tǒng).則2p＝1，即p＝，
故此拋物線開口向上，焦點為.
答案：A
3．解析：由題得＝1，∴p＝2.
答案：B
4．解析：由題意知，－1＝a×22，可得a＝－，
∴拋物線的方程為x＝－y2，即y2＝－4x，故其準線方程為x＝1.
答案：A
5．解析：因為拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是(0，－3)，所以＝3，解得p＝6，拋物線的標準方程為x2＝－12y.
答案：x2＝－12y
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意知p>0，則準線為x＝－，
點M(2，y0)到焦點的距離等于其到準線的距離，
即＝3，∴p＝2，則y2＝4x.
(2)設(shè)拋物線方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故拋物線的標準方程為y2＝－4x或x2＝4y.故選C.
(3)已知拋物線的焦點在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)B　(2)C　(3)x2＝10y和x2＝－10y
鞏固訓練1　解析：(1)由已知得＝3，p＝6.∴拋物線的標準方程是x2＝±12y.
(2)由題意，拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，且以直線y＝－1為準線，
可得拋物線的開口向上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，
則－＝－1，解得p＝2，所以所求拋物線的方程為x2＝4y.
答案：(1)C　(2)x2＝4y
例2　解析：(1)設(shè)M(x，y)，半徑為R，由已知得定圓圓心為C(2，0)，半徑r＝1.因為兩圓外切，所以|MC|＝R＋1.又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.所以|MC|＝d＋1.
即動點M到定點C(2，0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．
＝2，p＝4，
故其方程為y2＝8x.
(2)將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部．
設(shè)拋物線上點P到準線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由圖可知，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為.即|PA|＋|PF|的最小值為，
此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2.∴點P坐標為(2，2)．
鞏固訓練2　解析：(1)由定義|MF|＝x0＋＝y(tǒng)0＝6，又＝36＝2px0，
所以36＝2p，解得p＝6.
(2)拋物線x2＝8y的焦點F(0，2)，準線方程為y＝－2.
拋物線x2＝8y上動點P到直線y＝－2的距離即動點P到焦點F(0，2)的距離，
故點P到點A(4，0)的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為|FA|＝2.
答案：(1)C　(2)2
例3　解析：(1)由題設(shè)，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，由圖知：A1(－3，－3)，A(3，－3)，
所以6p＝9，則p＝，故拋物線A1OA所在拋物線的方程x2＝－3y.
(2)由題設(shè)，令，要使裝載集裝箱的車能安全通過隧道，則5＋y≥，
由(1)并將點代入可得：y＝－＝－，故5＋y＝<.
所以此車不能安全通過隧道．
鞏固訓練3　解析：設(shè)拋物線為y2＝2px(p>0)，由焦點到灶底(拋物線的頂點)的距離為2m知，＝2 p＝4，即拋物線方程為y2＝8x.設(shè)CD＝a，
則點A(a，2)，B(a，－2) AB＝4.由于灶口直徑AB是灶深CD的4倍，
故4＝4a a＝2.故AB＝8m.
答案：A3.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)
[課標解讀]　1.掌握拋物線的幾何性質(zhì).2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．
教材要點
要點一　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
性質(zhì) 焦點 (，0) (－，0) (0，) (0，－)
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 ________ ________ ________ ________
對稱軸 ________ ________
頂點 ________
離心率 e＝1
狀元隨筆　
1.橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線，由于拋物線沒有漸近線，所以在畫拋物線時切忌將其畫成雙曲線的一支的形式．
2．拋物線、橢圓和雙曲線都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形．
3．頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點．
要點二　直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線有三種位置關(guān)系：________、________和__________．
設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0時，直線與拋物線只有________交點；
②k≠0時，Δ＞0 直線與拋物線________ 有________公共點．
Δ＝0 直線與拋物線________ 只有________公共點．
Δ＜0 直線與拋物線________ ________公共點．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點對稱．(　　)
(2)拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心．(　　)
(3)拋物線的標準方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．(　　)
(4)“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件．(　　)
2．若點(m，n)在拋物線y2＝－13x上，則下列點中一定在該拋物線上的是(　　)
A．(－m，－n) B．(m，－n)
C．(－m，n) D．(－n，－m)
3．頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
4．過點(2，4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
5．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝4，則|PQ|＝________．
題型 1　拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例1　已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程．
方法歸納
確定拋物線的幾何性質(zhì)的三個要點
鞏固訓練1　已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，則拋物線的方程為________．
題型 2　直線與拋物線的位置關(guān)系
例2　已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C有：(1)一個公共點；(2)兩個公共點；(3)沒有公共點．
方法歸納
直線與拋物線交點個數(shù)問題的解題策略
鞏固訓練2　若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．
題型 3　直線與拋物線的相交弦問題
例3　已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝，求AB所在的直線方程．
方法歸納
求直線與拋物線相交弦長的2種方法
鞏固訓練3　已知點P(1，m)是拋物線C：y2＝2px上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且|PF|＝2，直線l：y＝k(x－1)與拋物線C相交于不同的兩點A，B.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
易錯辨析　忽略直線與拋物線有一個公共點的特
殊情況致誤
例4　(多選)過定點P(－1，1)且與拋物線y2＝2x只有一個交點的直線l的方程為(　　)
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
(2)當直線l的斜率存在時，
①若直線l與拋物線的對稱軸平行，則直線l的方程為y＝1，此時直線l與拋物線只有一個公共點．
②若直線l與拋物線的對稱軸不平行，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0.
由題意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，
解得k＝，
故所求直線l的方程為：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
綜上所述，所求直線l的方程為y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
故選BCD.
答案：BCD
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
本題易錯的地方是只考慮直線l的斜率k存在且不為0時的情形，而忽略k不存在及直線l平行于拋物線的對稱軸這兩種情形． 在涉及直線與拋物線只有一個交點的問題時，應(yīng)提防兩處陷阱：一是直線與對稱軸平行時，直線與拋物線只有一個交點，這是由Δ＝0無法得到的(事實上，此時消元后對應(yīng)的“一元二次”方程的“二次”項系數(shù)一定為零)；二是若由Δ＝0僅得到一條直線，則意味著斜率不存在的直線可能與拋物線相切(僅有一個交點)，應(yīng)檢驗斜率不存在的直線是否滿足條件．
3．3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)
新知初探·課前預習
要點一
x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x軸　y軸　(0，0)
要點二
相離　相切　相交　一個　相交　兩個　相切　一個　相離　沒有
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由拋物線關(guān)于x軸對稱易知，點(m，－n)一定在該拋物線上．
答案：B
3．解析：頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因點(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點．
答案：B
5．解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一　由拋物線開口方向向下，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)．
因為M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
所以解得
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
方法二　設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)，準線l：y＝，
如圖所示，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因為點M在拋物線上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
鞏固訓練1　解析：根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標為±，交點橫坐標為±1，則拋物線過點(1，)或(－1，)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
則2p＝3，從而拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x.
答案：y2＝3x或y2＝－3x
例2　解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
當k＝0時，方程變?yōu)椋?x＋1＝0，x＝，此時y＝1.
∴直線l與C只有一個公共點，此時直線l平行于x軸．
當k≠0時，方程(*)是一個一元二次方程，其中Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①當Δ>0，即k<1，且k≠0時，l與C有兩個公共點，此時l與C相交；
②當Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；
③當Δ<0，即k>1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離．
綜上所述：(1)當k＝1或k＝0時，直線l與C有一個公共點；
(2)當k<1時，且k≠0時，直線l與C有兩個公共點；
(3)當k>1時，直線l與C沒有公共點．
鞏固訓練2　解析：因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組只有一組實數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①.
(1)當a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解
(2)當a＋1≠0，即a≠－1時，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程組有唯一解
綜上，實數(shù)a的取值集合是.
例3　解析：由題意知焦點F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠p，不滿足題意．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
則直線AB的方程為y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝
＝ ·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直線方程為2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
鞏固訓練3　解析：(1)拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以拋物線的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，所以k的值為1或－1.第2課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)
[課標解讀]　1.會求一些與拋物線有關(guān)的軌跡方程問題.2.解決一些拋物線的綜合問題．
教材要點
要點一　和拋物線有關(guān)的軌跡方程
根據(jù)定義，可以直接判定一個動點的軌跡是拋物線，求動點的軌跡方程．
要點二　直線和拋物線
1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.
2．拋物線的焦點弦
過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p；
③＝.
基礎(chǔ)自測
1.過拋物線y2＝2x的焦點且與x軸垂直的直線與拋物線交于M、N兩點，O為坐標原點，則·＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．動點P(x，y)到點F(3，0)的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動點P的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的一支 D．拋物線
3．過拋物線y2＝2x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝4，則|AB|＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
4．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l交C于A，B兩點，且|AB|＝8，則線段AB中點的橫坐標為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．若拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝________．
題型 1　與拋物線有關(guān)的軌跡問題
例1　已知動圓M與直線y＝2相切，且與定圓C：＝1外切，求動圓圓心M的軌跡方程．
方法歸納
求拋物線軌跡問題的2種方法
鞏固訓練1　若位于y軸右側(cè)的動點M到F(，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程．
題型 2　拋物線的綜合問題
例2　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C的準線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2.求k1＋k2的值．
方法歸納
解決拋物線綜合問題的基本策略
對于拋物線的綜合問題，可以從直線、拋物線的方程出發(fā)，結(jié)合解一元二次方程，經(jīng)過邏輯推理和數(shù)學運算，從代數(shù)法的角度推證結(jié)論．
鞏固訓練2　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，2)，O為坐標原點．
(1)求焦點F的坐標及其準線方程；
(2)拋物線C在點A處的切線記為l，過點A作與切線l垂直的直線，與拋物線C的另一個交點記為B，求△OAB的面積．
題型 3　與拋物線有關(guān)的最值問題
例3　求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離．
方法歸納
求距離最值的2種策略
鞏固訓練3　
如圖，已知直線l：y＝2x－4交拋物線y2＝4x于A，B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求出這個最大面積．
第2課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)
新知初探·課前預習
[基礎(chǔ)自測]
1．解析：由題意可得M，N，
所以·＝＋1×(－1)＝－.
答案：D
2．解析：依題意可知動點P(x，y)在直線x＋2＝0的右側(cè)，
設(shè)P到直線x＋2＝0的距離為d，則|PF|＝d＋1，
所以動點P到F(3，0)的距離與到x＋3＝0的距離相等，
其軌跡為拋物線．
答案：D
3．解析：y2＝2x，2p＝2，p＝1，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋1＝5.
故選B.
答案：B
4．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8，
可知x1＋x2＋2＝8，
故＝3.
答案：C
5．解析：雙曲線x2－y2＝1的左焦點為(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
答案：2
題型探究·課堂解透
例1　解析：設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等．
由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y.
鞏固訓練1　解析：由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，
所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．
由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線(不包含原點)，
其方程應(yīng)為y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，所以y2＝2x(x≠0)．
例2　解析：(1)設(shè)點M(x0，y0)，則|y0|＝，所以()2＝2px0，解得x0＝3.
因為|MF|＝x0＋＝3＋＝5，所以p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)由題知，F(xiàn)(2，0)，Q(－2，0)，直線AB的斜率必存在，且不為零．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝kx＋2k，
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝4，
且Δ＝(4k2－8)2－16k4＝64(1－k2)>0，即k2<1.
所以k1＋k2＝＝
＝k
＝k＝0，
所以k1＋k2的值為0.
鞏固訓練2　解析：(1)依題意，22＝2p×1，解得p＝2，則拋物線C的方程為：y2＝4x，
所以拋物線C的焦點F(1，0)，準線方程為x＝－1.
(2)顯然切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為：y－2＝k(x－1)，
由消去x并整理得：y2－y－k＋2＝0，依題意得Δ＝1－k(－k＋2)＝0，解得k＝1，
因直線AB⊥l，則直線AB的斜率為－1，方程為：y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，
由消去x并整理得：y2＋4y－12＝0，解得y1＝2，y2＝－6，
因此有B(9，－6)，而A(1，2)，則|AB|＝＝8，
而點O(0，0)到直線AB：x＋y－3＝0的距離d＝＝，則S△OAB＝|AB|·d＝12，
所以△OAB的面積是12.
例3　解析：方法一　設(shè)A(t，－t2)為拋物線上的點，
則點A到直線4x＋3y－8＝0的距離
d＝＝
＝
＝＝＋.
所以當t＝時，d取得最小值.
方法二　如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距離為＝＝.
鞏固訓練3　解析：由解得或
由題圖可知，A(4，4)，B(1，－2)，則|AB|＝3.
設(shè)P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點，
d為點P到直線AB的距離，
則d＝＝|(y0－1)2－9|.
當y0＝1時，dmax＝，Smax＝×3＝.
此時點P為.專項培優(yōu)③　章末復習課
考點一　圓錐曲線的定義與標準方程
(1)解決這類問題的關(guān)鍵是準確把握圓錐曲線的定義和標準方程．
(2)通過對圓錐曲線的定義與標準方程的學習，提升學生的直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例1　(1)若雙曲線＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且漸近線經(jīng)過點(1，－2)，則此雙曲線的方程為(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為(　　)
A．2 B．4
C．4 D．6
(3)已知△ABC三個頂點都在拋物線x2＝8y上，且F為拋物線的焦點，若＝)，則||＋||＋||＝(　　)
A．6　　　B．8 C．10　　　D．12
考點二　圓錐曲線的幾何性質(zhì)
(1)分析圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解圓錐曲線性質(zhì)問題的關(guān)鍵．
(2)通過對圓錐曲線幾何性質(zhì)的學習，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例2　(1)已知橢圓E：＝1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別為A，B，若AB的垂直平分線過E的下頂點C，則E的離心率為(　　)
A．　　B． C．　　D．
(2)(多選)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：＝1(b>0)的左、右焦點，F(xiàn)1關(guān)于一條漸近線的對稱點P剛好落在雙曲線上，則下列說法正確的是(　　)
A．|PF1|＝4
B．雙曲線的離心率e＝
＝16
D．漸近線方程為y＝±x
(3)邊長為1的等邊三角形AOB中，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是________．
考點三　直線與圓錐曲線的綜合問題
角度1　定點問題
(1)求解直線和曲線過定點問題的基本解題模板是：把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對變量的任意一個值都成立，這時變量的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．
(2)通過對圓錐曲線中的定點問題的學習，提升學生的數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例3　已知圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點(1，)在橢圓上．
(1)經(jīng)過點M(1，)作一直線l1交橢圓于AB兩點，若點M為線段AB的中點，求直線l1的斜率；
(2)設(shè)橢圓C的上頂點為P，設(shè)不經(jīng)過點P的直線l2與橢圓C交于C，D兩點，且·＝0，求證：直線l2過定點．
角度2　定值問題
(1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值，和題目中的變量無關(guān)，始終是一個確定的值，對于定值問題常見的解題模板有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
②可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再研究一般情況．同時，要掌握巧妙利用特殊值解決相關(guān)的定點、定值問題的方法，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來研究等．
(2)通過對圓錐曲線中的定值問題的學習，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例4　設(shè)點P為雙曲線E：＝1(a>0，b>0)上任意一點，雙曲線E的離心率為，右焦點與橢圓G：＝1(t>0)的右焦點重合．
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)過點P作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點A，B，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值，并求出此定值．
角度3　最值問題
(1)構(gòu)建關(guān)于變量的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值，常利用二次函數(shù)的相關(guān)知識或基本不等式求解．面積、弦長、含變量的代數(shù)式的最值問題，常選用此法，解決問題時要注意自變量的取值范圍．
(2)通過對圓錐曲線中的最值問題的學習，提升學生的數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例5　在平面直角坐標系xOy中，點A(，1)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求p的值；
(2)若直線l與拋物線C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，y1y2<0，且·＝3，求|y1|＋2|y2|的最小值．
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：(1)雙曲線＝1(a>0，b>0)的焦距為2，故2c＝2，c＝.
且漸近線經(jīng)過點(1，－2)，故－＝－2，故a＝1，b＝2，雙曲線方程為：x2－＝1.
(2)易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，
由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因為|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝5，
所以△PF1F2為直角三角形，所以＝×3×4＝6.
(3)由x2＝8y得焦點F(0，2)，準線方程為y＝－2，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＝)得(－x1，2－y1)＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)，
則2－y1＝(y2－y1＋y3－y1)，化簡得y1＋y2＋y3＝6，
所以||＋||＋||＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋2×3＝6＋6＝12.
答案：(1)B　(2)D　(3)D
例2　解析：(1)由題可知A(－a，0)，B(0，b)，C(0，－b)，因為AB的垂直平分線過E的下頂點C，所以|AC|＝|BC|，則＝2b，解得：a＝b，所以E的離心率e＝ ＝.
(2)如圖所示，雙曲線的左焦點為F1，右焦點為F2，由對稱性，取一條漸近線l：y＝x，F(xiàn)1關(guān)于漸近線的對稱點為P，
直線l與線段PF1的交點為A，連接PF2，因為點P與F1關(guān)于直線l對稱，
則l⊥PF1，且A為PF1的中點，所以|AF1|＝b，|OA|＝a＝2，|PF2|＝2|AO|＝2a＝4，
根據(jù)雙曲線的定義，有|PF1|－|PF2|＝2a＝4 |PF1|＝8，故A不正確；
|PF1|＝8，即2b＝8 b＝4，
所以e＝＝ ＝，故B正確；
易知△F1PF2是以∠F1PF2為直角的直角三角形，所以＝×|PF1|×|PF2|＝×4×8＝16，故C正確；
由于b＝4，所以漸近線方程為y＝±x＝±2x，故D不正確．
(3)設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又A(不妨取點A在x軸上方)，則有＝±a，解得a＝±，所以拋物線方程為y2＝±x.
答案：(1)A　(2)BC　(3)y2＝±x
例3　解析：(1)由題設(shè)橢圓的方程為＝1，
因為橢圓經(jīng)過點，所以＝1，∴b＝1，
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，
所以(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
由題得x1≠x2，所以(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·＝0，
所以2＋4×1×＝0，所以2＋4×1×kAB＝0，
∴kAB＝－，
所以直線l1的斜率為－.
(2)由題得P(0，1)
當直線l2的斜率不存在時，不符合題意；
當直線l2的斜率存在時，設(shè)直線l2的方程為y＝kx＋n(n≠1)，
聯(lián)立方程組，可得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，
所以Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，
解得4k2＋1>n2①，
設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，
則x3＋x4＝－，x3x4＝②，
因為·＝0，
則(x3，y3－1)·(x4，y4－1)＝0，
又y3＝kx3＋n，y4＝kx4＋n，
所以(k2＋1)x3x4＋k(n－1)(x3＋x4)＋(n－1)2＝0③，
由②③可得n＝1(舍)或n＝－滿足條件①，
此時直線l2的方程為y＝kx－，
故直線l2過定點.
例4　解析：(1)
則a＝1，b＝，c＝.
所以雙曲線E的標準方程為：x2－＝1.
(2)設(shè)P點坐標為(x0，y0)，過P與漸近線平行的直線分別為l1，l2，
方程分別為y－y0＝(x－x0)，y－y0＝－(x－x0)，
聯(lián)立方程：，得，
同理可得：，得，
又漸近線方程為y＝±x，則sin∠AOB＝，
··＝，
又點P在雙曲線上，則＝2，
所以＝，即平行四邊形OAPB的面積為定值，
且此定值為.
例5　解析：(1)將A代入拋物線C：y2＝2px，
解得：p＝1.
(2)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在拋物線C上，故
·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3，
解得：y1y2＝－6或2，
因為y1y2<0，所以y1y2＝－6，即|y1|·|y2|＝6，
故|y1|＋2|y2|＝＋2|y2|≥2＝4，
當且僅當＝2|y2|，即|y2|＝時等號成立，
故|y1|＋2|y2|的最小值為4.

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