資源簡介

6.1　導數
6．1.1　函數的平均變化率
通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　函數的平均變化率
函數的平均變化率的定義
一般地，已知函數y＝f(x)，x1，x2是其定義域內不同的兩點，記Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，
則當Δx≠0時，商________＝
稱作函數y＝f(x)在區間[x1，x2](或[x2，x1])的平均變化率．
知識點二　函數的平均變化率的幾何意義即割線
的斜率
已知y＝f(x)圖象上兩點A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，過A，B兩點割線的斜率是________________，即曲線割線的斜率就是函數的平均變化率．
知識點三　函數的平均變化率的物理意義即平均
速度
物體在某段時間內的平均速度即函數的平均變化率．
　基 礎 自 測
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相對于x1的一個增量，Δx的值可正可負，但不可為零．(　　)
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負，也可以為零．(　　)
(3)表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．(　　)
(4)平均速度是刻畫某函數在區間[x1，x2]上的變化快慢的物理量．(　　)
2．已知函數y＝f(x)＝2x2的圖象上點P(1，2)及鄰近點Q(1＋Δx，2＋Δy)，則割線PQ的斜率為(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2D．4＋2Δx
3．如圖，函數y＝f(x)在[1，3]上的平均變化率為(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．如果質點M按規律s＝3＋t2(s的單位是m，t的單位是s)運動，則在時間段[2，2.1]內質點M的平均速度等于(　　)
A．3 m/sB．4 m/s
C．4.1 m/sD．0.41 m/s
課堂探究·素養提升——強化創新性
　
　求函數的平均變化率
例1　(1)已知函數f(x)＝2x2－1的圖象上一點(1，1)及鄰近一點(1＋Δx，1＋Δy)，則＝(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2
(2)已知函數f(x)＝x＋，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區間上函數值變化得較快．
狀元隨筆　(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．
(2)
方法歸納
1．求函數平均變化率的三個步驟
第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函數值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均變化率＝.
2．求平均變化率的一個關注點
求點x1附近的平均變化率，可用
的形式．
跟蹤訓練1　函數y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均變化率是(　　)
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
　求物體在某段時間內的平均速度
例2　質點運動規律s＝gt2，則在時間區間(3，3＋Δt)內的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
方法歸納
求運動物體平均速度的兩個步驟
1．求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
2．求平均速度＝.
跟蹤訓練2　一質點按運動方程s(t)＝作直線運動，則其從t1＝1到t2＝2的平均速度為(　　)
A．－1 B．－
C．－2 D．2
　平均變化率的幾何意義
例3　已知曲線y＝x2－1上兩點A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，當Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．
,
方法歸納
已知y＝f(x)圖象上兩點A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，過A，B兩點割線的斜率是＝，即曲線割線的斜率就是函數的平均變化率．
跟蹤訓練3　已知函數y＝x2－1的圖象上一點A(3，8)及鄰近一點B(3＋Δx，8＋Δy)，則割線AB的斜率等于(　　)
A．6 B．6＋Δx
C．6＋(Δx)2 D．6x
　以直代曲
例4　
劉徽是我國魏晉時期杰出的數學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內夾外逼的思想，創立了割圓術，如圖是半徑為1尺的圓內接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面積的近似值為________．
方法歸納
以直代曲思想用來研究函數的局部性質，重在體會“無限逼近”“量變到質變”“近似與精確”的思想．
跟蹤訓練4　已知函數f(x)的部分圖象如圖所示．若把曲線AB近似地看成線段，則圖中陰影部分的面積近似為________．
6．1.1　函數的平均變化率
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
知識點二
＝
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：＝＝4＋2Δx.
答案：D
3．解析：＝＝－1.
答案：B
4．解析：平均速度＝＝＝＝4.1(m/s)，故選C.
答案：C
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
(2)自變量x從1變到2時，函數f(x)的平均變化率為
＝＝；
自變量x從3變到5時，函數f(x)的平均變化率為
＝＝.
因為<，所以函數f(x)＝x＋在自變量x從3變到5時函數值變化得較快．
【答案】　(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：∵Δy＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx，故選C.
答案：C
例2　【解析】　Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
【答案】　30＋5Δt
跟蹤訓練2　解析：＝＝－1＝－.
答案：B
例3　【解析】　當Δx＝1時，割線AB的斜率k1＝＝＝＝5.
當Δx＝0.1時，割線AB的斜率k2＝＝＝4.1.
【答案】　5　4.1
跟蹤訓練3　解析：因為Δy＝(3＋Δx)2－1－32＋1＝6Δx＋(Δx)2，所以＝＝6＋Δx，故選B.
答案：B
例4　【解析】　S正六邊形＝6×＝.
【答案】　
跟蹤訓練4　解析：若把曲線AB近似看成線段，則陰影部分的面積近似為直角三角形的面積S＝×1×3＝.
答案：6．1.2　導數及其幾何意義
第1課時　瞬時變化率與導數
1.通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想．
2．體會極限思想．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點　瞬時變化率與導數
(1)物體運動的瞬時速度
設物體運動路程與時間的關系是s＝f(t)，當________時，函數f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率________________趨近于常數，我們把這個常數稱為t0時刻的瞬時速度．
(2)函數的瞬時變化率
設函數y＝f(x)在x0及其附近有定義，當自變量在x＝x0附近改變量為Δx時，函數值相應地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當Δx趨近于0時，平均變化率________________趨近于一個常數k，那么常數k稱為函數f(x)在點x0的瞬時變化率．
記作：當Δx→0時，→k.
還可以說：當Δx→0時，函數平均變化率的極限等于函數在x0的瞬時變化率k，記作
(3)函數f(x)在x＝x0處的導數
函數y＝f(x)在點x0的________，通常稱為f(x)在點x0處的導數，并記作________，即f′(x0)＝________________．
　基 礎 自 測
1．函數f(x)＝x2在x＝1處的瞬時變化率是________．
2．一物體的運動方程為s(t)＝t2－3t＋2，則其在t＝________時的瞬時速度為1.
3．設函數f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數)，則(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
4．如果函數y＝f(x)在x＝1處的導數為1，那么＝(　　)
A． B．1
C．2 D．
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　求瞬時速度
例1　以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為________．
狀元隨筆　先求出，再求
,
方法歸納
1．求運動物體瞬時速度的三個步驟
(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于常數v，即為瞬時速度．
2．求(當Δx無限趨近于0時)的極限的方法
(1)在極限表達式中，可把Δx作為一個數來參與運算．
(2)求出的表達式后，Δx無限趨近于0就是令Δx＝0，求出結果即可．
跟蹤訓練1　一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2(位移單位：m，時間單位：s)．
(1)求此物體的初速度；
(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度．
　求函數在某點處的導數
例2　(1)曲線y＝在點處的導數為(　　)
A．2 B．－4
C．3 D．
(2)求函數y＝3x2在x＝1處的導數．
狀元隨筆　求函數f(x)在任意點處的導數都應先求平均變化率，再求f ′(x0)．
方法歸納
1．通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關系，對于Δy與Δx的比值，感受和認識在Δx逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數k這一現象．
2．用定義求函數在x＝x0處的導數的步驟
(1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均變化率；
(3)求極限，得導數為f′(x0)＝.
簡記為：一差、二比、三趨近．
跟蹤訓練2　求函數f(x)＝x－在x＝1處的導數．
　導數的實際意義
例3　已知某產品的總成本函數為C＝2Q2＋Q＋3，總成本函數在Q0處導數f′(Q0)稱為在Q處的邊際成本，用MC(Q0)表示．求邊際成本MC(200)，并說明它的實際意義．
方法歸納
由Δx很小時，f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)·Δx，瞬時變化率f′(x0)的實際意義為：當自變量在x＝x0處的改變量很小時，因變量對應的改變量的近似值為f′(x0)·Δx.
跟蹤訓練3　半徑為R的氣球，求半徑為1時體積的瞬時變化率，并說明這一瞬時變化率的實際意義．
6．1.2　導數及其幾何意義
第1課時　瞬時變化率與導數
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
(1)Δt趨近于0　
(2)＝
(3)瞬時變化率　f′(x0)　
[基礎自測]
1．解析：∵f(x)＝x2，
∴函數f(x)在x＝1處的瞬時變化率是
＝
＝
＝＝2.
答案：2
2．解析：設物體在t＝t0時的瞬時速度為1，
因為＝＝＝2t0－3＋Δt，
所以＝2t0－3＝1，解得t0＝2.
答案：2
3．解析：f′(x0)＝＝＝a.
答案：C
4．解析：因為f′(1)＝1，所以＝1，
所以＝＝.
答案：A
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　∵Δs＝＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴＝v0－gt0，
即t0時刻的瞬時速度為v0－gt0.
【答案】　v0－gt0
跟蹤訓練1　解析：(1)初速度v0＝
＝＝＝3，
即物體的初速度為3 m/s.
(2)v瞬＝
＝
＝
＝＝－1，
即物體在t＝2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反．
例2　【解析】　(1)因為y′＝＝＝＝－，所以曲線在點處的切線斜率為k＝－4，故選B.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝，
∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝＝＝6.
【答案】　(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：∵Δy＝(1＋Δx)－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝＝＝2.
例3　【解析】　設Q＝200時，產量的改變量為ΔQ，則＝
＝2ΔQ＋801.
則MC(200)＝＝801，
即產量為200的邊際成本為801，其實際意義是：此時多生產1件產品，成本要增加801.
跟蹤訓練3　解析：半徑為R的氣球體積為f(R)＝πR3，
設R＝1時，半徑的改變量為ΔR，則
＝＝π[3＋3ΔR＋(ΔR)2]，
∴f′(1)＝π·[3＋3ΔR＋(ΔR)2]＝4π，
∴球的體積在半徑R＝1時的瞬時變化率為4π，
實際意義是，當氣球的半徑R＝1時，半徑改變量ΔR很小時，其體積的改變量近似值為4π·ΔR.第2課時　導數的幾何意義
通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義．
新知初探·自主學習——突出基礎性
知識點　導數的幾何意義
曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的導數f′(x0)的幾何意義為________________________．
　
基 礎 自 測
1.已知曲線y＝x2上一點A(2，4)，則在點A處的切線斜率為(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
2．已知函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(　　)
A.f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能確定
3．已知函數y＝f(x)在點(2，1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則f′(2)＝(　　)
A．1 B．－1
C．－3 D．3
4．已知曲線f(x)＝x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　求曲線在某點處切線的方程
例1　已知曲線C：y＝x3.
(1)求曲線C在橫坐標為x＝1的點處的切線方程；
(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？
狀元隨筆　(1)先求切點坐標，再求y′，最后利用導數的幾何意義寫出切線方程．
(2)將切線方程與曲線C的方程聯立求解．
,
方法歸納
1．利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的步驟
(1)求出函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)；
(2)寫出切線方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特別注意：若在點(x0，y0)處切線的傾斜角為，此時所求的切線平行于y軸，所以曲線的切線方程為x＝x0.
2．曲線的切線與曲線的交點可能不止一個．
跟蹤訓練1　已知曲線y＝x3＋，求曲線在點P(2，4)處的切線方程．
　求切點坐標
例2　已知拋物線y＝2x2＋1.求：
(1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為45°？
(2)拋物線上哪一點的切線平行于直線4x－y－2＝0
狀元隨筆　
跟蹤訓練2　已知函數f(x)＝x2.在曲線y＝f(x)上某點P的切線滿足下列條件，分別求出P點．
(1)平行于直線y＝4x－5；
(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；
(3)與x軸成135°的傾斜角．
方法歸納
根據切線斜率求切點坐標的步驟
1．設切點坐標(x0，y0)；
2．求導函數f′(x)；
3．求切線的斜率f′(x0)；
4．由斜率間的關系列出關于x0的方程，解方程求x0；
5．點(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入求y0，得切點坐標．
　曲線過某點的切線方程
例3　求拋物線y＝x2過點(4，)的切線方程．
方法歸納
過點(x1，y1)的曲線y＝f(x)的切線方程的求解步驟
(1)設切點(x0，f(x0))．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，從而寫出切線方程．
跟蹤訓練3　求過點(－1，0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程．
　利用圖象理解導數的幾何意義
例4　(1)已知函數f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是(　　)
A．0B．0C．0D．0(2)若函數y＝f(x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象可能是(　　)
,
方法歸納
根據導數的幾何意義可知，f′(x0)能反映曲線f(x)在x＝x0處的升降及變化快慢情況，若f′(x0)>0，則曲線在該點處上升，若f′(x0)<0，則曲線在該點處下降．
跟蹤訓練4　
已知二次函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)在A，B兩點處的導數f′(a)與f′(b)的大小關系為f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
第2課時　導數的幾何意義
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率
[基礎自測]
1．解析：k＝＝4.
答案：A
2．解析：由導數的幾何意義，知f′(xA)，f′(xB)分別是曲線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)答案：B
3．解析：由題意知切線的斜率為3，即f′(2)＝3.
答案：D
4．解析：設切點坐標為(x0，y0)，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－x0＝＋Δx，∴＝x0＋Δx＋1，∴f′(x0)＝＝x0＋1.則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
答案：D
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點P(1，1)．
y′＝＝
＝＝3.
∴k＝3.
∴曲線在點P(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由
解得或
從而求得公共點為P(1，1)或M(－2，－8)，
即切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另一公共點(－2，－8)．
跟蹤訓練1　解析：∵P(2，4)在曲線y＝x3＋上，
∴曲線在點P(2，4)處切線的斜率為
k＝
＝(Δx)2]＝4.
∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
例2　【解析】　設切點的坐標為(x0，y0)，則
Δy＝－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝＝4x0.
(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，
∴斜率為tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，該點為()．
(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，
∴斜率為4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，該點為(1，3)．
跟蹤訓練2　解析：設P(x0，y0)是滿足條件的點，
f′(x0)＝
＝＝2x0.
(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是滿足條件的點．
(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P(－)是滿足條件的點．
(3)∵切線與x軸成135°的傾斜角，
∴其斜率為－1.
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P(－)是滿足條件的點．
例3　【解析】　設過點(4，)的切線與拋物線相切于點)，
∵f′(x0)＝
＝x0＋Δx)＝x0，
＝x0，
即－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切點坐標為(7，)，(1，)，
故切線方程為y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化簡得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切線方程為14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
跟蹤訓練3　解析：設切點為＋x0＋1)，
則切線的斜率為
k＝＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
當x0＝0時，切線斜率k＝1，過點(－1，0)的切線方程為y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
當x0＝－2時，切線斜率k＝－3，過點(－1，0)的切線方程為y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切線方程為x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
例4　【解析】　(1)kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)為函數f(x)的圖象在點B(2，f(2))處的切線的斜率，
f′(3)為函數f(x)的圖象在點A(3，f(3))處的切線的斜率，
根據圖象可知0(2)依題意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函數，則在函數f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足．
【答案】　(1)C　(2)A
跟蹤訓練4　解析：f′(a)與f′(b)分別表示函數圖象在點A，B處的切線斜率，由圖象可得f′(a)＞f′(b)．
答案：>6．1.3　基本初等函數的導數
1.能根據導數定義求函數y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數．
2．能使用給出的基本初等函數的導數公式表求簡單函數的導數．
教 材 要 點
知識點一　函數的導數
一般地，如果函數y＝f(x)在其定義域內的每一點x________，則稱f(x)可導．此時，對定義域內的每一個值x，都對應一個________．于是，在f(x)的定義域內，f′(x)是一個函數，這個函數通常稱為函數y＝f(x)的導函數，記作__________________________________，
即f′(x)＝y′＝y′x＝.
導函數通常也簡稱為導數．
知識點二　幾個常用函數的導數
原函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝
知識點三　基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
y＝c y′＝________
y＝xn(n∈N＋) y′＝________，n為正整數
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q) y′＝________，μ為有理數
y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝________
y＝ex y′＝________
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y′＝________
y＝ln x y′＝________
y＝sin x y′＝________
y＝cos x y′＝________
基 礎 自 測
1.給出下列結論：
①若y＝，則y′＝－；
②若y＝，則y′＝；
③若f(x)＝3x，則f′(1)＝3.
其中正確的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
2.給出下列命題：
①y＝ln 2，則y′＝；
②y＝，則y′＝－；
③y＝2x，則y′＝2x ln 2；
④y＝log2x，則y′＝.
其中正確命題的個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3.若函數f(x)＝10x，則f′(1)＝(　　)
A． B．10
C．10ln 10 D．
4.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，則α＝(　　)
A． B．
C． D．
課堂探究·素養提升——強化創新性
　利用導數公式求函數的導數
例1　求下列函數的導數：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
狀元隨筆　首先觀察函數解析式是否符合求導形式，若不符合可先將函數解析式化為基本初等函數的求導形式．
方法歸納
1．若所求函數符合導數公式，則直接利用公式求解．
2．對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則，避免不必要的運算失誤．
3．要特別注意“與ln x”，“ax與logax”，“sin x與cos x”的導數區別．
跟蹤訓練1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 則f′(x)－g′(x)＝________．
　利用公式求函數在某點處的導數或者切線方程
例2　(1)質點的運動方程是s＝sin t，求質點在t＝時的速度．
(2)已知函數f(x)＝在x＝a處的導數為－2，則實數a的值是________．
狀元隨筆　先求s ′(t)，再求s ′.
方法歸納
1．速度是路程對時間的導數，加速度是速度對時間的導數．
2．求函數在某定點(點在函數曲線上)的導數的方法步驟是：(1)先求函數的導函數；(2)把對應點的橫坐標代入導函數求相應的導數值．
跟蹤訓練2　(1)求函數f()＝在(1，1)處的導數；
(2)求函數f(x)＝cos x在()處的導數．
　求曲線過某點的切線方程
【思考探究】
1．若函數y＝f(x)在點x0處的導數存在，則曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是什么？
[提示]　根據直線的點斜式方程，得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲線在某點處的切線是否與曲線只有一個交點？
[提示]　不一定，切線只是一個局部概念，是該點處的割線的極限位置，在其他地方可能還有一個或多個公共點．
3．函數在某點處的導數與導函數有什么區別和聯系？
[提示]　區別：函數在某點處的導數是一個定值，導函數是一個函數．
聯系：函數f(x)在x0處的導數就是導函數f′(x)在x＝x0時的函數值．
例3　已知曲線f(x)＝.
(1)求曲線過點A(1，0)的切線方程；
(2)求滿足斜率為－的曲線的切線方程．
狀元隨筆　(1)點A不在曲線上，設切點坐標，寫出切線方程，把A(1，0)代入求出切點坐標，進而求出切線方程．
(2)設出切點坐標，由該點斜率為－，求出切點，進而求出切線方程．
方法歸納
1．求曲線過已知點的切線方程的步驟
2．若已知切線的斜率，則可根據切點處的導數即為斜率求得切點的坐標，根據點斜式寫出切線方程．
跟蹤訓練3　試求過點P(3，5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．
　導數公式的應用
例4　(1)點P是曲線y＝ex上的任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．
(2)已知函數y＝kx是曲線y＝ln x的一條切線，則k＝________．
方法歸納
求曲線方程或切線方程時，應注意：
1．切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；
2．曲線在切點處的導數就是切線的斜率；
3．必須明確已知點是不是切點，如果不是，應先設出切點．
4．“求某曲線上任意一點到某已知直線的最小距離”問題，可結合圖形，利用等價轉化思想，將問題轉化為求曲線平行于已知直線的切線的切點問題，從而借助導數的幾何意義進行求解．
其基本步驟與方法如下：
(1)根據切線與已知直線平行，它們的斜率相等，得到切線的斜率．
(2)根據導數的幾何意義，由切線的斜率得到切點的橫坐標．
(3)由切點在曲線上，求得切點的縱坐標，得到切點的坐標．
(4)利用點到直線的距離公式求得最小距離．
跟蹤訓練4　(1)已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最小距離．
(2)已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________．
6．1.3　基本初等函數的導數
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
都可導　確定的導數f′(x)　f′(x)或y′(或y′x)
知識點二
0　1　2x　－
知識點三
0　nxn－1　μxμ－1　axln a　ex　　cosx　－sinx
[基礎自測]
1．解析：對于①，y′＝(x－3)′＝，正確；
對于②，y′＝，不正確；
對于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正確．
答案：B
2．解析：對于①，y′＝0，故①錯；顯然②③④正確，故選C.
答案：C
3．解析：∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
答案：C
4．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
答案：D
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝′＝.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
跟蹤訓練1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案：3x2－
例2　【解析】　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos＝.
即質點在t＝時的速度為.
(2)f′(x)＝－，當x＝a時，f′(a)＝－＝－2，即a＝±.
【答案】　(1)見解析　(2)±
跟蹤訓練2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sinx，
∴f′＝－sin＝－.
例3　【解析】　(1)f′(x)＝－.
設過點A(1，0)的切線的切點為P，①
則f′(x0)＝，即該切線的斜率為k＝.
因為點A(1，0)，P在切線上，
所以＝，②
解得x0＝.故切線的斜率k＝－4.
故曲線過點A(1，0)的切線方程為y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)設斜率為－的切線的切點為Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切點坐標為()或(－，－)．
故滿足斜率為－的曲線的切線方程為
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
跟蹤訓練3　解析：y′＝2x.
設所求切線的切點為A(x0，y0)．
∵點A在曲線y＝x2上，
∴y0＝，
又∵A是切點，
∴過點A的切線的斜率k＝2x0，
∵所求切線過P(3，5)和A(x0，y0)兩點，
∴其斜率為＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
從而切點A的坐標為(1，1)或(5，25)．
當切點為(1，1)時，切線的斜率為k1＝2x0＝2；
當切點為(5，25)時，切線的斜率為k2＝2x0＝10.
∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
例4　【解析】　(1)如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近，
則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y ′＝(ex) ′＝ex，
＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．
利用點到直線的距離公式得最小距離為.
(2)設切點為(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又點(x0，y0)在曲線y＝lnx上，
∴y0＝lnx0，∴lnx0＝，∴x0＝e，∴k＝.
【答案】　(1)見解析　(2)
跟蹤訓練4　解析：(1)∵y＝x2，∴y′＝(x2)′＝2x.根據題意可知，與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線所對應的切點到直線x－y－2＝0的距離最小，設切點坐標為)，則2x0＝1，
所以x0＝，所以切點坐標為()，切點到直線x－y－2＝0的距離d＝＝，所以拋物線上的點到直線x－y－2＝0的最小距離為.
(2)設切點為(x0，y0)．
因為y′＝3xln 3，
所以k＝ln 3，
所以y＝ln 3·x，
又因為(x0，y0)在曲線y＝3x上，
所以ln 3·x0＝，
所以x0＝＝log3e.
所以k＝eln 3.
答案：(1)見解析　(2)eln 36．1.4　求導法則及其應用
1.能使用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的復合函數的導數(限于形如f(ax＋b))的導數．
2．會使用導數公式表．
新知初探·自主學習——突出基礎性
1.能使用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的復合函數的導數(限于形如f(ax＋b))的導數．
2．會使用導數公式表．
知識點一　導數的運算法則
1．和差的導數
[f(x)±g(x)]′＝________________．
2．積的導數
(1)[f(x)g(x)]′＝________________；
(2)[Cf(x)]′＝________________．
3．商的導數
′＝________________________．
知識點二　復合函數的概念及求導法則
復合函數的概念　 一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成________，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作________．
復合函數的求導法則　 復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為＝________，即y對x的導數等于________________．
　基 礎 自 測
1．下列運算中正確的是(　　)
A．若f′(x)＝2x，則f(x)＝x2
B．已知函數y＝2sin x－cos x，則y′＝2cos x＋sin x
C．已知函數f(x)＝(x＋1)(x＋2)，則f′(x)＝2x＋1
D．′＝
2．函數f(x)＝xex的導數f′(x)＝(　　)
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex) D．ex(x－1)
3．若函數f(x)＝exsin x，則此函數圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為(　　)
A．B．0
C．鈍角 D．銳角
4．函數f(x)＝sin (－x)的導函數f′(x)＝________.
　課堂探究·素養提升——強化創新性
　導數四則運算法則的應用
例1　求下列函數的導數．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sincos.
方法歸納
1．解答此類問題時常因導數的四則運算法則不熟而失分．
2．對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，聯系基本初等函數的導數公式，當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡(恒等變形)，然后求導．這樣可以減少運算量，優化解題過程．
跟蹤訓練1　已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，則x0的值為________．
　復合函數的導數
例2　求下列函數的導數．
(1)y＝e2x＋1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin3x.
狀元隨筆　先分析函數是怎樣復合而成的，找出中間變量，分層求導．
方法歸納
1．解答此類問題常犯兩個錯誤
(1)不能正確區分所給函數是否為復合函數；
(2)若是復合函數，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數復合而成．
2．復合函數求導的步驟
跟蹤訓練2　求下列函數的導數．
(1)y＝cos (x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
　復合函數的導數的應用
【思考探究】
試說明復合函數y＝(3x＋2)2的導函數是如何得出的？
[提示]　函數y＝(3x＋2)2可看作函數y＝u2和u＝3x＋2的復合函數，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2).
例3　(1)已知函數f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，設曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，若直線l與圓C：x2＋y2＝相切，求實數a的值．
狀元隨筆　求出導數f ′(1)，寫出切線方程，由直線l與圓C相切，建立方程求解．
(2)曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　)
A． B．2
C．3 D．0
方法歸納
關于復合函數導數的應用及其解決方法
1．復合函數的導數應用主要有：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用．
2．方法：先求出復合函數的導數，若已知切點則求出切線斜率、切線方程；若切點未知，則先設出切點，用切點表示切線斜率，再根據條件求切點坐標．總之，在解決此類問題時切點起著至關重要的作用．
跟蹤訓練3　(1)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為________．
(2)曲線y＝f(x)＝e2x·cos 3x在點(0，1)處的切線與平行直線l的距離為，求直線l的方程．
6．1.4　求導法則及其應用
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．f′(x)±g′(x)
2．(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(2)Cf′(x)
3.，g(x)≠0，g′(x)≠0
知識點二
x的函數　y＝f(g(x))　·　y對u的導數與u對x的導數的乘積
[基礎自測]
1．解析：A項中，由f′(x)＝2x，則f(x)＝x2＋c，錯誤；B項中，由y＝2sin x－cos x，則y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x，正確；C項中，由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3，錯誤；D項中，′＝，錯誤．
答案：B
2．解析：f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，選A.
答案：A
3．解析：∵f′(x)＝ex sin x＋ex cos x，
∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4).
∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
由導數的幾何意義得，切線的傾斜角為鈍角．
答案：C
4．解析：f′(x)＝[sin (－x)]′＝cos (－x)(－x)′
＝－cos x.
答案：－cos x
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
跟蹤訓練1　解析：∵f′(x)＝
＝(x≠0).
∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
＋＝0，
解得x0＝.
答案：
例2　【解析】　(1)函數y＝e2x＋1可看作函數y＝eu和u＝2x＋1的復合函數，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函數y＝可看作函數y＝u－3和u＝2x－1的復合函數，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函數y＝5log2(1－x)可看作函數y＝5log2u和u＝1－x的復合函數，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函數y＝sin3x可看作函數y＝u3和u＝sinx的復合函數，函數y＝sin 3x可看作函數y＝sin v和v＝3x的復合函數．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
跟蹤訓練2　解析：(1)函數y＝cos (x＋3)可以看作函數y＝cos u和u＝x＋3的復合函數，
由復合函數的求導法則可得
y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x＋3)′
＝－sin u·1＝－sin u＝－sin (x＋3).
(2)函數y＝(2x－1)3可以看作函數y＝u3和u＝2x－1的復合函數，
由復合函數的求導法則可得
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)函數y＝e－2x＋1可以看作函數y＝eu和u＝－2x＋1的復合函數，
由復合函數求導法則可得y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu·(－2)＝－2e－2x＋1.
例3　【解析】　(1)因為f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切線l的方程為2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝＝，解得a＝.
(2)設曲線y＝ln (2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴k＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln (2－1)＝0，即切點坐標為(1，0).
∴切點(1，0)到直線2x－y ＋3＝0的距離為d＝＝，
即曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是.
【答案】　(1)見解析　(2)A
跟蹤訓練3　解析：(1)因為y＝3(x2＋x)ex，所以y′＝3(x2＋3x＋1)ex，所以y′|x＝0＝3，故曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為y－0＝3(x－0)，即y＝3x.
(2)y＝e2x·cos 3x的導數為y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x).曲線在點(0，1)處的切線斜率為e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，
則曲線在點(0，1)處的切線方程為y＝2x＋1，
設直線l：y＝2x＋t，由d＝＝，
解得t＝6或－4.
則直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.
答案：(1)y＝3x　(2)見解析

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