資源簡介

5．1.1　數列的概念
通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數列是一種特殊函數．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　數列的概念及一般形式
狀元隨筆　數列的項與項數一樣嗎？
[提示]　不一樣．
知識點二　數列的分類
類別 含義
按項的 個數 有窮數列 項數________的數列
無窮數列 項數________的數列
按項的 變化趨勢　 　 遞增數列 從第2項起，每一項都________它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都________它的前一項的數列
常數列 各項都________的數列
擺動數列 從第2項起，有些項________它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
知識點三　數列的通項公式
如果數列{an}的第n項an與________之間的關系可以用一個式子________來表示，那么這個________叫做這個數列的通項公式．
狀元隨筆　數列一定有通項公式嗎？
[提示]　不一定．
知識點四　數列與函數的關系
從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如下表：
定義域 正整數集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數列的通項公式
值域 自變量______________時對應的一列函數值
表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)____________法；(3)____________法
狀元隨筆　數列所對應的圖象是連續的嗎？
[提示]　不連續．
基 礎 自 測
1．已知數列{an}的通項公式為an＝，那么是它的(　　)
A．第4項 B．第5項
C．第6項 D．第7項
2．下列說法中正確的是(　　)
A．數列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}
B．數列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同數列
C．所有數列的通項公式都只有一個
D．數列可以看做是一種特殊的函數
3．已知數列{an}的通項公式為an＝，則該數列的前4項依次為(　　)
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C．，0，，0 D．2，0，2，0
4．下列說法正確的是________(填序號)．
①{0，1，2，3，4，5}是有窮數列；
②從小到大的自然數構成一個無窮遞增數列；
③數列1，2，3，4，…，2n是無窮數列．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　數列的概念及分類
例1　(1)(多選)下列說法正確的是(　　)
A．數列4，7，3，4的首項是4
B．在某數列中，若首項為3，則從第2項起，各項均不等于3
C．數列1，2，3，4與數列2，1，3，4為同一數列
D．數列中的項不能是三角形
(2)已知下列數列：
①2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023；
②1，，…，，…；
③1，－，…，，…；
④1，0，－1，…，sin ，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有窮數列是________，無窮數列是________，遞增數列是________，遞減數列是________，常數列是________，擺動數列是________．(填序號)
狀元隨筆　緊扣有窮數列，無窮數列，遞增數列，遞減數列，常數列及擺動數列的定義求解．
方法歸納
1．與集合中元素的性質相比較，數列中的項的性質具有以下特點：
(1)確定性：一個數是或不是某一數列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；(2)可重復性：數列中的數可以重復，而集合中的元素不能重復出現(即互異性)；
(3)有序性：一個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列順序有關，而集合中的元素沒有順序(即無序性)；
(4)數列中的每一項都是數，而集合中的元素還可以代表除數字外的其他事物．
2．判斷數列是哪一種類型的數列時要緊扣概念及數列的特點．對于遞增、遞減、擺動還是常數列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數列則看項的個數有限還是無限．
跟蹤訓練1　(1)有下列說法：
①數列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}；
②數列1，3，5，7與數列7，5，3，1是同一數列；
③數列1，3，5，7與數列1，3，5，7，…是同一數列；
④數列0，1，0，1，…是常數列．
其中說法正確的有(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
(2)下列數列：
①1，2，22，23，…，263；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③0，10，20，30，…，1 000；
④－1，1，－1，1，－1，…；
⑤7，7，7，7，….
其中有窮數列是________，無窮數列是________，遞增數列是________，遞減數列是________，擺動數列是________，常數列是________．(填序號)
　由數列的前幾項求通項公式
例2　(1)寫出下列數列的一個通項公式：
①，2，，8，，…；
②9，99，999，9 999，…；
③，…；
④－，－，….
(2)圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成：
通過觀察可以發現：在第n個圖形中，火柴棒有________根．
狀元隨筆　先觀察各項的特點，注意前后項間的關系，分子與分母的關系，項與序號的關系，每一項符號的變化規律，然后歸納出通項公式．
方法歸納
1．根據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項的變化特征；
(3)拆項后的特征；
(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想．2.觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與序號之間的關系、規律，利用我們熟知的一些基本數列(如自然數列、奇偶數列等)轉換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整．
跟蹤訓練2　(1)寫出下列數列的一個通項公式：
①0，3，8，15，24，…；
②1，－3，5，－7，9，…；
③1，2，3，4，…；
④1，11，111，1 111，….
(2)如圖所示的圖案中，白色正六邊形的個數依次構成一個數列的前3項，則這個數列的一個通項公式為________．
　通項公式的應用
例3　已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)問－49和68是該數列的項嗎？若是，是第幾項？若不是，請說明理由．
方法歸納
(1)利用數列的通項公式求某項的方法
數列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數列的相應項．
(2)判斷某數值是否為該數列的項的方法
先假定它是數列中的第n項，然后列出關于n的方程．若方程的解為正整數，則是數列的一項；若方程無解或解不是正整數，則不是該數列的一項．
跟蹤訓練3　已知數列{an}的通項公式為an＝.
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)試問是該數列的項嗎？若是，是第幾項？若不是，請說明理由．
　數列的單調性及應用
【思考探究】
已知數列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數列的圖象有何特點？試利用圖象說明該數列的單調性及所有的正數項．
[提示]　由數列與函數的關系可知，數列{an}的圖象是分布在二次函數y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數列是一個遞減數列，且前兩項為正數項，從第3項往后各項為負數項．
例4　已知數列{an}的通項an＝，試判斷數列{an}是遞增數列還是遞減數列？
狀元隨筆　利用作差法或作商法判斷數列{an}的增減性．
方法歸納
判斷數列單調性的兩種方法
(1)作差(或商)法．
(2)目標函數法：寫出數列對應的函數，利用基本初等函數的單調性探求其單調性，再將函數的單調性對應到數列中去，由于數列對應的函數圖象是離散型的點，故其單調性不同于函數的單調性．
在用函數的有關知識解決數列問題時，要注意它的定義域是N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})這一約束條件．
跟蹤訓練4　已知數列的通項公式為an＝n2＋2n－5.
(1)寫出數列的前三項；
(2)判斷數列{an}的單調性．
　數列的最大(小)項的求法
例5　已知數列{an}的通項公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，試問數列{an}有沒有最大項？若有，求最大項和最大項的項數；若沒有，說明理由．
方法歸納
求數列的最大(小)項的兩種方法
一是利用判斷函數增減性的方法，先判斷數列的增減情況，再求數列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數列的單調性，以此求解最大項．
二是設ak是最大項，則有對任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式組即可．
跟蹤訓練5　已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4.
(1)數列中有多少項是負數？
(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值．
教材反思
1．本節課的重點是數列的概念、通項公式以及數列通項公式的求法．難點是根據數列的若干項寫出數列的一個通項公式．
2．要掌握由數列的前幾項寫出數列的一個通項公式的方法以及由數列的通項公式求項或判斷一個數是否為數列中的某一項的方法．
易錯點　要注意以下兩個易錯點：
1．并非所有的數列都能寫出它的通項公式，例如，π的不同近似值，依據精確的程度可形成一個數列3，3.1，3.14，3.141，…，它沒有通項公式．
2．如果一個數列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式．
5．1.1　數列的概念
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
每一個數　第一位　{an}
知識點二
有限　無限　大于　小于　相等　大于
知識點三
n　an＝f(n)　式子
知識點四
從小到大依次取正整數值　列表　圖象
[基礎自測]
1．解析：設是數列中的第n項，則＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5 N＋，∴n＝－5應舍去，故n＝4.
答案：A
2．解析：數列2，4，6，8不能表示為集合{2，4，6，8}，因為數列有順序，集合的元素沒有順序，故A錯誤；由于數列的項與順序有關系，因此數列1，0，－1，－2與數列－2，－1，0，1是不同的數列，故B錯誤；數列的通項公式不一定唯一，可能有多種形式，故C錯誤；數列可以看做是一個定義域為正整數集N*或其子集上的函數，因此D正確．故選D.
答案：D
3．解析：當n分別等于1，2，3，4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．解析：因為{0，1，2，3，4，5}是集合，而不是數列，所以①錯誤；②正確；數列1，2，3，4，…，2n共有2n項，是有窮數列，所以③錯誤．
答案：②
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)由數列的相關概念可知，數列4，7，3，4的首項是4，故A正確；同一個數在數列中可以重復出現，故B錯誤；兩者順序不同，所以不是同一數列，故C錯誤；數列中的項必須是數，不能是其他形式，故D正確．
(2)①為有窮數列且為遞增數列；②為無窮、遞減數列；③為無窮、擺動數列；④是擺動數列，是無窮數列，也是周期為4的周期數列；⑤為遞增數列，也是無窮數列；⑥為有窮數列，也是常數列．
【答案】　(1)AD　(2)①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
跟蹤訓練1　解析：(1)①說法錯誤，構成數列的數是有順序的，而集合中的元素是無序的；②說法錯誤，兩數列的數排列順序不相同，不是相同的數列；③說法錯誤，數列1，3，5，7是有窮數列，而數列1，3，5，7，…是無窮數列；④說法錯誤，由常數列的定義，可知0，1，0，1，…不是常數列．故選A.
答案：(1)A　(2)①③　②④⑤　①③　②　④　⑤
例2　【解析】　(1)①數列的項，有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察：，…，所以，它的一個通項公式為an＝(n∈N＋)．
②各項加1后，變為10，100，1 000，10 000，…此數列的通項公式為10n，可得原數列的通項公式為an＝10n－1(n∈N＋)．
③數列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數，可用n表示，綜上，原數列的通項公式為an＝(n∈N＋)．
④這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(2)第1個圖形中，火柴棒有4根；
第2個圖形中，火柴棒有(4＋3)根；
第3個圖形中，火柴棒有4＋3＋3＝(4＋3×2)根；
第4個圖形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝(4＋3×3)根；
…
第n個圖形中，火柴棒有4＋3(n－1)＝(3n＋1)根．
【答案】　(1)見解析　(2)3n＋1
跟蹤訓練2　解析：(1)①觀察數列中的數，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
②數列各項的絕對值為1，3，5，7，9，…，是連續的正奇數，并且數列的奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
③此數列的整數部分為1，2，3，4，…恰好是序號n，分數部分與序號n的關系為，故所求的數列的一個通項公式為an＝n＋＝(n∈N＋)．
④原數列的各項可變為×9，×99，×999，×9 999，…，易知數列9，99，999，9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1.所以原數列的一個通項公式為an＝(10n－1)(n∈N＋)．
(2)我們把圖案按如下規律分解：
這三個圖案中白色正六邊形的個數依次為6，6＋4，6＋4×2，所以這個數列的一個通項公式為an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：(1)見解析　(2)an＝4n＋2
例3　【解析】　(1)根據an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是該數列的第7項，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2 N＋， N＋，
∴68不是該數列的項．
跟蹤訓練3　解析：(1)因為an＝，
所以a4＝＝，a6＝＝.
(2)令＝，則n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，
故將n＝－8舍去，所以是該數列的第5項．
例4　【解析】　∵an＝，∴an＋1＝＝.
方法一　an＋1－an＝
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴數列為遞增數列．
方法二　∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，
∴數列為遞增數列．
方法三　令f(x)＝(x≥1)，
則f(x)＝＝(1－)，
∴函數f(x)在[1，＋∞)上是增函數，
∴數列是遞增數列．
跟蹤訓練4　解析：(1)數列的前三項：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴數列{an}是遞增數列．
例5　【解析】　方法一　∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以數列中有最大項，最大項為第9、10項，
即a9＝a10＝.
方法二　設ak是數列{an}的最大項．
則即
整理得得9≤k≤10，所以k＝9或10，
即數列{an}中的最大項為a9＝a10＝.
跟蹤訓練5　解析：(1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴數列中有兩項是負數．
(2)方法一　∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知對稱軸方程為n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3時，an有最小值，且a2＝a3，其最小值為22－5×2＋4＝－2.
方法二　設第n項最小，由
得
解這個不等式組，得2≤n≤3，
∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.5．1.2　數列中的遞推
通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法：遞推公式．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　數列遞推公式
(1)兩個條件：
①已知數列的________________；
②從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示．
(2)結論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數列的________公式．
狀元隨筆　由數列的遞推公式能否求出數列的項？
[提示]　能，但是要逐項求．
知識點二　數列遞推公式與通項公式的關系
遞推公式 通項公式
區別 表示an與它的前一項______(或前幾項)之間的關系 表示an與______之間的關系
聯系 (1)都是表示________的一種方法； (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式
知識點三　數列的前n項和
一般地，給定數列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an為數列{an}的前n項和．
知識點四　an與Sn的關系
若數列{an}的前n項和為Sn，
則an＝
特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．
　基 礎 自 測
1．已知數列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出，則該數列的第5項等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
2．數列1，3，6，10，15，…的遞推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知數列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，則a5＝________．
4．若數列{an}的前n項和Sn＝2n＋n，則a5＝________.
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　由遞推關系寫數列的項
例1　(1)若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a2 022＝(　　)
A．2 B．－3
C．－ D．
(2)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(　　)
A．31 B．32
C．61 D．62
方法歸納
由遞推公式寫出數列的項的方法
1．根據遞推公式寫出數列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．
2．若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如an＝2an＋1＋1.
3．若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如an＋1＝.
跟蹤訓練1　(1)已知數列{an}的第1項a1＝1，以后的各項由公式an＋1＝給出，試寫出這個數列的前5項．
(2)已知數列{an}，a1＝2，且an＋1＝(n≥1)，則a2 021＝(　　)
A．－1 B．2
C．－2 D．
　由數列的若干項歸納遞推公式
例2　分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，….
方法歸納
由數列的前幾項寫遞推關系的思路是尋找相鄰兩項或幾項之間的關系，可以從后一項與前一項的差或和，后一項是前一項的倍數等角度去考慮，然后用剩余的項去驗證猜想即可；由遞推公式寫出數列的項的方法是根據遞推公式，依次求出各項即可．
跟蹤訓練2　(1)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形點陣，就將其所對應石子的個數稱為三角形數，則a2＝a1＋________，a3＝a2＋________，a4＝a3＋________，由此歸納出an＝an－1＋________．
(2)圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數依次構成一個數列的前4項，這個數列的遞推公式為________．
　由an與Sn的關系求通項公式
例3　已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，則an＝________．
方法歸納
已知Sn求an的三個步驟
1．利用a1＝S1求出a1.
2．當n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達式．
3．看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；否則應寫成分段的形式，即an＝
跟蹤訓練3　(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則an＝________．
(2)已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋n＋1，求通項an.
　數列的遞推公式與通項公式的關系
【思考探究】
1．某劇場有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數構成一個數列{an}，滿足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能歸納出數列{an}的通項公式嗎？
[提示]　由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各項歸納可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．
2．在數列{an}中，a1＝3，＝2，照此遞推關系，你能寫出{an}任何相鄰兩項滿足的關系嗎？若將這些關系式兩邊分別相乘，你能得到什么結論？
[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，將這些式子兩邊分別相乘可得＝2×2×…×2(n≥2)．
則＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．
3．在數列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此遞推關系試寫出前n項中，任何相鄰兩項的關系，將這些式子兩邊分別相加，你能得到什么結論？
[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，
a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，將這些式子兩邊分別相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，
所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．
例4　(1)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，則an等于(　　)
A． B．
C． D．
(2)設數列{an}是首項為1的正項數列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求數列的通項公式．
狀元隨筆　由遞推公式，分別令n＝1，2，3，得a2，a3，a4，由前4項觀察規律，可歸納出它的通項公式；或利用an＋1＝an反復迭代；或將an＋1＝an變形為＝進行累乘；或將an＋1＝an變形為＝1，構造數列{nan}為常數列．
方法歸納
由數列的遞推公式求通項公式時，若遞推關系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：
(1)累加法：當an＝an－1＋f(n)時，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通項公式．
(2)累乘法：當＝g(n)時，常用an＝··…··a1求通項公式．
跟蹤訓練4　(1)已知數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，寫出這個數列的前5項，猜想an并加以證明．
(2)已知數列{an}滿足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝，則an＝(　　)
A． B．
C． D．
教材反思
1．本節課的重點是數列遞推公式的應用，難點是數列函數性質的應用及由遞推公式求數列的通項公式．
2．要掌握判斷數列單調性的方法，掌握求數列最大(小)項的方法．
3．要會用數列的遞推公式求數列的項或通項．
4．要注意通項公式和遞推公式的區別
通項公式直接反映an和n之間的關系，即an是n的函數，知道任意一個具體的n值，就可以求出該項的值an；而遞推公式則是間接反映數列的式子，它是數列任意兩個(或多個)相鄰項之間的推導關系，不能由n直接得出an.
5．1.2　數列中的遞推
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(1)首項(或前幾項)　(2)遞推
知識點二
an－1　n　數列
知識點四
S1　Sn－Sn－1
[基礎自測]
1．解析：因為an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，
a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
答案：C
2．解析：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.
答案：B
3．解析：因為a1＝－，an＋1＝1－，
所以a2＝1－＝1＋2＝3，a3＝1－＝，
a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.
答案：3
4．解析：數列{an}的前n項和Sn＝2n＋n，則a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17.
答案：17
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)因為a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝－3，…由此可知，數列{an}是周期為4的周期數列，所以a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3.故選B.
(2)∵數列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，
∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.
【答案】　(1)B　(2)A
跟蹤訓練1　解析：(1)∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故該數列的前5項為1，.
(2)因為an＋1＝(n≥1)，故an＋3＝＝＝＝＝an，故數列{an}為周期數列且周期為3，故a2 021＝a3×673＋2＝a2＝＝－1.故選A.
答案：(1)見解析　(2)A
例2　【解析】　(1)an＋1＝an＋n.
由于a5＝14，
∴a6＝a5＋5＝14＋5＝19，
a7＝a6＋6＝19＋6＝25.
(2)an＋1＝an＋2.
由于a5＝15，
∴a6＝a5＋2＝15＋2＝17，
a7＝a6＋2＝17＋2＝19.
(3)an＋1＝3an.
由于a5＝162，
∴a6＝3a5＝3×162＝486，
a7＝3a6＝3×486＝1 458.
跟蹤訓練2　解析：(1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
(2)由圖知，這四個三角形圖案中著色的小三角形個數分別為a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有遞推公式為an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.
答案：(1)2　3　4　n　(2)an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)
例3　【解析】　a1＝S1＝2－3＝－1，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.
【答案】　4n－5
跟蹤訓練3　解析：(1)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
當n＝1時，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
(2)當n＝1時，a1＝S1＝3.
當n≥2時，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
且n＝1時不適合an＝2n，
∴an＝
答案：(1)　(2)見解析
例4　【解析】　(1)方法一(歸納法)　數列的前5項分別為
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＝2－＝，
a4＝＝2－＝，
a5＝＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得數列的一個通項公式為an＝.
方法二(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋，…，
an＝an－1＋(n≥2)，
則an＝a1＋1－＋…＋
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也適合上式，所以an＝(n∈N＋)．
方法三　(累加法)an＋1－an＝，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝，
a4－a3＝，
…
an－an－1＝(n≥2)，
以上各項相加得
an＝1＋1－＋…＋.
所以an＝(n≥2)．
因為a1＝1也適合上式，所以an＝(n∈N＋)．
(2)因為an＋1＝an.
方法一(歸納猜想法)　a1＝1，a2＝×1＝，a3＝＝，a4＝＝，…
猜想an＝.
方法二(迭代法)　因為an＋1＝an，
所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，從而an＝.
方法三(累乘法)　因為an＋1＝an，
所以＝，
則··…·＝··…·，
所以an＝.
方法四(轉化法)　因為＝，
所以＝1，
故數列{nan}是常數列，nan＝a1＝1，所以an＝.
【答案】　(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練4　解析：(1)a1＝2，a2＝a1＋3＝5，
a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，
猜想：an＝3n－1.
證明如下：由an＋1＝an＋3得
a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，
a4＝a3＋3，
…，
an＝an－1＋3.
將上面的(n－1)個式子相加，得
an－a1＝3(n－1)，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)數列{an}滿足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝，
∴a1＝＝，
∴＝＝，…，＝，
累乘可得：·＝··，
可得：an＝·＝.
故選D.
答案：(1)見解析　(2)D5．2.1　等差數列
第1課時　等差數列的定義
1.通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義．
2．能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．
3．體會等差數列與一元一次函數的關系．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等差數列的概念
如果一個數列{an}從第________項起，每一項與它的前一項之差都等于________常數d，那么這個數列{an}就稱為等差數列，這個常數d稱為等差數列的________．
狀元隨筆　等差數列的定義用符號怎么表示？
[提示]　an＋1－an＝d(n≥1，n∈N＋，d為常數)．
知識點二　等差數列的通項公式
若等差數列的首項為a1，公差為d，則其通項an＝________．
狀元隨筆　等差數列的通項公式是什么函數模型？
[提示]　d ≠0時，一次函數；d＝0時，常值函數．
知識點三　等差數列與一次函數的關系
等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d如果記f(x)＝dx＋a1－d，則等差數列的通項公式an＝f(n)，而且：①當公差d＝0時，f(x)是常數函數，此時數列{an}是________(因此，公差為0的等差數列是常數列)；②當公差d≠0時，f(x)是一次函數，而且f(x)的增減性依賴于公差d的符號，an相應的函數是一次函數；點(n，an)分布在以d 為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點．因此，當________時，{an}是遞增數列；當________時，{an}是遞減數列.
　基 礎 自 測
1．下列數列中不是等差數列的為(　　)
A．6，6，6，6，6 B．－2，－1，0，1，2
C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10
2．數列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數列(　　)
A．是公差為2的等差數列
B．是公差為5的等差數列
C．是首項為5的等差數列
D．是公差為n的等差數列
3．已知等差數列{an}中，首項a1＝4，公差d＝－2，則通項公式an＝________．
4．已知等差數列－5，－2，1，…，則該數列的第20項為________．
課堂探究·素養提升——強化創新性
　等差數列的概念
例1　(1)已知數列{an}滿足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，則下列說法正確的是(　　)
A．數列{an}是以3為首項，3為公差的等差數列
B．數列{an}是以3為首項，－3為公差的等差數列
C．數列{an}是以－3為首項，3為公差的等差數列
D．數列{an}是以－3為首項，－3為公差的等差數列
(2)已知數列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差數列，則a5＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
方法歸納
判斷一個數列是否是等差數列，關鍵是看它是否符合等差數列的定義，逐一檢驗定義中“從第二項起每一項減去它前面一項的差都等于同一個常數”即可．
跟蹤訓練1　(1)若數列{an}滿足3an＋1＝3an＋1，則數列{an}是(　　)
A．公差為1的等差數列
B．公差為的等差數列
C．公差為－的等差數列
D．不是等差數列
(2)已知數列{an}滿足a1＝1，n∈N＋，若點()在直線x－y＋1＝0上，則an＝(　　)
A．n2 B．n C．n＋2 D．n＋1
　等差數列的通項公式及其應用
【思考探究】
　在等差數列{an}中，能用a1，d兩個基本量表示an，那么能否用{an}中任意一項am和d表示an
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，①
am＝a1＋(m－1)d，②
兩式相減可得：an－am＝(n－m)d，
則an＝am＋(n－m)d.
例2　(1)在等差數列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通項公式an；
(2)已知數列{an}為等差數列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
狀元隨筆　設出基本量a1，d.利用方程組的思想求解，當然也可以利用等差數列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
方法歸納
1．應用等差數列的通項公式求a1和d，運用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，從而確定通項公式．
2．若已知等差數列中的任意兩項am，an，求通項公式或其它項時，則運用am＝an＋(m－n)d較為簡捷．它又可變形為d＝，應注意把握，并學會應用．
跟蹤訓練2　(1)已知等差數列{an}中，a4＝8，a8＝4，則數列{an}的通項公式為________．
(2)若x≠y，且兩個數列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差數列，那么＝________．
　等差數列與一次函數的關系
例3　已知數列{an}的通項公式an＝pn＋q，其中p，q為常數，那么這個數列一定是等差數列嗎？若是，首項和公差分別是多少？
方法歸納
根據等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}為等差數列 an＝pn＋q(p，q為常數)，此結論可用來判斷{an}是否為等差數列，也揭示了等差數列的函數本質．跟蹤訓練3　(1)已知數列{an}是等差數列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，則實數a＝________．
(2)已知等差數列{an}的通項公式為an＝3－2n(n∈N＋)，則它的公差d為(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
教材反思
1．本節課的重點是等差數列的定義以及等差數列的通項公式，難點是等差數列的證明．
2．掌握判斷一個數列是等差數列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d為常數，n∈N＋) {an}是等差數列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差數列；
(3)an＝kn＋b(k，b為常數，n∈N＋) {an}是等差數列．
但若要說明一個數列不是等差數列，則只需舉出一個反例即可．
3．會靈活運用等差數列的通項公式解決問題．由等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式．反過來，在a1、d、n、an四個量中，只要知道其中任意三個量，就可以求出另外一個量．
第1課時　等差數列的定義
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
2　同一個　公差
知識點二
a1＋(n－1)d
知識點三
常數列　d>0　d<0
[基礎自測]
1．解析：A中給出的是常數列，是等差數列，公差為0；B中給出的數列是等差數列，公差為1；C中給出的數列是等差數列，公差為3；D中給出的數列第2項減去第1項等于1，第3項減去第2項等于2，故此數列不是等差數列．
答案：D
2．解析：∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差為2的等差數列．
答案：A
3．解析：∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：6－2n
4．解析：公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
答案：52
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)因為數列{an}滿足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，即an＋1－an＝－3(n∈N*)，所以數列{an}是以3為首項，－3為公差的等差數列．故選B.
(2)設等差數列的公差為d，則＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.∴＝＋2d＝10，解得a5＝.
【答案】　(1)B　(2)B
跟蹤訓練1　解析：(1)由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以數列{an}是公差為的等差數列．
(2)由題設可得＋1＝0，即＝1，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，故通項公式為＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2(n∈N＋)．
答案：(1)B　(2)A
例2　【解析】　(1)方法一　∵a4＝7，a10＝25，
則得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通項公式an＝3n－5(n∈N＋)．
方法二　∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)方法一　由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
方法二　由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，
解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
跟蹤訓練2　解析：(1)設{an}的公差為d，則a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.
(2)∵數列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均為等差數列，
∴∴＝1，
即＝，故＝.
答案：(1)an＝12－n　(2)
例3　【解析】　取數列{an}中任意兩項an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一個與n無關的常數，所以{an}是等差數列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首項a1＝p＋q，公差d＝p.
跟蹤訓練3　解析：(1)∵{an}是等差數列，且an＝an2＋n，
∴an是關于n的一次函數，∴a＝0.
(2)方法一　由等差數列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
方法二　an＝3－2n＝－2n＋3，由等差數列的函數特征知，d＝－2.
答案：(1)0　(2)C第2課時　等差數列的性質
1.能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．
2．體會等差數列與一元一次函數的關系．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等差中項
如果x，A，y是等差數列，那么稱A為x與y的________，且A＝.
狀元隨筆　任意兩數都有等差中項嗎？在一個等差數列中，中間的每一項都是它的前一項與后一項的等差中項嗎？
[提示]　(1)是，任意兩個實數都有等差中項，且唯一．
(2)是，利用等差中項可以判定給定數列是否為等差數列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，則{an}為等差數列．
知識點二　等差數列的性質
(1){an}是等差數列，若正整數s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as＋at＝________．
①特別地，當p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)時，2as＝ap＋aq.
②對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為________數列．
(3)若{an}是公差為d的等差數列，則
①{c＋an}(c為任一常數)是公差為________的等差數列；
②{can}(c為任一常數)是公差為________的等差數列；
③{an＋an＋k}(k為常數，k∈N＋)是公差為________的等差數列．
(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列{pan＋qbn}(p，q是常數)是公差為________的等差數列．
　基 礎 自 測
1．在等差數列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
2．已知在△ABC中，三個內角A，B，C成等差數列，則角B等于(　　)
A． B．
C． D．
3．在等差數列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．
4．設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等差中項及其應用
例1　在－1與7之間順次插入三個數a，b，c使這五個數成等差數列，求此數列．
方法歸納
三個數a，b，c成等差數列的條件是b＝(或2b＝a＋c)，可用來進行等差數列的判定或有關等差中項的計算問題．如若證{an}為等差數列，可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
跟蹤訓練1　若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項．
　等差數列的性質
【思考探究】
1．數列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差數列嗎？1，3，5，7，…是等差數列嗎？2，4，6，8，…是等差數列嗎，它們有什么關系？這說明了什么？
[提示]　這三個數列均是等差數列，后兩個數列是從第一個數列中每隔相同的項數抽取一項，按原來順序組成的新數列，這說明從一個等差數列中每隔相同的項數取一項，按原來的順序排列，還是一個等差數列．
2．在等差數列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4嗎？a2＋a5＝a3＋a4成立嗎？由此你能得到什么結論？該結論對任意等差數列都適用嗎？為什么？
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4與a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq.
對于任意等差數列{an}，設其公差為d.
則as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d
＝2a1＋(s＋t－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq對任意等差數列都適用．
3．在等差數列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立嗎？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？
[提示]　在2的結論中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例2　(1)等差數列{an}，若a1＋a17為一確定常數，則下列各式也為確定常數的是(　　)
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
(2)設數列{an}，{bn}都是等差數列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．
方法歸納
1．等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題．
2．應用等差數列的性質解答問題的關鍵是尋找項數之間的關系，但要注意性質運用的條件，如若s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要當序號之和相等、項數相同時才成立．
跟蹤訓練2　(1)在公差為d的等差數列{an}中．已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.
(2)已知數列{an}是等差數列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于(　　)
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
(3)由公差d≠0的等差數列a1，a2，…，an組成一個新的數列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是(　　)
A．新數列不是等差數列
B．新數列是公差為d的等差數列
C．新數列是公差為2d的等差數列
D．新數列是公差為3d的等差數列
　等差數列及其應用
例3　某公司經銷一種數碼產品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？
跟蹤訓練3　第一屆現代奧運會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運會如因故不能舉行，屆數照算，你能算出2024年8月在巴黎舉行的奧運會是第幾屆嗎？若已知屆數，你能確定相應的年份嗎？
　靈活設元解等差數列
例4　已知四個數成等差數列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數．
方法歸納
1．當已知條件中出現與首項、公差有關的內容時，可直接設首項為a1，公差為d，利用已知條件建立方程組求出a1和d，即可確定數列．
2．當已知數列有2n項時，可設為a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此時公差為2d.
3．當已知數列有2n＋1項時，可設為a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此時公差為d.
跟蹤訓練4　三個數成等差數列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數．
教材反思
1．本節課的重點是等差數列性質的應用．
2．要重點掌握等差數列的如下性質：
(1)在等差數列{an}中，當s≠t時，d＝為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為as＝at＋(s－t)d.
(2)等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列．
(3)等差數列{an}中，若s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，特別地，若2s＝p＋q，則2as＝ap＋aq.
3．等差數列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有關等差數列的問題，如果條件與結論間的聯系不明顯，則均可化成有關a1、d的關系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．
第2課時　等差數列的性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
等差中項
知識點二
(1)ap＋aq　和　(2)等差　(3)d　cd　2d　(4)pd1＋qd2
[基礎自測]
1．解析：在等差數列中，由性質可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
2．解析：因為A，B，C成等差數列，所以B是A，C的等差中項，則有A＋C＝2B，又因為A＋B＋C＝π，所以3B＝π，從而B＝.
答案：B
3．解析：因為a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
答案：180
4．解析：設{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}為等差數列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}為常數列，所以a37＋b37＝100.
答案：C
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　∵－1，a，b，c，7成等差數列，
∴b是－1與7的等差中項，∴b＝＝3.
又a是－1與3的等差中項，∴a＝＝1.
又c是3與7的等差中項，∴c＝＝5.
∴該數列為－1，1，3，5，7.
跟蹤訓練1　解析：由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.
兩式相加，得m＋n＝6.
∴m和n的等差中項為＝3.
例2　【解析】　(1)因為a1＋a17為一確定常數，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9＝3a9為一確定常數，故選C.
(2)方法一　設數列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二　∵數列{an}，{bn}都是等差數列，
∴數列{an＋bn}也構成等差數列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
【答案】　(1)C　(2)35
跟蹤訓練2　解析：(1)方法一　化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
方法二　根據已知條件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)因為a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(3)因為(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以數列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數列．
答案：(1)見解析　(2)B　(3)C
例3　【解析】　設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，
則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，
∴每年的利潤構成一個等差數列{an}，
從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損．
跟蹤訓練3　解析：設第一屆的年份為a1，第二屆的年份為a2，…，第n屆的年份為an，則a1，a2，…，an，…構成一個以a1＝1 896為首項，以d＝4為公差的等差數列，其通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 024，知4n＋1 892＝2 024，所以n＝33.
故2024年舉行的奧運會為第33屆．
已知舉辦的屆數也能求出相應的年份，因為在等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三個量，均可求得第四個量．
例4　【解析】　方法一　設這四個數分別為a，b，c，d，根據題意，得
解得或
∴這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.
方法二　設此等差數列的首項為a1，公差為d，根據題意，得
化簡，得
解得或
∴這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.
方法三　設這四個數分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根據題意，得化簡，得解得
∴這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.
跟蹤訓練4　解析：設這三個數依次為a－d，a，a＋d，
則解得.
∴這三個數為4，3，2.第1課時　等差數列的前n項和
1.探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系．
2．能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．
3．體會等差數列前n項和與一元二次函數的關系．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　數列的前n項和的概念
一般地，稱________________為數列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn＝________________．
知識點二　等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和公式 Sn＝________________ Sn＝________________
狀元隨筆　已知n，an，d能求a1嗎？
[提示]　能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式．
知識點三　等差數列的前n項和公式與函數的關系
因為等差數列前n項和可變為Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，此公式可看作二次項系數為，一次項系數為(a1－)，常數項為0的二次函數，其圖象為拋物線y＝x2＋(a1－)x上的點集，坐標為(n，Sn)(n∈N＋)．令d＝A，a1－＝B，則Sn＝An2＋Bn(A為常數)，并且有如下結論：數列{an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
知識點四　等差數列前n項和Sn的最值
1．從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數時，Sn取到最值．
2．在等差數列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取到最大值的n可由不等式組確定；當a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取到最小值的n可由不等式組確定．
狀元隨筆　{an}是等差數列，其前n項和為Sn，{|an|}的前n項和也是Sn嗎？
[提示]　不一定．
　基 礎 自 測
1．在等差數列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)
A．10 B．12
C．20 D．24
2．已知{an}是等差數列，a1＝10，前10項和S10＝70，則其公差d＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．已知等差數列{an}滿足a1＝1，am＝99，d＝2，則其前m項和Sm＝(　　)
A．2 300 B．2 400
C．2 600 D．2 500
4．等差數列{an}中，a1＝1，d＝1，則Sn＝________．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等差數列Sn中基本量的計算
例1　在等差數列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
方法歸納
a1，d，n稱為等差數列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差數列的性質以簡化計算過程，同時在具體求解過程中還應注意已知與未知的聯系及整體思想的運用．
跟蹤訓練1　在等差數列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
　等差數列的前n項和公式與函數的關系
例2　(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n2＋3n，試判斷數列{an}是不是等差數列．
(2)已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n－1，求數列{an}的通項公式，并判斷它是不是等差數列．
方法歸納
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里常常因為忽略條件“n≥2”而出錯．
(2)在判斷{an}是否為等差數列時，務必驗證n＝1是否滿足an(n≥2)的情形．
①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，則{an}是等差數列．
②若a1不適合an，則則{an}不是等差數列．
跟蹤訓練2　(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝n2＋n，則a8＝(　　)
A．72 B．36
C．18 D．16
(2)已知數列{an}的前n項和為Sn＝－2n2＋3n＋1.求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是否為等差數列．
　等差數列中的最值問題
【思考探究】
　已知一個數列{an}的前n項和為Sn＝n2－5n，試畫出Sn關于n的函數圖象．
你能說明數列{an}的單調性嗎？該數列前n項和有最值嗎？
[提示]　Sn＝n2－5n＝(n－)2－，它的圖象是分布在函數y＝x2－5x的圖象上的離散的點，由圖象的開口方向可知該數列是遞增數列，圖象開始下降說明了{an}前n項為負數．由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當n＝2或3時，Sn最小，最小值為－6，即數列{an}前2項或前3項和最小．
例3　(1)在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
(2)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，a7>0，S11<0，則Sn的最小值為(　　)
A．S4 B．S5
C．S6 D．S7
狀元隨筆　
(1)利用Sn與an的關系求通項，也可由Sn的結構特征求a1，d，從而求出通項．
(2)利用Sn的函數特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解．
(3)利用an判斷哪些項是正數，哪些項是負數，再求解，也可以利用Sn的函數特征判斷項的正負求解．
方法歸納
1．在等差數列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通項公式尋找正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)．
(2)借助二次函數的圖象及性質求最值．
2．尋找正、負項分界點的方法
(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數列性質或利用或來尋找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的一側的一個正整數或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數對應項即為正、負項的分界點．
3．求解數列{|an|}的前n項和，應先判斷{an}的各項的正負，然后去掉絕對值號，轉化為等差數列的求和問題．
跟蹤訓練3　(1)已知等差數列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
①求數列{an}的通項公式；
②當n為何值時，數列{an}的前n項和取得最大值？
(2)數列{an}的前n項和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．
(3)(多選)設數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和，且S5S8.則下列說法正確的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6與S7均為Sn的最大值
教材反思
1．求等差數列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數列求和中也可能用到．
2．等差數列的兩個求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個量，若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量，在利用求和公式時，要注意整體思想的應用，注意下面結論的運用：若s＋t＝p＋q，則as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，若2s＝p＋q，則2as＝ap＋aq.
第1課時　等差數列的前n項和
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
a1＋a2＋…＋an－1＋an　a1＋a2＋…＋an－1＋an
知識點二
　na1＋d
[基礎自測]
1．解析：由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.
答案：D
2．解析：S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.
答案：A
3．解析：由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2 500.
答案：D
4．解析：因為a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1
＝＝＝.
答案：
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴
解方程組得
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程組得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
跟蹤訓練1　解析：(1)由題意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由
得
解方程組得或
例2　【解析】　(1)Sn＝2n2＋3n，則當n＝1時，a1＝S1＝5，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.又a1＝5適合an＝4n＋1，
∴數列{an}的通項公式是an＝4n＋1(n∈N＋)．
當n≥2時，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4，
故數列{an}是首項為5，公差為4的等差數列．
(2)當n＝1時，a1＝S1＝1，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不滿足an＝2n，
∴數列{an}的通項公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝6－4＝2，
∴數列{an}中每一項與前一項的差不是同一個常數，
∴數列{an}不是等差數列．
跟蹤訓練2　解析：(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)，得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16.
(2)當n＝1時，a1＝S1＝2；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.
又當n＝1時，a1＝2不滿足上式，
所以數列{an}的通項公式為an＝
當n≥2時，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，
但a2－a1＝－3－2＝－5，
所以數列{an}不是等差數列．
答案：(1)D　(2)見解析
例3　【解析】　(1)方法一　由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
∴當n＝13時，Sn有最大值169.
方法二　先求出d＝－2，∵a1＝25>0，
由得
∴當n＝13時，Sn有最大值169.
方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，
∴a13>0，a14<0，
故n＝13時，Sn有最大值169.
(2)因為S11＝＝11a6<0，所以a6<0，又a7＝a6＋d>0，所以d>0，所以Sn的最小值為S6.故選C.
【答案】　(1)見解析　(2)C
跟蹤訓練3　解析：(1)①由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
②方法一　由①知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴當n＝5時，Sn取得最大值．
方法二　由①知，a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是遞減數列．
令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5時，an>0，n≥6時，an<0.
∴當n＝5時，Sn取得最大值．
(2)由Sn＝35n－2n2＝－2(n－)2＋.
當且僅當n＝9時，Sn最大，故n＝9.
(3)由S50.又S6＝S7，∴a7＝0，∴d<0.由S7>S8，∴a8<0，因此S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
答案：(1)見解析　(2)見解析　(3)ABD第2課時　等差數列前n項和的性質
探索并掌握等差數列的前n項和的有關性質，會應用性質解題．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等差數列前n項和的性質
(1)若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為.
(2)若Sm，S2m，S3m分別為等差數列{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數列，公差為________．
(3)設兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝.
(4)若等差數列{an}的項數為2n(n∈N＋)時，則S2n＝________，且S偶－S奇＝________，＝.
(5)若等差數列的項數為2n－1(n∈N＋)時，則S2n－1＝________，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.
知識點二　已知數列{an}為等差數列，求數列{|an|}
的前n項和
已知數列{an}為等差數列，求數列{|an|}的前n項和的步驟：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．
第二步，求和：①若an各項均為正數(或均為負數)，則數列{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，這時數列{an}只有前面有限項為正數(或負數)，可分段求和再相加．
　基 礎 自 測
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2，則an＝(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
2．已知等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差d＝________．
3．等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則＝________．
4．設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a5＝5a3，則＝________．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等差數列前n項和公式的靈活應用
例1　(1)已知等差數列{an}中，若a1 009＝1，求S2 017；
(2)已知{an}，{bn}均為等差數列，其前n項和分別為Sn，Tn，且＝，求.
狀元隨筆　由等差數列的前n項和公式及通項公式列方程組求解，或結合等差數列的性質求解．
方法歸納
由Sn＝可知，S2n－1＝＝(2n－1)·an，等差數列{an}的前n項和Sn與等差數列{bn}的前n項和Tn的比，是關于n的一次分式函數，即＝，且＝.
跟蹤訓練1　(1)已知在等差數列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數列前20項和等于(　　)
A．160 B．180
C．200 D．220
(2)一個有11項的等差數列，奇數項之和為30，則它的中間項為________．
(3)在等差數列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.
　等差數列中奇、偶項的和
例2　在等差數列{an}中，S10＝120，且在這10項中，＝，則公差d＝________．
方法歸納
1．若等差數列{an}的項數為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
2．若等差數列{an}的項數為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
注意點：
(1)總項數為奇數時，其中間項的下標是1和總項數的平均數；
(2)總項數為偶數時，其中間有兩項，中間第一項的下標為總項數的一半．
跟蹤訓練2　已知數列{an}是項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和是50，偶數項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數列的公差是________．
　等差數列前n項和性質及應用
例3　已知等差數列{an}，Sm，S2m，S3m分別是其前m，前2m，前3m項和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.
方法歸納
在等差數列中，前n項和Sn的問題利用公式可列出關于a1和d的方程(組)．要注意等差數列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差數列且公差為m2d；，…也成等差數列，用此性質可簡化運算．
跟蹤訓練3　設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝(　　)
A．63 B．45
C．36 D．27
　求數列{|an|}的前n項和
例4　數列{an}的前n項和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．
(1)求證：數列{an}是等差數列；
(2)設bn＝|an|，求數列{bn}的前n項和．
方法歸納
求等差數列{an}前n項絕對值的和，首先要搞清哪些項是正數哪些項是負數，正的直接去掉絕對值，負的變為原來的相反數，再轉化為等差數列{an}的前n項和的形式求解．
跟蹤訓練4　在等差數列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數列{|an|}的前n項和．
　等差數列前n項和的實際應用
例5　某地在抗洪搶險中接到預報，24 h后有一個超歷史最高水位的洪峰到達，為保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24 h內另筑起一道堤作為第二道防線．經計算，如果有20輛大型翻斗車同時工作25 h，可以筑起第二道防線，但是除了現有的一輛車可以立即投入工作外，其余車輛需從各處緊急抽調，每隔20 min就可有一輛車到達并投入工作．問：指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續工作，才能保證24 h內完成第二道防線？請說明理由．
方法歸納
建立等差數列的模型時，要根據題意找準首項、公差和項數或者首項、末項和項數．
跟蹤訓練5　假設某市2019年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底，該市歷年所建中低價房的累計面積(以2019年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？
教材反思
1．牢記2個知識點
(1)等差數列前n項和的有關性質．
(2)已知{an}為等差數列，求數列{|an|}的前n項和的步驟．
2．掌握1種規律方法
等差數列前n項和的性質解題的應用規律．
3．注意2個易錯點
(1)亂用性質或結論致錯．
(2)等差數列加絕對值后，認為其還是等差數列而致錯．
第2課時　等差數列前n項和的性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(2)m2d　(4)n(an＋an＋1)　nd　(5)(2n－1)an
[基礎自測]
1．解析：當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1適合上式，故an＝2n－1(n∈N*)．
答案：D
2．解析：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案：3
3．解析：＝＝＝＝＝＝.
答案：
4．解析：＝＝＝×5＝9.
答案：9
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)方法一　∵a1 009＝a1＋1 008d＝1，
∴S2 017＝2 017a1＋d＝2 017(a1＋1 008d)＝2 017.
方法二　∵a1 009＝，
∴S2 017＝×2 017＝2 017a1 009＝2 017.
(2)方法一　＝＝＝＝＝.
方法二　∵＝＝，
∴設Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，
∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴＝＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，
∴S20＝＝10×18＝180.
(2)由條件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中間項a6＝5.
(3)方法一　∵a1＋a17＝a3＋a15，
∴S17＝＝＝＝340.
方法二　∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，
∴a1＋8d＝20，
∴S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.
方法三　∵a3＋a15＝2a9＝40，
∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.
答案：(1)B　(2)5　(3)見解析
例2　【解析】　由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
【答案】　2
跟蹤訓練2　解析：設等差數列{an}的項數為2m，
∵末項與首項的差為－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
∵S奇＝50，S偶＝34，
∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②
由①②得d＝－4.
答案：－4
例3　【解析】　方法一　設{an}的公差為d，依據題設和前n項和公式有
②－①，得ma1＋d＝70，
∴S3m＝3ma1＋d
＝3[ma1＋d]＝3×70＝210.
方法二　Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差數列，
∴30、70、S3m－100成等差數列，
∴2×70＝30＋S3m－100.
∴S3m＝210.
方法三　在等差數列{an}中，
∵Sn＝a1n＋n(n－1)d，
∴＝a1＋(n－1).
即數列構成首項為a1，公差為的等差數列．
依題中條件知、、成等差數列，
∴2·＝.
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
跟蹤訓練3　解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差數列的性質可知，S3，S6－S3，S9－S6構成等差數列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：B
例4　【解析】　(1)證明：an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2)．
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴數列{an}的通項公式為an＝101－2n(n∈N＋)．
又an＋1－an＝－2為常數，
∴數列{an}是首項為a1＝99，公差d＝－2的等差數列．
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．
①當1≤n≤50時，an>0，此時bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n項和S′n＝100n－n2.
②當n≥51時，an<0，此時bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得數列{bn}的前n項和為S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.
由①②得數列{bn}的前n項和為
S′n＝
跟蹤訓練4　解析：由a1＝－60，a17＝－12，
知等差數列{an}的公差d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.
所以，{an}中前20項是負數，從第21項起是非負數．
設Sn和Tn分別表示{an}和{|an|}的前n項和．
當n≤20時，
Tn＝－Sn＝－[－60n＋]＝－n2＋n.
當n>20時，
Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2(－60×20＋×3)
＝n2－n＋1 260，
綜上，Tn＝
例5　【解析】　設從現有一輛車投入工作算起，各車的工作時間，依次組成數列{an}，則an－an－1＝－.
∴數列{an}構成首項為24，公差為－的等差數列．
設還需組織(n－1)輛車，
則a1＋a2＋…＋an＝24n＋≥20×25.
∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.
∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24.
故至少還需組織24輛車陸續工作，才能保證在24 h內完成第二道防線．
跟蹤訓練5　解析：設從2019年起每年新建中低價房的面積形成的數列為{an}，由題意可知{an}是等差數列，其中a1＝250，d＝50，
則an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200，
Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
而n是正整數，∴n≥10.
∴到2028年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米．5．3.1　等比數列
第1課時　等比數列的定義
1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義．
2．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
3．體會等比數列與指數函數的關系．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等比數列的概念
(1)文字語言：
一般地，如果一個數列{an}從第________項起，每一項與它的前一項之比都等于________，那么這個數列{an}就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符號語言：
＝q(q為常數，q≠0，n∈N＋)．
狀元隨筆　等比數列還可以用哪種符號語言表示？
[提示]　＝q(q為常數，q ≠0，n≥2，n∈N＋)．
知識點二　等比數列的通項公式
(1)一般地，對于等比數列{an}的第n項an，有公式an＝________．這就是等比數列{an}的通項公式，其中a1為首項，q為公比．
(2)通項公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．
知識點三　等比數列與指數函數的關系
等比數列的通項公式可整理為an＝________，而f(x)＝·qx(q≠1)是一個不為0的常數與指數函數qx的乘積，從圖象上看，表示數列中的各項的點是函數y＝________的圖象上的________點．
知識點四　等比數列的單調性
　基 礎 自 測
1．已知數列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數列，則實數a滿足(　　)
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
2．已知{an}是首項為2，公比為3的等比數列，則這個數列的通項公式為(　　)
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1
3．在等比數列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，則公比q＝(　　)
A． B．
C．－ D．或－
4．已知{an}是等比數列，a2＝2，a5＝，則公比q＝________．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等比數列的判斷
例1　判斷下列數列是否是等比數列，如果是，寫出它的公比．
(1)1，，…；
(2)10，10，10，10，10，…；
(3)，…；
(4)1，0，1，0，1，0，…；
(5)1，－4，16，－64，256，….
方法歸納
判斷一個數列是否為等比數列的方法
定義法：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
跟蹤訓練1　(多選)以下數列中是等比數列的是(　　)
A．數列1，3，9，27，…
B．數列{an}中，已知＝2，＝2
C．常數列a，a，a，…，a，…
D．數列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋
　等比數列的通項公式及其應用
【思考探究】
1．類比歸納等差數列通項公式的方法，你能歸納出首項為a1，公比為q的等比數列{an}的通項公式嗎？
[提示]　由等比數列的定義可知：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4，…
由此歸納等比數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1.
2．由等比數列的定義式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首項a1，公比q表示的通項公式嗎？能用等比數列中任意一項am及公比q表示an嗎？
[提示]　由＝q，知＝q，＝q，＝q，…，＝q，將以上各式兩邊分別相乘可得＝qn－1，則an＝a1qn－1；兩式相比得＝qn－m，
則an＝am·qn－m，事實上該式為等比數列通項公式的推廣．
3．在等比數列的通項公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3嗎？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q嗎？這說明了什么？
[提示]　若a1＝2，q＝，則a3＝2·＝；
若a1＝2，a3＝8，則2·q2＝8，
所以q＝±2，
由此說明在an＝a1qn－1中所含四個量中能“知三求一”．
例2　(1)在等比數列{an}中，a3＝32，a5＝8.
①求數列{an}的通項公式an；
②若an＝，求n.
(2)在等比數列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
方法歸納
1．等比數列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．
2．關于a1和q的求法通常有以下兩種方法：
(1)根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)充分利用通項公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
跟蹤訓練2　在等比數列{an}中．
(1)若它的前三項分別為5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an；
(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an；
(4)已知等比數列{an}為遞增數列，且＝＋an＋2)＝5an＋1，求an.
　等比數列的判斷與證明
例3　(1)在數列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么這個數列是(　　)
A．公比為2的等比數列
B．公差為3的等差數列
C．首項為3的等比數列
D．首項為3的等差數列
(2)已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
①求a1，a2；
②求證：數列{an}是等比數列．
(3)已知數列{an}，且a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*.
①證明：數列{an－1}是等比數列；
②求{an}的通項公式．
方法歸納
判斷一個數列是否是等比數列的常用方法
1．定義法：＝q(q為常數且不為零) {an}為等比數列．
2．通項公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數列．
跟蹤訓練3　(1)在數列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，則a6＝________．
(2)已知數列{an}的前n項和Sn＝2an＋1(n∈N＋)，求證{an}是等比數列，并求出通項公式．
　等比數列的通項公式與指數型函數的關系
例4　(1)已知數列{an}是等比數列，且公比大于0，則“q>1”是“數列{an}是遞增數列”的(　　)
A．充要條件
B．必要不充分條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)若{an}為等比數列，則“a1A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
方法歸納
判斷等比數列的單調性的方法
(1)a1>0，q>1時，數列{an}為正項的遞增等比數列；
(2)a1>0，0(3)a1<0，q>1時，數列{an}為負項的遞減等比數列；
(4)a1<0，0(5)q＝1時，數列{an}為常數列；
(6)q<0時，數列{an}為擺動數列；奇數項符號相同，偶數項符號相同．
跟蹤訓練4　(1)等比數列{an}的公比q＝－，a1＝，則數列{an}是(　　)
A．遞增數列 B．遞減數列
C．常數列 D．擺動數列
(2)設{an}是等比數列，則“a1A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不
教材反思
1．本節課的重點是等比數列的判定與證明、等比數列的通項問題，難點是等比數列的證明．
2．本節課要重點掌握的規律方法
(1)等比數列的判斷與證明的方法．
(2)等比數列通項公式的求法．
等比數列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量．
第1課時　等比數列的定義
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(1)2　同一常數　公比
知識點二
(1)a1qn－1
知識點三
·qn　·qx　孤立
[基礎自測]
1．解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數列，則a需滿足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
答案：D
2．解析：由已知可得a1＝2，q＝3，則數列{an}的通項公式為an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
答案：C
3．解析：由解得或.
又a1＜0，因此q＝－.
答案：C
4．解析：∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝，②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
答案：
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)不是等比數列；(2)是等比數列，公比為1；(3)是等比數列，公比為；(4)不是等比數列；(5)是等比數列，公比為－4.
跟蹤訓練1　解析：在B中，不一定滿足＝2；在C中，若a＝0，則不是等比數列；在A、D中，滿足為非零常數，
∴A、D是等比數列．
答案：AD
例2　【解析】　(1)①因為a5＝a3q2，所以q2＝＝.
所以q＝±.
當q＝時，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；
當q＝－時，an＝a3qn－3＝32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
②當an＝時，28－n＝或32×＝，
解得n＝9.
(2)方法一　∵
由得q＝，從而a1＝32，
∴an＝32×，
又∵an＝1.∴32×＝1，即26－n＝20，∴n＝6.
方法二　∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
跟蹤訓練2　解析：(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
∴a5＝405.
(2)∵
∴
由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝.
(3)設等比數列{an}的公比為q，則q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
當q＝時，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.
當q＝3時，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
綜上，當q＝時，an＝2×33－n；
當q＝3時，an＝2×3n－3.
(4)由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或，
由＝a10＝a1q9>0 a1>0，
又數列{an}遞增，所以q＝2.
＝a10>0，∴(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2，
所以數列{an}的通項公式為an＝2n.
例3　【解析】　(1)因為an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，則有＝＝(n≥2)，所以{an}為等比數列，且公比q＝，首項a1＝3.
(2)①由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
②證明：當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首項為－，公比為－的等比數列．
(3)①證明：設cn＝an－1，則c1＝1，
＝＝＝2.
所以數列{an－1}是以1為首項，2為公比的等比數列．
②由①得cn＝2n－1，
所以an＝2n－1＋1.
【答案】　(1)C　(2)見解析　(3)見解析
跟蹤訓練3　解析：(1)∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，
∴{an}是等比數列，公比為q＝.∴a6＝a1q5＝2×＝.
(2)證明：∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比數列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
答案：(1)　(2)見解析
例4　【解析】　(1)當a1<0，q>1時，數列{an}為遞減數列，即充分性不成立；當“數列{an}是遞增數列”時，可能是a1<0，01”是“數列{an}是遞增數列”的既不充分也不必要條件．
(2)若等比數列{an}是遞增數列，可得a1【答案】　(1)D　(2)B
跟蹤訓練4　解析：(1)由公比q<0可知，該等比數列是擺動數列．
(2)設等比數列{an}的公比為q，則a10，解得或此時數列{an}不一定是遞增數列；若數列{an}為遞增數列，可得或所以“a1答案：(1)D　(2)B第2課時　等比數列的性質
1.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
2．體會等比數列與指數函數的關系．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等比中項
(1)前提：三個數x，G，y成等比數列．
(2)結論：________叫做x，y的等比中項．
(3)滿足的關系式：G2＝________．
狀元隨筆　任意兩數都有等比中項嗎？
[提示]　不是，只有同號的兩數才有．
知識點二　“子數列”性質
對于無窮等比數列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為________，首項為________，公比為________；若取出所有的k的倍數項，組成的數列仍為________，首項為________，公比為________．
知識點三　等比數列項的運算性質
在等比數列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，則as·at＝________．
①特別地，當p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)時，ap·aq＝________．
②對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
知識點四　兩個等比數列合成數列的性質
若數列{an}，{bn}均為等比數列，c為不等于0的常數，則數列{can}，{an·bn}，也為________．
　基 礎 自 測
1．已知等比數列{an}，a1＝1，a3＝，則a5＝(　　)
A．± B．－
C． D．±
2．已知數列{an}是等比數列，且a3a5a7a9a11＝243，則a7＝________；若公比q＝，則a4＝________．
3．等比數列{an}中，a1＝，q＝2，則a4與a8的等比中項為________．
4．若a，b，c既成等差數列，又成等比數列，則它們的公比為________．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等比中項的應用
例1　已知a，－，b，－，c這五個數成等比數列，求a，b，c的值．
方法歸納
由等比中項的定義可知：＝ G2＝xy G＝±.這表明只有同號的兩項才有等比中項，并且這兩項的等比中項有兩個，它們互為相反數．反之，若G2＝xy，則＝，即x，G，y成等比數列．所以x，G，y成等比數列 G2＝xy(xy≠0)．
跟蹤訓練1　若1，a，3成等差數列，1，b，4成等比數列，則的值為(　　)
A．± B．
C．1 D．±1
　等比數列性質的應用
例2　已知數列{an}為等比數列．
(1)將公比為q的等比數列{an}依次取相鄰兩項的乘積組成新的數列a1a2，a2a3，a3a4，….此數列是(　　)
A．公比為q的等比數列
B．公比為q2的等比數列
C．公比為q3的等比數列
D．不一定是等比數列
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求數列{an}的通項公式．
(3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求的值．
方法歸納
在等比數列的有關運算中，常常涉及到次數較高的指數運算．若按常規解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩．通過本例可以看出：結合等比數列的性質進行整體變換，會起到化繁為簡的效果．
跟蹤訓練2　(1)下列結論錯誤的是(　　)
A．有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積
B．當q>1時，{an}為遞增數列
C．當q＝1時，{an}為常數列
D．當a1>0，q>1時，{an}為遞增數列
(2)在等比數列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
　靈活設項求解等比數列
例3　有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數．
方法歸納
合理地設出所求數中的三個數，根據題意再表示出另一個是解決這類問題的關鍵，一般地，三個數成等比數列，可設為，a，aq；三個數成等差數列，可設為a－d，a，a＋d.
跟蹤訓練3　三個數成等比數列，其積為512，如果第一個數與第三個數各減去2，則這三個數成等差數列，求這三個數．
　等差、等比數列性質的綜合應用
例4　設數列{an}是公比大于1的等比數列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4構成等差數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)令bn＝ln a3n＋1(n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Tn.
方法歸納
應用等差、等比數列的定義解題永遠是最基本的方法，
(1)在等差數列與等比數列的綜合問題中，特別要注意它們的區別，避免用錯公式．
(2)方程思想的應用往往是破題的關鍵．
跟蹤訓練4　設數列{an}是公差d≠0的等差數列，且恰好構成等比數列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求數列{kn}的通項公式．
教材反思
1．本節課的重點是等比數列性質的應用，難點是等比數列性質的推導．
2．要重點掌握等比數列的常用性質：
(1)如果s＋t＝p＋q，則有asat＝apaq；
(2)如果2s＝＝ap·aq；
(3)若s，t，p成等差數列，as，at，ap成等比數列；
(4)在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N＋)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數列仍為等比數列；
(5)如果{an}，{bn}均為等比數列，且公比分別為q1，q2，那么數列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比數列，且公比分別為，q1q2，，|q1|；
(6)等比數列的項的對稱性：在有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
第2課時　等比數列的性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(2)G　(3)xy
知識點二
等比數列　ak＋1　q　等比數列　ak　qk
知識點三
ap·aq　　積
知識點四
等比數列
[基礎自測]
1．解析：在等比數列中＝a1·a5，所以a5＝＝.
答案：C
2．解析：{an}是等比數列，故a3a5a7a9a11＝＝243，故a7＝3，a4＝＝81.
答案：3　81
3．解析：a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4與a8的等比中項為±＝±4.
答案：±4
4．解析：只有非零常數列才滿足題意，所以公比q＝1.
答案：1
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　由題意知b2＝＝，∴b＝±.當b＝時，ab＝，解得a＝；
bc＝＝，解得c＝.
同理，當b＝－時，a＝－，c＝－.
綜上所述，a，b，c的值分別為或－，－，－.
跟蹤訓練1　解析：∵1，a，3成等差數列，∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比數列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
答案：D
例2　【解析】　(1)由于＝＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2為公比的等比數列，故選B.
＝a1a3代入已知，得＝8，∴a2＝2.
設前三項為，2，2q，則有＋2＋2q＝7.
整理，得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.
(3)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
【答案】　(1)B　(2)見解析　(3)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)數列－2，－4，－8，－16，…其公比q＝2>1，但是一個遞減數列，∴B選項錯．
(2)因為數列{an}為等比數列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
聯立可解得或.
當時，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
當時，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
(3)根據等比數列的性質，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝log3310＝10.
答案：(1)B　(2)見解析　(3)見解析
例3　【解析】　方法一　設四個數依次為a－d，a，a＋d，，
由條件得解得或
所以，當a＝4，d＝4時，所求四個數為0，4，8，16；
當a＝9，d＝－6時，所求四個數為15，9，3，1.
故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1.
方法二　設四個數依次為－a，，a，aq(a≠0)，
由條件得解得或
當a＝8，q＝2時，所求四個數為0，4，8，16；
當a＝3，q＝時，所求四個數為15，9，3，1.
故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1.
跟蹤訓練3　解析：設三個數依次為，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴這三個數為4，8，16或16，8，4.
例4　【解析】　(1)由已知得
解得a2＝2.設數列{an}的公比為q.
由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又a1＋a2＋a3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由題意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故數列{an}的通項公式為an＝2n－1.
(2)已知bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln 23n＝3n ln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，所以{bn}是等差數列．
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝ln 2.
故Tn＝ln 2.
跟蹤訓練4　解析：由題意，得a1，a5，a17成等比數列，所以(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．
又d≠0，所以a1＝2d，所以的公比q＝＝＝＝3.
在等差數列中＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d.在等比數列中＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，所以(kn＋1)·d＝2d·3n－1，即kn＝2·3n－1－1.第1課時　等比數列的前n項和
1.探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系．
2．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　等比數列的前n項和公式
狀元隨筆　等比數列求和應注意什么？
[提示]　公比q是否等于1.
知識點二　等比數列前n項和公式的函數特征
(1)當公比q≠1時，設A＝，等比數列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是關于n的指數型函數．
(2)當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數．
　基 礎 自 測
1．求下列等比數列前8項的和：
(1)，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
2．在公比為整數的等比數列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，則{an}的前5項和為(　　)
A．10　　　B．　　　C．11　　　D．12
3．已知等比數列{an}的公比q＝2，前n項和為Sn，則＝(　　)
A．3 B．4 C． D．
4．若等比數列{an}的公比為，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項和為________．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　等比數列前n項和公式基本量的運算
例1　在等比數列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
(3)在等比數列{an}中，a1＝2，S3＝26，則公比q＝________．
方法歸納
1．解答關于等比數列的基本運算問題，通常是利用a1，an，q，n，Sn這五個基本量的關系列方程組求解，而在條件與結論間聯系不很明顯時，均可用a1與q列方程組求解．
2．運用等比數列的前n項和公式要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程組時，通常用兩式相除約分的方法進行消元．
跟蹤訓練1　在等比數列{an}中，其前n項和為Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
　等比數列前n項和公式的函數特征應用
例2　(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數，n∈N*)，則數列{an}(　　)
A．一定是等差數列
B．一定是等比數列
C．是等差數列或等比數列
D．既非等差數列，也非等比數列
(2)若將(1)題改為數列{an}是等比數列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k(n∈N*)，則實數k＝________．
方法歸納
(1)已知Sn，通過an＝求通項an，應特別注意n≥2時，an＝Sn－Sn－1.
(2)若數列{an}的前n項和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數列．
跟蹤訓練2　(1)設數列{an}的前n項和Sn＝4×3n－1－1(n∈N*)，則通項an＝________．
(2)已知等比數列{an}的前n項和為Sn＝－(n∈N*)，則x＝(　　)
A．　　B．－ C．　　D．－
　等比數列前n項和的靈活應用
考向一　等比數列的連續n項之和的性質
例3　在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
方法歸納
處理等比數列前n項和有關問題的常用方法
(1)運用等比數列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．
(2)靈活運用等比數列前n項和的有關性質．
跟蹤訓練3　設等比數列{an}前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝(　　)
A．32　　 B．64 C．72　　 D．216
考向二　等比數列的奇數項、偶數項之和的性質
例4　一個項數為偶數的等比數列，全部項之和為偶數項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數列的通項公式．
方法歸納
(1)在等比數列{an}中若項數為偶數，則有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇．
(2)解題時要注意觀察序號之間的聯系，發現解題契機，注意應用整體的思想．
跟蹤訓練4　一個等比數列的首項是1，項數是偶數，其奇數項的和為85，偶數項的和為170，求此數列的公比和項數．
　等比數列前n項和的實際應用
例5　小華準備購買一部售價為5 000元的手機，采用分期付款方式，并在一年內將款全部付清．商家提出的付款方式為：購買2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，…，購買12個月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復利計算，求小華每期付款金額是多少．(參考數據：1.00812≈1.10)
方法歸納
(1)實際生活中的增長率問題，分期付款問題等都是等比數列問題；
(2)解決此類問題的關鍵是由實際情況抽象出數列模型，利用數列知識求解．
跟蹤訓練5　一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘內，它上升的高度都是它在前一分鐘內上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？
教材反思
1．本節課的重點是等比數列前n項和公式的基本運算．
2．在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”．
3．前n項和公式的應用中，注意前n項和公式要分類討論，即當q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．
4．注意等比數列前n項和公式的靈活運用．
5．了解等比數列前n項和公式的函數特征．
第1課時　等比數列的前n項和
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
na1　　na1　
[基礎自測]
1．解析：(1)因為a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
2．解析：設公比為q(q∈Z)，則a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，則{an}的前5項和為＝11.
答案：C
3．解析：易知等比數列{an}的首項為a1，則＝＝.
答案：C
4．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y，由等比數列前n項和性質知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)方法一　設首項為a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二　∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)設公比為q，由通項公式及已知條件得即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝.
(3)∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，
∴q＝3或－4.
【答案】　(1)見解析　(2)見解析　(3)3或－4
跟蹤訓練1　解析：(1)由題意知
解得或
從而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)設{an}的公比為q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或.
所以an＝或an＝.
例2　【解析】　(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；當n＝1時，a1＝a－1，滿足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，∴數列{an}是等比數列．
(2)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}為等比數列，∴3－2k＝0，即k＝.
【答案】　(1)B　(2)
跟蹤訓練2　解析：(1)當n＝1時，a1＝S1＝4－1＝3，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.∴an＝
(2)方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故選C.
方法二　當n＝1時，a1＝S1＝x－；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比數列，∴n＝1時也應適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.
答案：(1)　(2)C
例3　【解析】　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64(1－)＝63.
方法二　∵{an}為等比數列，顯然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
跟蹤訓練3　解析：由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比為2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
答案：B
例4　【解析】　設數列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數項、偶數項之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵數列{an}的項數為偶數，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通項公式為an＝12×()n－1，n∈N＋.
跟蹤訓練4　解析：方法一　設原等比數列的公比為q，項數為2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，∴＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比為2，項數為8.
方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，項數n＝8.
例5　【解析】　方法一　設小華每期付款x元，第k個月末付款后的欠款本利為Ak元，則
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5(元)．
故小華每期付款金額約為883.5元．
方法二　設小華每期付款x元，到第k個月時已付款及利息為Ak元，則
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．
∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，
即5 000×1.00812＝)，
∴x＝≈883.5(元)．
故小華每期付款金額約為883.5元．
跟蹤訓練5　解析：用an表示熱氣球在第n分鐘內上升的高度，
由題意，得an＋1＝an；
因此，數列{an}是首項a1＝25，公比q＝的等比數列．
熱氣球在前n分鐘內上升的總高度
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－]<125，
即這個熱氣球上升的高度不可能超過125 m．第2課時　特殊數列的前n項和
1.熟練應用等差、等比數列前n項和公式的性質解題．
2．能在具體的問題情境中，發現數列的等差、等比關系，并解決相應的問題．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
1.分組求和法
若數列{an}的通項公式為an＝cn±bn，其中{cn}與{bn}是等差(比)數列或可以直接求和的數列，則一般利用分組求和法求{an}的前n項和．
2．錯位相減法
(1)推導等比數列前n項和的方法叫錯位相減法；
(2)該方法一般適用于求一個等差數列與一個等比數列對應項積的前n項和，即若{bn}是公差d≠0的等差數列，{cn}是公比q≠1的等比數列，求數列{bn·cn}的前n項和Sn時，可以用這種方法．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項求和的形式：
①＝)；
②＝)；
③＝；
④＝]；
⑤＝；
⑥ln (1＋)＝ln (n＋1)－ln n．
4．并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
并項求和法適用的題型
一般地，對于擺動數列適用于并項求和，此類問題需要對項數的奇偶性進行分類討論，有些擺動型的數列也可采用分組求和．
5．倒序相加法求和適合的題型
一般情況下，數列項數較多，且距首末等距離的項之間隱含某種關系，需要結合題意主動發現這種關系，利用推導等差數列前n項和公式的方法，倒序相加求和．
　基 礎 自 測
1．等比數列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n項和Sn＝(　　)
A． B．
C． D．
2．已知數列{bn}為等比數列，且首項b1＝1，公比q＝2，則數列{b2n－1}的前10項的和為(　　)
A．×(49－1) B．×(410－1)
C．×(49－1) D．×(410－1)
3．數列1，3，5，7…的前n項和Sn為(　　)
A．n2＋1－ B．n2＋2－
C．n2＋1－ D．n2＋2－
4．已知數列an＝(n∈N*)，求{an}的前n項和Sn.
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　分組求和法
例1　已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設cn＝an＋bn，求數列{cn}的前n項和．
狀元隨筆　(1)求出等比數列{bn}的公比，再求出a1，a14的值，根據等差數列的通項公式求解．
(2)根據等差數列和等比數列的前n項和公式求數列{cn}的前n項和．
方法歸納
分組轉化法求和的常見類型
1．若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和．
2．通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．
跟蹤訓練1　已知數列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝2(n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知數列{bn}滿足b1＝－，b2＝－，設cn＝an＋bn，若數列{cn}為等比數列，求數列{bn}的前n項和Sn.
　錯位相減法求和
【思考探究】
1．由項數相等的等差數列{n}與等比數列{2n}相應項的積構成新的數列{n·2n}是等比數列嗎？是等差數列嗎？該數列的前n項和Sn的表達式是什么？
[提示]　由等差數列及等比數列的定義可知數列{n·2n}既不是等差數列，也不是等比數列．該數列的前n項和Sn的表達式為Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n兩邊同乘以數列{2n}的公比后，該等式的變形形式是什么？認真觀察兩式的結構特征，你能將求Sn的問題轉化為等比數列的前n項和問題嗎？
[提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
兩邊同乘以{2n}的公比可變形為
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此時可把求Sn的問題轉化為求等比數列{2n}的前n項和問題．我們把這種求由一個等差數列{an}和一個等比數列{bn}相應項的積構成的數列{anbn}前n項和的方法叫錯位相減法．
例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
方法歸納
錯位相減法的適用范圍及注意事項
1．適用范圍：它主要適用于{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{anbn}的前n項和．
2．注意事項：(1)利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達式時，應注意使兩式錯位對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達式．
(2)利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．
跟蹤訓練2　＋…＋＝________．
　裂項相消法
例3　已知等差數列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項和S10＝100.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn.
方法歸納
常見的裂項求和的注意點
(1)裂項前要先研究分子與分母的兩個因式的差的關系；
(2)若相鄰項無法相消，則采用裂項后分組求和，即正項一組，負項一組；
(3)檢驗所留的正項與負項的個數是否相同．
(4)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發現被消去項的規律為止．
(5)消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．
跟蹤訓練3　設Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn.
　并項求和
例4　已知數列an＝(－1)nn，求數列{an}的前n項和Sn.
延伸探究　若an＝(－1)nn2，求數列{an}的前n項和Sn.
方法歸納
并項求和法適用的題型
一般地，對于擺動數列適用于并項求和，此類問題需要對項數的奇偶性進行分類討論，有些擺動型的數列也可采用分組求和．
跟蹤訓練4　若數列{an}的通項公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a2 021＝(　　)
A．－3 027 B．3 027
C．－3 031 D．3 031
　倒序相加法求和
例5　已知正項數列{an}是公比不等于1的等比數列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若f(x)＝，則f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝(　　)
A．2 020 B．4 036
C．2 021 D．4 038
方法歸納
倒序相加法求和適合的題型
一般情況下，數列項數較多，且距首末等距離的項之間隱含某種關系，需要結合題意主動發現這種關系，利用推導等差數列前n項和公式的方法，倒序相加求和．
跟蹤訓練5　在推導等差數列前n項和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
教材反思
1．牢記1個知識點
等差、等比數列的前n項和公式．
2．掌握5種方法
(1)分組求和法；(2)錯位相減法；(3)列項相消法；(4)并項法；(5)倒序相加法．
3．注意2個易錯點
(1)運用等比數列求和性質解題時，忽視性質成立的條件出現失誤．
(2)錯誤地使用等比數列前n項和的性質致錯．
第2課時　特殊數列的前n項和
新知初探·自主學習
[基礎自測]
1．解析：當a＝1時，Sn＝n；當a≠1時，Sn＝.
答案：C
2．解析：數列{b2n－1}中的項是數列{bn}中的所有奇數項，已知數列{bn}為等比數列，故其所有的奇數項也構成等比數列，公比為4，首項為1，則其前10項的和為＝.
答案：D
3．解析：數列1，3，5，7…的通項公式為an＝2n－1＋，所以Sn＝(1＋)＋(3＋)＋(5＋)＋(7＋)＋…＋(2n－1＋)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋…＋)＝＝n2＋1－.
答案：C
4．解析：an＝＝，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1－)＋()＋…＋()
＝1－＝.
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)等比數列{bn}的公比q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
設等差數列{an}的公差為d.
因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
從而數列{cn}的前n項和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＝n2＋.
跟蹤訓練1　解析：(1)數列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝2，
所以數列{an}是等差數列，且首項為1，公差為2，
因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由已知可得c1＝a1＋b1＝1－＝，c2＝a2＋b2＝3－＝，
所以等比數列{cn}的公比為q＝＝，
所以an＋bn＝cn＝c1qn－1＝，
所以bn＝cn－an＝－(2n－1)，
因此，Sn＝(－1)＋(－3)＋(－5)＋…＋[－(2n－1)]
＝(＋…＋)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝＝1－n2－.
例2　【解析】　當x＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
當x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝.
綜上可得，Sn＝
跟蹤訓練2　解析：令Sn＝＋…＋，①
則Sn＝＋…＋，②
由①－②得，Sn＝＋…＋＝，
得Sn＝2－＝.
答案：
例3　【解析】　(1)由已知得
解得
所以數列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)bn＝＝)，
所以Tn＝(1－＋…＋)
＝(1－)＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)設數列{an}的公差為d，
由題意得
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝)．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝[(1－)＋()＋…＋()＋()]
＝(1＋)
＝)．
例4　【解析】　若n是偶數，則Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝.
若n是奇數，則Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－.
綜上所述，Sn＝n∈N＋.
延伸探究　解析：若n是偶數，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有項，
故Sn＝×3＋×4＝，
若n是奇數，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2)＝3＋7＋11＋…＋(－n2)，
其中有前項是等差數列，
故有Sn＝×3＋×4－n2＝－，
綜上所述，Sn＝n∈N＋.
跟蹤訓練4　解析：S2 021＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6 055－6 058)＋6 061＝1 010×(－3)＋6 061＝3 031.
答案：D
例5　【解析】　∵正項數列{an}是公比不等于1的等比數列，且lg a1＋lg a2 021＝0，∴lg (a1·a2 021)＝0，即a1·a2 021＝1.∵函數f(x)＝，∴f(x)＋f＝＝＝2.令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)，則T＝f(a2 021)＋f(a2 020)＋…＋f(a1)，∴2T＝f(a1)＋f(a2 021)＋f(a2)＋f(a2 020)＋…＋f(a2 021)＋f(a1)＝2×2 021，
∴T＝2 021.
【答案】　C
跟蹤訓練5　解析：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，則S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，兩式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89，故S＝，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝.
答案：

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