資源簡介

3．1.1　基本計數(shù)原理
第1課時　基本計數(shù)原理
[課標解讀]　1.通過實例，能總結出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理.2.正確地理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　分類加法計數(shù)原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝____________種不同的方法．
知識點二　分步乘法計數(shù)原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝____________種不同的方法．
【基礎自測】
1．下列說法不正確的是(　　)
A．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事
C．從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機和乘輪船，其中飛機每天有3班，輪船有4班．若李先生從甲地去乙地，則不同的交通方式共有7種
D．某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任星期一早晨升旗任務，安排方法共有14種
2．下列說法不正確的是(　　)
①在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的
②在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事
③已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，則x·y可表示不同的值的個數(shù)為9個
④某校高三有三個班，分別有學生50人、50人、52人，從中選一人擔任學生會主席，共有102種不同選法
A．①③ B．①②
C．②④　 D．③④
3．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(　　)
A．7 B．12
C．64 D．81
4．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為(　　)
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不對
題型1　分類加法計數(shù)原理的應用
例1　(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？
(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？
狀元隨筆
(1)按所選組長來自不同班級為分類標準．
(2)按個位(或十位)取0～9不同的數(shù)字進行分類．
方法歸納
1．應用分類加法計數(shù)原理解題的策略
(1)標準明確：明確分類標準，依次確定完成這件事的各類方法．
(2)不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復，又不能遺漏．
(3)方法獨立：確定的每一類方法必須能獨立地完成這件事．
2．利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路
(1)分類：將完成這件事的方法分成若干類；
(2)計數(shù)：求出每一類的方法數(shù)；
(3)結論：將每一類的方法數(shù)相加得出結果．
跟蹤訓練1　(1)某學生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有(　　)
A．1種　　B．2種 C．3種　　D．4種
(2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個．若從三個袋子中任取1個小球，有________種不同的取法．
題型2　分步乘法計數(shù)原理的應用
例2　一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復)
狀元隨筆　根據(jù)題意，必須依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應用分步乘法計數(shù)原理．
方法歸納
1．應用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，每個步驟缺一不可．
2．利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路
(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；
(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；
(3)結論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果．
跟蹤訓練2　今年我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方，若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出2種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為(　　)
A．15　　　 B．30　　　
C．6　　　 D．9
題型3　兩個計數(shù)原理的辨析
【思考探究】
1．某大學食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，試問要“完成的這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？
[提示]　“完成這件事”是指從6種葷菜中選出一種，再從5種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時這件事才算完成．而只選出“一葷一素”不能算“完成這件事”．
2．在1中，要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步？為什么？
[提示]　要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成．只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能達到“一葷一素一湯”的要求，即都不能完成“配成套餐”這件事．
3．在1中，若要配成“一素一湯套餐”，試問可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解嗎？你能說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的主要區(qū)別嗎？
[提示]　5種素菜分別記為A，B，C，D，E. 3種湯分別記為a，b，c.
利用分類加法計數(shù)原理求解：
以選用5種不同的素菜分類：
選素菜A時，湯有3種選法；選素菜B時，湯有3種選法；選素菜C時，湯有3種選法；選素菜D時，湯有3種選法；選素菜E時，湯有3種選法．
故由分類加法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＝15(種)不同的套餐．
利用分步乘法計數(shù)原理求解：
第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法；
第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法．
由分步乘法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有5×3＝15(種)不同套餐．
兩個計數(shù)原理的主要區(qū)別在于分類加法計數(shù)原理是將一件事分類完成，每類中的每種方法都能完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事．
例3　現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9人．
(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？
(2)每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？
(3)選兩人作為社團發(fā)言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？
狀元隨筆
(1)用分類加法計數(shù)原理，分3種情況討論，①選出的是高一學生，②選出的是高二學生，③選出的是高三學生，由各年級的人數(shù)易得各種情況的選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理，相加可得答案；
(2)用分步乘法計數(shù)原理，分3步進行，先從高一學生中選出1人，再從高二學生中選出1人，最后從高三學生中選出1人，根據(jù)各年級的人數(shù)易得每一步的選法數(shù)目，由分步乘法計數(shù)原理，相乘可得答案；
(3)用分類加法計數(shù)原理，分3種情況討論，①若選出的是高一、高二學生，②若選出的是高一、高三學生，③若選出的是高二、高三學生，先計算各種情況的選法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理，相加可得答案．
方法歸納
1．能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點：
(1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；
(2)完成每一步有若干種方法；
(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
2．利用分步乘法計數(shù)原理應注意：
(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．
(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復、交叉．
(3)若完成某件事情需n步，則必須依次完成這n個步驟后，這件事才算完成．
跟蹤訓練3　一個袋子里有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通手機卡．
(1)某人要從兩個袋子中任取一張手機卡自己使用，共有多少種不同的取法？
(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？
教材反思
3．1　排列與組合
3．1.1　基本計數(shù)原理
第1課時　基本計數(shù)原理
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
m1＋m2＋…＋mn
知識點二
m1×m2×…×mn
[基礎自測]
1．解析：A錯誤，在分類加法計數(shù)原理中，分類標準是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的．B正確，在分類加法計數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這件事．C正確，由分類加法計數(shù)原理，從甲地去乙地共3＋4＝7(種)不同的交通方式．D正確，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，擔任星期一早晨升旗任務可以是高一年級，也可以是高二年級，因此安排方法共有8＋6＝14(種).
答案：A
2．解析：①正確，因為在分步乘法計數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同．
②錯誤，因為在分步乘法計數(shù)原理中，要完成這件事需分兩步，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成．
③正確，因為x從集合{2，3，7}中任取一個值共有3個不同的值，y從集合{－3，－4，8}中任取一個值共有3個不同的值，且對應x·y的值各不相同，故x·y可表示3×3＝9個不同的值．
④錯誤，這名學生會主席可能是一班學生，可能是二班學生，也可能是三班學生．依分類加法計數(shù)原理，共有50＋50＋52＝152種不同選法．
答案：C
3．解析：先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計數(shù)原理，上衣與長褲配成一套共4×3＝12(種)不同配法．故選B.
答案：B
4．解析：分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9種不同的走法．
答案：B
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)分四類：
從一班中選一人，有4種選法；
從二班中選一人，有5種選法；
從三班中選一人，有6種選法；
從四班中選一人，有7種選法．
共有不同選法N＝4＋5＋6＋7＝22(種).
(2)方法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個).
方法二：按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個).
跟蹤訓練1　解析：(1)分兩類：買1本或買2本書，各類購買方式依次有2種、1種，故購買方式共有2＋1＝3種．故選C.
(2)有3類不同方案：
第1類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；
第2類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；
第3類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法．
其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15種．
答案：(1)C　(2)15
例2　解析：按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10；
第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10；
第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10；
第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10.
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10 000個四位數(shù)的號碼．
跟蹤訓練2　解析：某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出2種，恰好選出1藥1方，則1藥的取法有3種，1方的取法也有3種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為3×3＝9.
答案：D
例3　解析：(1)根據(jù)題意，選其中一人為負責人，有3種情況：
若選出的是高一學生，有13種情況；
若選出的是高二學生，有12種情況；
若選出的是高三學生，有9種情況；
由分類加法計數(shù)原理可得，共有12＋13＋9＝34種選法．
(2)根據(jù)題意，從高一學生中選出1人，有13種情況；
從高二學生中選出1人，有12種情況；
從高三學生中選出1人，有9種情況；
由分步乘法計數(shù)原理，可得共有13×12×9＝1 404種選法．
(3)根據(jù)題意，分三種情況討論：
若選出的是高一、高二學生，有13×12＝156種情況；
若選出的是高一、高三學生，有13×9＝117種情況；
若選出的是高二、高三學生，有12×9＝108種情況；
由分類計數(shù)原理可得，共有156＋117＋108＝381種選法．
跟蹤訓練3　解析：(1)第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；
第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋12＝22種取法．
(2)第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；
第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有10×12＝120種取法．第2課時　基本計數(shù)原理的應用
[課標解讀]　能夠結合具體實例，識別和理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其作用，并能夠運用這些原理解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點　分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別
分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理
聯(lián)系 兩個原理回答的都是關于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題
區(qū)別一 完成一件事共有n類辦法，關鍵詞是“________” 完成一件事共分n個步驟，關鍵詞是“________”
區(qū)別二 每類辦法都能完成這件事 任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有每個步驟都完成了，才能完成這件事
區(qū)別三 各類辦法都是互斥的、并列的、獨立的 各步之間是相互關聯(lián)的、互相依存的
【基礎自測】
1.由1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________．
2．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展開后共有________項．
3．[2022·北京高二課時練]我校科技樓共有5層，每層均有兩個樓梯，由一樓到五樓的走法有(　　)
A．10種 B．16種
C．25種 D．32種
4．有5列火車停在某車站并排的5條軌道上，若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有(　　)
A．96種　　 B．24種
C．120種 D．12種
題型1　抽取(分配)問題
例1　(1)3名學生報名參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每人選報一門，則不同的報名方案有________種．
(2)某地政府召集5家企業(yè)的負責人召開扶貧會議，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(　　)
A．14　　　B．16　　　C．20　　　D．48
方法歸納
求解抽取(分配)問題的方法
1．當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．
2．當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．
跟蹤訓練1　(1)將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有(　　)
A．53種 B．35種 C．8種 D．15種
(2)某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地．
①推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？
②每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？
③從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？
題型2　組數(shù)問題
例2　用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數(shù)字的：
(1)銀行存折的四位密碼？
(2)四位整數(shù)？
(3)比2 000大的四位偶數(shù)？
狀元隨筆
(1)用分步乘法計數(shù)原理求解(1)問；(2)0不能作首位，優(yōu)先排首位，用分步乘法計數(shù)原理求解；(3)可以按個位是0，2，4分三類，也可以按首位是2，3，4，5分四類解決，也可以用間接法求解．
方法歸納
1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．
2．解決組數(shù)問題，應特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．
跟蹤訓練2　由0，1，2，3這四個數(shù)字，可組成多少個：
(1)無重復數(shù)字的三位數(shù)？
(2)可以有重復數(shù)字的三位數(shù)？
題型3　涂色問題
例3　用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，
A B C D
(1)有多少種不同的涂色方案？
(2)若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？把四個區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？
(3)若恰好用2種不同顏色涂完四個區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少種不同的涂色方案？
方法歸納
求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：
1．按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；
2．以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；
3．對于涂色問題，將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域涂色問題．
跟蹤訓練3　用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆．問：該板報有多少種書寫方案？
教材反思
第2課時　基本計數(shù)原理的應用
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
分類　分步　
[基礎自測]
1．解析：由題意知可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為4×3×2＝24.
答案：24
2．解析：該展開式中每一項的因式分別來自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一項．由a1，a2，a3中取一項共3種取法，從b1，b2，b3中取一項有3種不同取法，從c1，c2，c3，c4中任取一項共4種不同的取法．由分步乘法計數(shù)原理知，該展開式共3×3×4＝36(項).
答案：36
3．解析：走法共分四步：一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五層2種，一共24＝16種．
答案：B
4．解析：先排第1道，有4種排法，第2，3，4，5道各有4，3，2，1種，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×3×2×1＝96種．
答案：A
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)每名同學都有4種不同的報名方案，共有4×4×4＝64種不同的報名方案．
(2)按題意分成兩類：第一類：甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè)，有6種情況，由分步乘法計數(shù)原理知有N1＝2×6＝12(種)情況；第二類：3人全來自其余4家企業(yè)，有N2＝4(種)情況．綜上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(種).
答案：(1)64　(2)B
跟蹤訓練1　解析：(1)每封信均有3種不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35種投法．
(2)①分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有6種不同的選法．由分類加法計數(shù)原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法．
②分三步：第一步從一班的8名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有8種不同的選法；第二步從二班的10名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有10種不同的選法；第三步是從三班的6名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有6種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理可得，共有N＝8×10×6＝480(種)不同的選法．
③分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團員中各選1人，有8×10種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有10×6種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有8×6種不同的選法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(種)不同的選法．
答案：(1)B　(2)見解析
例2　解析：(1)分步解決．
第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；
第二步：選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；
第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；
第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法．
由分步乘法計數(shù)原理知，可組成不同的四位密碼共有
6×5×4×3＝360(個).
(2)分步解決．
第一步：首位數(shù)字有5種選取方法；
第二步：百位數(shù)字有5種選取方法；
第三步：十位數(shù)字有4種選取方法；
第四步：個位數(shù)字有3種選取方法．
由分步乘法計數(shù)原理知，可組成四位整數(shù)有
5×5×4×3＝300(個).
(3)方法一：按末位是0，2，4分為三類：
第一類：末位是0的有4×4×3＝48個；
第二類：末位是2的有3×4×3＝36個；
第三類：末位是4的有3×4×3＝36個．
則由分類加法計數(shù)原理有N＝48＋36＋36＝120(個).
方法二：按千位是2，3，4，5分四類：
第一類：千位是2的有2×4×3＝24(個)；
第二類：千位是3的有3×4×3＝36(個)；
第三類：千位是4的有2×4×3＝24(個)；
第四類：千位是5的有3×4×3＝36(個).
則由分類加法計數(shù)原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(個).
方法三：間接法．
用0，1，2，3，4，5可以組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類：
第一類：末位是0的有5×4×3＝60(個)；
第二類：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(個).
共有60＋96＝156(個).
其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(個)，
所以符合條件的四位偶數(shù)共有156－36＝120(個).
跟蹤訓練2　解析：(1)0不能做百位數(shù)字，所以百位數(shù)字有3種選擇，十位數(shù)字有3種選擇，個位數(shù)字有2種選擇，所以無重復數(shù)字的三位數(shù)共有3×3×2＝18(個).
(2)百位數(shù)字有3種選擇，十位數(shù)字有4種選擇，個位數(shù)字也有4種選擇．
由分步乘法計數(shù)原理知，可以有重復數(shù)字的三位數(shù)共有3×4×4＝48(個).
例3　解析：(1)涂A區(qū)有3種涂法，B，C，D區(qū)域各有2種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理將A，B，C，D四個區(qū)域涂色共有3×2×2×2＝24(種)不同方案．
(2)恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域，或A，D區(qū)域，或B，D區(qū)域必同色．由分類加法計數(shù)原理可得恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(種)不同的方案．
(3)若恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域必同色，且B，D區(qū)域必同色．先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個區(qū)域共2種不同的涂法．由分步乘法計數(shù)原理可得恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域共有3×2＝6(種)不同的涂色方案．
跟蹤訓練3　解析：第一步，選英語角用的彩色粉筆，有6種不同的選法；第二步，選語文學苑用的彩色粉筆，不能與英語角用的顏色相同，有5種不同的選法；第三步，選理綜視界用的彩色粉筆，與英語角和語文學苑用的顏色都不能相同，有4種不同的選法；第四步，選數(shù)學天地用的彩色粉筆，只需與理綜視界的顏色不同即可，有5種不同的選法，共有6×5×4×5＝600種不同的書寫方案．3．1.2　排列與排列數(shù)
[課標解讀]　1.通過實例，理解排列的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式.2.能夠結合具體實例，理解排列與兩個計數(shù)原理的關系，能夠運用兩個計數(shù)原理推導排列的相關公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題．
第1課時　排列與排列數(shù)
【教材要點】
知識點一　排列的概念
1．一般地，從n個不同對象中，任取m(m≤n)個對象，按照____________排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列．
2．兩個排列相同的含義為：____________________，并且____________________________．
知識點二　排列數(shù)與排列數(shù)公式
排列數(shù)定 義及表示 從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有____________，叫做從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號表示
全排列的概念 n個不同對象__________的一個排列
階乘的概念 把________________記作n！，讀作：n的階乘
排列數(shù)公式 ＝________________________ 階乘式＝________(n，m∈N＋，m≤n)
特殊情況 ＝________，＝____，0！＝____
【基礎自測】
1．已知下列問題：
①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學和物理學習小組．　②從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動．　③從a，b，c，d四個字母中取出2個字母．　④從1，2，3，4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)．
其中是排列問題的有(　　)
A．1個　　 B．2個
C．3個　　 D．4個
2．A＝________，＝________．
3．9×10×11×…×20可表示為(　　)
A． B．
C． D．
4．由1，2，3這三個數(shù)字組成的三位數(shù)分別是________．
題型1　排列的概念
例1　判斷下列問題是否為排列問題．
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互通信．
狀元隨筆　判斷是否為排列問題關鍵是選出的對象在被安排時，是否與順序有關．若與順序有關，就是排列問題，否則就不是排列問題．
方法歸納
1．解決本題的關鍵有兩點：一是“取出對象不重復”，二是“與順序有關”．
2．判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出對象后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換對象的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．
跟蹤訓練1　判斷下列問題是否是排列問題．
(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標平面內(nèi)的點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？
(2)從10名同學中任抽兩名同學去學校開座談會，有多少種不同的抽取方法？
(3)某商場有四個大門，若從一個門進去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？
題型2　排列的列舉問題
例2　寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)．
(2)由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，試全部列出．
狀元隨筆
(1)直接列舉數(shù)字．
(2)先畫樹形圖，再結合樹形圖寫出．
方法歸納
在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式．在操作中先將對象按一定順序排出，然后以先安排哪個對象為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的對象在前面對象不變的情況下確定第二個對象，再按此對象分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列．
跟蹤訓練2　寫出下列問題的所有排列．
(1)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票．
(2) 寫出從4個對象a，b，c，d中任取3個對象的所有排列．
題型3　排列數(shù)公式的推導及應用
【思考探究】　你能寫出的值嗎？有什么特征？若m ＝n呢？
[提示]　＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n).
(1)公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共有m個因數(shù)；
(2)全排列：當n ＝m時，即n個不同對象全部取出的一個排列．
全排列數(shù)：＝n(n－1)(n－2)·…·2·1 ＝n！(叫做n的階乘).
另外，我們規(guī)定0! ＝1.
所以＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝＝.
例3　(1)計算：①；②－.
(2)求3＝4中的x.
(3)若從6名志愿者中選出4名分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，則選派方案有(　　)
A．180種　　 B．360種
C．15種　　 D．30種
(4)2020年初，我國向相關國家派出了由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組．現(xiàn)有四個醫(yī)療小組和4個需要援助的國家，每個醫(yī)療小組只去一個國家，且4個醫(yī)療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法有(　　)
A．64種　　 B．48種
C．24種　　 D．12種
　第①題可直接運用排列數(shù)公式，也可采用階乘式；第②題首先分析各項的關系，利用＝進行變形推導．
方法歸納
排列數(shù)的計算方法
1．排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進行，應用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列對象的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取對象的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．
2．應用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．
跟蹤訓練3　(1)計算；
(2)解方程3＝2＋6.
(3)利用1，2，3，4這四個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？
教材反思
3．1.2　排列與排列數(shù)
第1課時　排列與排列數(shù)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．一定的順序
2．組成排列的對象相同　對象的排列順序也相同
知識點二
排列的個數(shù)　全部取出　n·(n－1)·…·2·1　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　n！　1　1
[基礎自測]
1．解析：①是排列問題，因為兩名同學參加的學習小組與順序有關．②不是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序無關．③不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關．④是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列．
答案：B
2．解析：＝4×3＝12；
＝3×2×1＝6.
答案：12　6
3．解析：＝20×19×18×…×(20－12＋1)
＝20×19×18×…×9.
答案：C
4．解析：用樹形圖表示為
由“樹形圖”可知組成的三位數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個．
答案：123，132，213，231，312，321
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
跟蹤訓練1　解析：(1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標與哪一個數(shù)作橫坐標，哪一個數(shù)作縱坐標的順序有關，所以這是一個排列問題．
(2)因為從10名同學中抽取兩人去學校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．
(3)因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．
例2　解析：(1)畫出樹形圖，如圖所示：
所有兩位數(shù)是12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個不同的兩位數(shù)．
(2)畫出樹形圖，如圖所示：
由上面的樹形圖可知，所有的四位數(shù)為：
1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個四位數(shù)．
跟蹤訓練2　解析：(1)列出每一個起點和終點情況，如圖所示．
故符合題意的機票種類有：
北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京，廣州→天津，廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．
(2)由題意作樹形圖，如圖．
故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個．
答案：(1)12　(2)24
例3　解析：(1)①方法一：＝＝＝.
方法二：＝＝＝＝.
②＝
＝·
＝·
＝m·
＝，
＝.
(2)原方程＝可化為＝，
即＝，化簡，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由題意知，解得x≤8.
所以原方程的解為x＝6.
(3)由排列定義知選派方案有＝6×5×4×3＝360(種)．
(4)對四個醫(yī)療小組進行全排列分配到四個國家，故有＝24種．
答案：(1)見解析　(2)見解析　(3)B　(4)C
跟蹤訓練3　解析：
＝
＝＝1.
(2)由，
得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．
因為x≥3，且x∈N*，
所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5，x＝(舍去)．所以x＝5.
(3)本題實質(zhì)是求從1，2，3，4四個數(shù)字中，任意選出三個數(shù)字排成一排，有多少種排法的排列問題，故有＝4×3×2＝24種排法，即可以組成24個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)．第2課時　排列數(shù)的應用
【教材要點】
知識點　應用排列知識解決實際問題
1．解簡單的排列應用題的基本思想
2．解簡單的排列應用題，首先必須認真分析題意，看能否把問題歸結為排列問題，即是否有順序．如果是的話，再進一步分析，這里n個不同的對象指的是什么，以及從n個不同的對象中任取m個對象的每一種排列對應的是什么事情，然后才能運用排列數(shù)公式求解．
【基礎自測】
1．用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為________．
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有________種．
3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(　　)
A．6　　　 B．4　　 C．8　　　 D．10
4．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為(　　)
A．36　　　 B．120 　 C．720　　 D．240
題型1　無限制條件的排列問題
例1　(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？
(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？
狀元隨筆
(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，每人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；
(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，每人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計數(shù)原理進行計算．
方法歸納
1．沒有限制的排列問題，即對所排列的對象或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清對象和位置即可．
2．對于不屬于排列的計數(shù)問題，注意利用計數(shù)原理求解．
跟蹤訓練1　(1)將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有________種不同的分法．
(2)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，不同的選法共有________種．
題型2　排隊問題(“在”與“不在”“鄰”與“不鄰”“ 定序”問題)
例2　(1)7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？
①老師甲必須站在中間或兩端；
②2名女生必須相鄰而站；
③4名男生互不相鄰；
④若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站．
(2)從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的活動．若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯活動，則選派方案共有________種．
狀元隨筆　解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊對象或優(yōu)先考慮特殊位子，若一個位子安排的對象影響另一個位子的對象個數(shù)時，應分類討論．
方法歸納
解決排隊問題時應注意的問題
1．對于相鄰問題可以采用捆綁的方法，將相鄰的對象作為一個整體進行排列，但是要注意這個整體內(nèi)部也要進行排列．
2．對于不相鄰問題可以采用插空的方法，先排沒有限制條件的對象，再將不相鄰的對象以插空的方式排入．
3．對于順序給定的對象的排列問題只需考慮其余對象的排列即可．
4．“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從對象入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先．
跟蹤訓練2　3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊方案有多少種．
(1)甲不站中間，也不站兩端；
(2)甲、乙兩人必須站兩端；
(3)男、女各站在一起；
(4)男生必須排在一起；
(5)男生不能排在一起；
(6)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰；
(7)甲必須在乙的前面(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
(8)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
(9)從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列， 甲不在首位的排法有多少種？
(10)從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？
題型3　數(shù)字排列問題
【思考探究】
1．偶數(shù)的個位數(shù)字有何特征？從1，2，3，4，5中任取兩個不同數(shù)字能組成多少個不同的偶數(shù)？
[提示]　偶數(shù)的個位數(shù)字一定能被2整除．先從2，4中任取一個數(shù)字排在個位，共2種不同的排法，再從剩余數(shù)字中任取一個數(shù)字排在十位，共4種排法，故從1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)字，能組成2×4＝8(個)不同的偶數(shù)．
2．在一個三位數(shù)中，身居百位的數(shù)字x能是0嗎？如果在0～9這十個數(shù)字中任取不同的三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，如何排才能使百位數(shù)字不為0
[提示]　在一個三位數(shù)中，百位數(shù)字不能為0，在具體排數(shù)時，從對象0的角度出發(fā)，可先將0排在十位或個位的一個位置，其余數(shù)字可排百位、個位(或十位)位置；從“位置”角度出發(fā)可先從1～9這9個數(shù)字中任取一個數(shù)字排百位，然后再從剩余9個數(shù)字中任取兩個數(shù)字排十位與個位位置．
3．如何從26，17，31，48，19中找出大于25的數(shù)？
[提示]　先找出十位數(shù)字比2大的數(shù)，再找出十位數(shù)字是2，個位數(shù)字比5大的數(shù)即可．
例3　用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的：
(1)六位奇數(shù)？
(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)？
狀元隨筆　這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊對象或特殊位置優(yōu)先安排的原則. 另外，還可以用間接法求解．
方法歸納
解排數(shù)字問題常見的解題方法
1．“兩優(yōu)先排法”：特殊對象優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分類討論法”：按照某一標準將排列分成幾類，然后按照分類加法計數(shù)原理進行，要注意以下兩點：一是分類標準必須恰當；二是分類過程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)．
4．“位置分析法”：選排列問題按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個數(shù)位排好．
跟蹤訓練3　用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)取不同的數(shù)字組數(shù)．
(1)能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？
(2)能組成多少個無重復數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)？
教材反思
第2課時　排列數(shù)的應用
新知初探·自主學習
[基礎自測]
1．解析：從2，4中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有2種取法；再從其余四個數(shù)中取出三個數(shù)排在前三位，有種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，這樣的四位偶數(shù)共有＝48個．
答案：48
2．解析：把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，共＝24種．
答案：24
3．解析：列樹形圖如下：
共4種．
答案：B
4．解析：由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的對象，故排法種數(shù)為＝720.
答案：C
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同對象中任取3個對象的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是＝5×4×3＝60種，所以共有60種不同的送法．
(2)由于有5種不同的書，送給每個同學的每本書都有5種不同的送法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5＝125種，所以共有125種不同的送法．
跟蹤訓練1　解析：(1)問題相當于從10張電影票中選出3張排列起來，這是一個排列問題．故不同分法的種數(shù)為＝10×9×8＝720種．
(2)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，應有＝5×4×3＝60種選法．
答案：(1)720　(2)60
例2　解析：(1)①先考慮甲有種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：＝2 160(種)．
②2名女生站在一起有站法種，視為一個對象與其余5人全排，有種排法，所以有不同站法＝1 440(種)．
③先站老師和女生，有站法種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法種，所以共有不同站法＝144(種)．
④7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法＝420(種)．
(2)翻譯活動是特殊位置優(yōu)先考慮，有4種選法(除甲、乙外)，其余活動共有種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有＝240種選派方案．
答案：(1)見解析　(2)240
跟蹤訓練2　解析：(1)分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有種站法，然后再排其他位置，有種站法，所以共有＝2 880種不同站法．
(2)甲、乙為特殊對象，先將他們排在兩頭位置，有種站法，其余5人全排列，有種站法．故共有＝240種不同站法．
(3)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進行全排列，有種排法，全體男生、女生各看作一個對象全排列有種排法，由分步乘法計數(shù)原理知共有＝288種排法．
(4)(捆綁法)把所有男生看作一個對象，與4名女生組成5個對象全排列，故有＝720種不同的排法．
(5)(不相鄰問題插空法)先排女生有種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5個空中，有＝1 440種不同的排法．
(6)先排男生有種排法．讓女生插空，有＝144種不同的排法．
(7)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有＝2 520(種)不同的排法．
(8)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的.故有＝840(種)不同的排法．
(9)方法一：把甲同學作為研究對象．
第一類：不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中取出5名放在5個位置上，有
第二類：含有甲，甲不在首位：先從4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在沒有甲的位置上，有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，含有甲時共有4× 種排法．
由分類加法計數(shù)原理，共有+4×＝2 160(種)排法．
方法二：把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有
第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有種方法．
由分步乘法計數(shù)原理，可得共有＝2 160(種)排法．
方法三(間接法)：即先不考慮限制條件，從7名同學中選出5名進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．
不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有種；甲在首位的情況有種，所以符合要求的排法有＝2 160(種)．
(10)把位置作為研究對象，先滿足特殊位置．
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有
第二步，從未排上的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有種方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有＝1 800(種)方法．
例3　解析：(1)方法一：從特殊位置入手(直接法)
分三步完成，第一步先填個位，有種填法，第二步再填十萬位，有種填法，第三步填其他位，有種填法，故共有＝288(個)六位奇數(shù)．
方法二：從特殊對象入手(直接法)
0不在兩端有種排法，從1，3，5中任選一個排在個位有種排法，其他各位上用剩下的對象做全排列有種排法，故共有＝288(個)六位奇數(shù)．
方法三：排除法
6個數(shù)字的全排列有個，0，2，4在個位上的六位數(shù)為個，1，3，5在個位上，0在十萬位上的六位數(shù)有個，故滿足條件的六位奇數(shù)共有＝288(個)．
(2)方法一：排除法
0在十萬位的六位數(shù)或5在個位的六位數(shù)都有個，0在十萬位且5在個位的六位數(shù)有個．
故符合題意的六位數(shù)共有＝504(個)．
方法二：直接法
十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類：
第一類：當個位排0時，符合條件的六位數(shù)有個．
第二類：當個位不排0時，符合條件的六位數(shù)有個．
故共有符合題意的六位數(shù)＝504(個)．
跟蹤訓練3　解析：(1)符合要求的五位數(shù)可分為兩類：第一類，個位上的數(shù)字是0的五位數(shù)，有個；第二類，個位上的數(shù)字是5的五位數(shù)，有個．故滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)共有＝216(個)．
(2)符合要求的比1 325大的四位數(shù)可分為三類：
第一類，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共個；
第二類，形如14□□，15□□，共有個；
第三類，形如134□，135□，共有個．
由分類加法計數(shù)原理知，無重復數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)共有：＝270(個)．第1課時　組合與組合數(shù)及組合數(shù)性質(zhì)
[課標解讀]　1.通過實例，理解組合的概念；能利用計數(shù)原理、排列定義推導組合數(shù)公式.2.能夠結合具體實例，理解排列、組合與兩個計數(shù)原理的關系，能夠運用兩個計數(shù)原理推導排列、組合的相關公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　組合的概念
一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成________，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．
知識點二　組合數(shù)的概念
從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的________的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號C表示．
知識點三　組合數(shù)公式及其性質(zhì)
(1)公式：＝________＝________．
(2)性質(zhì)：＝________，＋＝________．
(3)規(guī)定：＝________．
【基礎自測】
1.下列判斷不正確的是(　　)
A.兩個組合相同的充要條件是組成組合的對象完全相同
B．從a1，a2，a3三個不同對象中任取兩個對象組成一個組合，所有組合的個數(shù)為C
C．從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法是組合問題
D．從甲、乙、丙3名同學中選出2名，有3種不同的選法
2．從2，3，5，7，11中每次選出兩個不同的數(shù)作為分數(shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分數(shù)的個數(shù)是________，其中真分數(shù)的個數(shù)是________．
3．＝________，＝________．
4．從3，5，7，11這四個數(shù)中任取兩個相乘，可以得到不相等的積的個數(shù)為________．
題型1　組合的概念
例1　判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．
(1)10支球隊以單循環(huán)進行比賽(每兩隊比賽一次)，這次比賽需要進行多少場次？
(2)10支球隊以單循環(huán)進行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？
(3)從10個人里選3個代表去開會，有多少種選法？
(4)從10個人里選出3個不同學科的課代表，有多少種選法？
狀元隨筆　要確定是組合還是排列問題，只需確定取出的對象是否與順序有關．
方法歸納
1．根據(jù)排列與組合的定義進行判斷，區(qū)分排列與組合問題，先確定完成的是什么事件，然后看問題是否與順序有關，與順序有關的是排列，與順序無關的是組合．
2．區(qū)分有無順序的方法
把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個對象的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．
跟蹤訓練1　判斷下列問題是組合還是排列，并用組合數(shù)或排列數(shù)表示出來．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，則集合的子集中有3個元素的有多少？
(2)8人相互發(fā)一個電子郵件，共發(fā)了多少個郵件？
(3)在北京、上海、廣州、成都四個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？
(4)從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同對象相乘，有多少個不同的結果？完成的“這件事”指的是什么？
(5)從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同對象相除，有多少個不同結果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事”指的是什么？
題型2　組合的列舉問題(邏輯推理)
例2　已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．
方法歸納
1．此類列舉所有從n個不同元素中選出m個元素的組合，可借助本例所示的“順序后移法”(如法一)或“樹形圖法”(如法二)，直觀地寫出組合，做到不重復不遺漏．
2．由于組合與順序無關．故利用“順序后移法”時箭頭向后逐步推進，且寫出的一個組合不可交換位置．如寫出ab后，不必再交換位置為ba，因為它們是同一組合．畫“樹形圖”時，應注意頂層及下枝的排列思路，防止重復或遺漏．
跟蹤訓練2　從5個不同的對象a，b，c，d，e中取出2個，寫出所有不同的組合．
題型3　組合數(shù)公式的應用
例3　(1)計算－·.
(2)求證：＝.
(3)從乒乓球運動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法種數(shù)為(　　)
A． B．
C． D．
狀元隨筆　根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)慕M合數(shù)公式進行求值或證明．
方法歸納
關于組合數(shù)計算公式的選取
1．涉及具體數(shù)字的可以直接用公式＝＝計算．
2．涉及字母的可以用階乘式＝計算．
3．計算時應注意利用組合數(shù)的性質(zhì)＝簡化運算．
跟蹤訓練3　(1)可表示為(　　)
A． B．
C． D．
(2)算式可以表示為(　　)
A． B．
C．21 D．21
(3)新冠病毒爆發(fā)初期，全國支援武漢的活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則不同的選派方案共有________種．(用數(shù)字作答)
題型4　組合的性質(zhì)
【思考探究】
1．試用兩種方法求：從a，b，c，d，e 5人中選出3人參加數(shù)學競賽，2人參加英語競賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結論嗎？
[提示]　方法一：從5人中選出3人參加數(shù)學競賽，剩余2人參加英語競賽，共＝ ＝10(種)選法．
方法二：從5人中選出2人參加英語競賽，剩余3人參加數(shù)學競賽，共＝＝10(種)不同選法．
經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)＝.推廣到一般結論有＝.
2．從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？
[提示]　共有＝＝210(種)選法．
3．在2中，若隊長必須參加，有多少種選法？若隊長不能參加有多少種選法？由2，3，你發(fā)現(xiàn)什么結論？你能推廣到一般結論嗎？
[提示]　若隊長必須參加，共＝126(種)選法．若隊長不能參加，共＝84(種)選法．
由2，3發(fā)現(xiàn)從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類，由分類加法計數(shù)原理可得： ＝＋.
一般地：＝＋.
例4　(1)計算＋＋＋…＋的值為(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
(2)解方程＝的解為________．
方法歸納
1．性質(zhì)“＝”的意義及作用
2．與排列組合有關的方程或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時，要注意由中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m確定m，n的范圍，因此求解后要驗證所得結果是否適合題意．
跟蹤訓練4　(1)化簡：－＋＝________；
(2)計算＋＝________．
(3)若＝ (n∈N＋)，則n＝(　　)
A．5 B．7
C．5或7 D．5或6
(4)若3－6＝4，則n＝(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
教材反思
3．1.3　組合與組合數(shù)
第1課時　組合與組合數(shù)及組合數(shù)性質(zhì)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
一組
知識點二
所有組合
知識點三
　(3)1
[基礎自測]
1．解析：A正確．因為只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合．
B正確．由組合數(shù)的定義可知正確．
C錯誤．因為選出2名同學還要分到不同的兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問題．
D正確．因為從甲、乙、丙3人中選兩名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3個組合，即有3種不同選法．
答案：C
2．解析：產(chǎn)生分數(shù)可分兩步：第一步，產(chǎn)生分子有5種方法；第二步，產(chǎn)生分母有4種方法，共有5×4＝20個分數(shù)，且各不相同．產(chǎn)生真分數(shù)，可分四類：第一類，當分子是2時，有4個真分數(shù)，同理，當分子分別是3，5，7時，真分數(shù)的個數(shù)分別是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10個真分數(shù)．
答案：20　10
3．解析：＝＝15，
＝＝18.
答案：15　18
4．解析：從四個數(shù)中任取兩個數(shù)的取法為＝6.
答案：6
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)是組合問題，因為每兩個隊比賽一次并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別．
(2)是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有順序的區(qū)別．
(3)是組合問題，因為3個代表之間沒有順序的區(qū)別．
(4)是排列問題，因為3個人中，擔任哪一科的課代表是有順序的區(qū)別．
跟蹤訓練1　解析：(1)已知集合的對象具有無序性，因此含3個元素的子集個數(shù)與元素的順序無關，是組合問題，共有個．
(2)發(fā)郵件與順序有關，是排列問題，共發(fā)了個電子郵件．
(3)飛機票與起點站、終點站有關，故求飛機票的種數(shù)是排列問題，有種飛機票；票價只與兩站的距離有關，故票價的種數(shù)是組合問題，有種票價．
(4)共有＝＝6(個)不同結果．
完成的“這件事”是指：從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同對象并相乘．
(5)共有－2＝10(個)不同結果；這個問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指：從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同對象并相除．
例2　解析：
四步 內(nèi)容
理解題意 條件：①A，B，C，D，E五個元素； ②每次取出3個元素； 結論：所有組合．
思路探求 列舉法解答，注意按順序列舉．
書寫表達 方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗觯? 所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法二：畫出樹形圖，如圖所示． 由此可以寫出所有的組合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 注意書寫的規(guī)范性： ①注意是否與順序有關； ②注意按順序列舉，不重不漏．
題后反思 列舉法適合總數(shù)比較少的情形．
跟蹤訓練2　解析：要想寫出所有組合，就要先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個標出來，如圖所示：
由此可得所有的組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
例3　解析：(1)原式＝＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)證明：∵右邊＝＝·＝＝，
左邊＝，∴左邊＝右邊，故原式成立．
(3)分兩步進行：第一步，選出兩名男選手，有種方法；
第二步，從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對，有種．故有種．故選B.
答案：(1)見解析　(2)見解析　(3)B
跟蹤訓練3　解析：(1)＝＝＝.
(2)＝
＝×21＝.
(3)根據(jù)題意，從6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，
共有＝20×6＝120種選派方案．
答案：(1)D　(2)D　(3)120
例4　解析：
＝+++…+
＝++…+－1＝…
+－1＝－1.
(2)由題意知或
解得x＝4或6.
答案：(1)C　(2)4或6
跟蹤訓練4　解析：(1)原式＝＝0.
(2)＝＝＝161 700.
(3)由題意知或，
即n＝5或7.
(4)由題意知，3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×，解得n＝5.
答案：(1)0　(2)161 700　(3)C　(4)D第2課時　組合數(shù)的應用
[課標解讀]　能夠結合具體實例，理解排列、組合與兩個計數(shù)原理的關系，能夠運用兩個計數(shù)原理推導排列、組合的相關公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　組合與排列的異同點
共同點：排列與組合都是從n個________對象中取出m(m≤n)個對象．
不同點：排列與對象的________有關，組合與對象的________無關．
知識點二　應用組合知識解決實際問題的四個步驟
(1)判斷：判斷實際問題是否是組合問題．
(2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題．
(3)計算：利用組合數(shù)公式結合兩個計數(shù)原理計算．
(4)結論：根據(jù)計算結果寫出方案個數(shù)．
【基礎自測】
1．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有________種．
2．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．
3．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種．(用數(shù)字作答)
4．將7名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排2名學生，那么互不相同的分配方案共有________種．
題型1　無限制條件的組合問題
例1　在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？
(1)任意選5人；
(2)甲、乙、丙三人必須參加；
(3)甲、乙、丙三人不能參加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．
狀元隨筆　本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問題．
方法歸納
解答簡單的組合問題的思考方法
1．弄清要做的這件事是什么事．
2．選出的對象是否與順序有關，也就是看看是不是組合問題．
3．結合兩個計數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結果．
跟蹤訓練1　[2022·北京西城高二模擬]從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動．
(1)共有多少種不同的選擇方法？
(2)如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？
題型2　有限制條件的組合問題
例2　高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動．
(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的選法有多少種？
(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？
(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？
(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？
(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？
狀元隨筆　可從整體上分析，進行合理分類，弄清關鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用兩個計數(shù)原理解決．
方法歸納
常見的限制條件及解題方法
1．特殊對象：若要選取的對象中有特殊對象，則要以有無特殊對象，特殊對象的多少作為分類依據(jù)．
2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．
3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解．
跟蹤訓練2　“抗震救災，眾志成城”，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴賑災前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：
(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
題型3　組合在幾何中的應用
例3　平面內(nèi)有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線．以這些點為頂點，可構成多少個不同的三角形？
　解答本題可以從共線的4個點中選取2個、1個、0個作為分類標準，也可以從反面考慮，任意三點的取法種數(shù)減去共線三點的取法種數(shù)．
方法歸納
1．解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．
2．圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
跟蹤訓練3　四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們與點A在同一平面上，有多少種不同的取法？
題型4　分組分配問題
例4　將6本不同的書分為三組，在下列條件下分別有多少種不同的分配方法？
(1)每組2本(平均分組)；
(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；
(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).
方法歸納
一般地，n個不同的對象分成p組，各組內(nèi)元素數(shù)目分別為m1，m2，…，mp，其中k組元素數(shù)目相等，那么分組方法數(shù)是，簡言之，部分平均分組，有“幾個”平均分就除以“幾”的階乘．
跟蹤訓練4　將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，在下列條件下分別有多少種不同的分配方法？
(1)甲2本，乙2本，丙2本；
(2)甲1本，乙2本，丙3本；
(3)甲4本，乙、丙每人1本；
(4)每人2本；
(5)一人1本，一人2本，一人3本；
(6)一人4本，其余兩人每人1本．
題型5　排列、組合的綜合應用
【思考探究】　排列問題也可以按 “先選后排”分兩步完成．
第一步，先從n個不同對象取出m個，是組合問題，方法有種；
第二步，將選出的m個對象做全排列，有種排法．
由分步乘法計數(shù)原理，則＝，所以組合數(shù)＝.
例5　有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：
(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；
(2)某女生一定擔任語文課代表；
(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學課代表；
(4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數(shù)學課代表．
狀元隨筆　(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取．
(2)采用先選后排的方法．
(3)先安排該男生，再選出其他人擔任4科課代表．
(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔任余下三科的課代表．
方法歸納
解決排列、組合綜合問題要采用先選后排的方法．
解決時通常從以下三個途徑考慮：
1．以對象為主考慮，即先滿足特殊對象的要求，再考慮其他對象；
2．以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；
3．先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．
跟蹤訓練5　男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運動員3名，女運動員2名；
(2)至少有1名女運動員；
(3)既要有隊長，又要有女運動員．
教材反思
第2課時　組合數(shù)的應用
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
不同　順序　順序
[基礎自測]
1．解析：把三張票分給10個人中的3人，不同分法有＝＝120(種)．
答案：120
2．解析：甲選修2門，有＝6(種)不同方案．
乙選修3門，有＝4(種)不同選修方案．
丙選修3門，有＝4(種)不同選修方案．
由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．
答案：96
3．解析：有36種滿足題意的分配方案．其中表示從3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學生去的方法數(shù)；表示從4名大學生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；表示將剩下的2名大學生分配到另2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)．
答案：36
4．解析：每個宿舍至少2名學生，故甲宿舍安排的人數(shù)可以為2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍隨之確定，所以有＝112種分配方案．
答案：112
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)從中任選5人是組合問題，共有＝792種不同的選法．
(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有＝36種不同的選法．
(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有＝126種不同的選法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有種選法；再從另外9人中選4人，有種選法．共有＝378種不同的選法．
跟蹤訓練1　解析：(1)從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動，
選擇方法數(shù)為＝20.
(2)沒有女生入選的選擇方法數(shù)為＝4，
所以至少有1位女生入選的選擇方法數(shù)為20－4＝16.
例2　解析：(1)從余下的34名學生中選取2名，有＝561(種)．
∴不同的選法有561種．
(2)從34名可選學生中選取3名，有＝5 984(種)．
或者＝＝5 984種．
∴不同的選法有5 984種．
(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有＝2 100(種)．
∴不同的選法有2 100種．
(4)選取2名女生有種，選取3名女生有種，共有選取方法N＝＝2 100＋455＝2 555(種)．
∴不同的選法有2 555種．
(5)選取3名的總數(shù)有，至多有2名女生在內(nèi)的選取方式共有N＝＝6 545－455＝6 090(種)．
∴不同的選法有6 090種．
跟蹤訓練2　解析：(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有種選法，所以共有＝90(種)抽調(diào)方法．
(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．
方法一：(直接法)
按選取的外科專家的人數(shù)分類：
①選2名外科專家，共有
②選3名外科專家，共有
③選4名外科專家，共有
＝185(種)抽調(diào)方法．
方法二：(間接法)
不考慮是否有外科專家，共有種選法，考慮選取1名外科專家參加，有種選法；沒有外科專家參加，有種選法，所以共有：＝185(種)抽調(diào)方法．
(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．
①沒有外科專家參加，有
②有1名外科專家參加，有
③有2名外科專家參加，有
所以共有＝115(種)抽調(diào)方法．
例3　解析：方法一：以從共線的4個點中取點的多少作為分類標準．
第1類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有＝48個不同的三角形；
第2類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有＝112個不同的三角形；
第3類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有＝56個不同的三角形．
由分類加法計數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個)．
方法二(間接法)：從12個點中任意取3個點，有＝220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構成三角形，即不能構成三角形的情況有＝4種．
故這12個點能構成三角形的個數(shù)為＝216個．
跟蹤訓練3　
解析：如圖所示，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外每個面都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有種取法，含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法有＋3＝33種．
例4　解析：(1)每組2本，均分為三組共有＝＝15(種)分配方法．
(2)一組1本，一組2本，一組3本共有＝20×3＝60(種)分配方法．
(3)一組4本，另外兩組各1本共有＝＝15(種)分配方法．
跟蹤訓練4　解析：(1)(2)(3)中，由于每人分得的本數(shù)固定，屬于定向分配問題，由分步乘法計數(shù)原理得：
(1)共有＝90(種)不同的分配方法；
(2)共有＝60(種)不同的分配方法；
(3)共有＝30(種)不同的分配方法．
(4)(5)(6)屬于不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題．分配給三人，同一本書給不同的人是不同的分法，屬于排列問題．實際上可看作兩個步驟：先分為3組，再把這3組分給甲、乙、丙三人．因此，
(4)共有＝90(種)不同的分配方法；
(5)共有＝360(種)不同的分配方法；
(6)共有＝90(種)不同的分配方法．
例5　解析：(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有＝5 400種．
(2)除去該女生后，先選后排，有＝840種．
(3)先選后排，但先安排該男生，有＝3 360種．
(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有種，再安排該男生有種，其余3人全排有種，共＝360種．
跟蹤訓練5　解析：(1)第一步：選3名男運動員，有種選法；第二步：選2名女運動員，有種選法，故共有＝120(種)選法．
(2)方法一(直接法)：“至少有1名女運動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分類加法計數(shù)原理知共有＝246(種)選法．
方法二(間接法)：不考慮條件，從10人中任選5人，有種選法，其中全是男運動員種，故“至少有1名女運動員”的選法有＝246(種)．
(3)當有女隊長時，其他人選法任意，共有種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法，其中不含女運動員的選法有種，故不選女隊長時共有種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有＝191(種)．3．3　二項式定理與楊輝三角(一)
[課標解讀]　1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.2.能夠結合具體實例，理解組合、二項式定理與兩個計數(shù)原理的關系，能夠運用兩個計數(shù)原理、組合推導二項式定理的相關公式及性質(zhì)，并能夠運用它們解決簡單的實際問題．
【教材要點】
知識點一　二項式定理及相關的概念
二項式定理
概念 公式(a＋b)n＝________________________________________稱為二項式定理
二項式系數(shù) 各項系數(shù)(k＝0，1，2，…，n)叫做展開式的二項式系數(shù)
二項式通項 an－kbk是展開式中的第________項，可記作Tk＋1＝an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)
二項展開式 bn(n∈N＋)
備注 在二項式定理中，如果設a＝1，b＝x，則得到公式(1＋x)n＝xn(n∈N＋)
知識點二　二項展開式的特點
1．展開式共有n＋1項．
2．各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n.
3．字母a的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到為0，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1直到為n.
【基礎自測】
1．下列判斷正確的是(　　)
A．(a＋b)n展開式中共有n項．
B．在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響．
an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項．
D．(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同．
2．在(x－)10的展開式中，含x6的項的系數(shù)是(　　)
A. B.
C. D．
3．(x－)n的展開式共有11項，則n等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．8
4．二項式(1－2x)9的展開式為________________．
　二項式定理的正用、逆用
例1　(1)用二項式定理展開(2x－)5；
(2)化簡：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋(x＋1)－2－…＋(－1)k(x＋1)n－k＋…＋(－1).
狀元隨筆　(1)二項式的指數(shù)為5，且為兩項的和，可直接按二項式定理展開；(2)可先把x＋1看成一個整體，分析結構形式，逆用二項式定理求解．
方法歸納
1．展開二項式可以按照二項式定理進行．展開時注意二項式定理的結構特征，準確理解二項式的特點是展開二項式的前提條件．
2．對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便．
3．對于化簡多個式子的和時，可以考慮二項式定理的逆用．對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點，項數(shù)，各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù)．
跟蹤訓練1　(1)求(3)4的展開式；
(2)化簡：.
題型2　二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題
例2　(1)求二項式(2)6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；
(2)求(x－)9的展開式中x3的系數(shù)．
狀元隨筆　利用二項式定理求展開式中的某一項，可以通過二項展開式的通項公式進行求解．
方法歸納
1．二項式系數(shù)都是組合數(shù)(k＝0，1，2，…，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念．
2．第k＋1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為.例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項是T4＝17－3(2x)3，其二項式系數(shù)是＝35，而第四項的系數(shù)是23＝280.
跟蹤訓練2　求(2)6的展開式中常數(shù)項對應的二項式系數(shù)．
題型3　求展開式中的特定項
例3　已知在()n的展開式中，第6項為常數(shù)項．
(1)求n；
(2)求含x2項的系數(shù)；
(3)求展開式中所有的有理項．
狀元隨筆　
→
→
→
例4　如何求(x＋)(2x＋1)3展開式中含x的項？
狀元隨筆　 (a＋b)(c＋d)展開式中的每一項是如何得到的？
[提示]　(a＋b)(c＋d)展開式中的各項都是由a＋b中的每一項分別乘以c＋d中的每一項而得到．
方法歸納
1．求二項展開式的特定項的常見題型
(1)求第k項，Tk＝an－k＋1bk－1；
(2)求含xk的項(或xpyq的項)；
(3)求常數(shù)項；
(4)求有理項．
2．求二項展開式的特定項的常用方法
(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；
(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；
(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致．
跟蹤訓練3　(1)求(x＋)4展開式中的常數(shù)項．
(2)在(1－x3)(1＋x)10的展開式中，x5的系數(shù)是________．
3．3　二項式定理與楊輝三角(一)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋)　k＋1　
[基礎自測]
1．解析：A錯誤，因為(a＋b)n展開式中共有n＋1項．B錯誤，因為二項式的第k＋1項an－kbk和(b＋a)n的展開式的第k＋1項bn－kak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的．C錯誤，因為an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項．D正確，因為(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)都是.
答案：D
2．解析：含x6的項是T5＝x6(－)4＝x6.
答案：D
3．解析：(x－)n的展開式共有n＋1項，所以n＋1＝11，故n＝10.
答案：B
4．解析：二項式(1－2x)9＝+(－2x)＋…＋(－2x)k＋…＋(－2x)9.
答案：+(－2x)＋…＋(－2x)k＋…＋(－2x)9
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：(1)＝(2x)5＋(2x)4·(－)＋…＋(－)5＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝(x＋1)n＋(x＋1)n－1(－1)＋(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
跟蹤訓練1　解析：(1)方法一：＝＋2＋3＋4＝81x2＋108x＋54＋.
方法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋.
(2)原式＝+…＋2n＝(1＋2)n＝3n.
例2　解析：(1)由已知得二項展開式的通項為Tk＋1
＝(2)6－k·
＝·26－k·，
∴T6＝26－5.
∴第6項的二項式系數(shù)為＝6，
第6項的系數(shù)為·(－1)·2＝－12.
(2)Tk＋1＝x9－k·＝·x9－2k，
∴9－2k＝3，∴k＝3，即展開式中第四項含x3，其系數(shù)為·
跟蹤訓練2　解析：因為＝)6，所以展開式中的第 k＋1項為
Tk＋1＝6－k)k＝＝26－kx3－k，要得到常數(shù)項，必須有3－k＝0，從而有k＝3，因此常數(shù)項是第4項，其對應的二項式系數(shù)為＝20.
例3　解析：通項公式為：Tk＋1＝(－3)k＝(－3)k
(1)∵第6項為常數(shù)項，
∴k＝5時，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝(10－6)＝2，
∴所求的系數(shù)為(－3)2＝405.
(3)由題意得，令＝m(m∈Z)，
則10－2k＝3m，即k＝5－m.
∵k∈Z，∴m應為偶數(shù)，
m＝2，0，－2，即k＝2，5，8，
∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，－61 236，295 245x－2.
例4　解析：(x＋)(2x＋1)3展開式中含x的項是由x＋中的x與分別與(2x＋1)3展開式中常數(shù)項及x2項22x2＝12x2分別相乘再把積相加得x·(2x)2＝x＋12x＝13x.即(x＋)(2x＋1)3展開式中含x的項為13x.
跟蹤訓練3　解析：(1)利用二項展開式的通項x4－k·＝x4－2k求解，令4－2k＝0，則k＝2，所以展開式中的常數(shù)項為＝＝6.
(2)x5應是(1＋x)10中含x5項、含x2項分別與1，－x3相乘的結果，
∴其系數(shù)為(－1)＝207.二項式定理與楊輝三角(二)
【教材要點】
知識點一　二項式系數(shù)的性質(zhì)
1．每一行的兩端都是____，其余每個數(shù)都等于____________________．即____________________．
2．每一行中，與首末兩端“________”的兩個數(shù)相等．即＝.
3．如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項________的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項________與________的二項式系數(shù)相等且最大．
4．各二項式系數(shù)的和
(1)+…＋＝________．
(2)＋…＝＋…＝________．
知識點二　楊輝三角的特點
1．在同一行中，每行兩端都是____，與這兩個1等距離的項的系數(shù)________．即＝.
2．在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的________，即________________．
【基礎自測】
1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)．(　　)
(2)二項式展開式的偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項系數(shù)和．(　　)
(3)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的．(　　)
(4)楊輝三角中每行兩端的數(shù)都是1.(　　)
2．(2x－1)6展開式中各項系數(shù)的和為________；各項的二項式系數(shù)和為________．
3．已知(a＋b)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n等于________．
4．在(a＋b)10二項展開式中與第3項二項式系數(shù)相同的項是(　　)
A．第8項 B．第7項
C．第9項 D．第10項
題型1　有關楊輝三角的應用
例1　在楊輝三角中，除1以外每一數(shù)值是它左上角和右上角兩個數(shù)值之和，三角形開頭幾行如表所示：
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　1　　1
第2行　　　　　1　　2　　1
第3行　　　　1　　3　　3　　1
第4行　　　1　　4　　6　　4　　1
第5行　　1　　5 　 10 　 10　　5　　1
……　　　…… 　 ……　　…… 　 ……
利用楊輝三角展開(1－x)6.
方法歸納
解決與楊輝三角有關的問題的一般思路
跟蹤訓練1　在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角形中，第__________行中從左至右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比為1∶2.
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　1　　1
第2行　　　　　1　　2　 　1
第3行　　　　1　　3　 　3　 　1
第4行　　　1　　4　 　6　 　4　 　1
第5行　　1　　5　　10　　10　　5　　1
……　　　　　……　　　　　　……
題型2　求展開式的系數(shù)和
例2　設(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019x2 019(x∈R).
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 019的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值．
方法歸納
1．解決二項式系數(shù)和問題思維流程
2．“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系，令x＝0可得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差．
跟蹤訓練2　已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
題型3　二項式系數(shù)性質(zhì)的應用
例3　已知f(x)＝(＋3x2)n(n∈N＋)展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
【思考探究】　
1. 根據(jù)楊輝三角的特點，在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數(shù)相等，你可以得到二項式系數(shù)的什么性質(zhì)？
[提示]　對稱性，因為
，并說明你得到的結論．
[提示]　＝.
當k<時>1，說明二項式系數(shù)逐漸增大；
同理，當k>時，二項式系數(shù)逐漸減小．
3．二項式系數(shù)何時取得最大值？
[提示]　當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值．
方法歸納
求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．
跟蹤訓練3　(1＋2x)n的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
教材反思
二項式定理與楊輝三角(二)
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．1　它“肩上”兩個數(shù)的和　＝＋
2．等距離
3．＋1　　＋1
4．2n　2n－1
知識點二
(1)1　相等　(2)和　＝＋
[基礎自測]
1．解析：(1)×　二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的，二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關．
(2)×　在二項式(a＋b)n中只有當a，b的系數(shù)都為1時，展開式的偶數(shù)項系數(shù)和才等于奇數(shù)項系數(shù)和．
(3)×　二項式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項式項的系數(shù)和a，b的系數(shù)有關．
(4)√　根據(jù)楊輝三角的特點可知．
2．解析：令展開式左、右兩邊x＝1，得各項系數(shù)和為1；各項二項式系數(shù)之和為26＝64.
答案：1　64
3．解析：因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以＋1＝5，所以n＝8.
答案：8
4．解析：由二項式展開式的性質(zhì)與首末等距離的兩項的二項式系數(shù)相等．即＝，＝，與第3項二項式系數(shù)相同的項是9項．
答案：C
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　解析：由楊輝三角知，第6行的二項式系數(shù)為：1，6，15，20，15，6，1.所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.令其中a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6.
跟蹤訓練1　解析：第n行從左到右的數(shù)分別為＝，即＝＝＝，從而有n＝35.
答案：35
例2　解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝.
(3)∵Tk＋1＝(－2x)k＝·(2x)k，
∴a2m－1＜0(m∈N＋)，a2m＞0(m∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
跟蹤訓練2　解析：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
(2)令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
例3　解析：令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n，由題意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
∵n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是
T3＝)3(3x2)2＝90x6，
T4＝)2(3x2)3＝.
跟蹤訓練3　解析：T6＝(2x)5，T7＝(2x)6，依題意有25＝26，∴n＝8.
∴(1＋2x)n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝(2x)4＝1 120x4.

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