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專題三 函數(shù)及表示
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
2．函數(shù)的三要素
函數(shù)的三要素是：定義域，對應(yīng)關(guān)系（解析式），值域.
(1)定義域的求法：函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集．常見的條件有：分式的分母不等于0；對數(shù)的真數(shù)大于0；偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0；0的0次冪沒有意義等．
(2)求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤換元法；⑥不等式法等.
(3)解析式的求法：待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法、配湊法等.
3．相等函數(shù)
兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等．
兩個函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無關(guān)，在對函數(shù)解析式進行化簡變形時應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變(即是否是等價變形).
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù)．
求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系．若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍．
5．復(fù)合函數(shù)
一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．
一 、求函數(shù)的定義域
1．函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】根據(jù)題意得，解得，且，所以函數(shù)的定義域為且，故選：D.
2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域為，故，解得，故的定義域為，故選：B.
3．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域是，故選：C.
二 、求函數(shù)的值域
4．函數(shù)在區(qū)間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的圖像可由的圖像向右平移一個單位后得到，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故選：C.
5．二次函數(shù)，，則函數(shù)在此區(qū)間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，則，所以函數(shù)在此區(qū)間上的值域為，故選：A.
三 、求函數(shù)的解析式
6．設(shè)函數(shù)，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，故選：B.
7．已知是一次函數(shù),且滿足,則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為是一次函數(shù),所以設(shè)，由,得.
整理得，所以,解得，故選：A.
8．定義域為的函數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足，所以有，即，所以，得，故選：D.
四 、判斷相同函數(shù)
9．下列函數(shù)中，與 是同一個函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對于A，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；
對于 B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)；
對于 C，函數(shù)，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)；
對于 D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)，
故選：B.
10．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A選項，的定義域為，的定義域為，所以不是同一函數(shù)；
B選項，對于，有，的定義域為；對于， 有，解得或，的定義域為或，所以不是同一函數(shù)；
C選項，的定義域為，的定義域為，所以不是同一函數(shù)；
D選項，，兩個函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，是同一函數(shù)，
故選：D.
一、選擇題
1．函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域是，故選：D.
2．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①的定義域為R，的定義域為，定義域不同，故①不是；
②，對應(yīng)法則不同，故②不是；
③，定義域都為，對應(yīng)法則和定義域相同，故③是；
④定義域為都為R，對應(yīng)法則和定義域相同，故④是，
故選：C.
3．若函數(shù),則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，則，所以，所以，即，故選：D.
4．已知函數(shù) 則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】由題意可得，則，故選：B.
5．已知函數(shù)，則（ ）
A．7 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】因為所以，因為所以，所以，故選：B.
6．已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意設(shè)，當(dāng)x＝2時，y＝1，所以得，，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，故選：C.
7．已知，函數(shù)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得圖象的對稱軸為，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的值域是，故選：C.
8．已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】由，故，故選：C.
9．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得.令，得的定義域為，故選：A.
10．已知函數(shù)，若，則a的值為（ ）
A． B．2 C．9 D．-2或9
【答案】D
【解析】當(dāng)時，（正根舍去）；當(dāng)時，，所以的值為或，故選：D.
二、填空題
11．已知，則 .
【答案】
【解析】令，則，所以，故答案為：.
12．函數(shù)，若，則函數(shù)的值域為 .
【答案】
【解析】因為函數(shù)為增函數(shù)，所以最小值為，最大值為，故函數(shù)的值域為：.
13．若函數(shù)滿足，則的解析式可為 .
【答案】
【解析】因為函數(shù)滿足，以代，有，兩方程聯(lián)立解得，故答案為：.
14．已知函數(shù)，若，則 .
【答案】3
【解析】令，得，則，因為，所以，解得，故答案為：3.
15．已知函數(shù)，則的值是______．
【答案】
【解析】因為，所以，故答案為：.
16．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則_________．
【答案】
【解析】因為，，所以，所以，所以，
所以，故答案為：.
三、解答題
18．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）由題意可得，，解不等式可得，且，故函數(shù)的定義域為且.
（2）.
19．函數(shù)的定義域為.
（1）設(shè)，求t的取值范圍；
（2）求函數(shù)的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以.
（2）函數(shù)可化為：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，比較
，，函數(shù)的值域.
20．求下列函數(shù)的解析式：
（1）已知是一次函數(shù)，且滿足：
（2）已知函數(shù)滿足：．
【答案】(1)；(2)或
【解析】解：（1）令，依題意，即，，故解得：，所以
（2）令，由對勾函數(shù)可知或，依題意，故，
所以或．專題三 函數(shù)及表示
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
2．函數(shù)的三要素
函數(shù)的三要素是：定義域，對應(yīng)關(guān)系（解析式），值域.
(1)定義域的求法：函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集．常見的條件有：分式的分母不等于0；對數(shù)的真數(shù)大于0；偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0；0的0次冪沒有意義等．
(2)求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤換元法；⑥不等式法等.
(3)解析式的求法：待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法、配湊法等.
3．相等函數(shù)
兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等．
兩個函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無關(guān)，在對函數(shù)解析式進行化簡變形時應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變(即是否是等價變形).
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù)．
求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系．若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍．
5．復(fù)合函數(shù)
一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．
一 、求函數(shù)的定義域
1．函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
3．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
二 、求函數(shù)的值域
4．函數(shù)在區(qū)間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
5．二次函數(shù)，，則函數(shù)在此區(qū)間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
三 、求函數(shù)的解析式
6．設(shè)函數(shù)，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
7．已知是一次函數(shù),且滿足,則（ ）.
A． B． C． D．
8．定義域為的函數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
四 、判斷相同函數(shù)
9．下列函數(shù)中，與 是同一個函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
一、選擇題
1．函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
①②
③④
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
3．若函數(shù),則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù) 則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
5．已知函數(shù)，則（ ）
A．7 B．3 C． D．
6．已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，函數(shù)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C． D．0
9．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
10．已知函數(shù)，若，則a的值為（ ）
A． B．2 C．9 D．-2或9
二、填空題
11．已知，則 .
12．函數(shù)，若，則函數(shù)的值域為 .
13．若函數(shù)滿足，則的解析式可為 .
14．已知函數(shù)，若，則 .
15．已知函數(shù)，則的值是______．
16．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則_________．
三、解答題
18．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求的值；
19．函數(shù)的定義域為.
（1）設(shè)，求t的取值范圍；
（2）求函數(shù)的值域.
20．求下列函數(shù)的解析式：
（1）已知是一次函數(shù)，且滿足：
（2）已知函數(shù)滿足：．

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