資源簡介

2.1　坐標法
[課標解讀]　1.探索并掌握平面上兩點間的距離公式.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形) 的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．
教材要點
知識點一　數軸上的基本公式
1．數軸上兩點間的距離公式：已知數軸上兩點A(x1)，B(x2)，則AB＝________，d(A，B)＝________.
2．數軸上兩點間的中點坐標公式：已知數軸上兩點A(x1)，B(x2)，設點M(x)是線段AB的中點，則有x＝________．
知識點二　平面直角坐標系中的兩點間距離公式及中點公式
1.已知在平面直角坐標系中兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有d(A，B)＝|AB|＝________ .
2．已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，設點M(x，y)是線段AB的中點，則有x＝________，y＝________．
知識點三　坐標法
通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，然后通過________得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．這種解決問題的方法稱為坐標法．
基礎自測
1．下列各組點中，點C位于點D的右側的是(　　)
A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3)
2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，則a的值為(　　)
A．4　　　B．－4或2
C．－2 D．－2或4
3．在數軸上存在一點P，它到點A(－9)的距離是它到點B(－3)的距離的2倍，則P的坐標為(　　)
A．2　　B．－3
C．5　　D．3或－5
4．(1)如圖，若A(－1，1)，C(3，1)連線的中點為M1(x，y), 則M1坐標為________；
(2)若B(3，4)，那么BC的中點M2的坐標是________.
題型1　數軸上兩點間的距離
【思考探究】
1．如果兩點的位置不確定，如何求其距離？
[提示]　分類討論．
2．向量的長度及數量的區(qū)別與聯(lián)系．
[提示]　|AB |＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.
例1　已知數軸上點A，B，P的坐標分別為－1，3，x.
當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x.
狀元隨筆　數軸上兩點間的距離 點與實數的對應關系 數軸上的基本公式．
方法歸納
數軸上的基本公式應用思路與方法
已知數軸上兩點間的距離時，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．
跟蹤訓練1　(改變問法)本例條件不變，若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關系？
題型2　平面直角坐標系中兩點間的距離公式的應用
例2　已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(－a，0)，B(a，0)，C(0, a)．求證：△ABC是等邊三角形．
方法歸納
根據邊長判斷三角形形狀的結論主要有以下幾種：等腰、等邊、直角、等腰直角三角形等．在進行判斷時，一定要得出最終結果，比如一個三角形是等腰直角三角形，若我們只通過兩邊長相等判定它是等腰三角形則是不正確的．
跟蹤訓練2　(變換條件)本例若改為：已知A(－1，－1)，B(3，5)，C(5，3)，試判斷△ABC的形狀．
題型3　平面直角坐標系中中點公式的應用
例3　已知平行四邊形ABCD的兩個頂點坐標分別為A(4，2)，B(5，7)，對角線交點為E(－3，4)，求另外兩頂點C、D的坐標．
狀元隨筆　先分析點的關系，借助平行四邊形的性質，嘗試運用中點公式列方程組求解．
方法歸納
1．本題是用平行四邊形對角線互相平分這一性質，依據中點公式列方程組求點的坐標的．
2．中點公式常用于求與線段中點、三角形的中線、平行四邊形的對角線等有關的問題，解題時一般先根據幾何概念，提煉出點之間的“中點關系”，然后用中點公式列方程或方程組求解．
跟蹤訓練3　已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標分別為A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求頂點C的坐標．
題型4　坐標法的應用
【思考探究】
1．如何建立平面直角坐標系？
[提示]　(1)要使盡可能多的已知點、直線落在坐標軸上；
(2)如果圖形中有互相垂直的兩條直線，則考慮其作為坐標軸；
(3)考慮圖形的對稱性：可將圖形的對稱中心作為原點、將圖形的對稱軸作為坐標軸．
2．建立不同的直角坐標系，影響最終的結果嗎？
[提示]　不影響．
3．解決問題的思路是什么？
[提示]　幾何證明問題 坐標法 借助代數運算證明
例4　△ABD和△BCE是在直線AC同側的兩個等邊三角形，用坐標法證明|AE|＝|CD|.
方法歸納
1．對于平面幾何中證明邊相等(或不等)、求最值等類型的題目，可以建立恰當的平面直角坐標系，用坐標法將幾何問題代數化，使復雜的邏輯思維轉化為簡單的代數運算，從而將復雜問題簡單化．
2．在建立平面直角坐標系時，要盡可能地將平面幾何圖形中的點、線放在坐標軸上，但不能把任意點作為特殊點．
跟蹤訓練4　已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當的直角坐標系，證明：|AM|＝|BC|.
第二章　平面解析幾何
2．1　坐標法
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．x2－x1　|x2－x1|
2.
知識點二
1.
2.　
知識點三
代數運算
[基礎自測]
1．解析：由數軸上點的坐標可知A正確．
答案：A
2．解析：＝5，解得a＝－2或4.
答案：D
3．解析：設所求點P的坐標為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．
答案：D
4．答案：(1)(1，1)　(2)
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：由題意知
|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，
則3(x＋1)＝x－3，　①
或3(x＋1)＝－(x－3)．　②
解①得x＝－3；解②得x＝0.
所以點P的坐標為x＝－3或x＝0.
跟蹤訓練1　解析：由題意知|PA|＝|PB|＝2，
即解得x＝1.
此時點P的坐標為1，顯然此時P為線段AB的中點．
例2　證明：由兩點的距離公式得
|AB|＝＝2|a|，
|BC|＝ ＝2|a|，
|CA|＝ ＝2|a|.
∴|AB|＝|BC|＝|CA|，
故△ABC是等邊三角形．
跟蹤訓練2　解析：d(A，B)＝
＝＝＝2，
d(A，C)＝
＝＝＝2，
d(B，C)＝
＝＝＝2.
所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且顯然三邊長不滿足勾股定理，
所以△ABC為等腰三角形．
例3　解析：設C點坐標為(x1，y1)，則由E為AC的中點得：
得
設D點坐標為(x2，y2)，則由E為BD的中點得
得
故C點坐標為(－10，6)，D點坐標為(－11，1)．
跟蹤訓練3　解析：∵平行四邊形的對角線互相平分，
∴平行四邊形對角線的中點坐標相同．
設C點坐標為C(x，y)，則
∴即C(3，3)．
例4　證明：如圖，以B為坐標原點，直線AC為x軸，建立平面直角坐標系，
設△ABD和△BCE的邊長分別為a，c，
則A(－a，0)，C(c，0)，
D，E，
則|AE|＝
＝，
|CD|＝
＝，
所以|AE|＝|CD|.
跟蹤訓練4　證明：
如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立直角坐標系．設B，C兩點的坐標分別為(b，0)，(0，c)．
因為點M是BC的中點，故點M的坐標為，即.
由兩點間距離公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝.
所以|AM|＝|BC|.2．2.1　直線的傾斜角與斜率
[課標解讀]　1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
教材要點
知識點一　直線的傾斜角
1．傾斜角的定義
(1)當直線l與x軸相交時，將x軸繞著他們的交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所轉的最小正角記為θ，稱角θ叫做直線l的傾斜角．
(2)當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為________．
2．傾斜角的范圍
直線的傾斜角θ的取值范圍為________．
3．確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個________及它的________．
知識點二　直線的斜率及斜率公式
1．斜率的定義
一條直線的傾斜角θ(θ≠90°)的________值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝________．
狀元隨筆　直線的斜率與傾斜角是一一對應嗎？
不是，當傾斜角為90 °時，直線的斜率不存在．
2．斜率公式
經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝________．當x1＝x2時，直線P1P2斜率不存在．
3．斜率的幾何意義
用實數反映了平面直角坐標系內的直線相對于x軸正方向的________．
知識點三　直線的方向向量與法向量
1．給定平面直角坐標系內的一條直線l，在直線l上任取A、B兩個不同的點，向量是直線l的一個方向向量．
一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l.
(1)如果a為直線l的一個方向向量，那么對于任意的實數λ≠0，向量λa都是l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量一定共線．
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，則＝(x2－x1，y2－y1)是直線l的一個方向向量．
(3)如果已知a＝(u，v)為直線l的一個方向向量，則
①當u＝0時，顯然直線l的斜率不存在，傾斜角為________；
②當u≠0時，直線l的斜率是存在的，而且此時(1，k)與a＝(u，v)都是直線l的一個方向向量，且有v＝ku，即k＝，即tan θ＝.
2．直線的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l.不難看出，一條直線的方向向量與法向量互相垂直．
基礎自測
1．如圖所示，直線l的傾斜角為(　　)
A.30°
B．60°
C．120°
D．以上都不對
2．直線l過點M(－)，N(－)，則l的斜率為(　　)
A． B．1
C． D．
3．斜率不存在的直線一定是(　　)
A．過原點的直線 B．垂直于x軸的直線
C．垂直于y軸的直線 D．垂直于坐標軸的直線
4．已知直線l經過兩點P(1，2)，Q(－2，1)，那么直線l的一個方向向量為________；一個法向量為________；斜率為________．
題型1　直線的傾斜角
例1　設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)
A.α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾角為α－135°
方法歸納
求直線的傾斜角的方法及兩點注意
1．方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
2．兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.
跟蹤訓練1　一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為(　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
題型2　斜率的求法
【思考探究】
1．斜率公式k＝(x2≠x1)中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？
[提示]　斜率公式中分子與分母的順序不可互換，但y1與y2和x1與x2可以同時互換順序，即斜率公式也可寫為k＝.
2．用k＝tan α(α≠90°) 求斜率時在0°≤α<180°范圍內的一些特殊角的正切值要熟記．
例2　(1)若A(1，0)，B(－3，m)，直線AB的斜率為－，則m＝(　　)
A．－8 B．－2
C．2 D．8
(2)若直線過點C(1，3)，D(4，3＋)，則此直線的一個方向向量為__________；傾斜角為________；
(3)已知點M(0，b)與點N(－，1)連成直線的傾斜角為120°，則b＝________．
方法歸納
1．斜率的求法
(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用公式k＝tan α(α≠90°)解決．
(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
2．利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；
(2) 傾斜角為90°時斜率不存在．
跟蹤訓練2　(1)直線經過點(0，2)和點(3，0)，則它的斜率為(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)若直線經過兩點A(m，2)，B，且傾斜角為45°，則m的值為(　　)
A．2　 B．1
C． D．
(3)已知坐標平面內三點A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
求直線AB、BC、AC的斜率、方向向量和傾斜角．
題型3　直線的斜率、方向向量、法向量及應用
例3　已知兩點A(－3，4)，B(3，2)，過點P(1，0)的直線l與線段AB有公共點．
(1)求直線l的斜率k的取值范圍；
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．
狀元隨筆　作圖，讓直線與線段有公共點，可得傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，進一步獲得斜率取值范圍．
例4　若三點A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，則實數k＝________．
狀元隨筆　利用AB和AC的斜率相等，或利用三點共線的充要條件．
方法歸納
1．求直線斜率的取值范圍時，通常先結合圖形找出傾斜角的范圍，再得到斜率的范圍．
2．利用斜率可解決點共線問題，點A，B，C共線 kAB＝kAC或kAB與kAC都不存在．
3．涉及直線與線段有交點問題，常通過數形結合，利用斜率公式求解．
跟蹤訓練3　(1)若三點A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直線上，則實數b等于(　　)
A．2 B．3
C．9 D．－9
(2)
如圖，菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合，一邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角及斜率．
2．2　直線及其方程
2．2.1　直線的傾斜角與斜率
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．(2)0°
2．0°≤θ<180°
3．定點　傾斜角
知識點二
1．正切　tan θ
2.
3．傾斜程度
知識點三
1．(3)①90°
[基礎自測]
1．解析：根據傾斜角的定義知，直線l的傾斜角為30°＋90°＝120°.
答案：C
2．解析：根據題意，l的斜率為＝1.
答案：B
3．解析：只有直線垂直于x軸時，其傾斜角為90°，斜率不存在．
答案：B
4．解析：由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直線l的一個方向向量．則(－1，3)是直線l的一個法向量，直線l的斜率k＝＝.
答案：(－3，－1)(答案不唯一)　(－1，3)(答案不唯一)　
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：根據題意，畫出圖形，如圖所示：
因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：
當0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；
當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.
答案：D
跟蹤訓練1　解析：如圖，當l向上方向的部分在y軸左側時，傾斜角為90°＋α；當l向上方向的部分在y軸右側時，傾斜角為90°－α.故選D.
答案：D
例2　解析：(1)A(1，0)，B(－3，m)，直線AB的斜率為－，
所以－＝，解得：m＝2.
(2)直線過點C(1，3)，D(4，3＋)，得＝(4，3＋)－(1，3)＝(3，)是直線l的一個方向向量，則直線的斜率k＝＝，所以此直線的傾斜角是.
(3)k＝＝tan 120°，解得b＝－2.
答案：(1)C　(2)(3，)(答案不唯一)　　(3)－2
跟蹤訓練2　解析：(1)斜率k＝＝－.
(2)經過兩點A(m，2)，B的直線的斜率為k＝，又直線的傾斜角為45°，所以＝tan 45°＝1，即m＝2.
(3)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.
直線AB、BC、AC的方向向量分別是(2，0)、(1，)、(3，)
傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.
又∵tan 0°＝0，
∴直線AB的傾斜角為0°.
∵tan 60°＝，
∴直線BC的傾斜角為60°.
∵tan 30°＝，
∴直線AC的傾斜角為30°.
答案：(1)C　(2)A　(3)見解析
例3　解析：如圖所示，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.
(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.
例4　解析：方法一：因為A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，所以kAB＝kAC，kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即k＝6.
方法二：因為＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，＝(5，k)－(2，－3)＝(3，k＋3)，又因為與共線，
所以2(k＋3)＝18，解得k＝6.
答案：6
跟蹤訓練3　解析：(1)方法一：因為三點A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直線上，所以kAC＝kAB，即＝，解得b＝－9.
方法二：因為＝(－5，b－1)，＝(5，10)，又因為與共線，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.
(2)因為OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直線OD，BC的傾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝；
又因為DC∥OB，
所以直線DC，OB的傾斜角都是0°，斜率也都為0；
由菱形的性質可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直線OC的傾斜角為30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直線BD的傾斜角為∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.
答案：(1)D　(2)見解析2．2.2　直線的方程
[課標解讀]　根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式 (點斜式、兩點式及一般式)．
教材要點
知識點一　直線方程的概念
一般地，如果直線l上點的坐標都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在直線l上，則稱F(x，y)＝0為直線l的方程．
狀元隨筆　如何判斷點P(2，1)是否在直線y＝x－1上？
[提示]　把點的坐標代入方程，若滿足方程，點就在直線上，反之，不在直線上．
知識點二　直線方程的幾種形式
形式 條件 方程 應用范圍
點斜式 直線l上一點P(x0，y0)及斜率k ____________ 直線l的斜率k________
斜截式 直線l的斜率k及在y軸上的截距b ____________
兩點式 直線l上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2) ＝(x1≠x2，y1≠y2) 直線l不與________平行或重合
截距式 直線l在x軸，y軸上的截距分別為a和b ____________ 直線l不與________平行或重合，且不過________
一般式 二元一次方程系數A、B、C的值 __________(A2＋B2≠0) 平面內任何一條直線
狀元隨筆　直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程均能化為一般式方程嗎？
[提示]　是．
基礎自測
1．方程y－y0＝k(x－x0)(　　)
A．可以表示任何直線
B．不能表示過原點的直線
C．不能表示與y軸垂直的直線
D．不能表示與x軸垂直的直線
2．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則(　　)
A．直線經過點(－1，2)，斜率為－1
B．直線經過點(2，－1)，斜率為－1
C．直線經過點(－1，－2)，斜率為－1
D．直線經過點(－2，－1)，斜率為1
3．過點A(3，2)，B(4，3)的直線方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應滿足的條件為________.
題型1　求直線的點斜式方程
例1　求滿足下列條件的直線的點斜式方程．
(1)過點P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)過點P(3，－4)，且與x軸平行；
(3)過P(－2，3)，Q(5，－4)兩點．
方法歸納
求直線的點斜式方程的方法步驟
1．求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
跟蹤訓練1　(1)一條直線經過點(2，5)，傾斜角為45°，則這條直線的點斜式方程為________．
(2)經過點(－5，2)且平行于y軸的直線方程為________．
(3)經過點(2，－3)，傾斜角是直線y＝x傾斜角的2倍的直線的點斜式方程是________．
題型2　求直線的斜截式方程
例2　根據條件寫出下列直線的斜截式方程．
(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；
(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2.
狀元隨筆　
方法歸納
1．用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，要特別注意截距和距離的區(qū)別．
2．直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單，而且特點明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決直線的圖象問題時，常通過把直線方程化為斜截式方程，利用k，b的幾何意義進行判斷．
跟蹤訓練2　(1)寫出直線斜率為－1，在y軸上截距為－2的直線的斜截式方程；
(2)求過點A(6，－4)，斜率為－的直線的斜截式方程；
(3)已知直線l的方程為2x＋y－1＝0，求直線的斜率，在y軸上的截距以及與y軸交點的坐標．
題型3　直線的兩點式方程
例3　在△ABC中，A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
狀元隨筆　(1)由兩點式直接求BC所在直線的方程；
(2)先求出BC的中點，再由兩點式求直線方程．
例4　求過定點P(2，3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程．
方法歸納
1．由兩點式求直線方程的步驟
(1)設出直線所經過點的坐標．
(2)根據題中的條件，找到有關方程，解出點的坐標．
(3)由直線的兩點式方程寫出直線的方程．
2．求直線的兩點式方程的策略以及注意點
當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．
跟蹤訓練3　(1)已知點A(3，2)，B(－1，4)，則經過點C(2，5)且經過線段AB的中點的直線方程為________．
(2)已知直線l過點(1，2)，且在縱坐標軸上的截距為橫坐標軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為(　　)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0
狀元隨筆　直線l在兩坐標軸上的截距成倍數關系，應考慮直線過原點和不過原點兩類，分別設出方程，再由直線l過點(1，2)求得直線方程．
題型4　直線的一般式方程
【思考探究】
1．平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示嗎？為什么？
[提示]　都可以，原因如下：
(1)直線和y軸相交于點(0，b)時：此時傾斜角α≠，直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關于x，y的二元一次方程．
(2)直線和y軸平行(包含重合)時：此時傾斜角a＝，直線的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以認為是關于x，y的二元一次方程，此時方程中y的系數為0.
2．每一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)都能表示一條直線嗎？為什么？
[提示]　能表示一條直線，原因如下：當B≠0時，方程Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－，它表示過點，斜率為－的直線．
當B＝0時，方程Ax＋By＋C＝0變成Ax＋C＝0.即x＝－，它表示與y軸平行或重合的一條直線．
例5　(1) 已知直線mx＋ny＝－1的斜率為－，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為(　　)
A．4和3　 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
(2)若直線mx－y＋(2m＋1)＝0恒過定點，則此定點是________．
狀元隨筆　含有參數的一般式直線方程問題 化為直線方程的相應形式，根據實際情況求解．
方法歸納
1．含參數的一般式的處理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.
(2)令x＝0可得在y軸上的截距；令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗根．
2．直線恒過定點的求解策略
(1)將方程化為點斜式，求得定點的坐標．
(2)將方程變形，把x，y作為參數的系數，因為此式子對任意的參數的值都成立，故需系數為零，解方程組可得x，y的值，即為直線過的定點．
跟蹤訓練4　(1)直線3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y軸上的截距分別為(　　)
A． B．－，－
C．－，－ D．
(2)已知ab＜0，bc＜0，則直線ax＋by＋c＝0通過第________象限．
題型5　由直線的方向向量、法向量求直線方程
例6　(1)一條直線經過點(2，5)，且它的方向向量是(1，1)，則這條直線的點斜式方程為________；
(2)經過點(－5，2)且法向量為(1，2)的直線方程為________．
方法歸納
通過直線的一個法向量或者一個方向向量求出直線方程的方法
1．方法一　應用求動點軌跡的方程的一般步驟，設直線上點的坐標為(x，y)，根據條件列出方程．
2．方法二　找到直線的一個法向量或者一個方向向量和直線的五種形式的方程的系數之間的關系，采用待定系數法求出方程．
跟蹤訓練5　(1)一條直線經過點(3，2)，且它的法向量是(3，－4)，則這條直線的一般式方程為________；
(2)經過點(－3，2)且方向向量為(1，2)的直線方程為________．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是利用斜截式方程求參數時漏掉斜率不存在的情況．
2．2.2　直線的方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點二
y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　存在　坐標軸　　坐標軸　原點　Ax＋By＋C＝0
[基礎自測]
1．解析：因為直線的點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示與x軸垂直的直線．
答案：D
2．解析：方程變形為y＋2＝－(x＋1)，∴直線過點(－1，－2)，斜率為－1.
答案：C
3．解析：由直線的兩點式方程，得＝，化簡得x－y－1＝0.
答案：D
4．解析：由二元一次方程表示直線的條件知A、B至少有一個不為零即A2＋B2≠0.
答案：A2＋B2≠0
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)∵直線過點P(－4，3)，斜率k＝－3，由直線方程的點斜式得直線方程為y－3＝－3(x＋4)．
(2)與x軸平行的直線，其斜率k＝0，由直線方程的點斜式可得直線方程為y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)過點P(－2，3)，Q(5，－4)的直線的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直線過點P(－2，3)，
∴直線的點斜式方程為y－3＝－(x＋2)．
跟蹤訓練1　解析：(1)因為傾斜角為45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直線的方程為y－5＝x－2.
(2)因為直線平行于y軸，所以直線不存在斜率，所以方程為x＝－5.
(3)因為直線y＝x的斜率為，
所以傾斜角為30°.
所以所求直線的傾斜角為60°，其斜率為.
所以所求直線方程為y＋3＝(x－2)．
答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　(3)y＋3＝(x－2)
例2　解析：(1)由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.
(2)∵傾斜角為150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程為y＝－x－2.
跟蹤訓練2　解析：(1)易知k＝－1，b＝－2，
故直線的斜截式方程為y＝－x－2.
(2)由于直線的斜率k＝－，且過點A(6，－4)，根據直線的點斜式方程得直線方程為y＋4＝－(x－6)，化成斜截式為y＝－x＋4.
(3)直線方程2x＋y－1＝0可化為y＝－2x＋1，由直線的斜截式方程知：直線的斜率k＝－2，在y軸上的截距b＝1，直線與y軸交點的坐標為(0，1)．
例3　解析：(1)∵BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由兩點式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC所在直線的方程為2x＋5y＋10＝0.
(2)設BC的中點為M(x0，y0)，
則x0＝＝，
y0＝＝－3.
∴M，
又BC邊上的中線經過點A(－3，2)．
∴由兩點式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
例4　解析：設直線的兩截距都是a，則有
①當a＝0時，直線為y＝kx，將P(2，3)代入得k＝，
∴l(xiāng)：3x－2y＝0；
②當a≠0時，直線設為＝1，即x＋y＝a，
把P(2，3)代入得a＝5，∴l(xiāng)：x＋y＝5.
∴直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
跟蹤訓練3　解析：(1)AB的中點坐標為(1，3)，由直線的兩點式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.
(2)根據題意，直線l分2種情況討論：
①當直線過原點時，又由直線經過點(1，2)，
所以所求直線方程為y＝2x，整理得2x－y＝0，
②當直線不過原點時，
設直線l的方程為＝1，
代入點(1，2)的坐標得＝1，解得a＝2，
此時直線l的方程為＝1，
整理為2x＋y－4＝0.
故直線l的方程為2x－y＝0或2x＋y－4＝0.
答案：(1)2x－y＋1＝0　(2)D
例5　解析：(1)由題意得n≠0，于是直線可化為
y＝－x－.
由－＝－，－＝，
得m＝－4，n＝－3.
(2)直線方程可化為y－1＝m(x＋2)．
由直線的點斜式可知直線過定點(－2，1)．
答案：(1)C　(2)(－2，1)
跟蹤訓練4　解析：(1)直線3x＋4y＋5＝0可化為
y＝－x－.
所以直線3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y軸上的截距分別為－，－.
(2)直線ax＋by＋c＝0，即y＝－x－，
因為ab＜0，bc＜0，所以斜率k＝－＞0，
直線在y軸上的截距－>0.故直線過第一、二、三象限．
答案：(1)C　(2)一、二、三
例6　解析：(1)因為方向向量是(1，1)，
所以斜率k＝1，
所以直線的方程為y－5＝x－2.
(2)設直線方程x＋2y＋C＝0代入點(－5，2)得C＝1.
答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＋2y＋1＝0
跟蹤訓練5　答案：(1)3x－4y－1＝0　(2)2x－y＋8＝02．2.3　兩條直線的位置關系
[課標解讀]　1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.2.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直．
【教材要點】
知識點一　兩條直線相交、平行與重合的條件
1．代數方法判斷
兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系，可以用方程組
的解進行判斷(如下表所示)
方程組的解 位置關系 交點個數 代數條件
無解 ________ ________ A1B2－A2B1＝0且B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或________________
有唯一解 ________ ________ A1B2－A2B1≠0或________________
有無數個解 重合 ________ A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或________________
2.幾何方法判斷
(1)若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關系，其方法如下：
設l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1與l2相交 ________________；
②l1∥l2 ________________；
③l1與l2重合 ________________．
(2)設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要條件是，存在實數λ，使得從而直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0平行的充要條件是C1≠C2；重合的充要條件是C1＝C2.
知識點二　兩條直線垂直
對應關系 l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1⊥l2 ________ l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關系是________
圖示
設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.則l1⊥l2 ________．
【基礎自測】
1．已知A(2，0)，B(3，3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于(　　)
A.－3　　　B．3
C．－D．
2．直線l1：x－y＝0與l2：x＋y－2＝0的交點坐標為(　　)
A．(－2，－2) B．(－1，－1)
C．(2，2) D．(1，1)
3．直線y＝2與直線x＝0的位置關系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．以上都不對
4．經過點P(－2，－1)，Q(3，a)的直線與傾斜角為45°的直線垂直，則a＝________．
題型1　兩條直線平行的判定
例1　判斷下列各組直線的位置關系，若相交，求出交點的坐標．
(1)l1：4x＋3y－2＝0與l2：x＋2y＋2＝0；
(2)l1：x＋2y－＝0與l2：2x＋4y－1＝0；
(3)l1：x－3y＝0與l2：y＝x＋1.
狀元隨筆　兩直線位置關系的解法有三種：一是根據方程組的解的個數判定；二是根據方程的系數間的關系判定；三是化成斜截式方程判定．
方法歸納
1．判斷兩條直線平行，應首先看兩條直線的斜率是否存在，即先看兩點的橫坐標是否相等，對于橫坐標相等是特殊情況，應特殊判斷．在證明兩條直線平行時，要區(qū)分平行與重合，必須強調不重合才能確定平行．因為斜率相等也可以推出兩條直線重合．
2．設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0則A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要條件是，存在實數λ，使得
跟蹤訓練1　判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標．
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0.
題型2　兩條直線垂直的判定
例2　判斷l(xiāng)1與l2是否垂直．
(1)l1經過點A(3，2)，B(3，－1)，l2經過點M(1，1)，N(2，1);
(2)l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0；
(3)l1：x＝2，l2：y－3＝0.
狀元隨筆　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的條件判斷；若一條直線的斜率不存在，再看另一條的斜率是否為0，若為0，則垂直；
(2)當兩直線的斜率都存在時，由斜率之積等于－1求解；若一條直線的斜率不存在，由另一條直線的斜率為0求解．
方法歸納
利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法
1．若所給的直線方程都是一般式方程，則運用條件：l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0判斷；
2．若所給的直線方程都是斜截式方程，則運用條件：l1⊥l2 k1·k2＝－1判斷；
3．若所給的直線方程不是以上兩種情形，則把直線方程化為一般式再判斷．
[提醒]　若己知點的坐標含有參數，利用兩直線的垂直關系求參數值時，要注意討論斜率不存在的情況．
跟蹤訓練2　已知直線l1的斜率為k1＝，直線l2經過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實數a＝________．
題型3　利用平行關系求直線方程
例3　已知A(2，2)和直線l：3x＋4y－20＝0，求過點A和直線l平行的直線方程．
方法歸納
平行直線的直線方程的設法
1．求與直線y＝kx＋b平行的直線方程時，根據兩直線平行的條件可巧設為y＝kx＋m(m≠b)，然后通過待定系數法，求參數m的值；
2．求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程時，可設方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知條件求出m即可．
跟蹤訓練3　求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1，2)的直線l的方程．
題型4　利用垂直關系求直線方程
例4　直線l過點P(1，－1)且與直線2x＋3y＋1＝0垂直，求l的方程．
方法歸納
1．常把一般式化為斜截式，求出已知斜率，再利用斜率間的關系得垂直直線的斜率；
2．若直線l與直線Ax＋By＋C＝0垂直，則直線l的方程可設為Bx－Ay＋D＝0.
跟蹤訓練4　過點P(－1，3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為(　　)
A．2x＋y－1＝0　　 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
題型5　利用兩直線平行的條件求參數
例5　已知兩條直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.問：當m為何值時，l1與l2(1)平行；(2)重合？
方法歸納
利用兩直線相交、平行、重合的條件進行判斷時要根據題目合理選擇，要特別注意系數為0和不為0，直線的斜率存在和不存在的情況，可進行分類討論．
跟蹤訓練5　已知直線l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，當m為何值時，滿足下列條件
(1)l1與l2相交；
(2)l1∥l2；
(3)l1與l2重合？
題型6　利用直線垂直的條件求參數的值
例6　直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．
方法歸納
利用直線垂直的條件求參數的值常用的兩種方法
1．l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
2．l1⊥l2 k1·k2＝－1.
對于方法2要注意討論直線的斜率是否存在，要利用分類討論的思想解題，從這個方面來說，不如方法1簡捷．
跟蹤訓練6　若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0垂直，則實數m＝________．
教材反思
1．本節(jié)課的重點是理解兩條直線平行或垂直的判定條件，會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直，難點是利用斜率判斷兩條直線平行或垂直．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)判斷兩條直線平行的步驟；
(2)利用斜率公式判斷兩條直線垂直的方法；
(3)判斷圖形形狀的方法步驟．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是利用斜率判斷含字母參數的兩直線平行或垂直時，對字母分類討論．
2．2.3　兩條直線的位置關系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．平行　無交點　(A2B2C2≠0)　相交　有一個交點　(A2B2≠0)　無數個交點
(A2B2C2≠0)
2．(1)①k1≠k2　②k1＝k2且b1≠b2　③k1＝k2且b1＝b2
知識點二
　k1·k2＝－1　l1⊥l2　A1A2＋B1B2＝0
[基礎自測]
1．解析：因為k＝kAB＝＝3，所以l的斜率為3.
答案：B
2．解析：聯(lián)立得所以直線l1與l2的交點坐標為(1，1)．
答案：D
3．解析：直線y＝2與直線x＝0垂直．
答案：B
4．解析：由題意知＝－1，所以a＝－6.
答案：－6
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：方法一：(1)解方程組
①×2－②×3得5x－10＝0，所以x＝2.
將x＝2代入①得y＝－2，所以兩直線相交，交點坐標為(2，－2)．
(2)解方程組
①×2－②得0＝0，即此方程組有無數多個解，所以兩直線重合．
(3)解方程組
由①得x＝3y，代入②得y＝y(tǒng)＋1，即0＝1不成立，所以方程組無解，所以兩直線平行．
方法二：(1)因為A1＝4，B1＝3，C1＝－2，A2＝1，B2＝2，C2＝2，
所以A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以兩直線相交．
解方程組得
所以兩直線的交點坐標為(2，－2)．
(2)因為A1＝1，B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0，A1C2－A2C1＝1×(－1)－2×＝－1＋1＝0，所以兩直線重合．
(3)因為A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝，B2＝－1，C2＝1，所以A1B2－A2B1＝1×(－1)－×(－3)＝－1＋1＝0，A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以兩直線平行．
方法三：(1)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－1.
因為k1≠k2，所以兩直線相交，可得交點坐標為(2，－2)．
(2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋.
因為k1＝k2且b1＝b2，所以兩直線重合．
(3)l1：y＝x，l2：y＝x＋1.
因為k1＝k2且b1≠b2，所以兩直線平行．
跟蹤訓練1　解析：(1)將l1與l2的方程化成斜截式可知，
l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋.兩條直線的斜率相等，但是截距不相等，所以兩條直線平行．
另解：由于＝≠，所以兩條直線平行．
(2)解方程組，可得x＝－3，y＝－1，因此兩條直線相交，交點坐標為(－3，－1)．
例2　解析：(1)直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為0，所以l1⊥l2.
(2)將l2的方程化為斜截式為y＝x＋，因此l2的斜率為，又因為l1的斜率為2，而且×2＝1≠－1，從而可知l1與l2不垂直．
另解：l1的一般式方程為2x－y－2＝0，l2的一般式方程為x－2y＋1＝0，因為2×1＋(－1)×(－2)＝4≠0，從而直線l1與l2不垂直．
(3)顯然l1的傾斜角為90°，l2的傾斜角為0°，從而可知l1與l2垂直．
跟蹤訓練2　解析：∵l1⊥l2，且k1＝，∴kAB＝－，
即＝－，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
答案：1或3
例3　解析：設所求直線方程為3x＋4y＋C＝0(C≠－20)，
由(2，2)在直線l上，
可得3×2＋4×2＋C＝0，
所以C＝－14.
所以過點A與直線l平行的直線方程為3x＋4y－14＝0.
跟蹤訓練3　解析：方法一：設直線l的斜率為k，因為直線l與直線3x＋4y＋1＝0平行，所以k＝－.
又因為直線l過點(1，2)，
所以所求直線方程為y－2＝－(x－1)，
即3x＋4y－11＝0.
方法二：設與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠1)，因為直線l過點(1，2)，所以3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，所以所求直線l的方程為3x＋4y－11＝0.
例4　解析：方法一：由直線2x＋3y＋1＝0得斜率k′＝－，
由垂直條件得l的斜率k＝－＝，
點斜式方程為y＋1＝(x－1)，
故l的方程為3x－2y－5＝0.
方法二：由l與直線2x＋3y＋1＝0垂直，可設l的方程為
3x－2y＋C＝0.
因為P(1，－1)在l上，所以3×1－2×(－1)＋C＝0，
解得C＝－5，所以l的方程為3x－2y－5＝0.
跟蹤訓練4　解析：直線x－2y＋3＝0的斜率為，所以所求直線的斜率為－2，由點斜式得y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
答案：A
例5　解析：(1)因為l1∥l2，
所以3－m(m－2)＝0.
即m2－2m－3＝0.
所以m＝－1或m＝3.
經檢驗當m＝3時兩直線重合，故m＝3舍去．
所以m＝－1.
(2)由(1)可知當m＝3時兩直線重合．
跟蹤訓練5　解析：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4即m－2≠±2，
所以當m≠4且m≠0時l1與l2相交．
(2)由A1B2－A2B1＝0得m＝0或m＝4，
當m＝0時，兩直線方程分別為－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此時l1∥l2；
當m＝4時，兩直線方程為2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此時l1∥l2.
故m＝0或m＝4時，兩直線l1∥l2.
(3)由(2)知，直線l1與l2不可能重合．
例6　解析：方法一：當a＝1時，l1為x＝3，l2為y＝，故l1⊥l2.
當a＝－時，l1的方程為－x＋y＝3，l2的方程為－x＝2，顯然l1、l2不垂直．
當a≠1且a≠－時，由k1·k2＝－1得·＝－1，解得a＝－3.
綜上所述，當a＝1或a＝－3時，l1⊥l2.
方法二：利用A1A2＋B1B2＝0，即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
跟蹤訓練6　解析：因為直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0垂直，所以＝－1，所以m＝1.
答案：12．2.4　點到直線的距離
[課標解讀]　1.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式.2.會求兩條平行直線間的距離．
教材要點
知識點一　點到直線的距離
1．概念
過一點向直線作垂線，則該點與________之間的距離，就是該點到直線的距離．
2．公式
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________．
知識點二　兩平行線間的距離公式
1．概念
夾在兩條平行直線間的________的長度就是兩條平行直線間的距離．
2．求法
兩條平行直線間的距離轉化為________到________的距離．
3．公式
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝________．
基礎自測
1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離是(　　)
A．B．
C．2 D．
2．兩平行直線x＋y＋2＝0與x＋y－3＝0的距離等于(　　)
A．B．
C．5D．
3．已知點(3，m)到直線x＋y－4＝0的距離等于1，則m等于(　　)
A．B．－
C．－D．或－
4．兩直線3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距離等于(　　)
A．3 B．7　
C．D．
題型1　點到直線的距離
例1　(1)點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是(　　)
A．3 B．
C．1 D．
(2)已知點M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數m＝(　　)
A．0 B．
C．3 D．0或
(3)點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是(　　)
A．8 B．2
C．D．16
方法歸納
點到直線的距離的求解方法
1．求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可．
2．對于與坐標軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
3．若已知點到直線的距離求參數時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可．
跟蹤訓練1　求點P(3，－2)到下列直線的距離：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
題型2　兩條平行線間的距離
例2　(1)兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________；
(2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________．
狀元隨筆　(1)首先利用對應系數的比值相等求m，再計算距離；
(2)設出直線l的方程，利用兩條平行線間距離公式求解．
方法歸納
求兩平行線間距離一般有兩種方法
1．轉化法：將兩平行線間的距離轉化為其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
2．公式法：直接用公式d＝，但要注意兩直線方程中x，y的系數必須分別相同．
跟蹤訓練2　與直線2x＋y＋1＝0的距離等于的直線方程為(　　)
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
題型3　距離公式的綜合應用
例3　(1)兩條互相平行的直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？當d取最大值時，請求出兩條直線的方程；
(2)在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大．
狀元隨筆　點到直線的距離的最值問題可轉化為對稱問題、共線問題．
方法歸納
求最值問題的處理思路
1．利用對稱轉化為兩點之間的距離問題．
2．利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離．
3．利用距離公式轉化為一元二次函數的最值問題．
跟蹤訓練3　(改變問法)本例條件不變，求到A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小的P點的坐標？
教材反思
1．本節(jié)課的重點是掌握點到直線的距離公式，能用公式求點到直線的距離，會求兩條平行直線間的距離．難點是能用公式求點到直線的距離．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)點到直線的距離的求解方法；
(2)求兩平行直線間的距離有兩種思路；
(3)待定系數法求解有關距離問題的方法．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是求兩條平行線間距離時易用錯公式．
2．2.4　點到直線的距離
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．垂足　2.
知識點二
1．公垂線段　2.點　直線　3.
[基礎自測]
1．解析：由點到直線的距離公式得d＝＝.
答案：D
2．解析：由兩平行線間的距離公式可得d＝＝＝.
答案：A
3．解析：由點到直線的距離公式得＝1，解得m＝或－.
答案：D
4．解析：直線6x＋8y－5＝0化為3x＋4y－＝0.
故兩直線平行，且兩直線間的距離為：d＝＝＝.
答案：C
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)點P(1，－1)到直線l的距離d＝＝.
(2)點M到直線l的距離d＝＝，
所以＝3，解得m＝0或m＝.
(3)x2＋y2＝()2，它表示原點到(x，y)距離的平方，x2＋y2的最小值即為原點到直線x＋y－4＝0的距離的平方，＝8.
答案：(1)B　(2)D　(3)A
跟蹤訓練1　解析：(1)直線y＝x＋化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得
d＝＝.
(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.
(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.
例2　解析：(1)由題意，得＝，所以m＝2，
將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，
由兩平行線間距離公式，得＝＝.
(2)設直線l的方程為2x－y＋C＝0，
由題意，得＝，
解得C＝1，所以直線l的方程為2x－y＋1＝0.
答案：(1)　(2)2x－y＋1＝0
跟蹤訓練2　解析：根據題意可設所求直線方程為2x＋y＋c＝0，因為兩直線間的距離等于，所以d＝＝，
解得c＝0或c＝2.
故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：D
例3　解析：(1)如圖，
顯然有0而|AB|＝＝3.
故所求的d的變化范圍為(0，3].
由上圖可知，當d取最大值時，兩直線與AB垂直．
而kAB＝＝，
∴所求直線的斜率為－3.
故所求的直線方程分別為
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
(2)如圖所示，設點B關于直線l的對稱點B′的坐標為(a，b)，則kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
所以a＋3b－12＝0.　①
又由于線段BB′的中點坐標為，且在直線l上，所以3×－1＝0.即3a－b－6＝0，　②
解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．于是AB′的方程為
＝，即2x＋y－9＝0.
所以由解得
即直線l與AB′的交點坐標為(2，5)．
所以點P(2，5)為所求．
跟蹤訓練3　解析：如圖所示，設點C關于直線l的對稱點為C′，求出點C′的坐標為.
所以AC′所在直線的方程為
19x＋17y－93＝0，
AC′和l的交點坐標為.
故P點坐標為.2．3.1　圓的標準方程
[課標解讀]　回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程．
教材要點
知識點一　圓的標準方程
1．以C(a，b)為圓心，r(r>0)為半徑的圓的標準方程為________．
2．以原點為圓心，r為半徑的圓的標準方程為________．
知識點二　點與圓的位置關系
設點P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點與圓的位置關系對應如下：
位置關系 點在圓外 點在圓上 點在圓內
d與r的大小關系 ________ ________ ________
狀元隨筆　若點P(x0，y0)在圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要滿足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圓C內和圓C外又滿足怎樣的關系？
[提示]　若點P在圓C內，則有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
若點P在圓C外，則有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
基礎自測
1．已知圓的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，則點P(3，2)(　　)
A．是圓心　 B．在圓上　　
C．在圓內　　 D．在圓外
2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　)
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， D．(2，－3)，
3．求以兩點A(－3，－1)和B(5，5)為直徑端點的圓的標準方程．
4．經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑為2的圓的方程是________．
題型1　直接法求圓的標準方程
例1　(1)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程為(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
(2)已知一圓的圓心為點(2，－3)，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的標準方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
狀元隨筆
(1)設出圓心坐標，利用兩點間的距離公式求圓心坐標，再寫出圓的標準方程．
(2)根據中點坐標公式求出直徑兩端點坐標，進而求出圓的半徑，再寫出圓的標準方程．
方法歸納
1．確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，因此用直接法求圓的標準方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐標和半徑，然后直接寫出圓的標準方程．
2．確定圓心和半徑時，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“過切點與切線垂直的直線必過圓心”等．
跟蹤訓練1　以點A(－5，4)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是(　　)
A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16
C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16
D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25
狀元隨筆　當圓與坐標軸相切時要特別注意圓心的坐標與圓的半徑的關系．
題型2　待定系數法求圓的標準方程
例2　求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的標準方程．
狀元隨筆
解答本題可以先根據所給條件確定圓心和半徑，再寫方程，也可以設出方程用待定系數法求解，也可以利用幾何性質求出圓心和半徑．
方法歸納
1．待定系數法求圓的標準方程的一般步驟
設方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程組(由已知條件，建立關于a、b、r的方程組)→解方程組(解方程組，求出a、b、r)→得方程(將a、b、r代入所設方程，得所求圓的標準方程)．
2．充分利用圓的幾何性質，可使問題計算簡單．
跟蹤訓練2　求圓心在x軸上，且過點A(5，2)和B(3，－2)的圓的標準方程．
題型3　與圓有關的最值問題
例3　(1)若P(x，y)為圓C(x＋1)2＋y2＝上任意一點，請求出P(x，y)到原點的距離的最大值和最小值；
(2)若P(x，y)是圓C(x－3)2＋y2＝4上任意一點，請求出P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．
方法歸納
1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
2．求圓外一點到圓的最大距離和最小距離可采用幾何法，先求出該點到圓心的距離，再加上或減去圓的半徑，即可求得．
3．求圓外一條直線到圓的最大距離和最小距離可采用幾何法，先求出圓心到該直線的距離，再加上或減去圓的半徑，即可求得．
跟蹤訓練3　(1)已知圓(x－1)2＋y2＝1上的點到直線y＝kx－2的距離的最小值為1，則實數k＝________；
(2)已知點P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，求的最大值．
教材反思
1．本節(jié)課的重點是會用定義推導圓的標準方程并掌握圓的標準方程的特征，能根據所給條件求圓的標準方程，掌握點與圓的位置關系．難點是根據所給條件求圓的標準方程．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)直接法求圓的標準方程；
(2)待定系數法求圓的標準方程；
(3)求與圓有關的最值的方法．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是求圓的標準方程中易漏解．
2．3　圓及其方程
2．3.1　圓的標準方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2　2.x2＋y2＝r2
知識點二
d＞r　d＝r　d＜r
[基礎自測]
1．解析：圓心M(2，3)，半徑r＝2，∵|PM|＝＝＜r，∴點P在圓內．
答案：C
2．解析：由圓的標準方程可得圓心坐標為(2，－3)，半徑為.
答案：D
3．解析：圓心坐標為(1，2)，半徑r＝＝5，
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
4．解析：圓心是(－2，0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)設圓心坐標為(0，b)，
則由題意知，解得b＝2.
故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
(2)設此直徑兩端點分別為(a，0)，(0，b)，由于圓心坐標為(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圓的半徑r＝，從而所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：(1)A　(2)A
跟蹤訓練1　解析：因該圓與x軸相切，則圓的半徑r等于圓心縱坐標的絕對值，所以圓的方程為(x＋5)2＋(y－4)2＝16.
答案：C
例2　解析：方法一：設點C為圓心，
∵點C在直線：x－2y－3＝0上，
∴可設點C的坐標為(2a＋3，a)．
又∵該圓經過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝－2.
∴圓心坐標為C(－1，－2)，半徑r＝.
故所求圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：設所求圓的標準方程為
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由條件知解得
故所求圓的標準方程為
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：線段AB的中點為(0，－4)，kAB＝＝，
所以弦AB的垂直平分線的斜率k＝－2，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
故圓心是直線y＝－2x－4與直線x－2y－3＝0的交點，由
即圓心為(－1，－2)，圓的半徑為
r＝＝.
所以所求圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
跟蹤訓練2　解析：方法一：設圓的方程為
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
則
所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝5.
方法二：因為圓過A(5，2)，B(3，－2)兩點，
所以圓心一定在線段AB的中垂線上．
AB中垂線的方程為y＝－ (x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圓心坐標為C(4，0)，
所以r＝|CA|＝ +＝.
所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝5.
例3　解析：(1)原點到圓心C(－1，0)的距離d＝1，圓的半徑為，故圓上的點到坐標原點的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝.
(2)P(x，y)是圓C上的任意一點，而圓C的半徑為2，圓心C(3，0)，圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝=2，所以點P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2＋2，最小值為2－2.
跟蹤訓練3　解析：(1)由－1＝1解得k＝－或0.
(2)的幾何意義是圓上的點P(x，y)到點A(1，1)的距離，因此最大值為點A到圓心的距離加上半徑即＋1.
答案：(1)－或0　(2)＋12．3.2　圓的一般方程
[課標解讀]　回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的一般方程．
教材要點
知識點一　圓的一般方程的概念
當________________________時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
知識點二　圓的一般方程對應的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為________________，半徑長為________________．
知識點三　對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的說明
方程 條件 圖形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0 表示一個點
D2＋E2－4F＞0 表示以為圓心，以為半徑的圓
狀元隨筆　所有二元二次方程均表示圓嗎？
[提示]　不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0時才表示圓．
基礎自測
1．圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心坐標及半徑分別為(　　)
A．(2，0)，5 B．(2，0)，
C．(0，2)， D．(2，2)，5
2．若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
3．圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周長為________．
4．原點O與圓：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0題型1　圓的一般方程的概念辨析
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：
(1)實數m的取值范圍；
(2)圓心坐標和半徑．
狀元隨筆　(1)根據表示圓的條件求m的取值范圍；
(2)將方程配方，根據圓的標準方程求解．
方法歸納
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：
1．由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F>0，成立則表示圓，否則不表示圓．
2．將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解．
[提醒]　應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解．
跟蹤訓練1　下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
題型2　求圓的一般方程
例2　已知△ABC的三個頂點分別為A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，則其外接圓的方程為____________．
狀元隨筆　由條件，所求圓的圓心、半徑均不明確，故設出圓的一般方程，用待定系數法求解．
方法歸納
應用待定系數法求圓的方程
1．如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數法求出a，b，r；
2．如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數法求出常數D，E，F(xiàn).
跟蹤訓練2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圓的方程．
題型3　求動點的軌跡方程
例3　(1)已知Rt△ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：直角頂點C的軌跡方程；
(2)公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓．后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓．已知直角坐標系中A(－2，0)，B(2，0)，則滿足|PA|＝2|PB|的點P的軌跡的圓心為________，面積為________．
狀元隨筆　設點P (x，y)，然后代入|PA|＝2|PB|，化簡即可求出圓的方程．
方法歸納
求解與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．
(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
跟蹤訓練3　(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
(2)已知動點M到點(8，0)的距離等于點M到點(2，0)的距離的2倍，求出點M的軌跡方程．
狀元隨筆　直角邊垂直 斜率相乘等于－1 轉化為方程 檢驗．
教材反思
1．本節(jié)課的重點是了解圓的一般方程的特點，會由一般方程求圓心和半徑，會根據給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題，初步掌握求動點的軌跡方程的方法．難點是會根據給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)二元二次方程表示圓的判定方法；
(2)應用待定系數法求圓的方程的方法；
(3)代入法求軌跡方程的一般步驟．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是忽略二元二次方程表示圓的條件．
2．3.2　圓的一般方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
D2＋E2－4F＞0
知識點二
[基礎自測]
1．解析：x2＋y2－4x－1＝0可化為(x－2)2＋y2＝5，∴圓心為(2，0)，半徑r＝.
答案：B
2．解析：∵圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1，2)，∴3x＋y＋a＝0過點(－1，2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案：B
3．解析：由圓的方程可求得圓的半徑r＝＝＝，所以圓的周長為2π.
答案：2π
4．解析：把(0，0)代入圓的方程左邊，得(a－1)2.
因為a∈(0，1)，所以(a－1)2>0，故原點O在圓外．
答案：原點O在圓外
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)據題意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，故m的取值范圍為.
(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標準方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圓心坐標為(－m，1)，半徑r＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何圖形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示點(－a，0)．
(3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F(xiàn)＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圓，它的圓心為，
半徑r＝＝|a|.
例2　解析：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由題意可得
解得
故圓的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
跟蹤訓練2　解析：設三角形ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)
由題意得解得
即三角形ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
例3　解析：(1)方法一：(直接法)設C(x，y)，
則kAC＝，kBC＝.
因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共線，所以y≠0.
故頂點C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二：(定義法)設線段AB的中點為D，則D(1，0)．
由題意知|CD|＝|AB|＝2.
所以點C的軌跡是以D為圓心，以2為半徑的圓，其方程為(x－1)2＋y2＝4.
由于直角頂點C不在直線AB上，
所以y≠0.
故頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)設點P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得＋y2＝.所以點P的軌跡的圓心為，半徑為.圓的面積為 π.
答案：(1)見解析　(2) π
跟蹤訓練3　解析：(1)設P(x，y)，由條件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又當P，M，N三點共線時，不能構成三角形，所以x≠±2，即所求軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．
(2)設M(x，y)，則 ＝2，整理可得點M的軌跡方程為x2＋y2＝16.
答案：(1)C　(2)見解析2.3.3　直線與圓的位置關系
[課標解讀]　1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
教材要點
知識點　直線與圓的位置關系的判定
設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線方程為Ax＋By＋C＝0，則：
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 ____個 ____個 ____個
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d＝ d____r d____r d____r
代數法：由消元得到一元二次方程的判別式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
圖形
基礎自測
1．直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是(　　)
A．相交　 　B．相切　　C．相離　　D．無法判斷
2．設直線l過點P(－2，0)，且與圓x2＋y2＝1相切，則l的斜率是(　　)
A．±1 B．± C．± D．±
3．直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)
A．1 B．2 C．4　 D．4
4．若直線x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝2相離，則m的取值范圍是________．
題型1　直線與圓位置關系的判定
例1　已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，直線與圓：
(1)有兩個公共點；
(2)只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
狀元隨筆　可聯(lián)立方程組，由方程組解的個數判斷，也可通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系進行判斷．
方法歸納
直線與圓的位置關系的判斷方法
1．幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．
2．代數法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷．
3．直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．
跟蹤訓練1　已知圓C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l的方程為y＝x＋m，求當m為何值時，
(1)直線平分圓；
(2)直線與圓相切；
(3)直線與圓有兩個公共點．
題型2　直線與圓相切的有關問題
例2　過點A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．
狀元隨筆　利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，進而求出切線方程．
方法歸納
過一點的圓的切線方程的求法
1．點在圓上時
求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.
2．點在圓外時
(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
跟蹤訓練2　求過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．
狀元隨筆　切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
題型3　圓的弦長問題
【思考探究】
1．已知直線l與圓相交，如何利用通過求交點坐標的方法求弦長？
[提示]　將直線方程與圓的方程聯(lián)立解出交點坐標，再利用|AB |＝ 求弦長．
2．若直線與圓相交、圓的半徑為r、圓心到直線的距離為d，如何求弦長？
[提示]　通過半弦長、弦心距、半徑構成的直角三角形，如圖所示，求得弦長l＝2.
例3　直線l經過點P(5，5)并且與圓C：x2＋y2＝25相交截得的弦長為4，求l的方程．
狀元隨筆　設出點斜式方程，利用r、弦心距及弦長的一半構成三角形可求．
方法歸納
直線與圓相交時弦長的兩種求法
1．幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有()2＋d2＝r2，則|AB|＝2.
圖1　　　　　　　　　　　圖2　
2．代數法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直線l的斜率k存在且不為0)．
跟蹤訓練3　(1)圓心坐標為(2，－1)的圓在直線x－y－1＝0上截得的弦長為2，則此圓的方程為________；
(2)經過點P(2，－1)且被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長最短，求此時直線l的方程．
題型4　與圓有關的最值問題
例4　已知實數x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
狀元隨筆　的幾何意義是圓上的點與原點構成直線的斜率，根據直線與圓相切求得．
跟蹤訓練4　已知實數x，y滿足(x－3)2＋y2＝3，(1)的最大值是________，(2)x2＋y2的最大值是________，(3)2x－y的取值范圍是________.
狀元隨筆
1．形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
2．形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋截距的最值問題．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
教材反思
1．本節(jié)課的重點是理解直線和圓的三種位置關系，會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，能解決直線與圓位置關系的綜合問題．難點是解決直線與圓的位置關系．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)直線與圓位置關系的判斷方法．
(2)求圓的切線的方法．
(3)求直線與圓相交時弦長的方法．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是在解決直線與圓位置關系問題時易漏掉斜率不存在的情況．
2．3.3　直線與圓的位置關系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
2　1　0　＜　＝　＞　＞　＝　＜
[基礎自測]
1．解析：圓心(0，0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝＝1，又圓x2＋y2＝1的半徑r＝1，∴d＝r，故直線與圓相切．
答案：B
2．解析：設l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.又l與圓相切，∴＝1.∴k＝±.
答案：C
3．解析：圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓心(1，2)到直線x＋2y－5＋＝0的距離d＝＝1，所以弦長為2＝4.
答案：C
4．解析：因為直線x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝2相離，
所以>，解得m＜－2或m＞2.
答案：m＜－2或m＞2
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：方法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程，化簡、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)當Δ＞0，即m＞0或m＜－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
(2)當Δ＝0，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
(3)當Δ＜0，即－＜m＜0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．
方法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圓心為(2，1)，半徑r＝2.
圓心(2，1)到直線mx－y－m－1＝0的距離
d＝＝.
(1)當d＜2，即m＞0或m＜－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
(2)當d＝2，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
(3)當d＞2，即－＜m＜0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．
跟蹤訓練1　解析：(1)因為直線平分圓，所以圓心(1，1)在直線y＝x＋m上，故有m＝0.
(2)因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
所以d＝＝＝2，m＝±2，
即m＝±2時，直線l與圓相切．
(3)直線與圓有兩公共點，d＜r，即＜2，所以－2＜m＜2時有兩個公共點．
例2　解析：因為(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以點A在圓外．
①若所求切線的斜率存在，設切線斜率為k，
則切線方程為y＋3＝k(x－4)．
因為圓心C(3，1)到切線的距離等于半徑，半徑為1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切線方程為y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若直線斜率不存在，
圓心C(3，1)到直線x＝4的距離為1，
這時直線與圓相切，所以另一條切線方程是x＝4.
綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.
跟蹤訓練2　解析：由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k，
則切線方程為y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)或
y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
例3　解析：據題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y－5＝k(x－5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一：聯(lián)立方程組
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合題意．
故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝×4＝2，
則|OH|＝＝.
∴＝，解得k＝或k＝2.
∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
跟蹤訓練3　解析：(1)圓心到直線的距離d＝＝，由于弦心距d、半徑r及弦長的一半構成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(2)圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝25.圓心C(3，1)．所以點P在圓內．當CP⊥l時，弦長最短．
又kCP＝＝2.所以kl＝－，所以直線l的方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0.
答案：(1)(x－2)2＋(y＋1)2＝4　(2)見解析
例4　解析：(1)原方程表示以點(2，0)為圓心，以為半徑的圓，設＝k，即y＝kx，
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±.
故的最大值為，最小值為－.
(2)設y－x＝b，即y＝x＋b，
當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值為－2＋，
最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟蹤訓練4　解析：(3)設2x－y＝b，則2x－y－b＝0，
當圓心(3，0)到直線2x－y－b＝0的距離小于等于時，直線與圓有交點．令d＝，
得：6－≤b≤6＋.
答案：(1)　(2)12＋6　(3)[6－，6＋]2.3.4　圓與圓的位置關系
[課標解讀]　1.能根據給定直線、圓的方程，判斷圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
教材要點
知識點一　圓與圓的位置關系
圓與圓的位置關系有五種，分別為________、________、________、________、________．
知識點二　圓與圓的位置關系的判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1、r2的關系 ________ ________ ________ ________ ________
(2)代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．
一元二次方程
知識點三　兩圓的公切線
兩圓相離時，有四條公切線；外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；內切時，僅有一條公切線；內含時，沒有公切線．
基礎自測
1．兩圓x2＋y2＝r2與(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，則r的值是(　　)
A． B．5
C． D．2
2．兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關系是(　　)
A．外離　　B．相交
C．內切 D．外切
3．已知兩圓的半徑分別為方程x2－7x＋12＝0的兩個根，如果圓心距|O1O2|＝8，則兩圓的位置關系是(　　)
A．外離 B．外切
C．內切 D．相交
4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．
題型1　圓與圓位置關系的判定
例1　當實數k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？
狀元隨筆　→利用|C1C2|與|r1－r2|和r1＋r2的關系求k
方法歸納
1．判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍問題有以下幾個步驟：
(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；
(2)計算兩圓圓心的距離d；
(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合．
2．應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系．
跟蹤訓練1　已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：
(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含．
題型2　兩圓相交的有關問題
例2　已知兩圓x2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0.
(1)公共弦所在直線的方程是(　　)
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
(2)求兩圓相交所得公共弦的弦長．
方法歸納
1．求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數．
2．求兩圓公共弦長的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
3．已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟蹤訓練2　(1)求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長；
(2)兩圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
題型3　圓與圓的相切問題
【思考探究】
1．圓與圓相切是什么意思？
[提示]　兩圓相切指得是內切和外切兩種情況．
2．兩圓相切可用什么方法求解？
[提示]　(1)幾何法，利用圓心距d與兩半徑R，r之間的關系求得
d＝R＋r為外切，d＝|R－r|為內切．
(2)代數法，將兩圓聯(lián)立消去x或y得到關于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．
例3　求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程．
狀元隨筆　設圓的方程，利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得．
方法歸納
處理兩圓相切問題的兩個步驟
1．定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論．
2．轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．
跟蹤訓練3　已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
教材反思
1．本節(jié)課的重點是理解并掌握圓與圓的位置關系，會利用方程判斷圓與圓的位置關系，以及解決有關問題，難點是利用方程判斷圓與圓的位置關系及利用直線與圓的方程解決簡單的實際生活問題．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)判斷兩圓位置關系的方法及應用．
(2)求兩圓公共弦長的方法．
易錯點　本節(jié)課的易錯點是判斷兩圓位置關系時易忽略相切的兩種情況而丟解．
2．3.4　圓與圓的位置關系
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
外離　外切　相交　內切　內含
知識點二
(1)d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　d＝|r1－r2|　d＜|r1－r2|　(2)相交　內切或外切　外離或內含
[基礎自測]
1．解析：∵兩圓外切，∴圓心距d＝＝2r，解得r＝.
答案：C
2．解析：兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圓心分別為(0，0)和(4，－3)，半徑分別為3和4.
所以兩圓的圓心距d＝＝5.
又4－3<5<3＋4，故兩圓相交．
答案：B
3．解析：依題意r1＋r2＝7，又|O1O2|＝8，故選A.
答案：A
4．解析：圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑r1＝1；
圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2＝(k＜50)．
從而|C1C2|＝＝5.
當1＋＝5，k＝34時，兩圓外切．
當|－1|＝5，＝6，k＝14時，兩圓內切．
當|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，
即14＜k＜34時，兩圓相交．
當1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50時，兩圓相離．
跟蹤訓練1　解析：圓C1，C2的方程，經配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；
當|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內切．
(2)當3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時，兩圓相交．
(3)當|C1C2|＞5，即a＞5時，兩圓外離．
(4)當|C1C2|＜3，即0例2　解析：(1)兩圓方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0相減，可得公共弦所在直線方程為6x＋8y－3＝0.
(2)x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成標準方程得，
(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
所以弦長為2＝2 ＝.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)聯(lián)立兩圓的方程得方程組
兩式相減得x－2y＋4＝0，
此即為兩圓公共弦所在直線的方程．
方法一：設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點坐標滿足方程組
解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦長為2.
方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標為(1，－5)，半徑長r＝5，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為
d＝＝3.
設公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝ (3)2＋l2，解得l＝，故公共弦長2l＝2.
(2)圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
∴|C1C2|＝＝，0<<4，兩圓相交，公切線有2條．
答案：(1)見解析　(2)B
例3　解析：設所求圓的方程為
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，
則＝r＋1.　①
又所求圓過點M的切線為直線x＋y＝0，
故＝.　②
＝r.　③
解由①②③組成的方程組得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圓的方程為
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
跟蹤訓練3　解析：設動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動圓與已知圓內切，則＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D

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