資源簡介

1．1.1　空間向量及其運算
[課標解讀]　1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.3.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義．
教材要點
知識點一　空間向量的概念
1．在空間中，把具有________和________的量叫做空間向量，向量a的有向線段的長度叫做向量的________或________．空間向量也用有向線段表示，有向線段的________表示向量的模，向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作，其模記為|a|或||.
2．幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 起點與終點重合的向量叫做________，記為0
單位向量 ________的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a
相等向量 方向________且模________的向量稱為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量
共線向量或平行向量 有向線段所在的直線叫做向量的基線．如果空間中一些向量的基線________________，則這些向量叫做________或________
狀元隨筆　平面向量的有關概念和約定，能否將它們從平面推廣到空間？
[提示]　只要去掉“在平面內”的限定，平面向量的概念與約定都可以原封不動地推廣到空間中．
知識點二　空間向量的加、減、數乘運算及其運算律
空間向量的運算 加法 a＋b＝
減法 a－b＝
數乘 當λ＞0時，λa＝＝λ；當λ＝0時，λa＝0；當λ＜0時，λa＝＝λ
加法與數乘運算律 (1)加法交換律：a＋b＝b＋a； (2)加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
狀元隨筆　空間兩個向量的加減法與平面內兩個向量的加減法完全一致嗎？
[提示]　完全一致．凡涉及空間兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們．
知識點三　空間向量的夾角
如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，記作________．
知識點四　兩個向量的數量積
1．定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積(或內積)，記作a·b.
2．數量積的運算律
數乘向量與向量數量積的結合律 (λa)·b＝________
交換律 a·b＝________
分配律 (a＋b)·c＝________
知識點五　兩個向量的數量積的性質
兩個向量數量積的性質 ①若a，b是非零向量，則a⊥b ________
②若a與b同向，則a·b＝________； 若反向，則a·b＝________． 特別地，a·a＝________或|a|＝
③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝________
④|a·b|≤|a|·|b|
基礎自測
1.下列命題中，假命題是(　　)
A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
B．兩個相反向量的和為零向量
C．只有零向量的模等于0
D．空間中任意兩個單位向量必相等
2．等邊△ABC中，與的夾角是________，與的夾角是________．
3．在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量與是________向量，向量與是________向量．
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．
題型1　空間向量的概念及簡單應用
例1　下列說法中正確的是　(　　)
A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|
C．空間向量的減法滿足結合律
D．在四邊形ABCD中，一定有＝
方法歸納
(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．
(2)熟練掌握空間向量的有關概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關鍵．
跟蹤訓練1　(1)給出下列命題：
①零向量沒有確定的方向；
②在正方體ABCD A1B1C1D1中，＝；
③若向量a與向量b的模相等，則a＝b.
其中正確命題的序號是________．
(2)下列四個命題：
①方向相反的兩個向量是相反向量；
②若a，b滿足|a|>|b|且a，b同向，則a>b；
③不相等的兩個空間向量的模必不相等；
④對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正確命題的序號為　(　　)
A．①②③ B．④
C．③④D．①④
題型2　空間向量的加、減法運算
【思考探究】　向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點？
[提示]　(1)空間中任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一個平面內的兩個向量，因此，它們的加減法運算類似于平面向量的加減法．
(2)若兩個空間向量的始點相同，則這兩個向量即為平面向量．求這兩個向量之和時，應優先考慮平行四邊形法則．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點，因此為便于記憶，常把這個和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量．
例2　如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量．
(1)；
(2).
狀元隨筆　一般地，起點相同三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系？
[提示]　起點相同的三個不共面的向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的公共始點為始點的對角線所示向量，也稱平行六面體法則．
方法歸納
(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即＝
(2)首尾順次相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖，＝0.
(3)空間向量的減法運算也可以看成是向量的加法運算，即a－b＝a＋(－b)．
(4)由于空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內，成為同一個平面內的兩個向量，而平面向量滿足加法交換律，因此空間向量也滿足加法交換律．
(5)空間向量加法結合律的證明：如圖，(a＋b)＋c＝()＋＝＝，a＋(b＋c)＝＋()＝＝，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
跟蹤訓練2　(1)(變結論)利用本例圖，化簡.
(2)(變結論)利用本例圖，求證：＝2.
題型3　空間向量的夾角
例3　
如圖所示是一個正方體，求下列各對向量的夾角：
(1)與；(2)與；
(3)與；(4)與；
狀元隨筆　空間兩個向量夾角定義的要點是什么？
[提示]　任意兩個空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣．
方法歸納
(1)空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣，即[0，π].
(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起．
(3)兩個空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
跟蹤訓練3　
如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，求下列各對向量的夾角：
(1)與；(2)與；
(3)與；(4)與；
(5)與；(6)與.
題型4　數量積運算
例4　
如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F分別是OA，OC的中點．求下列向量的數量積：
(1)·；
(2)·；
(3)()·()．
狀元隨筆　根據數量積的定義進行計算，求出每組向量中每個向量的模以及它們的夾角，注意充分結合正四面體的特征．
方法歸納
1．要牢記公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．在求兩個向量夾角時，要注意向量的方向，如〈〉＝〈〉＝120°易錯寫成60°.為避免出錯，應結合圖形進行計算．
跟蹤訓練4　已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側面AB1的中心，F為A1D1的中點．試計算：
；
；
．
題型5　利用數量積求夾角、模、解決垂直問題
【思考探究】　空間向量數量積的性質有什么作用？
[提示]　(1)向量模的應用：式子|a|＝可以解決有關空間長度問題．
(2)向量夾角的應用：空間中兩條直線(特別是兩條異面直線)的夾角，可以通過求出這兩個向量的夾角而求得．
(3)兩個向量a與b的數量積的幾何意義：數量積a·b等于a在b上的投影的數量|a|cos 〈a，b〉與b的長度的乘積；要明確向量a在向量b上的投影仍是一個向量，其數量為|a|cos 〈a，b〉＝.
(4)數量積的應用：兩非零向量a，b，若a·b＝0，則兩向量對應的直線相互垂直．
例5　(1)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．
(2)如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，從同一頂點出發的三條棱的長都等于1，且彼此的夾角都是60°，求對角線AC1和BD1的長．
狀元隨筆
(1)先求·，再由夾角公式求，〉，并由此確定與所成角的余弦值．
(2)把向量和用已知向量、、表示出來，再用數量積的定義運算．
方法歸納
1．利用數量積求異面直線所成角(或余弦值)的方法：
2．求兩點間的距離或某條線段的長度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通過向量運算去求|a|，即得所求距離．
3．證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．
4．證明與空間向量a，b，c有關的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數量積是否為0.
跟蹤訓練5　
如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)·；
(2)·.
易錯點　本節課的易錯點是零向量的概念的應用，以及向量夾角的概念．
(1)空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣．即[0，π].
(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起．
第一章　空間向量與立體幾何
1．1　空間向量及其運算
1．1.1　空間向量及其運算
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．大小　方向　模　長度　長度
2．零向量　模為1　相等　相反　相同　相等　同向　等長　互相平行或重合　共線向量　平行向量
知識點三
非零　∠AOB　〈a，b〉　[0，π]　互相垂直　a⊥b
知識點四
2．λ(a·b)　b·a　a·c＋b·c
知識點五
a·b＝0　|a||b|　－|a||b|　|a|2　
[基礎自測]
1．解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個向量稱為相反向量；任意兩個單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．
答案：D
2．答案：120°　60°
3．答案：相等　相反
4．解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
課堂探究·素養提升
例1　解析：|a|＝|b|，說明a與b模長相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結合律，減法不具有結合律；一般的四邊形不具有＝，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．
答案：B
跟蹤訓練1　解析：(1)①正確；②正確，因為與的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a與b不一定相等．
綜上可知，正確命題為①②.
(2)對于①：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②：向量是不能比較大小的，故不正確；對于③：不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯；只有④正確．
答案：(1)①②　(2)B
例2　解析：(1)＝＝＝.
(2)＝()＋＝＝.
向量、如圖所示．
跟蹤訓練2　解析：(1)結合加法運算
＝＝＝0.
故＝0.
(2)證明：長方體的六個面均為平行四邊形．
∵＝＝＝，
∴＝()＋()＋()＝2()．
又∵＝＝，
∴＝＝＝.
∴＝2.
例3　解析：(1) 由于與的方向相同，所以〉＝〈〉＝45°.
〉＝〈〉＝135°.
〉＝〈〉＝90°.
〉＝〈〉＝180°.
跟蹤訓練3　答案：(1)60°　(2)120°　(3)180°　(4)120°　(5)60°　(6)120°
例4　解析：(1)正四面體的棱長為1，則||＝||＝1.△OAB為等邊三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)由于E，F分別是OA，OC的中點，
所以EF綊AC，
于是·＝||||cos〈〉
＝||·||cos〈〉
＝×1×1×cos〈〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
(3)()·()
＝()·()
＝()·(－2)
＝＋·－2··－2·
＝1＋－2×＋1－2×＝1.
跟蹤訓練4　
解析：如圖，設＝a，＝＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
＝)
＝
＝b·＝|b|2＝42＝16.
＝)
＝)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
＝)
＝·()
＝·(b＋a)
＝(－a＋b＋c)·(b＋a)
＝－|a|2＋|b|2＝2.
例5　解析：＝＝，＝，且·＝·＝·＝0，
·＝－＝－1.
又||＝＝＝.
，〉＝＝＝－.
∵異面直線所成角的范圍是，
∴異面直線BA1與AC所成角的余弦值為.
＝，
＝＝＝)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
|＝，即對角線AC1的長為.
同理＝＝－)＝－·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.
|＝，即對角線BD1的長為.
跟蹤訓練5　解析：(1)方法一：因為是長方體，而且AA′＝AD＝2，所以
〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，||＝2，
·＝||||cos 45°＝2.
方法二：由圖可以看出，在上的投影是，而且||＝AA′＝1.
注意到與的方向相同，所以·＝||＝2.
(2)由圖可以看出，在上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到與的方向相反，所以·等于的長的相反數，即·＝－||＝－2.1．1.2　空間向量基本定理
[課標解讀]　1.了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示．
教材要點
知識點一　共線向量定理與共面向量定理
1．共線向量定理
如果a≠0且b∥a，則________________，使b＝λa.
2．向量共面的條件
①向量a平行于平面α的定義
已知向量a，作＝a，如果a的基線OA________________________，則就說向量a平行于平面α，記作________．
②共面向量的定義
平行于________的向量，叫做共面向量．
③共面向量定理
如果兩個向量a，b________，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，______________，使________．
知識點二　空間向量基本定理
1．空間向量基本定理
如果空間中的三個向量a，b，c________，那么對空間任一向量p，____________________________，使________________．
2．基底
如果三個向量a，b，c__________，則a，b，c的線性組合________________能生成所有的空間向量，這時a，b，c叫做空間的一個__________，記作__________，其中a，b，c都叫做________．表達式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的________或________．
基礎自測
1.對于空間的任意三個向量a，b，2a－b，它們一定是(　　)
A．共面向量
B．共線向量
C．不共面向量
D．既不共線也不共面的向量
2．給出的下列幾個命題：
①向量a，b，c共面，則存在唯一的有序實數對(x，y)，使c＝xa＋yb；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λb.
其中真命題的個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知正方體ABCD － A′B′C′D′，點E是A′C′的中點，點F是AE的三等分點，且AF＝EF，則等于(　　)
A．
B．
C．
D．
4．若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．
題型1　向量共線問題
例1　
如圖所示，在正方體ABCD － A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在對角線A1C上，且＝.求證：E，F，B三點共線．
方法歸納
判定兩向量共線就是尋找x使a＝xb(b≠0)成立，為此可結合空間圖形并運用空間向量運算法則化簡出a＝xb，從而得a∥b.
跟蹤訓練1　
如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是CB、CD上的點，且＝＝.利用向量法求證四邊形EFGH是梯形．
題型2　共面向量定理及應用
例2　對于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點．
試證：與、共面．
狀元隨筆
方法歸納
利用向量法證明四點共面，實質上是證明的向量共面問題，解題的關鍵是熟練地進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區分向量所在的直線的位置關系與向量的位置關系．
跟蹤訓練2　已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，確定在下列各條件下，點M是否與A，B，C三點共面：
(1)＝；
(2)＝2.
題型3　空間向量基本定理的應用
【思考探究】　
1．構成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？
[提示]　不唯一，不共面．
2．怎樣理解空間向量基本定理？
[提示]　(1)空間向量基本定理表明，用空間三個不共面已知向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結果是唯一的．
(2)空間中的基底是不唯一的，空間中任意三個不共面向量均可作為空間向量的基底．
(3)拓展：設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝x＋y＋z，當且僅當x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點共面．
例3　(1)
如圖，在三棱柱ABC － A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，點M，N分別是BC′，B′C′的中點，試用基底{a，b，c}表示向量.
(2)
如圖所示，已知直三棱柱ABC － A1B1C1中，D為A1C1的中點，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求·.
狀元隨筆　借助圖形尋找所求向量與，，的關系，利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來．
方法歸納
用基底表示向量的步驟
1．定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
2．找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
3．下結論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟蹤訓練3　(1)已知平行六面體ABCD － A′B′C′D′中，點E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各題中x，y的值：
①＝x()；
②＝＋x＋y.
(2)已知直三棱柱ABC － A1B1C1中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求．
易錯點　本節課的易錯點一是判定兩向量共線，就是尋找x使a＝xb(b≠0)成立，從而得a∥b，注意b≠0.二是空間向量基本定理中基底為非零向量．
1．1.2　空間向量基本定理
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．存在唯一的實數λ
2．平行于平面α或在α內　a∥α　同一平面　不共線　存在唯一的一對實數x，y　c＝xa＋yb
知識點二
1．不共面　存在唯一的有序實數組(x，y，z)　p＝xa＋yb＋zc
2．不共面　xa＋yb＋zc　基底　{a，b，c}　基向量　線性表達式　線性組合
[基礎自測]
1．答案：A
2．解析：只有②為真命題．
答案：B
3．解析：由條件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝)
＝)
＝)
＝.
答案：D
4．解析：若x≠0，則a＝－b＋c，即a與b，c共面．
由{a，b，c}是空間向量的一個基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
課堂探究·素養提升
例1　證明：設＝a，＝＝c.
∵＝，A1F＝，
∴＝，＝．
∴A1E＝＝b，＝)
＝)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.
∴E，F，B三點共線．
跟蹤訓練1　證明：∵E、H分別是邊AB、AD的中點，
∴＝＝，
＝＝＝)＝＝)＝)＝)＝，
∴∥且||＝||≠||，又F不在EH上，
∴四邊形EFGH是梯形．
例2　證明：
空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，
則＝，
＝　①
又E、F分別是AB、CD的中點，故有＝－＝－，　②
將②代入①中，兩式相加得2＝.
所以＝，即與、共面．
跟蹤訓練2　解析：(1)原式可變形為：
＝)＋)，
即＝，
∵A，B，C三點不共線，
∴M在平面ABC內．
(2)原式可變形為：
＝()＋()＝，
于是∥平面ABC.
又∵O 平面ABC，
∴直線OM∥平面ABC.
答案：(1)共面　(2)不共面
例3　解析：(1)＝＝
＝)＝)
＝b＋a＋(c－b)
＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c.
＝
＝
＝a＋b＋)
＝a＋b＋(c－b)
＝a＋b＋c.
(2)由題意可知，||＝2，||＝|＝1，
〈〉＝60°，
，〉＝，〉＝90°，
所以·＝2×1×cos 60°＝1，
·＝·＝0.
又因為＝＝，
＝＋＝＝＋
＝＋)，
所以·＝
＝·
＝－×4＋×1＋1＝－.
跟蹤訓練3　解析：(1)①由空間向量加法的多邊形法則(平行六面體法則)，得＝.又＝x()且不共面，由空間向量基本定理，得x＝1.
②＝＝＝)．
又＝＋x＋y，故由空間向量基本定理，得x＝y＝.
(2)
取基底向量}
＝＝＋，
由條件知·＝＝0，
·＝||·||cos 60°＝1，
＝1，
＝＋)＝－·＝0.1．1.3　空間向量的坐標與空間直角坐標系
[課標解讀]　1.在平面直角坐標系的基礎上了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.2.借助特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標，探索并得出空間兩點間距離公式．
教材要點
知識點一　空間中向量的坐標
(1)一般的，如果空間向量的基底{i，j，k}中，i，j，k都是單位向量而且這三個單位向量互相垂直，就稱這個基底叫做________________．單位向量i，j，k都叫做________．在單位正交基底{i，j，k}下向量的分解稱為向量的單位正交分解．
(2)空間向量的坐標
已知任一向量a，根據空間向量基本定理，存在唯一實數組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序實數組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標系中的________．上式可簡記作a＝________．
狀元隨筆　若＝＋＋，則a→的坐標一定是(x，y，z)嗎？
提示：不一定，當，，是單位正交基底時，坐標是(x，y，z)，否則不是．
知識點二　空間向量的坐標運算
空間向量a，b，其坐標形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa (λa1，λa2，λa3)
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
知識點三　空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|＝________ |a|＝
夾角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
知識點四　空間直角坐標系
1．空間直角坐標系
定義 以空間中兩兩________且相交于一點O的三條直線分別為x軸、y軸、z軸，這時就說建立了空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標________，x軸、y軸、z軸叫做________．通過每兩個坐標軸的平面叫做________，分別稱為xOy平面、yOz平面、________平面
畫法 在平面上畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝________，∠yOz＝90°
圖示
說明 本書建立的坐標系都是________直角坐標系，即在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向________軸的正方向，食指指向________軸的正方向，中指指向________軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系
2.空間中一點的坐標
空間一點M的坐標可用有序實數組(x，y，z)來表示，有序實數組(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的____________，y叫做點M的____________，z叫做點M的____________．
狀元隨筆　建立空間直角坐標系Oxyz，如果指定空間中單位向量，，的始點都在原點O，且它們的方向分別與x軸、y軸、z軸的正方向相同，則{，， }是單位正交基底，且向量的坐標與P點的坐標相同，即 ＝＋＋ ＝(x，y，z) P(x，y，z)；
反之，如果{，，}為單位正交基底，則任意選定一點作為原點O，并使得x軸、y軸、z軸的正方向分別與，，的方向相同，則可以建立空間直角坐標系，而且其中向量的坐標與P點的坐標仍然相同．
3．空間兩點間的距離公式
(1)點P(x，y，z)到坐標原點O(0，0，0)的距離|OP|＝________．
(2)任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離|P1P2|＝________________________．
狀元隨筆　若向量＝(x，y，z)，則點B的坐標是(x，y，z)嗎？
[提示]　不一定．A點與原點重合時是，不與原點重合則不是．
基礎自測
1.已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，則x的值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
3．在空間直角坐標系中，A(－1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝，則m的值為________．
4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，則向量與的夾角為________．
題型1　空間直角坐標系的建立及坐標表示
例1　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則下列說法不正確的是(　　)
A.點B1的坐標為(4，5，3)
B．點C1關于點B對稱的點為(5，8，－3)
C．點A關于直線BD1對稱的點為(0，5，3)
D．點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)
方法歸納
空間中點P坐標的確定方法
1．由P點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸，y軸、z軸于點Px、Py、Pz，這三個點在x軸、y軸、z軸上的坐標分別為x、y、z，那么點P的坐標就是(x，y，z)．
2．若題所給圖形中存在垂直于坐標軸的平面，或點P在坐標軸或坐標平面上，則要充分利用這一性質解題．
跟蹤訓練1　如圖所示，V-ABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F分別為BC，CD的中點．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如圖所示空間直角坐標系，試分別寫出各個頂點的坐標．
題型2　空間向量的坐標表示與運算
例2　(1)已知點B(2，－3，1)，向量＝(－3，5，2)，則點A坐標是(　　)
A．(1，2，3) B．(－1，2，3)
C．(－5，8，1) D．(5，－8，－1)
(2)已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是(－1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若p＝，q＝.求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
狀元隨筆　空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算法則基本一樣，應注意一些計算公式的應用．
方法歸納
1．用坐標表示空間向量的步驟
2．空間向量進行坐標運算的規律是首先進行數乘運算，再進行加法或減法運算，最后進行數量積運算，先算括號里，后算括號外．
跟蹤訓練2　若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，則a·(b＋c)的值為(　　)
A．(4，6，－5) B．5
C．7 D．36
題型3　空間向量的平行與垂直
【思考探究】
1．空間向量的平行與垂直與平面向量的平行與垂直有什么關系？
[提示]　(1)類比平面向量平行、垂直：空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量平行、垂直的表達式不一樣，但實質是一致的．
(2)轉化：判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應的方向向量是否平行或垂直．
2．空間中三點共線的充要條件是什么？
[提示]　三個點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共線的充要條件是=.
簡證：三個點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共線的充要條件為＝λ，即向量與向量共線，其坐標對應成比例，從而有.
例3　已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)．
(1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐標，如果不存在，說明理由．
狀元隨筆　利用空間向量平行、垂直的充要條件求解．
方法歸納
解決空間向量垂直、平行問題的思路
1．若有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標，例如，設向量a＝(x，y，z)．
2．在有關平行的問題中，通常需要引入參數，例如，已知a∥b，則引入參數λ，有a＝λb，再轉化為方程組求解．
3．選擇向量的坐標形式，可以達到簡化運算的目的．
跟蹤訓練3　已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
例4　
如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，H為C1G的中點．
(1)求證EF⊥B1C；
(2)求FH的長．
狀元隨筆　根據正方體的特殊性，可考慮建立空間直角坐標系，寫出相關點及向量的坐標，套用數量積、夾角、模長公式即可．
方法歸納
通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷．建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題．
跟蹤訓練4　
如圖所示，在直三棱柱(側棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點．求BN的長．
狀元隨筆　建立適當的坐標系能給解題帶來方便．
易錯點　本節課的易錯點是點的坐標(a1，a2，a3)的確定是否正確，要格外仔細，它是坐標運算的基礎．
1．1.3　空間向量的坐標與空間直角坐標系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(1)單位正交基底　坐標向量　(2)坐標　(a1，a2，a3)
知識點三
知識點四
1．垂直　原點　坐標軸　坐標平面　xOz　135°　右手　x　y　z
2．橫坐標　縱坐標　豎坐標
3．(1)
(2)
[基礎自測]
1．解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.
答案：C
2．解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．
答案：D
3．解析：|AB|＝＝，
∴(3－m)2＝100，3－m＝±10.
∴m＝－7或13.
答案：－7或13
4．解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝·＝3，
∴cos 〈〉＝＝＝，
∴〈〉＝60°.
答案：60°
課堂探究·素養提升
例1　解析：根據題意知：點B1的坐標為(4，5，3)，A正確；B的坐標為(4，5，0)，C1坐標為(0，5，3)，故點C1關于點B對稱的點為(8，5，－3)，B錯誤；點A關于直線BD1對稱的點為C1(0，5，3)，C正確；點C(0，5，0)關于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)，D正確．
答案：B
跟蹤訓練1　解析：∵底面是邊長為2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O點是坐標原點，
∴C(1，1，0)，同樣的方法可以確定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．
∵V在z軸上，
∴V(0，0，3)．
例2　解析：(1)設點A(x，y，z)，
則向量＝(2－x，－3－y，1－z)＝(－3，5，2)，
所以 ，
所以點A(5，－8，－1)．
(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；
②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
答案：(1)D　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：b＋c＝(2，0，3)＋(0，2，2)＝(2，2，5)，
a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.
答案：B
例3　解析：(1)因為a＝(1，－2，4)的每一個坐標分量均不為零，所以a∥c ＝＝ x＝－4，y＝8.
(2)因為c⊥a且c⊥b，所以
所以所以
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，
此時c＝(2，11，5)．
跟蹤訓練3　解析：(1)因為＝(－2，－1，2)，且c∥，
所以設c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.
即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因為a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值為2或－.
例4　解析：
(1)證明：如圖所示，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz，易知E(0，0，)，F(，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)，H(0，)．
∵＝(，0)－(0，0，)＝(，－)，
B1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)，
∴·B1C＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0，
∴⊥B1C，即EF⊥B1C.
(2)由(1)知F(，0)，H(0，)，
∴＝(－)，
∴||＝ ＝.
跟蹤訓練4　解析：如圖，以}為正交基底建立空間直角坐標系Cxyz.
依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴線段BN的長為.1．2.1　空間中的點、直線與空間向量
[課標解讀]　1.能用向量語言描述直線，理解直線的方向向量.2.能用向量語言表述直線與直線的夾角以及垂直與平行關系.3.能用向量方法證明必修內容中有關直線位置關系的判定定理.4.體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
教材要點
知識點一　用向量表示直線或點在直線上的位置
在直線l上給定一個定點A和它的一個方向向量a，對于直線l上的任意一點P，則有＝ta，上面向量等式叫做空間直線的________．向量a稱為該直線的方向向量．
知識點二　用向量方法證明直線與直線平行
1．設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則由向量共線的條件，得l1∥l2或l1與l2重合 ________．
2．已知兩個不共線向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個方向向量為v，則由共面向量定理，可得l∥α或l在α內 存在兩個實數x，y，使v＝________．
3．已知兩個不共線向量v1，v2與平面α共面，則由兩平面平行的判定與性質，得α∥β或α與β重合 ________．
知識點三　用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角
設兩條直線所成的角為θ，v1和v2分別是l1和l2的方向向量，則l1⊥l2 ________，cos θ＝________．
基礎自測
1.直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(3，0，1)，v2＝(－1，0，m)，若l1∥l2，則m等于(　　)
A．1 B．3
C． D．－
2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是(　　)
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
3．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是120°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
4．直線l1與l2不重合，直線l1的方向向量為v1＝(－1，1，2)，直線l2的方向向量v2＝(2，0，1)，則直線l1與l2的位置關系是________．
題型1　空間中點的位置確定
例1　已知O是坐標原點，A，B，C三點的坐標分別為A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝()，求P點的坐標；
(2)若P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，求P點的坐標．
狀元隨筆
(1)由條件先求出，的坐標，再利用向量的運算求P點的坐標．
(2)先把條件AP∶PB＝1∶2轉化為向量關系，再運算．
方法歸納
此類問題常轉化為向量的共線、向量的相等解決，設出要求點的坐標，利用已知條件得關于要求點坐標的方程或方程組求解即可．
跟蹤訓練1　
已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以的方向為正向，在直線AB上建立一條數軸，P，Q為軸上的兩點，且分別滿足條件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求點P和點Q的坐標．
題型2　利用向量法求異面直線的夾角
例2　(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
狀元隨筆　建立空間直角坐標系，表示出(BM) ， (AN) 的坐標，利用向量法求解．
(2)已知三棱錐O-ABC(如圖)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分別是棱OA，BC的中點．求直線MN與AC所成角的余弦值．
方法歸納
求兩條異面直線所成角的方法：
1．利用向量求異面直線所成角的步驟
(1)確定空間兩條直線的方向向量；
(2)求兩個向量夾角的余弦值；
(3)確定線線角與向量夾角的關系：當向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角；當向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角．利用向量求異面直線所成角可以用基向量法也可以用坐標法．
2．定義法(平移法)：由兩條異面直線所成角的定義將求兩條異面直線所成角的大小轉化為平面角求解．求解的方法是解三角形．
跟蹤訓練2　
如圖所示，已知正四棱錐P-ABCD底面邊長為a，高PO的長也為a，E，F分別是PD，PA的中點，求異面直線AE與BF所成角的余弦值．
狀元隨筆　兩異面直線夾角范圍為(0，]，時刻注意兩異面直線夾角的范圍是解題的關鍵．
題型3　利用空間向量處理直線平行問題
【思考探究】
1．直線的方向向量在確定直線時起到什么作用？
[提示]　(1)非零性：直線的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直線l的方向向量有無數多個，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量．
(3)給定空間中的任一點A和非零向量a，就可以確定唯一一條過點A且平行于向量a的直線．
2．兩條平行直線的方向向量有什么關系？
[提示]　設直線l，m的方向向量分別為a，b，則l∥m a∥b a＝λb.
例3　如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點M，N分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點．求證：MN∥AD′.
狀元隨筆　利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時，要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點．
跟蹤訓練3　
如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，G，H分別為AD，B1C1的中點．求證EG∥FH.
題型4　利用空間向量處理直線垂直問題
例4　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．
求證：(1)AC⊥BC1；
(2)AC1與B1D不平行．
狀元隨筆　證明兩直線垂直一般轉化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數量積為0.
跟蹤訓練4　正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AC的中點，
證明：
(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
易錯點　本節課的易錯點是兩異面直線夾角范圍為(0，]，兩平面向量是[0，π]，時刻注意兩異面直線夾角的范圍是正確解題的關鍵．
1．2　空間向量在立體幾何中的應用
1．2.1　空間中的點、直線與空間向量
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
向量參數方程
知識點二
1．v1∥v2
2．xv1＋yv2
3．v1∥β且v2∥β
知識點三
v1⊥v2　cos〈v1，v2〉
[基礎自測]
1．解析：因為l1∥l2.所以存在實數λ，使v1＝λv2
即(3，0，1)＝λ(－1，0，m)，
∴，解得m＝－.
答案：D
2．解析：＝(2，1，2)－(1，0，－1)＝(1，1，3)，故選B.
答案：B
3．解析：由異面直線所成角的定義可知，l1與l2所成的角為180°－120°＝60°.
答案：C
4．解析：因為v1·v2＝(－1，1，2)·(2，0，1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2.
答案：垂直
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)．
＝)＝(2，2，0)＝(1，1，0)．
∴P點的坐標為(1，1，0)．
(2)由P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
設點P的坐標為(x，y，z)，
則＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即，得.
因此P點的坐標為()．
跟蹤訓練1　解析：由已知，得＝2，
即＝2()，
＝.
設點P坐標為(x，y，z)，則上式換用坐標表示，得
(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，
即x＝＝，y＝＝，
z＝0＋1＝1.
因此，P點的坐標是(，1)．
因為AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2＝－2()，
＝－＋2，
設點Q的坐標為(x′，y′，z′)，則上式換用坐標表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q點的坐標是(0，2，6)．
綜上，P點的坐標是(，1)，Q點的坐標是(0，2，6)．
例2　
解析：(1)以C1為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設BC＝CA＝CC1＝2，則A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，∴＝(－1，0，－2)，＝(1，－1，－2)，
∴cos 〈〉＝＝＝＝.
(2)設＝a，＝b，＝c，直線MN與AC所成的角為θ，則＝＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)，＝c－a，
所以||2＝(b＋c－a)2
＝(|a|2＋|b2|＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)
＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，
||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c＝42＋32－0＝25，
·＝(b＋c－a)·(c－a)
＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝＝.
cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝.
所以直線MN與AC所成角的余弦值為.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：
如圖，以O為原點，過O點平行于AB、BC的直線為x軸、y軸，PO為z軸建立空間直角坐標系．由已知得
A(－，－，0)，B(，－，0)，
E(－)，F(－，－)，
所以＝()，＝(－)，
所以cos 〈〉＝
＝＝.
所以異面直線AE與BF所成角的余弦值為.
例3　證明：方法一：基向量法
設＝a，＝b，＝c，
則＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，
所以＝＝(b＋c)．
又因為b＋c＝，所以＝，
所以∥，
因為M不在平面ADD′A′內，所以MN∥AD′.
方法二：坐標法
建立如圖所示坐標系，設正方體的棱長為2，則A(0，0，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，
所以＝(0，2，2)，＝(0，1，1)，
所以＝，所以∥，
因為M不在平面ADD′A′內，所以MN∥AD′.
跟蹤訓練3　解析：
如圖所示，建立空間直角坐標系．
則E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2)．
所以＝(－1，－2，－1)，＝(1，2，1)．
所以＝－，所以∥.
顯然EG與FH不重合，故EG∥FH.
例4　證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D.
(1)因為＝＝(0，－4，4)，所以＝0.所以．所以AC⊥BC1.
(2)因為＝(－3，0，4)，＝，
又≠，所以，不平行，故AC1與B1D不平行．
跟蹤訓練4　證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)．
＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，
所以·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
所以⊥，所以BD1⊥AC.
＝＝，
所以＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
所以，所以BD1⊥EB1.1．2.2　空間中的平面與空間向量
[課標解讀]　1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與平面、平面與平面垂直與平行關系.3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.4.體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
教材要點
知識點一　平面的法向量及其應用
1．平面的法向量：如果向量n的基線與平面α________，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交．
2．平面的向量表示式：設A是空間任一點，n為空間內任一非零向量，用·n＝0表述通過空間內一點并且與一個向量垂直的平面，這個式子通常稱為一個平面的向量表示式．
3．兩個平面平行或垂直的判斷：設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β或α與β重合 ________；α⊥β __________ ____________．
狀元隨筆　平面的法向量有何作用？是否唯一？
[提示]　平面的法向量與空間一點可以確定一個平面，利用平面的法向量可以判斷直線與平面、平面與平面的位置關系．平面的法向量不唯一，它們都是共線的．
知識點二　三垂線定理及其逆定理
1．射影：①已知平面α和一點A，過點A作α的________l與平面α相交于點A′，則A′就是點A在平面α內的________，簡稱射影．
②圖形F上________在平面α內的________所成的集合F′，叫做圖形F在平面α內的射影．
2．三垂線定理：如果在平面內的________與平面的一條斜線在這個平面內的________________，則它也和這條斜線垂直．
3．三垂線定理的逆定理：如果平面內的________和這個平面的________________，則它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．
基礎自測
1．直線l的方向向量s＝(－1，1，1)，平面α的法向量為n＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則x的值為(　　)
A．－2 B．－
C． D．±
2．設平面α的法向量的坐標為(1，2，－2)，平面β的法向量的坐標為(－2，－4，k)．若α∥β，則k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
3．已知平面內的兩個向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，則該平面的一個法向量為(　　)
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
4．設u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
題型1　求平面的法向量
例1　
如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量．
狀元隨筆　平面的法向量有何特點？
[提示]　設向量是平面α的一個法向量．則：
(1)是一個非零向量．
(2)向量與平面α垂直．
(3)平面α的法向量有無數多個，它們都與向量平行，方向相同或相反．
(4)給定空間中任意一點A和非零向量，可確定唯一一個過點A且垂直于向量的平面．
方法歸納
利用待定系數法求法向量的解題步驟
跟蹤訓練1　在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個法向量n.
題型2　利用法向量證明空間中的位置關系
例2　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分別為棱BB1，CD，AA1的中點．
(1)證明：C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
狀元隨筆　建立空間直角坐標系，求出平面ADE與平面A1D1F的法向量求解．
方法歸納
利用空間向量證明平行、垂直問題的常用思路
線面平行 (1)求出直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需證明a⊥u，即a·u＝0.(2)在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．
面面平行 (1)轉化為相應的線線平行或線面平行． (2)求出平面α，β的法向量u，v，證明u∥v即可說明α∥β.
線面垂直 求出平面內兩條相交直線的方向向量，證明直線的方向向量和它們都垂直．
面面垂直 (1)轉化為線面垂直． (2)求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直．
跟蹤訓練2　(1)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點．設Q是CC1上的點．當點Q在什么位置時，BQ∥平面PAO
(2)本題若把“Q是CC1上的點”改為“Q是CC1的中點”，其他條件不變，求證：平面D1BQ∥平面PAO.
題型3　三垂線定理及逆定理的應用
例3　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BDC1.
方法歸納
利用傳統的幾何法進行證明，在證明線面垂直時，首先應證明線線垂直，本題在證明線線垂直時，應用到了三垂線定理及其逆定理．
跟蹤訓練3　如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中點，求證：AB1⊥A1M.
易錯點　本節課的易錯點是直線的一個方向向量和平面的一個法向量之間關系的公式要牢記．
設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則
位置關系 向量關系 向量運算關系 坐標關系
l⊥m a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α a∥u a＝λu，λ∈R a1＝λμ1，a2＝λμ2，a3＝λμ3
α⊥β u⊥v u·v＝0 u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
1．2.2　空間中的平面與空間向量
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．垂直
3．n1∥n2　n1⊥n2　n1·n2＝0
知識點二
1．垂線　正射影　所有的點　射影
2．一條直線　射影垂直
3．一條直線　一條斜線垂直
[基礎自測]
1．解析：線面平行時，直線的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.
答案：D
2．解析：因為α∥β，所以＝＝，所以k＝4.
答案：C
3．解析：顯然a與b不平行，設平面的法向量為n＝(x，y，z)，則有∴
令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2，1，1)．
答案：C
4．解析：∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
答案：C
課堂探究·素養提升
例1　解析：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則D(0，，0)，E(0，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝(0，)，＝(1，，0)．
設n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
所以
令y＝－1，則x＝z＝.
所以平面ACE的一個法向量為n＝(，－1，)．
跟蹤訓練1　
解析：如圖，建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)．
設平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝＝(－1，0，1)，又∵n為平面ACD1的一個法向量，
∴
∴
化簡，得
令x＝1，得y＝z＝1.
∴平面ACD1的一個法向量n＝(1，1，1)．
例2　證明：
(1)以D為原點，向量的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖，設正方體的棱長為1.
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(1，1，)，C1(0，1，1)，M(1，0，)，＝(1，0，0)，＝(1，1，)，＝(1，－1，－)．
設平面ADE的法向量為m＝(a，b，c)，
則
令c＝2，得m＝(0，－1，2)，
∵m·＝(0，－1，2)·(1，－1，－)＝0＋1－1＝0，
∴⊥m.
又C1M 平面ADE，
∴C1M∥平面ADE.
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，，0)，
得＝(1，0，0)，＝(0，，－1)，
設平面A1D1F的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令y＝2，則n＝(0，2，1)．
∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
跟蹤訓練2　解析：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為2，
則O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)．
再設Q(0，2，c)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，
＝＝(－2，－2，2)．
設平面PAO的法向量為n＝(x，y，z)，
則
所以
令x＝1，則y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一個法向量為n＝(1，1，2)．
若BQ∥平面PAO，則n⊥BQ，
所以n·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，
故當Q為CC1的中點時，BQ∥平面PAO.
(2)證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為2，
則O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，Q(0，2，1)，
所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝＝(－2，－2，2)．
設平面PAO的法向量為n1＝(x，y，z)，
則，
所以，
令x＝1，則y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一個法向量為n1＝(1，1，2)．
同理可求平面D1BQ的一個法向量為n2＝(1，1，2)，
因為n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
例3　證明：連接AC，CD1，在正方體中，AA1⊥平面ABCD，
所以AC是A1C在平面ABCD內的射影，
又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.
同理D1C是A1C在平面CDD1C1內的射影．
所以C1D⊥A1C.
又C1D＝D，
所以A1C⊥平面BDC1.
跟蹤訓練3　證明：連接AC1，∵＝＝＝＝，
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C1，
∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，
∴A1M⊥AC1.
∵ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴B1C1⊥CC1.
又∵B1C1⊥A1C1，A1C1＝C1，
∴B1C1⊥平面AC1，由三垂線定理知，AB1⊥A1M.1．2.3　直線與平面的夾角
[課標解讀]　1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與平面的夾角以及垂直與平行關系.3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.4.體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
教材要點
知識點一　直線和平面所成的角
狀元隨筆　直線l的方向向量s→與平面的法向量的夾角一定是直線和平面的夾角嗎？
[提示]　不是．直線和平面的夾角為.
知識點二　最小角定理
基礎自測
1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)．
(1)斜線與平面的夾角的取值范圍是.(　　)
(2)直線與平面所成的角α與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β互余．(　　)
(3)一條直線與平面α所成的角小于它和平面α內其他直線所成的角．(　　)
2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則直線l與平面α所成的角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD － A1B1C1D1中，E為CC1的中點，則直線A1B與平面BDE所成的角為(　　)
A． B．
C． D．
4．若直線l與平面α所成角為，直線a在平面α內，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
題型1　用向量求直線與平面所成的角
例1　
已知三棱錐P － ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別是PB，BC的中點．
(1)證明：CM⊥SN；
(2)求SN與平面CMN所成的角的大小．
狀元隨筆　建立空間直角坐標系，寫出有關點的坐標，向量的坐標，計算的數量積，證明(1)；求出平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求得線面角．
方法歸納
用向量法求線面角的步驟
(1)建立空間直角坐標系；
(2)求直線的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)計算：設線面角為θ，則sin θ＝.
跟蹤訓練1　
如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD － A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP＝m，試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3.
題型2　用定義法解決直線與平面的夾角問題
【思考探究】
1．用定義法求直線與平面夾角的關鍵是什么？
[提示]　尋找直線與平面的夾角，即準確確定直線在平面內的投影．
2．定義法求直線與平面夾角的基本思路是什么？
[提示]　(1)若直線與平面平行或直線在平面內，則直線與平面的夾角為0；
(2)若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為；
(3)若直線與平面相交但不垂直，設直線與平面的交點為O，在直線上任取異于O點的另一點P，過P作平面的垂線PA，A為垂足，則OA即為直線在平面內的投影，∠AOP即為直線與平面的夾角，然后通過解三角形求出直線與平面夾角的大小．
例2　
如圖所示，在三棱錐P － ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求證：BC⊥平面PAC；
(2)若D為PB的中點，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．
狀元隨筆
(1)證明BC和平面PAC內的兩條相交直線垂直．
(2)作出AD在平面PAC內的射影后，構造三角形求解．
方法歸納
作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點，通過這個點作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角．其中關鍵是作平面的垂線，此方法簡稱為“一作，二證，三計算”．
跟蹤訓練2　(1)(改變問法)若本例條件不變，問題(2)改為：D為PB上的一點，且BD＝PB，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．
(2)(改變問法)若本例的題(2)條件不變，求AD與平面PBC的夾角的正弦值，結果如何？
題型3　公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的應用
例3　∠BOC在平面α內，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA與平面α所成的角．
狀元隨筆　根據定義或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解．
方法歸納
求線面角關鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進而證明AH⊥平面α，從而證明H是點A在平面α內的射影．解法二則靈活應用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求線面角，也是常用的方法．
跟蹤訓練3　
如圖所示，四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ.
易錯點　本節課的易錯點是設線面角為θ，則sin θ＝，分子要加絕對值．而且是θ的正弦值．
1．2.3　直線與平面的夾角
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
90°　0°　射影
知識點二
cos θ＝cos θ1·cos θ2　射影　最小的角
[基礎自測]
1．解析：(1)斜線與平面的夾角的取值范圍是(0，)．
(2)直線的方向向量與平面的法向量的夾角可能是鈍角．
(3)當直線與平面垂直時不對．
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由cos 〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，
∴直線l與平面α所成的角為|90°－120°|＝30°.
答案：A
3．解析：以D為原點的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系(圖略)，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，E(0，1，)，
所以＝(1，1，0)，＝(0，1，)，
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，
而＝(0，－1，1)，
〉＝＝，
〉＝.
∴直線A1B與平面BDE所成角為＝.
答案：B
4．解析：由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為，又l，a為異面直線，則所成角的最大值為.
答案：D
課堂探究·素養提升
例1　解析：
如圖，設PA＝1，以A為原點，直線AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，M(1，0，)，N(，0，0)，S(1，，0)．
(1)證明：＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，
因為·＝－＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2)＝(－，1，0)，
設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量．
由a·＝0，且a·＝0，得
，令x＝2，得a＝(2，1，－2)，
∵|cos 〈a，〉|＝＝，
∴SN與平面CMN所成角大小為45°.
跟蹤訓練1　解析：
建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，1)，
＝(－1，1，m)，＝(－1，1，0)，
又由·＝0，且＝0，
知為平面BB1D1D的一個法向量，
設AP與平面BB1D1D所成的角為θ.
則sin θ＝＝＝ .
cos θ＝＝，
依題意＝3，解得m＝，
故當m＝時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3.
例2　解析：(1)證明：因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC 平面PAC，
PA 平面PAC，PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
(2)取PC的中點E，連接DE.
因為D為PB的中點，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.
連接AE，DE，則AE是AD在平面PAC內的投影，所以∠DAE是直線AD與平面PAC的夾角．設PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因為∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin∠DAE＝＝＝.
即AD與平面PAC夾角的正弦值為.
跟蹤訓練2　解析：(1)
由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，過PB的三等分點D作DE∥BC，交PC于點E，則DE⊥平面PAC，連接AE，DE，
則∠DAE為AD與平面PAC的夾角，不妨設PA＝AB＝1，
因為∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝＝，PB＝，BD＝.
在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，AD＝，所以sin ∠DAE＝＝＝.
即AD與平面PAC夾角的正弦值為.
(2)由例題(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
過A作AE⊥PC，垂足為點E.
所以AE⊥平面PBC.
連接ED，則∠ADE為AD與平面PBC的夾角．設PA＝AB＝2a，所以PB＝2a.故AD＝a.
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，
所以PC＝＝a，設∠ACP＝θ，
則AE＝AC·sin θ＝AC×
＝a×＝a＝a，
所以sin ∠ADE＝＝＝.
即AD與平面PBC夾角的正弦值為.
例3　解析：方法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
又∵BC＝a，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC為等腰直角三角形．
同理△BOC也為等腰直角三角形．
取BC中點為H，連接AH，OH，
∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，
∴AH2＋OH2＝AO2.
∴△AHO為等腰直角三角形．且AH⊥OH.
又∵AH⊥BC，OH＝H，
∴AH⊥平面α.
∴OH為AO在α平面內的射影，∠AOH為OA與平面α所成的角．
在Rt△AOH中，sin ∠AOH＝＝.
∴∠AOH＝45°.
∴OA與平面α所成的角為45°.
方法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α內的射影為∠BOC的平分線，
作∠BOC的角平分線OH交BC于H.
又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°.
故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，
得cos ∠AOH＝＝，
∴OA與平面α所成的角為45°.
跟蹤訓練3　解析：由題意得∠CBD＝45°，
∠PBD即為直線PB與平面ABCD所成的角θ.
∵cos ∠PBC＝cos θ·cos ∠CBD，∠PBC＝60°.
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°.1．2.4　二面角
[課標解讀]　1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述平面與平面的夾角以及垂直與平行關系.3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.4.體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
教材要點
知識點一　二面角的概念
1．半平面：平面內的一條直線把平面分為兩部分，________都稱為半平面．
2．二面角：從________________________所組成的圖形稱為二面角，________稱為二面角的棱，________稱為二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角，記作________，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作________．
3．二面角的平面角：在二面角α － l － β的棱上________，在兩半平面內分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則________叫做二面角α － l － β的平面角．二面角的大小用它的平面角來度量；二面角的平面角范圍為：________．
4．兩個相交平面所成角的大小：兩個平面相交時它們所成角的大小，指的是它們所成的四個二面角中，不小于零度且不大于90度的角的大小．
狀元隨筆
如何找二面角的平面角？
[提示]　(1)定義法
由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點可根據具體題目選擇棱上一個特殊點，求解用到的是解三角形的有關知識．
(2)垂面法
作(找)一個與棱垂直的平面，與兩面的交線就構成了平面角．
(3)三垂線定理(或逆定理)作平面角，這種方法最為重要，其作法與三垂線定理(或逆定理)的應用步驟一致．
知識點二　用向量的夾角度量二面角
設二面角的大小為θ，n1，n2為兩個非零向量．
(1)當n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分別與半平面α，β的延伸方向相同，則θ＝________．
(2)當n1⊥α，n2⊥β，則θ＝________或θ＝________．
特別的，sin θ＝________．
基礎自測
1.在正方體ABCD － A1B1C1D1中，二面角A1－BC－A的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
2．三棱錐A － BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝，則二面角A － BD － C的大小為(　　)
A． B．
C．或 D．或
3．(教材例題改編)如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小等于________．
4．已知點A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為________．
題型1　用定義法求二面角
例1　
如圖所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一點，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的余弦值．
狀元隨筆　先判斷△VAB，△VBC為等邊三角形，取VB的中點E，連接AE，CE，再證明∠AEC是二面角的平面角．
方法歸納
用定義求二面角的步驟
1．作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)；
2．證明所作平面角即為所求二面角的平面角；
3．解三角形求角．
跟蹤訓練1　
如圖所示，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)證明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD與平面VDB夾角的正切值．
題型2　用向量法求二面角
【思考探究】
1．構成二面角的平面角有幾個要素？
[提示]　(1)角的頂點在二面角的棱上；(2)角的兩邊分別在表示二面角的兩個半平面內；(3)角的兩邊分別和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小與其兩個半平面的法向量的夾角有何關系？
條件 平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ
圖形
關系 θ＝φ θ＝π－φ
計算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
例2　(1)如圖，在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則這個二面角的度數為(　　)
A．30° B．45°
C.60° D．120°
(2)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M為AB的中點．
①求證：AC1∥平面B1CM；
②求二面角A － C1M － B1的正弦值．
狀元隨筆　(1)利用空間向量的數量積及其性質求解．
(2)①連接BC1，設BC1＝O，連接OM，由三角形中位線定理可得OM∥AC1，再由直線與平面平行的判定可得AC1∥平面B1CM；
②以C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，令BC＝1，求出所用點的坐標，分別求出平面AMC1與平面B1C1M的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A －C1M －B1的正弦值．
注意：利用垂直關系建立空間直角坐標系，確定平面的法向量是關鍵．用法向量求二面角的余弦值．
方法歸納
1．用定義求二面角的步驟
(1)作(找)出二面角的平面角；
(1)證明所作平面角即為所求二面角的平面角；
(3)解三角形求角．
2．利用坐標法求二面角的步驟
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面夾角的大小，如圖．用坐標法的解題步驟如下：
(1)建系：依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系．
(2)求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量n1，n2.
(3)計算：設n1與n2所成銳角為θ，cos θ＝.
(4)定值：觀察圖形，若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.
跟蹤訓練2　如圖，在直三棱柱ABC － A1B1C1中，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC，D是AB的中點．
(1)證明：AC⊥平面AA1B1B；
(2)求二面角C1 － B1D － A1的正弦值．
題型3　空間中的翻折與探索性問題
例3　如圖所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分別在線段BC，AD上(異于端點)，EF∥AB.將四邊形ABEF沿EF折起，連接AD，AC，BC.
(1)若BE＝3，在線段AD上取一點P，使AP＝PD，求證：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且線段FA，FC，FD的長成等比數列，求平面EAC和平面ACF夾角的大小．
方法歸納
1．與空間角有關的翻折問題的解法
翻折問題：要找準翻折前后的圖形中的不變量及變化的量，再結合向量知識求解相關問題．
2．關于空間角的探索問題的處理思路
利用空間向量解決空間角中的探索問題，通常不需要復雜的幾何作圖，論證，推理，只需先假設結論成立，設出空間的坐標，通過向量的坐標運算進行推斷，把是否存在問題轉化為點的坐標是否有解的問題來處理．
跟蹤訓練3　
如圖所示，四棱錐P－ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求證：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P－ABCD的體積最大？并求此時平面PBC與平面DPC夾角的余弦值．
易錯點　本節課的易錯點是二面角的大小θ與其兩個半平面的法向量的夾角φ之間的關系：cos θ＝cos φ或者cos θ＝－cos φ具體有何關系要通過觀察圖形確定二面角的大小θ是銳角還是鈍角．
1．2.4　二面角
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．其中的每一部分
2．一條直線出發的兩個半平面　這條直線　這兩個半平面　α l β　A l B
3．任取一點O　∠AOB　[0，π]
知識點二
〈n1，n2〉　〈n1，n2〉　π－〈n1，n2〉　sin〈n1，n2〉
[基礎自測]
1．解析：易知∠A1BA為二面角A1 BC A的平面角，
cos ∠A1BA＝＝.
答案：C
2．解析：當二面角A BD C為銳角時，它就等于〈n1，n2〉＝；
當二面角A BD C為鈍角時，它應等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.
答案：C
3．解析：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC為二面角B PA C的平面角，
又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小為90°.
答案：90°
4．解析：由題得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)．
由知令x＝2，得y＝1，z＝，則平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，)．平面xOy的一個法向量為＝(0，0，3)．由此易求出所求銳二面角的余弦值為|cos θ|＝＝＝.
答案：
課堂探究·素養提升
例1　解析：取VB的中點為E，
連接AE，CE.
∵VA＝VB＝VC＝AB，
∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
設AB＝a，連接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos ∠AEC＝＝－，
∴所求二面角A VB C的余弦值為－.
跟蹤訓練1　解析：(1)證明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交線為AD.
AB 平面ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面VAD.
(2)如圖，取VD的中點E，連接AE，BE.
∵△VAD是正三角形，
∴AE⊥VD，AE＝AD.
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.
又由三垂線定理知BE⊥VD.
因此，∠AEB是所求二面角的平面角．
于是tan ∠AEB＝＝，
即平面VAD與平面VDB夾角的正切值為.
例2　解析：(1)設所求二面角的大小為θ，則〈〉＝θ.
因為＝，所以＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，
即(2)2＝82＋42＋62－2×8×6·cos θ，
所以cos θ＝.
因為0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
(2)①連接BC1，設BC1＝O，連接OM，
因為四邊形BCC1B1為矩形，
所以O為BC1的中點，
又因為M為AB的中點，所以OM∥AC1，
因為OM 平面B1CM，AC1 平面B1CM，
所以AC1∥平面B1CM；
②如圖，以C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
令BC＝1，則A(，0，0)，C1(0，0，)，B1(0，1，)，M(，0).
則＝＝＝(－)．
設平面AMC1的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)．
由，
取x1＝1，得m＝(1，，1)；
設平面B1C1M的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)．
由，
取x2＝1，得n＝(1，0，)．
設二面角A-C1M-B1的平面角為θ，
則|cos θ|＝＝，
則sin θ＝＝.
即二面角A-C1M-B1的正弦值為.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1性質知：AA1⊥平面ABC，
因為AC 平面ABC，所以AA1⊥AC，
因為AB⊥AC，AB＝A，AB 平面AA1B1B，AA1 平面AA1B1B，所以AC⊥平面AA1B1B；
(2)由(1)知AA1，AB，AC兩兩垂直，以A為原點，分別以AA1，AB，AC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設AB＝2.
則＝＝(2，－1，2)，設平面B1C1D的一個法向量m＝(x，y，z)，
則，
取x＝1，得m＝(1，－2，－2)，
平面A1B1D的一個法向量n＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝＝ ＝－，
所以二面角C1-B1D-A1的正弦值為 ＝.
例3　解析：(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3.
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在線段AF上取點Q，使AQ＝QF，連接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQ綊DF，∵CE綊DF，∴CE綊PQ，
∴四邊形ECPQ為平行四邊形，∴CP∥EQ，
∵CP 平面ABEF，EQ 平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.
(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC.
設FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵線段FA，FC，FD的長成等比數列，
∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化簡得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以點F為坐標原點，FE，FD，FA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則F(0，0，0)，E(2，0，0)，C(2，2，0)，A(0，0，2)，
∴＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
則
即
取z1＝1，則x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一個法向量為n1＝(1，0，1)．
又＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
設n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
則即
取x2＝1，則y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一個法向量為n2＝(1，－1，0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∵平面EAC和平面ACF的夾角為銳角，
∴平面EAC和平面ACF的夾角為60°.
跟蹤訓練3　解析：(1)因為ABCD為矩形，故AB⊥AD；
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
(2)過點P作PO⊥AD于點O，
則PO⊥平面ABCD，過點O作OM⊥BC于點M，
連接PM.則PM⊥BC，
因為∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，
所以BC＝，PM＝，
設AB＝t，則在Rt△POM中，
PO＝ ，
所以VP－ABCD＝·t··
＝，
所以當t2＝，即t＝時，
VP-ABCD最大為.如圖，
此時PO＝AB＝，且PO，OA，OM兩兩垂直，
以OA，OM，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，
則P(0，0，)，D(－，0，0)，C(－，0)，B(，0).
所以＝(－，0，－)，＝(－，－)，＝(，－)．
設平面PCD的一個法向量m＝(x1，y1，z1)，
則
即
令x1＝1，則m＝(1，0，－2)，|m|＝；
同理設平面PBC的一個法向量n＝(x2，y2，z2)，
即
令y2＝1，則n＝(0，1，1)，|n|＝，
設平面PBC與平面DPC夾角為θ，顯然θ為銳角，
且cos θ＝＝＝.1．2.5　空間中的距離
[課標解讀]　能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
教材要點
知識點一　距離的概念
一個圖形內的________與另一圖形內的________的距離中的________，叫做圖形與圖形的距離．
知識點二　空間中的距離及求法
名稱 概念 求法
兩點之間的距離 空間中兩個點連線的線段長 求向量的模
點到直線的距離 過直線外一點作直線的一條垂線段的長 求向量的模
點到平面的距離 過平面外一點作平面的一條垂線段的長 d＝，其中A是平面外一點，B是平面內一點，n是平面的一個法向量
線到面的距離 當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離 轉化為求點到平面的距離狀元隨筆　線面距、面面距與點面距有什么關系？
面到面的距離(公垂線段長) 當平面與平面平行時，一個平面內的任意一點到另一個平面的距離
[提示]　
基礎自測
1.在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，M是平面ABC內一點，且點M到其他三個平面的距離分別是2，3，6，則點M到頂點P的距離是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
2．設A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點M到點C的距離|CM|等于(　　)
A． B．
C． D．
3．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在α內，則P(－2，1，4)到α的距離為(　　)
A．10 B．3
C．D．
4．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為(　　)
A． B．1
C． D．
題型1　空間中兩點間的距離
例1　
如圖，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則線段AC1的長為(　　)
A．1 B．
C． D．2
方法歸納
計算兩點間的距離的兩種方法
1．利用|a|2＝a·a，通過向量運算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用|AB|＝＝ 求解．
2．用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時．
跟蹤訓練1　
如圖所示，在平面角為120°的二面角α-AB-β中，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．
題型2　點到直線的距離
【思考探究】
1．如何理解與認識點到直線的距離？
[提示]　點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題．
(1)點在直線上時，點到直線的距離為0.
(2)點在直線外時，點到直線的距離即為此點與過此點向直線作垂線的垂足間的距離．即點到直線的距離可轉化為兩點間的距離．
2．如何用向量法求點到直線的距離？
[提示]　設l是過點P平行于向量s的直線，A是直線l外一定點，向量在向量s上的射影的大小為|·s0|，則點A到直線l的距離d＝(其中s0＝)．
3．計算點到直線的距離的方法有很多，解題時要根據題意靈活選擇方法．
例2　已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
狀元隨筆　建立坐標系，利用向量法求解．
方法歸納
用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點：
1．不必找點在直線上的垂足以及垂線段；
2．在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點；
3．直線的方向向量可以任取，但必須保證計算的準確性．
跟蹤訓練2　(改變問法)本例條件不變，所求問題改為：若M，N分別是A1B1，AC的中點，試求點C1到MN的距離．
題型3　點到平面的距離
例3　
如圖所示，已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a，求點A到平面A1BD的距離．
狀元隨筆　本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求解．
方法歸納
用向量法求點面距的方法與步驟
1．建坐標系：結合圖形的特點建立恰當的空間直角坐標系；
2．求向量：在坐標系中求出點到平面內任一點對應的向量；
3．求法向量：設出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉化為求解方程組，求出法向量n；
4．得答案：代入公式d＝求得答案．
跟蹤訓練3　
如圖所示，已知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點，求點A到平面SND的距離．
狀元隨筆　用向量法求點到平面的距離的關鍵是確定平面的法向量．
易錯點　本節課的易錯點是用向量法求點到直線的距離時需注意不是直接找點在直線上的垂足以及垂線段；而是利用直線的方向向量和向量垂直的公式解決問題，但必須保證計算的準確性．
1．2.5　空間中的距離
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
任一點　任一點　最小值
[基礎自測]
1．解析：以P為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)，由題意，得|MP|＝＝7.
答案：A
2．解析：∵M點坐標為(2，，3)，∴|MC|＝＝.
答案：C
3．解析：＝(－1，－2，4)，d＝＝.
答案：D
4．解析：如圖，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距離等于點A1到平面ABCD的距離，由AB1與平面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝，即點A1到平面ABCD的距離為.
答案：D
課堂探究·素養提升
例1　解析：因為在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，
底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
所以＝，
所以＝)2
＝
＝1＋1＋4＋2×1×2×cos 120°＋2×1×2×cos 120°＝2.
所以線段AC1的長為.
答案：B
跟蹤訓練1　解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又∵二面角α － AB － β的平面角為120°，
∴〈〉＝60°，
∴|CD|2＝||2＝()2
＝＋＋＋2(···)
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，
∴CD＝12.
例2　解析：
以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量為＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)，
所以點B到直線A1C1的距離
d＝＝ ＝.
跟蹤訓練2　解析：如本例解法建系(圖略)．
則M(2，0，1)，N(2，，0)，C1(0，3，1)，所以直線MN的方向向量為＝＝(－2，3，0)，
所以在上的投影為·＝，
所以C1到MN的距離為
d＝＝＝.
例3　解析：方法一：設點A到平面A1BD的距離為h，則
VB-AA1D＝×a××a×a＝a3，
VA-A1BD＝×h××(a)2＝a2h，
∵VA-A1BD＝VB－AA1D，
∴h＝a，∴點A到平面A1BD的距離為a.
方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系B1xyz，則A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，
則＝(a，a，0)，＝(0，a，a)，＝(－a，0，0)．
設平面A1BD的一個法向量n＝(x，y，z)，
則
即∴
令y＝－1，則x＝z＝1，
∴n＝(1，－1，1)．
∴·n＝(－a，0，0)·(1，－1，1)＝－a.
∴點A到平面A1BD的距離d＝＝＝a.
跟蹤訓練3　解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則N(0，2，0)，S(0，0，2)，D(－1，4，0)，∴＝(0，－2，2)，＝(－1，4，－2)．
設平面SND的法向量為n＝(x，y，1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴
∴
∴n＝(2，1，1)，∵＝(0，0，2)．
∴點A到平面SND的距離為＝＝.

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