資源簡介

第1課時　等比數(shù)列的概念和通項公式
【課標解讀】
1.理解等比數(shù)列及等比中項的概念．
2．掌握等比數(shù)列的通項公式．
3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．
新知初探·課前預習——突出基礎性
【教 材 要 點】
要點一　等比數(shù)列的概念
(1)文字語言：一般地，如果一個數(shù)列從第________項起，每一項與它的前一項的比都等于________常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 ，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母________表示．
(2)符號語言：＝q (q為常數(shù)，n∈N*)
批注 　比是有順序的，不能有0項！
批注 　公比q是除0之外的任意實數(shù)，當q＝1時，此時為常數(shù)列，也是等差數(shù)列．
要點二　等比中項
在兩個數(shù)a，b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a
與b的等比中項． .
批注 　只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是與－；當a，b異號時沒有等比中項．
要點三　等比數(shù)列的通項公式
(1)已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．
(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：an＝amqn－m ，變形得qn－m＝.
批注 　等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示．
要點四　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系
等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列中的各項的點是函數(shù)y＝·qx的圖象上的孤立點．
【夯 實 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項．(　　)
(2)常數(shù)列a，a，a，a，…一定是等比數(shù)列．(　　)
(3)若數(shù)列{an}的通項公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，則{an}一定是等比數(shù)列．(　　)
(4)任何兩個實數(shù)都有等比中項．(　　)
2．下列數(shù)列是等比數(shù)列的是(　　)
A．3，9，15，21，27　　 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C． D．4，－8，16，－32，64
3．2＋和2－的等比中項是(　　)
A．1　　　　B．－1　　　C．±1　　　D．2
4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝32，公比q＝－，則a6＝____________．
題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列通項公式的基本運算
例1　在等比數(shù)列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[聽課記錄]
【方法總結】
等比數(shù)列中求a1和q的2種常用方法
鞏固訓練1　(1)[2022·山東安丘高二期中]已知等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＝9，則a5＝(　　　 )
A．27 B．36
C．54 D．81
(2)[2022·河北宣化一中高二期末]若等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，則數(shù)列{an}的公比為(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
題型2　等比中項的應用
例2　(1)已知等比數(shù)列的前3項依次為x，2x＋2，3x＋3，求實數(shù)x的值；
(2)已知等比數(shù)列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中項．
[聽課記錄]
【方法總結】
等比中項應用的三點提醒
鞏固訓練2　(1)若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為(　　)
A．± B．
C．1 D．±1
(2)如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么b＝________，ac＝________．
題型3　靈活設元求解等比數(shù)列問題
例3　 (1)有四個數(shù)成等比數(shù)列，將這四個數(shù)分別減去1，1，4，13成等差數(shù)列，則這四個數(shù)的和是________．
(2)有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù)．
[聽課記錄]
【方法總結】
幾個數(shù)成等比數(shù)列的設法
1．三個數(shù)成等比數(shù)列設為，a，aq.
推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設為…，，a，aq，aq2，…
2．四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為，aq，aq3.
推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為…，，aq，aq3，aq5，…
3．四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3.
鞏固訓練3　在2和20之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和為(　　)
A．－4或 B．4或
C．4 D．
4．3　等比數(shù)列
4．3.1　等比數(shù)列的概念
第1課時　等比數(shù)列的概念和通項公式
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
2　同一個　q(q≠0)
要點三
a1qn－1
[夯實雙基]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、B、C均不滿足定義中＝q，只有D滿足＝－2.故選D.
答案：D
3．解析：設2＋和2－的等比中項為a，
則a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.故選C.
答案：C
4．解析：因為等比數(shù)列{an}中，a1＝32，公比q＝－，
所以a6＝a1·q5＝32×(－)5＝－1.
答案：－1
題型探究·課堂解透
例1　解析：設首項為a1，公比為q.
(1)方法一：因為所以
由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
方法二：因為a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝.
(2)方法一：因為
由得q＝，從而a1＝32，
又an＝1，∴32×()n－1＝1.
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二：因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
鞏固訓練1　解析：(1)公比q＝＝＝3，∴a5＝a3·q2＝9×32＝81.
故選D.
(2)設等比數(shù)列{an}的公比為q，
因為a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，
所以，
所以＝，解得q＝3，
故選D.
答案：(1)D　(2)D
例2　解析：(1)因為等比數(shù)列的前3項依次為x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因為當x＝－1時，2x＋2＝3x＋3＝0不合題意，所以實數(shù)x的值為－4.
(2)因為{an}是等比數(shù)列，所以a3是a2和a4的等比中項，即＝a2a4，所以＝64，解得a3＝4，從而a6＝32.
設{an}的公比為q，則解得所以a2＝a1q＝2.
設a2和a6的等比中項為G，則G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.
鞏固訓練2　解析：(1)∵1，a，3成等差數(shù)列，
∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比數(shù)列，
∴b2＝1×4，b＝±2，
∴＝＝±1.
故選D.
(2)因為b是－1，－9的等比中項，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中項，
故b2＝ac，即ac＝9.
答案：(1)D　(2)－3　9
例3　解析：(1)設這四個數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，
則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數(shù)列．
即
整理得解得a＝3，q＝2.
因此這四個數(shù)分別是3，6，12，24，其和為45.
(2)方法一：設前三個數(shù)分別為，a，aq，則·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三個數(shù)為，6，6q.
由題意知第4個數(shù)為12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四個數(shù)為9，6，4，2.
方法二：設后三個數(shù)為4－d，4，4＋d，則第一個數(shù)為(4－d)2，
由題意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四個數(shù)為9，6，4，2.
答案：(1)45　(2)見解析
鞏固訓練3　解析：設插入的第一個數(shù)為a，則插入的另一個數(shù)為.
由a，，20成等差數(shù)列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
當a＝－4時，插入的兩個數(shù)的和為a＋＝4.
當a＝5時，插入的兩個數(shù)的和為a＋＝.
故選B.
答案：B第2課時　等比數(shù)列的性質
【課標解讀】
1.通過建立數(shù)列模型并應用數(shù)列模型解決生活中的實際問題.
2．理解等比數(shù)列的常用性質．
3．掌握等比數(shù)列的判斷及證明方法．
新知初探·課前預習——突出基礎性
【教 材 要 點】
要點一　實際應用題常見的數(shù)列模型
1．儲蓄的復利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.
2．總產值模型：基數(shù)為N，平均增長率為p，期數(shù)為n，則總產值y＝N(1＋p)n.
批注 　與指數(shù)函數(shù)模型相同，解題時常用到對數(shù)運算．
要點二　等比數(shù)列的常用性質
(1)在等比數(shù)列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則akal＝aman .
①特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，aman＝.
②對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)若{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
批注 　下標和相等，對應項的積相等！要與等差數(shù)列的性質：k ＋l＝m ＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an區(qū)別開來．
【夯 實 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在等比數(shù)列{an}中，若aman＝apaq，則m＋n＝p＋q.(　　)
(2)若數(shù)列{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則數(shù)列{an＋bn}也一定是等比數(shù)列．(　　)
(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{λan}也是等比數(shù)列．(　　)
(4)若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　　)
2．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比數(shù)列
B．a2，a3，a6成等比數(shù)列
C.a2，a4，a8成等比數(shù)列
D．a3，a6，a9成等比數(shù)列
3．已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)
A．420只
B．520只
C. 只
D. 只
4．在等比數(shù)列{an}中，若a2a8＝9，則a3a7＝____________．
題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列的性質
例1　(1)[2022·山東濰坊高二期中]在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的兩個根，則＝(　　)
A．2 B．2
C．1 D．－2
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[聽課記錄]
【方法總結】
利用等比數(shù)列的性質解題
(1)基本思路：充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關系，選擇恰當?shù)男再|解題．
(2)優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．
鞏固訓練1　(1)[2022·河北邢臺高二期末]在等比數(shù)列{an}中，a2a19＝3a8，則必有(　　)
A．a13＝3 B．a13＝9
C．a12＝3 D．a12＝9
(2)[2022·山東泰安高二期末]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a1a7＝9，則(a2a6)2－a4＝(　　)
A．6 B．12
C．56 D．78
題型2　等比數(shù)列的實際應用
例2　某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值．
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？
[聽課記錄]
【方法總結】
一般地，涉及產值增長率、銀行利息、細胞繁殖等實際問題時，往往與等比數(shù)列有關，可建立等比數(shù)列模型進行求解．
鞏固訓練2　中國人民銀行2015年10月24日公布的“人民幣現(xiàn)行利率表”顯示，金融機構人民幣貸款一至五年(含五年)的基準利率為4.75%.若某人年初時從某銀行貨款了100 000元，貸款期為5年，貸款利率就是基準利率，銀行每年年底結算一次利息．求到第5年年底時，該人欠銀行的錢數(shù)(精確到0.01)．(參考數(shù)據(jù)：1.047 55≈1.261 159 9)
題型3　等比數(shù)列的判斷與證明
例3　 [2022·江蘇南京二十九中高二期末]設數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2an－2n.
(1)設cn＝an＋1－2an，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；
(2)求an.
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【方法總結】
判斷數(shù)列是等比數(shù)列的3種常用方法
鞏固訓練3　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項公式．
第2課時　等比數(shù)列的性質
新知初探·課前預習
[夯實雙基]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：當下標成等差數(shù)列時，對應的項成等比數(shù)列．
故選D.
答案：D
3．解析：第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有5×5＝52只蜜蜂，……
按照這個規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構成以為5首項，公比為5的等比數(shù)列，
則第n天的蜜蜂數(shù)an＝5×5n－1＝5n，
第20天蜜蜂都歸巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)520，
故選B.
答案：B
4．解析：∵2＋8＝3＋7，∴a3a7＝a2a8＝9.
答案：9
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意可得
所以a1a17＝＝a3a15＝8.
因為
所以a3>0，a15>0，所以a9>0，
所以a9＝2，所以＝＝2.
故選A.
(2)由等比數(shù)列的性質知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
答案：(1)A　(2)見解析
鞏固訓練1　解析：(1){an}是等比數(shù)列，
所以a2a19＝a8a13 ，
而a2a19＝3a8 ，故a8a13＝3a8 ，
所以a13＝3，故選A.
(2)在等比數(shù)列{an}中，由等比數(shù)列的性質可得：
由＝a1a7＝9，解得：a4＝3；
由2＋6＝1＋7可得：a2a6＝a1a7＝9，
所以(a2a6)2－a4＝92－3＝78.
故選D.
答案：(1)A　(2)D
例2　解析：(1)從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設為：a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比數(shù)列的定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后車的價值為an＋1＝(13.5×0.9n)萬元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，
∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元．
鞏固訓練2　解析：由題意，由于銀行的貸款利率為復利，
故第1年底，該人欠銀行：100 000×(1＋4.75%)，
第2年底，該人欠銀行：100 000×(1＋4.75%)2，
……，
第5年底，該人欠銀行：100 000×(1＋4.75%)5≈126 115.99元，
故到第5年年底時，該人欠銀行的錢數(shù)約為126 115.99元．
例3　解析：(1)證明：當n＝1時，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，
an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n，
化為an＋1－2an＝2n，
所以cn＝an＋1－2an＝2n，
可得＝2，c1＝2，
則數(shù)列{cn}是首項和公比均為2的等比數(shù)列．
(2)由an＋1－2an＝2n，
可得＝，
則為公差為，首項為＝1的等差數(shù)列，
可得＝1＋(n－1)，
則an＝(n＋1)·2n－1.
鞏固訓練3　解析：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
由上式易知an＋1≠0，∴＝2.
∴{an＋1}是等比數(shù)列．
(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2×2n－1，即an＝2n－1.4．3.2　等比數(shù)列的前n項和公式
第1課時　等比數(shù)列的前n項和
【課標解讀】
1.掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導方法．
2．掌握等比數(shù)列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關問題．
3．掌握等比數(shù)列的前n項和的簡單性質．
新知初探·課前預習——突出基礎性
【教 材 要 點】
要點一　等比數(shù)列的前n項和公式
設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q (q≠0)，前n項和為Sn，
當q＝1時，Sn ＝________；當q≠1時，Sn ＝＝.
批注 　當公比未知時，要對公比進行分類討論．
批注 　當已知a1，q與n時，用Sn＝較方便；
當已知a1，q與an時，用Sn＝較方便．
要點二　等比數(shù)列前n項和的性質
(1)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn ，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
(2)等比數(shù)列的項數(shù)為2n項時，＝________；項數(shù)為2n＋1項時，＝________．
批注 　當q＝－1且k為偶數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k －S2k，…不是等比數(shù)列．
【夯 實 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)等比數(shù)列前n項和Sn不可能為0.(　　)
(2)若首項為a的數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則其前n項和等于na.(　　)
(3)若a∈R，則1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　　)
(4)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．(　　)
2．已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，q＝2，前n項和Sn＝126，則n＝(　　)
A．9　　　 B．8 C．7　　 D．6
3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝10，S6＝20，則S9＝(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
4．在等比數(shù)列{an}中，若S6＝，q＝，則a1＝________．
題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列前n項和的基本運算
例1　在等比數(shù)列{an}中，
(1)已知a1＝－1.5，a7＝－96，求q和Sn；
(2)已知q＝，S5＝－，求a1和an；
(3)已知a1＝2，S3＝26，求q和an.
[聽課記錄]
【方法總結】
等比數(shù)列前n項和運算的策略
鞏固訓練1　(1)[2022·河北保定高二期中]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝，a3＝，則公比q為(　　)
A． B．1
C．－ D．1或－
(2)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，＝5，則＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．25
題型2　等比數(shù)列前n項和性質的應用
例2　(1)等比數(shù)列{an}前n項的和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為________；
(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，且前3項之積為64，求該數(shù)列的通項公式．
[聽課記錄]
【方法總結】
解決有關等比數(shù)列前n項和的問題時，若能恰當?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前n項和的相關性質，則可以避繁就簡．不僅可以減少解題步驟，而且可以使運算簡便，同時還可以避免對公比q的討論．解題時把握好等比數(shù)列前n項和性質的使用條件，并結合題設條件尋找使用性質的切入點，方可使“英雄”有用武之地．
鞏固訓練2　(1)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝3，則＝(　　)
A．2 B．
C． D．3
(2)已知一個等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，則此數(shù)列的公比為________，項數(shù)為________．
題型3　等比數(shù)列的綜合問題
例3　 [2022·河北保定高二期中]已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝(k∈N)．設bn＝a2n.
(1)證明：數(shù)列{bn＋1}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前2n項和S2n.
[聽課記錄]
【方法總結】
解決等比數(shù)列的綜合問題，一般先對已知條件變形，證明所求的數(shù)列為等比數(shù)列，然后求出通項，再根據(jù)通項求其和及與和有關的問題．
鞏固訓練3　[2022·山東淄博高二期末]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－2，n∈N*.
(1)證明：{an}為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式；
(2)若正整數(shù)m滿足不等式Sm≤500，求m的最大值．
4．3.2　等比數(shù)列的前n項和公式
第1課時　等比數(shù)列的前n項和
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
na1　
要點二
q　q
[夯實雙基]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：因為a1＝2，q＝2，
所以＝2n＋1－2＝126，所以n＝6.
故選D.
答案：D
3．解析：因為{an}是等比數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，(S3≠0)成等比數(shù)列，即10，10，S9－20成等比數(shù)列，
顯然S9－20＝10 S9＝30，
故選B.
答案：B
4．解析：∵S6＝＝＝，∴a1＝1.
答案：1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)q6＝＝＝64，解得q＝±2，
當q＝2時，Sn＝＝(1－2n)，
當q＝－2時，Sn＝＝[(－2)n－1].
(2)S5＝＝－，解得a1＝－2，所以an＝－2×()n－1＝－.
(3)S3＝＝26，解得q＝3或－4，
當q＝3時，an＝2×3n－1，
當q＝－4時，an＝2×(－4)n－1.
鞏固訓練1　解析：(1)∵a3＝，S3＝，
①當q＝1時，S3＝＝×3，滿足條件．
②當q≠1時，可得，解得.
綜上可知：q＝1或－.
故選D.
(2)設等比數(shù)列{an}的公比為q，
則＝＝＝1＋q2＝5，所以q2＝4，
則＝＝q2＝4.
故選B.
答案：(1)D　(2)B
例2　解析：(1)設等比數(shù)列{an}的前3n項的和為S，因為S2n＝60，所以q≠－1，則54，60－54，S－60成等比數(shù)列，所以54×(S－60)＝(60－54)2，解得S＝.
(2)設該數(shù)列的首項為a1，公比為q，奇數(shù)項之和、偶數(shù)項之和分別記為S奇，S偶，由題意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵該數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴·q3＝64，即a1＝12.
故所求通項公式為an＝12·()n－1.
答案：(1)　(2)見解析
鞏固訓練2　解析：(1)方法一：設數(shù)列{an}的公比為q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.故選B.
方法二：由＝3，得S6＝3S3.
設數(shù)列{an}的公比為q，由題意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，所以＝.故選B.
(2)設該等比數(shù)列為{an}，公比為q，項數(shù)為n，由題意得：＝＝q＝＝2，Sn＝＝2n－1＝85＋170＝255，則2n＝256，n＝8，所以數(shù)列的公比為2，項數(shù)為8.
答案：(1)B　(2)2　8
例3　解析：(1)證明：由題設，bn＋1＝a2n＋2＝a(2n＋1)＋1＝a2n＋1＋1＝2a2n＋1＝2bn＋1，
所以＝＝2，又b1＋1＝a2＋1＝a1＋1＋1＝4，
所以{bn＋1}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn＋1＝4·2n－1，所以bn＝4·2n－1－1＝2n＋1－1.
(2)S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(a2＋a4＋…＋a2n－n)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝2(a2＋a4＋…＋a2n)－n
＝2(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2(22＋23＋24＋…＋2n＋1－n)－n
＝2×－3n＝2n＋3－3n－8.
鞏固訓練3　解析：(1)證明：因為Sn＝2an－2　①，
當n＝1時S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2，
當n≥2時Sn－1＝2an－1－2　②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以＝2，n≥2，所以{an}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，
所以an＝2n.
(2)由(1)可知Sn＝2n＋1－2，
因為Sm≤500，所以2m＋1－2≤500，即2m＋1≤502<512＝29，解得m＋1<9，所以m<8，
因為m∈N*，所以m的最大值為7.第2課時　等比數(shù)列的前n項和公式
【課標解讀】
1.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題．
2．能夠運用所學知識解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用問題．
新知初探·課前預習——突出基礎性
【教 材 要 點】
要點　等比數(shù)列前n項和的實際應用
1．解應用問題的核心是建立數(shù)學模型．
2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型．
3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．
批注　(1)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確．
(2)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
【夯 實 雙 基】
1．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是(　　)
A．86里 B．172里
C．96里 D．192里
2．某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為γ，從今年年末開始每年償還一定金額，預計五年內還清，則每年應償還(　　)
A．萬元 B．萬元
C．萬元 D．萬元
3．已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，若2a1＝a3a4，且a5是a4與2的等差中項，則q的值是(　　)
A．1 B．2
C．－1或1 D．－2或2
4．若{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________．
題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列前n項和在幾何中的應用
例1　侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度為Sn，則(　　)
A．Sn無限大　　　　　 B．Sn<3(3＋)m
C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m
[聽課記錄]
【方法總結】
此類幾何問題可以轉化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關知識解決，要注意步驟的規(guī)范性．
鞏固訓練1　如圖，在邊長為的正方形ABCD中，點A1，B1，C1，D1分別為正方形ABCD各邊的中點，點A2，B2，C2，D2分別為正方形A1，B1，C1，D1各邊的中點，……，記正方形AnBnCnDn的面積為an，若數(shù)列{an}的前m項和Sm＝，則m＝____________．
題型2　等比數(shù)列前n項和公式的實際應用
例2　某制糖廠第一年制糖5萬噸．如果平均每年的產量比上一年增加10%，那么從第一年起，約幾年內可使總產量達到30萬噸(保留到個位)？(參考數(shù)據(jù)：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 1.6＝0.20，lg 1.1＝0.041.)
[聽課記錄]
【方法總結】
解決數(shù)列應用題時，一是明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關系的數(shù)列問題；二是明確是求an，還是求Sn.
鞏固訓練2　一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘內，它上升的高度都是它在前一分鐘內上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？
題型3　等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題
例3　　[2022·廣東汕尾高二期末]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝－3，S3＝9.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列并說明理由．
[聽課記錄]
【方法總結】
解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，一般不能直接套用公式，要先對已知條件轉化變形，使之符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，然后利用公式求解．同時，要注意在題設條件下，尋求等差數(shù)列之間的內在聯(lián)系．
鞏固訓練3　[2022·湖南師大附中高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，a1＋a5＝14.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若等比數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且b1＝＝a6，bn＋1>bn，求滿足Sn<2 022的n的最大值．
第2課時　等比數(shù)列的前n項和公式
新知初探·課前預習
[夯實雙基]
1．解析：設此人第n天走的路程為an里，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列{an}，依題可知，公比為，所以378＝，解得，a1＝192里．
故選D.
答案：D
2．解析：設每年償還x萬元，
則x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
所以x＝a(1＋γ)5，解得x＝.
故選B.
答案：B
3．解析：由2a1＝a3a4解得a6＝2.
因為a5是a4與2的等差中項，所以2a5＝a4＋2.
把a6＝2代入得：2a5＝a4＋a6，
消去a4得：2q＝1＋q2，解得q＝1.
故選A.
答案：A
4．解析：顯然q≠1
此時應有Sn＝A(qn－1)
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
答案：－
題型探究·課堂解透
例1　解析：由題意，從外到內正方形的邊長依次為a1＝m，a2＝＝，a3＝＝，…，則數(shù)列{an}是以首項為m，公比為的等比數(shù)列，所以Sn＝4×，當n→＋∞時，
Sn→3(3＋)m.
故選B.
答案：B
鞏固訓練1　解析：因為SABCD＝＝2，
＝SABCD＝1，
依題意可得an＋1＝an，且a1＝1，所以{an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以Sn＝＝2[1－()n]，又Sm＝，
所以＝2[1－()m]，即()m＝，所以m＝6.
答案：6
例2　解析：設該糖廠第n年的產量為an(n∈N*)萬噸，由題意得a1＝5，＝1.1，
所以{an}是以5為首項，1.1為公比的等比數(shù)列，
所以前n年總產量Sn＝＝50(1.1n－1)，
所以50(1.1n－1)＝30，即1.1n＝1.6，
兩邊同取對數(shù)可得lg 1.1n＝lg 1.6，整理得n＝＝≈5.
所以大約5年，可使總產量達到30萬噸．
鞏固訓練2　解析：用an表示熱氣球在第n分鐘內上升的高度，由題意，得an＋1＝an；因此，數(shù)列{an}是首項a1＝25，
公比q＝的等比數(shù)列，熱氣球在前n分鐘內上升的總高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－()n]<125，
即這個熱氣球上升的高度不可能超過125 m．
例3　解析：(1)設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，
因為S2＝－3，S3＝9，
所以，解得，
所以an＝a1qn－1＝3·(－2)n－1.
(2)因為q＝－2，所以Sn＝＝＝1－(－2)n，
所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，理由如下：
因為Sn＋1＝1－(－2)n＋1，Sn＋2＝1－(－2)n＋2，
所以Sn＋1＋Sn＋2－2Sn＝[1－(－2)n＋1]＋[1－(－2)n＋2]－2[1－(－2)n]
＝1＋2·(－2)n＋1－22·(－2)n－2＋2·(－2)n＝0，
即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．
鞏固訓練3　解析：(1)由題意得，解得，
∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)∵b1＝a1＝＝a6＝16，
又bn＋1>bn，∴b3＝4，公比q＝2，∴Sn＝2n－1，
令2n－1<2 022，得2n<2 023，
令210<2 023<211，所以n的最大值為10.4.4　數(shù)學歸納法
【課標解讀】
1.了解數(shù)學歸納法的原理．
2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題.
新知初探·課前預習——突出基礎性
【教 材 要 點】
要點　數(shù)學歸納法的概念
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當 n＝n0 (n0∈N*) 時命題成立；
(2)(歸納遞推)以當“n＝k (k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法 .
批注 　n0不一定都是1，也可以是其他正整數(shù)．
批注 　主要用于解決與正整數(shù)有關的數(shù)學問題，但并不是所有與正整數(shù)有關的問題都能用數(shù)學歸納法．
【夯 實 雙 基】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，只有第一步就可以．(　　)
(2)在用數(shù)學歸納法時，第二步必須利用歸納假設.(　　)
(3)一個數(shù)列的通項公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易驗證：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性結論：對于任意n∈N*，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是數(shù)學歸納法．(　　)
(4)用數(shù)學歸納法證明命題時，第一步是驗證當n＝1時結論成立．(　　)
2．數(shù)學歸納法證明中，在驗證了n＝1時命題正確，假定n＝k時命題正確，此時k的取值范圍是(　　)
A．k∈N
B．k>1，k∈N*
C．k≥1，k∈N*
D．k>2，k∈N*
3．用數(shù)學歸納法證明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)時，第一步應證明(　　)
A．f(2)＝1＋2
B．f(1)＝1
C．f(1)＝1＋2＋3
D．f(1)＝1＋2＋3＋4
4．用數(shù)學歸納法證明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)時，由n＝k到n＝k＋1時，等式左邊應添加的項是____________．
題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　用數(shù)學歸納法證明等式問題
例1　用數(shù)學歸納法證明：1－＋…＋＝＋…＋(n∈N*)．
[聽課記錄]
【方法總結】
用數(shù)學歸納法證明等式的策略
應用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結構，即：
(1)n＝n0時，等式的結構．
(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結構：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項．
這時一定要弄清三點：
①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項．
②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．
③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關系．
鞏固訓練1　求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1) (n∈N*)．
題型2　歸納—猜想—證明
例2　數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表達式，并加以證明．
[聽課記錄]
【方法總結】
(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．
(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項公式．
鞏固訓練2　已知數(shù)列{bn}的首項b1＝1，其前n項和Bn＝(n＋1)bn，求數(shù)列{bn}的通項公式．
題型3　用數(shù)學歸納法證明幾何問題
例3　 有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證：這n個圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分(n∈N*)．
[聽課記錄]
【方法總結】
對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一個變化的過程，或者說體會出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，關鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時幾何圖形的變化規(guī)律．
鞏固訓練3　證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
*4.4　數(shù)學歸納法
新知初探·課前預習
[夯實雙基]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．答案：C
3．解析：n的初始值應為1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
故選D.
答案：D
4．解析：因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當由n＝k到n＝k＋1時，等式左邊增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．
答案：(2k＋1)＋(2k＋2)
題型探究·課堂解透
例1　證明：(1)當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立．
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，
即1－＋…＋＝＋…＋，
那么當n＝k＋1時，
左邊＝1－＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋.
上式表明當n＝k＋1時，命題也成立．
由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立．
鞏固訓練1　證明：當n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．
假設當n＝k時，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
當n＝k＋1時，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]
所以n＝k＋1時，等式也成立．
綜上所述，等式對任何n∈N*都成立．
例2　解析：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N*)．
下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確：
①當n＝1，2時易知猜想正確．
②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時猜想正確，即ak＝.
當n＝k＋1時，ak＋1＝＝
＝＝＝
＝＝.
∴當n＝k＋1時猜想也正確．
由①②可知，猜想對任意n∈N*都正確．
鞏固訓練2　解析：由已知條件b1＝1，Bn＝(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝b2，
∴b2＝2.
B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，
∴b3＝3.
B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝b4，
∴b4＝4.
由此猜想：bn＝n(n∈N*)為數(shù)列{bn}的通項公式．
下面用數(shù)學歸納法證明．
①當n＝1時，b1＝1，等式成立．
②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立．
即bk＝k，則當n＝k＋1時，
bk＋1＝Bk＋1－Bk＝(k＋1＋1)bk＋1－(k＋1)bk，
整理得bk＋1＝·bk＝k＋1，
即當n＝k＋1時，bk＋1＝k＋1.
由①②知，對任意n∈N*，都有bn＝n.
例3　證明：①當n＝1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時命題成立．
②假設n＝k(k≥1)時命題成立．
即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分．
則n＝k＋1時，在k＋1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以當n＝k＋1時，命題成立．
綜合①②可知，對一切n∈N*，命題成立．
鞏固訓練3　證明：①當n＝4時，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四邊形有兩條對角線，命題成立．
②假設n＝k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)．
當n＝k＋1時，凸k＋1邊形是在k邊形基礎上增加了一邊，增加了一個頂點Ak＋1，增加的對角線條數(shù)是頂點Ak＋1與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)為(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3].
故n＝k＋1時，命題成立．
由①②可知，對任意n≥4，n∈N*，命題成立．專 項 培 優(yōu)1章末復習課
知識網(wǎng)絡·形成體系
考點聚焦·分類突破
考點一　傳統(tǒng)文化中的數(shù)列問題
1．在以實用為主的古代數(shù)學中，數(shù)列是研究的熱點問題．
2．通過對優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的學習，提升學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例1　(1)大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，按此規(guī)律得到的數(shù)列記為{an}，則a15＝(　　)
A．98　 　B．112　　C．128　　D．132
(2)《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學家婆什迦羅的數(shù)學名著，書中有下面的表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍2由旬(由旬為古印度長度單位)，以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行軍80由旬到達地方城市．下列說法正確的是(　　)
A．前四天共行由旬
B．最后三天共行53由旬
C．從第二天起，每天比前一天多行的路程為由旬
D．第三天行了由旬
(3)[2022·湖南高二期末]《九章算術》敘述了一個老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞進度是前一天的2倍，小老鼠每天的進度是前一天的一半．第3天結束后，兩只老鼠相距(　　)
A．尺 B．尺
C．尺 D．尺
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考點二　等差、等比數(shù)列的基本運算
(1)計算基本量：將條件利用基本量表示，列出方程(組)求解；
(2)利用性質計算：利用數(shù)列的性質轉化條件，簡化運算，常用的性質有等差(比)中項、數(shù)列兩項、四項的關系等；
(3)通過對等差、等比數(shù)列的基本運算的考查，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．
例2　(1)[2022·山東德州高二期中]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋4，若an＝2 022，則n＝(　　)
A．508 B．507
C．506 D．505
(2)[2022·廣東江門高二期末]在等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝1，a4＋a6＝－8，則＝(　　)
A．－8 B．16
C．32 D．－32
(3)[2022·河北邢臺高二期末]已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a2＋a4＝14，且a1，a2，a6成等比數(shù)列，則an＝________．
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考點三　等差、等比數(shù)列的證明
1．等差、等比數(shù)列的判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù)) {an}是等差數(shù)列；＝q(q為常數(shù)，q≠0) {an}是等比數(shù)列．
(2)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差數(shù)列；＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比數(shù)列．
(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù)) {an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù)) {an}是等比數(shù)列．
(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*) {an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比數(shù)列．
2．通過對等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明的考查，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．
例3　已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
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例4　 [2022·江蘇常州高二期末]已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，a2＝5，且2an＋2＝3an＋1－an，n∈N*.
(1)設bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}滿足an≤m(n∈N*)，求實數(shù)m的取值范圍．
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考點四　數(shù)列通項公式與求和
(1)當已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時，只需利用條件求出基本量(首項a1及公差d或公比q)即可寫出通項公式，解題時務必要分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，切不可張冠李戴．
(2)對于由Sn與an構成的遞推關系式，通常是通過an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(當消去Sn困難時)兩種途徑解決問題．對于由Sn與Sn＋1構成的遞推關系式，通常通過an＝Sn－Sn－1(n≥2)構建an求解．注意表達式an＝，若n＝1時，an(n≥2)表達式的值不等于a1，則數(shù)列的通項公式要分段表示．
(3)求數(shù)列的前n項和，根據(jù)數(shù)列的不同特點，常有方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法．
(4)通過對數(shù)列通項公式及數(shù)列求和的考查，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．
例5　[2022·河北石家莊高二期末]已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，S5＝20，且a3，a5，a10成等比數(shù)列
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝an＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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例6　[2022·山東日照高二期末]已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a2＝7，S5＝55.
(1)求an，Sn；
(2)若數(shù)列{}的前n項和為Tn，求滿足Tn>的最小正整數(shù)n.
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例7　[2022·廣東湛江高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿足an＋2an＋1＝3n＋5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝(an＋2)2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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