資源簡介

4．1.1　條件概率
[課標解讀]　結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率．
【教材要點】
知識點一　條件概率的概念
名稱 定義 符號表示 計算公式
條件 概率 一般地，當事件A發生的概率大于0時(即P(A)>0)，對于任何兩個事件A和B，在已知事件A________的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率． ________ P(B|A)＝__________，__________
狀元隨筆P (B |A)和P (A |B)的意義相同嗎？為什么？
[提示]　P (B |A)是指在事件A發生的條件下，事件B發生的概率，而P (A |B)是指在事件B發生的條件下，事件A發生的概率，因此P (B |A)和P (A |B)的意義不同．
知識點二　條件概率的性質
(1)0≤P(A|B)≤1；
(2)P(A|A)＝________；
(3)如果B與C互斥，
則P(B∪C|A)＝________________．
(4)設事件與B互為對立事件，
則P(|A)＝________．
知識點三　計算條件概率的方法
(1)若事件為古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在縮小后的樣本空間中計算事件B發生的概率．
(2)在原樣本空間Ω中，先計算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝計算求得P(B|A).
【基礎自測】
1．設A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，則P(B|A)＝(　　)
A．　　　 B． C．　　　 D．
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(A∩B)等于(　　)
A．　　　 B． C．　　 D．
3．從生物學中我們知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地認為是，如果某個家庭中先后生了兩個小孩，當已知較大的小孩是女孩的條件下，較小的小孩是男孩的概率是________．
4．設某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是________．
題型1　利用定義求條件概率
例1　一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B.
(1)分別求事件A，B，A∩B發生的概率；
(2)求P(B|A).
狀元隨筆　首先弄清“這次試驗”指的是什么，然后判斷該問題是否屬于古典概型，最后利用相應公式求解．
方法歸納
1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟
(1)分析題意，弄清概率模型；
(2)計算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在本例中，首先結合古典概型分別求出事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關系．
跟蹤訓練1　甲、乙兩市都位于長江下游，根據一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
題型2　利用古典概型公式(縮小樣本空間的方
法)求條件概率
例2　現有6個節目準備參加比賽，其中4個舞蹈節目，2個語言類節目，如果不放回地依次抽取2個節目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率．
狀元隨筆　第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結論，也可以直接利用基本事件個數求解．
方法歸納
1．本題第(3)問有兩種求條件概率的方法，方法一為定義法，方法二利用基本事件個數直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．
2．計算條件概率的方法
(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計算事件B發生的概率，即 P(B|A)＝.
(2)在原樣本空間Ω中，先計算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝計算求得P(B|A).
(3)條件概率的算法：已知事件A發生，在此條件下事件B發生，即事件A∩B發生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的基本事件空間計算事件A∩B發生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
跟蹤訓練2　(1)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到語言類節目的概率．
(2)一批同型號產品由甲、乙兩廠生產，產品結構如下表：
等級廠別數量 甲廠 乙廠 合計
合格品 475 644 1 119
次品 25 56 81
合計 500 700 1 200
先求基本事件的概率，再依據條件概率的計算公式計算．
①從這批產品中隨意地取一件，則這件產品恰好是次品的概率是________；
②已知取出的產品是甲廠生產的，則這件產品恰好是次品的概率是________．
題型3　條件概率性質的應用(邏輯推理、數學運算、數學建模)
例3　先后拋出兩枚質地均勻的骰子，已知第一枚出現4點，求第二枚出現“大于4點”的概率？
【思考探究】
1．擲一枚質地均勻的骰子，有多少個基本事件？它們之間有什么關系？隨機事件出現“大于4的點”包含哪些基本事件？
[提示]　擲一枚質地均勻的骰子，可能出現的基本事件有“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，共6個，它們彼此互斥．“大于4的點”包含“5點”“6點”兩個基本事件．
2．“先后拋出兩枚質地均勻的骰子”試驗中，已知第一枚出現4點，則第二枚出現“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示]　“第一枚4點，第二枚5點”“第一枚4點，第二枚6點”．
方法歸納
1．分解計算，代入求值，為了求比較復雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復雜事件的概率．
2．利用條件概率的性質求概率
若事件B，C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即為了求得比較復雜事件的概率，往往可以先把它分解成兩個(或若干個)互斥的較簡單事件，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復雜事件的概率．
跟蹤訓練3　在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題，若考生至少能答對其中的4道題即可通過；若至少能答對其中的5道題就獲得優秀，已知某考生能答對20道題中的10道題，并且知道他在這次考試中已經通過，求他獲得優秀的概率．
【教材反思】
4．1　條件概率與事件的獨立性
4．1.1　條件概率
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
發生　P(B|A)　　P(A)>0
知識點二
1　P(B|A)＋P(C|A)　1－P(B|A)
[基礎自測]
1．解析：由P(B|A)＝＝＝，故選A.
答案：A
2．解析：由P(B|A)＝，得P(A＝P(B|A)·P(A)＝＝.
答案：C
3．解析：如果用(F，M)表示較大的小孩是女孩，較小的小孩是男孩，則樣本空間可以表示為
Ω＝{(F，M)，(F，F)，(M，F)，(M，M)}．
“較大的小孩是女孩”對應的是A＝{(F，M)，(F，F)}，“較小的小孩是男孩”對應的是B＝{(F，M)，(M，M)}，從而“已知較大的小孩是女孩的條件下，較小的小孩是男孩”的概率為：P(B|A)＝＝.
答案：
4．解析：根據條件概率公式知P＝＝0.5.
答案：0.5
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)由古典概型的概率公式可知P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)根據條件概率的計算公式可知P(B|A)＝＝＝.
跟蹤訓練1　解析：由公式可得P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
答案：
例2　解析：設第1次抽到舞蹈節目為事件A，第2次抽到舞蹈節目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節目為事件A∩B
(1)從6個節目中不放回地依次抽取2個的事件數為n(Ω)＝＝30，
根據分步計數原理n(A)＝＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因為n(A∩B)＝＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率為
P(B|A)＝＝＝.
方法二：因為n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
跟蹤訓練2　解析：(1)設第1次抽到舞蹈節目為事件A，第2次抽到語言類節目為事件C，則第1次抽到舞蹈節目、第2次抽到語言類節目為事件A∩C.
n(A)＝＝20，
n(A∩C)＝＝8，
∴P(C|A)＝＝＝.
(2)①從這批產品中隨意地取一件，則這件產品恰好是次品的概率是＝.
②方法一：已知取出的產品是甲廠生產的，則這件產品恰好是次品的概率是＝.
方法二：設A＝“取出的產品是甲廠生產的”，B＝“取出的產品為甲廠的次品”，則P(A)＝，P(A∩B)＝，所以這件產品恰好是甲廠生產的次品的概率是P(B|A)＝＝.
答案：(1)見解析　(2)①　②
例3　解析：設第一枚出現4點為事件A，第二枚出現5點為事件B，第二枚出現6點為事件C.則所求事件為B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝.
跟蹤訓練3　解析：設事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道題答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，而另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在考試中獲得優秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型計算概率的公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A＝P(A|D)＋P(B|D)＝＝＝.故所求的概率為.4．1.2　乘法公式與全概率公式
[課標解讀]　1.結合古典概型，會利用乘法公式計算概率.2.結合古典概型，會利用全概率公式計算概率．了解貝葉斯公式．
【教材要點】
知識點一　兩個事件A、B同時發生的概率乘法公式
若P(B)>0，則P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知識點二　全概率公式
(1)一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，從而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，當P(A)>0且P()>0時，有P(B)＝________________．
(2)定理1
若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均________，即AiAj＝ ，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝________；
③P(Ai)＞0 (i＝1，2，…，n).
則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
且P(B)＝________．
知識點三　貝葉斯公式(選學內容)
1．與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因．
2．一般地，當1＞P(A)＞0且P(B)＞0時，有P(A|B)＝＝.這稱為貝葉斯公式．
【基礎自測】
1．已知P(B)＝，P(A|B)＝，則P(AB)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．已知某學校中，經常參加體育鍛煉的學生占0.6，而且在經常參加體育鍛煉的學生中，喜歡籃球的占0.3.從這個學校的學生中任意抽取一人，則抽到的學生經常參加體育鍛煉而且喜歡籃球的概率是多少？
3．(教材例題改編)為加強對新型冠狀病毒預防措施的落實，學校決定對甲、乙兩個班的學生進行隨機抽查．已知甲、乙兩班的人數之比為5∶4，其中甲班女生占，乙班女生占，則學校恰好抽到一名女生的概率為(　　)
A．　　　B. C. 　　　D.
4．設某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設第1，2車間生產的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產品，求該產品合格的概率．
題型1　概率乘法公式的應用
例1　設有1 000件產品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？(精確到0.000 1)
方法歸納
已知事件A的概率，以及已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，可以求出A、B同時發生的概率．
跟蹤訓練1　在某大型商場促銷抽獎活動中，甲、乙兩人先后進行抽獎前，還有60張獎券，其中有6張中獎獎券．假設抽完的獎券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：
(1)甲中獎而且乙也中獎的概率；
(2)甲沒中獎而且乙中獎的概率；
(3)乙中獎的概率．
題型2　全概率公式的應用
例2　已知甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球．求下列事件的概率：
(1)隨機取一只袋，再從該袋中隨機取一球，該球是紅球；
(2)合并兩只袋，從中隨機取一球，該球是紅球．
方法歸納
全概率公式，本質上是將樣本空間分成互斥的兩部分或幾部分后，再根據互斥事件的概率加法公式而得到．
跟蹤訓練2　已知市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠產品的合格率是80%，
(1)求從市場上買到一個是甲廠生產的合格燈泡的概率．
(2)市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%.若用事件A，分別表示甲、乙兩廠的產品，B表示產品為合格品．求市場上買一個燈泡的合格率．
題型3　貝葉斯公式的應用(選學)
例3　某車間用甲、乙、丙三臺機床進行生產，各種機床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產品分別占總產量的25%、35%、40%，將它們的產品組合在一起，并隨機取一件，如果取到的一件產品是次品，分別求這一產品是甲、乙、丙生產的概率．(精確到0.001)
方法歸納
貝葉斯公式可以看成要根據事件發生的結果找原因，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因，看看這一結果有各種可能原因導致的概率是多少．
跟蹤訓練3　設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
4．1.2　乘法公式與全概率公式
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點二
(1)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)　(2)互斥　Ω　
＝
[基礎自測]
1．解析：由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝＝.
答案：C
2．解析：從這個學校的學生中任意抽取一人，則抽到經常參加體育鍛煉的學生的事件為A，抽到喜歡籃球的學生為B，則P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.18.
3．解析：設A：抽到一名學生是甲班的，
B：是女生，則P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以由全概率公式可知，
P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝＝.
答案：C
4．解析：設B＝{從倉庫中隨機提出的一臺是合格品}，
Ai＝{提出的一臺是第i車間生產的}，i＝1，2，
則有B＝A1B
由題意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
課堂探究·素養提升
例1　解析：設 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i＝1，2)，所求概率為P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝·≈0.022 4.
跟蹤訓練1　解析：方法一：設A：甲中獎，B：乙中獎，則P(A)＝＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以，
(1)甲中獎而且乙也中獎的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝＝.
(2)甲沒中獎而乙中獎的概率P(B)＝P()·P(B|)＝＝.
(3)P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝＝.
方法二：(1)甲中獎而且乙也中獎的概率為＝＝.
(2)甲沒中獎而乙中獎的概率為＝＝.
(3)乙中獎的概率為＝.
例2　解析：(1)記B＝{該球是紅球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝＝.
(2)P(B)＝＝.
跟蹤訓練2　解析：(1)記A為“甲廠產品”，B為“合格產品”，
則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
(2)B＝AB＋B且AB與B互不相容．
P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905.
例3　解析：設 A1表示“產品來自甲臺機床”，A2表示“產品來自乙臺機床”，A3表示“產品來自丙臺機床”，B表示“取到次品”．根據貝葉斯公式有：
P(A1|B)＝≈0.362，
P(A2|B)＝≈0.406，
P(A3|B)＝≈0.232.
跟蹤訓練3　解析：設B＝{中途停車修理}，A1＝{經過的是貨車}，A2＝{經過的是客車}，則B＝A1B由貝葉斯公式有：
P(A1|B)＝＝＝0.80.4．1.3　獨立性與條件概率的關系
[課標解讀]　1. 結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關系.2.能夠結合具體實例，理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系．
【教材要點】
知識點一　兩個事件獨立的直觀理解
若事件A是否發生對事件B發生的概率沒有影響，事件B是否發生對事件A發生的概率也沒有影響，則稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做____________．且A，B為兩個事件獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B).
知識點二　獨立性與條件概率的關系
設A，B為兩個事件，A，B獨立的充要條件是P(B|A)＝P(B)，(P(A|B)＝P(A))即若事件B發生的概率與已知事件A發生時事件B發生的概率相等，即事件A發生，不會影響事件B發生的概率，則稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做____________．
知識點三　相互獨立事件的概率的乘法公式
若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B), P(A|B)＝P(A)，
此時概率的乘法公式可簡化為： P(AB)＝P(A)·P(B).
知識點四　n個事件相互獨立也可借助條件概率來理解
對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發生的概率不受________________的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．
知識點五　n個相互獨立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件都發生的概率，等于______________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多個事件Ai換成其對立事件后等式仍成立．
【基礎自測】
1．下列說法不正確的有(　　)
A．對事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨立
B．若事件A，B相互獨立，則P(∩)＝P()×P()
C．如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)
D．若事件A與B相互獨立，則B與相互獨立
2．拋擲3枚質地均勻的硬幣，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一個反面向上}，則A與B的關系是(　　)
A．互斥事件 B．對立事件
C．相互獨立事件 D．不相互獨立事件
3．袋內有大小相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，則A與B是(　　)
A．互斥事件 B．相互獨立事件
C．對立事件 D．非相互獨立事件
4．明天上午李明要參加“青年文明號”活動，為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設甲鬧鐘準時響的概率為0.80，乙鬧鐘準時響的概率為0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________.
題型1　相互獨立事件的判斷
例1　判斷下列各對事件是否是相互獨立事件．
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；
(3)擲一顆骰子一次，“出現偶數點”與“出現3點或6點”．
狀元隨筆
(1)利用獨立性概念的直觀解釋進行判斷. (2)計算“從8個球中任取一球是白球”發生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進行判斷. (3)利用事件的獨立性定義式判斷．
方法歸納
判斷事件是否相互獨立的方法
1．定義法：事件A，B相互獨立 P(A∩B)＝P(A)·P(B).
2．由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
3．條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷．
跟蹤訓練1　(1)下列事件中，A，B是相互獨立事件的是(　　)
A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，A＝“出現點數為奇數”，B＝“出現點數為偶數”
D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”
(2)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事件A：“甲擊中目標”，事件B：“乙擊中目標”，則事件A與事件B(　　)
A．相互獨立但不互斥
B．互斥但不相互獨立
C．相互獨立且互斥
D．既不相互獨立也不互斥
題型2　相互獨立事件發生的概率
例2　面對某種流感病毒，各國醫療科研機構都在研究疫苗，現有A，B，C三個獨立的研究機構在一定的時期內能研制出疫苗的概率分別是，，.求：
(1)他們都研制出疫苗的概率；
(2)他們都失敗的概率；
(3)他們能夠研制出疫苗的概率．
狀元隨筆
→→
方法歸納
1．求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；
(2)確定這些事件可以同時發生；
(3)求出每個事件的概率，再求積．
2．使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發生．
跟蹤訓練2　一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；
(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率．
題型3　事件的相互獨立性與互斥性
【思考探究】
1．甲、乙二人各進行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標”，B＝“乙擊中目標”，試問事件A與B是相互獨立事件，還是互斥事件？事件∩B與A∩呢？
[提示]　事件A與B，與B，A與均是相互獨立事件，而∩B與A∩是互斥事件．
2．在1中，若甲、乙二人擊中目標的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標的概率？
[提示]　“甲、乙二人恰有1人擊中目標”記為事件C，則C＝∩B＋A∩.
所以P(C)＝P(∩B＋A∩)＝P(∩B)＋P(A∩)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由1、2，你能歸納出相互獨立事件與互斥事件的區別嗎？
[提示]　相互獨立事件與互斥事件的區別
相互獨立事件 互斥事件
條件 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響 不可能同時發生的兩個事件
符號 相互獨立事件A，B同時發生，記作：AB 互斥事件A，B中有一個發生，記作：A∪B (或A ＋B)
計算公式 P(A∩B)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
例3　紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5.假設各盤比賽結果相互獨立．求：
(1)紅隊中有且只有一名隊員獲勝的概率；
(2)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率．
狀元隨筆　弄清事件“紅隊有且只有一名隊員獲勝”與事件“紅隊至少兩名隊員獲勝”是由哪些基本事件組成的，及這些事件間的關系，然后選擇相應概率公式求值．
方法歸納
1．本題(2)中用到直接法和間接法．當遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．
2．求復雜事件的概率一般可分三步進行：
(1)列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；
(2)理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；
(3)根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．
跟蹤訓練3　[2022·北京豐臺區高二月考]拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關系為(　　)
A．互斥 B．相互對立
C．相互獨立 D．相等
4．1.3　獨立性與條件概率的關系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
相互獨立事件
知識點二
相互獨立事件
知識點四
其他事件是否發生
知識點五
每個事件發生的概率的積
[基礎自測]
1．解析：若P(B|A)＝P(B)，則P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互獨立，所以A正確；若事件A，B相互獨立，則也相互獨立，故B正確；若事件A，B相互獨立，則A發生與否不影響B的發生，故C正確；B與相互對立，不是相互獨立，故D錯誤．
答案：D
2．解析：由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，滿足P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨立，故選C.
答案：C
3．解析：根據互斥事件、對立事件及相互獨立事件的概念可知，A與B不是相互獨立事件．
答案：D
4．解析：設兩個鬧鐘至少有一個準時響的事件為A，
則P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．
(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發生，則后一事件發生的概率為，可見，前一事件是否發生，對后一事件發生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件．
(3)記A：出現偶數點，B：出現3點或6點，則A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A與B相互獨立．
跟蹤訓練1　解析：(1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故A項是相互獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A.
(2)對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與B可能同時發生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.
答案：(1)A　(2)A
例2　解析：令事件A，B，C分別表示A，B，C三個獨立的研究機構在一定時期內成功研制出該疫苗，依題意可知，事件A，B，C相互獨立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他們都研制出疫苗，即事件A，B，C同時發生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝＝.
(2)他們都失敗即事件同時發生，
故P(∩∩)＝P()×P()×P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝＝.
(3)“他們能研制出疫苗”的對立事件為“他們都失敗”，結合對立事件間的概率關系可得所求事件的概率
P＝1－P(∩∩)＝1－＝.
跟蹤訓練2　解析：記“第1次取出的2個球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事件．
(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝＝＝，
故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是.
(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝＝·＝.
故第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是.
例3　解析：設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，
則分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．
因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由對立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)紅隊有且只有一名隊員獲勝的事件有D ∩∩，∩∩，∩∩F，以上3個事件彼此互斥且獨立．
∴紅隊有且只有一名隊員獲勝的概率
P1＝P[(D ∩∩∪∩E∩∪∩∩F)]
＝P(D∩∩)＋P(∩∩)＋P∩∩
＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一：紅隊至少兩人獲勝的事件有：D∩E∩，D∩∩∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，
因此紅隊至少兩人獲勝的概率為
P＝P(D∩E∩)＋P(D∩∩F)+P∩E∩F)+P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二：“紅隊至少兩人獲勝”與“紅隊最多一人獲勝”為對立事件，而紅隊都不獲勝為事件，且P(∩∩)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴紅隊至少兩人獲勝的概率為
P2＝1－P1－P(∩∩)＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟蹤訓練3　解析：顯然事件A和事件B不相等，故D錯誤，由于事件A與事件B能同時發生，所以不為互斥事件，也不為對立事件，故AB錯誤；因為事件A是否發生與事件B無關，事件B是否發生也與事件A無關，故事件A和事件B相互獨立，故C正確．
答案：C

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