資源簡介

4．2　隨機變量
4．2.1　隨機變量及其與事件的聯系
[課標解讀]　1. 通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念.2.引導學生通過具體實例，理解可以用隨機變量更好地刻畫隨機現象，感悟隨機變量與隨機事件的關系.3.理解離散型隨機變量在描述隨機現象中的作用．
【教材要點】
知識點一　隨機變量的概念
1．定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為一個隨機變量．
2．表示：隨機變量常用大寫字母________，________，Z…或小寫希臘字母ξ，ζ，η…表示．
3．隨機變量的取值范圍：隨機變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍．
4．隨機變量的取值與隨機試驗的結果的關系：隨機變量每取一個確定的值對應著試驗的不同結果，試驗的結果對應著隨機變量的值，即隨機變量的取值由隨機試驗的結果決定．
5．隨機變量的分類：
(1)離散型隨機變量：隨機變量的所有可能取值可以一一列舉出來．
(2)連續型隨機變量：隨機變量的取值范圍包含一個區間，不能一一列舉出來．
知識點二　用隨機變量表示事件
一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)當a≠b時，事件X＝a與X＝b互斥；
(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
狀元隨筆　用隨機變量表示事件與事件的概率時，有時可不寫出樣本空間．
知識點三　隨機變量之間的關系
一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量．由于X＝t的充要條件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).
【基礎自測】
1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)隨機變量的取值只能是有限個．(　　)
(2)試驗之前不能判斷離散型隨機變量的所有值．(　　)
(3)隨機變量是用來表示不同試驗結果的量．(　　)
2．在擲一枚質地均勻的骰子試驗中，“出現的點數”是一個隨機變量，它有________個取值(　　)
A．2　　　 B．4 C．6　　　 D．7
3．袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量X，則X所有可能取值的個數是________．
4．甲進行3次射擊，甲擊中目標的概率為，記甲擊中目標的次數為ξ，則ξ的可能取值為________．
題型1　隨機變量的概念
例1　下列變量中，不是隨機變量的是(　　)
A．一射擊手射擊一次命中的環數
B．標準狀態下，水沸騰時的溫度
C．拋擲兩枚骰子，所得點數之和
D．某電話總機在時間區間(0，T)內收到的呼叫次數
方法歸納
隨機變量的辨析方法
1．隨機試驗的結果具有可變性，即每次試驗對應的結果不盡相同．
2．隨機試驗的結果具有確定性，即每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果．
如果一個隨機試驗的結果對應的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機變量．
跟蹤訓練1　10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是(　　)
A．取到產品的件數 B．取到正品的概率
C．取到次品的件數 D．取到次品的概率
題型2　離散型隨機變量的判定
例2　①某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X；
②某人射擊2次，擊中目標的環數之和記為X；
③體積為1 000 cm3的球的半徑長；
④一個在數軸上隨機運動的質點，它離原點的距離記為X.
其中是離散型隨機變量的是(　　)
A．①②　　 B．①③
C．①④　　 D．①②④
【方法歸納】
“三步法”判定離散型隨機變量
1．依據具體情境分析變量是否為隨機變量．
2．由條件求解隨機變量的值域．
3．判斷變量的取值能否被一一列舉出來，若能，則是離散型隨機變量；否則，不是離散型隨機變量．
跟蹤訓練2　下列問題中的X不是離散型隨機變量的是(　　)
A．某座大橋一天經過的中華轎車的車輛數X
B．某網站中歌曲《愛我中華》一天內被點擊的次數X
C．一天內的溫度X
D．射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分
題型3　隨機變量的可能取值與事件的對應關系
【思考探究】　
1．拋擲一枚質地均勻的硬幣，可能出現正面向上、反面向上兩種結果．這種試驗結果能用數字表示嗎？
[提示]　可以．用數字1和0分別表示正面向上和反面向上．
2．在一塊地里種10棵樹苗，設成活的樹苗數為X，則X可取哪些數字？
[提示]　X＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
3．拋擲一枚質地均勻的骰子，出現向上的點數為ξ，則“ξ≥4”表示的隨機事件是什么？
[提示]　“ξ≥4”表示出現的點數為4點，5點，6點．
例3　寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值和所表示的事件．
(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數；
(2)從標有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數字之和．
　→→
方法歸納
用隨機變量表示事件
問題的關鍵點和注意點
(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值時對應的意義，即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果．
(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結果．
跟蹤訓練3　寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
(1)在2018年北京大學的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數X；
(2)射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示．
題型4　隨機變量之間的關系
例4　袋中有4個紅球、3個黑球，從袋中隨機取球，若取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．
(1)設取得紅球個數為X，求X的所有取值；
(2)設得分為Y，寫出X與Y之間的關系式．
方法歸納
先求隨機變量X的取值及相應概率，再求隨機變量X與Y的關系(Y＝at＋b，a，b為常數).
跟蹤訓練4　在一次比賽中需回答三個問題，比賽規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．
(1)設選手甲正確回答這三個問題的個數為X，則X的取值是多少？
(2)選手甲回答這三個問題的總得分Y的所有可能取值是多少？
(3)若P(X>1)＝0.6，求P(Y≤－100).
4．2　隨機變量
4．2.1　隨機變量及其與事件的聯系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
X　Y
[基礎自測]
1．解析：(1)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．
(2)試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值．
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：因為擲一枚質地均勻的骰子試驗中，所有可能結果有6個，故“出現的點數”這一隨機變量的取值為6個．
答案：C
3．解析：由于抽球是在有放回條件下進行的，所以每次抽取的球號均可能是1，2，3，4，5中某個．故兩次抽取球號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種．
答案：9
4．解析：甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
答案：0，1，2，3
課堂探究·素養提升
例1　解析：B項中水沸騰時的溫度是一個確定值．
答案：B
跟蹤訓練1　解析：A中取到產品的件數是一個常量不是變量，B，D也是一個定值，而C中取到次品的件數可能是0，1，2，是隨機變量．
答案：C
例2　解析：①②中變量X所有可能的取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機變量，而③不是隨機變量，④中的結果不能一一列出，故不是離散型隨機變量．
答案：A
跟蹤訓練2　解析：根據離散型隨機變量的概念，ABD選項是離散型隨機變量．
答案：C
例3　解析：(1)設所需的取球次數為X，則
X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，…，11.
(2)設所取卡片上的數字和為X，則X＝3，4，5，…，11.
X＝3，表示“取出標有1，2的兩張卡片”；
X＝4，表示“取出標有1，3的兩張卡片”；
X＝5，表示“取出標有2，3或標有1，4的兩張卡片”；
X＝6，表示“取出標有2，4或1，5的兩張卡片”；
X＝7，表示“取出標有3，4或2，5或1，6的兩張卡片”；
X＝8，表示“取出標有2，6或3，5的兩張卡片”；
X＝9，表示“取出標有3，6或4，5的兩張卡片”；
X＝10，表示“取出標有4，6的兩張卡片”；
X＝11，表示“取出標有5，6的兩張卡片”．
跟蹤訓練3　解析：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，
X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.
(2)ξ可能取值為0，1，
當ξ＝0時，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標；
當ξ＝1時，表明該射手在本次射擊中擊中目標．
例4　解析：(1)設取得紅球個數為X，
求X的所有取值為1，2，3，4.
(2)依題意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4.
跟蹤訓練4　解析：(1)X的取值是0，1，2，3；
(2)可能有全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結果，相應得分為300分，100分，－100分，－300分．
(3)因為Y＝100X－100(3－X)＝200X－300，由X>1得Y>－100，所以P(X>1)＝P(Y>－100)＝0.6；P(Y≤－100)＝1－P(Y>－100)＝0.4.4．2.2　離散型隨機變量的分布列
[課標解讀]　1.通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列.2.通過具體實例，了解伯努利試驗并能解決簡單的實際問題.3.應在引導學生利用所學知識解決一些實際問題的基礎上，適當進行嚴格、準確的描述．
【教材要點】
知識點一　離散型隨機變量的分布列定義
要掌握一個離散型隨機變量X的取值規律，必須知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；
(2)X取每一個值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表稱為離散型隨機變量X的________，或稱為離散型隨機變量X的________．
知識點二　離散型隨機變量的分布列性質
(1)pi____0，i＝1，2，3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝____．
知識點三　隨機變量X與隨機變量Y＝aX＋b的分布列的關系
一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量．由于X＝t的充要條件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)，所以它們分布列的第二行的概率值是一樣的．
知識點四　兩點分布
如果隨機變量X的分布列為
X 0 1
P ____ ____
其中0＜p＜1，q＝1－p，則稱離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布．
【基礎自測】
1．設某項試驗成功的概率是失敗概率的2倍，記Y＝則P(Y＝0)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
2．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
則常數a的值為(　　)
A. B．
C.或 D．－或－
3．已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1，2，….則P(2＜X≤4)等于(　　)
A. B．
C. D．
4．隨機變量η的分布列如下：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
則x＝________，P(η≤3)＝________．
題型1　分布列及其性質的應用
例1　設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
狀元隨筆　先由分布列的性質求a，再根據X ＝1或X ＝2，方法歸納
利用分布列及其性質解題時要注意以下兩個問題：
(1)X的各個取值表示的事件是互斥的．
(2)不僅要注意所有概率和等于1，而且要注意pk≥0，k＝1，2，…，n.
跟蹤訓練1　若離散型隨機變量X的分布列為：
X 0 1
P 4a－1 3a2＋a
求常數a及相應的分布列．
題型2　求離散型隨機變量的分布列
例2　(1)口袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3個球，用X表示取出的最大號碼，求X的分布列．
狀元隨筆　X的可能取值為3，4，5，6，是離散型隨機變量．可以利用組合數公式與古典概型概率公式求各種取值的概率．
(2)設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列．
方法歸納
1．求離散型隨機變量的分布列的步驟
(1)找出隨機變量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n).
(2)求出取每一個值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求離散型隨機變量分布列時應注意的問題
(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要搞清ξ取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．對于隨機變量ξ取值較多時，應由簡單情況先導出一般的通式，從而簡化過程．
(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質，這樣不但可以減少運算量，還可驗證分布列是否正確．
跟蹤訓練2　(1)[2022·山東高二課時練習]已知隨機變量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若Y＝2X－3，則P(Y＝5)的值為________．
(2)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位游客游覽這3個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且游客是否游覽哪個景點互不影響，用ξ表示該游客離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值，求ξ的分布列．
題型3　兩點分布
【思考探究】　
1．利用隨機變量研究一類問題，如抽取的獎券是否中獎，買回的一件產品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些問題有什么共同點？
[提示]　這些問題的共同點是隨機試驗只有兩個可能的結果．定義一個隨機變量，使其中一個結果對應于1，另一個結果對應于0，即得到服從兩點分布的隨機變量．
2．只取兩個不同值的隨機變量是否一定服從兩點分布？
[提示]　不一定．如隨機變量X的分布列由下表給出
X 2 5
P 0.3 0.7
X不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1.
例3　袋內有10個白球，5個紅球，從中摸出2個球，記X＝求X的分布列．
狀元隨筆　X只有兩個可能取值，屬于兩點分布，應用概率知識求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
方法歸納
兩步法判斷一個分布是否為兩點分布
1．看取值：隨機變量只取兩個值0和1.
2．驗概率：檢驗P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一個分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則不是兩點分布．
跟蹤訓練3　若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 2a 3a
則a＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
教材反思
4．2.2　離散型隨機變量的分布列
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
概率分布　分布列
知識點二
(1)≥　(2)1
知識點四
q　p
[基礎自測]
1．解析：由題意知，可設P(Y＝1)＝p，則P(Y＝0)＝1－p，
又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.
答案：C
2．解析：由離散型隨機變量分布列的性質可得
解得a＝.
答案：A
3．解析：2＜X≤4時，X＝3，4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＝.
答案：A
4．解析：由分布列的性質得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0　0.55
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)∵＝1，
∴a＝10，
則P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＝.
跟蹤訓練1　解析：由分布列的性質可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此時4a－1＝，3a2＋a＝.
所以隨機變量X的分布列為：
X 0 1
P
例2　解析：(1)隨機變量X的可能取值為3，4，5，6.
從袋中隨機取3個球，包含的基本事件總數為，事件“X＝3”包含的基本事件總數為，事件“X＝4”包含的基本事件總數為，事件“X＝5”包含的基本事件總數為，事件“X＝6”包含的基本事件總數為.
從而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以隨機變量X的分布列為
X 3 4 5 6
P
(2)由分布列的性質知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
首先列表為
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
從而由上表得兩個分布列為
①2X＋1的分布列為：
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②|X－1|的分布列為：
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
跟蹤訓練2　解析：(1)當Y＝5時，由2X－3＝5得X＝4，所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.
(2)設游客游覽甲、乙、丙景點分別記為事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互獨立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游覽的景點數可能取值為0，1，2，3，相應的游客沒有游覽的景點數可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3.
則P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)+P)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P()
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列為：
ξ 1 3
P 0.76 0.24
答案：(1)0.2　(2)見解析
例3　解析：由題設可知X服從兩點分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列為
X 0 1
P
跟蹤訓練3　解析：由離散型隨機變量分布列的性質可知，2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：C4．2.3　二項分布與超幾何分布
[課標解讀]　1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布，并能解決簡單的實際問題.2.通過具體實例，了解超幾何分布，并能解決簡單的實際問題.3.掌握兩個基本概率模型及其應用，進一步深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用．
【教材要點】
知識點一　n次獨立重復試驗
在相同的條件下，__________試驗，各次試驗的結果________，那么一般就稱它們為n次獨立重復試驗．
知識點二　二項分布
若將事件A發生的次數設為X，發生的概率為p，不發生的概率q＝1－p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0，1，2，…，n)，
于是得到X的分布列
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0
由于表中的第二行恰好是二項式展開式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量X服從參數為n，p的二項分布，記作________________．
知識點三　超幾何分布
設有總數為N件的兩類物品，其中一類有M件(M【基礎自測】
1.獨立重復試驗滿足的條件是________．(填序號)
①每次試驗之間是相互獨立的；
②每次試驗只有發生和不發生兩種情況；
③每次試驗中發生的概率是相等的；
④每次試驗發生的條件是相同的．
2．一枚硬幣連擲三次，只有一次出現正面的概率為________．
3．設10件產品中有3件次品，現從中抽取5件，則表示(　　)
A．5件產品中有3件次品的概率
B．5件產品中有2件次品的概率
C．5件產品中有2件正品的概率
D．5件產品中至少有2件次品的概率
4．下列隨機變量X不服從二項分布的是(　　)
A．投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數為6出現的次數
B．某射手射中目標的概率為p，設每次射擊是相互獨立的，X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數
C．實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數
D．某星期內，每次下載某網站數據被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數據電腦被病毒感染的次數
題型1　獨立重復試驗中的概率問題
例1　(1)某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標之間沒有影響，有下列結論：
①他三次都擊中目標的概率是0.93；
②他第三次擊中目標的概率是0.9；
③他恰好2次擊中目標的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未擊中目標的概率是3×0.9×0.12.
其中正確結論的序號是________．(把正確結論的序號都填上)
(2)某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數點后面第2位)：
①5次預報中恰有2次準確的概率；
②5次預報中至少有2次準確的概率；
③5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率．
方法歸納
獨立重復試驗概率求法的三個步驟
1．判斷：依據n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗．
2．分拆：判斷所求事件是否需要分拆．
3．計算：就每個事件依據n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．
跟蹤訓練1　甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為，沒有平局．若進行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為________.
題型2　二項分布
例2　一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.
求這名學生在途中遇到紅燈的次數ξ的分布列．
狀元隨筆　首先判斷ξ是否服從二項分布，再求分布列．
方法歸納
1．本例屬于二項分布，當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p)中的試驗次數n與成功概率p.
2．解決二項分布問題的兩個關注點
(1)對于公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用，否則不能應用該公式．
(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．
跟蹤訓練2　在一次數學考試中，第14題和第15題為選做題．規定每位考生必須且只需在其中選做一題．設4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響．設這4名考生中選做第15題的人數為ξ名，求ξ的分布列．
題型3　超幾何分布的分布列
例3　在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現從中取3個，求取出的球中白球個數X的分布列．
　→→
方法歸納
求超幾何分布的分布列時，關鍵是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相應取值的概率，最后寫出分布列．
跟蹤訓練3　袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機抽取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
題型4　獨立重復試驗與二項分布綜合應用
【思考探究】
1．王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項中隨機選一個答案，他做對的結果數服從二項分布嗎？兩點分布與二項分布有何關系？
[提示]　做一道題就是做一次試驗，做對的次數可以為0次、1次，它服從二項分布．兩點分布就是一種特殊的二項分布，即是n＝1的二項分布．
2．王明做5道單選題，每道題都隨機選一個答案，那么他做對的道數服從二項分布嗎？為什么？
[提示]　服從二項分布．因為每道題都是隨機選一個答案，結果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復做了5次，做對的道數就是5次試驗中“做對”這一事件發生的次數，故他做對的“道數”服從二項分布．
3．王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機選一個答案，他做對的道數服從二項分布嗎？如何判斷一隨機變量是否服從二項分布？
[提示]　不服從二項分布．因為會做的兩道題做對的概率與隨機選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點．判斷一個隨機變量是否服從二項分布關鍵是看它是否是n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布．
例4　甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．
(1)求隨機變量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).
狀元隨筆　(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ服從二項分布，其中n＝3，p＝.
(2)AB表示事件A，B同時發生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分．
方法歸納
對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發生，還是同時發生，分別運用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解．
跟蹤訓練4　已知某種從太空飛船中帶回來的植物種子每粒成功發芽的概率都為，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發芽，則稱該次試驗是失敗的．
(1)第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數為X，求X的分布列；
(2)第二小組進行試驗，直到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率．
題型5　二項分布與超幾何分布的綜合應用
例5　在一次購物抽獎活動中，假設抽獎箱中10張獎券，其中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．
(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，看完結果后放回抽獎箱，
①若只允許抽獎一次，求中獎次數X的分布列；
②若只允許抽獎二次，求中獎次數X的分布列．
(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，求顧客乙中獎的概率．
狀元隨筆　(1)從10張獎券中抽取1張，其結果有中獎和不中獎兩種，故X～B (1，P).從10張獎券中有放回的抽取2張，每次有中獎和不中獎兩種，故X～B (2，p)；
(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數X(X ＝1, 2)服從超幾何分布．
方法歸納
區別超幾何分布與二項分布問題的兩個關鍵點
1．判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布時，關鍵是從總數為N件的甲乙兩類元素，其中甲類元素數目M件，從所有元素中一次任取n件，這n件中含甲類元素數目X服從超幾何分布．
2．判斷一個隨機變量是否服從二項分布關鍵是看它是否是n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布．本題有放回的抽獎就屬于二項分布．
跟蹤訓練5　盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機依次取出2個球，則有放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________，不放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________．
教材反思
4．2.3　二項分布與超幾何分布
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
重復地做n次　相互獨立
知識點二
pkqn－k　X～B(n，p)
知識點三
P(X＝m)＝
[基礎自測]
1．解析：由n次獨立重復試驗的定義知①②③④正確．
答案：①②③④
2．解析：拋擲一枚硬幣出現正面的概率為，由于每次試驗的結果不受影響，故由獨立重復試驗可知，所求概率為P＝＝.
答案：
3．解析：根據超幾何分布的定義可知表示從3件次品中任選2件表示從7件正品中任選3件，故選B.
答案：B
4．解析：選項A：試驗出現的結果只有兩個，點數為6和點數不為6，且點數為6的概率在每一次試驗中都為，每一次試驗都是獨立的，故隨機變量X服從二項分布；選項B：雖然每一次試驗的結果只有兩個，且每一次試驗都是相互獨立的，且概率不發生變化，但隨機變量X的取值不確定，故隨機變量X不服從二項分布；選項C：甲、乙獲勝的概率一定，且和為1，進行5次比賽，相當于進行了5次獨立重復試驗，故X服從二項分布；選項D：由二項分布的定義可知，X～B(n，0.3)．
答案：B
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)三次射擊是三次獨立重復試驗，故正確結論的序號是①②④.
(2)①記預報一次準確為事件A，則P(A)＝0.8.
5次預報相當于5次獨立重復試驗，
2次準確的概率為P＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05.
②“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，
其概率為P＝×(0.2)5＋×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率為1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次預報中至少有2次準確的概率約為0.99.
③說明第1，2，4，5次中恰有1次準確．
所以概率為P＝×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，
所以恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率約為0.02.
答案：(1)①②④　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：“甲獲勝”分兩類：①甲連勝兩局；②前兩局中甲勝一局，并勝最后一局．即P＝＝.
答案：
例2　解析：ξ～B，ξ的分布列為P(ξ＝k)
＝，k＝0，1，2，3，4，5.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4 5
P
跟蹤訓練2　解析：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B.
∴P(ξ＝k)＝
＝(k＝0，1，2，3，4)．
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
例3　解析：X的可能取值是1，2，3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列為
X 1 2 3
P
跟蹤訓練3　解析：(1)從袋中任取4個球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5，6，7，8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列為：
X 5 6 7 8
P
(2)根據隨機變量X的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝.
例4　解析：(1)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝]＝，
P(D)＝＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＝＝.
跟蹤訓練4　解析：(1)由題意，隨機變量X可能取值為0，1，2，3，
則X～B(3，)．即P(X＝0)＝(1－)3＝，
P(X＝1)＝(1－)2＝，
P(X＝2)＝(1－)1＝，
P(X＝3)＝(1－)0＝.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗，3次成功，每次試驗又是相互獨立的，
因此所求概率為P＝(1－)3×＝.
例5　解析：(1)①抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．
P(X＝1)＝＝＝，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列為
X 0 1
P
②從10張獎券中有放回的抽取2張，每次有中獎和不中獎兩種，故X～B
X 0 1 2
P
(2)顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎．
故所求概率P＝＝＝.
跟蹤訓練5　解析：若放回抽取，設取得紅球的個數為X，則X～B(2，)，取出2個顏色不同的球即事件“X＝1”，所以P(X＝1)＝＝.
若不放回抽取，設取得紅球的個數為Y，則Y～H(5，2，3)，所以取到的2個球顏色不同的概率P＝＝.
答案：4．2.4　隨機變量的數字特征(1)
[課標解讀]　1.通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值).2.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.3.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　隨機變量的數學期望的定義
一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對應的概率是p1，p2，…，pn，則E(X)＝________________叫做這個離散型隨機變量X的均值或數學期望(簡稱期望).
知識點二　隨機變量的數學期望的意義
刻畫了離散型隨機變量的____________．
知識點三　兩點分布、二項分布的數學期望
名稱 兩點分布 二項分布 超幾何分布
公式 E(X)＝____ E(X)＝____ E(X)＝________
知識點四　隨機變量的數字特征的性質
如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量；則E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
【基礎自測】
1．已知離散型隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3
P
則X的數學期望E(X)＝________．
2．設E(X)＝10，則E(3X＋5)＝________．
3．若隨機變量X服從二項分布B，則E(X)的值為________．
4．籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率為0.8，則罰球一次得分X的期望是________．
題型1　離散型隨機變量的數學期望的概念及應用
例1　已知隨機變量X的分布列如表：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y).
狀元隨筆　由分布列的性質求得m，再利用均值公式求E (X)，然后利用均值的性質求解E (Y).
方法歸納
1．求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后利用均值公式求E(X).
2．對于aX＋b型的隨機變量求均值的方法
(1)利用均值的性質求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．
跟蹤訓練1　已知隨機變量ξ的分布列為
ξ －1 0 1
P m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，則a＝(　　)
A．－1　　 B．－2 C．－3　　 D．－4
題型2　超幾何分布的均值
例2　[2022·江蘇無錫高二月考]設10件產品中含有3件次品，從中抽取2件進行調查，求抽得次品數的數學期望．
方法歸納
先確定分布類型，可以求出分布列后再用定義求均值，也可以直接利用超幾何分布的均值公式求解．
跟蹤訓練2　設ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P
又設η＝2ξ＋5，則E(η)等于(　　)
A. B．
C. D．
題型3　兩點分布與二項分布的數學期望
例3　某運動員投籃命中率為p＝0.6.
(1)求投籃1次時命中次數X的數學期望；
(2)求重復5次投籃時，命中次數Y的數學期望．
狀元隨筆　(1)利用兩點分布求解．(2)利用二項分布的數學期望公式求解．
方法歸納
1．常見的兩種分布的均值
設p為一次試驗中成功的概率，則
(1)兩點分布E(X)＝p；
(2)二項分布E(X)＝np.
熟練應用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度．
2．兩點分布與二項分布辨析
(1)相同點：一次試驗中要么發生要么不發生．
(2)不同點：
①隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0，1，二項分布中隨機變量的取值x＝0，1，2，…，n.
②試驗次數不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗．
跟蹤訓練3　(1)某種種子每粒發芽的概率為0.9，現播種了1 000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，每個坑至多補種一次，補種的種子數記為X，則X的數學期望為(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
(2)已知某離散型隨機變量X服從的分布列如下，則隨機變量X的數學期望E(X)等于(　　)
X 0 1
P m 2m
A. B．
C. D．
題型4　期望的實際應用(數學建模、數據分析、數學運算)
例4　某中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘．由于下雨會影響藥材品質，基地收益如表所示：
周一 無雨 無雨 有雨 有雨
周二 無雨 有雨 無雨 有雨
收益 20萬元 15萬元 10萬元 7.5萬元
若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；
(2)該基地是否應該外聘工人，請說明理由．
狀元隨筆　1.條件：(1)藥材需在兩天內采摘完畢且基地員工一天只完成一處采摘；(2)給出了基地收益與天氣的關系表格；(3)給出外聘工人的收益情況．
2．結論：(1)求基地收益X的分布列及基地預期收益；(2)該基地是否外聘工人作出決策．
3．思路：(1)列出基地收益X的取值及求出相應概率，按求隨機變量均值的步驟求解；(2)求出外聘工人時的預期收益，與不外聘工人的預期收益比較，通過討論外聘工人的成本解決問題．
方法歸納
均值實際應用問題的解題策略
首先應把實際問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應的數學期望，并根據期望的大小作出判斷．
跟蹤訓練4　甲、乙兩射擊運動員進行射擊比賽，射擊相同的次數，已知兩運動員擊中的環數X穩定在7，8，9，10環．將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示．
(1)根據這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環的概率P(X乙＝8)，以及甲擊中9環以上(包括9環)的概率；
(2)根據這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環數誰大).
教材反思
4．2.4　隨機變量的數字特征(1)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi
知識點二
平均取值
知識點三
p　np　
[基礎自測]
1．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
2．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
答案：35
3．解析：E(X)＝np＝4×＝.
答案：
4．解析：因為P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案：0.8
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)由隨機變量分布列的性質，得＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如表：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
跟蹤訓練1　解析：由分布列的性質得＋m＝1，所以m＝.所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝.所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝a＋3＝，得a＝－2.
答案：B
例2　解析：設抽得次品數為X，則隨機變量X的可能取值有0、1、2，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P＝＝，
所以，隨機變量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
跟蹤訓練2　解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
答案：D
例3　解析：(1)投籃1次，命中次數X的分布列如下表：
X 0 1
P 0.4 0.6
則E(X)＝0.6.
(2)由題意，重復5次投籃，命中的次數Y服從二項分布，即Y～B(5，0.6)，則E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
跟蹤訓練3　解析：(1)由題意可知，補種的種子數記為X，X服從二項分布，即X～B(1 000，0.1)，所以不發芽種子的數學期望為1 000×0.1＝100.所以補種的種子數的數學期望為2×100＝200.
(2)由題意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.
答案：(1)B　(2)D
例4　解析：(1)設下周一無雨的概率為p，由題意得p2＝0.36，p＝0.6.基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為：
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的預期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，
所以基地的預期收益為14.4萬元．
(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)萬元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，
綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．
跟蹤訓練4　解析：(1)由題圖乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因為E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，則有E(X甲)>E(X乙)，所以估計甲的水平更高．4．2.4　隨機變量的數字特征(2)
[課標解讀]　1.通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(方差).2.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.3.通過具體實例，了解超幾何分布及其方差，并能解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　離散型隨機變量的方差與標準差
名稱 定義 意義
方差 一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xn，這些值對應的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝________________________________________，叫做這個離散型隨機變量X的方差． 離散型隨機變量的方差和標準差反映了離散型隨機變量取值相對于期望的____________(或說離散程度) .
標準差 D(X)的算術平方根叫做離散型隨機變量X的標準差．
知識點二　服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差
(1)若X服從兩點分布，則D(X)＝________；
(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝________．
知識點三　隨機變量的數字特征的性質
如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量；D(Y)＝a2D(X).
【基礎自測】
1．下列說法正確的有________．(填序號)
①離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；
②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的波動水平；
④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的波動水平．
2．設一隨機試驗的結果只有A和且P(A)＝m，令隨機變量ξ＝則ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
3．已知X的分布列為：
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
則D(X)等于(　　)
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
4．已知隨機變量X，D(X)＝，則X的標準差為________.
題型1　離散型隨機變量的方差的概念及應用
例1　(1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數，求X的方差．
(2)已知X的分布列如表：
X －1 0 1
P a
①計算X的方差；
②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
狀元隨筆　(1)先列出隨機變量X的分布列，再用定義求出方差即可．
(2)利用分布列的性質求出a值，再利用方差公式及性質求解．
方法歸納
1．定義法求離散型隨機變量X的方差的步驟
(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；
(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；
(3)根據分布列，由期望的定義求出E(X)；
(4)根據公式計算方差．
2．性質法求離散型隨機變量X的方差
應用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求離散型隨機變量X的方差，既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數的計算，從而簡化了計算過程．
跟蹤訓練1　設在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數．
(1)求X的分布列、均值及方差；
(2)求Y的分布列、均值及方差．
題型2　兩點分布與二項分布的數學方差
例2　某廠一批產品的合格率是98%.
(1)計算從中抽取一件產品為正品的數量的方差；
(2)從中有放回地隨機抽取10件產品，計算抽出的10件產品中正品數的方差及標準差．
狀元隨筆　(1)利用兩點分布求解．(2)利用二項分布的數學期望、方差公式求解．
方法歸納
1．常見的兩種分布的均值與方差
設p為一次試驗中成功的概率，q＝1－p則
(1)兩點分布E(X)＝p；D(X)＝pq
(2)二項分布E(X)＝np；D(X)＝npq
熟練應用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度．
2．兩點分布與二項分布辨析
(1)相同點：一次試驗中要么發生要么不發生．
(2)不同點：
①隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0，1，二項分布中隨機變量的取值x＝0，1，2，…，n.
②試驗次數不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗．
跟蹤訓練2　(1)某運動員投籃命中率p＝0.8，則該運動員在一次投籃中命中次數X的方差為________.
(2)為防止風沙危害，某地政府決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數，已知E(X)＝3，D(X)＝，則n＝______________，p＝________．
題型3　方差的綜合應用
【思考探究】　
1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產一批數量較大的產品時，出次品的概率如下表：
A機床
次品數X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B機床
次品數X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
試求E (X1)，E (X2).
[提示]　E (X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E (X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在1中，由E (X1)和E (X2)的值能比較兩臺機床的產品質量嗎？為什么？
[提示]　不能．因為E (X1)＝E (X2).
3．在1中，試想利用什么指標可以比較A，B兩臺機床加工質量？
[提示]　利用樣本的方差．方差越小，加工的質量越穩定．
例3　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環數大于6環，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術．
狀元隨筆　(1)由分布列的性質先求出a和乙射中7環的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環數的數學期望，然后再看其方差值．
方法歸納
利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟
1．比較均值．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．
2．在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發揮相對穩定．
3．下結論．依據方差的幾何意義做出結論．
跟蹤訓練3　甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等．兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別為：
甲保護區：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保護區：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
試評定這兩個保護區的管理水平．
教材反思
4．2.4　隨機變量的數字特征(2)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝pi 平均波動大小
知識點二
(1)p(1－p)　(2)np(1－p)
[基礎自測]
1．解析：①錯誤．因為離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
②錯誤．因為離散型隨機變量X的方差D(X)反映了隨機變量偏離于期望的平均程度．
③錯誤．因為離散型隨機變量的方差D(X)反映了X取值的波動水平，而隨機變量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
④正確．由方差的意義可知．
答案：④
2．解析：隨機變量ξ服從兩點分布，所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
答案：D
3．解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
答案：B
4．解析：X的標準差＝ ＝.
答案：
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)由題意，X的可能取值為0，1，2，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2.
X的分布列為：
X 0 1 2
P
所以X的均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
所以X的方差為D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
(2)由分布列的性質，知＋a＝1，故a＝.
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
①X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
②因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
跟蹤訓練1　解析：(1)X的可能值為0，1，2.若X＝0，表示沒有取出次品，其概率為P(X＝0)＝＝，
同理，有P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列為：
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
(2)Y的可能值為1，2，3，顯然X＋Y＝3.
P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.
所以Y的分布列為
Y 1 2 3
P
所以Y＝－X＋3，所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，D(Y)＝(－1)2D(X)＝.
例2　解析：(1)用ξ表示抽得的正品數，則ξ＝0，1.
ξ服從兩點分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品數，則X～B(10，0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
標準差為≈0.44.
跟蹤訓練2　解析：(1)依題意知：X服從兩點分布，
所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.
(2)由題意知，X服從二項分布B(n，p)，
由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，所以p＝，n＝6.
答案：(1)0.16　(2)6　
例3　解析：(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因為乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分別為
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)跟蹤訓練3　解析：甲保護區的違規次數X的數學期望和方差分別為：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保護區的違規次數Y的數學期望和方差分別為：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因為E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護區內每季度發生的平均違規次數是相同的，但乙保護區內的違規事件次數更集中和穩定，而甲保護區的違規事件次數相對分散，故乙保護區的管理水平較高．4．2.5　正態分布
[課標解讀]　1.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量．通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征.2.了解正態分布的均值、方差及其含義.3.了解正態分布的作用，進一步深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用．
【教材要點】
知識點一　二項分布與正態曲線
當n充分大時，X～B(n，p)的直觀表示總是具有中間高、兩邊低的“鐘形”．一般地φ(x)＝對應的圖像稱為正態曲線，具有類似的特點．
知識點二　正態曲線及正態曲線的性質
1．正態變量的概率密度函數的圖像叫做正態曲線
正態變量概率密度曲線的函數表達式為φ(x)＝______________________.
其中μ，σ是參數，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分別為正態變量的________和________．
2．正態曲線的性質
(1)曲線在________的上方，并且關于直線________對稱；
(2)曲線在________時處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，呈現“________，________”的形狀；
(3)曲線的形狀由參數σ確定，________，曲線越“矮胖”；________，曲線越“高瘦”．
知識點三　正態分布
一般地，如果隨機變量X落在區間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態曲線與x軸在區間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數為μ與σ的正態分布．記作：X～N(μ，σ2).
知識點四　正態總體在三個特殊區間的概率
1．正態總體在三個特殊區間內取值的概率值
若X～N(μ，σ2)(σ>0)，則
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________．
上述結果可用圖表示如下：
2．3σ原則
由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997知，正態變量X在區間[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率為0.3%.于是若X～N(μ，σ2)，則正態變量X的取值幾乎都在距x＝μ三倍標準差之內，即在區間[μ－3σ，μ＋3σ]內，這就是正態分布的3σ原則．
知識點五　標準正態分布
(1)標準正態分布的定義：____________的正態分布稱為標準正態分布．
(2)Φ(a)的概念：如果____________，那么對于任意a，通常記Φ(a)＝P(X(3)Φ(a)的性質：Φ(－a)＋Φ(a)＝________．
【基礎自測】
1．下列判斷正確的是________．
(1)正態分布變量函數表達式中參數μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．
(2)服從正態分布的隨機變量是連續型隨機變量．
(3)正態曲線是一條鐘形曲線．
(4)離散型隨機變量的概率分布規律用分布密度曲線描述，連續型隨機變量的概率分布用分布列描述．
2．把一條正態曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到一條新的曲線b，下列說法中不正確的是________．(填序號)
①曲線b仍然是正態曲線；
②曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等；
③以曲線b為正態分布的總體的方差比以曲線a為正態分布的總體的方差大2；
④以曲線b為正態分布的總體的均值比以曲線a為正態分布的總體的均值大2.
3．關于正態分布N(μ，σ2)(σ>0)，下列說法正確的是________．(填序號)
①隨機變量落在區間長度為3σ的區間之外是一個小概率事件；
②隨機變量落在區間長度為6σ的區間之外是一個小概率事件；
③隨機變量落在(－3σ，3σ)之外是一個小概率事件；
④隨機變量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一個小概率事件．
4．在某項測量中，測量結果X服從正態分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)內取值的概率為0.4，則X在(0，2)內取值的概率為________．
題型1　正態分布的概念及正態曲線的性質
例1　如圖所示是一個正態曲線，試根據該圖像寫出其正態分布的概率密度函數的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．
給出了一個正態曲線，就給出了該曲線的對稱軸和最大值，從而就能求出總體隨機變量的期望、標準差及解析式．
方法歸納
利用正態曲線的性質可以求參數μ，σ，具體方法如下：
(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質結合圖像求μ.
(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值，由此性質結合圖像可求σ.
跟蹤訓練1　(1)設兩個正態分布N(μ1，)(σ1>0)和N(μ2，)(σ2>0)的密度函數圖像如圖所示，則有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)如圖所示是正態分布N(μ，)，N(μ，)，N(μ，)(σ1，σ2，σ3>0)相應的曲線，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是(　　)
A.σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
題型2　服從正態分布變量的概率問題
例2　(1)已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某項測量中，測量結果服從正態分布N(1，4)，求正態總體X在(－1，1)內取值的概率．
狀元隨筆　(1)根據正態曲線的對稱性進行求解；(2)題可先求出X在(－1，3)內取值的概率，然后由正態曲線關于x＝1對稱知，X在(－1，1)內取值的概率就等于在(－1，3)內取值的概率的一半．
方法歸納
利用正態分布求概率的兩個方法
1．對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
2．“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.682 6，0.954 4，0.997 4求解．
跟蹤訓練2　設隨機變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4題型3　標準正態分布(數學運算)
例3　設隨機變量X～N(0，1)，
(1)求Φ(－3)的值；
(2)若Φ(0.42)＝0.662 8，求Φ(－0.42).
方法歸納
求標準正態分布的概率問題的關注點
(1)標準正態曲線特點：關于y軸對稱，σ＝1；
(2)Φ(a)的含義：Φ(a)＝P(X(3)解題思路：
①當a＝±1，±2，±3時，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值求解；
②當a為其他值時，可查表求解．
跟蹤訓練3　設隨機變量X～N(0，1)，已知Φ(－0.18)＝0.428 6，求P(|X|<0.18).
題型4　正態分布的實際應用
【思考探究】　
1．若某工廠生產的圓柱形零件的外直徑ε～N(4，0.25)，那么該圓柱形零件外直徑的均值，標準差分別是什么？
[提示]　零件外直徑的均值為μ＝4，標準差σ＝0.5.
2．某工廠生產的圓柱形零件的外直徑ε～N(4，0.25)，若零件的外直徑在(3.5，4.5]內的為一等品．試問1 000件這種的零件中約有多少件一等品？
[提示]　P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件產品中大約有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．
3．某廠生產的圓柱形零件的外直徑ε～N(4，0.25).質檢人員從該廠生產的1 000件這種零件中隨機抽查一件，測得它的外直徑為5.7 cm.試問該廠生產的這批零件是否合格？
[提示]　由于圓柱形零件的外直徑ε～N(4，0.25)，
由正態分布的特征可知，正態分布N(4，0.25)在區間(4－3×0.5，4＋3×0.5)，即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7 (2.5，5.5).
這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發生的小概率事件，根據統計中假設檢驗的基本思想，認為該廠這批零件是不合格的．
例4　設在一次數學考試中，某班學生的分數X～N(110，202)，且知試卷滿分150分，這個班的學生共54人，求這個班在這次數學考試中及格(即90分以上)的人數和130分以上的人數．
狀元隨筆　將P(X≥90)轉化為P(X－μ≥－σ)，然后利用對稱性及概率和為1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，進而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
方法歸納
1．本題利用轉化的思想方法，把普通的區間轉化為3σ區間，由特殊區間的概率值求出．
2．解答正態分布的實際應用題，其關鍵是如何轉化，同時應熟練掌握正態分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個區間內的概率．在此過程中用到歸納思想和數形結合思想．
跟蹤訓練4　某人從某城市的南郊乘公交車前往北區火車站，由于交通擁擠，所需時間X(單位：分)近似服從正態分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分內趕到火車站的概率．
教材反思
4．2.5　正態分布
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點二
1.　數學期望　標準差
2．(1)x軸　x＝μ　(2)x＝μ　中間高　兩邊低　(3)σ越大　σ越小
知識點四
68．3%　95.4%　99.7%
知識點五
(1)μ＝0且σ＝1　(2)X～N(0，1)　(3)1
[基礎自測]
1．解析：(1)錯誤，因為正態分布變量函數表達式中參數μ是隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計，而σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，用樣本的標準差去估計．
(2)正確．
(3)正確，由正態分布曲線的形狀可知該說法正確．
(4)錯誤，因為離散型隨機變量的概率分布規律用分布列描述，連續型隨機變量的概率分布規律用分布密度曲線(函數)描述．
答案：(2)(3)
2．解析：正態曲線向右平移2個單位，σ不發生變化，故③錯誤．
答案：③
3．解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997 4＝0.002 6，
∴隨機變量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一個小概率事件．
答案：④
4．解析：∵X服從正態分布(1，σ2)，
∴X在(0，1)與(1，2)內取值的概率相同，均為0.4.
∴X在(0，2)內取值的概率為0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
課堂探究·素養提升
例1　解析：從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x＝20對稱，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函數的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
總體隨機變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
跟蹤訓練1　解析：(1)由正態分布曲線性質可知N(μ1 ，)，N(μ2，的密度曲線分別關于直線x＝μ1，x＝μ2對稱，因此結合所給的圖像知μ1<μ2，又)的密度曲線較)的密度曲線“瘦高”，所以σ1<σ2，故選A.
(2)由σ的意義可知，圖像越瘦高，數據越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.故選A.
答案：(1)A　(2)A
例2　解析：(1)∵隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，對稱軸是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.
(2)由題意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.682 6.
又因為正態曲線關于x＝1對稱，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練2　
解析：(1)由X～N(2，9)可知，密度函數關于直線x＝2對稱(如圖所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X(2)P(－4例3　解析：(1)因為X～N(0，1)，所以Φ(－3)＝P(X<－3)＝[1－P(－3≤X≤3)]≈(1－0.997)＝0.001 5.
(2)因為X～N(0，1)且Φ(0.42)＝0.662 8，
所以由Φ(－a)＋Φ(a)＝1得，Φ(－0.42)＝1－Φ(0.42)＝1－0.662 8＝0.337 2.
跟蹤訓練3　解析：由正態曲線的對稱性知，
Φ(－0.18)＝P(X<－0.18)＝P(X>0.18)＝0.428 6，
所以P(|X|<0.18)＝P(－0.18例4　解析：μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人數約為45人．
∵P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人數約為9人．
跟蹤訓練4　解析：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954 4＋×0.682 6＝0.818 5.
即他在(30，60]分內趕到火車站的概率是0.818 5.

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