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5．3．1 函數的單調性
【題型歸納目錄】
題型一：利用導數求函數的單調區間
題型二：函數圖象與導函數圖象的關系
題型三：已知單調性求參數的取值范圍
題型四：判斷、證明函數的單調性
題型五：含參數單調性討論
情形一：函數為一次函數
情形二：函數為準一次函數
情形三：函數為二次函數型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函數為準二次函數型
【知識點梳理】
知識點一、函數的單調性與導數的關系
導數的符號與函數的單調性：
一般地，設函數在某個區間內有導數，則在這個區間上，
①若，則在這個區間上單調遞增；
②若，則在這個區間上單調遞減；
③若恒有，則在這一區間上為常函數．
反之，若在某區間上單調遞增，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）．
知識點詮釋：
1、因為導數的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區間上，即切線斜率為正時，函數在這個區間上單調遞增；當在某區間上，即切線斜率為負時，函數在這個區間上單調遞減；即導函數的正負決定了原函數的增減．
2、若在某區間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍單調遞增（減函數的情形完全類似）．
即在某區間上，在這個區間上單調遞增；
在這個區間上單調遞減，但反之不成立．
3、在某區間上單調遞增在該區間；
在某區間上單調遞減在該區間．
在區間內，．．（或）是在區間內單調遞增（或減）的充分不必要條件！
例如：，，，而在R上遞增．
4、只有在某區間內恒有，這個函數在這個區間上才為常數函數．
5、注意導函數圖象與原函數圖象間關系．
知識點二、利用導數研究函數的單調性
利用導數判斷函數單調性的基本方法
設函數在區間內可導，
（1）如果恒有，則函數在內單調遞增；
（2）如果恒有，則函數在內單調遞減；
（3）如果恒有，則函數在內為常數函數．
知識點詮釋：
（1）若函數在區間內單調遞增，則，若函數在內單調遞減，則．
（2）或恒成立，求參數值的范圍的方法——分離參數法：或．
知識點三、利用導數求函數單調區間的基本步驟
（1）確定函數的定義域；
（2）求導數；
（3）在函數的定義域內解不等式或；
（4）確定的單調區間．
或者：令，求出它在定義域內的一切實數根．把這些實數根和函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區間分成若干個小區間，判斷在各個小區間內的符號．
知識點詮釋：
1、求函數單調區間時，要注意單調區間一定是函數定義域的子集．
2、求單調區間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．
知識點四：討論單調區間問題
類型一：不含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．
（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；
類型二：含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖像定區間；
【典型例題】
題型一：利用導數求函數的單調區間
例1．（2024·福建漳州·高二漳州三中?？迹┖瘮档脑鰠^間為 ．
【答案】
【解析】有題知，函數的定義域為，
因為，所以，
令，解得，
故函數的增區間為
故答案為：
例2．（2024·北京·高二?？迹┮阎瘮?，則函數的單調增區間為 .
【答案】
【解析】函數的定義域為R，，令，解得，所以函數的單調遞增區間為.
故答案為：.
例3．（2024·河北邢臺·高二統考階段練習）函數的減區間為 ．
【答案】
【解析】由已知得，，
令，即，解得，
則的單調遞減區間為，
故答案為:.
變式1．（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┖瘮档膯握{減區間為 .
【答案】
【解析】的定義域為，
，
令，可得，可得，
又，則或，
所以的單調遞減區間是.
故答案為：
【方法技巧與總結】
（1）求函數的單調區間常用解不等式，函數在解集與定義域的交集上單調遞減．解不等式，函數在解集與定義域的交集上為單調遞增．
（2）注意寫單調區間時，不是連續的區間一般不能用并集符號“”．
題型二：函數圖象與導函數圖象的關系
例4．（多選題）（2024·高二課時練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（ ）
A．在區間上是減函數
B．在區間上是減函數
C．在區間上是增函數
D．在區間上是增函數
【答案】AC
【解析】對A：由導函數的圖象知在區間上，，故在區間上單調遞減，故A項正確；
對B、D：在區間，上分別有大于零和小于零的部分，故在區間，上不單調，故B、D項錯誤；
對C：在區間上，，所以函數在區間上單調遞增，故D項正確.
故選:AC.
例5．（多選題）（2024·廣西桂林·高二統考期末）設是定義域為R的奇函數，其導函數為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由題意可知當時，；當時，；
由于是定義域為R的奇函數，故當時，；當時，；
又在上單調遞增，在上單調遞減，
結合是定義域為R的奇函數，得在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，，當時，，
故當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，；當時，；
故可以使成立的x的取值范圍是，，，
故選：ABD
例6．（多選題）（2024·福建漳州·高二統考期末）已知函數的導函數圖象如圖，那么的圖象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】從導函數的圖象可知兩個函數在處切線斜率相同，可以排除C，
再由導函數的函數值反映的是原函數的切線斜率大小，可明顯看出的導函數的值在減小，
∴原函數切線斜率應該慢慢變小，排除A，
選項BD中的圖象，都符合題意.
故選:BD．
變式2．（多選題）（2024·河北邯鄲·高二校聯考）已知函數的導函數的圖象大致如圖所示，下列結論正確的是（ ）

A．在上單調遞增 B．在上單調遞增
C．曲線在處的切線的斜率為0 D．曲線在處的切線的斜率為4
【答案】BD
【解析】由導函數的圖象可知當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，A錯誤；
由圖象可知當時，，在上單調遞增，B正確；
由于，根據導數的幾何意義可知在處的切線的斜率為4，C錯誤，D正確，
故選：BD
【方法技巧與總結】
（1）函數的單調性與其導函數的正負之間的關系：在某個區間內，若，則在上單調遞增；如果，則在這個區間上單調遞減；若恒有，則是常數函數，不具有單調性．
（2）函數圖象變化得越快，的絕對值越大，不是的值越大．
題型三：已知單調性求參數的取值范圍
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中學校考階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
因為在區間上單調遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調遞減，所以，故.
故選：A.
例8．（2024·廣西南寧·高二賓陽中學校聯考期末）已知函數在區間上單調遞增，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題可知，在上恒成立，
顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：D．
例9．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考期末）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【解析】函數的定義域為，
且，
令，得，
因為在區間上不單調，
所以，解得：
故選：B.
變式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考）若函數的單調遞減區間為，則實數k的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，由已知遞減區間，則得：，
故，1是的兩根，，，
故選：A
變式4．（2024·浙江·高二平湖市當湖高級中學校聯考）已知函數在上有三個單調區間，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由題意可知函數在上有三個單調區間，等價在有兩個不同的根.，令，則，
即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，
令，則，故當 單調遞增，
當 單調遞減，且
即，
故選：BD
變式5．（2024·江蘇常州·高二統考期末）已知函數，若在R上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，.
因為在R上單調遞增，所以恒成立.
因為，
所以恒成立，
所以，，解得.
故選：D.
變式6．（2024·遼寧阜新·高二校考期末）若函數在區間上單調，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不存在這樣的實數
【答案】A
【解析】因為，該函數的定義域為，，
由可得，由可得或，
所以，函數的增區間為、，減區間為，
因為函數在區間上單調，
則或或，
若，則，解得；
若，則，解得；
若，則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：A.
變式7．（2024·重慶江北·高二重慶十八中?？迹┤艉瘮翟趨^間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，
由題意可知：存在，使得，整理得，
且在上單調遞減，則，可得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A.
【方法技巧與總結】
（1）利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路
①將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題，即（或）恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝”時是否滿足題意．
②先令（或），求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“＝”時是否滿足題意．
（2）理清運算對象，選擇運算方法，求得運算結果，充分體現數學運算的數學核心素養．
題型四：判斷、證明函數的單調性
例10．（多選題）（2024·江蘇揚州·高二揚州中學校考階段練習）下列函數在定義域上為增函數的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由在上是增函數，故A正確；
對于函數，當時，，當時，，所以在定義域上不是增函數，故B錯誤；
函數的定義域為，所以在定義域上是增函數，故C正確；
，
定義域為，
在定義域內不是增函數，故D錯誤；
故選：AC.
例11．（多選題）（2024·山東青島·高二統考階段練習）若函數在的定義域上單調遞增，則稱函數具有M性質．下列函數中具有M性質的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對于A選項，，在上單調遞減，故不具有性質；
對于B選項，，，在上單調遞增，故具有性質；
對于選項，，則，
在上單調遞增，故具有性質．
對于選項，的定義域為，則，，
令，解得，所以在上單調遞減，
故函數不具有性質；
故選：BC.
例12．（2024·高二課時練習）證明：函數在上嚴格增．
【解析】要證明在上嚴格增，即證明在上恒為正，
因為，所以，
因為在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒為正數，
則在上嚴格增.
變式8．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論在上的單調性；
【解析】由函數，可得
令，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以的單調遞增區間是，遞減區間是.
變式9．（2024·吉林長春·高二長春市實驗中學?？茧A段練習）已知函數.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)求函數的單調區間.
【解析】（1），所以切點為，
，，
所以切線方程為.
（2）設，
則，
所以在區間單調遞減；
在區間單調遞增.
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
【方法技巧與總結】
判斷、證明函數的單調性的步驟：
1、求導；2、變形（分解或配方）；3、判斷導數式的符號，下結論．
題型五：含參數單調性討論
情形一：函數為一次函數
例13．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，其中，．求函數的單調區間；
【解析】；
①當時，恒成立，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
②當時，令，解得：，
當時，；當時，；
的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
綜上所述：當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
例14．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，求函數的單調區間．
【解析】由題意知：定義域為，；
①當時，恒成立，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
②當時，令，解得：，
當時，；當時，；
的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
綜上所述：當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
例15．（2024·四川眉山·高二?？迹┮阎瘮担?br/>(1)若在上單調遞增，求的取值范圍．
(2)求的單調區間.
【解析】（1）的定義域為，，
當時，，在單調遞增，滿足題意；
當時，令，解得（舍去）或，要使在上單調遞增，則，所以.
綜上，的取值范圍為.
（2）由（1）可知，當時，在單調遞增，
當時，在單調遞增，
令，解得，在單調遞減.
綜上，當時，的單調遞增區間為；
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
變式10．（2024·全國·高二專題練習）已知，討論的單調性；
【解析】由函數，可得
①當時，恒成立，所以在上單調遞增；
②當時，令，解得，
可得當時，；當時，，
所以在時單調遞減，在時單調遞增
綜上所述：當時，在上單調遞增
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
情形二：函數為準一次函數
例16．（2024·高二課時練習）已知函數，討論函數的單調性.
【解析】由題意，令，得，
當時，
若，則，所以，
若，則，，所以；
當時，
若，則，所以，
若，則，，所以；
綜上，在單調遞減，在單調遞增.
例17．（2024·高二課時練習）已知函數，，其中是的導函數.討論函數的單調性.
【解析】由題設，
故，則，
當時，對，恒成立，故在上單調遞增；
當時，令，解得；令，解得，
故在上單調遞減，在上單調遞增.
例18．（2024·高二課時練習）已知函數 設是的導函數，討論函數的單調性；
【解析】由，得，
設，
，
①當時，在上恒成立，
在上遞增，
②當時，令得，
得，
在上遞減，在上遞增，
綜上所述：當時，是上的增函數，
當時，在是減函數，在上是增函數.
變式11．（2024·全國·高二專題練習）討論函數 的單調性；
【解析】由已知得，
則①當時， ， 所以在單調遞增；
②當時，， 所以在單調遞減；
③當時， 則，
當時，，當時，，
所以 在 上單調遞減， 在上單調遞增.
綜上：當時，在單調遞增；
當時，在單調遞減；
當時， 在 上單調遞減， 在上單調遞增.
情形三：函數為二次函數型
1、可因式分解
例19．（2024·高二課時練習）已知函數 ).討論的單調性；
【解析】由，
①當，即時，
因為恒成立，故在上為減函數；
②當，即時，
由得，或；由得，，
所以在和上為減函數，在上為增函數；
③當，即時，
由得，或；由得，，
所以在和上為減函數，在上為增函數.
綜上：當時，在上為減函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數.
例20．（2024·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？茧A段練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
【解析】（1）當時，，
，所以，曲線在處的切線方程為.
（2），
①當時，，所以函數在上單調遞增；
②當時，令，則(舍)或，
，當時，函數單調遞減；
，當時，函數單調遞增.
③當時，令，則或(舍)，
，當時，函數單調遞減；
，當時，函數單調遞增.
綜上所述：當時，函數在(0,+∞)上單調遞增；
當時，當時，函數單調遞減
當時，函數單調遞增；
當時，當時，函數單調遞減；
當時，函數單調遞增
例21．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
【解析】易知函數的定義域為，
，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，令，得；令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，，令，得；令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述：當時，所以在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
變式12．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性；
【解析】的定義域是，，
（i）當時，，在遞減，無增區間；
（ii）當時，令，解得，令，解得，
故在上遞減，在上遞增；
（iii）當時，令，解得，
令，解得，
故在遞減，在遞增；
綜上，當時，的減區間為，無增區間；
當時，的減區間為，增區間為；
當時，的減區間為，增區間為.
2、不可因式分解型
變式13．（2024·高二課時練習）（1）已知函數，，當時，若在上為減函數，在上為增函數，求實數k的值；
（2）已知函數，討論函數的單調區間.
【解析】（1）當時，，
∴，，
∵在上為減函數，
則，∴，
∵在上為增函數，
則，∴.
綜上所述.
（2）函數的定義域為，
∴，
①當，即時，
得，則，
∴函數在上單調遞增.
②當，即時，
令，得，
解得，
（i）若，則，
∵，令，得，或；
令，得，
∴在上單調遞增，
在上單調遞減.
（ii）若，則，令，得，
令，得，
∴函數在區間上單調遞減，
在區間上單調遞增.
變式14．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性．
【解析】由題意知，定義域為，；
令，則.
①當，即時，（當且僅當，時取等號），
在上單調遞減；
②當，即時，令，解得，，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
變式15．（2024·高二課時練習）已知函數，求函數的單調增區間.
【解析】的定義域為，
，，
令，
注意到，
①當時，，，故在上單調遞增；
②當時，，令，得，，
令，解得，
所以的遞增區間為；
綜上：當時，的遞增區間為；
當時，的遞增區間為.
變式16．（2024·陜西延安·高二陜西延安中學校考）已知函數．
(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求實數的值；
(2)討論在上的單調性．
【解析】（1）已知函數，
則，
因為的圖象在處的切線與直線垂直，
所以，則有，所以的值為.
（2）由（1）知，
令，對稱軸為，所以在上單調遞增，
則在上有最小值為，
所以，當，即時，，在上單調遞增，
當，即時，在上有唯一零點，即，
在上，，在上，，
所以在上，在上單調遞減，在上，在上單調遞增.
變式17．（2024·高二單元測試）已知函數（其中）．
(1)若函數在點處的切線為，求實數，的值．
(2)求函數的單調區間．
【解析】（1）由，可得．
因為函數在點處的切線為，得
，即，解得．
（2）由（1）可知
令，得，
當，即時，在定義域內恒成立，
所以此時函數的單調遞增區間為和，沒有減區間；
當，即時，，，
當或時，單調遞增，
當或時，單調遞減.
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為和，沒有減區間；
當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為和.
【方法技巧與總結】
1、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減．（注意定義域的間斷情況）．
2、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區間段．
3、利用草稿圖像輔助說明．
情形四：函數為準二次函數型
例22．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性；
【解析】，
當時，，，，在上單調遞增；
當時，令，解得：，
則當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述：當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
例23．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論函數的單調性；
【解析】由題意得，函數的定義域為，
則，
，，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
綜上所述：函數在上單調遞減，在上單調遞增.
例24．（2024·全國·高二專題練習）已知函數．若，討論的單調性；
【解析】由題意知，，
的定義域為，．
若，則，所以在上單調遞減；
若，令，解得．
當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
變式18．（2024·江西·高二江西省宜豐中學校聯考階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論的單調性.
【解析】（1）由已知，則，
當時，，，
則曲線在處的切線方程為，即
（2）由（1）知，，
①當時，，
當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減；
②當時，由，得，
（?。┊敃r，，
當時，，在，單調遞增；
當時，，在單調遞減；
（ⅱ）當時，，，在單調遞增；
（ⅲ）當時，，
當時，，在，單調遞增；
當時，，在單調遞減；
綜上可得：①當時，在單調遞增，在單調遞減；
②當時，在，單調遞增，在單調遞減；
③當時，在單調遞增；
④當時，在，單調遞增，在單調遞減.
【方法技巧與總結】
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖像定區間；
【過關測試】
一、單選題
1．（2024·江蘇常州·高二統考期末）函數的單調減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數的定義域為，
，
由得，
所以的單調減區間為.
故選：D.
2．（2024·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市實驗學校?？茧A段練習）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，知在區間上恒成立，
即在區間上恒成立．
因為，所以，
所以，所以.
故選：C．
3．（2024·四川南充·統考模擬預測）函數在上是減函數的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是減函數，只需要即可，
若，則，成立；
若，則是二次函數，由二次函數的性質可得，時恒成立.
若，當和時，，故不成立.
所以，當時，，而是的充分不必要條件.
故選：A.
4．（2024·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學校聯考階段練習）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，為奇函數，
則，
，，
，為減函數，
又，
則，
，
或.
故選：C
5．（2024·全國·模擬預測）若函數為偶函數，且當時，．若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為當時，，則，
所以在上單調遞增，
又為偶函數，，所以，
則，即，解得．
故選：C．
6．（2024·全國·高三專題練習）設函數，則函數（ ）
A．在區間，內均有一個零點
B．在區間，內均無零點
C．在區間內有一個零點，在區間內無零點
D．在區間內無零點，在區間內有一個零點
【答案】D
【解析】當時，函數圖象連續不斷，且，
所以函數在上單調遞減.
又
所以函數有唯一的零點在區間內.
故選：D
7．（2024·遼寧·高三校聯考階段練習）已知函數，則“在區間上單調遞增”的一個充分不必要條件為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在區間上單調遞增等價于在區間上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要條件，故D正確.
故選：D.
8．（2024·湖南·高三南縣第一中學校聯考階段練習）設函數的定義域為，其導函數為，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，即，
在上單調遞減，又，
∴不等式,
即原不等式的解集為．
故選:B．
二、多選題
9．（2024·遼寧朝陽·高三校聯考階段練習）已知函數，則（ ）
A．的一個周期為
B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱
D．在上單調遞增
【答案】BD
【解析】，故A錯誤；
，故B正確；
，故C錯誤；
，
因為，則，可知，
所以，故D正確.
故選：BD.
10．（2024·高二單元測試）函數的單調減區間可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由題意得，
令，解得或，
結合選項可知函數的單調減區間可以為,,
故選:AC.
11．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學校聯考）下列函數中，是奇函數且在區間上是減函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】對于A，函數的定義域為R，是增函數，A不對；
對于B，函數的定義域為R，是奇函數，并且在上單調遞減，B對；
對于C，函數的定義域為，是奇函數，并且在上單調遞減，C對；
對于D，函數的定義域為R，且，是奇函數，對函數求導，
當，函數單調遞減，即，解得，所以遞減區間是.D不對．
故選：BC
12．（2024·廣東·高三茂名市第一中學校聯考階段練習）已知是自然對數的底數，函數的定義域為，是的導函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】令函數，則，
所以在上單調遞增，
又，所以
，即，
所以，而的大小不確定．
故選：AC.
三、填空題
13．（2024·廣西·模擬預測）函數的單調遞增區間為 ．
【答案】
【解析】函數的定義域為，
，
由得或（因為，故舍去），
所以在區間上單調遞增．
故答案為：
14．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知函數在區間上不單調，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意知，
因為在區間上不單調，
即在區間有零點，
又，即為的零點在區間內，
所以解得，即m的取值范圍是．
故答案為：
15．（2024·高二課時練習）函數在上的單調遞增區間為 .
【答案】
【解析】由題意得，則，又，
解得，所以函數的單調遞增區間為，
故答案為：.
16．（2024·浙江溫州·高二溫州中學校考階段練習）已知函數，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【解析】令，則的定義域為，
又，則是偶函數；
當時，，，
當時，顯然，
當時，，，所以，
綜上，在上單調遞增，
因為，
所以由，得，即，
所以，即，解得.
故答案為：.
四、解答題
17．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區紅橋高級中學?？茧A段練習）已知函數，且.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間.
【解析】（1）由題設，則，
所以且，則，，
所以點處的切線方程為，即.
（2）由（1），
當，即或，故在區間，上遞增，
所以的增區間為，.
18．（2024·全國·高三專題練習）已知函數.判斷函數的單調性.
【解析】的定義域為R，且.
由于，所以在R上恒成立，
所以，函數在R上單調遞增.
19．（2024·陜西西安·高二統考期末）已知函數．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)討論函數在區間上的單調性．
【解析】（1）的定義域為，．
曲線在處的切線的斜率為．
把代入中得，即切點坐標為．
所以曲線在處的切線方程為．
（2）令，得．
①當時，在區間上，，函數為單調減函數．
②當時，在區間上，，為單調減函數；
在區間上，，為單調增函數．
綜上，當時，為單調減函數；
當時，在區間上，為單調減函數，在區間上，為單調增函數．
20．（2024·天津濱海新·高二統考期末）已知函數，（其中為常數）
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)設函數，若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
【解析】（1）當時，則，
此時，
所以，又，
所以切點為：
所以此時切線方程為．
（2）因為．
從而，列表如下：
1
0 0
遞增 有極大值 遞減 有極小值 遞增
所以的單調遞增區間是和；的單調遞減區間是
（3）函數，
有，
設
當函數在區間上為單調遞增時，
等價于在上恒成立，
由函數開口向下，對稱軸為，
所以問題轉化為只要即可，
即，
實數c的取值范圍．
21．（2024·四川自貢·高二統考期末）已知函數．
(1)若的單調遞減區間為，求實數的值；
(2)若函數在單調遞減，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，
因為的單調遞減區間為，即的解集為，
故是的兩根，即，
當時，，由，解得，
等號僅在時取得，即的單調遞減區間為，符合題意，
故.
（2）函數在單調遞減，即在上恒成立，
即在上恒成立，此時，
即在上恒成立，而，故,
經驗證當時, 即，
等號僅在時取得，此時函數在單調遞減，符合題意，
故.
22．（2024·北京豐臺·高二統考期末）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)判斷與1.01的大小關系，并說明理由.
【解析】（1），所以，
，所以切點為，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）定義域為，
當時，對恒成立，
在上為增函數；
當時，令，所以，，
，，函數單調遞減，
，，函數單調遞增，
綜上所述：
當時， 在上為增函數；
當時， ，函數單調遞減；，函數單調遞增；
（3）記，則，
當時，，故在上單調遞增，
，即，
故有：；5．3．1 函數的單調性
【題型歸納目錄】
題型一：利用導數求函數的單調區間
題型二：函數圖象與導函數圖象的關系
題型三：已知單調性求參數的取值范圍
題型四：判斷、證明函數的單調性
題型五：含參數單調性討論
情形一：函數為一次函數
情形二：函數為準一次函數
情形三：函數為二次函數型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函數為準二次函數型
【知識點梳理】
知識點一、函數的單調性與導數的關系
導數的符號與函數的單調性：
一般地，設函數在某個區間內有導數，則在這個區間上，
①若，則在這個區間上單調遞增；
②若，則在這個區間上單調遞減；
③若恒有，則在這一區間上為常函數．
反之，若在某區間上單調遞增，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）．
知識點詮釋：
1、因為導數的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區間上，即切線斜率為正時，函數在這個區間上單調遞增；當在某區間上，即切線斜率為負時，函數在這個區間上單調遞減；即導函數的正負決定了原函數的增減．
2、若在某區間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍單調遞增（減函數的情形完全類似）．
即在某區間上，在這個區間上單調遞增；
在這個區間上單調遞減，但反之不成立．
3、在某區間上單調遞增在該區間；
在某區間上單調遞減在該區間．
在區間內，．．（或）是在區間內單調遞增（或減）的充分不必要條件！
例如：，，，而在R上遞增．
4、只有在某區間內恒有，這個函數在這個區間上才為常數函數．
5、注意導函數圖象與原函數圖象間關系．
知識點二、利用導數研究函數的單調性
利用導數判斷函數單調性的基本方法
設函數在區間內可導，
（1）如果恒有，則函數在內單調遞增；
（2）如果恒有，則函數在內單調遞減；
（3）如果恒有，則函數在內為常數函數．
知識點詮釋：
（1）若函數在區間內單調遞增，則，若函數在內單調遞減，則．
（2）或恒成立，求參數值的范圍的方法——分離參數法：或．
知識點三、利用導數求函數單調區間的基本步驟
（1）確定函數的定義域；
（2）求導數；
（3）在函數的定義域內解不等式或；
（4）確定的單調區間．
或者：令，求出它在定義域內的一切實數根．把這些實數根和函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區間分成若干個小區間，判斷在各個小區間內的符號．
知識點詮釋：
1、求函數單調區間時，要注意單調區間一定是函數定義域的子集．
2、求單調區間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．
知識點四：討論單調區間問題
類型一：不含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．
（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；
類型二：含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖像定區間；
【典型例題】
題型一：利用導數求函數的單調區間
例1．（2024·福建漳州·高二漳州三中?？迹┖瘮档脑鰠^間為 ．
例2．（2024·北京·高二?？迹┮阎瘮担瑒t函數的單調增區間為 .
例3．（2024·河北邢臺·高二統考階段練習）函數的減區間為 ．
變式1．（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┖瘮档膯握{減區間為 .
【方法技巧與總結】
（1）求函數的單調區間常用解不等式，函數在解集與定義域的交集上單調遞減．解不等式，函數在解集與定義域的交集上為單調遞增．
（2）注意寫單調區間時，不是連續的區間一般不能用并集符號“”．
題型二：函數圖象與導函數圖象的關系
例4．（多選題）（2024·高二課時練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（ ）
A．在區間上是減函數
B．在區間上是減函數
C．在區間上是增函數
D．在區間上是增函數
例5．（多選題）（2024·廣西桂林·高二統考期末）設是定義域為R的奇函數，其導函數為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
例6．（多選題）（2024·福建漳州·高二統考期末）已知函數的導函數圖象如圖，那么的圖象可能是（ ）

A． B．
C． D．
變式2．（多選題）（2024·河北邯鄲·高二校聯考）已知函數的導函數的圖象大致如圖所示，下列結論正確的是（ ）

A．在上單調遞增 B．在上單調遞增
C．曲線在處的切線的斜率為0 D．曲線在處的切線的斜率為4
【方法技巧與總結】
（1）函數的單調性與其導函數的正負之間的關系：在某個區間內，若，則在上單調遞增；如果，則在這個區間上單調遞減；若恒有，則是常數函數，不具有單調性．
（2）函數圖象變化得越快，的絕對值越大，不是的值越大．
題型三：已知單調性求參數的取值范圍
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中學?？茧A段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·廣西南寧·高二賓陽中學校聯考期末）已知函數在區間上單調遞增，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？计谀┤艉瘮翟趨^間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
變式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考）若函數的單調遞減區間為，則實數k的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
變式4．（2024·浙江·高二平湖市當湖高級中學校聯考）已知函數在上有三個單調區間，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·江蘇常州·高二統考期末）已知函數，若在R上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·遼寧阜新·高二校考期末）若函數在區間上單調，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不存在這樣的實數
變式7．（2024·重慶江北·高二重慶十八中?？迹┤艉瘮翟趨^間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
（1）利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路
①將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題，即（或）恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝”時是否滿足題意．
②先令（或），求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“＝”時是否滿足題意．
（2）理清運算對象，選擇運算方法，求得運算結果，充分體現數學運算的數學核心素養．
題型四：判斷、證明函數的單調性
例10．（多選題）（2024·江蘇揚州·高二揚州中學?？茧A段練習）下列函數在定義域上為增函數的有（ ）
A． B．
C． D．
例11．（多選題）（2024·山東青島·高二統考階段練習）若函數在的定義域上單調遞增，則稱函數具有M性質．下列函數中具有M性質的為（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2024·高二課時練習）證明：函數在上嚴格增．
變式8．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論在上的單調性；
變式9．（2024·吉林長春·高二長春市實驗中學校考階段練習）已知函數.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)求函數的單調區間.
【方法技巧與總結】
判斷、證明函數的單調性的步驟：
1、求導；2、變形（分解或配方）；3、判斷導數式的符號，下結論．
題型五：含參數單調性討論
情形一：函數為一次函數
例13．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，其中，．求函數的單調區間；
例14．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，求函數的單調區間．
例15．（2024·四川眉山·高二校考）已知函數．
(1)若在上單調遞增，求的取值范圍．
(2)求的單調區間.
變式10．（2024·全國·高二專題練習）已知，討論的單調性；
情形二：函數為準一次函數
例16．（2024·高二課時練習）已知函數，討論函數的單調性.
例17．（2024·高二課時練習）已知函數，，其中是的導函數.討論函數的單調性.
例18．（2024·高二課時練習）已知函數 設是的導函數，討論函數的單調性；
變式11．（2024·全國·高二專題練習）討論函數 的單調性；
情形三：函數為二次函數型
1、可因式分解
例19．（2024·高二課時練習）已知函數 ).討論的單調性；
例20．（2024·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校校考階段練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
例21．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
變式12．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性；
2、不可因式分解型
變式13．（2024·高二課時練習）（1）已知函數，，當時，若在上為減函數，在上為增函數，求實數k的值；
（2）已知函數，討論函數的單調區間.
變式14．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性．
變式15．（2024·高二課時練習）已知函數，求函數的單調增區間.
變式16．（2024·陜西延安·高二陜西延安中學校考）已知函數．
(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求實數的值；
(2)討論在上的單調性．
變式17．（2024·高二單元測試）已知函數（其中）．
(1)若函數在點處的切線為，求實數，的值．
(2)求函數的單調區間．
【方法技巧與總結】
1、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減．（注意定義域的間斷情況）．
2、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區間段．
3、利用草稿圖像輔助說明．
情形四：函數為準二次函數型
例22．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性；
例23．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論函數的單調性；
例24．（2024·全國·高二專題練習）已知函數．若，討論的單調性；
變式18．（2024·江西·高二江西省宜豐中學校聯考階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論的單調性.
【方法技巧與總結】
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖像定區間；
【過關測試】
一、單選題
1．（2024·江蘇常州·高二統考期末）函數的單調減區間為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市實驗學校校考階段練習）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·統考模擬預測）函數在上是減函數的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學校聯考階段練習）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）若函數為偶函數，且當時，．若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全國·高三專題練習）設函數，則函數（ ）
A．在區間，內均有一個零點
B．在區間，內均無零點
C．在區間內有一個零點，在區間內無零點
D．在區間內無零點，在區間內有一個零點
7．（2024·遼寧·高三校聯考階段練習）已知函數，則“在區間上單調遞增”的一個充分不必要條件為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·湖南·高三南縣第一中學校聯考階段練習）設函數的定義域為，其導函數為，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·遼寧朝陽·高三校聯考階段練習）已知函數，則（ ）
A．的一個周期為
B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱
D．在上單調遞增
10．（2024·高二單元測試）函數的單調減區間可以為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學校聯考）下列函數中，是奇函數且在區間上是減函數的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·廣東·高三茂名市第一中學校聯考階段練習）已知是自然對數的底數，函數的定義域為，是的導函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
13．（2024·廣西·模擬預測）函數的單調遞增區間為 ．
14．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知函數在區間上不單調，則m的取值范圍是 ．
15．（2024·高二課時練習）函數在上的單調遞增區間為 .
16．（2024·浙江溫州·高二溫州中學校考階段練習）已知函數，則使得成立的的取值范圍是 .
四、解答題
17．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區紅橋高級中學?？茧A段練習）已知函數，且.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間.
18．（2024·全國·高三專題練習）已知函數.判斷函數的單調性.
19．（2024·陜西西安·高二統考期末）已知函數．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)討論函數在區間上的單調性．
20．（2024·天津濱海新·高二統考期末）已知函數，（其中為常數）
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)設函數，若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
21．（2024·四川自貢·高二統考期末）已知函數．
(1)若的單調遞減區間為，求實數的值；
(2)若函數在單調遞減，求實數的取值范圍．
22．（2024·北京豐臺·高二統考期末）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)判斷與1.01的大小關系，并說明理由.

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