資源簡介

考點21 解三角形
【考綱要求】
掌握正弦定理、余弦定理，會用它們解斜三角形及簡單應用題，會根據三角形兩邊及其夾角求三角形的面積
【考向預測】
利用正弦定理、余弦定理及其變式或推論的內容求解邊或角．
以解三角形為背景的應用問題是高職考命題的趨勢，突出生產和生活中的實際運用.
【本節內容結構】
【知識清單】
1．基本概念：由三角形六個元素(三條邊和三個角)中的三個已知元素(至少有一個元素是邊)，求其余三個未知元素的過程叫作解三角形.
2．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比值相等，即∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
3．設＝k(k>0)，則＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝.利用正弦定理可實現三角形中的邊角互化．
4．利用正弦定理可解決以下兩類解斜三角形問題：
(1)已知兩角及任意一邊，求其他元素；
(2)已知兩邊及其中一邊所對角，求其他元素．
5．余弦定理：＝，＝，.
變式：cosA＝，cosB＝，cosC＝.
6．利用余弦定理可以解以下兩類解三角形問題：
(1)已知兩邊及它們的夾角，求第三邊；
(2)已知三邊，求角．
7．三角形的面積公式為．
8．實際生活中的角
(1)仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方叫作仰角，目標視線在水平線下方叫作俯角(如圖①).
(2)方向角：從正北或正南方向旋轉到目標方向所形成的小于90°的角，如圖②所示，點B在點A的南偏東30°方向上．
【考點分類剖析】
考點一正弦定理
【例1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，c＝5，求邊b的長．
【思路點撥】解已知兩角及一邊的題目，可用正弦定理求解．
【變式訓練1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，＝3，則b＝.
【關鍵點評】運用正弦定理解三角形時，能解決兩角及一邊的題型，注意∠A＋∠B＋∠C＝π的使用．
【提示】∠A＝π－∠B－∠C＝.∵，∴，∴b＝.
【例2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠A＝30°，求∠B，∠C的大小及c的值．
【思路點撥】已知兩邊及其中一邊所對角，可用正弦定理求解．此題可先求∠B.
解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴sinB＝.
∵∠B∈(0°，180°)，∴∠B＝60°或120°.
①當∠B＝60°時，∠C＝90°，c＝＝2；
②當∠B＝120°時，∠C＝30°，c＝＝1.
【舉一反三2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠B＝60°，求∠C的大小．
【關鍵點評】先求出∠A，再由三角形的內角和為180°，求出∠C，注意三角形中“大邊對大角”．
解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴sinA＝.
∵∠A∈(0°，180°)，∴∠A＝30°或150°.
又∵∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
考點二余弦定理
【例3】在△ABC中，已知＝3，b＝2，∠C ＝120°，求邊c的長．
【思路點撥】已知兩邊及夾角求第三邊的問題，可利用余弦定理進行解題．
解：由余弦定理得＝19，
∴c＝.
【變式訓練3】在△ABC中，已知∠A為鈍角，sinA＝，AB＝5，AC＝3，求BC的長．
【關鍵點評】先利用同角三角函數的基本關系式求出余弦值，再利用余弦定理進行解題．
解：∵∠A為鈍角，且sinA＝，
∴cosA＝.
在△ABC中，由余弦定理得＝＋－2AB·AC·cosA＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，
∴BC＝2.
【例4】在△ABC中，已知∶b∶c＝7∶3∶5，求最大角的度數．
【思路點撥】已知三邊之比求角度的問題，通常先設三條邊的長，再用余弦定理來解決．
解：設＝7k，b＝3k，c＝5k(k>0)，顯然邊所對的角A最大，
∴cosA＝.
又∵∠A∈(0°，180°)，
∴∠A＝120°，即最大角為∠A＝120°.
【舉一反三4】在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，試判斷△ABC的形狀．
【關鍵點評】先運用正弦定理得到三條邊之比，再用余弦定理求出最大角的余弦值，進而判斷三角形的形狀．
解：由正弦定理，∴∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6.
設＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，顯然邊c所對的角C最大，
由余弦定理得
cosC＝＞0，
∴∠C為銳角，即△ABC為銳角三角形．
考點三綜合應用
【例5】在△ABC中，已知∠B＝30°，＝2，b＝，求△ABC的面積．
【思路點撥】根據已知條件可利用正弦定理求得∠A的值，再根據三角形的內角和180°求得∠C的值，最后利用三角形的面積公式求解．
解：由正弦定理得，即，解得sinA＝.
∴∠A＝45°或135°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝105°或15°，
∴當∠C＝105°時，＝bsinC＝＝；
當∠C＝15°時，＝bsinC＝＝.
綜上所述，△ABC的面積為或.
【變式訓練5】在△ABC中，已知∠A＝30°，c＝2，，求邊的長．
【關鍵點評】先用三角形的面積公式求得b邊的長，再用余弦定理求解．
解：∵＝bc·sinA，∴＝·b·2·sin30°，∴b＝2，
由余弦定理得＝＝12＋4－2×2×2×＝4，∴＝2.
【例6】在△ABC中，已知∠C＝60°，＋b＝4.
(1)試寫出△ABC的面積S與之間的函數關系式；
(2)當為何值時，S有最大值？求出；
(3)當為何值時，△ABC的周長L有最小值？求出.
【思路點撥】本題是一個綜合性較強的解答題，不僅用到余弦定理求邊的長，還要利用二次函數或均值定理求最值，有時還要考慮最值取到的可能性，結合二次函數圖像來解決問題．
解：(1)∵b＝4－a，∴S＝bsinC＝(4－)·sin60°＝－＋(0<<4).
(2)由(1)得S＝－＋，當＝2時，＝.
(3)由余弦定理得＝＋－2cos60°＝3－12＋16＝3＋4，
∴當＝2時，＝4，即cmin＝2.
∴當＝2時，＝＋b＋＝4＋2＝6.
【舉一反三6】如圖所示，已知AB＋BC＝40 m，∠B＝.求：
(1)△ABC的面積y與AB邊的長x(10(2)當AB邊的長x為多少時，面積y取得最大值？最大面積為多少？
解：(1)設AB＝x(m)時，則BC＝(40－x) m，由題意得＝y＝x(40－x)sin＝－x(x－40)(10(2)y＝－(－40x)＝－＋100.
∴當x＝20時，＝100.
∴當AB的長為20 m時，△ABC取得最大面積為100.
考點四仰角俯角應用
【例7】如圖所示，為了測量建筑物AB的高度，在地面上選擇C，D兩點觀察建筑物頂端B，測得CD＝20 m，C和D兩點的仰角分別為30°和45°，求建筑物AB的高度．
【思路點撥】本題主要考查仰角、俯角的概念、余弦定理、解直角三角形等知識．
解：由題意得∴CD＝CA－DA＝AB－AB＝(－1)AB，
∴AB＝＝10(＋1)(m).
【舉一反三7】如圖所示，某人要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，他在點C處測得塔頂A的仰角是45°，在點D處測得塔頂A的仰角是30°，且測得水平面上的角∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔AB的高度．
解：設電視塔AB的高度為h，在Rt△ABC中，可得BC＝h.
在Rt△ABD中，可得BD＝h.
在△BCD中，根據余弦定理得
＝＋－2BC·CD·cos∠BCD，
∴＝＋1 600－2h·40·cos120°，
化簡得－20h－800＝0，解得h＝40(h＝－20舍去).
∴電視塔AB的高度為40 m.
考點五航海問題
【例8】如圖所示，甲船在A處發現了乙船在北偏東45°且與A處的距離為10海里的C處，正以20海里/時的速度向南偏東75°的方向航行，已知甲船速度是20海里/時．問：甲船沿什么方向，用多長時間才能與乙船相遇？
【思路點撥】靈活地運用正、余弦定理來解決航海問題．
解：設t小時后兩船相遇，則BC＝20t，AB＝20t.由圖可知∠ACB＝120°.
由余弦定理得＝－2AC·BC·cos∠ACB，
即＝＋－2×10×20t×(－)，
解得t＝或t＝－(舍去).
故AB＝20×＝10，BC＝20×＝10.
由正弦定理得，即sin∠BAC＝.
∴∠BAC＝30°，即所求角為30°＋45°＝75°.
∴甲船應沿北偏東75°方向航行半小時后才能與乙船相遇．
【舉一反三8】如圖所示，一艘輪船在點B處測得海面上南偏東60°方向上有一口油井P，現以60海里/時的速度向北航行40分鐘后到達點A，測得油井P在其南偏東30°方向上，試求此時P和A之間的距離．
解：由題意得AB＝×40＝40(海里)，
BP＝AB＝40海里，∠ABP＝120°，
由余弦定理得
＝＋－2AB·BP·cos∠ABP
＝＋－2×40×40cos120°
＝4800，
∴AP＝40(海里).∴此時P和A之間的距離為40海里．考點21 解三角形
【考綱要求】
掌握正弦定理、余弦定理，會用它們解斜三角形及簡單應用題，會根據三角形兩邊及其夾角求三角形的面積
【考向預測】
利用正弦定理、余弦定理及其變式或推論的內容求解邊或角．
以解三角形為背景的應用問題是高職考命題的趨勢，突出生產和生活中的實際運用.
【本節內容結構】
【知識清單】
1．基本概念：由三角形六個元素(三條邊和三個角)中的三個已知元素(至少有一個元素是邊)，求其余三個未知元素的過程叫作_________.
2．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對的角的________的比值相等，即∶b∶c＝________________.
3．設＝k(k>0)，則＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝.利用正弦定理可實現三角形中的邊角互化．
4．利用正弦定理可解決以下兩類解斜三角形問題：
(1)已知兩角及____________，求其他元素；
(2)已知兩邊及________________，求其他元素．
5．余弦定理：＝_________________，＝___________________，_____________________.
變式：cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝________________.
6．利用余弦定理可以解以下兩類解三角形問題：
(1)已知兩邊及___________，求第三邊；
(2)已知________，求角．
7．三角形的面積公式為________________________________．
8．實際生活中的角
(1)仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角，目標視線在水平線________叫作仰角，目標視線在水平線________叫作俯角(如圖①).
(2)方向角：從________或________方向旋轉到目標方向所形成的小于90°的角，如圖②所示，點B在點A的南偏東30°方向上．
【考點分類剖析】
考點一正弦定理
【例1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，c＝5，求邊b的長．
【變式訓練1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，＝3，則b＝________.
【例2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠A＝30°，求∠B，∠C的大小及c的值．
【舉一反三2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠B＝60°，求∠C的大小．
考點二余弦定理
【例3】在△ABC中，已知＝3，b＝2，∠C ＝120°，求邊c的長．
【變式訓練3】在△ABC中，已知∠A為鈍角，sinA＝，AB＝5，AC＝3，求BC的長．
【例4】在△ABC中，已知∶b∶c＝7∶3∶5，求最大角的度數．
【舉一反三4】在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，試判斷△ABC的形狀．
考點三綜合應用
【例5】在△ABC中，已知∠B＝30°，＝2，b＝，求△ABC的面積．
【變式訓練5】在△ABC中，已知∠A＝30°，c＝2，，求邊的長．
【例6】在△ABC中，已知∠C＝60°，＋b＝4.
(1)試寫出△ABC的面積S與之間的函數關系式；
(2)當為何值時，S有最大值？求出；
(3)當為何值時，△ABC的周長L有最小值？求出.
【舉一反三6】如圖所示，已知AB＋BC＝40 m，∠B＝.求：
(1)△ABC的面積y與AB邊的長x(10(2)當AB邊的長x為多少時，面積y取得最大值？最大面積為多少？
考點四仰角俯角應用
【例7】如圖所示，為了測量建筑物AB的高度，在地面上選擇C，D兩點觀察建筑物頂端B，測得CD＝20 m，C和D兩點的仰角分別為30°和45°，求建筑物AB的高度．
【舉一反三7】如圖所示，某人要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，他在點C處測得塔頂A的仰角是45°，在點D處測得塔頂A的仰角是30°，且測得水平面上的角∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔AB的高度．
考點五航海問題
【例8】如圖所示，甲船在A處發現了乙船在北偏東45°且與A處的距離為10海里的C處，正以20海里/時的速度向南偏東75°的方向航行，已知甲船速度是20海里/時．問：甲船沿什么方向，用多長時間才能與乙船相遇？
【舉一反三8】如圖所示，一艘輪船在點B處測得海面上南偏東60°方向上有一口油井P，現以60海里/時的速度向北航行40分鐘后到達點A，測得油井P在其南偏東30°方向上，試求此時P和A之間的距離．

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