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壓軸題02 數(shù)列壓軸題答案
題型/考向一：多選、填空綜合
題型/考向二：數(shù)列通項公式與數(shù)列求和
題型/考向三：數(shù)列與其他知識綜合
一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式
1.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.
3.等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝
二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
1.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝a.
2.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：
對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).
數(shù)列求和的常用方法
熱點(diǎn)一 分組求和與并項求和
1.若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.
2.若數(shù)列的通項公式中有(－1)n等特征，根據(jù)正負(fù)號分組求和.
熱點(diǎn)二 裂項相消法求和
裂項常見形式：(1)分母兩項的差等于常數(shù)
＝；
＝.
(2)分母兩項的差與分子存在一定關(guān)系
＝－；
＝.
(3)分母含無理式
＝－.
熱點(diǎn)三 錯位相減法求和
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn時，可采用錯位相減法.用其法求和時，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
一 多選題綜合
一、多選題
1．已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的前10項和為
【答案】BCD
【詳解】根據(jù)等差中項，，解得，，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，于是等差數(shù)列的通項公式為：，故A選項錯誤；
根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，，B選項正確；
根據(jù)B選項可知，，最大值在取得，故C選項正確；
，故的前10項和為：，D選項正確.
故選：BCD
2．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值 B．若，則時最大
C．若，使為負(fù)值的n值有3個 D．若，則
【答案】AD
【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，，有，即，
由等差數(shù)列性質(zhì)得為定值，選項A正確．
當(dāng)時，，公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列，
則，，故時，最大，選項B錯誤．
當(dāng)時，由于，則，，
令得，又，
故為負(fù)值的值有2個，選項C錯誤．
當(dāng)時，設(shè)公差為d，即，結(jié)合,即,
解得，，故，選項D正確．
故選：AD
3．在正三棱柱中，若A點(diǎn)處有一只螞蟻，隨機(jī)的沿三棱柱的各棱或各側(cè)面的對角線向相鄰的某個頂點(diǎn)移動，且向每個相鄰頂點(diǎn)移動的概率相同，設(shè)螞蟻移動n次后還在底面ABC的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．為等比數(shù)列 D．
【答案】BCD
【詳解】由題可知，當(dāng)時，，故選項A錯誤．
當(dāng)時，表示第次在平面ABC的頂點(diǎn)上的概率，表示第次在平面的頂點(diǎn)上的概率．
由底面走到底面的概率為，由上面走到底面的概率為，
所以，得，又，
所以是等比數(shù)列，首項為，公比為．C正確；
故，
化簡得，故，所以選項BD正確．
故選：BCD.
4．已知函數(shù)的定義域為，對任意的，都有，且，當(dāng)時，，則（ ）
A．是偶函數(shù)
B．
C．當(dāng)，是銳角的內(nèi)角時，
D．當(dāng)，且，時，
【答案】BCD
【詳解】令，得，故B正確；
令，則，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；
任取，且，則.
因為，
所以，所以.
因為，，所以，，
即在上單調(diào)遞增.
因為A，B是銳角的內(nèi)角，所以，所以，
所以.
因為，所以，故C正確；
因為，且，所以.
令，則，
令，則，所以.
因為，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故D正確.
故選：BCD
5．已知定義在上的函數(shù)該函數(shù)稱為黎曼函數(shù)．若數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【詳解】因為，且為既約真分?jǐn)?shù)，
所以，故A正確，
所以，故，B錯誤．
，故C錯誤．
，故D正確．
故選：AD．
二、填空題
6．艾薩克牛頓是英國皇家學(xué)會會長，著名物理學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上也有杰出貢獻(xiàn).牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時給出一個數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)有兩個零點(diǎn)1和2，數(shù)列為牛頓數(shù)列.設(shè)，已知，，的前項和為，則__________.
【答案】##
【詳解】有兩個零點(diǎn)1，2，
則，解之得，
則，則，
則，
則，
由，可得，
故，又，則數(shù)列是首項為1公比為2的等比數(shù)列，
則通項公式，前項和，則.
故答案為: .
7．對任意，任意，都有恒成立（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】解：由均值不等式有
．
∴，即單調(diào)遞增，且．
又對任意，任意，恒成立，
∴對任意，恒成立，
∴對任意，恒成立．
令，
∴，，
∴，解得或．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是
故答案為：
8．某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是2，且，，則__________．
【答案】
【詳解】的第項為，故，即
因為，，所以，，.
故答案為：
9．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和入手.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足，則______（其中表示不超過的最大整數(shù)）.
【答案】38
【詳解】當(dāng)時，，，，∵，∴，
當(dāng)時，，∴，，
∴，∴是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，∴，
∵，∴，∴，，即，
又時，，即，
令，
，
，
即，從而.
故答案為：38
10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問題，在他的專著《詳解九章算法·商功》中給出了著名的三角垛公式，則數(shù)列的前項和為____________．
【答案】
【詳解】，數(shù)列的前項和為，
，
數(shù)列的前項和.
故答案為：.
二 數(shù)列通項公式與數(shù)列求和
11．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【詳解】（1），得，
因為，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
則，故，
所以；
（2）當(dāng)為偶數(shù)時，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
綜上所述，.
12．在①；②；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問題．
已知數(shù)列的前n項和．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，設(shè)___________，求數(shù)列的前n項和．
【詳解】（1）因為①，
所以②，
②①得，
整理得，
由等差數(shù)列的定義可知是等差數(shù)列．
（2）由（1）得的公差，
又因為，所以．
若選①：
,
所以
．
若選②：
，
所以
．
若選③：
，
則，
兩式作差得
．
所以．
13．在數(shù)列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)的前項和為，證明：.
【詳解】（1），
，
即.
又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
從而，
則.
（2）證明：，
，
設(shè)，
則，
兩式相減得：，
即.
從而，
故.
三 數(shù)列與其他知識綜合
14．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，（為正整數(shù)）.
(1)當(dāng)時，求的解析式；
(2)若函數(shù)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)個數(shù)不超過10，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)求數(shù)列的前項和為是否存在極限？若存在，求出這個極限；若不存在，請說明理由
【詳解】（1）當(dāng)時，是偶函數(shù)，
（2），當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
圖像如圖所示：
若，函數(shù)有1個零點(diǎn)；
若，函數(shù)有2個零點(diǎn)；
若，函數(shù)有3個零點(diǎn)；
若，函數(shù)有4個零點(diǎn)；
若，函數(shù)有5個零點(diǎn)；
若，函數(shù)有6個零點(diǎn)；
是偶函數(shù)，
要使函數(shù)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)個數(shù)不超過10，
必須且只需.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍
（3）由（2）知，，
，
從而，
.
15．若無窮數(shù)列的各項均為整數(shù)．且對于，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．
(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；
(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，請寫出數(shù)列的通項公式（不需要證明）．
【詳解】（1）對①，取，對，則，
可得，
顯然不存在，使得，
所以數(shù)列不滿足性質(zhì)P；
對②，對于，則，，
故
，因為，
則，且，
所以存在，，
使得，
故數(shù)列滿足性質(zhì)P；
（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故數(shù)列中存在，使得，即，
反證：假設(shè)為有限集，其元素由小到大依次為，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即這與假設(shè)相矛盾，故集合為無限集.
（3）設(shè)周期數(shù)列的周期為，則對，均有，
設(shè)周期數(shù)列的最大項為，最小項為，
即對，均有，
若數(shù)列滿足性質(zhì)：
反證：假設(shè)時，取，則，使得，
則，即，
這對，均有矛盾，假設(shè)不成立；則對，均有；
反證：假設(shè)時，取，則，使得，
這與對，均有矛盾，假設(shè)不成立，即對，均有；
綜上所述：對，均有，
反證：假設(shè)1為數(shù)列中的項，由（2）可得：為數(shù)列中的項，
∵，即為數(shù)列中的項，
這與對，均有相矛盾，即對，均有，同理可證：，
∵，則，
當(dāng)時，即數(shù)列為常數(shù)列時，設(shè)，故對，都存在，
使得，解得或，即或符合題意；
當(dāng)時，即數(shù)列至少有兩個不同項，則有：
①當(dāng)為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；
②當(dāng)為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；
③當(dāng)為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；
綜上所述：或.
16．如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項，，求正整數(shù)k的最大值；
(3)已知項數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項的和等于k，若，，證明：.
【詳解】（1）因為，則，，
又，故，數(shù)列是“速增數(shù)列”.
（2），
當(dāng)時，，
即，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故正整數(shù)k的最大值為.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得證.
1壓軸題02 數(shù)列壓軸題
題型/考向一：多選、填空綜合
題型/考向二：數(shù)列通項公式與數(shù)列求和
題型/考向三：數(shù)列與其他知識綜合
一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式
1.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.
3.等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝
二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
1.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝a.
2.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：
對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).
數(shù)列求和的常用方法
熱點(diǎn)一 分組求和與并項求和
1.若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.
2.若數(shù)列的通項公式中有(－1)n等特征，根據(jù)正負(fù)號分組求和.
熱點(diǎn)二 裂項相消法求和
裂項常見形式：(1)分母兩項的差等于常數(shù)
＝；
＝.
(2)分母兩項的差與分子存在一定關(guān)系
＝－；
＝.
(3)分母含無理式
＝－.
熱點(diǎn)三 錯位相減法求和
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn時，可采用錯位相減法.用其法求和時，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
一 多選題綜合
一、多選題
1．已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的前10項和為
2．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值 B．若，則時最大
C．若，使為負(fù)值的n值有3個 D．若，則
3．在正三棱柱中，若A點(diǎn)處有一只螞蟻，隨機(jī)的沿三棱柱的各棱或各側(cè)面的對角線向相鄰的某個頂點(diǎn)移動，且向每個相鄰頂點(diǎn)移動的概率相同，設(shè)螞蟻移動n次后還在底面ABC的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．為等比數(shù)列 D．
4．已知函數(shù)的定義域為，對任意的，都有，且，當(dāng)時，，則（ ）
A．是偶函數(shù)
B．
C．當(dāng)，是銳角的內(nèi)角時，
D．當(dāng)，且，時，
5．已知定義在上的函數(shù)該函數(shù)稱為黎曼函數(shù)．若數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．艾薩克牛頓是英國皇家學(xué)會會長，著名物理學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上也有杰出貢獻(xiàn).牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時給出一個數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)有兩個零點(diǎn)1和2，數(shù)列為牛頓數(shù)列.設(shè)，已知，，的前項和為，則__________.
7．對任意，任意，都有恒成立（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________．
8．某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是2，且，，則__________．
9．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和入手.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足，則______（其中表示不超過的最大整數(shù)）.
10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問題，在他的專著《詳解九章算法·商功》中給出了著名的三角垛公式，則數(shù)列的前項和為____________．
二 數(shù)列通項公式與數(shù)列求和
11．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
12．在①；②；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問題．
已知數(shù)列的前n項和．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，設(shè)___________，求數(shù)列的前n項和．
13．在數(shù)列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)的前項和為，證明：.
三 數(shù)列與其他知識綜合
14．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，（為正整數(shù)）.
(1)當(dāng)時，求的解析式；
(2)若函數(shù)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)個數(shù)不超過10，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)求數(shù)列的前項和為是否存在極限？若存在，求出這個極限；若不存在，請說明理由
15．若無窮數(shù)列的各項均為整數(shù)．且對于，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．
(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；
(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，請寫出數(shù)列的通項公式（不需要證明）．
16．如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項，，求正整數(shù)k的最大值；
(3)已知項數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項的和等于k，若，，證明：.
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