資源簡介

2023~2024學年中考數學之隱含圓問題
歷屆中考中，涉及隱含圓的幾何動點問題，是常見高頻考題。明明圖中沒有圓，卻使用到了圓的知識點；對于這類題型，我們稱之為“隱含圓問題”
【模型建立】：
（1）定弦定角
（2）動點到定點定長（通俗點講：動點到一頂點的距離不變）
（3）直角所對的弦是直徑
（4）四點共圓（對角互補）
（5）點圓最值
（6）線圓最值
記憶口訣：定點定長走圓周，定弦定角跑雙弧
直角必有外接圓，對角互補也共圓
【模型一：定弦定角】
前言：在圓O中，若弦AB長度固定 則弦AB所對的圓周角都相等（注意：弦AB在劣弧）AB上也有圓周角，需要根據題目靈活運用 后語：若有一固定線段AB及線段AB所對的∠C大小固定，C在圓O的優弧ACB上均可（至于是優弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優弧上運動；等于90°，則C在半圓上運動；大于90°則C在劣弧運動）
1．（2023·鳳崗模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E是對角線BD的中點，點F為BC所在直線上方一點，連接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，則EF長的最大值為　 　．
【答案】2+2
【解析】【解答】解：作△BFC的外接圓，圓心為O，連接OF，OB，OC，過點O作OH⊥BC交于點H，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，，
∵∠BFC=30°，
∴∠BOC=2∠BFC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=4，
當點F是過點E的直徑的端點時，EF取最大值，此時，OE⊥BC于點H．
又∵OE⊥BC，
∵BH=2，∠BOH=30°，
∴．
∵∠EBC=45°，∠EHB=90°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴HE=BH=2，
∴，
故答案為：
2．（2023·臨潼模擬）如圖所示，為矩形中邊上的一點，已知，，若點在矩形內部，且，則的最小值為　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：作點B關于AD的對稱點B′，連接PB′；以CD為一邊向矩形外作等邊△CDN，作△CDN的外接圓⊙O，連接OB′交⊙O于點M′，交AD于點P′，連接OM；過點O作OF⊥AB于點F，交CD于點E，連接OD，如圖：
∵點B與點B′關于AD對稱，
∴PB′=PB，
∵△CDN是等邊三角形，
∴∠DNC=60°，
∵∠DMC=120°，∠DNC=60°，
∴點M在劣弧上運動，
則OM=OM′，
∵BP+PM=B′P+PM+OM-OM′≥OB′-OM′=B′M′，
即BP+PM的最小值為B′M′的長．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∵⊙O是△CDN的外接圓，△CDN是等邊三角形，且OF⊥AB，
∴，，
∴OD=2OE，
在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，
即，
解得：OE=1，
∴OD=2；
在Rt△OFB′中，
∵OF=EF+OE=BC+OE=4+1=5，
，
∴，
∴，
即BP+PM的最小值為，
故答案為：．
3．（2021·安徽模擬）如圖，直角 中， ，AC=8， ，點 是 內部一動點，總滿足∠APC=150°，連接 ，則 的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如圖，作△APC的外接圓⊙O，連接OA，OC，OB，OP，過點O作OH⊥BC交BC的延長線于H．
∵∠APC=150°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°
在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，
∴OH= OC=4，CH= OH= ，
∵BC= ，
∴BH= ，
∴OB= ，
∵PB≥OB-OP，
∴BP≥ ，
∴BP的最小值為 ，
故答案為：B．
4．（2023·惠山模擬）如圖，拋物線與x軸交于點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點是拋物線上一點，點C是線段上一點，連接并延長交拋物線于點D，若，求點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在點P，使得？若存在，求出點P的坐標：若不存在，說明理由．
【答案】（1）解：把點A的坐標代入函數解析式中， ，
解得： ，
故所求的解析式為 ；
（2）解：∵點B在拋物線 ，
∴ ，
即 ；
設直線 解析式為為 ，
則有 ，
解得： ，
∴直線 解析式為為 ；
過點C、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F，如圖，
設 ，則 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
則 ，
∴ ；
∵點D在拋物線 上，
∴ ，
解得： ，
則點D的坐標為 ；
（3）解：存在；
如圖，作 的外接圓 ，連接 ，過M作 軸于N，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∴M的坐標為 ， 的半徑 ；
設點P的坐標為 ，
則 ，
即 ，
由于 ，
∴方程整理得： ，
解得： ，
點P的坐標為 或 ．
【模型二：動點到定點定長】
前言：在圓O中，OA=OB=OC=OD 后語：若有AB=AC=AD,則B、C、D三點在以A為圓心，AB為半徑的圓上。 【理論依據：“到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓“—圓的定義】
【模型三：直角所對的是直徑】
前言：在圓O中，AB為直徑，則始終有AB所對的∠C=90° 后語：若有AB是固定線段，且總有∠ACB=90°，則C在以AB為直徑的圓上。（此類型本來屬于定弦定角，但考頻較高，且較為特殊故單獨歸為一類）
（2023九上·期末）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC ，則線段CP長的最小值為　 　
1．【答案】2
【解析】【解答】解：如圖所示，以AB為直徑作圓，圓心為O，連接OP、PC，當O、P、C三點共線時，OC最短..
∵AB=6，
∴圓O的半徑等于3.
∵AB⊥AC，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∠APB=180°-90°=90°.
∵OP恒為3，∴此時CP最短.
在Rt△ABC中，OC===5.
∴CP=5-3=2.
∴CP的長的最小值為2.
故答案為：2
2．（2023八下·蕪湖期末）如圖，正方形中，，E為邊上一動點，連接，過點B作于F，連接，則的最小值為　 　．
【答案】2
【解析】【解答】
以BC中點O為圓心，BO的長為半徑作圓，連接AO，交圓于點F，連接CF并延長交AB于點E，連接BF，則BF⊥CE.
由AO-FO≥AF可知，此時AO-FO=AF的值最小，∵AB=AD=4，∴FO=BO=2，∴AO=，∴AF的最小值為AO-FO=.
【模型四：四點共圓】
前言：在圓O中，ABCD是圓的內接四邊形，則有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC∽△APD(同理△BPA∽△CPD) 后語：若四邊形ABCD中有∠1=∠2（通常情況下∠5=∠6對頂角相等，故不需要∠3=∠4，實際應用中常用∠1=∠2，∠5=∠6）則ABCD四點（某些不能直接使用四點共圓的地區，可以通過證明兩次三角形相似也可），選填題可以直接使用
1．（2022·東平模擬）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別在BC、CD上運動（不與端點重合），連接BF、AE，交于點P，且滿足．連接CP，若AB=4，BC=6，則CP的最小值為 （　　）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴點P在以AB為直徑的圓周上，設G為AB中點，連接CG，與圓G交于P，
即此時CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此時CP=，
故答案為：B．
【分析】先證出點P在以AB為直徑的圓周上，設G為AB中點，連接CG，與圓G交于P，即此時CP最短，再利用勾股定理求出CG的長，最后求出CP=即可。
【模型五：點圓最值】
平面內一定點D和圓O上動點E的連線中，當連線過圓心O時，線段DE的最大值和最小值，具體如以下三種情況，分類討論（規定：OD=d，圓的半徑為r）
（1）當D點在圓O外時，d＞r,如圖①② ；當D、E、O三點共線時，線段DE出現最值.DE的最大值為d+r，DE的最小值為d-r；
（2）當D點在圓O上時，d=r,如圖③④ ；當D、E、O三點共線時，線段DE出現最值.DE的最大值為d+r=2r(即圓O直徑），DE的最小值為d-r=0；
3）當D點在圓O內時，d＜r,如圖⑤⑥ ；當D、E、O三點共線時，線段DE出現最值.DE的最大值為d+r，DE的最小值為r-d；
1.（2023·徐匯模擬）如圖，在直角坐標系中，已知點、點，的半徑為5，點C是上的動點，點P是線段的中點，那么長的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵A(8，0)，點B(0，6)，
∴OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，
連接AB，AC，取AB的中點D，則D的坐標(4，3)；連接DP，
∵DP分別是AB、BC的中點，
∴DP= AC = x5=，
∴點D是定點，DP=，
即點P的運動軌跡是以點D為中心，DP為半徑的圓，
∵DP1=DP2=，
∴點D坐標(4，3)，
∴OP的取值范圍是OD-DP1 ≤ OP≤OD+DP2，
即，
故答案為：.
【分析】根據題意先求出OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，再求出點D是定點，DP=，最后計算求解即可。
【模型六：線圓最值】
【1】（點圓距離）圓外一點P,連接PQ與圓交于A、B兩點，則PA為P到圓上最遠距離，PB為P到圓上最短距離。
【3】如圖，AB為圓O的一條定弦，點C為圓上一動點。 如圖①.若點C在優弧AB上，當CH⊥AB且CH過圓心O時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S_△ABC的面積最大。 （2）如圖②，若點C在劣弧AB上，當CH⊥AB且CH的延長線過圓心O時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S_△ABC的面積最大。
1．（2022九上·蓮都期中）如圖，拋物線y＝x2-4與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知識點】二次函數的最值；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；點與圓的位置關系；三角形的中位線定理；圓-動點問題
【解析】【解答】解：連接BP，如圖，
當y＝0時，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，則A（-4，0），B（4，0），
∵Q是線段PA的中點，
∴OQ為△ABP的中位線，
∴OQ＝BP，
當BP最大時，OQ最大，
而BP過圓心C時，PB最大，如圖，點P運動到P′位置時，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴線段OQ的最大值是.
故答案為：C.
2．（2023·東平模擬）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是
B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點在線段CE上時，的長取最小值，如圖所示，
根據折疊可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故答案為：D．
3．（2023·天河模擬）如圖，矩形中，，，點、分別是線段，上的動點，且，過作的垂線，垂足為．
（1）當時，　 　
（2）當在上運動時，的最小值為　 　．
【答案】（1）45
（2）1
【知識點】矩形的判定與性質；圓的綜合題；銳角三角函數的定義；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）過點F作FM⊥BC于M，如圖，
則∠BME=∠EMF= 90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠B= 90°，
∴四邊形ABME是矩形，
∴EM=AB=2，BM=AE=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∴MF=BC-BM-CF=，
∴ME = MF，
∵FM⊥BC，
∴∠BFE= 45°，
故答案為：45°；
（2）連接BD交EF于點O，如圖，
由矩形性質知：AD∥CB，AD= BC=， AE= CF，
∴∠DEF=∠BFE，AD- AE= BC- CF，
∴DE= BF，
∴∠EOD =∠FOB，
∴△DOE≌△BOF (ASA)，
∴ OD=OB，
由勾股定理得，
∴OD=2，BD=4，
∵DH⊥EF，設OD的中點為M，
∴MH=1，
即點H在以點M為圓心，以1為半徑的圓上運動，
由于點E在AD邊上運動，
∴當點E與點A重合時，即EF與AC重合時，CH的值最小，
∵AC= BD= 4，
，
即CH的最小值為1；
故答案為：1.
【分析】（1）過點F作FM⊥BC于M，由條件可得四邊形ABME是矩形，由題意可得MF= EM，從而問題解決；
（2）連接BD交EF于點O，可證明△DOE≌△BOF，易得OD = 12，BD= 2，由DH⊥EF知，MH = 2，即點H在以OD中點M為圓心，1為半徑的圓上運動，當點E與點A重合時，CH的值最小，由三角函數知識即可求得此時最小值.
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