資源簡介

多面體、旋轉體及有關計算
【考綱要求】
了解直棱柱、正棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐、球的概念和性質，會用它們的性質以及表面積、體積公式進行有關計算
【考向預測】
幾何體的性質及表面積或體積計算．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．棱柱
(1)棱柱的性質
①棱柱的每一個側面都是平行四邊形，所有的側棱都平行且相等；直棱柱的每一個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩形；
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；
③經過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形.
(2)公式：＝C·h；＝·h.
(3)幾種六面體的關系(如圖所示)：
2．棱錐
(1)正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心，這樣的多面體叫作正棱錐．
(2)棱錐的性質
①正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫作正棱錐的斜高)；
②正棱錐的高、斜高及其底面上的射影組成一個直角三角形，高、側棱及其在底面上的射影也組成一個直角三角形；
③公式：＝；＝.
3．圓柱
(1)以矩形的一邊所在直線為軸，其余三邊繞軸旋轉一周的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱.
(2)圓柱的軸截面為矩形，側面展開圖為矩形.
(3)公式：＝2πrl；＝πl.
4．圓錐
(1)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其余兩邊繞軸旋轉一周而成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐.
(2)圓錐的軸截面為等腰三角形，側面展開圖為扇形.
(3)公式：＝πrl；＝.
5．球
(1)以半圓的直徑為軸，旋轉一周而成的曲面所圍成的幾何體叫作球.
(2)球心到截面圓的距離為d，球的半徑R及截面圓半徑r之間的關系式為d＝.
(3)公式：＝；＝.
【考點分類剖析】
考點一多面體的相關計算
【例1】如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-中，求三棱錐－BC的體積．
【思路點撥】注意三棱錐底面及高的確定．
【解】＝·＝××2×2×2＝.
【變式訓練1】如圖所示，已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為6，∠PBD＝45°，求它的體積和全面積．
解：∵在正四棱錐P－ABCD中，底面邊長為AB＝6，
∴BD＝，∴BO＝.
∵∠PBD＝45°，∴PO＝，
∴斜高h＝＝＝，
∴＝×6×6×＝，
＝6×6＋4××6×＝36＋.
【例2】如圖40－6所示，已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1.
(1)寫出四面體D′－ACD中所有不同的二面角；
(2)求點D到平面ACD′的距離．
【思路點撥】利用等積法求點到平面的距離．
【解】(1)四面體D′－ACD中的二面角有：D－AC－D′，C－AD′－D，
A－CD′－D，C－DD′－A，D′－AD－C，A－CD－D′.
(2)設點D到平面ACD′的距離為h，
∵＝，∴××1×1×1＝·h，即＝，解得h＝.
【舉一反三2】如圖40－7所示，已知直三棱柱ABC－的底面是直角三角形，斜邊AB＝2，∠ABC＝30°，D是棱C上的點，且CD＝，經過斜邊AB和點D作一個截面．求：
(1)二面角D－AB－C的大小；
(2)點C到平面ABD的距離．
解：(1)如解圖所示，經過點C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE.
∵DC⊥平面ABC，
∴CE是DE在平面ABC內的射影．
∵CE⊥AB，∴DE⊥AB，
∴∠DEC是二面角D－AB－C的平面角．
∵在Rt△DCE中，CD＝，CE＝，
∴tan ∠DEC＝＝，∠DEC＝60°，即二面角D－AB－C的大小為60°.
(2)設點C到平面ABD的距離為h.
∵＝，
∴×××1×＝××2××h，
解得h＝，即點C到平面ABD的距離為.
考點二旋轉體的相關計算
【例3】如圖所示，已知圓柱的側面展開圖是矩形ABCD，AC＝8 cm，∠BAC＝30°，求圓柱的側面積和體積．
【思路點撥】圓柱的側面積就是矩形ABCD的面積，求圓柱的體積關鍵是求出圓柱的底面半徑r.
【解】設圓柱的底面半徑r，
∵AC＝8 cm，∠BAC＝30°，∴BC＝4 cm，AB＝cm.
又∵2πr＝AB，∴r＝cm，
∴＝AB·BC＝(cm2)，V＝S底·h＝πh＝π·×4＝().
【變式訓練3】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm.若以斜邊BC為旋轉軸，將△ABC旋轉一周，求這個旋轉體的體積．
解：在Rt△BAC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm，∴BC＝25 cm，
如解圖所示，作BC邊上的高AD，則AD＝12 cm，
∴V＝π·BC＝π××25＝1200π().
【例4】如圖所示，已知ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，以BC為直徑挖去一個半圓，求以BC為軸旋轉一周所得幾何體的體積．
【思路點撥】本題主要考查旋轉體的體積和球的體積公式．
【解】V＝－＝π××2－π×＝π.
【舉一反三4】若將一個棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則此球的表面積為_4π__.
【提示】表面積是4×π×＝4π.
【舉一反三5】如圖所示，相傳這個圖形表達了古希臘數學家阿基米德最引為自豪的發現：圓柱內切一個球，球的直徑和圓柱的高相等，則圓柱的體積與球的體積之比等于圓柱的表面積與球的表面積之比，這個比值為________.
【提示】 2R＝h，＝2πrh＋2π＝6π，＝＝.多面體、旋轉體及有關計算
【考綱要求】
了解直棱柱、正棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐、球的概念和性質，會用它們的性質以及表面積、體積公式進行有關計算
【考向預測】
幾何體的性質及表面積或體積計算．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．棱柱
(1)棱柱的性質
①棱柱的每一個側面都是______________，所有的側棱都________且相等；直棱柱的每一個側面都是________；正棱柱的各個側面都是______________；
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是______________；
③經過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面是______________.
(2)公式：＝________；＝________.
(3)幾種六面體的關系(如圖所示)：
2．棱錐
(1)正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面上的射影是底面正多邊形的________，這樣的多面體叫作正棱錐．
(2)棱錐的性質
①正棱錐的各側棱________，各側面都是________的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高________(它叫作正棱錐的斜高)；
②正棱錐的高、斜高及其底面上的射影組成一個___________，高、側棱及其在底面上的射影也組成一個____________；
③公式：＝_______________；＝________.
3．圓柱
(1)以矩形的一邊所在直線為軸，其余三邊繞軸旋轉一周的曲面所圍成的幾何體叫作________.
(2)圓柱的軸截面為________，側面展開圖為________.
(3)公式：＝________；＝________.
4．圓錐
(1)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其余兩邊繞軸旋轉一周而成的曲面所圍成的幾何體叫作________.
(2)圓錐的軸截面為___________，側面展開圖為________.
(3)公式：＝________；＝________.
5．球
(1)以半圓的直徑為軸，旋轉一周而成的曲面所圍成的幾何體叫作________.
(2)球心到截面圓的距離為d，球的半徑R及截面圓半徑r之間的關系式為d＝________.
(3)公式：＝________；＝________.
【考點分類剖析】
考點一多面體的相關計算
【例1】如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-中，求三棱錐－BC的體積．
【變式訓練1】如圖所示，已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為6，∠PBD＝45°，求它的體積和全面積．
【例2】如圖40－6所示，已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1.
(1)寫出四面體D′－ACD中所有不同的二面角；
(2)求點D到平面ACD′的距離．
【舉一反三2】如圖40－7所示，已知直三棱柱ABC－的底面是直角三角形，斜邊AB＝2，∠ABC＝30°，D是棱C上的點，且CD＝，經過斜邊AB和點D作一個截面．求：
(1)二面角D－AB－C的大小；
(2)點C到平面ABD的距離．
考點二旋轉體的相關計算
【例3】如圖所示，已知圓柱的側面展開圖是矩形ABCD，AC＝8 cm，∠BAC＝30°，求圓柱的側面積和體積．
【變式訓練3】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm.若以斜邊BC為旋轉軸，將△ABC旋轉一周，求這個旋轉體的體積．
【例4】如圖所示，已知ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，以BC為直徑挖去一個半圓，求以BC為軸旋轉一周所得幾何體的體積．
【舉一反三4】若將一個棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則此球的表面積為________.
【舉一反三5】如圖所示，相傳這個圖形表達了古希臘數學家阿基米德最引為自豪的發現：圓柱內切一個球，球的直徑和圓柱的高相等，則圓柱的體積與球的體積之比等于圓柱的表面積與球的表面積之比，這個比值為________.

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