資源簡介

《 探索勾股定理（第一課時）》學歷案
【課題與課時】
課題：探索勾股定理
課時：第一課時
【課標要求】
1.經歷勾股定理的探索過程，能運用運用它們解決一些簡單的實際問題。
2.掌握勾股定理的內容。
【學習目標】
1．理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數量關系，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用．
2．讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學思想，并體會數形結合和特殊到一般的思想方法．
【評價任務】
1.獨立完成任務一：1,2 (檢測目標1)
2.合作完成任務二：3,4(檢測目標2)
【資源與建議】
勾股定理是平面幾何有關度量的最基本定理，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征。學習勾股定理及其逆定理是進一步認識和理解直角三角形的需要，也是后續有關幾何度量運算和代數學習的必要基礎。
注重使學生經歷探索勾股定理等活動過程。
教科書安排了探索勾股定理、驗證勾股定理、探索勾股定理的活動，發展空間觀念和推理能力。
注重創設豐富的現實情境，體會勾股定理的應用。
可以創設現實情境鼓勵學生尋找有關的問題，進一步展現勾股定理在解決問題中的作用。
【學習提示】
在開始本節課學習之前，先認真閱讀以上資源與建議，明確這節課內容的出處、知識的前后聯系、學習的路徑、學習的重難點及突破的途徑，為順利完成以下學習內容作好準備.
【學法建議】
自主探究與合作交流相結合
課前預習 【學習反思與補充】
什么是直角三角形 . 直角三角形的性質： 2、預習《探索勾股定理第一課時》回答一下問題 勾股定理探究思路是什么？ 勾股定理內容是什么？
學習過程 【學習反思與補充】
如圖，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么需要多長的鋼索或者什么范圍的鋼索呢？ 你是怎么理解的？怎么思考的？ 探究一：填寫下表并說明理由 探究二：填寫下表并說明理由 通過自主學習得到結論： 我們古代把直角三角形中較短的直角邊稱為 ， 較長的直角邊稱為 ，斜邊稱為 ． 從而得到著名的勾股定理： ． 如果用a、b和c分別表示直角 三角形的兩直角邊和斜邊，那么 ． 符號語言： 數學小史：勾股定理是我國最早發現的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方稱為畢達哥拉斯定理） 【評價標準】 A等級：能獨立驗證并能說明理由 B等級：能獨立驗證但不能說明理由 C等級：同學幫助下完成. 評價結果： 【評價標準】 A等級：能獨立驗證并能說明理由 B等級：能獨立驗證但不能說明理由 C等級：同學幫助下完成. 評價結果：
學習總結 【學習反思與補充】
本節課我學會了哪些知識？ 本節課我學會了那些探究問題的方法？ 學習內容上哪些地方還有疑惑或者哪些知識我還想了解？
學習檢測 【學習反思與補充】
圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 . 在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，則c= . （2）若c=13，b=12，則a= . 3.若直角三角形中有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25 4.求斜邊長17厘米、一條直角邊長15厘米的直角三角形的面積. 【評價標準】 A等級：能準確寫出答案且知道理由 B等級：能準確寫出答但不能說明理由 C等級：同學幫助下完成. 評價結果： 【評價標準】 A等級：能準確寫出答案且過程完整 B等級：能準確寫出答但過程不完整 C等級：同學幫助下完成. 評價結果：
《 探索勾股定理（第二課時）》學歷案
【課題與課時】
課題：北師大版 初中數學 八年級上冊 ，第一章1.1探索勾股定理第2課時
【課標要求】
理解勾股定理，探索并驗證勾股定理，能運用勾股定理解決一些簡單的實際問題.
【學習目標】
1．通過小組合作會用拼圖法驗證勾股定理,經歷拼圖、觀察、驗證的過程,進一步體會數形結合的思想.（難點）
2．通過具體實例理解勾股定理是直角三角形的特有性質，并會用勾股定理解決相應的問題，提高應用意識．（重點）
【評價任務】
1．合作完成任務一：（檢測目標1）
2．獨立完成任務二：（檢測目標2）
3. 獨立完成當堂達標（檢測目標1，2）
【資源與建議】
1．本節課是北師大版《數學（八年級上冊）》第一章第一節第2課時，是在上節課已探索得到勾股定理之后，經歷勾股定理的驗證過程.具體學習任務：通過拼圖驗證勾股定理并體會其中“算兩次”及數形結合的思想；通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，增強愛國情感，并通過應用勾股定理解決實際問題，體會勾股定理的應用價值并逐步培養應用數學解決實際問題意識和能力，為后面的學習打下基礎.
2.本主題的學習按以下流程進行：創設情境→探索驗證勾股定理→勾股定理的應用.
3.本主題的重點是勾股定理的驗證和應用，難點是勾股定理的驗證．你可以通過任務一（拼圖活動）直觀感悟、類比得出驗證勾股定理的方法，體會“算兩次”、“割補”以及數形結合的思想.你可以通過任務二的具體實例及相關變式訓練掌握重點，并借助小組合作交流來突破本節課的難點.
【學習提示】
閱讀評價任務，明確本節內容有幾個任務需要完成，每個任務要怎樣完成，完成以后的檢測評價內容是什么，同時明確針對目標的評價標準，有效引導自己學習.
學習過程 【學習反思與補充】
任務一：驗證勾股定理（指向目標1） 問題思考：觀察下圖,分別以直角三角形的三條邊的長度為邊長向外作正方形,你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎 你是如何做的 與同伴進行交流.
活動一：做一做 觀察圖1和圖2，想一想:小明是怎樣對大正方形進行割補的？ 圖1是在大正方形的四周補上四個邊長為a,b,c的直角三角形; 圖2是把大正方形分割成四個邊長為a,b,c的直角三角形和一個小正方形. 問題1：請你將圖1中所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關系式表示出來. 問題2：圖1中正方形ABCD的面積是多少 你們有哪些方法求 與同伴進行交流.(分組討論) 問題3：請根據下面的提示利用圖1 - 5驗證勾股定理. 如圖，大正方形ABCD的面積可以表示為： 或者 ， 可得等式 . 化簡可得 . 問題4：你能用圖2也證明一下勾股定理嗎 （獨立完成） 問題5：你還有沒有其他的驗證方法 活動二：拼一拼 請你利用自己準備的四個全等的直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.（請每位同學用2分鐘時間獨立拼圖，然后再4人小組討論，并畫出你所拼成的圖形.要求拼圖時直角三角形紙片不能互相重疊.） 結論：鈍角三角形的三邊a,b,c應滿足的關系： . 銳角三角形的三邊a,b,c應滿足的關系： . 任務二：勾股定理的應用（指向目標2） 例 我方偵察員小王在距離東西向公路400 m處偵察,發現一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀,測得汽車與他相距400 m,10 s后,汽車與他相距500 m,你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎 問題思考： 問題1：圖中三角形的三邊長是否滿足AB2=AC2+BC2？說說你的理由. 問題2：要想求敵方汽車的速度，應先求什么 你能利用勾股定理完成 這道題嗎？ 【評價標準】 A等級：能獨立驗證，得出結論. B等級：在同學幫助下得出結論. C等級：未能得出正確結論. 評價結果： 【評價標準】 A等級：能正確規范寫出驗證過程，得出結論 .B等級：在同學幫助下得出結論. C等級：未能得出正確結論 評價結果： . 【評價標準】 A 等級：能正確畫出圖形，寫出完整的解答過程. B 等級：能畫出圖形，不能正確寫出解答過程. C 等級：不能正確畫出圖形和解答. 評價結果：
學習總結 【學習反思與補充】
本節課我學會了哪些知識？ 本節課我學會了那些探究問題的方法？ 學習內容上哪些地方還有疑惑或者哪些知識我還想了解？
學習檢測 【學習反思與補充】
（檢測目標1） 1、曾任美國總統的伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他提出的一個勾股定理證明.根據前面的學習嘗試寫出你的驗證過程. 2、（檢測目標2） 飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4000 m處，過了20s，飛機距離這個男孩子頭頂5000m，飛機的飛行速度是多少？ 【評價標準】 A等級：能正確規范寫出驗證過程，得出結論 B等級：在同學幫助下得出結論. C等級：未能得出正確結論 評價結果：
對標 等級（A 等級；B 等 級；C 等級） 對應知識短板 目標一 目標二 學習檢測
《一定是直角三角形嗎》學歷案
【課題與課時】
課題：北京師范大學出版社 初中數學 八年級上冊，第一章 1.2一定是直角三角形嗎
【課標要求】
掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單的應用。
【學習目標】
1.通過畫三角形、測量直角的活動，猜想歸納出勾股定理逆定理，發展歸納能力.
2.通過自主學習，能利用勾股定理逆定理解決簡單的數學問題,發展自主學習及解決問題能力.
【評價任務】
1.獨立完成任務一：3，4 (檢測目標1)
2.獨立完成任務二：2 (檢測目標2)
【學習提示】 閱讀評價任務，明確本節內容有幾個任務需要完成，每個任務要怎樣完成，完成以后的檢測評價內容是什么，同時明確針對目標的評價標準，有效引導自己學習.
【資源與建議】
1.勾股定理逆定理是對直角三角形的進一步研究。在之前的學習中，我們知道判定一個三角形是直角三角形可以通過直角來判定，勾股定理逆定理給了我們另一種判定方法，即計算邊之間的數量關系.
2.本主題的學習按以下流程進行：勾股定理逆定理→逆定理的應用.
3.本主題的重點是理解勾股定理逆定理的具體內容；難點是應用勾股定理逆定理判定直角三角形.你可以通過任務1動手操作的逆向思考，得出一個關于直角三角形判別條件的猜想，進而歸納出勾股定理逆定理并通過說理進一步驗證勾股定理逆定理來突破本節課的重點，并通過任務2的練習，體會勾股定理逆定理的應用來突破本節課的難點.
【學習提示】 在開始本節課學習之前，先認真閱讀以上資源與建議，明確這節課內容的出處、知識的前后聯系、學習的路徑、學習的重難點及突破的途徑，為順利完成以下學習內容作好準備.
【學習過程】
學前準備：
1.直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關系？
2.如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是否就一定是直角三角形呢
學習過程 【學習反思與補充】
任務一：歸納勾股定理逆定理（指向目標1） 1.動手操作，測量猜想 下面有三組數，分別是一個三角形的三邊長， 3,4,5, 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17；并回答這樣兩個問題： （1）這四組數都滿足嗎？ （2）分別以每組數為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？你是怎么想的？與同伴交流 學生分為４人活動小組，每個小組可以任選其中的一組數. 2.歸納勾股定理逆定理 如果一個三角形的三邊長，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形。滿足的三個正整數，稱為勾股數. 3.下列哪幾組數據能作為直角三角形的三邊長？請說明理由. （3，4題檢測目標1） ①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22 4. 將直角三角形的三邊擴大相同的倍數后，得到的三角形是（ ） A　直角三角形 B　銳角三角形 C　鈍角三角形 D　不能確定 (評價最高標準：第3-4題答案正確每題+4，最高8分) 【學習提示】通過實驗—猜想—歸納—論證，探索勾股定理的逆定理，鍛煉自己的抽象能力及概括能力.通過評價任務熟悉勾股定理逆定理及常見的勾股數，達到6分以上說明目標1達成. 任務二：逆定理應用（指向目標2） 自主學習課本9頁例題，寫出規范完整的步驟。 一塊木板如圖所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求木板的面積。（檢測目標2） (最高評價標準：步驟規范+6，正確說出解題關鍵點、考點+4，最高10分) 【學習提示】 這個例題的變式題是勾股定理逆定理的應用，先獨立思考，找到解題的關鍵點：求不規則圖形的面積只要用割補法轉化成規則圖形求解即可。步驟的關鍵點：用勾股定理逆定理判定直角三角形。最后體會逆定理在實際問題中的應用.這是對知識的綜合應用，也是提升自己靈活應用知識的能力，體會數學來源于生活，又解釋應用于生活的數學理念.
學習總結 【學習反思與補充】
本節課我學會了哪些知識？ 本節課我學會了那些探究問題的方法？ 學習內容上哪些地方還有疑惑或者哪些知識我還想了解？
學習檢測 【學習反思與補充】
一個三角形的三邊長分別是，則這個三角形的面積是（ ） （檢測目標1）A　250 B　150 　　C　200 D　不能確定 2．如圖4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 圖中有幾個直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流. （檢測目標1） (評價最高標準：第1-2題答案正確每題+4，最高8分) 3．據說古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖所示，他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第一個結和第三個結，兩個助手分別握住第四個結和第八個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第四個結處。你能說說其中的道理嗎？（檢測目標2） (最高評價標準：步驟規范+6，正確說出解題關鍵點、考點+4，最高10分)
《勾股定理的應用》
【課題與課時】
課題：北京師范大學出版社 初中數學 八年級上冊，第一章 1.3勾股定理的應用
共2課時 第1課時 第2課時
設計教師：
【課標要求】
能運用勾股定理及其逆定理解決一些簡單的實際問題.
【學習目標】
1.通過實例,經歷實際問題抽象成數學問題的過程,掌握運用勾股定理解決簡單的實際問題.
2.通過實例,經歷實際問題抽象成數學問題的過程,掌握運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.
3.通過實例,經歷實際問題抽象成數學問題的過程,靈活運用勾股定理求解立體圖形上兩點之間的最短距離問題, 提高學生分析問題、解決問題的能力．
【評價任務】
1.獨立完成任務一：2,3 (檢測目標1)
2.獨立完成任務二：2,3 (檢測目標2)
3.合作完成任務三：2,3 (檢測目標3)
【學習提示】 閱讀評價任務，明確本節內容有幾個任務需要完成，每個任務要怎樣完成，完成以后的檢測評價內容是什么，同時明確針對目標的評價標準，有效引導自己學習.
【資源與建議】
本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動．學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎．
2.本主題的學習按以下流程進行：勾股定理的應用→勾股定理的逆定理的應用 →最短路徑問題.
3.本主題的重點是能運用勾股定理及其逆定理來解決簡單的實際問題,難點是把立體圖形轉化成平面圖形,在實際問題中構造直角三角形并利用勾股定理來解決問題.你可以通過任務3的學習，歸納總結解決此類問題的方法,來突破本節課的難點.
【學習提示】 在開始本節課學習之前，先認真閱讀以上資源與建議，明確這節課內容的出處、知識的前后聯系、學習的路徑、學習的重難點及突破的途徑，為順利完成以下學習內容作好準備.
課前預習 【學習反思與補充】
1.勾股定理：在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝5,AC＝12,BC＝ . 2.勾股定理的逆定理：在△ABC中,AB＝5,AC＝12,BC＝13,則△ABC是 三角形. 3.從A點到B點怎樣走最近呢？你能說出這樣走的 理由嗎？ 4.學具準備：制作圓柱體．
學習過程 【學習反思與補充】
任務一：利用勾股定理解決實際問題（指向目標1） 1.思考:如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.(獨立思考并完成) 2-3題檢測目標1 2.如圖,陰影長方形的面積是多少？ 3.一架長5m梯子，斜靠在一豎直墻上，這時梯足距墻腳3m,若梯子頂端下滑1m,則梯足將滑動多少？ 任務二：利用勾股定理的逆定理解決實際問題（指向目標2） 1.李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。 (1)你能替他想辦法完成任務嗎？ (2)李叔叔量得AD長是30cm，AB長是40cm，BD長是50cm。AD邊垂直于AB邊嗎？ (3)小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？(先獨立思考,再組內交流) 2-3題檢測目標2 如圖，一座城墻高11.7m，墻外有一個寬為9m的護城河，那么一個長為15m的云梯能否到達墻的頂端？ 五根小木棒的長度分別為7,15,20,24,25,現將它們擺成兩個直角三角形,如圖所示的三個圖中哪一個是正確的？ . 任務三：最短路徑問題（指向目標3） 如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長為18cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到地面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？ (1)將圓柱側面剪開展成一個長方形，點A到點B的最短路線是什么？請畫出它的平面展開圖？ (2)螞蟻從點A出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？ 2-3檢測目標3 一個無蓋的長方形盒子的長、寬、高分別是8cm，8cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂的B點，你能幫螞蟻設計一條最短的路線嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多少？ (評價最高標準：第2-3題答案正確每題+5，最高10分) (評價最高標準：第2-3題答案正確每題+5，最高10分) (最高評價標準：第2題是第1題的變式,答案正確+10，第3題答案正確+5, 最高15分)
學習總結 【學習反思與補充】
本節課我學會了哪些知識？ 本節課我學會了那些探究問題的方法？ 學習內容上哪些地方還有疑惑或者哪些知識我還想了解？
學習檢測 【學習反思與補充】
甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險。某日早晨8︰00甲先出發，他以6km/h的速度向正東行走。1h后乙出發，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多遠？（檢測目標1） 有一塊四邊形地ABCD,如圖,∠B=90°,AB=4 m,BC=3 m,CD=12 m,DA=13 m,求該四邊形地ABCD的面積.（檢測目標2） 一個長方體的長為5cm，寬為3cm，高是6cm,在點B的下方2cm處有一點C，那么螞蟻從點A沿表面爬行到C的最短距離是多少？（檢測目標3） 補充題型：

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