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專題03 函數
一、函數的定義
一般地，設，是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數的四個特征：
①非空性：，必須為非空數集（注意不僅非空，還要是數集），定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應（可以多對一，不能一對多）.
二、函數的三要素
（1）定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
（2）對應關系：對應關系 是函數的核心，它是對自變量 實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：與 的值相對應的 值叫做函數值，函數值的集合 叫做函數的值域．
三、待定系數法求函數解析式
若已知函數的類型（如一次函數、二次函數，反比例等），可用待定系數法．
四、分段函數
在一個函數的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫分段函數，分段函數是一個函數而不是幾個函數．
五、函數的單調性
1．單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當x1f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
2．單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數y＝f(x)的單調區間．
六、函數的奇偶性
1.偶函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
2.奇函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
3.函數奇偶性的判斷
(1)定義法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）求，根據與的關系，判斷的奇偶性：
①若是奇函數
②若是偶函數
③若既是奇函數又是偶函數
④若既不是奇函數也不是偶函數
(2)圖象法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）若的圖象關于軸對稱是偶函數
（3）若的圖象關于原點對稱是奇函數
1. 求函數的定義域
2. 求函數解析式
3.求自變量、函數值
5.二次函數單調區間、對稱軸
6.判斷函數單調性
7.判斷函數奇偶性
8.由函數單調性比較大小
1. 待定系數法
2.分類討論
3. 等價轉化法
4. 函數與方程思想
5. 數形結合思想
考點一 函數的概念
例1．下列各組函數為同一函數的是（　　）
①與;
②與;
③與.
A．①② B．① C．② D．③
【答案】B
【分析】依次判斷函數的定義域和對應關系是否相等得到答案.
【詳解】對①:與的定義域、對應關系均相同，是同一函數；
對②:由，而,對應關系不同，不是同一函數；
對③：，，對應關系不同，不是同一函數.
故選：B
【變式探究】下列函數中，與函數y＝x(x≥0)有相同圖象的一個是(　 　)
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝ D．y＝
【解析】　A、C、D選項中函數的定義域與題目中的定義域不同，故不是同一個函數．故選B．
考點二 求函數的定義域
例3．已知函數的定義域是 .
【答案】
【解析】,故答案為.
【變式探究】函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據對數的定義域以及根式的性質即可求解.
【詳解】由題意可知的定義域需要滿足，解得，
故定義域為，
故選：D
考點三 求自變量、函數值
例4．設函數= ，則 .
答案：4
例5．函數f(x)＝，若f(x)＝3，則x的值為(　 　)
A．1　　　 B．1或
C．　　　 D．
【解析】　當x≤－1時，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；當－1＜x＜2時，由x2＝3得x＝或x＝－(舍)；當x≥2時，由2x＝3得x＝(舍)．故選D．
【變式探究】已知函數，則______.
【答案】
【分析】先計算的值，再計算的值.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
考點四 求函數解析式
例6．已知函數f(x)是反比例函數，且f(－1)＝2，則f(x)＝__ __．
【解析】　設f(x)＝(k≠0)，
∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，∴f(x)＝－．
例7．已知f(2x＋1)＝4x2，則下列結論正確的是(　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝17
C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
【解析】　當2x＋1＝3時，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合題意；當2x＋1＝－3時，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B不符合題意；令t＝2x＋1，則x＝，因此f(t)＝4×()2＝t2－2t＋1，所以C不符合題意，D符合題意．故選D．
【變式探究】已知函數f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)= ；
【答案】3x－1
【解析】令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1．
考點五 函數的單調性
例7．下列函數中，在區間(0,2)上為增函數的是(　 　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－x2
【答案】B
【解析】　分別畫出各個函數的圖象，在區間(0,2)上上升的圖象只有B．
例7．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函數，則a的取值范圍是(　 　)
A．(－∞，)　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．[，＋∞]
[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b為增函數，應滿足3a－1＞0，即a＞，故選B．
【變式探究】若函數f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時是增函數，當x∈(－∞，－2)時是減函數，則f(1)＝__ __．
【答案】13
【解析】　由條件知x＝－2是函數f(x)圖象的對稱軸，所以＝－2，m＝－8，則f(1)＝13．
考點六 函數的奇偶性
例7．下例函數中，偶函數的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
例7．函數f(x)＝x2－2mx＋4是偶函數，則實數m＝__ __．
[解析]　f(x)為偶函數，則對稱軸為x＝m＝0．
【變式探究】下列函數中，既是偶函數又在區間（）上是單調遞減的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
考點七 函數的應用
例7．A市居民生活用水原收費標準為4元/m3，為保護生態，鼓勵節約用水，A市從2016年1月1日起，調整居民生活用水收費標準，具體規定如下：第一階梯：每戶用水量不超過25m3的部分（含25m3），按3元/m3計費；第二階梯：每戶用水量超過25m3且不超過35m3的部分（含35m3），按4元/m3計費；第三階梯：每戶用水量超過35m3的部分，按6元/m3計費．如：當某戶月用水量為30m3時，該戶當月應繳水費為3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假設某戶月用水量為xm3時，當月應繳水費為y元．
(I)求調整收費標準后y與自變量x的函數關系；
(II)當某戶用水量超過多少m3時，按調整后收費標準應繳水費超過按原收費標準應繳水費？
答案：(I)由題意得某戶月用水量為，當月應繳水費為元.
第一階梯：當時，；
第二階梯：當時，；
第三階梯：當時，.
綜上， .
(II) 當時，，的取值范圍不存在；
當時，，的取值范圍不存在；
當時，，解得.
所以當某戶用水量超過47.5m3時，按調整后收費標準應繳水費超過按原收費標準應繳水費.
【變式探究】某社區超市的某種商品的日利潤（單位：元）與該商品的當日售價（單位：元）之間的關系為，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為（ ）
A．5元 B．6元 C．7元 D．26元
【答案】B
【分析】直接利用二次函數性質得到答案.
【詳解】，所以當時，取最大值.
故選：B.
1. (2022年)下列函數為偶函數且在是增函數的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：A，為偶函數且在是增函數，故A正確；為偶函數但在不是單調函數，故排除B；是非奇非偶函數，故排除C；是非奇非偶函數，故排除D.
2. (2022年) 函數 .
解析：
3. (2022年) 函數的定義域為 .
解析：要使得 有意義，則，故函數的定義域為
4. (2022年)如圖，已知OM⊥ON, 0M=16米，ON=20米。動點A和B同時從0點分別沿路徑0→N和0→M方向勻速移動。已知動點A的速度為2米/秒，動點B的速度為1米/秒。在動點A向點N移動過程中，當移動時間x為多少秒時，三角形ABM的面積最大，最大面積是多少平方米？
5. (2021年)已知函數的圖像關于y軸對稱，則函數是（ ）
A.奇函數 B.偶函數
C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
解析：A，函數的圖像關于y軸對稱，即函數是偶函數，則k=0，則函數是奇函數，故選A.
6. (2021年)下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：D，，排除A；，排除B；，排除C；，故選D.
7. (2021年)函數，則 .
解析：
8. (2020年河北對口)已知函數f(x)=sinx2，則f(x)是( )
A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
【答案】B
【解析】函數f(x)=sinx2定義域為R，，所以函數f(x)=sinx2是偶函數，故選B.
9.（2020年河北對口高考）函數的定義域為( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
【答案】A
【解析】，故選A.
10.（2020年河北對口高考）函數的定義域為 。
【答案】
【解析】,故答案為
11. （2020年河北對口高考）若,則f[f(-3)]= .
【答案】3
【解析】f[f(-3)]= .
12. （2020年河北對口高考）某火車站計劃使用36米長的柵欄材料在靠墻（墻足夠長）的位置設置一塊平行四邊形的臨時隔離區域，如圖所示，由于地形條件所限，要求∠DAB=120°,問AB長為多少米時，所圍成的隔離區域的面積最大，最大的面積是多少平方米？
【解析】設AB的長為x米，所圍成的隔離區域的面積為y平方米，
易知，則平行四邊形的面積
故當AB的長為18米，所圍成的隔離區域的面積最大，最大面積為平方米.
13.（2019年河北對口高考）下列四組函數中，圖像相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】的定義域為,的定義域為R，故A錯；的定義域為R，的定義域為，故B錯；的定義域為,的定義域為，故C錯；的定義域均為R，，故選D.
14．(2019年河北對口)已知一次函數y=kx+b 關于原點對稱， 則二次函數y=ax2 +bx+c(a0) 一定是（ ）
A. 奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.奇偶性和c有關
【答案】B
【解析】一次函數y=kx+b 關于原點對稱，則b=0, 二次函數y=ax2 +bx+c(a0)化為y=ax2 +c(a0)，為偶函數，故選B.
15.（2019年河北對口高考）函數的定義域為 。
【答案】
【解析】,故答案為.
16. （2019年河北對口高考）某廣告公司計劃設計一塊周長為16 米的矩形廣告牌， 設計費為每平方米500 元.設該矩形一條邊長為x 米，面積為y 平方米 .
（1）寫出y 與 x 的函數關系式；
（2）問矩形廣告牌長和寬各為多少米時，設計費最多，最多費用為多少元？
【解析】矩形的另一邊長為（米）
則
當x=4米時，矩形的面積最大，最大面積為16平方米，此時廣告費為500*16=8000元.
所以當廣告牌長各寬為4米時矩形面積最大，設計費用最多，最多費用為8000元.
17．(2018年河北對口)下列函數中既是奇函數又是減函數的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】是偶函數，排除B； 是增函數，排除A；在定義域上不是減函數，排除D；故選C.
18. (2018年河北對口)函數的定義域為
【答案】
【解析】，故答案為.
19.（2018年河北對口高考）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】,解析式不同，排除A； ,解析式不同，排除B；，故選C；,解析式不同，排除D.
20. （2018年河北對口高考）已知函數 。
【答案】4
【解析】
21．(2017年河北對口)設奇函數在上為增函數，且最大值為，那么在上為（ ）
A．增函數，且最小值為 B．增函數，且最大值為
C．減函數，且最小值為 D．減函數，且最大值為
【答案】A
22. （2017年河北對口高考）設函數是一次函數，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】,解得，故選D.
23. （2017年河北對口高考）已知函數，則 .
【答案】
【解析】
24 . （2017年河北對口高考）某物業管理公司有套公寓對外出租，經市場調查發現，每套公寓租價為2500元時，可以全部租出. 租價每上漲100元，就會少租出一套公寓，問每套公寓租價為多少元時，租金總收入最大？最大收入為多少元？
【解析】設每套公寓租價為元，總收入為元.
則依題意得
顯然當時最大，的最大值為.
25．(2016年河北對口)下列函數中是奇函數且在內單調遞增的是（ ）
A．　 B. C. 　　 D.
【答案】B
【解析】,偶函數，排除A. ，故選B；,偶函數，排除C. 在內有增有減，排除D.專題03 函數
一、函數的定義
一般地，設，是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數的四個特征：
①非空性：，必須為非空數集（注意不僅非空，還要是數集），定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應（可以多對一，不能一對多）.
二、函數的三要素
（1）定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
（2）對應關系：對應關系 是函數的核心，它是對自變量 實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：與 的值相對應的 值叫做函數值，函數值的集合 叫做函數的值域．
三、待定系數法求函數解析式
若已知函數的類型（如一次函數、二次函數，反比例等），可用待定系數法．
四、分段函數
在一個函數的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫分段函數，分段函數是一個函數而不是幾個函數．
五、函數的單調性
1．單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當x1f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
2．單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數y＝f(x)的單調區間．
六、函數的奇偶性
1.偶函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
2.奇函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
3.函數奇偶性的判斷
(1)定義法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）求，根據與的關系，判斷的奇偶性：
①若是奇函數
②若是偶函數
③若既是奇函數又是偶函數
④若既不是奇函數也不是偶函數
(2)圖象法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）若的圖象關于軸對稱是偶函數
（3）若的圖象關于原點對稱是奇函數
1. 求函數的定義域
2. 求函數解析式
3.求自變量、函數值
5.二次函數單調區間、對稱軸
6.判斷函數單調性
7.判斷函數奇偶性
8.由函數單調性比較大小
1. 待定系數法
2.分類討論
3. 等價轉化法
4. 函數與方程思想
5. 數形結合思想
考點一 函數的概念
例1．下列各組函數為同一函數的是（　　）
①與;
②與;
③與.
A．①② B．① C．② D．③
【變式探究】下列函數中，與函數y＝x(x≥0)有相同圖象的一個是(　 　)
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝ D．y＝
考點二 求函數的定義域
例2．已知函數的定義域是 .
【變式探究】函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
考點三 求自變量、函數值
例3．設函數= ，則 .
例4．函數f(x)＝，若f(x)＝3，則x的值為(　 　)
A．1　　　 B．1或
C．　　　 D．
【變式探究】已知函數，則______.
考點四 求函數解析式
例5．已知函數f(x)是反比例函數，且f(－1)＝2，則f(x)＝__ __．
例6．已知f(2x＋1)＝4x2，則下列結論正確的是(　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝17
C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
【變式探究】已知函數f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)= ；
考點五 函數的單調性
例7．下列函數中，在區間(0,2)上為增函數的是(　 　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－x2
例8．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函數，則a的取值范圍是(　 　)
A．(－∞，)　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．[，＋∞]
【變式探究】若函數f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時是增函數，當x∈(－∞，－2)時是減函數，則f(1)＝__ __．
考點六 函數的奇偶性
例9．下例函數中，偶函數的是（ ）
A. B. C. D.
例10．函數f(x)＝x2－2mx＋4是偶函數，則實數m＝__ __．
【變式探究】下列函數中，既是偶函數又在區間（）上是單調遞減的是（ ）
A. B. C. D.
考點七 函數的應用
例7．A市居民生活用水原收費標準為4元/m3，為保護生態，鼓勵節約用水，A市從2016年1月1日起，調整居民生活用水收費標準，具體規定如下：第一階梯：每戶用水量不超過25m3的部分（含25m3），按3元/m3計費；第二階梯：每戶用水量超過25m3且不超過35m3的部分（含35m3），按4元/m3計費；第三階梯：每戶用水量超過35m3的部分，按6元/m3計費．如：當某戶月用水量為30m3時，該戶當月應繳水費為3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假設某戶月用水量為xm3時，當月應繳水費為y元．
(I)求調整收費標準后y與自變量x的函數關系；
(II)當某戶用水量超過多少m3時，按調整后收費標準應繳水費超過按原收費標準應繳水費？
【變式探究】某社區超市的某種商品的日利潤（單位：元）與該商品的當日售價（單位：元）之間的關系為，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為（ ）
A．5元 B．6元 C．7元 D．26元
1. (2022年)下列函數為偶函數且在是增函數的是（ ）
A. B.
C. D.
2. (2022年) 函數 .
3. (2022年) 函數的定義域為 .
4. (2022年)如圖，已知OM⊥ON, 0M=16米，ON=20米。動點A和B同時從0點分別沿路徑0→N和0→M方向勻速移動。已知動點A的速度為2米/秒，動點B的速度為1米/秒。在動點A向點N移動過程中，當移動時間x為多少秒時，三角形ABM的面積最大，最大面積是多少平方米？
5. (2021年)已知函數的圖像關于y軸對稱，則函數是（ ）
A.奇函數 B.偶函數
C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
6. (2021年)下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
7. (2021年)函數，則 .
8. (2020年河北對口)已知函數f(x)=sinx2，則f(x)是( )
A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
函數f(x)=sinx2定義域為R，，所以函數f(x)=sinx2是偶函數，故選B.
9.（2020年河北對口高考）函數的定義域為( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
10.（2020年河北對口高考）函數的定義域為 。
11.（2020年河北對口高考）若,則f[f(-3)]= .
12. （2020年河北對口高考）某火車站計劃使用36米長的柵欄材料在靠墻（墻足夠長）的位置設置一塊平行四邊形的臨時隔離區域，如圖所示，由于地形條件所限，要求∠DAB=120°,問AB長為多少米時，所圍成的隔離區域的面積最大，最大的面積是多少平方米？
13.（2019年河北對口高考）下列四組函數中，圖像相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
14．(2019年河北對口)已知一次函數y=kx+b 關于原點對稱， 則二次函數y=ax2 +bx+c(a0) 一定是（ ）
A. 奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.奇偶性和c有關
15.（2019年河北對口高考）函數的定義域為 。
,故答案為.
16. （2019年河北對口高考）某廣告公司計劃設計一塊周長為16 米的矩形廣告牌， 設計費為每平方米500 元.設該矩形一條邊長為x 米，面積為y 平方米 .
（1）寫出y 與 x 的函數關系式；
（2）問矩形廣告牌長和寬各為多少米時，設計費最多，最多費用為多少元？
17．(2018年河北對口)下列函數中既是奇函數又是減函數的是（ ）
A、 B、 C、 D、
18. (2018年河北對口)函數的定義域為
19.（2018年河北對口高考）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A、 B、
C、 D、
20. （2018年河北對口高考）已知函數 。
21．(2017年河北對口)設奇函數在上為增函數，且最大值為，那么在上為（ ）
A．增函數，且最小值為 B．增函數，且最大值為
C．減函數，且最小值為 D．減函數，且最大值為
22. （2017年河北對口高考）設函數是一次函數，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
23. （2017年河北對口高考）已知函數，則 .
24 . （2017年河北對口高考）某物業管理公司有套公寓對外出租，經市場調查發現，每套公寓租價為2500元時，可以全部租出. 租價每上漲100元，就會少租出一套公寓，問每套公寓租價為多少元時，租金總收入最大？最大收入為多少元？
25．(2016年河北對口)下列函數中是奇函數且在內單調遞增的是（ ）
A．　 B. C. 　　 D.

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