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考點19 三角函數(shù)的概念及變換
【考綱要求】
①了解正角、負角、零角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念
②理解弧度的概念，會進行弧度與角度的換算
③理解任意角的三角函數(shù)的概念，記住三角函數(shù)在各象限的符號和特殊角的三角函數(shù)值
④掌握同角三角函數(shù)兩個基本關(guān)系式、誘導公式，會運用它們進行運算、化簡
⑤會根據(jù)已知三角函數(shù)值求角(0～2π內(nèi)特殊角)
⑥掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，會用它們進行運算、化簡
【考向預測】
1．三角函數(shù)定義的理解，三角函數(shù)值的符號判斷．
2．同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導公式用于化簡或求值．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．任意角的三角函數(shù)
(1)設(shè)角α為任意角，P(x，y)是角α終邊上除頂點外的任一點，設(shè)點P與原點的距離為r，則角α的三個三角函數(shù)的定義如下：
sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)任意角α的三角函數(shù)在各象限的符號，見下表：
α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα ＋ ＋ － －
cosα ＋ － － ＋
tanα ＋ － ＋ －
(3)特殊角的三角函數(shù)值，見下表：
α 0 π
sinα 0 1 0
cosα 1 0 1
tanα 0 1 不存在 0
2．扇形的弧長公式，面積公式：S＝r＝.
3．同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式為_＋＝1_、____.
4．含有同角三角函數(shù)式求值與化簡的常用方法
(1)化切為弦：tanα＝__；
(2)sinα·cosα與sinα±cosα之間的聯(lián)系：＝__1±2sinαcosα__.
5．誘導公式
sin(2kπ＋α)＝____，cos(2kπ＋α)＝___，tan(2kπ＋α)＝__tanα_.
sin(－α)＝__，cos(－α)＝___，tan(－α)＝__tanα_.
sin(π＋α)＝__，cos(π＋α)＝__，tan(π＋α)＝_tanα__.
sin(π－α)＝___，cos(π－α)＝__，tan(π－α)＝__tanα_.
sin＝___，cos＝___.sin＝____，cos＝__.
6．兩角和與差的三角函數(shù)
①sin(α＋β)＝__sinαcosβ＋cosαsinβ_，②sin(α－β)＝_sinαcosβ－cosαsinβ_，
③cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ_，④cos(α－β)＝_cosαcosβ＋sinαsinβ_，
⑤tan(α＋β)＝__，⑥tan(α－β)＝__.
7．二倍角公式
sin 2α＝_2sin αcos α_；
cos 2α＝___＝_2－1_＝_1－2_；
tan 2α＝__.
8．變形公式
cos 2α＝1－2 ＝__，＝__；
cos 2α＝2－1 ＝__，＝__.
【考點分類剖析】
考點一三角函數(shù)的基本概念
【例1】2023°是(　C　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【思路點撥】本題考查的是終邊相同的角，2023°＝223°＋5×360°.
【舉一反三1】下列各角中，與角的終邊相同的角是(　D　)
B． C． D．
【提示】與角α終邊相同的角滿足β＝α＋2kπ(k∈Z).
【例2】如果角β的終邊經(jīng)過點P(－3，－4)，則sinβ＋cosβ＋tanβ的值為(　B　)
A． B．－ C． D．－
【思路點撥】　本題考查的是三角函數(shù)的定義，應(yīng)明確題中的x，y，r. ∵x＝－3，y＝－4，r＝＝5，
∴∴sinβ＋cosβ＋tanβ＝
【變式訓練2】　設(shè)a<0，若點P(－3a，4a)在角α的終邊上，則sinα＋2cosα＝________.
【提示】本題考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意可得r＝－5a，進而可得sinα，cosα的值，從而求得結(jié)果．
【例3】已知角α的終邊在函數(shù)y＝2x(x≤0)的圖像上，求cosα和tanα的值．
【思路點撥】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可在角α的終邊上取點．由于x≤0，可取點P(－1，－2)，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求．
【解】∵終邊在函數(shù)y＝2x(x≤0)的圖像上，
∴取點P(－1，－2)，則r＝，
∴
【變式訓練3】已知角α的終邊在直線y＝－x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【提示】角α的終邊落在某直線上，一般要分類討論，可通過終邊所在象限或橫坐標的正負進行討論取點．
【解】∵角α的終邊在直線y＝－x上，∴角α的終邊可以在第二象限也可以在第四象限．
若α是第二象限角，取點(－1，)，則r＝2，
若α是第四象限角，取點(1，－)，則r＝2，
考點二同角的三角函數(shù)關(guān)系式
【例4】已知α∈ ，且cosα＝，求sinα和tanα的值.
【思路點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，同時要注意角α的象限，并明確sinα，tanα的符號.【解】∵cosα＝，∴＝，而α∈
∴sinα<0，∴sinα＝，而.
【舉一反三4】已知sinα＝，且α為鈍角，求cosα和tanα的值.
【提示】用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解題時，要注意角α的終邊所在象限．
【解】∵α是鈍角，
【例5】已知tanα＝3，求：
(1) 的值； (2)＋sinαcosα－3的值．
【思路點撥】本題解法有多種．解法一：由得sinα＝tanα·cosα，代入原式化簡；解法二：分子與分母同時除以cosα(或)可得；解法三：先利用同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式得到方程組求得sinα和cosα的值，再代入．
【解】(1)原式
(2)原式
【舉一反三5】已知tanα＝3，求：
(1)的值； (2)－2sinαcosα＋1的值．
【提示】已知tanα求cosα和sinα組成的齊次式是常見題型，會用“sinα＝cosα·tanα”或“分子、分母同時除以cosα或”等方法求關(guān)于tanα的代數(shù)式．
【解】(1)原式
(2)原式
【例6】已知sinα＋cosα＝，且α∈，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα－cosα的值．
【思路點撥】本題考查＝1＋2sinαcosα；＝1－2sinαcosα，同時要注意三角函數(shù)的符號．
【解】(1)∵sinα＋cosα＝，∴＝，即1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝
(2)由(1)得＝1－2sinαcosα＝∵α∈，∴sinα>0，cosα<0，則sinα－cosα>0，
∴sinα－cosα＝
【舉一反三6】已知sinα－cosα＝，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα＋cosα的值．
【提示】根據(jù)“＋＝1”可建立“sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα”三者之間的關(guān)系.
【解】(1)∵sinα－cosα＝，∴＝1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝
(2)由(1)得＝1＋2sinαcosα＝，∴sinα＋cosα＝.
考點三誘導公式
【例7】化簡：
【思路點撥】本題考查誘導公式運用，要注意書寫規(guī)范．
【解】原式
【舉一反三7】化簡：
【提示】利用誘導公式直接化簡，可通過“切化弦、通分”進行進一步整理．
【解】原式
【例8】已知sin(π＋θ)＝，且 ≤θ≤π，求cos(π－θ)的值.
【思路點撥】本題考查誘導公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，要注意象限．
【解】∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝.
∵θ∈，∴cosθ<0，∴cosθ＝－，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝.
【舉一反三8】已知sin(θ－π)＝，則cosθ＝ .
【提示】通過象限判斷三角函數(shù)值的符號，反之可通過三角函數(shù)值的正負來判斷角的范圍．
【解】 ∵sin(θ－π)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝，∴cosθ
【例9】已知sinα＝，且α∈(0，2π)，則α＝__
【思路點撥】考查特殊三角函數(shù)值及誘導公式．
∵sin，而sin(π－α)＝sinα，∴α＝
【舉一反三9】已知cosα＝，且α∈(－π，0)，則α＝____；
【提示】∵cos，而cos(－α)＝cosα，∴α＝
考點四兩角和與差的三角函數(shù)
【例10】求值：(1)sin15°； (2)tan105°.
【思路點撥】“15°＝60°－45°，105°＝60°＋45°”，利用兩角和與差的正弦及正切公式進行計算．
【解】(1)sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
(2)tan105°＝tan(60°＋45°)＝
【舉一反三10】求值：(1)cos75°； (2)tan15°.
【提示】利用兩角和與差的正弦、余弦、正切，會計算sin15°，sin75°，cos15°，cos75°，tan15°，tan75°，并且能熟記這些值．
【解】(1)原式＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
【例11】已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α＋β的值．
【思路點撥】已知三角函數(shù)值求角，一般分兩步：①“恰當”地根據(jù)角的范圍選擇一個三角函數(shù)值；②根據(jù)角的范圍與三角函數(shù)值確定該角的值．
【解】∵α，β均為銳角，∴cosα＝，cosβ＝∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
【變式訓練11】　已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α－β的值．
【提示】分析角的范圍并合理選擇一個三角函數(shù)值．
【解】∵α和β均是銳角，
考點五二倍角公式
【例12】已知sin α＝，且α為銳角，求sin 2α＋cos 2α的值．
【思路點撥】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式．
【解】∵α為銳角，∴cos α＝∴sin2α＝2sin αcos α＝2×
cos 2α＝＝∴sin2α＋cos 2α＝
【變式訓練12】已知角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【解】∵x＝3，y＝4，∴r＝5，
∴sin α＝,cos α＝,∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
cos 2α＝2－1＝2×
∴tan2α＝
【例13】求值：(1)＝________；
(2)15°－15°＝______.
【思路點撥】二倍角公式“sin2α＝2sin αcos α，cos 2α＝”的逆用．
(1)
(2)sin215°－cos215°＝－cos30°＝
【變式訓練13】求值：(1) ＝________；　　　　　　　
(2) ＝____1____.
【提示】 (1)原式＝
(2)原式＝＝tan45°＝1.
【例14】已知 ，且α∈，求sin 4α的值．
【思路點撥】先用兩角和與差的正弦公式或觀察＋α與－α兩角之間的關(guān)系．
【解】原式＝∴cos 2α＝ .
∵α∈，∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－，
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－
【變式訓練14】已知cos θ＝－，且θ∈，求cos和tan的值．
【解】考點19 三角函數(shù)的概念及變換
【考綱要求】
①了解正角、負角、零角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念
②理解弧度的概念，會進行弧度與角度的換算
③理解任意角的三角函數(shù)的概念，記住三角函數(shù)在各象限的符號和特殊角的三角函數(shù)值
④掌握同角三角函數(shù)兩個基本關(guān)系式、誘導公式，會運用它們進行運算、化簡
⑤會根據(jù)已知三角函數(shù)值求角(0～2π內(nèi)特殊角)
⑥掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，會用它們進行運算、化簡
【考向預測】
1．三角函數(shù)定義的理解，三角函數(shù)值的符號判斷．
2．同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導公式用于化簡或求值．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．任意角的三角函數(shù)
(1)設(shè)角α為任意角，P(x，y)是角α終邊上除頂點外的任一點，設(shè)點P與原點的距離為r，則角α的三個三角函數(shù)的定義如下：
sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)任意角α的三角函數(shù)在各象限的符號，見下表：
α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα
cosα
tanα
(3)特殊角的三角函數(shù)值，見下表：
α 0 π
sinα
cosα
tanα
2．扇形的弧長公式，面積公式：S＝r＝.
3．同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式為_______________、__________________.
4．含有同角三角函數(shù)式求值與化簡的常用方法
(1)化切為弦：tanα＝________；
(2)sinα·cosα與sinα±cosα之間的聯(lián)系：＝________________.
5．誘導公式
sin(2kπ＋α)＝________，cos(2kπ＋α)＝________，tan(2kπ＋α)＝________.
sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
sin＝________，cos＝________.sin＝________，cos＝________.
6．兩角和與差的三角函數(shù)
①sin(α＋β)＝____________________，②sin(α－β)＝____________________，
③cos(α＋β)＝____________________，④cos(α－β)＝____________________，
⑤tan(α＋β)＝____________，⑥tan(α－β)＝____________.
7．二倍角公式
sin 2α＝____________；
cos 2α＝____________＝____________＝____________；
tan 2α＝____________.
8．變形公式
cos 2α＝1－2 ＝____________，＝____________；
cos 2α＝2－1 ＝____________，＝____________.
【考點分類剖析】
考點一三角函數(shù)的基本概念
【例1】2023°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【舉一反三1】下列各角中，與角的終邊相同的角是(　　)
B． C． D．
【例2】如果角β的終邊經(jīng)過點P(－3，－4)，則sinβ＋cosβ＋tanβ的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
【變式訓練2】　設(shè)a<0，若點P(－3a，4a)在角α的終邊上，則sinα＋2cosα＝________.
【例3】已知角α的終邊在函數(shù)y＝2x(x≤0)的圖像上，求cosα和tanα的值．
【變式訓練3】已知角α的終邊在直線y＝－x上，求sinα，cosα，tanα的值．
考點二同角的三角函數(shù)關(guān)系式
【例4】已知α∈ ，且cosα＝，求sinα和tanα的值.
【舉一反三4】已知sinα＝，且α為鈍角，求cosα和tanα的值.
【例5】已知tanα＝3，求：
(1) 的值； (2)＋sinαcosα－3的值．
【舉一反三5】已知tanα＝3，求：
(1)的值； (2)－2sinαcosα＋1的值．
【例6】已知sinα＋cosα＝，且α∈，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα－cosα的值．
【舉一反三6】已知sinα－cosα＝，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα＋cosα的值．
考點三誘導公式
【例7】化簡：
【舉一反三7】化簡：
【例8】已知sin(π＋θ)＝，且 ≤θ≤π，求cos(π－θ)的值.
【舉一反三8】已知sin(θ－π)＝，則cosθ＝ .
【例9】已知sinα＝，且α∈(0，2π)，則α＝________.
【舉一反三9】已知cosα＝，且α∈(－π，0)，則α＝________；
考點四兩角和與差的三角函數(shù)
【例10】求值：(1)sin15°； (2)tan105°.
【舉一反三10】求值：(1)cos75°； (2)tan15°.
【例11】已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α＋β的值．
【變式訓練11】　已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α－β的值．
考點五二倍角公式
【例12】已知sin α＝，且α為銳角，求sin 2α＋cos 2α的值．
【變式訓練12】已知角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【例13】求值：(1)＝________；
(2)15°－15°＝________.
【變式訓練13】求值：(1) ＝________；　　　　　　　
(2) ＝________.
【例14】已知 ，且α∈，求sin 4α的值．
【變式訓練14】已知cos θ＝－，且θ∈，求cos和tan的值．

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