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壓軸題01 數(shù)列壓軸題答案
題型/考向一：等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合
題型/考向二：以古文化、實(shí)際生活等情境綜合
題型/考向三：數(shù)列綜合應(yīng)用
一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.
3.等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝
二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝a.
2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)(m，n∈N*)：
對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).
數(shù)列求和的常用方法
熱點(diǎn)一 分組求和與并項(xiàng)求和
1.若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
2.若數(shù)列的通項(xiàng)公式中有(－1)n等特征，根據(jù)正負(fù)號(hào)分組求和.
熱點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和
裂項(xiàng)常見形式：(1)分母兩項(xiàng)的差等于常數(shù)
＝；
＝.
(2)分母兩項(xiàng)的差與分子存在一定關(guān)系
＝－；
＝.
(3)分母含無理式
＝－.
熱點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.用其法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
一 等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合
1．已知等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】B
【詳解】設(shè)的公比為q，則，得，
所以 ．
故選:B
2．已知等比數(shù)列的公比且，前項(xiàng)積為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕汕铱芍?hào)，所以.
故選：C
3．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使的的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則由得：，解得：，
，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
，，，，，，
，，
，，
，，，
，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則使得的的最小值為.
故選：C.
4．設(shè)函數(shù)，，，．記，，則，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小無法確定
【答案】A
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以
所以.
令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：A
5．?dāng)?shù)列滿足，，現(xiàn)求得的通項(xiàng)公式為，，若表示不超過的最大整數(shù)，則的值為（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】D
【詳解】聯(lián)立方程；
解得，，
則，
由題可得，，，且，
所以，
則，
因?yàn)椋裕剩?br/>故選：D.
二 以古文化、實(shí)際生活等情境綜合
6．小李年初向銀行貸款萬元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（ ）萬元.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)每年應(yīng)還萬元，則有，
得 ，
解得．
故選：B．
7．傳說國(guó)際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國(guó)王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國(guó)王讓人在他發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八粒……依此規(guī)律，放滿棋盤的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（ ）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
【答案】C
【詳解】64個(gè)格子放滿麥粒共需，
麥子大約20000粒，1噸麥子大約粒，
，
故選：C.
8．中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
【答案】A
【詳解】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，
根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，
故選：A.
9．2022年10月16日上午10時(shí)，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開幕.某單位組織全體黨員在報(bào)告廳集體收看黨的二十大開幕式，認(rèn)真聆聽習(xí)近平總書記向大會(huì)所作的報(bào)告.已知該報(bào)告廳共有10排座位，共有180個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，則=2，，
因?yàn)椋裕吹?
故選：C
10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中提出了垛積問題，涉及逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第18項(xiàng)為（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【答案】C
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則，
故
，
也適合該式，
故第18項(xiàng)為，
故選：C
三 數(shù)列綜合應(yīng)用
11．在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋士傻茫袄奂涌傻茫?br/>則，所以，
則．
故選：B．
12．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.
所以.
故選：D
13．已知一族曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為
C．當(dāng)時(shí)， D．
【答案】B
【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，
得，
則由，即，
得(負(fù)值舍去)，
所以可得，，
所以A對(duì)，B錯(cuò)；
因?yàn)椋?br/>所以，
故C對(duì)；
因?yàn)椋?br/>令，，
可得在上遞減，可知在上恒成立，
又.所以成立，
故D正確.
故選：B.
14．在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)且，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，為偶函數(shù)，
則，可得，，所以數(shù)列為等差數(shù)列．
則，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.
又，
令，則為奇函數(shù)，
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，
由題意得，則，
∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，
則，假設(shè)，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
所以，
∵，
∴，與已知矛盾，故不成立；
假設(shè)，同理可得，與已知矛盾，故不成立；
綜上，．
故選：C.
15．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，則，
所以，
所以.
故選：C.
1壓軸題01 數(shù)列壓軸題
題型/考向一：等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合
題型/考向二：以古文化、實(shí)際生活等情境綜合
題型/考向三：數(shù)列綜合應(yīng)用
一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.
3.等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝
二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝a.
2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)(m，n∈N*)：
對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).
數(shù)列求和的常用方法
熱點(diǎn)一 分組求和與并項(xiàng)求和
1.若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
2.若數(shù)列的通項(xiàng)公式中有(－1)n等特征，根據(jù)正負(fù)號(hào)分組求和.
熱點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和
裂項(xiàng)常見形式：(1)分母兩項(xiàng)的差等于常數(shù)
＝；
＝.
(2)分母兩項(xiàng)的差與分子存在一定關(guān)系
＝－；
＝.
(3)分母含無理式
＝－.
熱點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.用其法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
一 等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合
1．已知等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
2．已知等比數(shù)列的公比且，前項(xiàng)積為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使的的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)函數(shù)，，，．記，，則，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小無法確定
5．?dāng)?shù)列滿足，，現(xiàn)求得的通項(xiàng)公式為，，若表示不超過的最大整數(shù)，則的值為（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
二 以古文化、實(shí)際生活等情境綜合
6．小李年初向銀行貸款萬元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（ ）萬元.
A． B． C． D．
7．傳說國(guó)際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國(guó)王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國(guó)王讓人在他發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八粒……依此規(guī)律，放滿棋盤的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（ ）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
8．中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
9．2022年10月16日上午10時(shí)，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開幕.某單位組織全體黨員在報(bào)告廳集體收看黨的二十大開幕式，認(rèn)真聆聽習(xí)近平總書記向大會(huì)所作的報(bào)告.已知該報(bào)告廳共有10排座位，共有180個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中提出了垛積問題，涉及逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第18項(xiàng)為（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
三 數(shù)列綜合應(yīng)用
11．在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
12．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A． B．
C． D．
13．已知一族曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為
C．當(dāng)時(shí)， D．
14．在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)且，則（ ）．
A． B． C． D．
15．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
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