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函數·典型例題分析
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例1? 與函數y=x表示相同函數的是?????????????????? [??? ]
則、值域不同，排除C．而
評注? 判斷兩個函數是否相同，要看函數的三要素：定義域，值域，對應法則．其中對應法則不能僅僅從解析式上考慮，要分析其對應法則的本質．
例2? 求下列函數的定義域
(5)設f(x)的定義域為[0，2]，求函數f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定義域．
∴定義域是空集，函數是虛設的函數
(2)由函數式可得
∴函數的定義域是{x|x=-1}，定義域是一個孤立的點(-1，0)的橫坐標
(3)∵x2-4≠0
∴x≠±2
∴函數定義域為(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)
(4)從函數式可知，x應滿足的條件為
∴函數的定義域為
(5)∵f(x)定義域為[0，2]
所以f(x+a)+f(x-a)中x應滿足
又∵a＞0，若2-a≥a，則a≤1
即0＜a≤1時，f(x+a)+f(x-a)的定義域為{x|a≤x≤2-a}
當a＞1時，x∈(
評注 求f(x)的定義域就是求使函數f(x)有意義的x的取值范圍，定義域表示法有：不等式法，集合法，區間表示法等．
例3? 求下列函數的值域
解? (1)由原式可化為
(2)將函數變形，整理可得：
2yx2-4yx+3y-5=0
當y=0時，-5=0不可能，故y≠0
∵x∈R
∴Δ=(-4y)2-4×2y×(3y-5)≥0
即y(y-5)≤0解得0≤y≤5
而y≠0
∴0＜y≤5
故函數值域為(0，5]
此二次函數對稱軸為t=-1
評注? 求函數值域方法很多，此例僅以三個方面給出例子．學習時要分析函數式的結構特征，從而確定較簡單的求值域的方法．
例4 ?(1)已知f(x)=x2，g(x)為一次函數，且y隨x值增大而增大．若
f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式
解? (1)∵g(x)為一次函數，且y隨x值增大而增大
故可設g(x)=ax+b(a＞0)
∵f[g(x)]=4x2-20x+25
∴(ax+b)2=4x2-20x+25
即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25
解得? a=2，b=-5
故g(x)=2x-5
于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)
故f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)
f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)
評注? 對于(1)是用待定系數法求函數的解析式，要根據題意設出函數的形式，再利用恒等式的性質解之．求函數解析式的常用方法還有拼湊法，代換法(如(2))，解方程組等．
例5? 如圖1-7，灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬及兩邊坡總長度為a，邊坡的傾角為60°．
(1)求橫斷面積y與底寬x的函數關系式；
評注? 本題是有關函數的實際問題，其方法是把實際問題用數學的形式表示出來，建立變量之間的函數關系．
例6? 設x≥0時，f(x)=2，x＜0時，f(x)=1又
解? 當0＜x＜1時，x-1＜0，x-2＜0
當1≤x＜2時，x-1≥0，x-2＜0
當x≥2時，
g(x)=2
評注? 分段函數關鍵是在x的不同條件下計算方法不同，不要認為是三個不同函數．

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