資源簡介

壓軸題02 三角函數壓軸題
題型/考向一：三角函數的圖像與性質
題型/考向二：三角恒等變換
題型/考向三：三角函數綜合應用
一、三角函數的圖像與性質
熱點一 三角函數圖象的變換
1.沿x軸平移：由y＝f(x)變為y＝f(x＋φ)時，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y軸平移：由y＝f(x)變為y＝f(x)＋k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x軸伸縮：若ω>0，A>0，由y＝f(x)變為y＝f(ωx)時，點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍.
沿y軸伸縮：由y＝f(x)變為y＝Af(x)時，點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍.
熱點二 三角函數的圖象與解析式
已知圖象求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式時，常用的方法是待定系數法.由圖中的最高點、最低點或特殊點求A，B；由函數的周期確定ω；確定φ常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置.
熱點三 三角函數的性質
1.單調性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調遞增區間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調遞減區間.
2.對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得對稱軸.
3.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數；φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數.
二、三角恒等變換
熱點一 化簡與求值(角)
1.同角三角函數的基本關系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.誘導公式的記憶口訣：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”.
3.熟記三角函數公式的兩類變形：(1)和差角公式的變形；(2)倍角公式的變形.
熱點二 三角函數恒等式的證明
三角恒等式常從復雜一邊向簡單的一邊轉化，或者兩邊同時推出一個相同式子，有時要證等式先進行等價交換，進而證明其等價命題.
一 三角函數的圖像與性質
一、單選題
1．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，關于函數的下列說法中錯誤的是（ ）
A．周期是 B．非奇非偶函數
C．圖象關于點中心對稱 D．在內單調遞增
2．數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音.如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
3．將函數圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，并沿軸向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數的圖象．若對于任意的，總存在，使得，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．函數在區間上的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數的部分圖象如圖所示，則滿足的正整數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．已知函數在上單調，且曲線關于點對稱，則（ ）
A．以為周期
B．的圖象關于直線對稱
C．將的圖象向右平移個單位長度后對應的函數為偶函數
D．函數在上有兩個零點
7．已知函數的部分圖像如圖，則（ ）
A．
B．
C．將曲線向右平移個單位長度得到曲線
D．點為曲線的一個對稱中心
8．已知函數的定義域為，對任意的，都有，且，當時，，則（ ）
A．是偶函數
B．
C．當，是銳角的內角時，
D．當，且，時，
9．已知某游樂場循環觀光車路線近似為一個半徑為的圓，觀光車從起始站點P出發，沿圖中順時針方向行駛，記觀光者從某次出發開始，行駛的時間為t小時.A，B是沿途兩個站點，C是終點站，D是該游樂場的觀景點之一.已知該觀光車繞行一圈的時間是固定的，且.若要求起始站點P無論位于站臺B，C之間的任何位置（異于B，C），觀光車在的時間內，都要至少經過兩次終點站C，則下列說法正確的是（ ）
A．該觀光車繞行一周的時間小于
B．該觀光車在內不一定會經過終點站C
C．該觀光車的行駛速度一定大于
D．該觀光車在內一定會經過一次觀景點D
10．如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動（忽略小球的大小），它在時刻相對于平衡位置的高度可以田確定，則下列說法正確的是（ ）
A．小球運動的最高點與最低點的距離為
B．小球經過往復運動一次
C．時小球是自下往上運動
D．當時，小球到達最低點
二 三角恒等變換
一、單選題
1．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus，大約公元前417年—公元前369年）通過下圖來構造無理數，，，…，記，，則（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．人臉識別技術應用在各行各業，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設二維空間中有兩個點，O為坐標原點，余弦相似度similarity為向量夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，則（ ）
A．7 B． C．4 D．
5．已知函數，函數在上的零點的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知函數的圖像如圖所示，則ω的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．函數的對稱軸方程為
D．函數的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
8．黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經常被應用于許多經典建筑中，例如圖中所示的建筑對應的黃金三角形，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比（黃金分割比）.在頂角為的黃金中，D為BC邊上的中點，則（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量為
D．是方程的一個實根
9．已知，且，，是在內的三個不同零點，則（ ）
A． B．
C． D．
10．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點P在上（含端點），連結OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
三 三角函數綜合應用
一、解答題
1．已知函數.
(1)求函數的最小正周期及單調遞增區間；
(2)求函數在區間的值域；
2．已知，設函數．
(1)當時，分別求函數取得最大值和最小值時的值；
(2)設的內角的對應邊分別是且，，求的值．
3．已知函數.
(1)若，求函數的最小正周期；
(2)若圖象在內有且僅有一條對稱軸，求的取值范圍.
4．已知函數（，）的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式，并求的單調遞增區間；
(2)若對任意，都有，求實數的取值范圍.
5．若實數，，且滿足，則稱x y是“余弦相關”的.
(1)若，求出所有與之“余弦相關”的實數；
(2)若實數x y是“余弦相關”的，求x的取值范圍；
(3)若不相等的兩個實數x y是“余弦相關”的，求證：存在實數z，使得x z為“余弦相關”的，y z也為“余弦相關”的.
1壓軸題02 三角函數壓軸題答案
題型/考向一：三角函數的圖像與性質
題型/考向二：三角恒等變換
題型/考向三：三角函數綜合應用
一、三角函數的圖像與性質
熱點一 三角函數圖象的變換
1.沿x軸平移：由y＝f(x)變為y＝f(x＋φ)時，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y軸平移：由y＝f(x)變為y＝f(x)＋k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x軸伸縮：若ω>0，A>0，由y＝f(x)變為y＝f(ωx)時，點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍.
沿y軸伸縮：由y＝f(x)變為y＝Af(x)時，點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍.
熱點二 三角函數的圖象與解析式
已知圖象求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式時，常用的方法是待定系數法.由圖中的最高點、最低點或特殊點求A，B；由函數的周期確定ω；確定φ常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置.
熱點三 三角函數的性質
1.單調性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調遞增區間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調遞減區間.
2.對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得對稱軸.
3.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數；φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數.
二、三角恒等變換
熱點一 化簡與求值(角)
1.同角三角函數的基本關系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.誘導公式的記憶口訣：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”.
3.熟記三角函數公式的兩類變形：(1)和差角公式的變形；(2)倍角公式的變形.
熱點二 三角函數恒等式的證明
三角恒等式常從復雜一邊向簡單的一邊轉化，或者兩邊同時推出一個相同式子，有時要證等式先進行等價交換，進而證明其等價命題.
一 三角函數的圖像與性質
一、單選題
1．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，關于函數的下列說法中錯誤的是（ ）
A．周期是 B．非奇非偶函數
C．圖象關于點中心對稱 D．在內單調遞增
【答案】D
【詳解】，
則，
則，故A正確；
因為，則，
故函數是非奇非偶函數，故B正確；
對于C，因為，
所以函數的圖象關于點中心對稱，故C正確；
對于D，因為，所以，
則函數在上不單調，故D錯誤.
故選：D.
2．數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音.如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】對于A，函數，
因為，所以函數為奇函數，
又，故A符合圖象；
對于B，函數，
因為，所以函數為奇函數，
又，故B不符題意；
對于C，函數，
因為，故C不符題意；
對于D，當時，，故D不符題意.
故選：A.
3．將函數圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，并沿軸向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數的圖象．若對于任意的，總存在，使得，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】函數圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到的圖象，
再沿軸向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到的圖象，
因為對于任意的，總存在，使得，
所以，
又當時，，，
所以，即，
所以，
因為，所以，
當時，，，故A不合題意．
當時，，取不到最大值1，故B不合題意．
當時，，，故C符合題意．
當時，，，故D不合題意．
故選：C.
4．函數在區間上的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】令，，即函數為偶函數，
圖象關于軸對稱，故AC錯誤；
令，即，解得，即該函數在區間上由5個零點，故B正確，D錯誤；
故選：B
5．已知函數的部分圖象如圖所示，則滿足的正整數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由圖象可得：的最小正周期，，
，，解得：，
又，，，
，，
則，或；
令，即，
，解得：，
此時最小正整數；
令，即，
，解得：，
此時最小正整數；
綜上所述：正整數的最小值為.
故選：B.
二、多選題
6．已知函數在上單調，且曲線關于點對稱，則（ ）
A．以為周期
B．的圖象關于直線對稱
C．將的圖象向右平移個單位長度后對應的函數為偶函數
D．函數在上有兩個零點
【答案】BD
【詳解】對于A，因為函數在上單調，所以的最小正周期T滿足，即，所以，因為的圖象關于點對稱，所以，得，所以當時，，所以，故A錯誤；
對于B，當時，，故B正確；
對于C，將的圖象向右平移個單位長度后得的圖象，為奇函數，不是偶函數，故C錯誤；
對于D，令，當時，，直線與的圖象在上有兩個交點，故D正確．
故選：BD.
7．已知函數的部分圖像如圖，則（ ）
A．
B．
C．將曲線向右平移個單位長度得到曲線
D．點為曲線的一個對稱中心
【答案】AD
【詳解】由題圖可知，解得
將點的坐標代入，得，所以．
由圖像可知，點在圖像的下降部分上，且，所以．
將點的坐標代入，得，解得，
則，A正確．
由A，得．
所以，B錯誤．
將曲線向右平移個單位長度得到曲線，C錯誤．
令，，解得，．
取，則，
所以點為曲線的一個對稱中心，D正確．
故選：AD．
8．已知函數的定義域為，對任意的，都有，且，當時，，則（ ）
A．是偶函數
B．
C．當，是銳角的內角時，
D．當，且，時，
【答案】BCD
【詳解】令，得，故B正確；
令，則，所以為奇函數，故A錯誤；
任取，且，則.
因為，
所以，所以.
因為，，所以，，
即在上單調遞增.
因為A，B是銳角的內角，所以，所以，
所以.
因為，所以，故C正確；
因為，且，所以.
令，則，
令，則，所以.
因為，所以是首項為1，公比為2的等比數列，
所以，故D正確.
故選：BCD
9．已知某游樂場循環觀光車路線近似為一個半徑為的圓，觀光車從起始站點P出發，沿圖中順時針方向行駛，記觀光者從某次出發開始，行駛的時間為t小時.A，B是沿途兩個站點，C是終點站，D是該游樂場的觀景點之一.已知該觀光車繞行一圈的時間是固定的，且.若要求起始站點P無論位于站臺B，C之間的任何位置（異于B，C），觀光車在的時間內，都要至少經過兩次終點站C，則下列說法正確的是（ ）
A．該觀光車繞行一周的時間小于
B．該觀光車在內不一定會經過終點站C
C．該觀光車的行駛速度一定大于
D．該觀光車在內一定會經過一次觀景點D
【答案】ACD
【詳解】對A，設該觀光車的速度為，
構造函數，
則經過C時即為該函數的極大值點，經過D時即為該函數的極小值點，
由題意可知，，即A正確；
對B，因為，所以，
則當時，，，
所以函數在上一定有極大值點，即B錯誤；
對C，由題意可知，，，整理得，
當時，，
當時，，所以的范圍為，即C正確；
對D，當時，，
又，
所以函數在上一定有極小值點，即D正確.
故選：ACD.
10．如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動（忽略小球的大?。?，它在時刻相對于平衡位置的高度可以田確定，則下列說法正確的是（ ）
A．小球運動的最高點與最低點的距離為
B．小球經過往復運動一次
C．時小球是自下往上運動
D．當時，小球到達最低點
【答案】BD
【詳解】小球運動的最高點與最低點的距離為，所以選項A錯誤；
因為，所以小球經過往復運動一次，因此選項B正確；
當時，，所以是自下往上到最高點，再往下運動，因此選項C錯誤；
當時，，所以選項D正確，
故選：BD
二 三角恒等變換
一、單選題
1．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】,
①,
又②，
由①②得.
故選：D.
2．古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus，大約公元前417年—公元前369年）通過下圖來構造無理數，，，…，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由圖可知，，，，
所以
故選：B
3．若，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為所以，
所以，
因為所以，
因為，所以，
所以.
故選：D
4．人臉識別技術應用在各行各業，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設二維空間中有兩個點，O為坐標原點，余弦相似度similarity為向量夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，則（ ）
A．7 B． C．4 D．
【答案】A
【詳解】由，，，
，
，
所以，故，
則，
整理得.
故選：A
5．已知函數，函數在上的零點的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】因為，
所以
，
所以，
令，令，則，解得，
因為，所以或或，
所以函數在上的零點的個數為個.
故選：B
6．已知函數的圖像如圖所示，則ω的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數，
由圖象可知函數過點，則，
所以，解得，
當時，，
故選：B.
二、多選題
7．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．函數的對稱軸方程為
D．函數的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
【答案】ABD
【詳解】依題意，，A正確；
函數的最小正周期為，B正確；
由，，得，，則函數的對稱軸方程為，，C錯誤；
函數的圖象向右平移，得，
因此函數的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，D正確．
故選：ABD
8．黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經常被應用于許多經典建筑中，例如圖中所示的建筑對應的黃金三角形，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比（黃金分割比）.在頂角為的黃金中，D為BC邊上的中點，則（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量為
D．是方程的一個實根
【答案】ABD
【詳解】設，則，解得，則，
則，A正確.
，，B正確.
依題意可設，則，
則由余弦定理得，
過B作，垂足為E，
則在上的投影向量為，C錯誤.
由圖可知，
則
，
設，則，整理得，D正確.
故選：ABD
9．已知，且，，是在內的三個不同零點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】解：由題知，，是的三個根，
可化為，即，
所以可得或，，
解得或，，
因為，所以不成立，
當，成立時，取，解得，
取，解得，取，解得，
取，解得（舍），
故，，，
所以選項A正確；
因為，所以選項B錯誤；
，
故選項C正確；
而
，
根據積化和差公式：，
所以原式可化為：
，故選項D正確.
故選：ACD
10．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點P在上（含端點），連結OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
【答案】ABD
【詳解】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標系，
則，
設，則，
由可得 ，且，
若，則，
解得，（負值舍去），故，A正確；
若，則，，所以，
所以，故B正確；
，由于，故，
故，故C錯誤；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正確，
故選：ABD
三 三角函數綜合應用
1．已知函數.
(1)求函數的最小正周期及單調遞增區間；
(2)求函數在區間的值域；
【詳解】（1），
∴函數的最小正周期為.
令，，則，，
所以單調遞增區間為，.
（2）∵，則，∴，
∴，故函數在區間的值域為.
2．已知，設函數．
(1)當時，分別求函數取得最大值和最小值時的值；
(2)設的內角的對應邊分別是且，，求的值．
【詳解】（1）由題知：，
，則，故，
∴當，即，得時取得最大值0，
當，即，得時取得最小值．
（2）由，即，又，則．
法一：由余弦定理A得：，解得：或．
法二：由正弦定理有，則或，
當時，，由勾股定理有；
當時，，則；
綜上所解：或．
3．已知函數.
(1)若，求函數的最小正周期；
(2)若圖象在內有且僅有一條對稱軸，求的取值范圍.
【詳解】（1）解：，
，
，
，
由，得，
則；
（2）由，得，
因為圖象在內有且僅有一條對稱軸，
所以，解得，
因為，且，
所以，
所以的取值范圍是.
4．已知函數（，）的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式，并求的單調遞增區間；
(2)若對任意，都有，求實數的取值范圍.
【詳解】（1）由圖象可得的最小正周期，∴，又可知，
由，解得，，
又因為，得，∴.
由，，解得，，
所以函數的單調遞增區間為.
（2）
.
由得，.
∵，∴，
作出的部分圖像如下：
結合圖像可知：，解得.
所以實數的取值范圍為.
5．若實數，，且滿足，則稱x y是“余弦相關”的.
(1)若，求出所有與之“余弦相關”的實數；
(2)若實數x y是“余弦相關”的，求x的取值范圍；
(3)若不相等的兩個實數x y是“余弦相關”的，求證：存在實數z，使得x z為“余弦相關”的，y z也為“余弦相關”的.
【答案】
（1）
代入得，，，
，又，或
（2）
由得
，
，
，
故，
，，
（3）
證明：先證明，
反證法，假設，
則由余弦函數的單調性可知，
，，
同理，相加得，與假設矛盾，故.
，且
故也是余弦相關的，
，即.
記則.
,
，故x z為“余弦相關”的；
同理y z也為“余弦相關”的
1

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