資源簡介

考點22 平面的基本性質(zhì)與空間直線
【考綱要求】
①理解平面的基本性質(zhì)
②了解空間兩條直線、直線與平面、兩個平面的位置關(guān)系
③了解兩條異面直線所成的角，理解直線和平面所成的角、二面角及二面角的平面角的概念
④了解點到平面的距離，點和斜線在平面內(nèi)的射影，直線與平面的距離，兩平面間的距離等概念
⑤理解直線與平面垂直的概念
⑥會用直線與平面、兩個平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決有關(guān)問題
【考向預(yù)測】
1．平面的基本性質(zhì)結(jié)合直線、平面平行的判定及性質(zhì)和直線、平面垂直的判定及性質(zhì)綜合考查．
2．以直線與直線、直線與平面平行的判定及性質(zhì)求解異面直線所成的角．
3．以直線與直線、直線與平面垂直的判定及性質(zhì)求解直線與平面所成的角．
4．以直線與平面、平面與平面垂直的判定及性質(zhì)求解二面角的平面角．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．平面的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：如果直線l上的兩點都在平面α內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．用符號語言表達為若A，B∈l，A，B∈α，則l α.
性質(zhì)2：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面必相交于經(jīng)過這點的一條直線，用符號語言表達為若A∈α，A∈β，則α∩β＝l，且A∈l.
性質(zhì)3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．
推論1：經(jīng)過一條直線和該直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．
性質(zhì)4：平行于同一直線的兩條直線互相平行.
2．空間直線
(1)空間兩條直線的位置關(guān)系為相交、平行和異面.
(2)不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.
兩條異面直線的特征性質(zhì)是它們既不平行也不相交．
(3)兩條平行直線與兩條異面直線的相同之處是無公共點.
(4)異面直線的判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．
(5)經(jīng)過空間內(nèi)任意一點分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角叫作兩條異面直線所成的角．
(6)異面直線所成角的范圍是，當(dāng)異面直線所成角等于90°時，兩條異面直線互相垂直.
(7)空間兩條直線互相垂直，它們的位置關(guān)系是相交、異面.
3．空間直線與平面
(1)直線與平面α的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交或直線與平面平行.
(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 _∩α＝ _ b α， α，∥b ∥α_ ∥α， β，α∩β＝b_
結(jié)論 a∥α a∥α a∩α＝ a∥b
(3)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 垂直于α內(nèi)任意一條直線 b α，c α，b∩c＝O，⊥b，⊥c b⊥α，∥b ⊥α，b⊥α ⊥α，b α
結(jié)論 a⊥α a⊥α a⊥α a∥b a⊥b
(4)直線與平面所成的角
①平面的斜線
如圖所示，一條直線和一個平面相交，但不和這平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線(如直線AB)，斜線和平面的交點B叫作斜足，從斜線上除斜足外的一點A，向平面引垂線，經(jīng)過垂足O和斜足B的直線叫作斜線在這個平面內(nèi)的射影.
②直線和平面所成的角的定義
A.平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線和這個平面所成的角．
B.一條直線垂直于一個平面，這條直線與平面所成的角是90°；
一條直線平行于一個平面，這條直線與平面所成的角是0°.
C.直線和平面所成角的取值范圍是[0°，90°]，斜線和平面所成角的取值范圍是(0°，90°).
(5)三垂線定理及其逆定理
①定理：如圖所示，平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
②逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．
4．空間兩個平面
(1)空間兩個平面的位置關(guān)系有平行和相交，兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．
(2)兩個平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理 推論
圖形
條件 α∩β＝ β，b β，∩b＝P，∥α，b∥α l⊥α，l⊥β α∥β， β∥γ α∥β，α∩γ＝，β∩γ＝b α∥β， β
結(jié)論 α∥β α∥β α∥β α∥γ a∥b a∥α
(3)兩個平面垂直的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 平面α與平面β所成二面角為直角 l⊥β，l α α⊥β，α∩β＝，l β，l⊥
結(jié)論 α⊥β α⊥β l⊥α
(4)二面角的定義
平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫作半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面，棱為AB，面分別為α，β的二面角記為二面角α－AB－β.
(5)二面角的平面角
①定義：以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角；
②二面角的平面角的取值范圍是[0°，180°].
【考點分類剖析】
考點一平面的基本性質(zhì)
【例1】下列命題中，正確的個數(shù)為(　C　)
①梯形的四個頂點在同一個平面上；
②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路點撥】在②中，兩條直線可以平行、相交或異面；在④中，若三點在同一條直線上，則兩個平面可能相交；①③正確．
【變式訓(xùn)練1】下列命題正確的是(　C　)
A．一個平面的長為4 m，寬為2 m
B．四邊形一定是平面圖形
C．一個平面可以把空間分成兩部分
D．將書的一角接觸課桌面，此時書所在平面和課桌所在平面只有一個公共點
【關(guān)鍵點評】平面的基本性質(zhì)．
考點二空間位置關(guān)系判斷
【例2】經(jīng)過平面β外一點P，且平行于平面β的直線(　C　)
　A．只有一條，且一定在平面β內(nèi)
B．只有一條，但不一定在平面β內(nèi)
C．有無數(shù)條，但都不在平面β內(nèi)
D．有無數(shù)條，都在平面β內(nèi)
【思路點撥】由直線與平面平行的性質(zhì)可知，經(jīng)過平面外一點與平面平行的直線有無數(shù)條，且一定不在平面內(nèi)．
【舉一反三2】下列命題中，正確的是(　B　)
①平行于同一個平面的兩直線平行；
②垂直于同一個平面的兩直線平行；
③平行于同一直線的兩平面平行；
④垂直于同一直線的兩平面平行．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【關(guān)鍵點評】直線與平面位置關(guān)系的判定．
【例3】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，已知E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，連接BD.求證：EF∥平面BCD.
【思路點撥】利用線面平行的判定定理：若 α，b α，∥b，則∥α .
【證明】∵在△BAD中，EF為中位線，∴EF∥BD.
∵BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
【變式訓(xùn)練3】在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　A　)
【關(guān)鍵點評】直線與平面平行的判定的靈活運用．
考點三兩條直線所成角
【例4】在如圖所示正方體ABCD-中，先判斷各組直線的位置關(guān)系，并填寫所成夾角的大?。?br/>(1)AD與D_相交_，夾角為_45°_；
(2)A與B__平行__，夾角為__0°__；
(3)B與AC__異面_，夾角為__60°；
(4)B與AC__異面__，夾角為__90°__.
【思路點撥】空間直線位置關(guān)系的判別及異面直線夾角確定方法：通過尋找平行線，將異面直線平移后得到相交直線．
【舉一反三4】在正方體ABCD-中，與AC成60°角的面對角線有(　D　)
A．0條 B．2條 C．4條 D．8條
【關(guān)鍵點評】直線的位置關(guān)系的判別及異面直線夾角的確定方法．
【例5】如圖所示，在正方體ABCD-中，已知E是B的中點，求異面直線AE與D所成角的余弦值．
【思路點撥】找異面直線的夾角關(guān)鍵是尋找平行線，而本題是在正方體中，D與A是平行的，∴求異面直線AE與D所成的角就是求直線AE與A所成的角．
【解】如解圖所示，連接E.
∵A∥D，∴∠EA是異面直線AE與D所成的角．
∵在△AE中，E＝AE＝AB，
∴cos ∠EA＝∴異面直線AE與D所成角的余弦值為.
【變式訓(xùn)練5】如圖所示，在棱長為的正方體ABCD-中，已知E為C的中點，求異面直線A與BE所成角的余弦值．
【關(guān)鍵點評】　利用例5中找平行線的思路，即可得到A的平行線，則異面直線所成的角就出現(xiàn)了．
解：如解圖所示，連接B.
∵在正方體ABCD-中，A∥B，
∴∠EB是異面直線A與BE所成的角．
∴在△EB中，BE＝，E＝，B＝，由余弦定理得
cos∠EB＝＝
∴異面直線A與BE所成角的余弦值為.
考點四直線和平面所成角
【例6】如圖所示，在正方體ABCD-中，求：
(1)B與底面ABCD所成角的大??；
(2)D與底面ABCD所成角的正弦值．
【思路點撥】經(jīng)過直線上一點找平面的垂線和射影，以及直線與平面所成的角．
【解】(1)∵在正方體ABCD-中，A⊥底面ABCD，
∴B在底面ABCD的射影為AB，
即∠BA是B與底面ABCD所成的角．
∵∠BA＝45°，∴B與底面ABCD所成角的大小為45°.
(2)連接BD.
∵B⊥底面ABCD，∴D在底面ABCD的射影為BD，
即∠DB是D與底面ABCD所成的角．
∵在Rt△BD中，sin∠DB＝，∴D與底面ABCD所成角的正弦值為.
【舉一反三6】如圖所示，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝，求PA與側(cè)面PBC所成角的大小．
【關(guān)鍵點評】求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影．
解：如解圖所示，取BC的中點D，連接AD，PD.
∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC.
又∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥AD，即AD⊥側(cè)面PBC，
∴PD是PA在側(cè)面PBC上的射影，
∴∠APD是PA與側(cè)面PBC所成的角．
∵在Rt△PDA中，AD＝AB＝，
PD＝＝3，
∴tan∠APD＝，∴∠APD＝30°，
故PA與側(cè)面PBC所成角的大小為30°.
考點五二面角
【例7】如圖所示，在三棱錐S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AC⊥BC，且AC＝2，BC＝，SB＝，求二面角S－BC－A的大小．
【思路點撥】求二面角P－AB－C的大小，必須找到其平面角．
【解】∵AC⊥BC，∴AB＝.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，
∴SA＝，SC＝＝4.
又∵＋＝，∴SC⊥BC.
又∵AC⊥BC，∴∠SCA為二面角S－BC－A的平面角．
∵在Rt△SAC中，tan∠SCA＝，
∴∠SCA＝60°，即二面角S－BC－A的大小為60°.
【舉一反三7】如圖所示，已知P為矩形ABCD所在平面外一點．若PA⊥AD，PA⊥AB，連接AC，求二面角P－AC－B的大?。?br/>解：∵PA⊥AD，PA⊥AB且AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD.
又∵PA 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
即二面角P－AC－B的大小為90°.
【例8】如圖所示，在邊長為的正三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝，求二面角B－AD－C的大?。?br/>【思路點撥】確定二面角的平面角，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．
【解】圖①中，∵AD⊥平面BDC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，
即∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．
∵在△BDC中，BD＝CD＝，BC＝，
∴∠BDC＝60°，即二面角B－AD－C的大小為60°.
【舉一反三8】如圖所示，已知一張正方形紙片ABCD，BD是對角線，經(jīng)過AB，CD的中點E，F(xiàn)的線段交BD于點O，以EF為棱，將正方形紙片ABCD折成直二面角，求∠BOD的度數(shù)．
解：設(shè)正方形的邊長為，則BO＝DO＝.
∵DA⊥AE，DA⊥BE，AE∩BE＝E，
AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴DA⊥平面AEB.
∵AB 平面AEB，∴DA⊥AB，
∴△DAB為直角三角形，
BD＝＝＝＝，
在△BOD中，由余弦定理得
cos∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝120°.考點22 平面的基本性質(zhì)與空間直線
【考綱要求】
①理解平面的基本性質(zhì)
②了解空間兩條直線、直線與平面、兩個平面的位置關(guān)系
③了解兩條異面直線所成的角，理解直線和平面所成的角、二面角及二面角的平面角的概念
④了解點到平面的距離，點和斜線在平面內(nèi)的射影，直線與平面的距離，兩平面間的距離等概念
⑤理解直線與平面垂直的概念
⑥會用直線與平面、兩個平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決有關(guān)問題
【考向預(yù)測】
1．平面的基本性質(zhì)結(jié)合直線、平面平行的判定及性質(zhì)和直線、平面垂直的判定及性質(zhì)綜合考查．
2．以直線與直線、直線與平面平行的判定及性質(zhì)求解異面直線所成的角．
3．以直線與直線、直線與平面垂直的判定及性質(zhì)求解直線與平面所成的角．
4．以直線與平面、平面與平面垂直的判定及性質(zhì)求解二面角的平面角．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．平面的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：如果直線l上的兩點都在平面α內(nèi)，那么___________________________________________________．
用符號語言表達為______________________________.
性質(zhì)2：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面必_______________________________，用符號語言表達為________________________________.
性質(zhì)3：經(jīng)過不在____________________上的三點，有且只有一個平面．
推論1：經(jīng)過一條直線和______________，有且只有一個平面．
推論2：經(jīng)過兩條________直線，有且只有一個平面．
推論3：經(jīng)過兩條________直線，有且只有一個平面．
性質(zhì)4：平行于同一直線的兩條直線__________.
2．空間直線
(1)空間兩條直線的位置關(guān)系為________、________和________.
(2)不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作__________.
兩條異面直線的特征性質(zhì)是它們既不平行也不相交．
(3)兩條平行直線與兩條異面直線的相同之處是________.
(4)異面直線的判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)_____________的直線是異面直線．
(5)經(jīng)過空間內(nèi)任意一點分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角叫作兩條異面直線所成的角．
(6)異面直線所成角的范圍是________，當(dāng)異面直線所成角等于90°時，兩條異面直線_________.
(7)空間兩條直線互相垂直，它們的位置關(guān)系是________、________.
3．空間直線與平面
(1)直線與平面α的位置關(guān)系：______________、______________或______________.
(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 ___________ _______________ __________ _________________
結(jié)論 a∥α a∥α a∩α＝ a∥b
(3)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 ___________ ________________ _________ _________ _________
結(jié)論 a⊥α a⊥α a⊥α a∥b a⊥b
(4)直線與平面所成的角
①平面的斜線
如圖所示，一條直線和一個平面相交，但不和這平面垂直，這條直線叫作這個平面的________(如直線AB)，________和平面的交點B叫作斜足，從斜線上除斜足外的一點A，向平面引垂線，經(jīng)過垂足O和斜足B的直線叫作斜線在這個平面內(nèi)的________.
②直線和平面所成的角的定義
A.平面的一條斜線和__________________所成的銳角，叫作這條直線和這個平面所成的角．
B.一條直線垂直于一個平面，這條直線與平面所成的角是________；
一條直線平行于一個平面，這條直線與平面所成的角是________.
C.直線和平面所成角的取值范圍是___________，斜線和平面所成角的取值范圍是___________.
(5)三垂線定理及其逆定理
①定理：如圖所示，平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
②逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．
4．空間兩個平面
(1)空間兩個平面的位置關(guān)系有________和________，兩個平面垂直是兩個平面________的特殊情況．
(2)兩個平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理 推論
圖形
條件 _______ _____________ _______ _______ _________ _________
結(jié)論 α∥β α∥β α∥β α∥γ a∥b a∥α
(3)兩個平面垂直的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)8
定義 定理
圖形
條件 平面α與平面β所成二面角為________ __________ _______________
結(jié)論 α⊥β α⊥β l⊥α
(4)二面角的定義
平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫作________，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的________叫作二面角，這條直線叫作二面角的________，這兩個半平面叫作二面角的________，棱為AB，面分別為α，β的二面角記為二面角α－AB－β.
(5)二面角的平面角
①定義：以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的________；
②二面角的平面角的取值范圍是____________.
【考點分類剖析】
考點一平面的基本性質(zhì)
【例1】下列命題中，正確的個數(shù)為(　　)
①梯形的四個頂點在同一個平面上；
②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式訓(xùn)練1】下列命題正確的是(　　)
A．一個平面的長為4 m，寬為2 m
B．四邊形一定是平面圖形
C．一個平面可以把空間分成兩部分
D．將書的一角接觸課桌面，此時書所在平面和課桌所在平面只有一個公共點
考點二空間位置關(guān)系判斷
【例2】經(jīng)過平面β外一點P，且平行于平面β的直線(　　)
　A．只有一條，且一定在平面β內(nèi)
B．只有一條，但不一定在平面β內(nèi)
C．有無數(shù)條，但都不在平面β內(nèi)
D．有無數(shù)條，都在平面β內(nèi)
【舉一反三2】下列命題中，正確的是(　　)
①平行于同一個平面的兩直線平行；
②垂直于同一個平面的兩直線平行；
③平行于同一直線的兩平面平行；
④垂直于同一直線的兩平面平行．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【例3】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，已知E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，連接BD.求證：EF∥平面BCD.
【變式訓(xùn)練3】在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　)
考點三兩條直線所成角
【例4】在如圖所示正方體ABCD-中，先判斷各組直線的位置關(guān)系，并填寫所成夾角的大?。?br/>(1)AD與D________，夾角為________；
(2)A與B________，夾角為________；
(3)B與AC________，夾角為________；
(4)B與AC________，夾角為________.
【舉一反三4】在正方體ABCD-中，與AC成60°角的面對角線有(　　)
A．0條 B．2條 C．4條 D．8條
【例5】如圖所示，在正方體ABCD-中，已知E是B的中點，求異面直線AE與D所成角的余弦值．
【變式訓(xùn)練5】如圖所示，在棱長為的正方體ABCD-中，已知E為C的中點，求異面直線A與BE所成角的余弦值．
考點四直線和平面所成角
【例6】如圖所示，在正方體ABCD-中，求：
(1)B與底面ABCD所成角的大??；
(2)D與底面ABCD所成角的正弦值．
【舉一反三6】如圖所示，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝，求PA與側(cè)面PBC所成角的大?。?br/>考點五二面角
【例7】如圖所示，在三棱錐S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AC⊥BC，且AC＝2，BC＝，SB＝，求二面角S－BC－A的大小．
【舉一反三7】如圖所示，已知P為矩形ABCD所在平面外一點．若PA⊥AD，PA⊥AB，連接AC，求二面角P－AC－B的大小．
【例8】如圖所示，在邊長為的正三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝，求二面角B－AD－C的大小．
【舉一反三8】如圖所示，已知一張正方形紙片ABCD，BD是對角線，經(jīng)過AB，CD的中點E，F(xiàn)的線段交BD于點O，以EF為棱，將正方形紙片ABCD折成直二面角，求∠BOD的度數(shù)．

展開更多......

收起↑