資源簡介

第1課時(shí)　數(shù)列的概念
【課標(biāo)解讀】
1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法．
2．掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性．
3．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任一項(xiàng)．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)一　數(shù)列的概念
1．?dāng)?shù)列的定義：
按照________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列 .
2．?dāng)?shù)列的項(xiàng) ：
數(shù)列中的________叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一個(gè)位置上的數(shù)叫做數(shù)列的________或叫做數(shù)列的________，排在第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，……，排在第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的________．
批注 　(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列順序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；
(2)定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．
批注 　數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號．
要點(diǎn)二　數(shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義
根據(jù)項(xiàng) 的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列
無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列
根據(jù)項(xiàng) 的大小 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)數(shù)列 各項(xiàng)都________的數(shù)列
擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)
要點(diǎn)三　數(shù)列與函數(shù)
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．另一方面，對于函數(shù)y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么________________構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{f(n)}．
批注 　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．
要點(diǎn)四　數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)式子表示，那么這個(gè)式子就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 .數(shù)列的通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式．
批注 　(1)并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式；
(2)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的．
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}．(　　)
(2)數(shù)列中的項(xiàng)互換次序后還是原來的數(shù)列．(　　)
(3)所有的數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類．(　　)
(4){an}與an的意義一樣，都表示數(shù)列．(　　)
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，按項(xiàng)的變化趨勢，該數(shù)列是(　　)
A.遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C.擺動(dòng)數(shù)列 D．常數(shù)列
3．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為(　　)
A.　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋，從第________項(xiàng)起各項(xiàng)均大于10.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　數(shù)列的概念及分類
例1　下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，－1，2，－3，4，－5，….
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【方法總結(jié)】
1.有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)．若數(shù)列是有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列．
2．?dāng)?shù)列{an}的單調(diào)性：若滿足an＜an＋1，則{an}是遞增數(shù)列；若滿足an＞an＋1，則{an}是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1，則{an}是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定，則{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練1　下列數(shù)列既是遞增數(shù)列，又是無窮數(shù)列的是(　　)
A．1，2，3，…，20
B．－1，－2，－3，7
C．1，2，3，2，5，6
D．－1，0，1，2，…，100，…
題型2　由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式
例2　寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)－1，，－；
(2)，3，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
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【方法總結(jié)】
觀察法寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略
鞏固訓(xùn)練2　數(shù)列1，－，－，…的通項(xiàng)公式可能是(　　)
A．a(chǎn)n＝(－1)n－1
B．a(chǎn)n＝(－1)n
C．a(chǎn)n＝(－1)n－1
D．a(chǎn)n＝(－1)n
題型3　數(shù)列的函數(shù)特性
例3　在數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.
(1)畫出{an}的圖象；
(2)根據(jù)圖象寫出數(shù)列{an}的增減性.
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【方法總結(jié)】
畫數(shù)列的圖象的方法
數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此也可以用圖象來表示，以位置序號n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即坐標(biāo)為(n，an)描點(diǎn)畫圖，就可以得到數(shù)列的圖象．因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其圖象是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．
鞏固訓(xùn)練3　若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－5，則關(guān)于此數(shù)列的圖象敘述不正確的是(　　)
A．此數(shù)列不能用圖象表示
B．此數(shù)列的圖象僅在第一象限
C．此數(shù)列的圖象為直線y＝4x－5
D．此數(shù)列的圖象為直線y＝4x－5上滿足x∈N*的一系列孤立的點(diǎn)
第四章　數(shù)列
4．1　數(shù)列的概念
第1課時(shí)　數(shù)列的概念
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
1．確定的順序
2．每一個(gè)數(shù)　首項(xiàng)　第1項(xiàng)　第n項(xiàng)
要點(diǎn)二
有限　無限　大于　小于　相等
要點(diǎn)三
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
[夯實(shí)雙基]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：因?yàn)閍n＝＝，顯然隨著n的增大，2－是遞增的，故an是遞減的，則數(shù)列an是遞減數(shù)列．故選B.
答案：B
3．解析：∵a5＝＝，故選C.
答案：C
4．解析：令n＋>10，即n2－10n＋16>0，解得：n<2或n>8，又n∈N*，∴從第9項(xiàng)起，各項(xiàng)均大于10.
答案：9
題型探究·課堂解透
例1　解析：(5)是有窮數(shù)列；
(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；
(2)是遞增數(shù)列；
(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；
(3)是常數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練1　解析：根據(jù)數(shù)列的分類方法可知D正確．故選D.
答案：D
例2　解析：(1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負(fù)相間用(－1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·.
(2)數(shù)列可化為，即，…，每個(gè)根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝＝.
(3)原數(shù)列可變形為，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝1－.
(4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝.此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an＝4＋(－1)n.
鞏固訓(xùn)練2　解析：將數(shù)列1，－，－，…變?yōu)椋?，從而可知分母的?guī)律為2n，分子的規(guī)律為n＋1，再結(jié)合正負(fù)的調(diào)節(jié)，可知其通項(xiàng)為an＝n－1.故選C.
答案：C
例3　解析：(1)列表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，….
圖象如圖所示．
(2)數(shù)列{an}在n＝1，2，3，4時(shí)是遞減的，在n＝5，6，7，…時(shí)是遞增的．
鞏固訓(xùn)練3　解析：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－5，它的圖象就是直線y＝4x－5上滿足x∈N*的一系列孤立的點(diǎn)．
故選：D.
答案：D第2課時(shí)　數(shù)列的遞推公式
【課標(biāo)解讀】
1.判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是否為某個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
2．理解數(shù)列遞推公式的含義，會用遞推公式解決有關(guān)問題．
3．會用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系求通項(xiàng)公式．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)一　數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用________來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式 .
批注 　用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出：(1)“基礎(chǔ)”—數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；(2)遞推關(guān)系—數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an＋1與它的前一項(xiàng)an之間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示．
要點(diǎn)二　數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn：指數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，通常用________表示，即Sn＝________________；
2．a(chǎn)n 與Sn的關(guān)系
當(dāng)n＝1時(shí)a1＝________；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝________；故an＝
批注 　(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*)．
(2)由Sn－Sn－1求得的an，若當(dāng)n＝1時(shí)an的值不等于S1的值，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示．
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法．(　　)
(2)所有數(shù)列都有遞推公式．(　　)
(3)an＝Sn－Sn－1成立的條件是n∈N*.(　　)
(4)利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數(shù)列{an}．(　　)
2．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝(　　)
A．－3　　　B．－11　　　C．－5　　　D．19
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝1＋，則a3＝(　　)
A．2 B．
C． D．
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則a3＝________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用
例1　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.
(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)．
(2)－49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請說明理由．
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【方法總結(jié)】
1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法
數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．
2．判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練1　在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1)－107是不是該數(shù)列中的某一項(xiàng)？若是，其為第幾項(xiàng)？
(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)．
題型2　數(shù)列的遞推公式
例2　根據(jù)下列條件，寫出各數(shù)列的前5項(xiàng)．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N，n≥1)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N，n≥1)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N，n≥1)．
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【方法總結(jié)】
由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法
根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可．
鞏固訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}，a1＝1，且滿足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)．
題型3　已知Sn求an
例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足關(guān)系lg (Sn－1)＝n(n∈N，n≥1)，求{an}的通項(xiàng)公式．
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
已知Sn求an的一般步驟
鞏固訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝(n∈N*)．
(1)求S2，S3，a3；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
第2課時(shí)　數(shù)列的遞推公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
一個(gè)式子　
要點(diǎn)二
1．Sn　a1＋a2＋a3＋…＋an
2．S1　Sn－Sn－1　S1　Sn－Sn－1
[夯實(shí)雙基]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故選D.
答案：D
3．解析：根據(jù)題意，a1＝2，a2＝1＋＝，a3＝1＋＝.故選C.
答案：C
4．解析：a3＝S3－S2＝(23-1)-(22-1)＝4.
答案：4
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)根據(jù)an＝3n2－28n，
得a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍)，
∴－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)．
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝，均不是正整數(shù)，
∴68不是該數(shù)列的項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)令an＝－107，即－2n2＋9n＋3＝－107，2n2－9n－110＝0，
解得n＝10或n＝－(舍去)．所以a10＝－107.
(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋，
由于n∈N*，所以最大項(xiàng)為a2＝13.
例2　解析：(1)a1＝0，∴a2＝a1＋2×1－1＝1，a3＝a2＋2×2－1＝4，a4＝a3＋2×3－1＝9，
a5＝a4＋2×4－1＝16.
(2)∵a1＝1，∴a2＝a1＋＝，a3＝a2＋＝2，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝3.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝5，a4＝3a3－2a2＝15－6＝9，
a5＝3a4－2a3＝27－10＝17.
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意，得a2＝3a1＋，而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.
同理a3＝3a2＋＝10，
a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
例3　解析：由lg (Sn－1)＝n得Sn＝10n＋1，
則n＝1時(shí)，a1＝S1＝11；
n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝9·10n－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，9·10n－1＝9≠a1，
∴an＝
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)S2＝3，S3＝6，a3＝S3－S2＝6－3＝3.
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝＝n，
a1＝1滿足上式，所以an＝n.第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式
【課標(biāo)解讀】
1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念．
2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決一些簡單的問題．
3．掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)一　等差數(shù)列的概念
(1)文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第________項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)________叫做等差數(shù)列的________，公差通常用字母________表示．
(2)符號語言：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)．
要點(diǎn)二　等差中項(xiàng)
在兩個(gè)數(shù)a，b之間插入數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，則A稱為a與b的等差中項(xiàng) ，即2A＝________．
批注 　一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差即使等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關(guān)．
批注 　在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項(xiàng)an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，則an是an－1與an＋1的等差中項(xiàng)．
反之，若an－1＋an＋1＝2an對任意的n≥2，n∈N*均成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
要點(diǎn)三　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝____________．
要點(diǎn)四　從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列{an}
若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上．
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝1(n>1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(　　)
(3)若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．(　　)
(4)一個(gè)無窮等差數(shù)列{an}中取出所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，公差仍然與原數(shù)列相等．(　　)
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋5，則此數(shù)列(　　)
A．是公差為2的等差數(shù)列
B．是公差為5的等差數(shù)列
C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列
D．是公差為n的等差數(shù)列
3．已知實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，則m＝(　　)
A． B．±
C．3 D．±3
4．已知公差d＝－，a7＝8，則a1＝____________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用
例1　在等差數(shù)列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng)；
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法
鞏固訓(xùn)練1　(1)[2022·山東棗莊高二期末]已知等差數(shù)列{an}，若a3＝4，a5＝10，則a1＝(　　)
A．1　　　　 B．－1
C．－2 D．3
(2)100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由．
題型2　等差中項(xiàng)及其應(yīng)用
例2　(1)若m和2n的等差中項(xiàng)為4，2m和n的等差中項(xiàng)為5，則m與n的等差中項(xiàng)是__________．
(2)在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的問題可用等差中項(xiàng)求解；
(2)若數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則可判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1與a2的等差中項(xiàng)為1，a2與a3的等差中項(xiàng)為2，則公差d＝____________．
題型3　等差數(shù)列的判定與證明
例3　已知數(shù)列{an}滿足a1＝4且an＝4－(n>1)，記bn＝.
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的2種常用方法
鞏固訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn(p，q∈R)．
(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
4．2　等差數(shù)列
4．2.1　等差數(shù)列的概念
第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
2　常數(shù)　公差　d
要點(diǎn)二
a＋b
要點(diǎn)三
a1＋(n－1)d
[夯實(shí)雙基]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：∵an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2，
∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．
故選A.
答案：A
3．解析：由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
故選C.
答案：C
4．解析：∵a7＝a1＋6d＝8，∴a1＝8－6×(－)＝10.
答案：10
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設(shè){an}的公差為d，
因?yàn)榻獾?br/>所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因?yàn)?3為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項(xiàng)；
(2)設(shè){an}的公差為d，則解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)閍3＝4，a5＝10，
所以，解得.
故選C.
(2)∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)．
答案：(1)C　(2)見解析
例2　解析：(1)由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.
由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10.
兩式相加，得m＋n＝6.
所以m與n的等差中項(xiàng)為＝＝3.
(2)因?yàn)椋?，a，b，c，7成等差數(shù)列，
所以b是－1與7的等差中項(xiàng)，
則b＝＝3，
又a是－1與3的等差中項(xiàng)，所以a＝＝1.
又c是3與7的等差中項(xiàng)，所以c＝＝5.
所以該數(shù)列為－1，1，3，5，7.
答案：(1)3　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意知a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，
則a2＋a3－(a1＋a2)＝2，
即a3－a1＝2＝2d，
∴d＝1.
答案：1
例3　解析：(1)證明：∵bn＋1－bn＝
＝
＝
＝＝，
又b1＝＝，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)若{an}是等差數(shù)列，則an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以2p＝0，即p＝0.
所以p＝0，q∈R時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
(2)證明：因?yàn)閍n＋1－an＝2pn＋p＋q，所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．第2課時(shí)　等差數(shù)列的性質(zhì)
【課標(biāo)解讀】
1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化運(yùn)算．
2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)　等差數(shù)列的性質(zhì)
1．在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則________．特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則__________．
2．等差數(shù)列的項(xiàng)的對稱性：在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
3．在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．
批注　熟練運(yùn)用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.(　　)
(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差數(shù)列．(　　)
(3)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝3t，則am＋an＋ap＝3at.(　　)
2．已知{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中的{bn}也為等差數(shù)列的是(　　)
A．bn＝ B．bn＝
C．bn＝a3n D．bn＝|an|
3．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，則a4＋a6＝(　　)
A．6 B．3
C．2 D．1
4．已知等差數(shù)列{an}，a1＝3，a5＝7，則a3＝________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例1　(1)等差數(shù)列{an}中，若a3＝6，a1＋a11＝6，則a9＝(　　)
A．－1 B．0
C．－2 D．1
(2){an}是等差數(shù)列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝21，則a3＋a6＋a9的值為(　　)
A．24 B．27
C．30 D．33
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
鞏固訓(xùn)練1　(1)在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a7＋a10＝10，則a3＋a11＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝____________．
題型2　等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例2　某公司經(jīng)銷一種產(chǎn)品，第1年可獲利200萬元．從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元．按照這一規(guī)律，如果公司不引進(jìn)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，那么從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟
鞏固訓(xùn)練2　[2022·山東泰安高二期末]中國古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是(　　)
A．戊分得34文，己分得31文
B．戊分得31文，己分得34文
C．戊分得28文，己分得25文
D．戊分得25文，己分得28文
題型3　等差數(shù)列的綜合問題
例3　(1)已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個(gè)數(shù)．
(2)在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，…，197與2，7，12，…，197中，求它們的相同項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)公式及相同項(xiàng)的個(gè)數(shù)．
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
(1)等差數(shù)列的設(shè)項(xiàng)技巧：
已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，設(shè)為a－d，a，a＋d；
已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(2)兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)．
鞏固訓(xùn)練3　(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為21，它們的平方和為155，求這三個(gè)數(shù)；
(2)已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，它們有多少個(gè)共同項(xiàng)？
第2課時(shí)　等差數(shù)列的性質(zhì)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)
1．a(chǎn)m＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap
[夯實(shí)雙基]
1．(1)×　(2)√　(3)×　
2．解析：{a3n}為等差數(shù)列，公差為原來的3倍．
故選C.
答案：C
3．解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a4＋a6＝a2＋a8＝3，
故選B.
答案：B
4．解析：由題意2a3＝a1＋a5＝10，a3＝5.
答案：5
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)因?yàn)?＋11＝3＋9，
所以a1＋a11＝a3＋a9，所以a9＋6＝6，所以a9＝0；
故選B.
(2)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差數(shù)列，
所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×21－15＝27.
故選B.
答案：(1)B　(2)B
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)?0＝a4＋a7＋a10＝a7＋2a7，解得：a7＝4，所以a3＋a11＝2a7＝8.
故選D.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，
所以數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
答案：(1)D　(2)35
例2　解析：設(shè)第n年的利潤為an萬元，
則a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，
∴每年的利潤可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，
且公差d＝－20，
∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.
若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．
由an＝220－20n<0，得n>11.
故從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．
鞏固訓(xùn)練2　解析：依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，
則，解得，
所以戊分得a＋d＝28(文)，己分得a＋2d＝25(文)，
故選C.
答案：C
例3　解析：(1)設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
解得或
∴這四個(gè)數(shù)依次為－2，4，10，16或16，10，4，－2.
(2)記數(shù)列2，5，8，…，197為{an}，由已知，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，公差為3，
∴通項(xiàng)公式為an＝3n－1.
記數(shù)列2，7，12，…，197為{bm}，則bm＝5m－3，
若數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與數(shù)列{bm}的第m項(xiàng)相同，
即an＝bm，∴3n－1＝5m－3，
∴n＝＝m＋.
又n∈N*，∴必須有m－1＝3k，
即m＝3k＋1(k為非負(fù)整數(shù))．
又2≤5m－3≤197，
∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40.
∴兩數(shù)列的相同項(xiàng)為2，17，32，…，197.
記兩數(shù)列的相同項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為{cn}，則{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝15n－13，共有＋1＝14個(gè)相同項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d.
解得或
∴這三個(gè)數(shù)為5，7，9或9，7，5.
(2)設(shè)兩數(shù)列的共同項(xiàng)組成新數(shù)列{an}，則{an}是首項(xiàng)為11的等差數(shù)列．
∵數(shù)列5，8，11，…與3，7，11，…的公差分別為3與4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
∵數(shù)列5，8，11，…與3，7，11，…的第100項(xiàng)分別為302與399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25.
∵n∈N*，∴所給兩數(shù)列有25個(gè)共同項(xiàng)．第1課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【課標(biāo)解讀】
1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．
2．掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問題．
3．掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的簡單性質(zhì)．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)一　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
(1)Sn＝.
(2)Sn＝________________．
批注 　兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量．通常已知其中三個(gè)，可求其余兩個(gè)，而且方法就是解方程(組)，這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一．
批注 　用此公式時(shí)，有時(shí)要結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，如a1＋an＝ak＋an－k＋1，從而有Sn＝.
要點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列，且公差為.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加.(　　)
(2)知道等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差與前n項(xiàng)和可求項(xiàng)數(shù)n.(　　)
(3)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kn(k∈R)，則{an}為常數(shù)列．(　　)
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則S2，S4，S6成等差數(shù)列．(　　)
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，則S9＝(　　)
A．45　 B．52
C．108 D．54
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝4，S4＝22，則a5＝(　　)
A．10 B．13
C．15 D．18
4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則S12＝________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本計(jì)算
例1　在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題
鞏固訓(xùn)練1　(1)[2022·河北滄州高二期末]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝－4，S5＝0，則a1＝(　　)
A．－8 B．－4
C．4 D．8
(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝1，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S7＝42，則公差d＝________．
題型2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
例2　(1)[2022·山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考]等差數(shù)列{an}，的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意正整數(shù)n都有＝，則的值為____________．
(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝310，S20＝1 220，求S30.
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算的三種方法
鞏固訓(xùn)練2　(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
(2)[2022·河北邯鄲高二期末]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝7，則S102＝(　　)
A．67 B．1 122
C．1 156 D．1 190
4．2.2　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
第1課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
na1＋d
[夯實(shí)雙基]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：S9＝＝＝54.故選D.
答案：D
3．解析：由題意得解得所以a5＝a1＋4d＝13.
故選B.
答案：B
4．解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
解得：S12＝36.
答案：36
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，
由S5＝＝5a3＝0得：a3＝0；又a5＝S5－S4＝4，
∴2d＝a5－a3＝4，∴a1＝a3－2d＝0－4＝－4.故選B.
(2)由題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3＝1，S7＝42，
可得，即，解得d＝5.
答案：(1)B　(2)5
例2　解析：(1)由題意得：S9＝＝9a5，同理可得：T9＝＝9b5，所以＝＝＝.
(2)方法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由已知，得
解得
∴S30＝30×4＋×30×29×6＝2 730.
方法二：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
(方法三)設(shè)Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．
由題意，得解得
∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.
(方法四)由Sn＝na1＋d，
得＝a1＋(n－1)，
∴是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴成等差數(shù)列，
∴＝2×，
∴S30＝30()＝30×(122－31)＝2 730.
答案：(1)　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)因?yàn)椋剑?br/>所以＝＝＝＝＝2，
故選C.
(2)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，
所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，且b1＝1，b4＝7，∴d＝2.
∵S102－S99＝b34，
∴S102＝b1＋b2＋…＋b34＝34×1＋×2＝1 156.
故選C.
答案：(1)C　(2)C第2課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
【課標(biāo)解讀】
1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
2．會解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題．
3．理解an與Sn的關(guān)系，能根據(jù)Sn求an.
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
【教 材 要 點(diǎn)】
要點(diǎn)一　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
對任意數(shù)列{an}，Sn與an的關(guān)系可以表示為an＝.
要點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定．
(2)因?yàn)镾n＝n2＋(a1－)n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有________值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有________值；且n取最接近對稱軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值．
批注　用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意的是：n∈N*.
【夯 實(shí) 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù)．(　　)
(2)對于數(shù)列{an}，一定有關(guān)系式an＝Sn－Sn－1.(　　)
(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn一定同時(shí)存在最大值和最小值．(　　)
(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0，則該數(shù)列Sn一定有最小值，d<0，則該數(shù)列Sn一定有最大值．(　　)
2．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2＋2n，則a5＝(　　)
A．－21 B．11
C．27 D．35
3．若數(shù)列{an}中，an＝43－3n，則Sn的最大值n＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．14或15
4．一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放了120支，這個(gè)V形架上共放了________支鉛筆．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用
例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
已知Sn求an的一般步驟
鞏固訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？
題型2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
例2　某地去年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天新感染者人數(shù)增加40.從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10.
(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；
(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
[聽課記錄]
【方法總結(jié)】
遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：
①抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．
②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.
鞏固訓(xùn)練2　[2022·山東安丘高二期中]《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．意思是：有996斤棉花要給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第1個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子分完為止，則第1個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)為(　　)
A．48 B．65
C．82 D．99
題型3　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
例3　在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為____________．
[聽課記錄]
變式探究1　將本例中“a1>0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為____________．
變式探究2　將本例中“a1>0，S3＝S11”換為“a1>0，a2 022＋a2 023>0，a2 022·a2 023<0”，求使Sn>0成立的最大自然數(shù)n.
【方法總結(jié)】
1.在等差數(shù)列中，求Sn的最值的2種常用方法
2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法
鞏固訓(xùn)練3　(1)(多選)[2022·江蘇常州高二期末]已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，則(　　)
A．S5＜S9 B．該數(shù)列的公差d＜0
C．a(chǎn)7＝0 D．S11＜0
(2)已知等差數(shù)列5，4，3，…的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最大的序號n的值．
第2課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
S1　Sn－Sn－1
要點(diǎn)二
(1)最大　最小
(2)最小　最大
[夯實(shí)雙基]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由Sn＝n2＋2n得S5＝52＋2×5＝35，S4＝42＋2×4＝24，所以a5＝S5－S4＝35－24＝11，
故選B.
答案：B
3．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N*，∴n＝14.故選B.
答案：B
4．解析：從下向上各層所放鉛筆數(shù)依次為1，2，3，…，120，
從下向上各層所放鉛筆數(shù)是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以共放了鉛筆1＋2＋3＋…＋120＝＝7 260(支)．
答案：7 260
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練1　解析：根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，
當(dāng)n>1時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]
＝2n－，①
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋×1＝，也滿足①式．
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－.
故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
例2　解析：(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)a1＝40，公差d＝40的等差數(shù)列，
所以9月10日的新感染者人數(shù)為a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人數(shù)為a11＝400－10＝390(人)；
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)和為：S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)b1＝390，公差d1＝－10的等差數(shù)列，所以后20天新感染者人數(shù)和為T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)，
所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人．
鞏固訓(xùn)練2　解析：依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為a1，
則由題意得，d＝17，S8＝8a1＋＝996，解得a1＝65，即第1個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)為65斤．
故選B.
答案：B
例3　解析：解法一：函數(shù)法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝.從而Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1，
因?yàn)閍1>0，所以－<0.
故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．
解法二：通項(xiàng)變號法
由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，則有
即
解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．
答案：7
變式探究1　解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－)2＋.
∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大．
答案：12或13
變式探究2　解析：∵a1>0，a2 022＋a2 023>0，a2 022·a2 023<0，
∴{an}表示首項(xiàng)是正數(shù)，公差d為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列．
∴a2 022>0，a2 023<0.
且|a2 022|>|a2 023|，
∴a2 022＋a2 023＝a1＋a4 044>0，
∴S4 044＝>0，
又∵a1＋a4 045＝2a2 023＜0，
∴S4 045＝＜0，
∴使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4 044.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由S50, S6＝S7得S7－S6＝a7＝0，
由S7>S8得S8－S7＝a8<0，所以等差數(shù)列{an}的公差d<0，故選項(xiàng)B正確．
所以a1，a2，a3，a4，a5，a6為正，a7＝0，從第8項(xiàng)起均為負(fù). 故選項(xiàng)C正確．
所以S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，故選項(xiàng)A不正確．
S11＝×11＝11a6>0，故選項(xiàng)D不正確．
故選BC.
(2)方法一：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，…的公差為－，
所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋.
于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取最大值．
方法二：an＝a1＋(n－1)d
＝5＋(n－1)×(－)
＝－n＋.
令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.
故前n項(xiàng)和是從第9項(xiàng)開始減小又S7＝S8，
所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)和最大．
答案：(1)BC　(2)見解析

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