資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
第二節 代數式與整式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式 ☆☆ 吉林中考中，有關代數式與整式的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、計算題的形式考察。對于這部分的復習，需要學生熟練掌握代數式與整式的運算、乘法公式、因式分解等等考點。
考點2 整式及其運算 ☆☆☆
考點3 乘法公式 ☆☆
考點4 因式分解 ☆☆
考點5 規律探索題 ☆
■考點一　代數式
1.定義：代數式：代數式是由運算符號（ ）把數或表示數的字母連接而成的式子．單獨的一個數或者一個字母也是代數式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．帶有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符號的不是代數式．
注意：①不包括等于號（＝）、不等號（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、約等號≈．
②可以有絕對值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
2.列代數式
（1）定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有 的式子表示出來，就是列代數式．
（2）列代數式五點注意：①仔細辨別詞義． 列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分． ②分清數量關系．要正確列代數式，只有分清數量之間的關系． ③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起來．④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用． ⑤正確進行代換．列代數式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．
3．代數式求值
（1）代數式的值：用 代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫做代數式的 ．
（2）代數式的求值：求代數式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數式可以化簡，要先 再求值．
■考點二　整式及其運算
1．單項式：由 的乘積積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個 也是單項式．
2．多項式：幾個單項式的 叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的 ．
3. 多項式的降冪與升冪排列：
　　把一個多項式按某一個字母的指數 的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數 的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．
4．整式：單項式和多項式統稱為 ．
5.整式加減運算實質： 。
6.合并同類項：同類項的系數 ，所得結果作為系數，字母和字母的指數 。
7. 去括號
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
8.整式乘法運算
（1）單項式乘單項式
單項式相乘，把 分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（2）單項式乘多項式
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積 ．
（3）多項式乘多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積 ．
9.整式除法運算
（1）單項式的除法：把 分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商 ．
■考點三　乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
■考點四　因式分解
把一個多項式化成 的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式 ，也叫做把這個多項式 .
因式分解的方法主要有: 等.
■考點五　規律探索題
■易錯提示
1.由定義可知，單項式中只含有乘法運算.
2.一個單項式中只含有字母因數時，它的系數是1或者-1，不能認為是0. 一個單項式是一個常數時，它的系數就是它本身.確定一個單項式的系數，要注意包含在它前面的符號.例如：-（3x）的系數是-3.
3.圓周率π是常數，當它出現在單項式中時，應將其作為系數的一部分，而不能當成字母.
4.單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.
5.由定義可知，多項式中可以含有:乘法、加法、減法運算.
6. 多項式有統一的次數，但是沒有統一的系數，多項式中的每一項有自己的系數.
7. 多項式通常以它的次數和項數來命名，稱幾次（最高次項的次數）幾項（多項式項數）式.
8.“同類項口訣”：①兩同兩無關，識別同類項: ②一相加二不變，合并同類項.
“兩同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，這兩點也是判斷同類項的標準，缺一不可.
“兩無關”：一是與系數大小無關；二是與所含字母的順序無關.
“一相加”：系數相加作為結果的系數.“二不變”：字母連同字母指數不變.
9.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結果可能是單項式，也可能是多項式.
10.去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形．
11.去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.
整式的加減運算的實質就是合并同類項.主要的理論依據是：去括號法則，合并同類項法則，以及分配率.因此關于整式加減的一般步驟為：①列出代數式；②去括號；③找出同類項；④合并同類項.需要注意的是整式加減的最后結果中：①不能含有同類項，要合并到不能再合并為止；
②不能出現帶分數，帶分數要化成假分數.
涉及整式加減運算的常見題型還有代數式求值，這類題目的一般步驟：①代數式化簡；②代入計算；③對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算.做題時特別要注意的是在整式的加減運算過程中，不多項，不漏項，交換項的位置時，要注意連同符號一起交換.
12.應用完全平方公式計算時，應注意以下幾個問題：
①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；
②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；
③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
13.應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
14.因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
15.因式分解必須是恒等變形；
16.因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
17.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
■考點一　代數式
◇典例1： （2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶市鳳鳴山中學校聯考階段練習）用代數式表示“ m的3倍與n的差的平方”，正確的是（ ）
A．3(m-n)2 B．(3m-n)2 C．3m-n2 D．(m-3n)2
◆變式訓練
1．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）下列式子是代數式的有（ ）
①m2+n2﹔②﹔③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x-2y=1；⑦-1；⑧x-2≥0．
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
2．（2023上·山西太原·七年級統考期中）晉候鳥尊是山西博物院的鎮館之寶，某商店第一天售出件山西省博物館文創商品“鳥尊書簽”，第二天的銷售量比第一天的兩倍少3件，則代數式“3m-3”表示的意義是（ ）
A．第二天售出的書簽件數 B．第二天比第一天多售出的書簽件數
C．兩天一共售出的書簽件數 D．第二天比第一天少售出的書簽件數
■考點二　整式及其運算
◇典例2：（2024上·黑龍江綏化·七年級統考期末）減去2-3x等于6x2-3x-8的式子是 （ ）
A．6(x2-x)-10 B．6x2-10 C．6x2-6 D．6（x2-x-1)
◆變式訓練
1.（2023上·甘肅慶陽·七年級統考期中）已知x-y=5，則多項式(x-y)2+2(x-y)-10的值為（ ）
A．25 B．30 C．35 D．45
2．（2023上·河南安陽·七年級校考期中）已知關于x，y的多項式4x2+2xy-x與3x2-2nxy+3y的差不含xy項，求n的值是（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
■考點三　乘法公式
◇典例3：（2023上·云南昆明·八年級校考期中）如果x2+kxy+4y2是關于x、y的完全平方式，那么k的值是（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．4
◆變式訓練
1.（2023上·河南新鄉·八年級校考階段練習）下列計算錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·江蘇·七年級專題練習）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
■考點四　因式分解
◇典例4：（2023下·廣東深圳·八年級校考期中）把多項式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·全國·八年級專題練習）已知，則的值是（　　）
A．6 B． C．1 D．
2．（2023上·福建南平·八年級校考階段練習）下列能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
■考點五　規律探索題
◇典例5：（2024上·湖北·九年級校考周測）定義一種運算：，其中是正整數，且表示非負實數的整數部分，例如．若，則的值為（ ）
A．2017 B．2 C．2018 D．3
◆變式訓練
1．（2023上·廣西玉林·七年級校考階段練習）a是不為2的有理數，我們把稱為a的“哈利數”．如：3的“哈利數”是，的“哈利數”是，已知，是的“哈利數”，是的“哈利數”，是的“哈利數”，…，依此類推，則（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2023上·重慶南岸·九年級校考期中）如圖，每個圖形都由同樣大小的“△”按照一定的規律組成，其中第①個圖形有5個“△”，第②個圖形有10個“△”，第③個圖形有15個“△”，…，則第⑦個圖形中“△”的個數為（ ）
A．30 B．35 C．40 D．46
1．（2021·吉林·統考中考真題）化簡的結果為（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．（2023·吉林長春·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·吉林·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林長春·統考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
5．（2023·吉林·統考中考真題）計算： ．
6．（2023·吉林長春·統考中考真題）先化簡．再求值：，其中．
7．（2022·吉林長春）先化簡,再求值:(2+a)(2-a)+a(a+1) ,其中a=-4.
8.（2021·吉林）先化簡,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1) ,其中x=.
9.（2021·吉林長春）先化簡,再求值:(a+2)(a-2)+a(1-a) , 其中a=+4.
10.（2022·吉林·統考中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是關于的多項式．請寫出多項式，并將該例題的解答過程補充完整．
例先去括號，再合并同類項：（）． 解：（） ．
1．（2023上·河南洛陽·七年級校考期中）下列說法錯誤的是（　　）
A．是單項式 B．單項式的系數是
C．單項式的次數是7 D．是二次二項式
2．（2023上·江蘇揚州·七年級統考期中）下列式子中，單項式有（ ）個
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3．（2024上·黑龍江綏化·七年級統考期末）下列計算正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·貴州畢節·七年級統考期末）一個多項式與的和是，則這個多項式為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·廣西南寧·八年級校考階段練習）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·河南南陽·八年級統考階段練習）下列計算正確的是（）
A． B．
C． D．
7．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·江蘇揚州·七年級統考期中）如圖，池塘邊有一塊長為，寬為的長方形土地，現將其余三面留出寬都是1的小路，中間余下的長方形部分做菜地，則菜地的周長為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山東濟寧·七年級統考期中）如圖是一個計算程序，若輸入的值為，則輸出的結果應為（ ）
A． B．0 C．10 D．22
10．（2014上·甘肅嘉峪關·八年級統考期末）若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于（ ）
A．3 B．-5 C．7 D．7或-1
11．（2023上·河南新鄉·八年級校考期中）如圖，邊長為a，b的長方形的周長為16，面積為12，則的值為（ ）
A．48 B．64 C．80 D．96
12．（2023上·山東德州·七年級統考期中）如圖所示，直線相交于點O，“阿基米德曲線”從點O開始生成，如果將該曲線與每條射線的交點依次標記為2，，6，，10，，…那么標記為“”的點在（ ）
A．射線上 B．射線上 C．射線上 D．射線上
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第一章 數與式
第二節 代數式與整式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式 ☆☆ 吉林中考中，有關代數式與整式的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、計算題的形式考察。對于這部分的復習，需要學生熟練掌握代數式與整式的運算、乘法公式、因式分解等等考點。
考點2 整式及其運算 ☆☆☆
考點3 乘法公式 ☆☆
考點4 因式分解 ☆☆
考點5 規律探索題 ☆
■考點一　代數式
1.定義：代數式：代數式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子．單獨的一個數或者一個字母也是代數式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．帶有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符號的不是代數式．
注意：①不包括等于號（＝）、不等號（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、約等號≈．
②可以有絕對值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
2.列代數式
（1）定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式．
（2）列代數式五點注意：①仔細辨別詞義． 列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分． ②分清數量關系．要正確列代數式，只有分清數量之間的關系． ③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起來．④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用． ⑤正確進行代換．列代數式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．
3．代數式求值
（1）代數式的值：用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫做代數式的值．
（2）代數式的求值：求代數式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數式可以化簡，要先化簡再求值．
■考點二　整式及其運算
1．單項式：由數與字母的乘積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．
2．多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項．
3. 多項式的降冪與升冪排列：
　　把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．
4．整式：單項式和多項式統稱為整式．
5.整式加減運算實質：合并同類項
6.合并同類項：同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。
7. 去括號
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
8.整式乘法運算
（1）單項式乘單項式
單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（2）單項式乘多項式
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．
（3）多項式乘多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．
9.整式除法運算
（1）單項式的除法：把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
■考點三　乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
■考點四　因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等.
■考點五　規律探索題
■易錯提示
1.由定義可知，單項式中只含有乘法運算.
2.一個單項式中只含有字母因數時，它的系數是1或者-1，不能認為是0. 一個單項式是一個常數時，它的系數就是它本身.確定一個單項式的系數，要注意包含在它前面的符號.例如：-（3x）的系數是-3.
3.圓周率π是常數，當它出現在單項式中時，應將其作為系數的一部分，而不能當成字母.
4.單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.
5.由定義可知，多項式中可以含有:乘法、加法、減法運算.
6. 多項式有統一的次數，但是沒有統一的系數，多項式中的每一項有自己的系數.
7. 多項式通常以它的次數和項數來命名，稱幾次（最高次項的次數）幾項（多項式項數）式.
8.“同類項口訣”：①兩同兩無關，識別同類項: ②一相加二不變，合并同類項.
“兩同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，這兩點也是判斷同類項的標準，缺一不可.
“兩無關”：一是與系數大小無關；二是與所含字母的順序無關.
“一相加”：系數相加作為結果的系數.“二不變”：字母連同字母指數不變.
9.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結果可能是單項式，也可能是多項式.
10.去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形．
11.去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.
整式的加減運算的實質就是合并同類項.主要的理論依據是：去括號法則，合并同類項法則，以及分配率.因此關于整式加減的一般步驟為：①列出代數式；②去括號；③找出同類項；④合并同類項.需要注意的是整式加減的最后結果中：①不能含有同類項，要合并到不能再合并為止；
②不能出現帶分數，帶分數要化成假分數.
涉及整式加減運算的常見題型還有代數式求值，這類題目的一般步驟：①代數式化簡；②代入計算；③對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算.做題時特別要注意的是在整式的加減運算過程中，不多項，不漏項，交換項的位置時，要注意連同符號一起交換.
12.應用完全平方公式計算時，應注意以下幾個問題：
①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；
②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；
③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
13.應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
14.因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
15.因式分解必須是恒等變形；
16.因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
17.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
■考點一　代數式
◇典例1： （2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶市鳳鳴山中學校聯考階段練習）用代數式表示“ m的3倍與n的差的平方”，正確的是（ ）
A．3(m-n)2 B．(3m-n)2 C．3m-n2 D．(m-3n)2
【答案】C
【分析】本題考查列代數式，解題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式．
先表示出m的3倍，即3m，n平方即n2，再作差即可．
【詳解】用代數式表示“m的3倍與n平方的差”為3m-n2，
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）下列式子是代數式的有（ ）
①m2+n2﹔②﹔③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x-2y=1；⑦-1；⑧x-2≥0．
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【分析】此題主要考查了代數式的定義．解題的關鍵是熟練掌握代數式的定義．代數式是由數和字母組成，表示加、減、乘、除、乘方、開方等運算的式子，或含有字母的數學表達式，注意不能含有、、、、、、等符號．據此解答即可．
【詳解】解：④x≠12；⑥x-2y=1；⑧x-2≥0；因為這些式子含有不等號或等號，所以不是代數式．
①m2+n2﹔②﹔③12；⑤3x+2；⑦-1都是代數式，代數式有5個．
故選：C．
2．（2023上·山西太原·七年級統考期中）晉候鳥尊是山西博物院的鎮館之寶，某商店第一天售出件山西省博物館文創商品“鳥尊書簽”，第二天的銷售量比第一天的兩倍少3件，則代數式“3m-3”表示的意義是（ ）
A．第二天售出的書簽件數 B．第二天比第一天多售出的書簽件數
C．兩天一共售出的書簽件數 D．第二天比第一天少售出的書簽件數
【答案】C
【分析】本題考查代數式，掌握代數式的實際意義是解題的關鍵．
【詳解】解：第二天銷售量為(2m-3)件，
∴2m-3+m=3m-3
∴代數式“3m-3”表示的意義兩天一共售出的書簽件數，
故選:C．
■考點二　整式及其運算
◇典例2：（2024上·黑龍江綏化·七年級統考期末）減去2-3x等于6x2-3x-8的式子是 （ ）
A．6(x2-x)-10 B．6x2-10 C．6x2-6 D．6（x2-x-1)
【答案】D
【分析】本題考查了整式的加減，根據題意列出算式，去括號，合并同類項即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：．6（x2-x-1)
故選：D．
◆變式訓練
1.（2023上·甘肅慶陽·七年級統考期中）已知x-y=5，則多項式(x-y)2+2(x-y)-10的值為（ ）
A．25 B．30 C．35 D．45
【答案】A
【分析】題考查整式的混合運算—化簡求值，解題關鍵在于化簡．首先根據合并同類項法則將原式化簡，然后將整體代入x-y=5，進行計算即可
【詳解】解：原式=（x-y)(x-y+2)-10=25
故選A．
2．（2023上·河南安陽·七年級校考期中）已知關于x，y的多項式4x2+2xy-x與3x2-2nxy+3y的差不含xy項，求n的值是（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】本題主要考查了整式的加減運算，先求出兩個多項式的差，再根據差不含項，項系數為0得出方程，即可得出答案．
【詳解】解：原式=4x2+2xy-x-3x2+2nxy-3y
=x2+(2+2n)xy-x-3y，
4x2+2xy-x與3x2-2nxy+3y的差不含xy項，
∴2+2n=0，
解得：n=-1，
故選：A．
■考點三　乘法公式
◇典例3：（2023上·云南昆明·八年級校考期中）如果x2+kxy+4y2是關于x、y的完全平方式，那么k的值是（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．4
【答案】C
【分析】利用完全平方式的特征，即可確定k的值．本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式的概念是解題的關鍵，解題時注意分兩種情況討論．
【詳解】解：因為x2+kxy+4y2是一個完全平方式，
所以：k=+4
即k的值為4或-4．
故選：C．
◆變式訓練
1.（2023上·河南新鄉·八年級校考階段練習）下列計算錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關鍵．
根據平法差公式逐項判斷即可．
【詳解】解：A. ，解答正確，不符合題意；
B. ，解答正確，不符合題意；
C. ，解答正確，不符合題意；
D. ，故D選計算錯誤，符合題意．
故選D．
2．（2023下·江蘇·七年級專題練習）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據同底數冪的乘法，合并同類項，完全平方公式，冪的乘方法則分別判斷各個選項即可．
【詳解】解：A．，故A選項不符合題意；
B．，故B選項不符合題意；
C．，故C選項不符合題意；
D．，故D選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了整式的運算，熟練掌握同底數冪的乘法，合并同類項，完全平方公式，冪的乘方法則是解答本題的關鍵．
■考點四　因式分解
◇典例4：（2023下·廣東深圳·八年級校考期中）把多項式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查提取公因式，找出他們的公因式即可解題．
【詳解】解：，
，
．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·全國·八年級專題練習）已知，則的值是（　　）
A．6 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本題考查因式分解，代數式求值，將進行因式分解后，再利用整體代入法求解即可.
【詳解】解：因為，
所以
，
故選：B．
2．（2023上·福建南平·八年級校考階段練習）下列能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式分解因式，熟記平方差公式結構是解題的關鍵．能用平方差公式分解因式的式子必須是兩平方項的差．根據平方差公式的形式求解即可．
【詳解】解：A．兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式；
B．是三項，不能用平方差公式分解因式；
C．是三項，不能用平方差公式分解因式；
D．是與y的平方的差，能用平方差公式分解因式；
故選：D．
■考點五　規律探索題
◇典例5：（2024上·湖北·九年級校考周測）定義一種運算：，其中是正整數，且表示非負實數的整數部分，例如．若，則的值為（ ）
A．2017 B．2 C．2018 D．3
【答案】D
【分析】此題主要考查了探尋數列規律問題，注意觀察總結規律，并能正確的應用規律，解答此題的關鍵是判斷出：這列數是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5個數是一個循環．首先定義的新運算方法，可得，，同理，可得，，，，…，所以這列數是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5個數是一個循環；然后用2018除以5，根據余數的情況判斷出的值為多少即可．
【詳解】解：∵，
∴，
，
同理，可得，，，，…，
所以這列數是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5個數是一個循環；
∵，
∴．
故選D．
◆變式訓練
1．（2023上·廣西玉林·七年級校考階段練習）a是不為2的有理數，我們把稱為a的“哈利數”．如：3的“哈利數”是，的“哈利數”是，已知，是的“哈利數”，是的“哈利數”，是的“哈利數”，…，依此類推，則（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了數字的規律變化．分別求出數列的前5個數得出該數列每4個數為一周期循環，據此計算可得答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
∴該數列每4個數為1周期循環，
∵，
∴．
故選：C．
2．（2023上·重慶南岸·九年級校考期中）如圖，每個圖形都由同樣大小的“△”按照一定的規律組成，其中第①個圖形有5個“△”，第②個圖形有10個“△”，第③個圖形有15個“△”，…，則第⑦個圖形中“△”的個數為（ ）
A．30 B．35 C．40 D．46
【答案】B
【分析】本題主要考查圖形的變化規律，由題意不難求得第n個圖中“△”的個數為：，則可求第⑦個圖形中“△”的個數．
【詳解】解：∵第①個圖形有5個“△”，
第②個圖形有10個“△”，
第③個圖形有15個“△”，
…，
∴第n個圖形中“△”的個數為：，
∴第⑦個圖形中“△”的個數為：．
故選：B．
1．（2021·吉林·統考中考真題）化簡的結果為（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】括號前面是減號時，去掉括號，括號內加號變減號，減號變加號．
【詳解】解：，
故選：C．
【點睛】本題考查去括號，解題關鍵是掌握去括號法則．
2．（2023·吉林長春·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】A. 與不能合并，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項正確，符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．
3．（2020·吉林·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據同底數冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方逐項判斷即可．
【詳解】A、，此項錯誤
B、，此項錯誤
C、，此項錯誤
D、，此項正確
故選：D．
【點睛】本題考查了同底數冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方，熟記整式的運算法則是解題關鍵．
4．（2023·吉林長春·統考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
【答案】
【分析】根據題意列出代數式即可．
【詳解】根據題意可得，
他離健康跑終點的路程為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了列代數式，解題的關鍵是讀懂題意．
5．（2023·吉林·統考中考真題）計算： ．
【答案】
【分析】根據單項式乘多項式的運算法則求解．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了單項式乘多項式的運算法則，掌握單項式乘多項式的運算法則是解答關鍵．
6．（2023·吉林長春·統考中考真題）先化簡．再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根據完全平方公式以及單項式乘以單項式進行化簡，然后將字母的值代入進行計算即可求解．
【詳解】解：
當時，原式
【點睛】本題考查了整式乘法的化簡求值，實數的混合運算，熟練掌握完全平方公式以及單項式乘以單項式的運算法則是解題的關鍵．
7．（2022·吉林長春）先化簡,再求值:(2+a)(2-a)+a(a+1) ,其中a=-4.
[知識點]實數的混合運算，整式的混合運算
[答案] 4+a, .
[分析]根據平方差公式與單項式乘以單項式進行計算,然后將a =- 4代入求值即可求解，
[詳解]解:原式=4-a2+a2+a
=4+a
當a=-4時，戚=4+-4=
[點睛]本題考查了整式的混合運算，實數的運算，代數式求值，正確的計算是解題的關鍵.
8.（2021·吉林）先化簡,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1) ,其中x=.
[知識點]已知字母的值 , 求代數式的值,整式的混合運算
[答案]x-4, -3
[分析]先根據平方差公式和單項式乘以多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可.
[詳解]解: (x+2)(x-2)-x(x-1)
=x2-4-x2+x
=x-4,
當=時，原式=-4=-3
[點睛]本題考查了平方差公式，單項式乘以多項式，合并同類項，運用平方差公式是解題的關鍵.
9.（2021·吉林長春）先化簡,再求值:(a+2)(a-2)+a(1-a) , 期a=+4.
[知識點]整式的混合運算
[答案]a-4
[分析]首先利用平方差公式，單項式乘以多項式去括號，再合并同類項，然后將a的值代入化簡后的式子,即可解答本題.
[詳解] (a+2)(a-2)+a(1-a)
=a2-4+a- a2
當a= +4時，
原式=+4-4=
[點睛]本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型.
10.（2022·吉林·統考中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是關于的多項式．請寫出多項式，并將該例題的解答過程補充完整．
例先去括號，再合并同類項：（）． 解：（） ．
【答案】，解答過程補充完整為
【分析】利用除以可得，再根據合并同類項法則補充解答過程即可．
【詳解】解：觀察第一步可知，，
解得，
將該例題的解答過程補充完整如下：
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了多項式的乘除法、合并同類項，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵．
1．（2023上·河南洛陽·七年級校考期中）下列說法錯誤的是（　　）
A．是單項式 B．單項式的系數是
C．單項式的次數是7 D．是二次二項式
【答案】D
【分析】本題考查了單項式，單項式的系數、次數，多項式的項與次數等知識．熟練掌握單項式，單項式的系數、次數，多項式的項與次數是解題的關鍵．
根據單項式，單項式的系數、次數，多項式的項與次數的定義進行判斷即可．
【詳解】解：是單項式，正確，故A不符合要求；
單項式的系數是，正確，故B不符合要求；
單項式的次數是7，正確，故C不符合要求；
不是整式，錯誤，故D符合要求；
故選：D．
2．（2023上·江蘇揚州·七年級統考期中）下列式子中，單項式有（ ）個
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】本題考查單項式的判斷，解題的關鍵是掌握定義．由數與字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也叫做單項式．根據單項式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：是單項式；是分式，不是整式，因此不是單項式；是多項式；0是單項式；是多項式；
因此單項式有：．共2個．
故選：A．
3．（2024上·黑龍江綏化·七年級統考期末）下列計算正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了合并同類項，根據合并同類項的法則：字母不變，系數相加減，逐項判斷即可，熟練掌握合并同類項的法則是解此題的關鍵．
【詳解】解：A、和不是同類項，不能直接合并，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B、和不是同類項，不能直接合并，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
D、，故原選項計算正確，符合題意；
故選：D．
4．（2022上·貴州畢節·七年級統考期末）一個多項式與的和是，則這個多項式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了整式的加減，根據和減去一個加數等于另一個加數列出關系式，去括號合并是解本題的關鍵．
【詳解】解：
，
故選D．
5．（2023上·廣西南寧·八年級校考階段練習）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用冪的乘方運算法則，同底數冪的乘除法運算法則，合并同類項法則，分別計算即可得出答案.
【詳解】解：A．（a3)4=a12，故A選項不符合題意；
B．a2·a4=a6，故B選項符合題意；
C．a3+a3=2a3，故C選項不符合題意；
D．a8÷a4=a4，故D選項不符合題意；
故選：B．
6．（2023上·河南南陽·八年級統考階段練習）下列計算正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平方差公式，整式的乘法，以及完全平方公式，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關鍵．
各式計算得到結果，即可作出判斷．
【詳解】解：A、原式=a6，不符合題意；
B、原式=-2a2-2ab，不符合題意；
C、原式=a2-9，符合題意；
D、原式=a2-2a+1，不符合題意．
故選：C．
7．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．根據因式分解的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
C．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
D．從左到右的變形因式分解不徹底，故本選項不符合題意；
故選：B．
8．（2023上·江蘇揚州·七年級統考期中）如圖，池塘邊有一塊長為，寬為的長方形土地，現將其余三面留出寬都是1的小路，中間余下的長方形部分做菜地，則菜地的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查列代數式和代數式求值,解題的關鍵是從生活實際中出發,以數學知識解決生活實際中的問題,同時也考查了長方形周長的計算．本題可先根據所給的圖形,得出菜地的長和寬,然后根據長方形周長．
【詳解】解：其余三面留出寬都是1的小路，
∴由圖可以看出：菜地的長為（a-2),寬為(b-1)，
所以菜地的周長為，
故選：D．
9．（2023上·山東濟寧·七年級統考期中）如圖是一個計算程序，若輸入的值為，則輸出的結果應為（ ）
A． B．0 C．10 D．22
【答案】A
【分析】本題考查程序流程圖與代數式求值，正確確定代數式是解題關鍵．將代入程序流程圖所表達的代數式計算即可．
【詳解】解：由圖可知，所求代數式為(a2-2)x(-3)+4，
將a=-2代入，原式=-2．
故選A．
10．（2014上·甘肅嘉峪關·八年級統考期末）若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于（ ）
A．3 B．-5 C．7 D．7或-1
【答案】D
【分析】本題考查完全平方式．根據完全平方公式即可求出答案．
【詳解】解：∵x2+2(m-3)x+16是完全平方式，
∴m-3=+4，
解得：m=7或m=-1；
故選：D．
11．（2023上·河南新鄉·八年級校考期中）如圖，邊長為a，b的長方形的周長為16，面積為12，則的值為（ ）
A．48 B．64 C．80 D．96
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的應用，根據長方形周長公式和面積公式得到a+b=8,ab=12，代值計算即可．
【詳解】解：∵邊長為a，b的長方形的周長為16，面積為12，
∴a+b=8，ab=12，
∴原式=96，
故選D．
12．（2023上·山東德州·七年級統考期中）如圖所示，直線相交于點O，“阿基米德曲線”從點O開始生成，如果將該曲線與每條射線的交點依次標記為2，，6，，10，，…那么標記為“”的點在（ ）
A．射線上 B．射線上 C．射線上 D．射線上
【答案】D
【分析】本題考查了規律型 圖形的變化類，解決本題的關鍵是觀察圖形的變化尋找規律．
觀察圖形的變化可知：偶數項交點為：、、、…．且的奇數倍在射線上，的偶數倍在射線上，根據是偶數項，然后計算求解即可．
【詳解】解：觀察圖形的變化可知：奇數項交點為：2、6、、…（為正整數）；
偶數項交點為：、、、…．
∵射線上，，，射線上，，，
∴的奇數倍在射線上，的偶數倍在射線上，
∵是偶數項，
∴，
解得，．
∴-2024在射線OD上，
故選：D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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