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函數的應用舉例·例題解析
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1．幾何問題類
用函數思想解決幾何(如平面幾何、立體幾何及解析析幾何)問題，這是常常出現的數學本身的綜合運用問題．
【例1】 如圖2．9－1，一動點P自邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發，沿正方形的邊界運動一周，再回到A點．若點P的路程為x，點P到頂點A的距離為y，求A、P兩點間的距離y與點P的路程x之間的函數關系式．
解 (1)當點P在AB上，即0≤x≤1時，AP＝x，也就是y＝x．
(2)當點P在BC邊上，即1＜x≤2時，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根據勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2
(3)當點P在DC邊上，即2＜x≤3時，AD＝1，DP＝3－x．根據勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．
(4)當點P在AD邊上，即3＜x≤4時，有y=AP＝4－x．
∴所求的函數關系式為
2．行程問題類
【例2】 已知，A、B兩地相距150公里，某人開汽車以60公里/小時的速度從A地到達B地，在B地停留一小時后再以50公里/小時的速度返回A地，求汽車離開A地的距離x表示為時間t的函數．
解 根據題意：
(1)汽車由A到B行駛t小時所走的距離x=60t，(0≤t≤2.5)
(2)汽車在B地停留1小時，則B地到A地的距離x＝150(2.5＜x≤3.5)
(3)由B地返回A地，則B地到A地的距離x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)
3．工程設計問題類
工程設計問題是指運用數學知識對工程的定位、大小、采光等情況進行合理布局、計算的一類問題．
【例3】 要在墻上開一個上部為半圓，下部為矩形的窗戶(如圖2．9－2所示)，在窗框為定長l的條件下，要使窗戶透光面積最大，窗戶應具有怎樣的尺寸？
解 設半圓的直徑為x，矩形的高度為y，窗戶透光面積為S，則
面積最大．
說明 應用二次函數解實際問題，關鍵是設好適當的一個變量，建立目標函數．
【例4】 要使火車安全行駛，按規定，鐵道轉彎處的圓弧半徑不允許小于600米，如果某段鐵路兩端相距156米，弧所對的圓心角小于180°，試確定圓弧弓形的高所允許的取值范圍．
解 設園的半徑為R，圓弧弓形高CD=x(m)．
在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x
∴(R－x)2＋782=R2
由題意知R≥600
得x2－1200x＋6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)
∴圓弧弓形高的允許值范圍是(0，5.1]．
4．營銷問題類
這類問題是指在營銷活動中，計算產品成本、利潤(率)，確定銷售價格．考慮銷售活動的盈利、虧本等情況的一類問題．在營銷問題中，應掌握有關計算公式：利潤=銷售價－進貨價．
【例5】 將進貨價為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，若每件售價漲價0.5元，其銷售量就減少10件．問應將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出這個最大利潤．
解 設每件售價提高x元，則每件得利潤(2＋x)元，每天銷售量變為(200－20x)件，所獲利潤
y=(2＋x)(200－20x)
=－20(x－4)2＋720
當x=4時，即售價定為14元時，每天可獲最大利潤為720元．
5．單利問題類
單利是指本金到期后的利息不再加入本金計算．設本金為P元，每期利率為r，經過n期后，按單利計算的本利和公式為Sn=P(1＋nR)．
【例6】 某人于1996年6月15日存入銀行1000元整存整取定期一年儲蓄，月息為9‰，求到期的本利和為多少？
解 這里P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．
答 本利和為1108元．
6．復利問題類
復利是一種計算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計算下一期的利息．設本金為P，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，則復利函數式為y=P(1＋r)x．
【例7】 某企業計劃發行企業債券，每張債券現值500元，按年利率6.5％的復利計息，問多少年后每張債券一次償還本利和1000元？(參考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．
解 設n年后每張債券一次償還本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n，解得n=lg2/lg1.065≈11．
答 11年后每張債券應一次償還本利和1000元．
7．函數模型類
這個問題是指在問題中給出函數關系式，關系式中有的帶有需確定的參數，這些參數需要根據問題的內容或性質來確定之后，然后使問題本身獲解．
【例8】 某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件．為了估測以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用一個函數模擬該產品的月產品的月產量y與月份數x的關系，模擬函數可以選用二次函數或函數y=abx＋c(其中a、b、c為常數)，已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數作為模擬函數較好，并說明理由．
解 設二次函數y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)
∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x＋0.7
f(4)=－0.05×16＋0.35×4＋0.7=1.3
又y=abx＋c
【例9】 有甲乙兩種產品，生產這兩種產品所能獲得的利潤依次
投入3萬元資金生產甲、乙兩種產品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種產品的資金投入分別應為多少？最大利潤是多少？
解 設投入甲產品資金為x萬元，投入乙產品資金為(3－x)萬元，總利潤為y萬元．
答 對甲、乙產品分別投資為0.75萬元和2.25萬元，獲最大利潤為
8．增長率(或降低率)問題類
這類問題主要是指工農業生產中計算增長率、產值等方面的一類計算題．
【例10】 某工廠1988年生產某種產品2萬件，計劃從1989年開始，每年的產量比上一年增長20％，問哪一年開始，這家工廠生產這種產品的年產量超過12萬元(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解 設過x年后，產量超過12萬件．
則有2(1＋20％)x＞12
解得x＞9.84
答 從1998年開始年產量可超過12萬件．
9．相關學科問題類
這類問題是指涉及相關學科(如物理、化學等)知識的一類數學問題．
【例11】 在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，…，an，共n個數據，我們規定所測量的物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其它近似值比較，a與各數據差的平方和最小，依此規定，求從a1，a2，…，an推出的a值．
解 a應滿足：y=(a－a1)2＋(a－a2)2＋…＋(a－an)2
此式表示以a為自變量的二次函數，
∵n＞0．
10．決策問題類
決策問題，是指根據已掌握的數據及有關信息，利用數學知識對某一事件進行分析、計算，從而作出正確決策的題．
【例12】 某廠在甲、乙兩地的兩個分廠各生產某種機器12臺和6臺，現銷售給A地10臺，B地8臺，已知從甲地調運一臺至A地、B地的運費分別為400元和800元，從乙地調運一臺至A地、B地的運費分別為300元和500元．
(1)設從乙要調x臺至A地，求總運費y關于x軸的函數關系式．
(2)若總運費不超過9000元，問共有幾種調運方案？
(3)求出總運費最低的調運方案及最低的運費．
解 (1)y=300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N)
(2)當x=0，1，2時，y≤9000，故共有三種方案，總運費不超過9000元．
(3)在(1)中，當x＝0時，總運費最低，調運方案為：乙地6臺全調B地，甲地調2臺至B地，10臺至A地，這時，總運費y＝8600元．

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