資源簡介

1．1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
[課標(biāo)解讀]　1.理解空間向量的概念.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.3.掌握共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間向量的有關(guān)概念
定義 在空間，把具有________和________的量叫做空間向量．
長度 空間向量的________叫做空間向量的長度或________．
表示法 ①幾何表示法：空間向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作，其模記為|a|或||.
狀元隨筆　空間向量在空間中是可以任意平移的．
要點(diǎn)二　幾類特殊向量
零向量 長度為零的向量
單位向量 模為________的向量
相反向量 與a長度________而方向________的向量稱為a的相反向量
相等向量 方向________且模________的向量
共線向量 (平行向量) 有向線段所在的直線互相________或________的向量
狀元隨筆　類比平面向量記憶．
要點(diǎn)三　空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算
運(yùn)算 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 a＋b (1)交換律： a＋b＝________； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝__________
減法 a－b a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 λa (1)|λa|＝________； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
狀元隨筆　當(dāng)兩個(gè)以上的空間向量相加時(shí)，可將三角形法則推廣到多邊形法則：n個(gè)向量首尾順次相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和，即＝．
注意實(shí)數(shù)與向量的乘積的特殊情況：當(dāng)λ＝0時(shí)，λ→＝；當(dāng)λ≠0時(shí)，若＝，則λ＝．
要點(diǎn)四　方向向量
在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的________稱為直線l的方向向量．也就是說直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．
要點(diǎn)五　共面向量
1．定義：平行于____________的向量叫做共面向量．
2．共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b________，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是________________________________．
狀元隨筆　向量與，共面的充要條件是在向量與不共線的前提下才成立的，若與共線，則不成立．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)空間兩個(gè)向量的加減運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一致．(　　)
(2)若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面．(　　)
(3)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量．(　　)
(4)若P，M，A，B共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使＝x＋y.(　　)
2．下列說法正確的是(　　)
A．任一空間向量與它的相反向量都不相等
B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量
D．不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等
3．d1，d2都是直線l的方向向量，則下列說法中正確的是(　　)
A．d1∥d2B．d1＝d2
C．d1與d2同向 D．d1與d2反向
4．如圖，已知平行六面體ABCD A1B1C1D1，在下列選項(xiàng)中，與相等的向量是(　　)
A．B．
C．D．
5．已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則＝________．
題型 1有關(guān)空間向量概念的理解
例1　(1)(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|
C．空間向量的減法滿足結(jié)合律
D．若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD A′B′C′D′中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量相等的向量有________；與向量相反的向量有________________．(要求寫出所有適合條件的向量)
方法歸納
判斷空間向量有關(guān)概念問題的策略
鞏固訓(xùn)練1　下列關(guān)于單位向量與零向量的敘述正確的是(　　)
A.零向量是沒有方向的向量，兩個(gè)單位向量的模相等
B.零向量的方向是任意的，所有單位向量都相等
C．零向量的長度為0，單位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一個(gè)方向，模相等的單位向量的方向不一定相同
題型 2　空間向量的線性運(yùn)算
例2　(1)(多選)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是(　　)
A．B．
C．D．
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③．
方法歸納
空間向量線性運(yùn)算的3個(gè)技巧
鞏固訓(xùn)練2　如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG＝2GN，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量.
題型 3　共線問題
例3　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F(xiàn)在對角線A1C上，且＝，求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
方法歸納
證明空間三點(diǎn)共線的三種思路
鞏固訓(xùn)練3　
如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且＝＝.求證：四邊形EFGH是梯形．
題型 4共面問題
例4　已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足＝.
(1)判斷三個(gè)向量是否共面；
(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi)．
方法歸納
解決向量共面的策略
鞏固訓(xùn)練4　
如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．
易錯(cuò)辨析　錯(cuò)把向量與平面平行認(rèn)為線面平行
例5　已知AB，CD是異面直線，CD α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．證明：MN∥α.
證明：因?yàn)镃D α，AB∥α，且AB，CD是異面直線，所以在平面α內(nèi)存在向量a，b使得＝a，＝b，且兩個(gè)向量不共線．
由M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，得＝)＝)＝(a＋b)．所以，a，b共面，
所以MN∥α或MN α.
若MN α，
則AB，CD必在平面α內(nèi)，
這與已知AB，CD是異面直線矛盾．故MN∥α.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
本題易由＝(a＋b)直接得到MN∥α.忽略對MN α這種情況的討論． 線面平行要求直線必須在平面外，而在利用向量證明線面平行時(shí)，需要說明對應(yīng)的直線和平面之間的位置關(guān)系．
1．1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
大小　方向　大小　模　有向線段
要點(diǎn)二
1　相等　相反　相同　相等　平行　重合
要點(diǎn)三
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反
要點(diǎn)四
非零向量
要點(diǎn)五
1．同一個(gè)平面
2．不共線　存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：零向量的相反向量是本身，故A錯(cuò)；終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故B錯(cuò)；向量不能比較大小，故C錯(cuò)；相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確．
答案：D
3．解析：由題意，向量d1，d2都是直線l的方向向量，
根據(jù)直線的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共線向量，即d1∥d2.
答案：A
4．解析：與相等的向量是．
答案：C
5．解析：＝＝＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；根據(jù)相等向量的定義知D正確．故選BD.
(2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量相等的向量有，與向量相反的向量有.
答案：(1)BD
(2)；
鞏固訓(xùn)練1　解析：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模议L度為0，兩個(gè)單位向量的模相等，但方向不一定相同，故選C.
答案：C
例2　解析：(1)A中＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．故選AB.
(2)①∵點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，∴＝＋＝＋＝a＋c＋b，
②∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c，
③∵點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)＝＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
答案：(1)AB　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練2　解析：＝
＝
＝)
＝)
＝)]
＝＝a＋b＋c.
例3　證明：設(shè)＝a，＝＝c.
∵＝，＝，
∴＝，＝．
∴＝＝b，＝)＝)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．
鞏固訓(xùn)練3　證明：∵E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴＝＝.
則＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠|(zhì)|.
又F不在EH上，故四邊形EFGH是梯形．
例4　解析：(1)∵＝3，
∴＝()＋()，
∴＝＝－，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．
鞏固訓(xùn)練4　證明：令＝＝b，＝c，
∵M(jìn)，N，P，Q均為棱的中點(diǎn)，
∴＝b－a，＝＋A1P＝a＋c，＝＋＝－a＋b＋c.
令＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
則－a＋b＋c＝λ(b－a)＋μ(a＋c)＝(μ－λ)a＋λb＋μ c，
∴解得
∴＝2，
∴向量共面，
∴M，N，P，Q四點(diǎn)共面．1.1.2　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
[課標(biāo)解讀]　1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運(yùn)算律.3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間向量的夾角
1．夾角的定義
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作________．
狀元隨筆　關(guān)鍵是起點(diǎn)相同！
2．夾角的范圍
空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0，π].特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝________時(shí)，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝時(shí)，兩向量________，記作________．
狀元隨筆　兩個(gè)向量的夾角是唯一確定的，且〈，〉＝〈，〉．
要點(diǎn)二　空間向量數(shù)量積
1．概念：已知兩個(gè)非零向量a，b，則__________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
狀元隨筆　(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量．(2)零向量與任意向量的數(shù)量積等于零．
2．投影向量：向量a向向量b投影，得到c＝____________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
3．性質(zhì)
a⊥b ______，|a|2＝________,__|a|＝________，cos 〈a，b〉＝____________
4．運(yùn)算律
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交換律)．
a·(b＋c)＝________(分配律)．
狀元隨筆　特別提醒：不滿足結(jié)合律( ·) ·＝ ·( ·)．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos 〈a，b〉·.(　　)
(2)對于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.(　　)
(4)在△ABC中，〈〉＝∠B.(　　)
2．(多選)設(shè)a，b為空間中的兩個(gè)非零向量，則下列各式正確的是(　　)
A．a(chǎn)2＝|a|2
B．＝
C．(a·b)2＝a2·b2
D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
3．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
4．在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝＝c，則a·(b＋c)的值為(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．
題型 1　數(shù)量積的運(yùn)算
例1　
如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
方法歸納
計(jì)算空間向量數(shù)量積的2種方法
鞏固訓(xùn)練1　如圖，正方體ABCD A1B1C1D1 的邊長為1，求：
；
；
．
題型 2　用數(shù)量積求角度
例2　如圖，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．
方法歸納
利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟
鞏固訓(xùn)練2　如圖，在正方ABCD A1B1C1D1中，求與夾角的大小．
題型 3　用數(shù)量積判斷或證明垂直問題
例3　已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC.
方法歸納
利用向量數(shù)量積判斷或證明垂直問題的策略
鞏固訓(xùn)練3　已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關(guān)系為________．(填“平行”或“垂直”)
題型 4　用數(shù)量積求長度
例4　如圖，已知 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，則PC的長為________．
方法歸納
求解長度問題時(shí)，先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)向量和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可．
鞏固訓(xùn)練4　在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．
易錯(cuò)辨析　混淆向量的夾角與空間角
例5　如圖所示，在平面角為120° 的二面角α AB β中，AC α，BD β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求線段CD的長．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α AB β的平面角為120°，∴〈〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
本題易錯(cuò)的地方是混淆二面角的平面角與向量夾角的概念，而誤認(rèn)為向量的夾角〈〉＝120°，得到錯(cuò)誤答案CD＝6. 利用數(shù)量積的性質(zhì)求解有關(guān)平面或空間中角的問題時(shí)，要特別注意向量的夾角與所求角的區(qū)別與聯(lián)系，切不可忽略角的取值范圍而盲目套用．利用向量求二面角的平面角時(shí)，一般不能保證所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的補(bǔ)角，這時(shí)要結(jié)合實(shí)際圖形對所求的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚?br/>1．1.2　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
1．〈a，b〉
2．π　垂直　a⊥b
要點(diǎn)二
1．|a||b|cos 〈a，b〉 　2.|a|cos 〈a，b〉　3.a·b＝0　a·a　　4.(λa)·b　b·a　a·b＋a·c
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：AD
3．解析：因?yàn)椋剑耘c的夾角為45°，故A正確；因?yàn)椋剑耘c的夾角為135°，故B不正確；因?yàn)椋剑耘c的夾角為90°，故C不正確；因?yàn)椋剑耘c的夾角為180°，故D不正確．
答案：A
4．解析：由題意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，
所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，
所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
答案：B
5．解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：①·＝·
＝||||cos 〈〉
＝cos 60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③·＝·＝||·||·cos 〈〉＝ cos 120°＝－.
④·＝·()
＝··
＝||||cos 〈〉－||||cos 〈〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
鞏固訓(xùn)練1　解析：＝0
＝|cos 45°＝1.
＝〉＝＝－1.
例2　解析：不妨設(shè)棱長為2，則＝－＝，
，〉＝
＝＝0.
答案：0
鞏固訓(xùn)練2　解析：不妨設(shè)正方體的棱長為1，
則·＝)·()
＝)·()
＝·
＝0＋＋0＋0＝＝1，
又因?yàn)閨＝，||＝，
所以，〉＝＝＝.
因?yàn)椋怠蔥0，π]，所以，〉＝，
即與夾角的大小為.
例3　證明：連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又設(shè)＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|.
又＝)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
鞏固訓(xùn)練3　解析：∵·＝()·()＝··－·
＝·()＝·＝0，
∴AD與BC垂直．
答案：垂直
例4　解析：∵＝，
∴||2＝·＝()2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7.
答案：7
鞏固訓(xùn)練4　解析：因?yàn)椋剑?br/>所以＝)2＝)．
因?yàn)椤螧AD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因?yàn)椋絴2，所以|2＝23，
則|＝，即AC1＝.1.2　空間向量基本定理
[課標(biāo)解讀]　1.了解空間向量的基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________. 其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．
狀元隨筆　由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是．
一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．
要點(diǎn)二　單位正交基底
空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}，對空間中的任意a，均可以分解成三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．
基礎(chǔ)自測
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示.(　　)
(2)若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量．(　　)
(3)對于三個(gè)不共面向量a1，a2，a3，不存在實(shí)數(shù)組{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　)
(4)任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(　　)
2．在長方體ABCD A1B1C1D1中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是(　　)
A．
，
3．已知{a，b，c}能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下面的各組向量中，不能構(gòu)成空間基底的是(　　)
A．a(chǎn)＋b，b，c
B．a(chǎn)，a－b，c
C．a(chǎn)－c，b－c，a－b
D．a(chǎn)，b，a＋b＋c
4．如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有(　　)
A．a(chǎn)與b共線 B．a(chǎn)與b同向
C．a(chǎn)與b反向 D．a(chǎn)與b共面
5．已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，若λe1＋μe2＋νe3＝0，則λ2＋μ2＋ν2＝________．
題型 1　基底的判斷
例1　已知{i，j，k}是空間的一個(gè)基底，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，試判斷{}能否作為空間的一個(gè)基底．
方法歸納
判斷空間向量基底的方法
鞏固訓(xùn)練1　(多選)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組，其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組是(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
題型 2　用基底表示向量
例2　如圖，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M，N分別是BC′，B′C′的中點(diǎn)，試用基底{a，b，c}表示向量.
方法歸納
用基底表示向量時(shí)，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．
鞏固訓(xùn)練2　在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，若＝a，＝＝c.用基底{a，b，c}表示向量.
題型 3　空間向量基本定理的應(yīng)用
例3　如圖，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點(diǎn)．
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
方法歸納
應(yīng)用空間向量基本定理解決問題的一般步驟
鞏固訓(xùn)練3　如圖，正方體ABCD A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別為C′D′，A′D′的中點(diǎn)．求證：EF∥AC.
易錯(cuò)辨析　對基底理解不清致誤
例4　在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)．若＝＝b，＝c，試用基底{a，b，c}表示向量．
解析：如圖，連接A1M，A1C1，則＝＝)＝)＝)＝－a－b＋c.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
本題易錯(cuò)的地方是向量分解的不徹底，可能會(huì)得到如下錯(cuò)解：＝＝)＝c＋－a－b， 事實(shí)上，仍需用基底表示． 基底可以表示空間內(nèi)任一向量，用基底表示向量時(shí)，最后結(jié)果應(yīng)含基向量．
1．2　空間向量基本定理
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)
xa＋yb＋zc
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由空間向量基本定理可知C正確．
答案：C
3．解析：由圖形結(jié)合分析a－c，b－c，a－b，三個(gè)向量共面，不構(gòu)成基底．
答案：C
4．解析：由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，
向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線．
答案：A
5．解析：∵{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，∴e1，e2，e3為不共面向量．
又∵λe1＋μe2＋νe3＝0，∴λ＝μ＝ν＝0，∴λ2＋μ2＋ν2＝0.
答案：0
題型探究·課堂解透
例1　解析：假設(shè)共面，
由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，
使得＝x＋y成立，
i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k.
因?yàn)閧i，j，k}是空間的一個(gè)基底，所以i，j，k不共面，
所以此方程組無解．
即不存在實(shí)數(shù)x，y，
使得＝x＋y成立，
所以{}能作為空間的一個(gè)基底．
鞏固訓(xùn)練1　解析：
如圖所示，令a＝，b＝，c＝，
則x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝．由于A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故選BCD.
答案：BCD
例2　解析：＝＝)＝＝)＋＝＝(a＋b＋c)．
＝＝)
＝)＝a＋b＋c.
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意可得
＝＋＝＝)＝c＋(b－a)，
故＝－a＋b＋c.
例3　解析：(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，這三個(gè)向量不共面，則|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
所以＝b＋c，＝－c＋b－a.
所以·＝－c2＋b2＝0，
所以⊥，即CE⊥A′D.
(2)因?yàn)椋剑璦＋c，所以||＝|a|，
由(1)得||＝|a|，
所以·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
所以cos 〈〉＝＝.
所以異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
鞏固訓(xùn)練3　證明：設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，
則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．
所以＝＝i－j＝(i－j)，
＝＝i－j.
所以＝.
所以EF∥AC.1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
[課標(biāo)解讀]　1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性.2.會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間直角坐標(biāo)系
空間直角 坐標(biāo)系 在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做________．
坐標(biāo)平面 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，由兩條坐標(biāo)軸確定的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為________平面，________平面，________平面．
右手直角 坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，讓右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
狀元隨筆　畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy＝135 °(或45 °)，∠yOz＝90 °.
要點(diǎn)二　空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量，在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作________，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．
狀元隨筆　(1)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征：x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為0；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為0；z軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為0.
(2)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的特征：xOy平面上的點(diǎn)豎坐標(biāo)為0；yOz平面上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0；xOz平面上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0.
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的．(　　)
(2)空間直角坐標(biāo)系中x軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝0，豎坐標(biāo)z＝0.(　　)
(3)空間直角坐標(biāo)系中xOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z＝0.(　　)
(4)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)相反．(　　)
2．點(diǎn)(2，0，3)在空間直角坐標(biāo)系中的(　　)
A．y軸上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限內(nèi)
3．已知點(diǎn)A(－1，2，7)，則點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2，7)
C．(1，－2，－7) D．(1，2，－7)
4．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(1，－2，5)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)B為(　　)
A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5)
C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5)
5．在空間直角坐標(biāo)系中，自點(diǎn)P(－4，－2，3)引x軸的垂線，則垂足的坐標(biāo)為________．
題型 1　已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置
例1　在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，畫出下列各點(diǎn)：
A (0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0), A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．
方法歸納
由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)位置的方法
(1)先確定點(diǎn)(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(x0，y0，z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置；
(2)以原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造棱長分別為|x0|，|y0|，|z0|的長方體(三條棱的位置要與x0，y0，z0的符號一致)，則長方體中與O相對的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．
鞏固訓(xùn)練1　在空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出點(diǎn)M(2，－6，4)．
題型 2　求空間點(diǎn)及向量的坐標(biāo)
例2　如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，的坐標(biāo)．
方法歸納
求空間向量坐標(biāo)的兩種方法
鞏固訓(xùn)練2　
已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．
(1)寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)寫出向量，，的坐標(biāo)．
題型 3　求空間對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
例3　在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2，1，4)．
(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
方法歸納
求空間對稱點(diǎn)的2個(gè)策略
鞏固訓(xùn)練3　求點(diǎn)(－2，1，4)關(guān)于y軸，z軸，yOz面，xOz面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
易錯(cuò)辨析　建錯(cuò)空間直角坐標(biāo)系
例4　在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知△ABC的邊長為1，三棱柱的高為2，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解析：分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，以D為原點(diǎn)的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，，0)，B(－，0，0)，C(，0，0)，A1(0，，2)，B1(－，0，2)，C1(，0，2)．
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
建系時(shí)，誤認(rèn)為與垂直，從而以A為原點(diǎn)的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立坐標(biāo)系導(dǎo)致錯(cuò)誤． 在建系時(shí)應(yīng)注意，若圖中沒有直接建系的條件，則應(yīng)根據(jù)已知條件，通過作輔助線來創(chuàng)造合適的建系條件．
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
坐標(biāo)向量　Oxy　Oyz　Oxz　x軸　y軸　z軸
要點(diǎn)二
A(x，y，z)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：點(diǎn)(2，0，3)的y軸坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上．
答案：C
3．解析：點(diǎn)(－1，2，7)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－2，－7)．
答案：A
4．解析：關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同．
答案：B
5．解析：∵點(diǎn)P(－4，－2，3)，
∴自點(diǎn)P引x軸的垂線，垂足坐標(biāo)為(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
題型探究·課堂解透
例1　解析：點(diǎn)A為原點(diǎn)．點(diǎn)B為x軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)．
點(diǎn)C的豎坐標(biāo)為0，因此點(diǎn) C 就是xOy平面內(nèi)橫坐標(biāo)為2、縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)．點(diǎn)D是y軸上坐標(biāo)為3的點(diǎn)．點(diǎn)A′是z軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)．點(diǎn)B′是zOx平面內(nèi)橫坐標(biāo)為2、豎坐標(biāo)也為2的點(diǎn)．
要作出點(diǎn)C′(2，3，2)，只需過x軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)B，
作垂直于x軸的平面α，過y軸上坐標(biāo)為3的點(diǎn)D，
作垂直于y軸的平面β.
根據(jù)幾何知識可以得出：這兩個(gè)平面的交線就是經(jīng)過點(diǎn) C(2，3，0)，且與z軸平行的直線l.再過z軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)A′作垂直于z軸的平面γ，那么直線l與平面γ的交點(diǎn)也是三個(gè)平面α，β，γ的交點(diǎn)，就是點(diǎn)C′.
點(diǎn)D′是yOz平面內(nèi)縱坐標(biāo)為3、豎坐標(biāo)為2的點(diǎn)．
在同一空間直角坐標(biāo)系中，畫出以上各點(diǎn)，它們剛好是長方體ABCD A′B′C′D′的八個(gè)頂點(diǎn)(如圖)．
鞏固訓(xùn)練1　解析：方法一　先確定點(diǎn)M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因?yàn)辄c(diǎn)M的豎坐標(biāo)為4，
則|MM′|＝4，且點(diǎn)M和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就可確定點(diǎn)M的位置了(如圖所示)．
方法二　以O(shè)為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造三條棱長分別為2，6，4的長方體，使此長方體在點(diǎn)O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上，則長方體中與頂點(diǎn)O相對的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)(圖略)．
例2　解析：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，
分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如圖所示．
則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)
∴＝＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)由題圖知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)．
(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得E(2，2，1)，F(xiàn)(0，1，0)．
所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1)．
例3　解析：(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．
(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2，1，－4)．
(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐標(biāo)為(6，－3，－12)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(2，1，－4)，
(2)點(diǎn)P關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(2，－1，4)，
(3)點(diǎn)P關(guān)于面yOz的對稱點(diǎn)為P3(2，1，4)，
(4)點(diǎn)P關(guān)于面xOz的對稱點(diǎn)為P4(－2，－1，4)．1.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
[課標(biāo)解讀]　1.掌握空間向量的坐標(biāo)表示.2.掌握空間兩點(diǎn)間距離公式.3.會(huì)用向量的坐標(biāo)解決一些簡單的幾何問題．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運(yùn)算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝__________________
減法 a－b a－b＝__________________
數(shù)乘 λa λa＝__________________
數(shù)量積 a·b a·b＝__________________
狀元隨筆　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．
要點(diǎn)二　空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標(biāo)表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a·b＝______________
模 |a|＝ |a|＝________________
夾角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝
狀元隨筆　＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，若∥，則＝＝成立的條件是x2y2z2≠0.
要點(diǎn)三　空間兩點(diǎn)間的距離公式
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|＝________________．
狀元隨筆　(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式類似于平面中的兩點(diǎn)之間的距離公式，可以類比記憶．
(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，則||＝.
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)空間直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同．(　　)
(2)“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．(　　)
(3)四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標(biāo)相同．(　　)
(4)設(shè)A(0，1，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝(0，1，－1)．(　　)
2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，則a＋2b＝(　　)
A．(－1，2，5) B．(－1，4，5)
C．(1，2，5) D．(1，4，5)
3．已知向量＝(1，0，1)，＝(2，1，－1)，那么向量＝(　　)
A．(3，1，0) B．(－1，－1，2)
C．(1，1，－2) D．
4．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，則a·b＝(　　)
A．3 B．4
C．2 D．6
5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，則的模為________．
題型 1　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例1　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，則cos〈a，b〉＝________．
方法歸納
空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的3類問題及解題方法
　
鞏固訓(xùn)練1　(1)已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
(2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，則a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
題型 2　空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示
角度1　由平行、垂直關(guān)系求參數(shù)
例2　已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝，b＝.
(1)設(shè)|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
方法歸納
解答此類問題只需根據(jù)平行、垂直的條件建立方程(組)求解即可．
鞏固訓(xùn)練2　(1)已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b與向量c＝(m，2，n)平行，則實(shí)數(shù)n的值是(　　)
A．6 B．－6
C．4 D．－4
(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b與b互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值是________．
角度2　平行、垂直關(guān)系在立體幾何證明中的應(yīng)用
例3　在正方體ABCD A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD，A1C1的中點(diǎn)．
求證：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
方法歸納
對于一些以正方體、長方體或其他具備垂直關(guān)系的幾何體作為載體的立體幾何問題，可以優(yōu)先考慮坐標(biāo)法，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于拋開了繁雜的推理論證，僅通過計(jì)算即可獲得一些平行、垂直關(guān)系．
鞏固訓(xùn)練3　
如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
題型 3　向量夾角與長度的計(jì)算
例4　如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，且PA＝AD＝2.
(1)求M，N兩點(diǎn)之間的距離；
(2)求直線PA與MN所成的角．
方法歸納
利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角、距離的步驟
鞏固訓(xùn)練4　已知正三棱柱ABC A1B1C1，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點(diǎn)O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(1)求三棱柱的側(cè)棱長；
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值．
易錯(cuò)辨析　忽視兩個(gè)向量夾角為銳角(鈍角)的條件致誤例5　已知a＝(5，3，－1)，b＝(2，t，－)，若a與b的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解析：因?yàn)閍，b的夾角為銳角，所以a·b>0，即10＋3t＋>0，則t>－，又當(dāng)夾角為0°時(shí)，存在λ>0，使b＝λa，
即(2，t，－)＝λ(5，3，－1)，所以
解得t＝.
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－，＋∞)．
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
由a與b的夾角為銳角，得到a·b>0，但當(dāng)a·b>0時(shí)，a與b的夾角不一定為銳角，還可能是共線同向，夾角為0°，解題時(shí)容易忽視這個(gè)條件，導(dǎo)致擴(kuò)大了參數(shù)的范圍． 空間向量a，b夾角為銳角的充要條件是“a·b>0，且a，b不同向”；a，b夾角為鈍角的充要條件是“a·b<0，且a，b不反向”．如果在求解過程中，忽視兩個(gè)向量共線的情況，就有可能擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤．
1.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(λa1，λa2，λa3)　a1b1＋a2b2＋a3b3
要點(diǎn)二
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　
要點(diǎn)三
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．
答案：A
3．解析：∵向量＝(1，0，1)，＝(2，1，－1)，
∴向量＝＝(1，1，－2)．
答案：C
4．解析：∵a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，∴a·b＝－3＋10－5＝2.
答案：C
5．解析：A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，
則＝(－1，1，－1)
所以||＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
由題設(shè)可得解得
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，
a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝，|b|＝，
cos 〈a，b〉＝＝－.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)設(shè)B(x，y，z)，
∵A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，
∴(x－1，y＋2，z)＝(－6，8，24)，
∴，解得x＝－5，y＝6，z＝24，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－5，6，24)．
(2)a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：(1)D　(2)－2　5
例2　解析：(1)因?yàn)椋?－2，－1，2)，且c∥，
所以設(shè)c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1，即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因?yàn)閍＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)∵a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)，
∴a＋b＝(1，－1，2)，
又因?yàn)橄蛄縜＋b與向量c＝(m，2，n)平行，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使得λ(a＋b)＝c，
∴，解得.
(2)因?yàn)閍＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
又ka＋b與b互相垂直，
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
答案：(1)D　(2)5
例3　證明：
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得E(1，1，)，F(xiàn)(1，，0)，G(，1，0)，H(，1).
＝(1，0，1)，＝(，0，)，＝(－，－)．
因?yàn)椋健ぃ?×(－)＋1×＝0，
所以⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)＝(，1，－1)，＝(1，－，0)，＝(1，0，)．因?yàn)椤ぃ剑?＝0，·＝＋0－＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
因?yàn)镈F＝D，所以A1G⊥平面EFD.
鞏固訓(xùn)練3　
證明：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC＝N，連接NE，
則點(diǎn)N，E的坐標(biāo)分別為
，(0，0，1)．
∴＝.
又點(diǎn)A，M的坐標(biāo)分別是(，0)，，
∴＝.
∴＝.
又NE與AM不共線，∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(xiàn)(，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
例4　解析：(1)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(－2，0，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，
所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)，
所以＝(－1，0，1)，
故M，N兩點(diǎn)之間的距離||＝＝.
(2)由題易得＝(0，0，2)，＝(－1，0，1)，
cos 〈〉＝＝＝，
所以直線PA與MN所成的角為45°.
鞏固訓(xùn)練4　解析：(1)設(shè)側(cè)棱長為b，則A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝＝(－，1，b)．因?yàn)锳B1⊥BC1，所以＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.故側(cè)棱長為.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，因?yàn)閨＝＝，
||＝＝·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以，〉＝＝＝－.又因異面直線所成角為銳角或直角，所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.第1課時(shí)　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
[課標(biāo)解讀]　1.了解空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示.2.掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念及求法．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
點(diǎn)P的位 置向量 在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P可以用向量__________表示，我們把向量__________稱為點(diǎn)P的位置向量．
空間直線 的向量表 示式　　 a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝________，也可以表示為＝__________．這兩個(gè)式子稱為空間直線的向量表示式．
空間平面 ABC的向 量表示式 設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得＝________．那么取定空間任意一點(diǎn)O，可以得到，空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使＝______________，這就是空間平面ABC的向量表示式．
狀元隨筆　(1)空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．
(2)空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．
要點(diǎn)二　直線的方向向量與平面的法向量
1．直線的方向向量的定義
直線的方向向量是指和這條直線________的非零向量．
狀元隨筆　一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)．
2．平面的法向量的定義
直線l⊥α，取直線l的__________a，則向量a叫做平面α的法向量．
狀元隨筆　一個(gè)平面的法向量不是唯一的，一個(gè)平面的所有法向量共線．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B表示的向量都可作為該直線的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2為平面α的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行．(　　)
(3)直線的方向向量是唯一的．(　　)
(4)若都是直線l的方向向量，則∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(　　)
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
3．設(shè)平面α內(nèi)兩向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，則下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1) D．(1，－1，－1)
4．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
5．在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD A1B1C1D1表示棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論：
①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0，0，1)；②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0，1，1)；③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0，1，0)；④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1，1，1)．
其中正確的是________．(填序號)
題型 1　直線的方向向量
例1　已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于(　　)
A．0 B．1
C． D．3
方法歸納
利用向量共線定理可求解．
鞏固訓(xùn)練1　(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是(　　)
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
題型 2　求平面的法向量
例2　如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量．
方法歸納
利用待定系數(shù)法求法向量的步驟
鞏固訓(xùn)練2　如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一個(gè)法向量．
第1課時(shí)　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
　 ＋ta　 ＋t　xa＋yb　 ＋x＋y
要點(diǎn)二
1．平行或共線　2.方向向量
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．故選A.
答案：A
3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
4．解析：由l1∥l2得＝＝，解得x＝6，y＝.
答案：D
5．解析：＝＝(0，0，1)，故①正確；＝＝(0，1，1)，故②正確；直線AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故③正確；向量的坐標(biāo)為(1，1，1)，與平面B1CD不垂直，∴④錯(cuò)．
答案：①②③
題型探究·課堂解透
例1　解析：∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3),
∵直線l的一個(gè)方向向量為m＝(2，－1，3)，故設(shè)＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得 k＝－，y＝z＝.
∴y－z＝0.
答案：A
鞏固訓(xùn)練1　解析：∵M(jìn)，N在直線l上，∴＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直線l的一個(gè)方向向量．
答案：AB
例2　解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，，0)，P(0，0，1)，E，C(1，，0)，
于是＝＝(1，，0)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
所以
令y＝－1，則x＝z＝.
所以平面ACE的一個(gè)法向量為n＝(，－1，)．
鞏固訓(xùn)練2　
解析：∵四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸和z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E為B1D1的中點(diǎn)，∴E.
設(shè)平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
又＝，＝(0，1，－1)，
由n1⊥，n1⊥，
得取z1＝1，
則則n1＝(－1，1，1)．
設(shè)平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
由＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，
而，n2⊥，
所以
令z2＝1，則∴n2＝(0，1，1)．第2課時(shí)　空間中直線、平面的平行
[課標(biāo)解讀]　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)　空間中平行關(guān)系的向量表示
線線 平行 設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2 ________ ______________________
線面 平行 設(shè)l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α ________ __________________
面面 平行 設(shè)α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β ________ ________________
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量．(　　)
(2)直線l的一個(gè)方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1，1)，則l∥α.(　　)
(3)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直．(　　)
2．(多選)下列命題中正確的是(　　)
A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，且向量a與平面α共面，則a·n＝0
D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直
3．若直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，則l1，l2的位置關(guān)系是(　　)
A．垂直 B．重合
C．平行 D．平行或重合
4．已知直線l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．以上選項(xiàng)都不對
5．已知兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，則平面α，β的位置關(guān)系是________．
題型 1　利用空間向量證明線線平行
例1　在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，點(diǎn)P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.
方法歸納
利用向量法證明線線平行的2種方法
鞏固訓(xùn)練1　如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．
題型 2　利用空間向量證明線面平行
例2　在四棱錐P ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB.
方法歸納
利用空間向量證明線面平行的3種方法
鞏固訓(xùn)練2　在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.
題型 3　利用空間向量證明面面平行
例3　已知正方體ABCD A′B′C′D′，求證：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法歸納
利用空間向量證明面面平行的方法
鞏固訓(xùn)練3　如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．求證：平面EGF∥平面ABD.
易錯(cuò)辨析　忽視直線與平面平行的條件致誤
例4　已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，則直線DE與平面ABC(　　)
A．直線DE與平面ABC平行
B．DE 平面ABC
C．直線DE與平面ABC相交
D．直線DE與平面ABC平行或DE 平面ABC
解析：因?yàn)椋?－1，1，1)，＝(1，0，－1)，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，1)，則n·＝0，n·＝0，
所以解得所以n＝(1，0，1)．
又＝(－1，－2，1)，
所以·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，
所以⊥n，所以DE∥平面ABC或DE 平面ABC.
因?yàn)椋?1，1，－1)，所以＝2，
所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，
即點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，所以DE 平面ABC，選B.
答案：B
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
本題易得直線DE的方向向量與平面ABC的法向量垂直，進(jìn)而得到直線DE與平面ABC平行的錯(cuò)誤解答，實(shí)際上，當(dāng)直線DE在平面ABC內(nèi)，也有與平面ABC的法向量垂直，因此，需進(jìn)一步判斷DE是否在平面ABC內(nèi)． 當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí)，直線與平面的位置關(guān)系有兩種：一是直線與平面平行；二是直線在平面內(nèi)，具體是哪一種，應(yīng)進(jìn)一步考查．
第2課時(shí)　空間中直線、平面的平行
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)
u1∥u2　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　u·n＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　n1∥n2　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：B不正確，C、D正確．B中若α∥β，則n1∥n2.
答案：ACD
3．解析：因?yàn)関1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1與l2重合．
答案：D
4．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
則a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直線l與平面α的位置關(guān)系是l∥α或l α.
答案：D
5．解析：∵n1＝＝(3，6，6)，
∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.
答案：α∥β
題型探究·課堂解透
例1　證明：方法一　以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
方法二　＝
＝，
＝＋＝＋，
∴＝，∴∥，即RS∥PQ.
鞏固訓(xùn)練1　證明：
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(xiàn)(1，1，)，
∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝，
∥，
又∵F AE，F(xiàn) EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四邊形AEC1F是平行四邊形．
例2　
證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，
設(shè)PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，
依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E.
方法一　設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又＝＝，
則有即
即
令z＝1，則所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，所以＝.
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，這表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
則有
解得
所以＝－，
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
鞏固訓(xùn)練2　證明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(xiàn)(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
設(shè)平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3　
證明：方法一　設(shè)正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．
設(shè)平面AB′D′的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即
令y1＝1，可得平面AB′D′的一個(gè)法向量為n1＝(－1，1，－1)．
設(shè)平面BDC′的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，
由得
令y2＝1，可得平面BDC′的一個(gè)法向量為n2＝(－1，1，－1)．
則n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.
方法二　同方法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，
所以＝＝，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
又BC′，DC′ 平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.
又AD′＝A，AD′，AB′ 平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′.
鞏固訓(xùn)練3　
解析：如圖所示，由條件知BA，BC，BB1兩兩互相垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由條件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，1，4)，設(shè)BA＝a，則A(a，0，0)，G.
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，
＝(0，2，－2)，＝，
＝(0，1，1)．
方法一　因?yàn)椤ぃ?，·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因?yàn)锽A＝B，所以B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
方法二　設(shè)平面EGF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即
令y1＝1，則n1＝(0，1，－1)．
設(shè)平面ABD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
則即即
令y2＝1，則n2＝(0，1，－1)．
所以n1＝n2，
所以平面EGF∥平面ABD.第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直
[課標(biāo)解讀]　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關(guān)系．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)　空間中垂直關(guān)系的向量表示
線線 垂直 設(shè)直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2 ________ ____________________．
線面 垂直 設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α ________ ________ ______________________(λ∈R)．
面面 垂直 設(shè)平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β __________ __________ ________________．
狀元隨筆　
(1)若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直．
(2)若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行．
(3)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若兩直線方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．(　　)
(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(　　)
(3)兩個(gè)平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直．(　　)
(4)如果一個(gè)向量與平面內(nèi)兩個(gè)向量垂直，則此向量是平面的一個(gè)法向量．(　　)
2．若直線l1，l2的方向向量分別為m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，則這兩條直線(　　)
A．平行 B．垂直
C．異面垂直 D．垂直相交
3．直線l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，則有(　　)
A．l∥αB．l α或l∥α
C．l與α斜交 D．l⊥α
4．平面α的一個(gè)法向量是(1，2，3)，平面β的一個(gè)法向量是(3，0，－1)，則平面α與β的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交且不垂直
C．相交且垂直 D．不確定
5．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．
題型 1　利用向量方法證明線線垂直
例1　如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
方法歸納
利用向量方法證明線線垂直的2種方法
鞏固訓(xùn)練1　如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.
題型 2　利用向量方法證明線面垂直
例2　如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F.求證：PB⊥平面EFD.
方法歸納
利用坐標(biāo)法證明線面垂直的2種方法及步驟
鞏固訓(xùn)練2　如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面GBD.
題型 3　利用向量方法證明面面垂直
例3　在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.
方法歸納
利用空間向量證明面面垂直的2種方法
鞏固訓(xùn)練3　三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC的中點(diǎn)．
證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)
u·v＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　u∥n　u＝λn　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　n1⊥n2　n1·n2＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：因?yàn)閙·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，所以m⊥n，所以l1⊥l2.
答案：B
3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，
∴a＝－n，則a∥n，
所以l⊥α.
答案：D
4．解析：因?yàn)?1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，所以平面α⊥平面β.
答案：C
5．解析：∵平面α與平面β垂直，
∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.
答案：5
題型探究·課堂解透
例1　證明：方法一　以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD＝a，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F.
∵E在BC上，∴設(shè)E(m，1，0)，
∴＝(m，1，－1)，
＝，
∵·＝0，∴PE⊥AF.
∴無論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.
方法二　因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上，可設(shè)＝λ，
于是·＝()·)
＝＋λ)·()
＝····＋λ·＋λ·)
＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，
因此⊥.
故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
鞏固訓(xùn)練1　證明：∵直三棱柱ABC A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C兩兩垂直．
如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，
∵＝＝＝0.∴AC⊥BC1.
例2　證明：由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，
設(shè)DC＝PD＝1，
則P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.
所以＝(1，1，－1)，＝＝，
設(shè)F(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)，
＝.
因?yàn)椤停詘＋＝0，
即x＋y －z＝0.　①
又因?yàn)椤危稍O(shè)＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.　②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
方法一　因?yàn)椤ぃ?1，1，－1) ·＝0＋＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因?yàn)镻B⊥EF，又EF＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二　設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，
則有即
所以取z2＝1，則n2＝(－1，－1，1)．
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
鞏固訓(xùn)練2　證明：方法一　如圖以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體棱長為2，則O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而·＝1－1＋0＝·＝－2＋0＋2＝0.
⊥，
即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB＝B，
∴OA1⊥平面GBD.
方法二　同方法一建系后，＝(－2，0，1)，＝(－2，－2，0)，
設(shè)平面GBD的法向量為n＝(x，y，z)
則∴
令x＝1，得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，2)，
顯然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.
例3　證明：以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A(0，0，a)，則易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(xiàn)(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1，0)為平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個(gè)法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
鞏固訓(xùn)練3　
證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，0)，
所以＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝＝(0，－1，)，
設(shè)平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量為＝(x2，y2，z2)．
由
得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
此時(shí)n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
此時(shí)n2＝.
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，
所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.第1課時(shí)　用空間向量研究距離問題
[課標(biāo)解讀]　1.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).2.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)　空間距離的向量求法
分類 點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)到平面的距離
圖形 語言
文字 語言 設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，P l，＝a，向量在直線l上的投影向量為，則PQ＝＝________ 設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，P α，向量是向量在平面上的投影向量，PQ＝________
狀元隨筆　表示向量在法向量n→方向上的投影的大小，因此點(diǎn)P到平面α的距離也可以表示成 或.
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)點(diǎn)到直線的距離是指過該點(diǎn)作直線的垂線，該點(diǎn)與垂足間的距離．(　　)
(2)直線到平面的距離指直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離．(　　)
(3)兩異面直線間的距離不能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．(　　)
(4)平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離在平面α內(nèi)任一點(diǎn)與點(diǎn)P的距離中最短．(　　)
2．已知直線l過定點(diǎn)A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4，3，2)到直線l的距離為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知向量n＝(1，0，－1)與直線l垂直，且l經(jīng)過點(diǎn)A(2，3，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離為(　　)
A． B．
C． D．
4．已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2，1，4)到α的距離為(　　)
A．10 B．3
C． D．
5．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量為n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是________．
題型 1　利用空間向量求點(diǎn)線距
例1　如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離．
方法歸納
用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟
鞏固訓(xùn)練1　已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．
題型 2　利用空間向量求點(diǎn)面距、線面距
例2　如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
方法歸納
用向量法求點(diǎn)面距的一般步驟
鞏固訓(xùn)練2　在三棱錐S ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．
題型 3　利用空間向量求面面距
例3　如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．
方法歸納
求兩個(gè)平行平面的距離，先在其中一個(gè)平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離求解．注意：這個(gè)點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主．
鞏固訓(xùn)練3　如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．
易錯(cuò)辨析　對距離公式記憶不夠準(zhǔn)確致誤
例4　已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(xiàn)(2，－4，0)，B(4，0，0)，
＝(4，－2，－2)，＝(0，－2，0)，＝(2，－4，－2)．
設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)．
由得
所以x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，則n＝(－1，1，－3)．
所以點(diǎn)B到平面EFG的距離d＝＝＝.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
忽略法向量的模，誤認(rèn)為d＝|·n|. 利用距離公式求解時(shí)一定牢記距離公式．
第1課時(shí)　用空間向量研究距離問題
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，
則點(diǎn)P到直線l的距離d＝ ＝.
答案：A
3．解析：∵n＝(1，0，－1)與直線l垂直，
∴n的單位向量n0＝.
又∵l經(jīng)過點(diǎn)A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)，
∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝.∴點(diǎn)P到l的距離為.
答案：B
4．解析：∵α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2，1)，
∴n0＝.
又點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，∴＝(－1，－2，4)，
∴點(diǎn)P到平面α的距離為|·n0|
＝＝.
答案：D
5．解析：由題意知：＝(2，1，1)，
所以兩平面間的距離為d＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直線A′C的方向向量＝(1，2, －3)．
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影長為＝.
所以點(diǎn)B到直線A′C的距離d＝＝ ＝.
鞏固訓(xùn)練1　
解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以直線A1C1的方向向量
＝＝(0，3，1)，
所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離
d＝＝ ＝.
例2　
解析：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，F(xiàn)，A(1，0，0)．
所以＝＝＝，
設(shè)平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，
則所以
令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)為平面PEF的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)D到平面PEF的距離為
＝＝.
(2)連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，
平面PEF的一個(gè)法向量為n＝(2，2，3)，＝，
所求距離為＝＝.
鞏固訓(xùn)練2　解析：取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴AO⊥BO.
如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
則B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，
則取z＝1，
則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝＝.
例3　
解析：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)，
∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d＝＝＝.
易證平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離，∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為.
鞏固訓(xùn)練3　
解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)，
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴＝＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，
又EF＝F，MN＝M，
∴平面AMN∥平面EFBD，
設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則，則可取n＝(2，－2，1)，
∵＝(0，4，0)，
∴平面AMN與平面EFBD的距離為d＝＝＝.第2課時(shí)　用空間向量研究夾角問題
[課標(biāo)解讀]　1.會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　兩個(gè)平面的夾角
平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中________的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
狀元隨筆　二面角的范圍為[0，π].
要點(diǎn)二　空間角的向量求法
角的分類 向量求法
兩異面直線l1與l2所成的角為θ 設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，則cos θ＝________＝________
直線l與平面α所成的角為θ 設(shè)l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝________＝________
平面α與平面β的夾角為θ 設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝________＝________
狀元隨筆　(1)兩條異面直線所成的角的范圍是(0，].
(2)直線與平面所成的角的范圍是[0，].
(3)兩個(gè)平面的夾角是(0，].
(4)當(dāng)〉≤時(shí)，兩個(gè)平面的夾角θ＝〉，此時(shí)cos θ＝〉＝；
當(dāng)〉≤π時(shí)，兩個(gè)平面的夾角θ＝π－〈〉，此時(shí)，cos θ＝〉)＝－cos 〈〉＝.
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角．(　　)
(3)二面角的大小就是該二面角兩個(gè)面的法向量的夾角．(　　)
(4)若二面角兩個(gè)面的法向量的夾角為120°，則該二面角的大小等于60°或120°.(　　)
2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于(　　)
A．120° B．60°
C．30° D．以上均錯(cuò)
3．設(shè)直線l1的方向向量為s1＝(1，1，1)，直線l2的方向向量為s2＝(－2，2，－2)，則l1，l2夾角的余弦值為(　　)
A．－ B．
C． D．
4．在兩個(gè)平面內(nèi)，與兩個(gè)面的交線都垂直的兩個(gè)向量分別為(0，－1，3)，(2，2，4)，則這兩個(gè)平面夾角的余弦值為(　　)
A． B．－
C． D．或－
5．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為________．
題型 1　利用向量法求兩異面直線所成角
例1　如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，試求直線EF和BC1所成的角．
方法歸納
利用坐標(biāo)法求兩異面直線所成角的步驟
鞏固訓(xùn)練1　在三棱錐O ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，E為OC的中點(diǎn)，且2OA＝OB＝OC＝2，求直線AE與BC所成角的大小．
題型 2　利用向量方法求直線與平面所成角
例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，AA1＝3，M，N分別為A1C1，BB1的中點(diǎn)．
(1)求證：MN∥平面A1BC；
(2)求直線A1N與平面A1BC所成角的正弦值．
方法歸納
利用法向量計(jì)算直線與平面的夾角θ的步驟
鞏固訓(xùn)練2　如圖所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
題型 3　利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
例3　如圖，在四棱錐P ABCD中，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，O為BD的中點(diǎn)，BD＝4，PB＝PC＝PD＝.
(1)證明：OP⊥平面ABCD；
(2)若BC＝CD，求平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值．
方法歸納
利用法向量求兩個(gè)平面夾角的步驟
鞏固訓(xùn)練3　在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn)．
(1)證明：EF∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF與平面CDF夾角的余弦值．
易錯(cuò)辨析　混淆二面角與面面角的大小
例4　已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a)．
設(shè)平面BPC、平面DPC的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，則有
和.
取n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)，則cos 〈n1，n2〉＝＝，
故平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
本題易錯(cuò)的地方是認(rèn)為平面BPC與平面DPC的夾角就是二面角B PC D，得到錯(cuò)解：求得cos 〈n1，n2〉＝＝后，觀察圖形知二面角B PC D為鈍角，得平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為－. 事實(shí)上，二面角的取值范圍是[0，π]，面面角的取值范圍是[0，]，不要將兩者混淆了． 求二面角θ的大小時(shí)，通過求二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角φ，把問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，需注意兩法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)，在解題中，可根據(jù)法向量的方向來進(jìn)行判斷，以便準(zhǔn)確求出二面角的大小．一般地，如果二面角為銳角，cos θ＝|cos φ|＝；如果二面角為鈍角，cos θ＝－|cos φ|＝－(u，v為二面角兩個(gè)半平面的法向量)．
第2課時(shí)　用空間向量研究夾角問題
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
不大于90°
要點(diǎn)二
|cos 〈u，v〉| 　　|cos 〈u，n〉|　
|cos 〈n1，n2〉|　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.
答案：C
3．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－，
∴l(xiāng)1，l2夾角的余弦值為.
答案：B
4．解析：由＝＝＝，知這兩個(gè)平面夾角的余弦值為.
答案：A
5．解析：設(shè)平面xOz的法向量為n＝(0，1, 0)，＝(1，3，)，
所以cos 〈n，〉＝＝，
所以sin 〈n，〉＝ ＝.
故向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　
解析：分別以直線BC，BA，B1B為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．
設(shè)AB＝1，則B(0，0，0)，E(0，，0)，F(xiàn)，C1(1，0，1)，
所以＝＝(1，0，1)．
于是，〉＝＝＝，
所以直線EF和BC1所成角的大小為60°.
鞏固訓(xùn)練1　
解析：方法一　取OB的中點(diǎn)F，連接EF，AF，由E，F(xiàn)分別為OC，OB的中點(diǎn)，可知EF是△OBC的中位線，∴EF∥BC，所以∠AEF或其補(bǔ)角為直線AE與BC所成角，
又易知OA＝OE＝OF＝1，而OA，OE，OF兩兩互相垂直，
所以AE＝EF＝AF＝＝，
所以△AEF是等邊三角形，從而∠AEF＝，
所以直線AE與BC所成角的大小為.
方法二　由已知以O(shè)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)
所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)
所以cos 〈〉＝
＝＝，
所以〈〉＝，即直線AE與BC所成角的大小為.
例2　解析：
(1)證明：取CC1的中點(diǎn)E，連接ME，NE，
∵M(jìn)，E分別為A1C1，CC1的中點(diǎn)，∴ME∥A1C.
又∵M(jìn)E 平面A1BC，A1C 平面A1BC，∴ME∥平面A1BC.
又∵N，E分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，∴NE∥BC，
又∵NE 平面A1BC，BC 平面A1BC，∴NE∥平面A1BC.
又∵M(jìn)E＝E，∴平面MNE∥平面A1BC.
又∵M(jìn)N 平面MNE，∴MN∥平面A1BC.
(2)取AB中點(diǎn)O，A1B1中點(diǎn)O1，連接OC，OO1.
∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴OC⊥AB.
以O(shè)B，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
則C(0，，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N，
＝＝(－2，0，3)，＝，
設(shè)平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
由得，取n＝(3，，2)，
設(shè)直線A1N與平面A1BC所成的角為θ，則
sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
∴直線A1N與平面A1BC所成角的正弦值為.
鞏固訓(xùn)練2　解析： (1)證明：以A為原點(diǎn)，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3)．
易知＝(，1，0)，＝(－，3，－3)，
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
(2)設(shè)平面ACD1的法向量為m＝(x，y，z)，
＝＝(0，3，3)，則即
令x＝1，則y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一個(gè)法向量為m＝(1，－)．
設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為＝(0，1，0)，∴sin θ＝＝，
∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
例3　
解析：(1)證明：如圖，連接OC，在Rt△BCD中，由BD＝4可得OC＝2.
因?yàn)镻B＝PD＝，OB＝OD＝2，
所以O(shè)P⊥BD，OP＝＝＝1，
因?yàn)镺P＝1，OC＝2，PC＝，
所以PC2＝OP2＋OC2，所以O(shè)P⊥OC.
又因?yàn)锽D，OC 平面ABCD，BD＝O，
所以O(shè)P⊥平面ABCD.
(2)由(1)可知，OC，OB，OP兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O(0，0，0)，B(2，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)．
由＝(2，2，0)，有＝2＝(4，4，0)，則A(－2，－4，0)，設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，
由＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，有，
取x＝1，則y＝1，z＝2，
可得平面PBC的一個(gè)法向量為m＝(1，1，2)．
設(shè)平面PAD的法向量為n＝(a，b，c)，
由＝(2，0，1)，＝(0，4，0)，有，
取a＝1，則b＝0，c＝－2，
可得平面PAD的一個(gè)法向量為n＝(1，0，－2)．
由m·n＝－3，|m|＝，|n|＝，
可得平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值為＝＝.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.
因?yàn)镕，G分別是棱PC，CD的中點(diǎn)，所以FG∥PD，
又FG 平面PAD，PD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因?yàn)锽C∥AD，且E，G分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，所以EG∥AD，
又EG 平面PAD，AD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因?yàn)镋G，F(xiàn)G 平面EFG，且EG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
因?yàn)镋F 平面EFG，所以EF∥平面PAD.
(2)以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB＝2，則A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．
因?yàn)镕是棱PC的中點(diǎn)，所以F(1，1，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．
設(shè)平面CDF的法向量為m＝(x2，y2，z2)，
則令x2＝1，得m＝(1，1，2)．
設(shè)平面AEF與平面CDF的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
所以平面AEF與平面CDF夾角的余弦值為.

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