資源簡介

2009屆高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 數(shù)列專題測試
（一）典型例題講解:
例1、設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)
命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力
知識(shí)依托 本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列{lgan}為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解
錯(cuò)解分析 題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方
技巧與方法 突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值
解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*,依題意有
化簡得
設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn,則
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)
=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大
而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大
解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，
令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
∴n≤=5 5
由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大
例2、已知函數(shù)f(x)= (x<－2)
(1)求f(x)的反函數(shù)f-－1(x);
(2)設(shè)a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由
命題意圖 本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力
知識(shí)依托 本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題
錯(cuò)解分析 本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問以數(shù)列{}為橋梁求an,不易突破
技巧與方法 (2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列{},從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(3)問運(yùn)用了函數(shù)的思想
解 (1)設(shè)y=,∵x<－2,∴x=－,
即y=f－-1(x)=－ (x>0)
(2)∵，
∴{}是公差為4的等差數(shù)列，
∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>,
設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數(shù)，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意n∈N*有bn<成立
例3　、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_________
解法一 將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得

解法二 由知，
要求S3m只需求m［a1+］,
將②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210
解法三 由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)）
將Sm=30,S2m=100代入，得
,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
解法四
S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m
=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)
=S2m+(a1+…+am)+m·2md
=S2m+Sm+2m2d
由解法一知d=,代入得S3m=210
解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差數(shù)列，
從而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)
∴S3m=3(S2m－Sm)=210
解法六 ∵Sn=na1+d,
∴=a1+d
∴點(diǎn)(n, )是直線y=+a1上的一串點(diǎn)，
由三點(diǎn)(m,),(2m, ),(3m, )共線，易得S3m=3(S2m－Sm)=210
解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
∴a3=70+(70－30)=110
∴S3=a1+a2+a3=210
答案 210
例4、已知Sn=1++…+,(n∈N*)，設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力
知識(shí)依托 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙
錯(cuò)解分析 本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理
技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為
函數(shù)f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2
解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
由得m＞1且m≠2
此時(shí)設(shè)［logm(m－1)］2=t 則t＞0
于是　解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞且m≠2
（二）鞏固練習(xí)
一. 選擇題
1.已知等比數(shù)列滿足，則（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
2．設(shè)是等差數(shù)列，若，則數(shù)列前8項(xiàng)和為（　C　）
Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56
3. 在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中, 所有奇數(shù)項(xiàng)和與所有偶數(shù)項(xiàng)和之比為 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知x , y為正實(shí)數(shù), 且x、a1、a2、y成等差數(shù)列, x、b1、b2、y成等比數(shù)列, 則 的取值范圍是 ( )
A. R B.
C. D.
5. 數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列, 且是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng), 若的首項(xiàng)為b1＝3, 則b n是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知a、b、c、d均為非零實(shí)數(shù), 則是a, b, c, d依次成為等比數(shù)列的
( )
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件
C. 充分且必要條件 D. 既不充分也不必要條件
7. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為, 若前n項(xiàng)和為24, 則n為 ( )
A. 25 B. 576 C. 624 D. 625
8. 設(shè)數(shù)列是遞增等差數(shù)列, 前三項(xiàng)的和為12, 前三項(xiàng)的積為48, 則它的首項(xiàng)是 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
9. 設(shè), 那么等于 ( )
A. B. C. D.

10. 若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異, 且對任意都成立, 則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為 ( )
A. B. C. D.
11. 已知數(shù)列, 那么“對任意的, 點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的 ( )
A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
12. 根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果, 預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量(萬件)近似地滿足. 按此預(yù)測, 在本年度內(nèi), 需求量超過1.5萬件的月份是 ( )
A. 5月、6月 B. 6月、7月
C. 7月、8月 D. 8月、9月
二. 填空題
13. 等差數(shù)列中, 則a1＝ , a n＝ .
14. 設(shè)數(shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列, 如果那么S 8＝ .
15. 數(shù)列前n項(xiàng)和為______ ____.
16. 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列, 且, 則它的通項(xiàng)公式是____ _____ .
17. 已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1, 項(xiàng)數(shù)是偶數(shù), 其奇數(shù)項(xiàng)之和為85, 偶數(shù)項(xiàng)之和為170, 則這個(gè)數(shù)列的公比 , 項(xiàng)數(shù)為 .
18. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中, 若則=
三. 解答題
19.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, a1=2, an+1=2Sn-1(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(II)求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和Tn.
20.設(shè)函數(shù).若且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，求證：.
21.在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件， n=1,2,3,┅
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：，（n=1,2,3,┅）。
22．已知數(shù)列滿足，．
（1）求證：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．
23.在平面直角坐標(biāo)系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)An(n,an) (n∈N*)都在斜率為2的同一條直線l上. 若a1=-3，b1=10.
　(1)求數(shù)列{an}與{ bn }的通項(xiàng)公式；
(2)求當(dāng)n取何值時(shí)△AnBnCn的面積Sn最小，并求出Sn的這個(gè)最小值。
24.為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng).
(1)求數(shù)列和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù);
(3)設(shè),
求數(shù)列的通項(xiàng)公式
答案：
一. 選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
C
A
B
C
B
D
A
B
C
二. 填空題
13. , 14. 510 ;
15. ; 16.
17. 2 , 8 ; 18. 10 .
三. 解答題
19、解：（I）解：∵ a1=2, an+1=2Sn-1 (n∈N*).① 所以a2=2S1-1=3
當(dāng)時(shí)，-1 ②
①-②得 ，即當(dāng)時(shí)，恒有
∴數(shù)列{an}第二項(xiàng)以后的所有項(xiàng)成等比數(shù)列，an=3·3n-2=3n-1 (n 2),
又 a1=S1=1，
∴an=
(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
當(dāng)n=1時(shí)，T1=a1=2 ;
當(dāng)n2時(shí)，Tn=2+2×31 + 3×32+…+n·3 n-1, …………①
3Tn=2×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n,…………②
①-②得：-2Tn=2+(32+33+…+3n-1)- n·3n
=2+
=
∴(n2).
又∵Tn=a1=2也滿足上式，
20、解：（Ⅰ）且

（Ⅱ）=
=
（或者）
21.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由 對一切正自然數(shù)n都成立可知，
當(dāng)n=1時(shí)，得：，又， 所以d=2，
所以。
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知等差數(shù)列的前項(xiàng)和


時(shí) 所以
又，所以{Tn}是遞增數(shù)列，所以
綜上得 ，（n=1,2,3,┅）成立。
22.解：（1）由an＋1＝2an＋8an－1，可知an＋1＋2an＝4(an＋2an－1) (n≥2)
∵a1＝2，a2＝20，　　∴a2＋2a1＝20+4=24
故數(shù)列{an＋1＋2an}是以24為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列
所以an＋1＋2an＝24·4n-1＝6·4n
（2）由an＋1＋2an＝6·4n，用待定系數(shù)法，設(shè)存在λ使(an＋1+λ·4n+1)＝－2(an+λ·4n)成立
則可得an＋1＋2an＝－6λ·4n，所以λ=－1
所以 (an＋1－4n+1)＝－2(an－4n)
所以數(shù)列{ an－4n }是首項(xiàng)為a1－21＝2－4=－2，公比為－2的等比數(shù)列，
所以an－4n＝－2(－2) n-1 故an＝4n+(－2) n
（3）Sn＝a1＋a2＋…＋an-1＋an＝(41+42+…+4n)＋[(－2) 1＋(－2) 2＋…＋(－2) n ]
＝=
23、 解：(1)∵點(diǎn)An(n,an) (n∈N*)都在斜率為2的同一條直線上，
∴=2，即an+1-an=2,
于是數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，又a1=-3，故an= -3+2(n-1)=2n-5.
∵共線.
∴1×(-an)-(-1)(bn+1 - bn )=0,即bn+1-bn=an
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ …+(bn-bn-1)
=b1+a1+a2+a3+…+an-1
=10+ (n-1)(n-5)=n2-6n+15
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立.。 所以bn= n2-6n+15
(2) 顯然，直線AnBn⊥x軸，點(diǎn)Cn到直線AnBn的距離等于1.
所以Sn=
∴當(dāng)n=4時(shí)，Sn取最小值，Sn的最小值為2.
24、解:(1)由題意知
因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以.
又=100—(1+3+9)
所以=87,解得
因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng),公差為—5的等差數(shù)列,
所以
(2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為
(3) 由 ①
可知，當(dāng)時(shí)， ②
①-②得，當(dāng)時(shí)， ,
,
又
因此數(shù)列是一個(gè)從第2項(xiàng)開始的公比為3的等比數(shù)列,
數(shù)列的通項(xiàng)公式為

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