資源簡介

2.1.1　傾斜角與斜率
[課標(biāo)解讀]　1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
教材要點
要點一　直線的傾斜角
當(dāng)直線l與x軸相交時，取______作為基準(zhǔn)，x軸______與直線l______方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
直線的傾斜角α的取值范圍是________，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為 0°.
狀元隨筆　任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．
要點二　直線的斜率
1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α(α≠90°)的________值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝________．
2．斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝________．
狀元隨筆　在應(yīng)用斜率公式求斜率時，首先應(yīng)注意這兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則過這兩點的直線與x軸垂直，即直線的傾斜角為，斜率不存在；若不相等，則直接代入斜率公式計算即可．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若α是直線l的傾斜角，則0°≤α＜180°.(　　)
(2)若k是直線的斜率，則k∈R.(　　)
(3)任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率．(　　)
(4)任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．(　　)
2．直線y＝x－的傾斜角為(　　)
A．120° B．135°
C．45° D．60°
3．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為(　　)
A. B．
C．1 D．
4．已知一條直線過點(3，－2)與點(－1，－2)，則這條直線的傾斜角是(　　)
A．0° B．45°
C．60° D．90°
5．已知直線l的向上方向與x軸正向所成的角為60°，則直線的斜率為________．
題型 1　直線的傾斜角
例1　 (1)(多選)下列命題正確的是(　　)
A．直線x＝1的傾斜角不存在
B．直線x＝的傾斜角為
C．若直線的傾斜角為α，則sin α≥0
D．若直線l經(jīng)過原點和點(－1，1)，則直線l的傾斜角為135°
(2)設(shè)直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°，得直線l1，則直線l1的傾斜角為(　　)
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．當(dāng)0°≤α＜140°時為α＋40°，當(dāng)140°≤α＜180°時為α－140°
方法歸納
求直線傾斜角的方法
(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論．
(2)注意傾斜角的范圍．
鞏固訓(xùn)練1　
(1)如圖，直線l的傾斜角為(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
(2)一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°＜α＜90°)，則其傾斜角為(　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
題型 2　直線的斜率
例2　(1)已知直線l經(jīng)過兩點P(1，2)，Q(4，3)，那么直線l的斜率為(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(－2，－1)，若過點P(－1，－1)的直線l與線段AB有公共點，則直線l斜率的取值范圍是________．
方法歸納
求直線斜率的3種方法
　
鞏固訓(xùn)練2　(1)已知直線l的傾斜角為α，且sin α＝，則直線l的斜率為(　　)
A． B．
C．± D．±
(2)已知直線l經(jīng)過點A(1，2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．(－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[0，2]
題型 3　斜率與傾斜角的變化關(guān)系
例3　(1)若右圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
①當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？
②當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？
③直線MN的傾斜角可能為直角嗎？
方法歸納
斜率與傾斜角的變化關(guān)系
當(dāng)傾斜角為銳角時，傾斜角越大，斜率為正且越大；當(dāng)傾斜角為鈍角時，傾斜角越大，斜率為負(fù)且越大．
鞏固訓(xùn)練3　已知兩點A(－1，2)，B(m，3)，求：
(1)直線AB的斜率k；
(2)已知實數(shù)m∈，求直線AB的傾斜角α的范圍．
易錯辨析　忽略直線的斜率不存在致誤
例4　已知直線l經(jīng)過兩點A(2，－1)，B(t，4)，則直線l的斜率為________．
解析：當(dāng)t＝2時，直線l與x軸垂直，所以直線l的斜率不存在；
當(dāng)t≠2時，直線l的斜率k＝＝.
綜上所述，當(dāng)t＝2時，直線l的斜率不存在；當(dāng)t≠2時，直線l的斜率k＝.
答案：不存在或
易錯警示
出錯原因 糾錯心得
漏掉了t＝2的情況． 在利用斜率公式求直線的斜率時，一定要注意兩點橫坐標(biāo)相等的情況．
2.1.1　傾斜角與斜率
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點一
x軸　正向　向上　0°≤α＜180°　
要點二
正切　tan α　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由y＝x－可得直線的斜率為k＝1，設(shè)直線的傾斜角為θ，則tan θ＝1，因為0°≤θ＜180°，所以θ＝45°.
答案：C
3．解析：由題意可知，k＝tan 30°＝.
答案：A
4．解析：∵k＝＝0，∴θ＝0°.
答案：A
5．解析：因為直線l的向上方向與x軸正向所成的角為60°，
所以直線l的傾斜角為60°，
所以直線的傾斜角為k＝tan 60°＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)對于A，直線x＝1與x軸垂直，其傾斜角為90°，故選項錯誤；
對于B，因為直線x＝垂直于x軸，故傾斜角為90°，故選項錯誤；
對于C，因為0°≤α＜180°，所以sin α≥0，故選項正確；
對于D，畫圖可知，直線l的傾斜角為135°，故選項正確．
(2)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：
因為0°≤α＜180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．
通過畫圖(如圖所示)可知：
當(dāng)0°≤α＜140°時，l1的傾斜角為α＋40°；
當(dāng)140°≤α＜180°時，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.
答案：(1)CD　(2)D
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°.
(2)如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α.
答案：(1)D　(2)D
例2　解析：(1)依題意，直線l的斜率為＝.
(2)如圖
可得kPA＝＝1，
kPB＝＝－，
所以直線l斜率的取值范圍是
(－∞，－
答案：(1)C　(2)(－∞，－
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)∵sin α＝且0°≤α＜180°，
∴cos α＝±＝±，
∴k＝tan α＝＝±.
(2)由作圖可知當(dāng)直線位于右圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時，滿足題意，所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
(2)①若傾斜角為銳角，則斜率大于0，
即k＝＝＞0，解得m＞－2.
②若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，
即k＝＝＜0，解得m＜－2.
③當(dāng)直線MN垂直于x軸時直線的傾斜角為直角，此時m＋3＝m－2，此方程無解，故直線MN的傾斜角不可能為直角．
答案：(1)D　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)當(dāng)m＝－1時，直線AB的斜率不存在，
當(dāng)m≠－1時，直線AB的斜率k＝＝，
(2)當(dāng)m＝－1時，α＝，
當(dāng)m≠－1時，k＝，
因為m∈，且m≠－1，
所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，
所以≤－或，即tan α≤－或tan α≥，
所以α∈，
綜上，直線AB的傾斜角α∈.2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
[課標(biāo)解讀]　1.理解兩條直線平行與垂直的條件.2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.3.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．
教材要點
要點一　兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系
設(shè)兩條不重合的直線l1，l2，傾斜角分別為α1，α2，斜率存在時斜率分別為k1，k2.則對應(yīng)關(guān)系如下：
類型 斜率存在 斜率不存在
條件 α1＝α2≠________ α1＝α2＝________
對應(yīng)關(guān)系 l1∥l2 ________ l1∥l2 兩直線斜率都不存在
圖示
狀元隨筆　若沒有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2 用斜率證明三點共線時，常用到這一結(jié)論．
要點二　兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系
對應(yīng) 關(guān)系 l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1⊥l2 ________ l1與l2中的一條斜率________，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2.
圖示
狀元隨筆　“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件．因為兩條直線垂直時，除了斜率之積等于－1，還有可能一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若直線l1與l2傾斜角相等，則l1∥l2.(　　)
(2)若直線l1⊥l2，則k1k2＝－1.(　　)
(3)若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸．(　　)
(4)若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行．(　　)
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于(　　)
A．－3 B．3
C．－ D．
3．如果直線l1的斜率為2，l1⊥l2，則直線l2的斜率為(　　)
A．－ B．2
C．D．－2
4．過點A(2，5)和點B(－4，5)的直線與直線y＝3的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不對
5．l1過點A(m，1)，B(－3，4)，l2過點C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，則m＝________．
題型 1　兩條直線平行的判定
例1　(1)(多選)下列直線l1與直線l2平行的有(　　)
A．l1經(jīng)過點A(2，1)，B(－3，5)，l2經(jīng)過點C(3，－3)，D(8，－7)
B.l1的斜率為2，l2經(jīng)過點A(1，1)，B(2，2)
C．l1的傾斜角為30°，l2經(jīng)過點M(1，)，N(－2，－2)
D．l1經(jīng)過點E(－3，2)，F(xiàn)(－3，10)，l2經(jīng)過點P(5，－2)，Q(5，5)
(2)試確定m的值，使過點A(m＋1，0)，B(－5，m)的直線與過點C(－4，3)，D(0，5)的直線平行．
方法歸納
判斷兩直線是否平行的方法
鞏固訓(xùn)練1　(1)(多選)下列各組直線平行的有(　　)
A．y＝－3x＋2與x＋3y－1＝0
B．y＝x＋2與x－y－2＝0
C．4x－2y＋3＝0與x＋2y－1＝0
D．＝1與3x＋2y－2＝0
(2)已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，則直線EF的斜率為________．
題型 2　兩條直線垂直的判定
例2　(1)(多選)下列各對直線互相垂直的是(　　)
A．l1的傾斜角為120°，l2過點P(1，0)，Q(4，)
B.l1的斜率為－，l2過點P(1，1)，Q(0，－)
C．l1的傾斜角為30°，l2過點P(3，)，Q(4，2)
D.l1過點M(1，0)，N(4，－5)，l2過點P(－6，0)，Q(－1，3)
(2)已知△ABC的頂點為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，則m的值為________．
方法歸納
利用斜率公式判定直線垂直的步驟
鞏固訓(xùn)練2　(1)若直線l1的斜率為a，l1⊥l2，則直線l2的斜率為(　　)
A．　　　　　B．a(chǎn)
C．－D．－或不存在
(2)若經(jīng)過點(m，3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．
題型 3　直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
例3　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)分別為O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0且t≠.試判斷四邊形OPQR的形狀．
方法歸納
利用直線平行或垂直來判定圖形形狀的步驟
鞏固訓(xùn)練3　已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求點D的坐標(biāo)；
(2)試判定 ABCD是否為菱形？
易錯辨析　忽視直線斜率不存在的情況致錯
例4　已知直線l1經(jīng)過點A(3，a)，B(a－2，3)，直線l2經(jīng)過點C(2，3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，則a的值為________．
解析：當(dāng)直線l1的斜率存在時，
則由l1⊥l2知k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0，
當(dāng)直線l1的斜率不存在時，
則a－2＝3，得a＝5，
此時k2＝0，故l1⊥l2.
綜上a的值為0或5.
答案：0或5
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
本題容易由k1·k2＝－1得a＝0而出錯，誤認(rèn)為直線l1的斜率存在． 已知點的坐標(biāo)中有參數(shù)的，首先判斷直線的斜率是否存在，本題中直線l1的斜率就要分存在與不存在兩種情況解答．
2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點一
90°　90°　k1＝k2
要點二
k1·k2＝－1　不存在
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.
答案：B
3．解析：由于直線l1的斜率為2且l1⊥l2，所以直線l2的斜率為－.
答案：A
4．解析：由題意，點A(2，5)和點B(－4，5)，可得kAB＝＝0，所以AB的方程為y＝5，
又由直線y＝3的斜率為0，且兩直線不重合，
所以兩直線平行．
答案：B
5．解析：＝＝－1，l1∥l2，
＝＝－1，∴m＝0.
答案：0
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)A中，kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴kAB＝kCD，∴l(xiāng)1∥l2.
B中，k2＝＝1≠k1＝2，
∴l(xiāng)1不平行l(wèi)2.
C中，k1＝tan 30°＝，k2＝＝.
∴k1≠k2，∴l(xiāng)1不平行l(wèi)2.
D中，l1的斜率不存在，
l2的斜率也不存在，∴l(xiāng)1∥l2.
(2)由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．
kAB＝＝，kCD＝＝，
由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.
經(jīng)驗證m＝－2時直線AB的斜率存在，所以m＝－2.
答案：(1)AD　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)分別求出各組直線的斜率可得B、D選項正確．
(2)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴EF∥AB，
∴kEF＝kAB＝＝－2.故直線EF的斜率為－2.
答案：(1)BD　(2)－2
例2　解析：(1)設(shè)直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2.
對于A，因為k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故兩直線垂直．
對于B，因為k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故兩條直線垂直．
對于C，因為k1＝，k2＝，所以l1與l2不垂直．
對于D，因為k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故兩條直線垂直．
(2)若∠A為直角，則AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B為直角，則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝3；
若∠C為直角，則AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2.
綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
答案：(1)ABD　(2)－7或3或±2
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)若a≠0，則l2的斜率為－；若a＝0，則l2的斜率不存在．
(2)由題意可知kl＝，又因為kl＝，
所以＝，解得m＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－，
kOQ＝，kPR＝.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四邊形OPQR為平行四邊形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠－1，∴OQ與PR不垂直，
∴四邊形OPQR為矩形．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)設(shè)點D坐標(biāo)為(a，b)，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1，6)．
(2)因為kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以 ABCD為菱形．2.2.1　直線的點斜式方程
[課標(biāo)解讀]　1.了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點斜式的過程.2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程．3.會利用直線的點斜式與斜截式方程解決有關(guān)的實際問題．
教材要點
要點一　直線的點斜式方程和斜截式方程
點斜式 斜截式
已知條件 點P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直線在y軸上的截距b
圖示
方程形式 y－y0＝________ y＝kx＋b
適用條件 斜率存在 斜率存在
狀元隨筆　
(1)斜率不存在的直線不能用點斜式表示，過點P0且斜率不存在的直線為x＝x0.
(2)直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx ＋b，當(dāng)k≠0時就是一次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式．
要點二　直線l的截距
1．直線在y軸上的截距：直線與y軸的交點(0，b)的________．
2．直線在x軸上的截距：直線與x軸的交點(a，0)的________．
狀元隨筆　
截距是坐標(biāo)，它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，還可能為0，不能將其理解為“距離”就恒為正．
要點三　直線平行、垂直的判斷
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2 ________________；
(2)l1⊥l2 ________________．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平面直角坐標(biāo)系下，任何直線都有點斜式．(　　)
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為0°時，過點P0(x0，y0)的直線l的方程為y＝y(tǒng)0.(　　)
(3)對點斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可寫成k＝.( 　　)
(4)直線在y軸上的截距就是直線與y軸交點到原點的距離．(　　)
2．過點P(－2，0)，斜率為3的直線的方程是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
4．經(jīng)過點(1，2)，且傾斜角為90°的直線方程是(　　)
A．y＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．x＝2
5．將直線l1：y＝x＋繞其與x軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線l2，則l2在y軸上的截距為________.
題型 1　直線的點斜式方程
例1　根據(jù)條件寫出下列直線的點斜式方程：
(1)經(jīng)過點A(2，5)，斜率是4；
(2)經(jīng)過點B(2，3)，傾斜角是45°；
(3)經(jīng)過點C(－1，－1)，與x軸平行．
方法歸納
求直線的點斜式方程的步驟
特別提醒：斜率不存在時，過點P(x0，y0)的直線與x軸垂直，直線上所有點的橫坐標(biāo)相等，都為x0，故直線方程為x＝x0.
鞏固訓(xùn)練1　(1)經(jīng)過點(1，2)，且傾斜角為45°的直線方程是(　 　)
A．y＝x－3 B．y＝x＋1
C．y＝－x－3 D．y＝－x＋3
(2)已知直線l過點P(，－1)，并且傾斜角是直線y＝x的傾斜角的2倍，則直線l的方程是________．
題型 2　直線的斜截式方程
例2　求下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為－4，在y軸上的截距為7；
(2)在y軸上的截距為2，且與x軸平行；
(3)傾斜角為150°，與y軸的交點到原點的距離為3.
方法歸納
求直線的斜截式方程的策略
鞏固訓(xùn)練2　(1)已知直線的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則此直線的方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
(2)斜率為2，在y軸上截距為m的直線方程，當(dāng)m＝________時，直線過點(1，1)．
題型 3　點斜式方程和斜截式方程的應(yīng)用
例3　(1)求證：不論a為何值，直線y＝ax－3a＋2(a∈R)恒過定點；
(2)當(dāng)a為何值時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？
方法歸納
(1)直線過定點問題可以結(jié)合直線方程的點斜式的意義結(jié)合圖形探求和證明．
(2)在斜截式形式下判斷兩條直線平行和垂直，要能從斜截式中找出斜率和截距，突出考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
鞏固訓(xùn)練3　(1)過點(－1，3)且平行于直線y＝(x＋3)的直線方程為(　　)
A．y＋3＝(x＋1) B．y＋3＝(x－1)
C．y－3＝(x＋1) D．y－3＝(x－1)
(2)求證：不論m為何值，直線l：y＝(m－1)x＋2m＋1總過第二象限．
易錯辨析　忽視傾斜角的范圍出錯
例4　一條直線l過點(2，1)且與x軸的夾角為45°，則這條直線方程為____________________．
解析：∵直線l與x軸的夾角為45°，
∴直線l的傾斜角α＝45°或135°.
∴直線l的斜率k＝1或－1.
∴直線l的方程為：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x－1或y＝－x＋3.
答案：y＝x－1或y＝－x＋3
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤認(rèn)為夾角就是直線l的傾斜角，導(dǎo)致漏掉了傾斜角為135°的情形． 在處理直線問題時，一定要注意傾斜角的取值范圍，否則很容易會出現(xiàn)只考慮銳角而丟掉鈍角的情況，而漏解．
2.2.1　直線的點斜式方程
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點一
k(x－x0)
要點二
縱坐標(biāo)b　橫坐標(biāo)a
要點三
k1＝k2且b1≠b2　k1·k2＝－1
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由直線的點斜式方程可知，該直線方程為y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．
答案：D
3．解析：由題意知，直線的斜率k＝－1，又在y軸上截距為－1，故直線方程為y＝－x－1.
答案：D
4．解析：∵直線傾斜角為90°，∴直線斜率不存在，又直線過點(1，2)，∴所以直線方程為x＝1.
答案：C
5．解析：易知l1的傾斜角為60°，所以l2的傾斜角為90°＋60°＝150°，又由題意知l2過點(－1，0)，所以l2的方程為y－0＝tan 150°·(x＋1)，即y＝－x－，從而可知l2在y軸上的截距為－.
答案：－
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)∵經(jīng)過點A(2，5)，斜率是4，
∴所求直線方程為y－5＝4(x－2)．
(2)∵直線的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直線方程為y－3＝x－2.
(3)∵經(jīng)過點C(－1，－1)，與x軸平行，
∴斜率為0，∴方程為y＋1＝0.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)k＝tan 45°＝1，直線方程為y＝x－1＋2＝x＋1.
(2)∵直線y＝x的斜率為，
∴直線y＝x的傾斜角為60°，
∵直線l的傾斜角是直線y＝x的傾斜角的2倍，
∴直線l的傾斜角為120°，即直線l的斜率為tan 120°＝－，
∵直線l過點P(，－1)，
∴直線l的方程為y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2.
答案：(1)B　(2)y＝－x＋2
例2　解析：(1)直線的斜率k＝－4，在y軸上的截距b＝7，由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y＝－4x＋7.
(2)直線的斜率k＝0，在y軸上的截距b＝2，由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y＝2.
(3)直線的傾斜角為150°，所以斜率為－.因為直線與y軸的交點到原點的距離為3，所以在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直線方程為y＝－x＋3或y＝－x－3.
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)直線的斜率為tan 60°＝，由題意可知，所求直線的方程為y＝x－2.
(2)由直線方程的斜截式，得直線方程為y＝2x＋m.
∵直線過點(1，1)，將x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1即為所求．
答案：(1)D　(2)－1
例3　解析：(1)證明：將直線方程變形為y－2＝a(x－3)，
由直線方程的點斜式可知，直線過定點(3，2)．
(2)由題意可知＝＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故當(dāng)a＝時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由直線y＝(x＋3)，得所求直線的斜率為，其方程為y－3＝(x＋1)．
(2)證明：方法一　直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直線l過定點(－2，3)，由于點(－2，3)在第二象限，故直線l總過第二象限．
方法二　直線l的方程可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令，解得
∴無論m取何值，直線l總經(jīng)過點(－2，3)．
∵點(－2，3)在第二象限，∴直線l總過第二象限．
答案：(1)C　(2)見解析2.2.2　直線的兩點式方程
[課標(biāo)解讀]　1.掌握直線方程兩點式的形式、特點及適用范圍.2.了解直線方程截距式的形式、特點及適用范圍.3.會用中點坐標(biāo)公式求線段的中點坐標(biāo)．
教材要點
要點一　直線的兩點式方程
名稱 已知條件 示意圖 方程 使用范圍
兩點式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2， y1≠y2 ＝ 斜率存在 且不為0
狀元隨筆　兩點式方程不必記憶，可先用過兩點的直線的斜率公式算出斜率，再用點斜式寫出方程．
要點二　直線的截距式方程
名稱 已知條件 示意圖 方程 使用范圍
截距式 在x，y軸上的截距分別為a，b且a≠0，b≠0 ________ 斜率存在且不為0，不過原點
狀元隨筆　不能表示過原點的直線、與x軸垂直的直線、與y軸垂直的直線．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)給定兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用兩點式寫出直線方程．(　　)
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的適用范圍相同．(　　)
(3)截距相等的直線都可以用方程＝1表示.(　　)
(4)不經(jīng)過原點的直線都可以用＝1表示．(　　)
2．一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程(　　)
A.可以寫成兩點式或截距式
B．可以寫成兩點式或斜截式或點斜式
C．可以寫成點斜式或截距式
D．可以寫成兩點式或截距式或斜截式或點斜式
3．過(1，2)，(5，3)的直線方程是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4．如圖，直線l的截距式方程是＝1，則(　　)
A．a(chǎn)＞0，b＞0
B．a(chǎn)＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0
D．a(chǎn)＜0，b＜0
5．過兩點(－1，1)和(3，9)的直線在x軸上的截距為________．
題型 1　直線的兩點式方程
例1　如圖，已知A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)．
(1)求線段AB中點D的坐標(biāo)；
(2)求△ABC的邊AB上的中線所在的直線方程．
方法歸納
求直線的兩點式方程的策略
當(dāng)已知兩點坐標(biāo)，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷兩點的連線是否垂直于坐標(biāo)軸，再考慮是否用兩點式求方程．
鞏固訓(xùn)練1　(1)經(jīng)過點P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線方程是(　　)
A．x－y－5＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－5＝0 D．x＋y－1＝0
(2)已知點P(x，2)在過M(－2，1)和N(3，－4)兩點的直線上，則x的值是________．
題型 2　直線的截距式方程
例2　求過點(4，－3)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線l的方程．
方法歸納
用直線的截距式求直線方程時的兩個策略
鞏固訓(xùn)練2　求過點A(5，2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線l的方程．
題型 3　直線方程的靈活應(yīng)用
例3　已知△ABC的三個頂點分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)．求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊的中線AD所在直線的方程．
方法歸納
求直線方程時方程形式的選擇技巧
鞏固訓(xùn)練3　已知直線l經(jīng)過點(1，6)和點(8，－8)．
(1)求直線l的兩點式方程，并化為截距式方程；
(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積．
易錯辨析　忽視截距為零引發(fā)的錯誤
例4　求過點M(3，2)，且在x、y軸上的截距相等的直線方程．
解析：當(dāng)在x、y軸上的截距均為零時，
所求直線的方程為：y＝x.
當(dāng)在x、y軸上的截距均不為零時，可設(shè)直線的方程為＝1，
把點M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直線方程為x＋y＝5.
綜上知所求直線的方程為y＝x或x＋y＝5.
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視了截距為零的情況，直接由＝1得直線方程產(chǎn)生了漏解． “截距相等”包含兩層意思，一是截距不為零時相等，二是截距為零時相等，而后者常被忽視，造成漏解，因此對于此類題目，也要分類討論．
2.2.2　直線的兩點式方程
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點二
＝1
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由于直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，所以直線的斜率存在，且直線上任意兩點的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)都不相同，所以直線能寫成兩點式或斜截式或點斜式．由于直線在坐標(biāo)軸上的截距有可能為0，所以直線不一定能寫成截距式．
答案：B
3．解析：因為所求直線過點(1，2)，(5，3)，
所以＝，即＝.
答案：B
4．解析：M(a，0)，N(0，b)，由題圖知M在x軸正半軸上，N在y軸負(fù)半軸上，所以a＞0，b＜0.故選B.
答案：B
5．解析：直線方程為＝，化為截距式為＝1，則在x軸上的截距為－.
答案：－
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)因為A(1，2)，B(－1，4)，所以線段AB中點D的坐標(biāo)為()，即D(0，3)．
(2)△ABC的邊AB上的中線即線段CD，因為C(5，2)，D(0，3).所以線段CD所在的直線方程為＝，化簡可得x＋5y－15＝0.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由已知得直線的兩點式方程為＝，即x＋y－1＝0.
(2)過M，N兩點的直線的方程為＝，
又P(x，2)在此直線上，所以當(dāng)y＝2時，x＝－3.
答案：(1)D　(2)－3
例2　解析：方法一　設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b.
①當(dāng)a≠0，b≠0時，設(shè)l的方程為＝1.
∵點(4，－3)在直線上，
∴＝1，
若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y＝1.
若a＝－b，則a＝7，b＝－7，此時直線的方程為x－y＝7.
②當(dāng)a＝b＝0時，直線過原點，且過點(4，－3)，
∴直線的方程為3x＋4y＝0.
綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二　設(shè)直線l的方程為y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，
∴|－4k－3|＝||，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直線方程為x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意知，當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為零時，
直線l的方程為y＝x；
當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為零時，
設(shè)l的方程為＝1，
將點(5，2)代入方程得＝1，解得a＝，
所以直線l的方程為x＋2y－9＝0.
綜上知，所求直線l的方程為y＝x，或x＋2y－9＝0.
例3　解析：(1)∵B(2，1)，C(－2，3)，
∴由兩點式得BC所在直線的方程為＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)易得BC邊的中點D的坐標(biāo)為(0，2)．
∵BC邊的中線AD過點A(－3，0)，D(0，2)，
∴由截距式得AD所在直線的方程為＝1，
即2x－3y＋6＝0.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由已知得直線l的兩點式方程為＝，所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＝1.
(2)由(1)知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為4和8，所以圍成的面積為×4×8＝16.2.2.3　直線的一般式方程
[課標(biāo)解讀]　1.掌握直線的一般式方程.2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線.3.會進行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．
教材要點
要點一　直線方程的一般式
1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全為0)都表示一條直線，把它叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2．適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．
3．系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)；
當(dāng)B＝0，A≠0時，則－＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．
狀元隨筆　①x的系數(shù)為正；②x，y的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；③按含x項，含y項、常數(shù)項順序排列．
要點二　直線各種形式方程的互化
狀元隨筆　解題時，若無特殊說明，應(yīng)把求得的直線方程化為一般式．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)任何直線方程都能表示為一般式．(　　)
(2)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．(　　)
(3)對于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，當(dāng)A＝0，B≠0時，方程表示斜率不存在的直線．(　　)
(4)當(dāng)A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線．(　　)
2．直線3x＋4y＋12＝0的斜率為(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．直線x－y－1＝0的傾斜角α為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
5．斜率為2，且經(jīng)過點A(1，3)的直線的一般式方程為________．
題型 1　直線方程的一般式
例1　根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，經(jīng)過點A(8，－2)；
(2)經(jīng)過點B(4，2)，平行于x軸；
(3)在x軸和y軸上的截距分別是、－3；
(4)經(jīng)過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．
方法歸納
求直線的一般式方程的策略
鞏固訓(xùn)練1　(1)過點P(－2，3)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0
C．x－y－5＝0
D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0
(2)過點A(－2，1)，且傾斜角的余弦值為－的直線的一般式方程為________．
題型 2　一般式下直線的平行與垂直的問題
例2　(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求實數(shù)m的值；
(2)已知直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求實數(shù)a的值．
方法歸納
一般式在直線平行、垂直中的應(yīng)用
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)平行：①A2，B2，C2均不為0，l1∥l2 ＝≠；
②A2，B2中有一個為0，則根據(jù)A1，B1是否為0判斷位置關(guān)系；
③若C2為0，則根據(jù)①只需判斷A1，B1與A2，B2的關(guān)系．
(2)垂直：l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
鞏固訓(xùn)練2　(1)已知直線l1：(m＋2)x－(m－2)y＋2＝0，直線l2：3x＋(m＋2)y－5＝0，若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．2或－5 B．－2或－5
C．2或5 D．－2或5
(2)若過點O(0，0)和M(1，3)的直線與直線ax－y－2＝0平行，則a＝________．
題型 3　含參數(shù)的一般式方程
例3　已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；
(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．
方法歸納
已知含參數(shù)的直線的一般式方程
求參數(shù)的值或取值范圍的步驟
鞏固訓(xùn)練3　若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．
(1)求實數(shù)m的范圍；
(2)若該直線的斜率k＝1，求實數(shù)m的值．
易錯辨析　忽視特殊情形，轉(zhuǎn)化不等價致錯
例4　已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)l1∥l2時，求m的值．
解析：由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.
當(dāng)m＝－1時，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
兩直線顯然不重合，即l1∥l2.
當(dāng)m＝3時，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.兩直線重合．故m的值為－1.
易錯警示
出錯原因 糾錯心得
易忽略檢驗截距是否相等 已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則A1B2－A2B1＝0 l1∥l2或l1與l2重合． 所以，由A1B2－A2B1＝0求出參數(shù)值后，需檢驗兩直線是否重合．
2.2.3　直線的一般式方程
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：直線方程的斜截式為：y＝－x－3，斜率為－.
答案：D
3．解析：根據(jù)題意，易知直線x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
答案：B
4．解析：根據(jù)直線方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B不能同時為零，即A2＋B2≠0.
答案：D
5．解析：由直線點斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化為一般式為：2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
題型探究·課堂解透
例1　解析：選擇合適的直線方程形式．
(1)由點斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由兩點式得＝，即x＋y－1＝0.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)若直線在坐標(biāo)軸上的截距為0，設(shè)直線方程為y＝kx(k≠0)，
因為直線過點P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－，
所以直線方程為y＝－x，即3x＋2y＝0；
若直線在坐標(biāo)軸上的截距不為0，設(shè)直線方程為＝1(a≠0)，
因為直線過點P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5，
所以直線方程為＝1，即x－y＋5＝0.
故所求直線方程為x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.
(2)設(shè)直線的傾斜角為θ，則θ∈[0，π)，
因為cos θ＝－，所以sin θ＝＝＝，
所以直線的斜率k＝tan θ＝＝＝－2，
所以直線的方程為：y－1＝－2(x＋2)，
所以直線的一般式方程為：2x＋y＋3＝0.
答案：(1)D　(2)2x＋y＋3＝0
例2　解析：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2.
當(dāng)m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.
同理，當(dāng)m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，故m的值為2或－3.
(2)由直線l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
故當(dāng)a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)根據(jù)題意，由l1⊥l2，則有：3(m＋2)－(m－2)(m＋2)＝0，解得：m＝－2或m＝5.
(2)因為過點O(0，0)和M(1，3)的直線與直線ax－y－2＝0平行，
所以k＝＝a，
解得a＝3.
答案：(1)D　(2)3
例3　解析：(1)方法一　將直線l的方程整理為
y－＝a(x－)，
∴直線l的斜率為a，且過定點A()，
而點A()在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限．
方法二　直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式對任意的a總成立，
必有即
即l過定點A()．以下同方法一．
(2)直線OA的斜率為k＝＝3.
如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a的取值范圍為[3，＋∞)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由解得m＝2，若方程表示直線，則m2－3m＋2與m－2不能同時為0，故m≠2.
(2)由－＝1，解得m＝0.2.3.1　兩條直線的交點坐標(biāo)
2.3.2　兩點間的距離公式
[課標(biāo)解讀]　1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).2.會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.3.會求兩點間的距離公式．
教材要點
要點一　兩直線的交點
已知兩直線l1: A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
幾何元素及關(guān)系 代數(shù)表示
點A A(a，b)
直線l l: Ax＋By＋C＝0
點A在直線l上 Aa＋Bb＋C＝0
直線l1與l2的交點是A
狀元隨筆　
如果這兩條直線相交，交點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公共解；反之，如果將這兩條直線的方程聯(lián)立，若方程組有唯一解，那么這個解為坐標(biāo)的點必是直線l1和直線l2的交點．
要點二　兩直線的位置關(guān)系
方程組的解 一組 無數(shù)組 無解
直線l1與l2的公共點的個數(shù) 一個 ________ 零個
直線l1與l2的位置關(guān)系 相交 重合 ____
狀元隨筆　
(1)判斷l(xiāng)1與l2相交還可以用A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)來判斷．
(2)若兩直線斜率都存在，設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，則l1與l2相交 k1≠k2.
要點三　兩點間的距離公式
設(shè)點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2兩點間的距離公式：
|P1P2|＝________________．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若兩直線相交，則交點坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解．(　　)
(2)點P1(0，a)，點P2(b，0)之間的距離為a－b.(　　)
(3)無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交．(　　)
(4)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．(　　)
2．兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點坐標(biāo)為(　　)
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．已知點A(3，7)，B(2，5)，則A，B兩點間的距離為(　　)
A．5 B．
C．3 D．
4．直線2x＋y＋1＝0與直線x－y＋2＝0的交點在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，則BC邊上的中線長為________．
題型 1　兩條直線的交點問題
例1　分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
方法歸納
解一元二次方程組的2種常用方法
鞏固訓(xùn)練1　(1)若直線x＋by＋9＝0經(jīng)過直線5x－6y－17＝0與直線4x＋3y＋2＝0的交點，則b等于(　　)
A．2　　　B．3 C．4　　　D．5
(2)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(2，4)的直線方程為 ________．
題型 2　過兩直線交點的直線系方程
例2　(1)求過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．
(2)無論實數(shù)a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直線恒過定點，試求該定點．
方法歸納
求過兩條直線交點的直線方程的2種方法
鞏固訓(xùn)練2　(1)直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
(2)若不論m取何實數(shù)，直線l：mx＋y－1＋2m＝0恒過一定點，則該定點的坐標(biāo)是________．
題型 3　兩點間距離公式的應(yīng)用
例3　(1)求直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于的點的坐標(biāo)．
(2)在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法歸納
利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟
鞏固訓(xùn)練3　(1)已知點A(－3，4)，B(2，)，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
(2)已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.
求證：|AC|＝|BD|.
易錯辨析　因考慮問題不全面而致誤
例4　若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三個不同的交點，則a的取值范圍為(　　)
A．a(chǎn)≠±1 B．a(chǎn)≠1且a≠－2
C．a(chǎn)≠－2 D．a(chǎn)≠±1且a≠－2
解析：(1)若三條直線交于一點，由
解得將l2，l3的交點(－a－1，1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.①
(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，②
當(dāng)a＝1時，l1與l2重合．
(3)若l2∥l3，則由1×1－a×1＝0，解得a＝1，
當(dāng)a＝1時，l2與l3重合．
(4)若l1∥l3，則a×1－1×1＝0得a＝1，
當(dāng)a＝1時，l1與l3重合．
綜上，當(dāng)a＝1時，三條直線重合；當(dāng)a＝－1時，l1∥l2；當(dāng)a＝－2時，三條直線交于一點．
所以要使三條直線共有三個交點，需a≠±1且a≠－2.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
易忽視了任意兩條平行或重合及三條直線相交于一點的情況 因為三條直線有三個不同的交點，需三條直線兩兩相交且不共點，由條件不易直接求參數(shù)，可考慮從反面著手求解．
2.3.1　兩條直線的交點坐標(biāo)
2.3.2　兩點間的距離公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點二
無數(shù)個　平行
要點三
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：解方程組得故兩條直線的交點坐標(biāo)為(2，3)．
答案：B
3．解析：由兩點間的距離公式得|AB|＝＝.
答案：B
4．解析：聯(lián)立解得
∴交點(－1，1)在第二象限．
答案：B
5．解析：BC的中點坐標(biāo)為(0，1)，
則BC邊上的中線長為＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)方程組的解為
因此直線l1和l2相交，交點坐標(biāo)為(3，－1)．
(2)方程組有無數(shù)個解，
這表明直線l1和l2重合．
(3)方程組無解，
這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1∥l2.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由題意知
解得代入x＋by＋9＝0，
即1－2b＋9＝0，解得b＝5.
(2)聯(lián)立直線l1與l2，，解得：，直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點為(1，1)，又直線的一個方向向量v＝(2，4)，所以直線的斜率為2，故該直線方程為：y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0
答案：(1)D　(2)2x－y－1＝0
例2　解析：(1)方法一　解方程組
得所以兩直線的交點坐標(biāo)為(－，－)．
又所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以所求直線的斜率為－3.
故所求直線方程為y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二　設(shè)所求直線方程為
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
(2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.
所以，已知直線恒過直線－x－y－1＝0與直線x＋2＝0的交點．
解方程組得
所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直線恒過定點(－2，1)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因為l過原點，所以λ＝8.則所求直線方程為2x－y＝0.
(2)直線l：mx＋y－1＋2m＝0可化為m(x＋2)＋(y－1)＝0，
由題意，可得
所以x＝－2，y＝1，
所以直線l：mx＋y－1＋2m＝0恒過一定點(－2，1)．
答案：(1)B　(2)(－2，1)
例3　解析：(1)設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且 ＝，
兩式聯(lián)立解得或
所求點的坐標(biāo)為(－3，4)，(－1，2)．
(2)證明：設(shè)BC邊所在直線為x軸，以D為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)A(b，c)，C(a，0)，則B(－a，0)．
因為|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，0)，則有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求點P的坐標(biāo)為(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)證明：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
則點D的坐標(biāo)是(a－b，c)．
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.2.3.3　點到直線的距離公式　
2.3.4　兩條平行直線間的距離
[課標(biāo)解讀]　1.掌握點到直線距離的公式，會用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會求兩條平行直線間的距離．
教材要點
要點一　點到直線的距離
1．定義：點到直線的垂線段的長度．
2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________．
狀元隨筆　
給出的直線方程必須是一般式，不是一般式的，則應(yīng)先化為一般式再利用公式求距離．
要點二　兩條平行直線間的距離
1．定義：夾在兩條平行直線間的共垂線段的長．
2．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全為0，且C1≠C2)之間的距離d＝________．
狀元隨筆　
利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當(dāng)點P(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0上時，點到直線的距離公式不適用了．(　　)
(2)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　)
(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離．(　　)
(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離．(　　)
2．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為(　　)
A．1 　　B．
C．2 D．
3．直線y＝x與直線y＝x＋1間的距離等于(　　)
A． B．
C．1 D．
4．點(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于(　　)
A．7 B．5
C．3 D．2
5．已知點A(6，m)到直線x－y＋2＝0的距離為，則m＝________．
題型 1　點到直線的距離
例1　(1)已知點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋m＝0的距離為1，則m的值為(　　)
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
(2)若直線l經(jīng)過點P(1，2)，且點A(2，3)，B(0，－5)到它的距離相等，則l的方程為(　　)
A．4x－y－2＝0
B．4x＋y－6＝0
C．4x－y－2＝0或x＝1
D．4x＋y－6＝0或x＝1
方法歸納
點到直線的距離的求解策略
鞏固訓(xùn)練1　(1)點(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．2
(2)已知O為原點，點P在直線x＋y－1＝0上運動，那么|OP|的最小值為(　　)
A． B．1 C． D．2
題型 2　兩平行線間的距離
例2　(1)已知兩平行直線l1，l2分別過點P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是(　　)
A.(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________．
方法歸納
解決兩條平行直線間的距離問題的2種常用方法
鞏固訓(xùn)練2　(1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為(　　)
A.a＝6，d＝ B．a(chǎn)＝－6，d＝
C．a(chǎn)＝－6，d＝ D．a(chǎn)＝6，d＝
(2)若斜率為2的直線m被直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0所截得的線段為AB，則線段AB的長為________．
題型 3　距離公式的綜合應(yīng)用
例3　已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．
方法歸納
利用直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系)，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．
鞏固訓(xùn)練3　已知坐標(biāo)平面上三點A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，過點C作AB的平行線交x軸于點D.
(1)求點D的坐標(biāo)；
(2)求四邊形ABCD的面積．
易錯辨析　選用直線方程的形式不當(dāng)引發(fā)錯誤
例4　過點P(2，5)，且與點(－4，1)距離等于6的直線方程為________．
解析：當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由點到直線的距離公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直線方程為5x＋12y－70＝0.
當(dāng)斜率不存在時，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，符合題意．
綜上，所求直線方程為5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了直線的斜率不存在的情況而漏解致錯． 一般地，求直線方程，設(shè)為點斜式或斜截式是常見的兩種形式．因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式．
2.3.3　點到直線的距離公式　
2.3.4　兩條平行直線間的距離
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點一
(A，B不全為0)
要點二
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：利用點到直線的距離公式可得：原點到直線x＋2y－5＝0的距離d＝＝.
答案：D
3．解析：直線y＝x即為x－y＝0，直線y＝x＋1即為x－y＋1＝0，因為兩直線平行，所以距離d＝＝.
答案：B
4．解析：點(5，－3)到直線x＋2＝0即x＝－2的距離為d＝5－(－2)＝7.
答案：A
5．解析：由題意＝，解得m＝6或10.
答案：6或10
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋m＝0的距離為1，
∴＝1，
解得：m＝15或5.
(2)當(dāng)直線斜率不存在時，x＝1，顯然A(2，3), B(0，－5)到它的距離相等，符合題設(shè)；
當(dāng)直線斜率存在時，y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0，
根據(jù)題設(shè)，＝，即|k－1|＝|7－k|，可得k－1＝±(7－k)，解得k＝4，
∴l(xiāng)的方程為4x－y－2＝0.
綜上，l的方程為4x－y－2＝0或x＝1.
答案：(1)D　(2)C
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為
d＝＝.
(2)最小值即為O到直線x＋y－1＝0的距離，即
d＝＝.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：(1)當(dāng)直線l1，l2與直線PQ垂直時，它們之間的距離d達(dá)到最大，此時d＝＝5，∴0＜d≤5.
(2)設(shè)直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得＝，解得C＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.
答案：(1)C　(2)2x－y＋1＝0
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)∵兩直線平行，∴2＝，解得a＝6，
將2x－y＋3＝0化為6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
(2)直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0得斜率為－，
直線m的斜率為2，故直線m與直線l1，l2垂直，
由兩條平行直線的距離公式可得|AB|＝＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：設(shè)與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐標(biāo)為P(－1，0),
由點P到兩直線l，l1的距離相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另兩邊所在直線與l垂直，
∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為
3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四條邊的距離相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另兩條邊所在的直線方程分別為
3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)根據(jù)題意，A(5，1)，B(7，－3)，則kAB＝＝－2，又由AB∥CD知，kCD＝－2，則直線CD的方程為y＋8＝－2(x－2)，即2x＋y＋4＝0.
令y＝0，解得x＝－2，則D(－2，0)．
(2)因為|AB|＝2，|CD|＝4，AB∥CD，故四邊形ABCD為梯形，點A(5，1)到直線CD：2x＋y＋4＝0的距離為＝3，所以四邊形ABCD的面積S＝×(2＋4)×3＝45.

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