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專題02 不等式
一、不等式的基本性質(zhì)及區(qū)間表示
實(shí)數(shù)大小的基本性質(zhì) (1) a - b > 0 a>b ；(2) a - b < 0 a=b ；(3) a - b = 0 a不等式的基本性質(zhì) (1)性質(zhì)1(傳遞性)： a > b , b > c a>c ；
(2)性質(zhì)2(加法性)： a > b a + c > b + c ；
推論： a > b , c > d a + c > b + d ；(同向不等式可加性)
(3)性質(zhì)3(乘法性)： a > b ,c > 0 ac > bc ； a > b ,c < 0 ac < bc ；
推論： a > b >0，c > d >0 ac > bd ；(正數(shù)的同向可乘性) a > b >0， an>bn(n∈N，n≥2) ；(正數(shù)的乘方法則) a > b >0， > (n∈N，n≥2) ；(正數(shù)的開方法則)
區(qū)間 有限區(qū)間 (1)滿足a≤x≤b的全體實(shí)數(shù)的集合，叫做 閉 區(qū)間，記作： [ a , b ] ； (2)滿足a無(wú)限區(qū)間 (1)滿足x≤b的全體實(shí)數(shù)的集合，記作： ( -∞ , b ] ； (2)滿足xa的全體實(shí)數(shù)的集合，記作： ( a , +∞ ) .
（二）一元一次不等式（組）
一元一次不等式 ax>b a>0時(shí)，解集是{x|x>}； a<0時(shí)，解集是{x|x<}； a=0時(shí)，b≥0,則解集是 ； b<0,則解集是 R ；
一元一次不等式組 （a>b） ① 的解集是{x|x>a}; ② 的解集是 {x|x（三）一元二次不等式
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
f(x)=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0（a> 0） 兩個(gè)不相等的實(shí)根 x1、x2= x0= 無(wú)實(shí)數(shù)根
一元二次不等式 ax2+bx+c> 0 (a> 0) (-∞ , x1)∪(x2 , +∞) (-∞ , x0)∪(x0 , +∞) R
ax2+bx+c≥0 (a> 0) (-∞ , x1]∪[x2 , +∞) R R
ax2+bx+c< 0 (a> 0) (x1 , x2)
ax2+bx+c≤0 (a> 0) [x1 , x2] {x0}
含絕對(duì)值的不等式
絕對(duì)值的幾何意義 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,用“| |”來(lái)表示
絕對(duì)值的性質(zhì)
含絕對(duì)值的不等式 ①｜x｜< a (a>0) -a < x < a ；②｜x｜> a (a>0) x < -a 或x>a ； ③｜f(x)｜< a (a>0) -a < f(x)< a ；④｜x｜> a (a>0) f(x) < -a 或f(x)>a ；
解法 將“| |”符號(hào)中的部分看成一個(gè)整體，利用絕對(duì)值的幾何意義,去掉絕對(duì)值
（五）簡(jiǎn)單分式不等式
與同解； 與同解；
與 f(x)g(x) > 0 同解； 與 同解.
1. 不等式的性質(zhì)
2. 解一次不等式
3. 解二次不等式（簡(jiǎn)單分式不等式）
4. 解不等式組
1. 賦值法
2. 拆分項(xiàng)法
3. 公式法
4. 因式分解法
5. 十字相乘法
6. 求根公式法
考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)
例1．下列命題中，正確的是（ ）．
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及代入特殊值判斷選項(xiàng).
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B.當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；
C.當(dāng)，，滿足，但此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
D.若，，則，得，那么，故D錯(cuò)誤.
故選：B
例2．如果a A. a + 2 > b+2 B.2a >2b
C. 5a > 5b D.
【變式探究】設(shè)0＜b＜a＜1，則下列不等式成立的是(　 　)
A．a(chǎn)b＜b2＜1 B．＜＜1
C．1＜＜ D．a(chǎn)2＜ab＜1
【答案】C
【解析】　取a＝，b＝驗(yàn)證可得A，B，D不正確．
考點(diǎn)二 比較大小
例3．若，則M與N的大小關(guān)系為__________ .
【答案】
【詳解】因?yàn)?，
所以.
故答案為: .
【變式探究】比較2x2+2x-3與x2+x-6的大小.
【答案】2x2+2x-3 > x2+x-6
【解析】∵2x2+2x-3 -( x2+x-6)= x2+x+3=(x+)2+ > 0 ，∴2x2+2x-3 > x2+x-6
考點(diǎn)三 解一元一次不等式（組）
例4．解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)
【答案】
【解析】解：去括號(hào)得：，，，，把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)如圖所示：
例5．不等式組的整數(shù)解是 .
【答案】，
【解析】，由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數(shù)解為：，，故答案為：，．
【變式探究】不等式組的解集用區(qū)間表示為： ．
【答案】
【分析】先解不等式組，再將結(jié)果用區(qū)間表示.
【詳解】解：∵不等式組 ，
∴，∴不等式組的解集為．
故答案為：．
考點(diǎn)四 一元二次不等式的解法
例6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式可化為，解得，故選：C．
例7．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知，，解得，故的定義域?yàn)?，故選：A.
【變式探究】1. 不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，即，故或，即，故選：A.
2. 不等式x2-2x+3>0的解集是 （ ）
A. B. {x | x<1或x>3} C. R D. {x | 1【答案】C
【解析】因?yàn)椤?(-2)2-12=-8<0，故對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，且開口向上，故不等式的解集為R.
考點(diǎn)五 一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
例7．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，則，，不等式的解集為：，故選：C．
【變式探究】若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的值為 .
【答案】3
【解析】由題可知，－7和－1是二次方程的兩個(gè)根，故.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故答案為：3.
考點(diǎn)六 絕對(duì)值不等式的解法
例7．不等式的解集為__________．
【答案】或
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，解得；
當(dāng)時(shí)，不等式，解得；
即不等式的解集為或
故答案為：或
例7．若不等式的解集為（-3，1），則實(shí)數(shù)m=（ ）
A.-4 B.-3 C.2 D.-2
【答案】C
【變式探究】不等式2＜|2x＋3|≤4的解集為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把原不等式化為2＜2x+3≤4 或﹣4≤2x+3＜﹣2，再把每個(gè)不等式的解集取并集．
【詳解】由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－2.
解得－＜x≤或－≤x＜－.
考點(diǎn)七 分式不等式的解法
例7．不等式解集
【詳解】，即，解得或，
故不等式解集為.
【變式探究】不等式解集
【詳解】不等式與不等式組同解，解得1≤x<3，故不等式解集為[1,3)
選擇題：本大題共 25 小題，每小題 4 分，滿分 100 分.
1.（2022年河北）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：D,因?yàn)?，若a=-2，b=-1，則A,B,C不成立，故選D.
2. （2022年河北）不等式的解集為，則a=( )
A．-2 B．-1
C．1 D．2
解析：D，
當(dāng)a>0時(shí)，
當(dāng)a<0時(shí)，不成立，所以a=2,故選D.
3．（2022河北對(duì)口高考）不等式的解集為 .
解析：，故解集為
4．（2021河北對(duì)口高考）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
解析：A，，，A正確；a,b至少有一個(gè)負(fù)值時(shí)，B不成立，B錯(cuò)；c=0時(shí)，，C錯(cuò)；a=-1,b=-2時(shí)，｜-1｜<|-2|，D錯(cuò)，故選A.
5．（2021河北對(duì)口高考）函數(shù)的定義域?yàn)? .
解析：，定義域?yàn)?br/>6．（2020河北對(duì)口高考）若0＜a＜b，則下列式子恒成立的是 （ ）
A.3a＞b B. C. D.
【答案】B
【解析】若a=1,b=4,則3a7.(2020年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域?yàn)? )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
【答案】A
【解析】，故選A.
8. (2020河北對(duì)口考試)設(shè)集合A={x||x-2|>3},B={x|mx+1>0},若m≤0為某個(gè)實(shí)數(shù)，求A∩B.
【解析】
9．（2019河北對(duì)口高考）若,則下列不等式成立的是（ ）
A． B. C． D.
【答案】D
【解析】若a=1,b=-2, ,但a>b,A錯(cuò)；,B錯(cuò)；若a=,b=,,C錯(cuò)；，D對(duì)，故選D．
10. (2019年河北對(duì)口)若不等式x2+ax-b<0 的解集為 (1,2),則log 6(ab) = .
【答案】1
【解析】由已知可知x2+ax-b=0的根為1，2，由韋達(dá)定理可得1+2=-a,1*2=-b,所以ab=6，log 66 =1，故答案為1.
11.（2019年河北對(duì)口高考）函數(shù)的定義域?yàn)? 。
【答案】
【解析】,故答案為.
12. （2018河北對(duì)口高考）若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a>b,則 ( )
A a-c>b-c B.a2>b2
C ac>bc D ac2>bc2
【答案】A
【解析】由不等式性質(zhì)可知A正確；a=-1,b=-2時(shí)，a213. (2018年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域?yàn)?br/>【答案】
【解析】，故答案為.
14．（2017河北對(duì)口高考）若a>b,cA. B .a+c>b+d
C. ln(a-c)>ln(b-d) D. a+d>b+c
【答案】D
【解析】由同向不等式的性質(zhì)可知D正確.故選D.
15. （2017年河北對(duì)口高考）已知函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【解析】,故答案為.
16.(2017河北對(duì)口考試)設(shè)集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】,故，故選C.
17．(2017年河北對(duì)口)設(shè)集合， ，則=（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,=,故選B.
18．（2016河北對(duì)口高考）設(shè)，那么下列各不等式恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】若a=-2,b=1, , A錯(cuò)；c<0時(shí)，，B錯(cuò)；b=2,a=1時(shí), ,C錯(cuò)；故選D.
19. (2016年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域是 ．
【答案】
【解析】,故答案為.
20.（2015河北對(duì)口高考）若a,b是任意實(shí)數(shù)，且，則（ ）
B、
C、 D、
【答案】D
【解析】若a=-2,b=1, , A錯(cuò)；若a=-2,b=1, ,B錯(cuò)；若a=-2,式子沒(méi)有意義，C錯(cuò)；故選D.
21 . (2015年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域是_____________.
【答案】
【解析】，故答案為
22.（2015河北對(duì)口高考）已知集合
若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】解不等式得，
所以由解得或，
所以.
又因?yàn)椋?br/>，.
23. （201４河北對(duì)口高考）下列命題正確的是( ).
A. 若則 B. 若則
C. 若，則 D. 若則
【答案】B
【解析】若C=0，則，A錯(cuò)；，由同向不等式性質(zhì)得，B正確；若a<0，則b24. （2014河北對(duì)口高考）已知集合且求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】由題意得
,
由于 所以
解得
25. 不等式的解集是 （ ）
A.{x | x>1} B.{x | x<1} C.{x | x>-1} D.{x | x<-1}
【答案】B
【解析】原不等式與(x2+1)(1-x)>0同解，因x2+1>0，故1-x>0，解得x<1，故不等式解集為{x | x<1}.專題02 不等式
一、不等式的基本性質(zhì)及區(qū)間表示
實(shí)數(shù)大小的基本性質(zhì) (1) a - b > 0 ；(2) a - b < 0 ；(3) a - b = 0 ；
不等式的基本性質(zhì) (1)性質(zhì)1(傳遞性)： a > b , b > c ；
(2)性質(zhì)2(加法性)： a > b ；
推論： a > b , c > d ；(同向不等式可加性)
(3)性質(zhì)3(乘法性)： a > b ,c > 0 ； a > b ,c < 0 ；
推論： a > b >0，c > d >0 ；(正數(shù)的同向可乘性) a > b >0， an>bn(n∈N，n≥2) ；(正數(shù)的乘方法則) a > b >0， > (n∈N，n≥2) ；(正數(shù)的開方法則)
區(qū)間 有限區(qū)間 (1)滿足a≤x≤b的全體實(shí)數(shù)的集合，叫做 區(qū)間，記作： ； (2)滿足a無(wú)限區(qū)間 (1)滿足x≤b的全體實(shí)數(shù)的集合，記作： ； (2)滿足xa的全體實(shí)數(shù)的集合，記作： .
（二）一元一次不等式（組）
一元一次不等式 ax>b a>0時(shí)，解集是{x|x>}； a<0時(shí)，解集是{x|x<}； a=0時(shí)，b≥0,則解集是 ； b<0,則解集是 ；
一元一次不等式組 （a>b） ① 的解集是{x|x>a}; ② 的解集是 ； ③ 的解集是 ； ④ 的解集是 ；
（三）一元二次不等式
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
f(x)=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0（a> 0） 兩個(gè)不相等的實(shí)根 x1、x2= x0= 無(wú)實(shí)數(shù)根
一元二次不等式 ax2+bx+c> 0 (a> 0) (-∞ , x1)∪(x2 , +∞) (-∞ , x0)∪(x0 , +∞) R
ax2+bx+c≥0 (a> 0) (-∞ , x1]∪[x2 , +∞) R R
ax2+bx+c< 0 (a> 0) (x1 , x2)
ax2+bx+c≤0 (a> 0) [x1 , x2] {x0}
含絕對(duì)值的不等式
絕對(duì)值的幾何意義 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,用“| |”來(lái)表示
絕對(duì)值的性質(zhì)
含絕對(duì)值的不等式 ①｜x｜< a (a>0) ；②｜x｜> a (a>0) ； ③｜f(x)｜< a (a>0) ；④｜x｜> a (a>0) ；
解法 將“| |”符號(hào)中的部分看成一個(gè)整體，利用絕對(duì)值的幾何意義,去掉絕對(duì)值
（五）簡(jiǎn)單分式不等式
與同解； 與同解；
與 同解； 與 同解.
1. 不等式的性質(zhì)
2. 解一次不等式
3. 解二次不等式（簡(jiǎn)單分式不等式）
4. 解不等式組
1. 賦值法
2. 拆分項(xiàng)法
3. 公式法
4. 因式分解法
5. 十字相乘法
6. 求根公式法
考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)
例1．下列命題中，正確的是（ ）．
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
例2．如果a A. a + 2 > b+2 B.2a >2b
C. 5a > 5b D.
考點(diǎn)二 比較大小
例3．若，則M與N的大小關(guān)系為__________ .
【變式探究】比較2x2+2x-3與x2+x-6的大小.
考點(diǎn)三 解一元一次不等式（組）
例4．解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)
例5．不等式組的整數(shù)解是 .
【變式探究】不等式組的解集用區(qū)間表示為： ．
考點(diǎn)四 一元二次不等式的解法
例6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例7．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式探究】1. 不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2. 不等式x2-2x+3>0的解集是 （ ）
A. B. {x | x<1或x>3} C. R D. {x | 1考點(diǎn)五 一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
例8．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式探究】若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的值為 .
考點(diǎn)六 絕對(duì)值不等式的解法
例9．不等式的解集為__________．
例10．若不等式的解集為（-3，1），則實(shí)數(shù)m=（ ）
A.-4 B.-3 C.2 D.-2
【變式探究】不等式2＜|2x＋3|≤4的解集為(　　)
A． B．
C． D．
考點(diǎn)七 分式不等式的解法
例7．不等式解集
【變式探究】不等式解集
選擇題：本大題共 25 小題，每小題 4 分，滿分 100 分.
1.（2022年河北）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2. （2022年河北）不等式的解集為，則a=( )
A．-2 B．-1
C．1 D．2
3．（2022河北對(duì)口高考）不等式的解集為 .
4．（2021河北對(duì)口高考）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021河北對(duì)口高考）函數(shù)的定義域?yàn)? .
6．（2020河北對(duì)口高考）若0＜a＜b，則下列式子恒成立的是 （ ）
A.3a＞b B. C. D.
7.(2020年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域?yàn)? )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
8. (2020河北對(duì)口考試)設(shè)集合A={x||x-2|>3},B={x|mx+1>0},若m≤0為某個(gè)實(shí)數(shù)，求A∩B.
9．（2019河北對(duì)口高考）若,則下列不等式成立的是（ ）
A． B. C． D.
10. (2019年河北對(duì)口)若不等式x2+ax-b<0 的解集為 (1,2),則log 6(ab) = .
11.（2019年河北對(duì)口高考）函數(shù)的定義域?yàn)? 。
12. （2018河北對(duì)口高考）若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a>b,則 ( )
A a-c>b-c B.a2>b2
C ac>bc D ac2>bc2
13. (2018年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域?yàn)?br/>14．（2017河北對(duì)口高考）若a>b,cA. B .a+c>b+d
C. ln(a-c)>ln(b-d) D. a+d>b+c
15. （2017年河北對(duì)口高考）已知函數(shù)的定義域是 .
16.(2017河北對(duì)口考試)設(shè)集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
17．(2017年河北對(duì)口)設(shè)集合， ，則=（?。?br/>A． B． C． D．
18．（2016河北對(duì)口高考）設(shè)，那么下列各不等式恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
19. (2016年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域是 ．
20.（2015河北對(duì)口高考）若a,b是任意實(shí)數(shù)，且，則（ ）
B、
C、 D、
21 . (2015年河北對(duì)口)函數(shù)的定義域是_____________.
22.（2015河北對(duì)口高考）已知集合
若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
23. （201４河北對(duì)口高考）下列命題正確的是( ).
A. 若則 B. 若則
C. 若，則 D. 若則
24. （2014河北對(duì)口高考）已知集合且求實(shí)數(shù)的取值范圍.
25. 不等式的解集是 （ ）
A.{x | x>1} B.{x | x<1} C.{x | x>-1} D.{x | x<-1}

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