資源簡介

2.4　曲線與方程
[課標解讀]　1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系.2.理解曲線的方程和方程的曲線的概念.3.掌握求軌跡方程建立坐標系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個步驟.4.掌握求軌跡方程的幾種常用方法.5.初步學會通過曲線的方程研究曲線的幾何性質．
教材要點
知識點一　曲線與方程的概念
一般地，一條曲線可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點的________．
一個二元方程總可以通過移項寫成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是關于x，y的解析式．
在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關系：
①________________都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在________C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做__________；曲線C叫做__________．
狀元隨筆　
1．如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”，會出現什么情況？舉例說明．
[提示]　如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”，有可能擴大曲線的邊界．如方程y＝表示的曲線是半圓，而非整圓．
2．如果曲線C的方程是F(x，y)＝0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？
[提示]　若點P在曲線C上，則F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，則點P在曲線C上，所以點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是F(x0，y0)＝0.
知識點二　兩條曲線的交點坐標
曲線C1：F(x，y)＝0和曲線C2：G(x，y)＝0的交點坐標為____________的實數解．
知識點三　解析幾何研究的主要問題
(1)由曲線求它的________．
(2)利用方程研究曲線的________．
知識點四　求曲線的方程的步驟
狀元隨筆　求曲線方程的步驟是否可以省略．
[提示]　可以省略．如果化簡前后方程的解集是相同的，可以省略步驟“證明”，如有特殊情況，可以適當說明．
基礎自測
1．方程x2y2＝1的曲線是(　　)
2．如圖，圖形的方程與圖中曲線對應正確的是(　　)
A　　　 　B　　 　　C　　 　　D
3．下列各點中，在曲線x2－xy＋2y＋1＝0上的是(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，3)
4．平面上有三點A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程為________．
題型1　曲線與方程的概念
例1　(1)命題“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”是命題“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)若曲線C的方程為y＝2x－1(1A．(0，0) B．(7，15)
C．(2，3) D．(4，4)
方法歸納
解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是不是曲線的方程或判定曲線是不是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應的回答即可．判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程．
跟蹤訓練1　下列命題正確的是________．(填序號)
①設點A(2，0)，B(0，2)，則線段AB的方程是x＋y－2＝0；
②到原點的距離等于5的動點的軌跡是y＝；
③到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是x2－y2＝0.
題型2　由方程研究曲線的性質
例2　寫出方程y2－4x－4＝0的曲線的主要性質．
方法歸納
利用方程研究曲線性質的一般過程
跟蹤訓練2　畫出到兩坐標軸距離之差等于1的點的軌跡圖形．
題型3　直接法求曲線方程
例3　已知兩定點A(－2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足條件|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(　　)
A．9π　　 B．8π　　　
C．4π　　　　D．π
方法歸納
直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.要注意軌跡上的點不能含有雜點，也不能少點，也就是說曲線上的點一個也不能多，一個也不能少．
跟蹤訓練3　一個動點P到直線x＝8的距離是它到點A(2，0)的距離的2倍．求動點P的軌跡方程．
題型4　代入法求曲線的方程
【思考探究】
1．為什么說“建立平面直角坐標系是解析幾何的基礎”？
[提示]　只有建立了坐標系，才有點的坐標，才能把曲線代數化，才能用代數法研究幾何問題．
2．常見的建系原則有哪些？
[提示]　(1)若條件中只出現一個定點，常以定點為原點建立直角坐標系．
(2)若已知兩定點，常以兩定點的中點為原點，兩定點所在的直線為x軸建立平面直角坐標系．
3．求得曲線方程后，如何避免出現“增解”或“漏解”？
[提示]　在化簡的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“漏解”或“增解”．同時注意題中隱含信息，比如“三點不能共線”，若共線就不能取．
例4　動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3，0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程．
狀元隨筆　所求動點與已知曲線上動點相關，可通過條件確定兩動點的坐標間的關系求得．
方法歸納
代入法求解曲線方程的步驟
1．設動點P(x，y)，相關動點M(x0，y0)；
2．利用條件求出兩動點坐標之間的關系
3．代入相關動點的軌跡方程；
4．化簡、整理，得所求軌跡方程．
其步驟可總結為“一設二找三代四整理”．
跟蹤訓練4　設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
狀元隨筆　方法一：由平行四邊形性質可知|MP|＝|ON|＝2，滿足圓的定義，注意去掉不滿足條件的點；
方法二：根據對角線互相平分，利用代入法可求出軌跡方程．
2．4　曲線與方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
軌跡方程　曲線C上點的坐標　曲線　曲線的方程
方程的曲線
知識點二
方程組
知識點三
方程　性質
知識點四
有序實數對(x，y)　P＝{M|p(M)}　p(M)　f(x，y)＝0　f(x，y)＝0　方程的解
[基礎自測]
1．解析：方程x2y2＝1，化為xy＝±1，
即y＝±.所以曲線為D.
答案：D
2．答案：D
3．解析：將各點代入驗證，得點(1，－2)滿足．
答案：A
4．解析：＝＝，由⊥得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)．
答案：y2＝8x(x≠0)
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)根據曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”兩層含義．
(2)由y＝2x－1(1答案：(1)B　(2)C
跟蹤訓練1　解析：命題①中方程x＋y－2＝0表示一條直線，坐標滿足該方程的點如(－1，3)不在線段AB上，故命題①錯誤．
命題②中到原點的距離等于5的動點的軌跡方程為x2＋y2＝25，方程y＝表示的曲線是圓x2＋y2＝25除去x軸下半部分的曲線，故命題②錯誤．
命題③中到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為|x|＝|y|，滿足x2－y2＝0，反過來坐標滿足方程x2－y2＝0的點到兩坐標軸的距離相等，故命題③正確．
答案：③
例2　解析：(1)曲線變化情況：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切實數，x逐漸增大時，|y|無限增大．
∴曲線在直線x＝－1的右側，向上向下無限伸展．
(2)對稱性：用－y代y方程不變，故曲線關于x軸對稱．
(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，
∴曲線的與x軸交點的橫坐標為－1，與y軸交點的縱坐標為±2.
(4)畫方程的曲線：
列表：
x －1 0 1 2 3 …
y 0 ±2 ±2.83 ±3.46 ±4 …
描點作圖如圖所示．
跟蹤訓練2　解析：到兩坐標軸距離之差等于1的點(x，y)，滿足的方程是||x|－|y||＝1，
其中以－x代x，或－y代y，方程都不變，所以方程的曲線關于坐標軸對稱，同時也關于原點對稱，需畫出x≥0，y≥0的圖形后，利用對稱性完成畫圖，如圖．
例3　解析：設P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化簡整理，得(x－2)2＋y2＝4，
所以，動點P的軌跡是圓心為(2，0)，半徑為2的圓，此圓的面積為4π.
答案：C
跟蹤訓練3　解析：設P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|.
則|8－x|＝2，
化簡，得3x2＋4y2＝48，
故動點P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48.
例4　解析：設P(x，y)，M(x0，y0)，∵P為MB的中點．
∴即
又∵M在曲線x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P點的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.
跟蹤訓練4　解析：方法一：(定義法)|MP|＝|ON|＝2，所以動點P在以M為圓心，半徑為2的圓上．
又因為四邊形MONP為平行四邊形，
所以O，M，P不共線．當點P在直線OM上時有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去點和點.
方法二：(代入法)如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，
則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為()．
由于平行四邊形的對角線互相平分，故＝＝，從而又點N(x＋3，y－4)在圓上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.∵O、M、P三點不共線，∴當點P在直線OM上時，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去點和點.2．5.1　橢圓的標準方程
[課標解讀]　1.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．
教材要點
知識點一　橢圓的定義
1．定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓．
2．相關概念：兩個定點F1，F2叫做橢圓的________，兩焦點的距離|F1F2|叫做橢圓的________．
狀元隨筆　橢圓定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？
[提示]　2a與|F1F2|的大小關系所確定的點的軌跡如下表：
條件 結論
2a＞|F1F2| 動點的軌跡是橢圓
2a＝|F1F2| 動點的軌跡是線段F1F2
2a＜|F1F2| 動點不存在，因此軌跡不存在
知識點二　橢圓的標準方程
焦點位置 在x軸上 在y軸上
標準方程 1(a>b>0) =1(a＞b＞0)
圖形
焦點坐標 (±c，0) (0，±c)
a，b，c的關系 a2＝__________
狀元隨筆　確定橢圓標準方程需要知道哪些量？
[提示]　a，b的值及焦點所在的位置．
基礎自測
1．已知點M到兩個定點A(－1，0)和B(1，0)的距離之和是定值2，則動點M的軌跡是(　　)
A．一個橢圓
B．線段AB
C．線段AB的垂直平分線
D．直線AB
2．以下方程表示橢圓的是(　　)
A．＝1
B．2x2－3y2＝2
C．－2x2－3y2＝－1
D．＝0
3．已知橢圓+＝1上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，則它到另一個焦點的距離為(　　)
A．1　　　B．5
C．2　　D．7
4．以坐標軸為對稱軸，兩個焦點間的距離是2，且過點(0，2)的橢圓的標準方程是(　　)
A．＝1
B．+＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
題型1　求橢圓的標準方程
例1　求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別為(－4，0)和(4，0)，且橢圓經過點(5，0)；
(2)焦點在y軸上，且經過兩個點(0，2)和(1，0)；
(3)經過點A(，－2)和點B(－2，1)．
狀元隨筆　求橢圓標準方程，先確定焦點位置，設出橢圓方程，再定量計算．
方法歸納
確定橢圓方程的“定位”與“定量”
跟蹤訓練1　求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點分別為(0，－2)，(0，2)，經過點(4，3)；
(2)經過兩點(2，－)，(－1，))．
狀元隨筆　若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
題型2　橢圓的定義及其應用
【思考探究】
1．如何用集合語言描述橢圓的定義？
[提示]　P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}.
2．如何判斷橢圓的焦點位置？
[提示]　判斷橢圓焦點在哪個軸上就要通過看橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”．
3．橢圓標準方程中，a，b，c三個量的關系是什么？
[提示]　橢圓的標準方程中，a表示橢圓上的點M到兩焦點間距離的和的一半，
可借助圖形幫助記憶．a，b，c(都是正數)恰是構成一個直角三角形的三條邊，a是斜邊，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如圖所示)．
例2　如圖所示，已知橢圓的方程為+＝1.
(1)若點P為橢圓上的點，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積；
(2)在題設條件不變的情況下，求點P的坐標．
狀元隨筆　由橢圓的定義和余弦定理分別建立關于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用三角形面積公式求解．
方法歸納
橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1、F2構成的△F1PF2稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運算量．且＝b2tan (其中θ＝∠F1PF2)．
跟蹤訓練2　已知橢圓C： +＝1的左、右焦點分別是F1，F2，點P在橢圓C上，且∠PF1F2＝60°，則△PF1F2的面積是(　　)
A．5　　　B．
C．5 D．
題型3　與橢圓定義有關的軌跡問題
例3　如圖，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點A(1，0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點M的軌跡方程．
方法歸納
在求動點的軌跡方程時，要對動點仔細分析，當發現動點到兩定點的距離之和為定值且大于兩定點之間的距離時，由橢圓的定義知其軌跡是橢圓，這時可根據定值及兩定點的坐標分別求出a，c，即可寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫定義法．
跟蹤訓練3　已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程．
2．5　橢圓及其方程
2．5.1　橢圓的標準方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
2．焦點　焦距
知識點二
b2＋c2
[基礎自測]
1．解析：定值2等于|AB|，故點M只能在線段AB上．
答案：B
2．解析：A中方程為圓的方程，B，D中方程不是橢圓方程．
答案：C
3．解析：由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦點的距離為7.
答案：D
4．解析：若橢圓的焦點在x軸上，則c＝1，b＝2，得a2＝5，此時橢圓方程是＝1；若焦點在y軸上，則a＝2，c＝1，則b2＝3，此時橢圓方程是＝1.
答案：C
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)由于橢圓的焦點在x軸上，
∴設它的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求橢圓的標準方程為＝1.
(2)由于橢圓的焦點在y軸上，
∴設它的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
由于橢圓經過點(0，2)和(1，0)，
∴?
故所求橢圓的標準方程為＋x2＝1.
(3)方法一：①當焦點在x軸上時，
設橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
依題意有解得
故所求橢圓的標準方程為＝1.
②當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
依題意有解得
因為a>b>0，所以無解．綜上，所求橢圓的標準方程為＝1.
方法二：設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依題意有解得
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
跟蹤訓練1　解析：(1)方法一：因為橢圓的焦點在y軸上，
所以可設它的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
由橢圓的定義知2a＝＝12，所以a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以橢圓的標準方程為＝1.
方法二：因為橢圓的焦點在y軸上，
所以可設其標準方程為＝1(a＞b＞0)．
由題意得解得
所以橢圓的標準方程為＝1.
(2)方法一：若橢圓的焦點在x軸上，
設橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)．
由已知條件得解得
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
同理可得：焦點在y軸上的橢圓不存在．
綜上，所求橢圓的標準方程為＝1.
方法二：設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
將兩點(2，－)，代入，
得解得
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
例2　解析：(1)由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　①
由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.　②
②代入①解得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝×2×＝，
即△PF1F2的面積是.
(2)設P點坐標為(x0，y0)．
由(1)可知＝|F1F2|·|y0|＝，
解得|y0|＝，即y0＝±，
將y0＝±代入＝1得x0＝±，
所以點P的坐標為(±，±)．
跟蹤訓練2　解析：由題意可得a＝3，c＝＝2.
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面積是m|F1F2|sin 60°＝×4×＝.
答案：D
例3　解析：由垂直平分線性質可知|MQ|＝|MA|，
|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝5.且5>|AC|＝2，
∴M點的軌跡為橢圓，其中2a＝5，
焦點為C(－1，0)，A(1，0)，
∴a＝，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求軌跡方程為＝1.
跟蹤訓練3　解析：如圖所示，設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，
由題意動圓M內切于圓C1，
∴|MC1|＝13－r.
圓M外切于圓C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，
且2a＝16，2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求軌跡方程為＝1.2.5.2　橢圓的幾何性質
[課標解讀]　1.經歷從橢圓標準方程和代數運算得到橢圓的簡單幾何性質，并給出幾何解釋，解決問題，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.3.了解橢圓的簡單應用．
教材要點
知識點　橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
圖形
對稱性 對稱軸__________，對稱中心________
范圍 x∈________，y∈________ x∈________，y∈________
頂點 __________ __________
軸長 短軸長|B1B2|＝________，長軸長|A1A2|＝________
焦點 ________ ________
焦距 |F1F2|＝______
離心率 e＝________(0＜e＜1)
狀元隨筆
1．橢圓上的點到焦點的最大距離與最小距離分別是什么？
[提示]　最大距離：a＋c；最小距離：a－c.
2．橢圓方程+＝1(a＞b＞0)中a，b，c的幾何意義是什么？
[提示]　在方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的幾何意義如圖所示．即a，b，c正好構成了一個以對稱中心，一個焦點、一個短軸頂點構成的直角三角形．
基礎自測
1．橢圓+＝1的焦距為(　　)
A．8 B．4
C． D．2
2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸端點坐標為(　　)
A．(－1，0)(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
3．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
4．若橢圓C：+＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值、最小值分別為(　　)
A．3，1 B．2＋，2－
C．2，1 D．＋1，－1
題型1　由橢圓方程求橢圓的幾何性質
例1　求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．
狀元隨筆　化為標準方程，確定焦點位置及a，b，c的值，再研究相應的幾何性質．
方法歸納
解決此類問題的方法是將所給方程先化為標準形式，然后根據方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，c之間的關系和定義，求橢圓的基本量．
跟蹤訓練1　求橢圓9x2＋y2＝81的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率．
題型2　由橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程
例2　(1)求適合下列條件的橢圓的標準方程：
①長軸長是10，離心率是；
②在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.
狀元隨筆　先判斷焦點位置并設出標準方程，再利用待定系數法求參數a，b，c.
(2)已知橢圓＝1(m>0)的離心率e＝，則m的值為(　　)
A．3　　B．或3
C． D．或
方法歸納
利用性質求橢圓的標準方程，通常采用待定系數法，而其關鍵是根據已知條件確定其標準方程的形式并列出關于參數的方程，解方程(組)求得參數．
跟蹤訓練2　求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．
(1)①已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，其離心率為，焦距為8；
②短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為.
(2)已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實數m等于(　　)
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
狀元隨筆　當橢圓的焦點位置不確定時，通常要分類討論，分別設出標準方程求解，可確定焦點位置的量有焦點、頂點；而不能確定焦點位置的量有長軸長、短軸長、離心率、焦距．
題型3　求橢圓的離心率
【思考探究】
1．求橢圓離心率的關鍵是什么？
[提示]　根據e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，關鍵是找出a，b，c的等量關系．
2．a，b，c對橢圓形-狀有何影響？
[提示]　(1)e＝＝＝.
(2)
例3　已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2是正三角形，求該橢圓的離心率．
狀元隨筆　由題設求得A、B點坐標，根據△ABC是正三角形得出a，b，c的關系，從而求出離心率．
方法歸納
求橢圓離心率的方法
1．直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．
2．若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關系，然后整理成的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e的方程，進而求解．
跟蹤訓練3　已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　)
A．1－ B．2－
C．D．－1
題型4　橢圓的幾何性質中范圍的應用
例4　在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，0)，點P是橢圓＋y2＝1上的一個動點，則|PA|的最大值與最小值的積為________．
方法歸納
設出橢圓上任一點，滿足橢圓的方程，利用橢圓的方程，轉化為二次函數，利用幾何性質中范圍求最值．
跟蹤訓練4　已知P是橢圓+＝1上一點，A(0，5)，求|PA|的最小值與最大值．
2．5.2　橢圓的幾何性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
x軸和y軸　(0，0)　[－a，a]　[－b，b]　[－b，b]　[－a，a]　A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)　A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)　2b　2a　F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　2c　
[基礎自測]
1．解析：a2＝25，b2＝9，所以c＝＝4，焦距為2c＝8.
答案：A
2．解析：x2＋＝1焦點在y軸上，長軸端點坐標為(0，－)，(0，)．
答案：D
3．答案：A
4．解析：橢圓C：＝1，a＝2，c＝1，
可得該橢圓上的點到焦點距離的最大值、最小值分別為a＋c＝3，a－c＝1.
答案：A
課堂探究·素養提升
例1　解析：把已知方程化成標準方程＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a＝10和2b＝8，離心率e＝＝，兩個焦點分別是F1(－3，0)和F2(3，0)，橢圓的四個頂點是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
跟蹤訓練1　解析：橢圓的標準方程為＝1，則a＝9，b＝3，c＝＝6，長軸長2a＝18，短軸長2b＝6，焦點坐標為(0，6)，(0，－6)，頂點坐標為(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)，離心率e＝＝.
例2　解析：(1)①設橢圓的方程為
＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴橢圓方程為＝1或＝1.
②依題意可設橢圓方程為
＝1(a＞b＞0)．
如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求橢圓的方程為＝1.
(2)由題意知m>0，
當5>m時，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
當5所以e＝＝＝，解得m＝.
答案：(1)見解析　(2)B
跟蹤訓練2　解析：(1)①依題意可設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
由題意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，從而b2＝a2－c2＝48，
∴橢圓的標準方程是＝1.
②設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
由已知得
∴從而b2＝9，
∴所求橢圓的標準方程為＝1或＝1.
(2)若焦點在x軸上時，a2＝，b2＝，根據e＝＝?＝?＝?＝，即＝?m＝2；若焦點在y軸上時，a2＝，b2＝即＝?m＝8，所以m等于2或8.
答案：(1)見解析　(2)D
例3　解析：不妨設橢圓的方程為＝1(a＞b＞0)，焦點坐標為F1(－c，0)，F2(c，0)．
依題意設A點坐標為，
則B點坐標為，
∴|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝，
即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
∴c2＋2ac－a2＝0，
兩邊同除以a2，得＋2＝0，
解得e＝＝.
跟蹤訓練3　解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
設|PF2|＝m，則2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，
又由橢圓定義可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，
則離心率e＝＝＝＝－1.
答案：D
例4　解析：設點P的坐標為(x，y)，則－2≤x≤2，y2＝1－，
所以|PA|＝＝＝＝ .
當x＝－時，|PA|取最小值；當x＝2時，|PA|取最大值3.因此|PA|的最大值與最小值的積為3×＝.
答案：
跟蹤訓練4　解析：由題意知橢圓標準方程為＝1，
所以a＝6，b＝2，c＝4并且橢圓焦點在y軸上，
P點是橢圓上任意一點，設P點坐標為(x0，y0)，
那么P點滿足橢圓方程，即
＝1　①
根據兩點間距離公式得：
|PA|＝　②
根據①式和②式得：
|PA|＝，
設z＝－10y0＋29
＝＋(－6≤y0≤6)，
因為∈[－6，6]，則當y0＝時，
zmin＝，即|PA|min＝，
當y0＝－6時，
|PA|max＝
＝11.2．6.1　雙曲線的標準方程
[課標解讀]　1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．
教材要點
知識點一　雙曲線的定義
知識點二　雙曲線的標準方程
焦點所在的坐標軸 x軸 y軸
標準方程 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0)
圖形
焦點坐標 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的關系式 c2＝a2＋b2
狀元隨筆
1．雙曲線中a，b，c的關系如何？與橢圓中a，b，c的關系有何不同？
[提示]　雙曲線標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關系不確定；而在橢圓中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c與b的大小關系不確定．
2．如何確定雙曲線標準方程的類型？
[提示]　焦點F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型，若x2的系數為正，則焦點在x軸上，若y2的系數為正，則焦點在y軸上．
基礎自測
1．若點M在雙曲線-＝1上，雙曲線的焦點為F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，則|MF2|等于(　　)
A．2　　B．4　　　
C．8　 D．12
2．雙曲線-＝1的焦距為(　　)
A．3 B．4
C．3D．4
3．已知雙曲線的兩焦點坐標是F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，則雙曲線的標準方程是(　　)
A．-＝1 B．-＝1
C．-＝1 D．-＝1
4．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為________________．
題型1　求雙曲線的標準方程
例1　(1)已知雙曲線的一個焦點坐標為(，0)，且經過點(－5，2)，則雙曲線的標準方程為(　　)
A．－y2＝1 B．－x2＝1
C．－y2＝1 D．-＝1
(2)求經過點(3，0)，(－6，－3)的雙曲線的標準方程．
狀元隨筆　先設出雙曲線的標準方程，再構造關于a，b的方程組求解．
方法歸納
1．求雙曲線標準方程的兩個關注點
2．待定系數法求雙曲線標準方程的四個步驟
(1)定位置：根據條件確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，還是有兩種可能．
(2)設方程：根據焦點位置，設其方程為-＝1或-＝1(a＞0，b＞0)，焦點位置不定時，亦可設為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
(3)尋關系：根據已知條件列出關于a，b，c(m，n)的方程組．
(4)得方程：解方程組，將a，b(m，n)代入所設方程即可得(求)標準方程．
跟蹤訓練1　根據條件求雙曲線的標準方程．
(1)a＝4，經過點A(1，－)；
(2)與橢圓+＝1共焦點且過點(3，)．
狀元隨筆　求標準方程時，一定要先區別焦點在哪個軸上，選取合適的形式．
題型2　雙曲線定義的應用
【思考探究】
1．如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|F1F2|”？
[提示]　(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線(包括端點)；
(2)若將“小于|F1F2|改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在；
(3)若常數為零，其余條件不變，則動點的軌跡是線段F1F2的中垂線．
2．若|MF1|－|MF2|<|F1F2|，則動點M的軌跡是什么？
[提示]　(1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支．
設F1，F2表示雙曲線的左、右焦點，
①若|MF1|－|MF2|＝2a，則點M在右支上；
②若|MF2|－|MF1|＝2a，則點M在左支上．
(2)雙曲線定義的雙向運用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，則動點M的軌跡為雙曲線；
②若動點M在雙曲線上，則||MF1|－|MF2||＝2a.
例2　已知F1，F2是雙曲線-＝1的兩個焦點，若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32.試求△F1PF2的面積．
狀元隨筆　根據雙曲線的定義及余弦定理求出∠F1PF2即可．
方法歸納
雙曲線上的點P與其兩個焦點F1，F2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
1．定義：|r1－r2|＝2a.
2．余弦公式：4c2＝+－2r1r2cos θ.
3．面積公式：＝r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通過以上三個等式，所求問題就會順利解決．
跟蹤訓練2　已知P是雙曲線-＝1(a>0)上的點，F1、F2是其左、右焦點，且·＝0，若△PF1F2的面積為9，則a等于(　　)
A．2 B．1
C．3 D．4
題型3　與雙曲線定義有關的軌跡問題
例3　如圖，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三內角A，B，C滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程．
方法歸納
1．求解與雙曲線有關的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：
(1)列出等量關系，化簡得到方程；
(2)尋找幾何關系，結合雙曲線的定義，得出對應的方程．
2．求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：
(1)雙曲線的焦點所在的坐標軸；
(2)檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支；
(3)特殊點是否滿足，比如“頂點”．
跟蹤訓練3　如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動圓M與定圓F1，F2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．
題型4　與雙曲線定義有關的含參數問題
例4　(1)若方程+＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是(　　)
A．m＜4 B．m＞9
C．4＜m＜9 D．m＜4或m>9
(2)已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，求k的值．
狀元隨筆　根據雙曲線的定義可知，要使方程表示雙曲線，需9－m和4－m異號，進而求得m的范圍．
方法歸納
方程表示雙曲線的條件及參數范圍求法
(1)對于方程+＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程-＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(3)已知方程所代表的曲線，求參數的取值范圍時，應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式，再根據方程中參數取值的要求，建立不等式(組)求解參數的取值范圍．
跟蹤訓練4　(1)若k∈R，則“k>5”是“方程-＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)橢圓+＝1與雙曲線-＝1有相同的焦點，求a的值．
2．6　雙曲線及其方程
2．6.1　雙曲線的標準方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
距離的差的絕對值　定點F1，F2　兩焦點間
[基礎自測]
1．解析：雙曲線中a2＝16，a＝4，2a＝8，由雙曲線定義知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
答案：B
2．解析：a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故選D.
答案：D
3．答案：A
4．解析：b2＝c2－a2＝49－25＝24，∴雙曲線方程為＝1或＝1.
答案：＝1或＝1
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)依題意可設雙曲線方程為＝1(a＞0，b＞0)，則有解得
故雙曲線標準方程為－y2＝1.
(2)設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵雙曲線經過點(3，0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求雙曲線的標準方程為＝1.
答案：(1)A　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)當焦點在x軸上時，
設所求標準方程為＝1(b>0)，
把點A的坐標代入，得b2＝－<0，不符合題意；
當焦點在y軸上時，
設所求標準方程為＝1(b>0)，
把點A的坐標代入，得b2＝9.
故所求雙曲線的標準方程為＝1.
(2)橢圓＝1的焦點坐標為(2，0)，(－2，0)．依題意，則所求雙曲線焦點在x軸上，可以設雙曲線的標準方程為＝1(a＞0，b＞0)，則a2＋b2＝20.
又∵雙曲線過點(3)，∴＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求雙曲線的標準方程為＝1.
例2　解析：由＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5.
由雙曲線定義及P是雙曲線左支上的點得
|PF1|－|PF2|＝－6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，
由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟蹤訓練2　解析：由＝0得PF1⊥PF2，
由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝100a2.
由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8a，
所以64a2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝100a2－2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝18a2，則△PF1F2的面積為|PF1|·|PF2|＝9a2＝9，因為a>0，所以a＝1.
答案：B
例3　解析：
以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，則A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R為△ABC的外接圓半徑)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
從而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，即所求軌跡方程為＝1(x＞)．
跟蹤訓練3　解析：圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5，0)，半徑r1＝1；
圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5，0)，半徑r2＝4.
設動圓M的半徑為R，
則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴點M的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴動圓圓心M的軌跡方程為＝1.
例4　解析：(1)因為方程＝1表示雙曲線，
所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m＜9.
(2)若焦點在x軸上，則方程可化為＝1，
所以＋k＝32，即k＝6；
若焦點在y軸上，則方程可化為＝1，
所以－k＋＝32，即k＝－6.
綜上所述，k的值為6或－6.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練4　解析：(1)當k>5時，方程表示雙曲線；反之，當方程表示雙曲線時，k>5或k<2.故是充分不必要條件．
(2)由雙曲線方程知焦點在x軸上且c2＝a＋2(a＞0)．
由橢圓方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值為1.
答案：(1)A　(2)見解析2.6.2　雙曲線的幾何性質
[課標解讀]　1.經歷從雙曲線標準方程和代數運算得到雙曲線的簡單幾何性質、幾何圖形，并給出幾何解釋，解決問題，了解它們的簡單幾何性質.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．
教材要點
知識點一　雙曲線的幾何性質
　標準方程 性質　　　 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0)
圖形
焦點 ________ ________
焦距 ________
范圍 ______或______，y∈R ____或____，x∈R
對稱性 對稱軸：________；對稱中心：______
頂點 ________ ________
軸 實軸：線段______，長：______；虛軸：線段________，長：________；實半軸長：____，虛半軸長：____
離心率 e＝∈________
漸近線 ________ ________
狀元隨筆
1．能否用a，b表示雙曲線的離心率？
[提示]　e＝＝＝.
2．離心率對雙曲線開口大小有影響嗎？滿足什么對應關系？
[提示]　有影響，因為e＝＝＝，故當的值越大，漸近線y＝x的斜率越大，雙曲線的開口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大．
知識點二　等軸雙曲線
實軸和虛軸________的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是________，離心率e＝.
基礎自測
1.下列雙曲線中，漸近線方程為y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
2．已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．雙曲線＝1的焦點坐標為____________，離心率為____________．
4．雙曲線的一個焦點是F1(－6，0)，且a2＝b2，則其標準方程為________．
題型1　已知雙曲線的標準方程求其簡單幾何性質
例1　求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
方法歸納
由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟
(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵．
(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
跟蹤訓練1　求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．
題型2　由雙曲線的幾何性質確定標準方程
例2　求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)虛軸長為12，離心率為；
(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±x；
(3)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程．
狀元隨筆　
方法歸納
1．根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式．
2．巧設雙曲線方程的六種方法與技巧
(1)焦點在x軸上的雙曲線的標準方程可設為＝1(a>0，b>0)．
(2)焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設為＝1(a>0，b>0)．
(3)與雙曲線＝1共焦點的雙曲線方程可設為＝1(λ≠0，－b2<λ(4)與雙曲線＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為＝λ(λ≠0)．
(5)漸近線為y＝kx的雙曲線方程可設為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟蹤訓練2　求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)一個焦點為(0，13)，且離心率為；
(2)漸近線方程為y＝±x，且經過點A(2，－3)．
狀元隨筆　利用待定系數法求雙曲線標準方程的關鍵是：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出關于參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
題型3　求雙曲線離心率的值(范圍)
例3　(1)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與C在第一象限交于點P.若∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　)
A．＋1 B．
C． D．－1
(2)已知F為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
狀元隨筆
1．先設|F1F2|＝2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，利用∠PF1F2＝30 °，求出|PF1|，|PF2|，根據雙曲線的定義求得a，c之間的關系，則雙曲線的離心率可得．
2．根據雙曲線的幾何性質可知，|BF|＝，|AF|＝c－a，即可根據斜率列出等式求解即可．
方法歸納
求雙曲線離心率的常見方法
1．依據條件求出a，c，再計算e＝；
2．依據條件建立參數a，b，c的關系式，一種方法是消去b轉化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉化成含的方程，求出后利用e＝求離心率．
跟蹤訓練3　(1)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
(2)若雙曲線y2－4x2＝－m的焦距等于10，則實數m的值等于(　　)
A．20 B．－20
C．±20 D．±80
2．6.2　雙曲線的幾何性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
　(－c，0)，(c，0)　(0，－c)，(0，c)　2c　x≤－a　x≥a　y≤－a　y≥a　坐標軸　原點　A1(－a，0)，A2(a，0)　A1(0, －a)，A2(0, a)　A1A2　2a　B1B2　2b　a　b　(1，＋∞)　y＝±x　y＝±x
知識點二
　相等　y＝±x
[基礎自測]
1．解析：由雙曲線漸近線方程的求法知：雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝±2x，故選A.
答案：A
2．解析：e＝＝，又因為在雙曲線中，c2＝a2＋b2，
所以e2＝＝1＋＝，故＝，
所以雙曲線C：＝1的漸近線方程為y＝±x＝±x.
答案：C
3．答案：(±7，0)　
4．解析：因為等軸雙曲線的一個焦點為(－6，0)，
所以c＝6，
所以2a2＝36，a2＝18.
所以雙曲線的標準方程為＝1.
答案：＝1
課堂探究·素養提升
例1　解析：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n>0)化為標準方程為＝1(m＞0，n>0)，由此可知，實半軸長a＝，
虛半軸長b＝，c＝，
焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝ ，
頂點坐標為(－，0)，(，0)，
所以漸近線方程為y＝±x，
即y＝±x.
跟蹤訓練1　解析：雙曲線的方程化為標準形式是
＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又雙曲線的焦點在x軸上，
∴頂點坐標為(－3，0)，(3，0)，
焦點坐標為(－，0)，(，0)，
實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，
離心率e＝＝，漸近線方程為y＝±x.
例2　解析：(1)設雙曲線的標準方程為
＝1或＝1(a＞0，b＞0)．
由題知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴標準方程為＝1或＝1.
(2)方法一：當焦點在x軸上時，由＝且a＝3，
∴b＝.
∴所求雙曲線方程為＝1.
當焦點在y軸上時，由＝且a＝3，
∴b＝2.
∴所求雙曲線方程為＝1.
方法二：設以y＝±x為漸近線的雙曲線方程為
＝λ(λ≠0)，
當λ>0時，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝，
當λ<0時，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴雙曲線的方程為＝1和＝1.
(3)設與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k，將點(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴雙曲線的標準方程為＝1.
跟蹤訓練2　解析：(1)依題意可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其標準方程為＝1.
(2)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
若焦點在x軸上，設所求雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，則＝.　①
∵A(2，－3)在雙曲線上，∴＝1.　②
由①②聯立，無解．
若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，則＝.③
∵A(2，－3)在雙曲線上，∴＝1.④
由③④聯立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求雙曲線的標準方程為＝1.
例3　解析：(1)設|F1F2|＝2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，又因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，
所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
(2)依題意可得，＝3，而|BF|＝，|AF|＝c－a，即＝3，變形得c2－a2＝3ac－3a2，化簡可得，e2－3e＋2＝0，解得e＝2或e＝1(舍去)．
答案：(1)A　(2)2
跟蹤訓練3　解析：(1)c2＝a2＋1，e2＝＝＝1＋.因為a>1，所以0<<1，1(2)當m>0時，方程化為＝1，雙曲線的焦點在x軸上，則a2＝，b2＝m，依題意，有＋m＝，解得m＝20；當m<0時，方程化為＝1，雙曲線的焦點在y軸上，則a2＝－m，b2＝－，依題意有－m＋＝，解得m＝－20.綜上，m＝±20.故選C.
答案：(1)C　(2)C2.7　拋物線及其方程
2．7.1　拋物線的標準方程
[課標解讀]　1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．
教材要點
知識點一　拋物線的定義
狀元隨筆
平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線嗎？
[提示]　不一定．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線；l不經過點F時，點的軌跡是拋物線．
知識點二　拋物線的標準方程
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
________ (，0) x＝－
________ (－，0) x＝
________ (0，) y＝－
________ (0，－) y＝
狀元隨筆
1．拋物線的標準方程y2＝2px(p>0)中p的幾何意義是什么？
[提示]　焦點到準線的距離．
2．已知拋物線的標準方程，怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向？
[提示]　一次項變量為x (或y)，則焦點在x軸(或y軸)上；若系數為正，則焦點在正半軸上；系數為負，則焦點在負半軸上．焦點確定，開口方向也隨之確定．
基礎自測
1.拋物線x＝－y2的焦點坐標是(　　)
A．(－2，0)　 B．(2，0)
C．(0，) D．(0，－)
2．拋物線x2＝4y的準線方程是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝1 D．y＝－1
3．設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
4．以F(0，－)為焦點的拋物線的標準方程是_______．
題型1　求拋物線的標準方程
例1　分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．
方法歸納
求拋物線方程的主要方法是待定系數法，若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可，若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論，另外，焦點在x軸上的拋物線方程可統一設成y2＝ax(a≠0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統一設成x2＝ay(a≠0)．
跟蹤訓練1　根據下列條件分別求拋物線的標準方程．
(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；
(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5.
題型2　拋物線定義的應用
【思考探究】
1．拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”，這句話的含義是什么？
[提示]　拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”，一個動點，設為M；一個定點F，即拋物線的焦點；一條定直線l，即為拋物線的準線；一個定值，即點M與點F的距離和M到l的距離之比等于1.定點F不能在直線上，否則，動點M的軌跡就不是拋物線．
2．如何通過拋物線定義實現距離轉化？
[提示]　根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．
3．如何利用拋物線定義解決與拋物線有關的最值問題？
[提示]　在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
例2　(1)拋物線y2＝2px(p＞0)過點M(2，2)，則點M到拋物線準線的距離為________；
(2)已知定點A(2，3)，F為拋物線y2＝6x的焦點，P為拋物線上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為(　　)
A．5 B．4.5
C．3.5 D．不能確定
(3)若位于y軸右側的動點M到F(，0)的距離比它到y軸的距離大.求點M的軌跡方程．
狀元隨筆　把|MF|比M到y軸的距離大，轉化為|MF|與點M到x＝－的距離相等，從而利用拋物線定義求解．
方法歸納
利用拋物線的定義可實現拋物線上的點到焦點和到準線距離的相互轉化．解此類最值、定值問題時，首先要注意拋物線定義的轉化應用，其次是注意平面幾何知識的應用，例如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關系，點與直線上點的連線中，垂線段最短等．
跟蹤訓練2　(1)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程；
(3)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．
題型3　與拋物線有關的應用問題
例3　河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，則水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距多少米時，小船開始不能通航？
狀元隨筆　建立平面直角坐標系得出拋物線方程，借助拋物線方程分析求解．
方法歸納
涉及橋的高度、隧道的高低等拋物線型問題，通常用拋物線的標準方程解決，建立直角坐標系后，要結合點的位置分析坐標的符號，根據實際問題中的數據準確寫出點的坐標，再結合實際問題求解．
跟蹤訓練3　
如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為12米，鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點，求每根鐵筋的長度為多少米．
2．7　拋物線及其方程
2．7.1　拋物線的標準方程
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
相等　定點F　定直線l
知識點二
y2＝2px(p＞0)　y2＝－2px(p＞0)　x2＝2py(p＞0)　
x2＝－2py(p＞0)　
[基礎自測]
1．答案：A
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：x2＝－3y
課堂探究·素養提升
例1　解析：(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x2＝2py(p>0)，又＝2，所以2p＝8，故拋物線方程為x2＝8y.
(2)∵點(3，－4)在第四象限，
∴設拋物線的標準方程為
y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p×3，32＝－2p1×(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0)．
∴所求拋物線的標準方程為
x2＝－20y或y2＝－60x.
跟蹤訓練1　解析：(1)雙曲線方程可化為＝1，左頂點為(－3，0)，
由題意設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴拋物線的方程為y2＝－12x.
(2)設所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由拋物線定義得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
例2　解析：(1)y2＝2px過點M(2，2)，于是p＝1，所以點M到拋物線準線的距離為2＋＝.
(2)如圖所示，過點P作PM⊥準線l，垂足為M，
則|PF|＝|PM|，當且僅當A，P，M三點共線時，
|PF|＋|PA|取得最小值|AM|＝2＋＝3.5.
(3)由于位于y軸右側的動點M到F的距離比它到y軸的距離大，所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．
由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程應為y2＝2px(p>0)的形式，而＝，
所以p＝1，2p＝2，故點M的軌跡方程為y2＝2x.
答案：(1)　(2)C　(3)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
(2)設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得圓C圓心為C(2，0)，半徑r＝1.
因為兩圓外切，所以|MC|＝R＋1.
又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，
所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即動點M到定點C(2，0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．
由拋物線的定義可知，點M的軌跡是以C為焦點，x＋2＝0為準線的拋物線，且＝2，p＝4，
故其方程為y2＝8x.
(3)由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離．由圖可知，P點、(0，2)點和拋物線的焦點三點共線時距離之和最小，所以最小距離d＝ ＝.
答案：(1)C　(2)見解析　(3)見解析
例3　解析：
如圖所示，以拱橋的拱頂為原點，
以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系．
設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意可知點B(4，－5)在拋物線上，故p＝，得x2＝－y.
當船面兩側和拋物線接觸時，船不能通航，
設此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距2 m時，小船開始不能通航．
跟蹤訓練3　解析：如圖，在反光鏡的軸截面內建立直角坐標系，
使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑．
由已知，得A點坐標是(2，6)，
設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，
則36＝2p×2，p＝9.
所以所求拋物線的標準方程是y2＝18x，
焦點坐標是F.因為盛水和食物的容器在焦點處，
所以A，F兩點間的距離即為每根鐵筋長．
|AF|＝ ＝6.5，或|AF|＝＋2＝6.5.
故每根鐵筋的長度是6.5米．第一章空間向量與立體幾何
2.7.2　拋物線的幾何性質
[課標解讀]　1.經歷從拋物線標準方程和代數運算得到拋物線的簡單幾何性質、幾何圖形，并給出幾何解釋，解決問題，了解它們的簡單幾何性質.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.3.了解拋物線的簡單應用．
教材要點
知識點一　拋物線的幾何性質
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
圖形
性質 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
對稱軸 x軸 y軸
頂點 ________
離心率 e＝________
狀元隨筆　參數p對拋物線開口大小有何影響？
[提示]　參數p(p＞0)對拋物線開口大小有影響，因為過拋物線的焦點F且垂直于對稱軸的弦的長度是2p，所以p越大，開口越大．
知識點二　焦點弦
設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
基礎自測
1.四種標準方程對應的拋物線有相同的(　　)
A．頂點 B．焦點
C．準線 D．對稱軸
2．頂點在原點，焦點為F(，0)的拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
3．設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是6，則點P到該拋物線焦點F的距離是(　　)
A．8　　　　 B．6　　　　
C．4　　　　 D．2
4．頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是　(　　)
A．x2＝16y　 B．x2＝8y
C．x2＝±8y　 D．x2＝±16y
題型1　由拋物線的幾何性質求標準方程
例1　拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程．
狀元隨筆　解答本題可先確定橢圓的短軸，從而確定拋物線的焦點位置，再寫出標準方程即可．
方法歸納
用待定系數法求拋物線方程的步驟
跟蹤訓練1　已知雙曲線方程是＝1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標準方程及拋物線的準線方程．
題型2　拋物線幾何性質的應用
例2　已知拋物線y2＝8x.
(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍；
(2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長．
狀元隨筆　(1)利用拋物線對應性質的公式求解；
(2)利用拋物線的對稱性即重心的性質求解．
例3　求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小值．
狀元隨筆　方法一：(代數法)設出拋物線上的動點，轉化為函數求最值；
方法二：(幾何法)數形結合思想轉化為兩條平行線間的距離求解．
方法歸納
拋物線的幾何性質在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用，但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件．本題的關鍵是根據拋物線的對稱性和正三角形的性質證明A，B兩點關于x軸對稱．另外，拋物線方程中變量x，y的范圍也是常用的幾何性質．
跟蹤訓練2　(1)已知A(2，0)，B為拋物線y2＝x上的一點，則|AB|的最小值為________；
(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標原點，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點F，求直線AB的方程．
題型3　焦點弦問題
【思考探究】　以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，回答下列問題：
1．過焦點F的弦長|AB|如何表示？還能得到哪些結論？
[提示]　(1)|AB|＝2(+)(焦點弦長與中點M(x0，y0)關系)．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)A，B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
2．以AB為直徑的圓與直線l具有怎樣的位置關系？
[提示]　如圖，AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的一條弦，
設A(x1，y1)，B (x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，相應的準線為l.
所以以AB為直徑的圓必與準線l相切．
例4　已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝p，求AB所在直線的方程．
狀元隨筆　根據弦長求出直線斜率，進而求得直線方程．
方法歸納
1．由于拋物線的焦點弦過焦點，因此與焦點弦有關的問題要注意結合拋物線的定義求解．
2．焦點弦有關的問題要把過焦點的直線方程與拋物線方程聯立，再結合根與系數的關系求解．
3．求焦點弦的長度可以利用兩點間的距離公式，也可以利用弦長公式，但由于弦過焦點，結合拋物線的定義得出焦點弦長為x1＋x2＋p，同時由弦長x1＋x2＋p≥2＋p＝2p知，通徑是所有弦中最短的弦．
跟蹤訓練3　過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，求弦長|AB|.
2．7.2　拋物線的幾何性質
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(0，0)　1
[基礎自測]
1．答案：A
2．解析：頂點在原點，焦點為F(，0)的拋物線的標準方程可設為y2＝2px(p>0)，由題意知＝，故p＝3.因此，所求拋物線的標準方程為y2＝6x.
答案：C
3．解析：∵拋物線的方程為y2＝8x，∴其準線l的方程為x＝－2，設點P(x0，y0)到其準線的距離為d，則d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵點P到y軸的距離是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8.
答案：A
4．解析：頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
課堂探究·素養提升
例1　解析：橢圓的方程可化為+＝1，其短軸在x軸上，
∴拋物線的對稱軸為x軸，
∴設拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，
即＝3，∴p＝6，
∴拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，
其準線方程分別為x＝－3，x＝3.
跟蹤訓練1　解析：因為雙曲線-＝1的右頂點坐標為(2，0)，所以＝2，且拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以所求拋物線方程為y2＝8x，其準線方程為x＝－2.
例2　解析：(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍分別為(0，0)，(2，0)，x＝－2，x軸，x≥0.
(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，又焦點F是△OAB的重心，
則|OF|＝|OM|.
因為F(2，0)，所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3，0)，故設A(3，m)．
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周長為2＋4.
例3　解析：方法一：設A(t，－t2)為拋物線上的點，
則點A到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝＝|3-+8|＝×3＋×＝＋.
所以當t＝時，d有最小值.
方法二：如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，
所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.
所以最小距離為＝＝.
跟蹤訓練2　解析：(1)設點B(x，y)，則x＝y2≥0，所以
|AB|＝＝
＝ ＝.
所以當x＝時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
(2)拋物線的焦點為F(，0)，
因為拋物線關于x軸對稱，|OA|＝|OB|，
所以△ABO為等腰三角形，所以A，B兩點關于x軸對稱，
設A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，
因為△ABO的垂心恰為拋物線的焦點，
所以BF⊥OA.則kBF·kOA＝－1，
即·＝-1.∴＝1.
又因為＝2px0，所以x0＝p，所以直線AB的方程為x＝p.
答案：(1)　(2)見解析
例4　解析：∵過焦點的弦長|AB|＝p，
∴弦所在的直線的斜率存在且不為零，
設直線AB的斜率為k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵y2＝2px的焦點為F(，0).
∴直線方程為y＝k(x-).
由
k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，
∴x1＋x2＝p，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，
又|AB|＝p，
∴＋p＝p，
∴k＝±2.
∴所求直線方程為y＝2(x-)或y＝－2(x-).
跟蹤訓練3　解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得拋物線的焦點是F(1，0)，p＝2，
所以直線AB的方程是y＝x－1，
聯立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.2.8　直線與圓錐曲線的位置關系
[課標解讀]　1.能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題.2.重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養．
教材要點
知識點一　直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線聯立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征 交點個數 位置關系
直線與橢圓 a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相離
直線與雙曲線 a＝0 1 直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相離
直線與拋物線 a＝0 1 直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相離
狀元隨筆　直線與拋物線、雙曲線只有一個公共點時，是否一定相切？
[提示]　不一定，當直線與雙曲線的漸近線平行或與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點，但此時直線與雙曲線、拋物線相交．
知識點二　弦長公式
當直線與圓錐曲線相交時，往往涉及弦的長度，可利用弦長公式表示弦長，從而研究相關的問題，弦長公式為：若直線l的斜率為k，與圓錐曲線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則
|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
基礎自測
1.直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x只有一個公共點，則k值為(　　)
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
2．若直線y＝kx＋1與橢圓＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　)
A．m＞1　　
B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
3．已知雙曲線C：x2－＝1，過點P(1，2)的直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
4．直線y＝a與橢圓＝1恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是________．
題型1　直線與圓錐曲線的位置關系
【思考探究】　直線與圓錐曲線相交時，能用兩點間距離公式求弦長嗎？
[提示]　可以．當直線與圓錐曲線相交，兩交點坐標好求時，可先求出兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長；當兩交點坐標不便求出時，最好不用此法．
例1　已知橢圓E：＝1，直線l：y＝x＋m與橢圓E有兩個公共點，則實數m的取值范圍是________________．
狀元隨筆　聯立方程組，消元后利用判別式求解．
例2　設點M是橢圓C：＝1(a>b>0)上一動點，橢圓的長軸長為4，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求點M到直線l1：x＋y－5＝0距離的最大值及此時點M的坐標．
狀元隨筆　(1)利用長軸長、離心率求a，c，再求出b.
(2)利用與直線l1平行且與橢圓相切的直線求最大值．
方法歸納
直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法
跟蹤訓練1　k為何值時，直線y＝kx＋2和曲線2x2＋3y2＝6有兩個公共點？有一個公共點？沒有公共點？
狀元隨筆　過橢圓內一點的直線均與橢圓相交．
題型2　弦長問題
例3　已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點，交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長．
方法歸納
直線和圓錐曲線相交弦問題的通法就是利用兩個方程聯立得到的一元二次方程，利用弦長公式和根與系數的關系用設而不求的方法解決(要考慮特殊情形)．
跟蹤訓練2　已知點A(－1，0)，B(1，0)，直線AM，BM相交于點M，且kMA·kMB＝－2.
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)過定點(0，1)作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，且|PQ|＝，求直線PQ的方程．
題型3　中點弦問題
例4　已知P(1，1)為橢圓＝1內一定點，經過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________．
狀元隨筆　本題有兩種解法．一是利用設點、代入、作差，借助斜率解題的方法，可稱為“點差法”．二是利用圓錐曲線弦長的基本求法，先利用兩點間距離公式求出含a，b的關系式，再借助弦所在直線的斜率求解．
方法歸納
解決中點弦問題的兩種常用方法
1．聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不求，從而簡化運算解題；
2．利用“點差法”，求出與中點、斜率有關的式子，進而求解．
跟蹤訓練3　過橢圓＝1內一點P(2，1)作一條直線交橢圓于A、B兩點，使線段AB被P點平分，求此直線的方程．
題型4　圓錐曲線中的最值及范圍問題
例5　已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線x2＝－4y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，)在該橢圓上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點B，C，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程．
方法歸納
1．求參數范圍的方法
據已知條件建立等式或不等式的函數關系，再求參數范圍．
2．求最值問題的方法
(1)幾何法
題目中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用圖象來解決．
(2)代數法，題目中給出的條件和結論幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值，求最值的常見方法是均值不等式法，單調性法等．
跟蹤訓練4　已知向量a＝(x，y)，b＝(1，0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
(1)求滿足上述條件的點M(x，y)的軌跡C的方程；
(2)設曲線C與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0，－1)，當|AP|＝|AQ|時，求實數m的取值范圍．
題型5　定值、定點問題
例6　已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(－2，0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設點P(4，0)，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓相交于M，N兩點(點P，M，N三點不共線)，記直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.試判斷k1＋k2是否是定值？若是定值，請求出此定值；若不是定值，請說明理由．
方法歸納
1．直曲聯立時，用k表示兩根與系數的關系．
2．兩點坐標表示直線斜率，多元化為一元．
3．定值問題往往利用韋達定理設而不求，通過約分或抵消而得．
跟蹤訓練5　已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
2．8　直線與圓錐曲線的位置關系
新知初探·自主學習
[基礎自測]
1．答案：D
2．解析：直線y＝kx＋1恒過定點(0，1)，當(0，1)在橢圓上或橢圓內時直線與橢圓總有公共點．∴0<≤1，解得m≥1.當m＝5時＝1表示圓．故選D.
答案：D
3．解析：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，點P在一條漸近線上，又由于雙曲線的頂點為(±1，0)，所以過點P且與雙曲線相切的切線只有一條．過點P平行于漸近線的直線只有一條，所以與雙曲線只有一個公共點的直線有兩條．
答案：B
4．答案：(－)
課堂探究·素養提升
例1　解析：由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
因為直線l與橢圓E有兩個公共點，
所以Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
解得－2＜m＜2，
所以實數m的取值范圍是(－2，2)．
答案：(－2，2)
例2　解析：(1)由題意可知2a＝4，則a＝2，
離心率e＝＝，則c＝2，b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓的標準方程為＝1.
(2)由直線l1的方程與橢圓的方程可以設直線l1與橢圓不相交，設直線m平行于直線l1，
則直線m的方程可以設為x＋y＋k＝0，
由方程組消去y，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0①，
令方程①的根的判別式Δ＝0，得36k2－4×4(3k2－12)＝0②，
解方程②得k1＝4或k2＝－4，
由圖可知，當k＝4時，直線m與橢圓的交點到直線l1的距離最遠，此時直線m的方程為x＋y＋4＝0，
直線m與直線l1的距離d＝＝，所以點M到直線l1：x＋y－5＝0距離的最大值為.
此時由方程4x2＋6kx＋3k2－12＝0，
即x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3，所以y＝－1.
故點M的坐標是(－3，－1)．
跟蹤訓練1　解析：聯立兩方程得
整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
因為Δ＝24(3k2－2)，
當Δ>0時，即k>或k<－時，直線與曲線有兩個公共點．
當Δ＝0時，即k＝±時，直線與曲線有一個公共點．
當Δ<0時，即－例3　解析：因為a2＝4，b2＝1，所以c＝＝，
所以右焦點F(，0)，
所以直線l的方程為y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝
＝ ＝
＝ ＝，
即弦AB的長為.
跟蹤訓練2　解析：(1)設M(x，y)，
則kMA＝，kMB＝(x≠±1)，
∴＝－2，
∴x2＋＝1(x≠±1)．
(2)當直線PQ的斜率不存在，即PQ是橢圓的長軸時，其長為2，顯然不合題意，即直線PQ的斜率存在，
設直線PQ的方程是y＝kx＋1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1－y2＝k(x1－x2)，
聯立
消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)＞0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝
＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，
k2＝2，k＝±，
∴直線PQ的方程是y＝±x＋1.
例4　解析：方法一：易知此弦所在直線的斜率存在，
所以設其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
所以x1＋x2＝，
又因為x1＋x2＝2，
所以＝2，解得k＝－.
故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直線的斜率存在，
所以設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝1①，
＝1②，
①－②得＝0，
因為x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0，
所以k＝＝－，經檢驗k＝－滿足題意．
所以此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
跟蹤訓練3　解析：方法一：如圖，設所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，
代入橢圓方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)
又設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1、x2是(*)方程的兩個根，
所以x1＋x2＝.
因為P為弦AB的中點，
所以2＝＝.
解得k＝－，
所以所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
方法二：設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因為P為弦AB的中點，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又因為A、B在橢圓上，
所以
)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝＝－，
即kAB＝－.
所以所求直線方程為y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
例5　解析：(1)由已知得拋物線的焦點為(0，－)，故設橢圓方程為＝1(a>)．
將點A(1，)代入方程得＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，
解得a2＝4或a2＝1(舍去)，
故所求橢圓方程為＝1.
(2)設直線l的方程為y＝x＋m，B，C的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由∴(x＋m)2＋2x2－4＝0，
得4x2＋2mx＋m2－4＝0，則Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，得－2由x1＋x2＝－m，x1x2＝，得|BC|＝|x1－x2|＝.
又點A到BC的距離為d＝，
故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，
當且僅當2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號．
當m＝±2時，滿足－2故直線l的方程為y＝x±2.
跟蹤訓練4　解析：(1)∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴a2－3b2＝0，∴x2＋3y2＝3，
即點M(x，y)的軌跡C的方程為＋y2＝1.
(2)由
得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲線C與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，即3k2－m2＋1>0.　①
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點N(x0，y0)，則
∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.設kAN表示直線AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.即·k＝－1，
得3k2＝2m－1.　②
∵3k2>0，∴m>.
將②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0例6　解析：(1)依題意得＝1，所以a＝2.
因為e＝＝，所以c＝1.
所以b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)k1＋k2＝0是定值．
由題意可知，橢圓的右焦點F(1，0)．
①當直線l的斜率不存在時，l：x＝1，此時M，N，
所以k1＝＝－，k2＝＝，
所以k1＋k2＝0.
②當直線l的斜率存在時，設直線l：y＝k(x－1)(k≠0)．
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
所以k1＋k2＝＝
＝
因為(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8
＝＋8
＝＝0.
所以k1＋k2＝0.
綜上所述，k1＋k2＝0.
跟蹤訓練5　解析：(1)由題意設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)，
由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴橢圓的標準方程為＝1.
(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，則
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2，0)，
∴kADkBD＝－1，即·＝－1.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋4＝0.
∴7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得：m1＝－2k，m2＝－，且均滿足3＋4k2－m2>0.
當m1＝－2k時，l的方程y＝k(x－2)，直線過點(2，0)，與已知矛盾；
當m2＝－時，l的方程為y＝k，直線過定點.
所以，直線l過定點，定點坐標為.

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