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第四章 指數函數與對數函數
知識總結與題型歸納
重點一：指數與指數冪的運算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 當為奇數時，；當為偶數時，.
3、 我們規定：（1）； （2）；
4、 運算性質：（1）；（2）；
（3）.（4）a0=1
題型1：利用根式的性質化簡求值
例1：(1)化簡a＋的結果是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)當a、b∈R時，下列各式總能成立的是(　　)
A．(－)6＝a－b B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
(3)設－3＜x＜3，求－的值．
針對訓練
1.求下列各式的值：
(1)--；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
題型2：根式與分數指數冪的轉化
例2：將下列根式化成分數指數冪形式．
(1)·；　(2) ；
(3)·； (4)()2·.
針對訓練
2.用分數指數冪表示下列各式：
(1)·(a＜0)；
(2) （b＜0）；
(3)（x≠0）
題型3：指數冪的運算
例3：　計算：(1)；
(2).
針對訓練
3.計算：
(1) ＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－；
(3)3π×π＋＋1.
題型4：根式與分數指數冪的轉化
例4：已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a.
針對訓練
4.已知x＝，y＝，求－的值．
重點二：指數函數
圖像和性質：
通式 指數函數通式：（且）
定義域、值域 ①定義域：；②值域：。
定點 指數函數一定過點（任何數的零次方都等于）
單調性 ①當時：函數在上單調遞減； ②當時：函數在上單調遞增。
圖像 當時 當時
題型5：指數函數的概念
例5：若y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
針對訓練
5.若函數y＝(a－2)2ax是指數函數，則(　　)
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0，且a≠1
題型6：指數函數的解析式和應用
例6：(1)指數函數y＝f(x)的圖象經過點，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
(2)若指數函數f(x)的圖象經過點(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
針對訓練
6.若函數f(x)＝·ax是指數函數，則f的值為(　　)
A．2 B．2 C．－2 D．－2
題型7：指數函數的定義域和值域
例7：求下列函數的定義域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝.
針對訓練
7.求下列函數的定義域、值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝4x－2x＋1.
題型8：指數函數的圖像和應用
例8：(1)如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為(　　)
A．aB．bC．1D．a(2)函數y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點________．
針對訓練
8.（1）函數f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是(　　)
（2）已知函數f(x)＝ax－16＋3(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數g(x)的圖象上，則冪函數g(x)的圖象是(　　 )
題型9：比較大小問題（對數函數）
例9：設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　)
A．y3＞y1＞y2　　　　　　 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3
針對訓練
9.已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．c＜a＜b　　　　　B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
題型10：解不等式（對數函數）
例10：如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范圍
針對訓練
10.(1)已知3x≥30.5，求實數x的取值范圍．
(2)已知0.2x<25，求實數x的取值范圍．
重點三：對數與對數運算
1、； 2、； 3、，.
4、當時：
（1）； （2）；
（3）；（4）；（5）
5、換底公式： .
6、（1） ；（2）；
（3）；（4）
題型11：對數的定義及其應用
例11：(1)在對數式y＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是________．
(2)將下列指數式、對數式互化．
①53＝125；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log＝6.
針對訓練
11.(1)使對數loga(－2a＋1)有意義的a的取值范圍為(　　 )
A.∪(1，＋∞)　　　　B．
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．
（2）(多選)下列指數式與對數式互化正確的一組是 (　　)
A．100＝1與lg 1＝0
B．27＝與log27＝－
C．log39＝2與9＝3
D．log55＝1與51＝5
題型12：對數的計算
例12：(1)求下列各式的值．
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；
②logx8＝6；
③lg 100＝x.
　針對訓練
12.求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
題型13：對數運算性質的應用
例13：若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，則下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；
⑦＝loga；⑧loga＝－loga.
其中式子成立的個數為(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
針對訓練
13.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝.
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
題型14：換底公式
例14：(1)計算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
針對訓練
14.計算下列各式：
(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log．
(2)×log6432.
題型15：對數的綜合應用
例15：(1)在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質量m(單位：kg)滿足ev＝2 000(e為自然對數的底數)．當燃料質量M為火箭(除燃料外)質量m的兩倍時，求火箭的最大速度(單位：m/s)．(ln 3≈1.099)
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，分別求x，y，z的值．
針對訓練
15.(1)設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝(　　 )
A. B．10 C．20 D．100
（2）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
重點四：對數函數
1、 圖象和性質：
通式 對數函數的通式：（且）
定義域、值域 定義域：；值域：。
定點 對數函數一定過點（是任何數的零次方）
單調性 ①當時：函數在上單調遞減； ②當時：函數在上單調遞增。
性質邏輯 指數函數與對數函數互為反函數（自變量與應變量交換位置）。 定義域與值域交換，定點的橫縱坐標交換位置，單調性相同。
圖像 當時 當時
題型16：對數函數的概念
例16：（1）下列函數表達式中，是對數函數的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1個　　　　　　　　 B．2個
C．3個 D．4個
（2）函數f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數函數，則實數a＝________.
（3）已知對數函數f(x)的圖象過點P(8,3)，則f＝________.
針對訓練
16.(1)(1)已知對數函數f(x)的圖象過點(8,3)，則f＝ .
(2)已知函數f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是對數函數，則m＝ .
題型17：對數型函數的定義域
例17：求下列函數的定義域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝；
(4)y＝(a＞0，且a≠1)．
針對訓練
17.①若函數f(x)＝log2(a－4x)的定義域為(－∞，1)，則a的范圍為________．
②若函數f(x)＝log2(4x－a)的定義域為R，則a的范圍為________．
③若函數f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定義域為R，則a的范圍為________．
題型18：對數函數的實際應用
例18：森林具有凈化空氣的功能，經研究發現，森林凈化空氣質量Q與森林面積S的關系是Q＝Alog2，且當森林面積為40個單位時，森林凈化量Q為100個單位．
(1)求A的值；
(2)當某森林面積為320個單位時，它能凈化的空氣量為多少個單位．
針對訓練
18.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．
(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式；
(2)如果業務員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？
題型19：對數函數的圖像和性質
例19：　(1)函數y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________．
(2)如圖所示的曲線是對數函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為________．
針對訓練
19.(1)如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
（2）若函數y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(3,2)，則實數b，c的值分別為________．
題型20：比較對數值的大小
例20：(1)設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　 B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)(全國丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，則(　　)
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
針對訓練
20.(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，則下列結論正確的是(　　 )
A．bC．c(2)下列不等式成立的是(其中a>0，且a≠1)(　　 )
A．loga5.1log2.2
C．log1.1(a＋1)題型21：對數函數的綜合問題
例21：已知函數f(x)＝loga(3－ax)，
(1)當x∈[0,2]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍．
(2)是否存在實數a，使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．
針對訓練
21.(1)下列函數中，既是單調函數，又是奇函數的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝3|x|
C．y＝log3x D．y＝log23x
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定義域和值域；
②判斷并證明f(x)的單調性．
題型22：函數模型的選擇
例22：某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
針對訓練
22.政府氣候變化專業委員會(I PCC)提供的一項報告指出：使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據測，1994年，1995年，1996年大氣中的CO2濃度分別比1993年增加了1個可比單位，3個可比單位，6個可比單位．若用一個函數模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數y與年份增加數x的關系，模擬函數可選用二次函數或函數y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數)，且又知1998年大氣中的CO2濃度比1989年增加了16個可比單位，請問用以上哪個函數作模擬函數較好？
題型23：求函數的零點或判斷零點的個數
例23：（1）求函數f(x)＝x3－7x＋6的零點．
（2）探求函數f(x)＝ax－x－a零點的個數
針對訓練
23.（1）已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A.，0　　　 　B．－2,0 C. D．0
（2）函數f(x)＝ln x－的零點的個數是(　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）若函數f(x)＝－2a有兩個零點，則實數a的取值范圍是(　　 )
A. B．(0,1) C. D．(1，＋∞)
題型24：判斷函數的零點、方程的根所在的區間
例24：(1)函數y＝2x＋x的零點所在的區間是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若方程log3x＋x＝3的解所在的區間是(k，k＋1)且k∈Z，則k＝________.
針對訓練
24.（1）函數f(x)＝2x＋log2x－3的零點所在區間為 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
（2）若函數f(x)＝x－x＋a的零點在區間(1，＋∞)上，則實數a的取值范圍是________．
題型25：二次函數零點分布問題
例25：已知二次函數f(x)＝x2－2ax＋4，分別求出下列條件成立的情況下，實數a的取值范圍：
(1)兩個零點均大于1；
(2)一個零點大于1，一個零點小于1；
(3)一個零點在(0,1)內，另一個零點在(6,8)內．
針對訓練
25.方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有兩個實根x1，x2，且滿足0＜x1＜1＜x2＜4，則m的取值范圍是(　　)
A. B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. D．
題型26：指數函數模型
例26：一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變為.為保護生態環境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a.
(1)求p%的值；
(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多還能砍伐多少年？
針對訓練
26.據報道，青海湖的湖水在最近50年內減少了10%，如果按此規律，設2000年的湖水量為m，從2000年起，過x年后湖水量y與x的函數關系式為________．
題型27：對數函數模型
例27：2018年12月8日，我國的“長征”三號火箭成功發射了嫦娥四號探測器，這標志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步．火箭的起飛質量M是箭體(包括搭載的飛行器)的質量m(噸)和燃料質量x(噸)之和．在不考慮空氣阻力的條件下，假設火箭的最大速度y(km/s)關于x(噸)的函數關系式為y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．當燃料質量為(－1)m噸時，該火箭的最大速度為4 km/s.
(1)求“長征”四號系列火箭的最大速度y與燃料質量x之間的函數關系式；
(2)已知“長征”四號火箭的起飛質量M是479.8噸，則應裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s？(結果精確到0.1噸，e取2.718)
針對訓練
27.有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產卵，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數v＝log3－lg x0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，x0代表測量過程中該類候鳥每分鐘的耗氧量偏差
(參考數據：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．
(1)當x0＝2，候鳥每分鐘的耗氧量為8 100個單位時，候鳥的飛行速度是多少？
(2)當x0＝5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少單位？
(3)若雄鳥的飛行速度為2.5 km/min，同類雌鳥的飛行速度為1.5 km/min，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？第四章 指數函數與對數函數
知識總結與題型歸納
重點一：指數與指數冪的運算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 當為奇數時，；當為偶數時，.
3、 我們規定：（1）； （2）；
4、 運算性質：（1）；（2）；
（3）.（4）a0=1
題型1：利用根式的性質化簡求值
例1：(1)化簡a＋的結果是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)當a、b∈R時，下列各式總能成立的是(　　)
A．(－)6＝a－b B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
(3)設－3＜x＜3，求－的值．
【答案】(1)C　(2)B　(3)見解析
【詳解】解析：(1)a＋＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故選C.
(2)取a＝0，b＝1，A不成立．
取a＝0，b＝－1，C、D不成立．
∵a2＋b2≥0，∴B正確，故選B.
(3)原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，
∴當－3＜x＜1時，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
當1≤x＜3時，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
技巧：根式化簡應遵循的3個原則
(1)被開方數中不能含有能開得盡方的因數或因式．
(2)被開方數是帶分數的要化成假分數．
(3)被開方數中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化簡時，被開方數如果不是乘積形式必須先化成乘積的形式．　
針對訓練
1.求下列各式的值：
(1)--；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
【答案】（1）.（2）11（3）0
【詳解】(1)原式＝－－
＝－－＝.
(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(3)原式＝(a－b)＋|b－a|＝a－b＋b－a＝0.
題型2：根式與分數指數冪的轉化
例2：將下列根式化成分數指數冪形式．
(1)·；　(2) ；
(3)·； (4)()2·.
【答案】【詳解】解析：(1)·＝·＝.
(2)原式＝··＝.
(3)原式＝·＝.
(4)原式＝()2··＝.
技巧：根式與分數指數冪的互化技巧
(1)在解決根式與分數指數冪互化的問題時，關鍵是熟記根式與分數指數冪的轉化式子：a＝和a＝＝，其中字母a要使式子有意義．
(2)將含有多重根號的根式化為分數指數冪的途徑有兩條：一是由里向外化為分數指數冪；二是由外向里化為分數指數冪．
針對訓練
2.用分數指數冪表示下列各式：
(1)·(a＜0)；
(2) （b＜0）；
(3)（x≠0）
【答案】【詳解】(1)原式＝·＝－·
＝－(a＜0)．
(2)原式＝＝(b＜0)．
(3)原式＝＝＝
題型3：指數冪的運算
例3：　計算：(1)；
(2).
【答案】(1)6(2)
【詳解】解析：(1)原式＝＝＝＝6.
(2)原式＝＝
＝
＝＝
＝＝.
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3.計算：
(1) ＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－；
(3)3π×π＋＋1.
【答案】（1）.（2）11（3）0
【詳解】(1)原式＝(－1)·＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)＝36＋9－7－5＝33.
(3)3π×π＋＋1＝π＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18.
題型4：根式與分數指數冪的轉化
例4：已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a.
【答案】【詳解】解析：(1)法一：由a＋a－1＝5兩邊平方得：
a2＋2a·a－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.
法二：a2＋a－2＝a2＋2a·a－1＋a－2－2a·a－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a－a|＝.
∴a－a＝±.
技巧：變形公式
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2(a＞0，b＞0)．
(2)(a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)．
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)．
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　　
針對訓練
4.已知x＝，y＝，求－的值．
【答案】【詳解】－＝－＝.
∵x＝，y＝，
∴原式＝＝＝－24＝－8.
重點二：指數函數
圖像和性質：
通式 指數函數通式：（且）
定義域、值域 ①定義域：；②值域：。
定點 指數函數一定過點（任何數的零次方都等于）
單調性 ①當時：函數在上單調遞減； ②當時：函數在上單調遞增。
圖像 當時 當時
題型5：指數函數的概念
例5：若y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【詳解】解析：由y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，
∴∴a＝2.選C.
技巧：判斷一個函數是不是指數函數，其關鍵是分析該函數是否具備指數函數三大特征：
(1)底數a>0，且a≠1；
(2)ax的系數為1；
(3)y＝ax中a是常數，x為自變量，自變量在指數位置上．
針對訓練
5.若函數y＝(a－2)2ax是指數函數，則(　　)
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0，且a≠1
【答案】C
【詳解】解析：由指數函數定義知，所以解得a＝3.故選C
題型6：指數函數的解析式和應用
例6：(1)指數函數y＝f(x)的圖象經過點，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
(2)若指數函數f(x)的圖象經過點(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
【答案】（1）D（2）
【詳解】解析：(1)選D　指數函數y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經過點，可得a－2＝，解得a＝2，函數的解析式為y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64，故選D.
(2)設f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，將點(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.
所以f(－1)＝3－1＝.
針對訓練
6.若函數f(x)＝·ax是指數函數，則f的值為(　　)
A．2 B．2 C．－2 D．－2
【答案】B
【詳解】解析：∵函數f(x)＝·ax是指數函數，∴a－3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f(x)＝8x，∴f＝＝2，故選B.
題型7：指數函數的定義域和值域
例7：求下列函數的定義域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝.
【答案】（1）(0,1)∪(1，＋∞)（2）[1，＋∞)
【詳解】解析：　(1)令t＝，∵x∈R且x≠4.∴t≠0.
∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)，
故原函數的定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞)，
值域為(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)令t＝－|x|，可知x∈R，∴|x|≥0，t≤0.
∴y＝∈[1，＋∞)，
故原函數的定義域為R，值域為[1，＋∞)．
技巧：函數y＝af(x)的定義域、值域的求法
(1)函數y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．
(2)函數y＝af(x)的值域的求法如下：
①換元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定義域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M.
針對訓練
7.求下列函數的定義域、值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝4x－2x＋1.
【答案】【詳解】解析：(1)函數的定義域為R.∵y＝＝＝1－，
又∵3x＞0，∴1＋3x＞1，∴0＜＜1，∴－1＜－＜0，
∴0＜1－＜1，∴函數的值域為(0,1)．
(2)函數的定義域為R.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴2≤2，即y≤2.又2＞0，∴函數的值域為(0,2]．
(3)函數的定義域為R. y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x＞0，∴當2x＝，即x＝－1時，y取最小值，
∴函數的值域為.
題型8：指數函數的圖像和應用
例8：(1)如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為(　　)
A．aB．bC．1D．a(2)函數y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點________．
【答案】(1)B　(2)(3,4)
【詳解】解析：(1)由圖象可知③④的底數必大于1，①②的底數必小于1.
過點(1,0)作直線x＝1，如圖所示，在第一象限內直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標即為各指數函數的底數，則1(2)法一：因為指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0,1)，所以在函數y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函數的圖象過定點(3,4)．
法二：將原函數變形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指數函數，所以當x－3＝0時，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函數的圖象過定點(3,4)．
針對訓練
8.（1）函數f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是(　　)
（2）已知函數f(x)＝ax－16＋3(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數g(x)的圖象上，則冪函數g(x)的圖象是(　　 )
【答案】（1）A（2）A
【詳解】解析：（1）當a＞1時，函數f(x)＝ax單調遞增，當x＝0時，g(0)＝a＞1，此時兩函數的圖象大致為選項A.
（2）f(x)＝ax－16＋3恒過定點P(16,4)，
設冪函數g(x)＝xα，則16α＝4，∴α＝，∴g(x)＝.故選A
題型9：比較大小問題（對數函數）
例9：設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　)
A．y3＞y1＞y2　　　　　　 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3
【答案】C
【詳解】解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，∵y＝2x是增函數，1.8＞1.5＞1.44，∴y1＞y3＞y2，故選C.
技巧：
針對訓練
9.已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．c＜a＜b　　　　　B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】D
【詳解】解析：c＝＝＜1，又a＝，b＝，∴a＞b＞1.
故c＜b＜a，選D.
題型10：解不等式（對數函數）
例10：如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范圍
【答案】
【詳解】解析：①當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，則－5x＜x＋7，解得x＞－.
②當a＞1時，y＝ax為增函數，
則－5x＞x＋7，
∴x＜－，
綜上，當0＜a＜1時，x∈(－，＋∞)，
當a＞1時，x∈(－∞，－)．
技巧：解含指數式的不等式的策略
(1)指數型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
當a＞1時，f(x)＞g(x)；
當0＜a＜1時，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指數式的形式，要首先進行變形將不等式兩邊的底數進行統一，此時常用到以下結論：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．
針對訓練
10.(1)已知3x≥30.5，求實數x的取值范圍．
(2)已知0.2x<25，求實數x的取值范圍．
【答案】（1）[0.5，＋∞)（2）(－2，＋∞)
【詳解】解析：(1)因為3>1，
所以指數函數f(x)＝3x在R上是增函數．
由3x≥30.5，可得x≥0.5，
即x的取值范圍為[0.5，＋∞)．
(2)因為0<0.2<1，
所以指數函數f(x)＝0.2x在R上是減函數．
又因為25＝－2＝0.2－2，
所以0.2x<0.2－2，則x>－2，
即x的取值范圍為(－2，＋∞)．
重點三：對數與對數運算
1、； 2、； 3、，.
4、當時：
（1）； （2）；
（3）；（4）；（5）
5、換底公式： .
6、（1） ；（2）；
（3）；（4）
題型11：對數的定義及其應用
例11：(1)在對數式y＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是________．
(2)將下列指數式、對數式互化．
①53＝125；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log＝6.
【答案】（1）2【詳解】解析：(1)由題意可知
解得2(2)①由53＝125，得log5125＝3.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log 125＝6，得()6＝125.
針對訓練
11.(1)使對數loga(－2a＋1)有意義的a的取值范圍為(　　 )
A.∪(1，＋∞)　　　　B．
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．
（2）(多選)下列指數式與對數式互化正確的一組是 (　　)
A．100＝1與lg 1＝0
B．27＝與log27＝－
C．log39＝2與9＝3
D．log55＝1與51＝5
【答案】（1）B（2）ABD
【詳解】解析：（1）
使對數loga(－2a＋1)有意義的a需滿足解得0＜a＜.故選B.
log39＝2與32＝9互化，9＝3與log93＝互化，易知選項A、B、D正確．
題型12：對數的計算
例12：(1)求下列各式的值．
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；
②logx8＝6；
③lg 100＝x.
【答案】D
【詳解】解析：(1)①設log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②設log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
③設ln e2＝x，所以ex＝e2，
故x＝2，即ln e2＝2.
(2)①由log64x＝－得x＝64＝4＝4－2＝.
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，
即x＝8＝＝.
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2.
技巧：求對數式logaN的值的步驟
(1)設logaN＝m；
(2)將logaN＝m寫成指數式am＝N；
(3)將N寫成以a為底的指數冪N＝ab，則m＝b，即logaN＝b.　
針對訓練
12.求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
【答案】
【詳解】解析：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴x＝5，
題型13：對數運算性質的應用
例13：若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，則下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；
⑦＝loga；⑧loga＝－loga.
其中式子成立的個數為(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【詳解】解析：對于①，取x＝4，y＝2，a＝2，
則log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，
∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；
對于②，取x＝8，y＝4，a＝2，則log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，
∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；
對于③，取x＝4，y＝2，a＝2，則log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，
∴loga(xy)＝logax·logay不成立；
對于④，取x＝4，y＝2，a＝2，則＝2≠log2＝1，
∴＝loga不成立；
對于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，則(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；
⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；
⑦成立，由于loga＝logax＝logax；
⑧成立，由于loga＝loga－1＝－loga.
故選A
針對訓練
13.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝.
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
【答案】A
【詳解】解析：∵lg x＝lg a＋lg b3－lg c5，∴lg x＝lg.∴x＝.故選A
題型14：換底公式
例14：(1)計算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
【答案】（1）13（2）
【詳解】解析：(1)法一：原式＝
·log52＋＋
＝·log52＋＋
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二：原式＝
·＋＋
＝＋＋·＋＋
＝·＝13.
(2)因為log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是
法一：log3645＝＝＝＝.
法二：因為＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18，
同理得lg 5＝blg 18，
所以log3645＝＝＝＝＝.
技巧：利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
針對訓練
14.計算下列各式：
(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log．
(2)×log6432.
【答案】（1）（2）
【詳解】解析：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log
＝－＝(log23＋log23)＋log232＝log23×log32＋＝××log23×log32＋＝＋＝.
(2)方法1：原式＝÷log23×＝÷log23×＝.
方法2：原式＝÷×＝××＝.
題型15：對數的綜合應用
例15：(1)在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質量m(單位：kg)滿足ev＝2 000(e為自然對數的底數)．當燃料質量M為火箭(除燃料外)質量m的兩倍時，求火箭的最大速度(單位：m/s)．(ln 3≈1.099)
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，分別求x，y，z的值．
【答案】【詳解】解析：(1)因為v＝ln2 000
＝2 000 ln，
所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故當燃料質量M為火箭(除燃料外)質量m的兩倍時，火箭的最大速度為2 198 m/s.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
技巧：解對數應用題的步驟
針對訓練
15.(1)設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝(　　 )
A. B．10 C．20 D．100
（2）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】（1）A（2）A
【詳解】解析：（1）由2a＝5b＝m(m＞0)得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10，m＝，故選A.
（2）由題意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所給公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故選A
重點四：對數函數
1、 圖象和性質：
通式 對數函數的通式：（且）
定義域、值域 定義域：；值域：。
定點 對數函數一定過點（是任何數的零次方）
單調性 ①當時：函數在上單調遞減； ②當時：函數在上單調遞增。
性質邏輯 指數函數與對數函數互為反函數（自變量與應變量交換位置）。 定義域與值域交換，定點的橫縱坐標交換位置，單調性相同。
圖像 當時 當時
題型16：對數函數的概念
例16：（1）下列函數表達式中，是對數函數的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1個　　　　　　　　 B．2個
C．3個 D．4個
（2）函數f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數函數，則實數a＝________.
（3）已知對數函數f(x)的圖象過點P(8,3)，則f＝________.
【答案】B
【詳解】解析：（1）∵①中自變量出現在底數上，∴①不是對數函數；∵②中底數a∈R不能保證a>0，且a≠1，∴②不是對數函數；∵⑤⑦的真數分別為(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是對數函數；∵⑥中log4x的系數為2，∴⑥也不是對數函數．只有③④符合對數函數的定義．故選B
（2）a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
（3）設對數函數f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的圖象過點P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x.f＝log2＝log22－5＝－5.
針對訓練
16.(1)(1)已知對數函數f(x)的圖象過點(8,3)，則f＝ .
(2)已知函數f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是對數函數，則m＝ .
【答案】（1）-5（2）1
【詳解】解析：(1)設f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，f＝log2＝log22－5＝－5.
(2)因為函數f(x)是對數函數，則解得m＝1.
題型17：對數型函數的定義域
例17：求下列函數的定義域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝；
(4)y＝(a＞0，且a≠1)．
【答案】D
【詳解】解析：(1)要使函數式有意義，需1－x>0，解得x<1，
所以函數y＝log5(1－x)的定義域是{x|x<1}．
(2)要使函數式有意義，需
解得x<1，且x≠0，
所以函數y＝log1－x5的定義域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)由得
∴x＞－1，且x≠999，
∴函數的定義域為{x|x＞－1，且x≠999}．
(4)loga(4x－3)≥0 loga(4x－3)≥loga1.
當a＞1時，有4x－3≥1，x≥1.
當0＜a＜1時，有0＜4x－3≤1，
解得＜x≤1.
綜上所述，當a＞1時，函數的定義域為[1，＋∞)，
當0＜a＜1時，函數的定義域為.
針對訓練
17.①若函數f(x)＝log2(a－4x)的定義域為(－∞，1)，則a的范圍為________．
②若函數f(x)＝log2(4x－a)的定義域為R，則a的范圍為________．
③若函數f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定義域為R，則a的范圍為________．
【答案】①{4}　②(－∞，0]　③(－2,2)
【詳解】解析：①f(x)＝log2(a－4x)的定義域為(－∞，1)，
即a－4x＞0的解集為(－∞，1)，
即x＝1是a－4x＝0的根，
∴a＝4.
②由題意得4x－a＞0對 x∈R都成立，
∴a＜4x恒成立，
∴a≤0.
③只要u＝x2＋ax＋1與x軸無交點，即u＞0恒成立，
∴Δ＝a2－4＜0，
∴－2＜a＜2.
題型18：對數函數的實際應用
例18：森林具有凈化空氣的功能，經研究發現，森林凈化空氣質量Q與森林面積S的關系是Q＝Alog2，且當森林面積為40個單位時，森林凈化量Q為100個單位．
(1)求A的值；
(2)當某森林面積為320個單位時，它能凈化的空氣量為多少個單位．
【答案】
【詳解】解析：(1)由題意知Alog2＝100，∴A＝50.
(2)把S＝320代入Q＝50log2，得Q＝250.
所以當森林面積為320個單位時，它能凈化的空氣質量為250個單位．
針對訓練
18.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．
(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式；
(2)如果業務員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？
【答案】
【詳解】解析：(1)由題意知y＝
(2)由題意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的銷售利潤是34萬元．
題型19：對數函數的圖像和性質
例19：　(1)函數y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________．
(2)如圖所示的曲線是對數函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為________．
【答案】(1)(0，－2)　(2)b>a>1>d>c
【詳解】解析：(1)因為函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，則令x＋1＝1得x＝0，
此時y＝loga(x＋1)－2＝－2，
所以函數y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(0，－2)．
(2)由圖可知函數y＝logax，y＝logbx的底數a>1，b>1，函數y＝logcx，y＝logdx的底數0過點(0,1)作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為c，d，a，b，顯然b>a>1>d>c.
針對訓練
19.(1)如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
（2）若函數y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(3,2)，則實數b，c的值分別為________．
【答案】（1）0＜b＜a＜1（2）b＝－2，c＝2
【詳解】解析：（1）作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點的橫坐標分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.
（2）∵函數的圖象恒過定點(3,2)，∴將(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.
又當a＞0，且a≠1時，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
題型20：比較對數值的大小
例20：(1)設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　 B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)(全國丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，則(　　)
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】(1)D　(2)B
【詳解】解析：(1)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，
∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，∴＜a＜1，0＜b＜，c＞1，
∴c＞a＞b.故選D
(2)　法一：因為0＜c＜1，所以y＝logcx在(0，＋∞)上單調遞減，又0＜b＜a，所以logca＜logcb.
法二：取a＝4，b＝2，c＝，則log4＝－＞log2，排除A；4＝2＞2，排除C；4＜2，排除D.故選B
技巧：比較對數值大小的方法
比較對數式的大小，主要依據對數函數的單調性．
(1)若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行比較．
(2)若底數為同一字母，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論．
(3)若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底數后，再進行比較，也可以利用順時針方向底數增大畫出函數的圖象，再進行比較．
(4)若底數與真數都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．
針對訓練
20.(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，則下列結論正確的是(　　 )
A．bC．c(2)下列不等式成立的是(其中a>0，且a≠1)(　　 )
A．loga5.1log2.2
C．log1.1(a＋1)【答案】（1）D（2）B
【詳解】解析：(1)因為函數y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數，所以a＝log23＝log49>log46>1，又log32<1，所以b(2)對于選項A，因為a和1大小的關系不確定，無法確定對數函數的單調性，故A不成立；對于選項B，因為以為底的對數函數是減函數，所以成立；對于選項C，因為以1.1為底的對數函數是增函數，所以不成立；對于選項D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故選B.
題型21：對數函數的綜合問題
例21：已知函數f(x)＝loga(3－ax)，
(1)當x∈[0,2]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍．
(2)是否存在實數a，使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．
【答案】
【詳解】解析：(1)由題設，3－ax>0對x∈[0,2]恒成立，且a>0，a≠1.
設g(x)＝3－ax，則g(x)在[0,2]上為減函數，
∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，∴a<.
∴a的取值范圍是(0,1)∪.
(2)假設存在這樣的實數a，則由題設知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，∴a＝.
此時f(x)＝log.
但x＝2時，f(x)＝log0無意義．
故這樣的實數a不存在．
技巧：形如f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的函數的單調區間的求法：
(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函數f(x)的定義域)．
(2)當底數a＞1時，在g(x)＞0這一前提下，g(x)的單調增區間是f(x)的單調增區間；g(x)的單調減區間是f(x)的單調減區間．
(3)當底數0＜a＜1時，在g(x)＞0這一前提下，g(x)的單調增區間是f(x)的單調減區間，g(x)的單調減區間是f(x)的單調增區間．　　
針對訓練
21.(1)下列函數中，既是單調函數，又是奇函數的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝3|x|
C．y＝log3x D．y＝log23x
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定義域和值域；
②判斷并證明f(x)的單調性．
【答案】（1）D（2）看解析
【詳解】解析：(1)y＝x－1在定義域內不是單調函數；y＝3|x|為偶函數；y＝log3x既不是奇函數也不是偶函數，故A，B，C均不正確．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定義域為R，∴函數y＝log23x為奇函數．
又∵y＝log23x在(－∞，＋∞)上為增函數，
∴選D.
(2)①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1.
故f(x)的定義域為(－∞，1)．
由0故函數f(x)的值域為(－∞，1)．
②f(x)在(－∞，1)上為減函數，證明如下：
任取1>x1>x2，
又∵a>1，
∴ax1>ax2，
∴a－ax1∴loga(a－ax1)即f(x1)故f(x)在(－∞，1)上為減函數．
題型22：函數模型的選擇
例22：某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
【答案】
【詳解】解析：作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．
針對訓練
22.政府氣候變化專業委員會(I PCC)提供的一項報告指出：使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據測，1994年，1995年，1996年大氣中的CO2濃度分別比1993年增加了1個可比單位，3個可比單位，6個可比單位．若用一個函數模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數y與年份增加數x的關系，模擬函數可選用二次函數或函數y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數)，且又知1998年大氣中的CO2濃度比1989年增加了16個可比單位，請問用以上哪個函數作模擬函數較好？
【答案】
【詳解】解析：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模擬函數，則依題意得： ∴f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模擬函數，
則 ∴g(x)＝·()x－3.
利用f(x)，g(x)對1994年CO2濃度作估算，則其數值分別為：f(5)＝15可比單位，g(5)＝17.25可比單位，
∵|f(5)－16|<|g(5)－16|，
故f(x)＝x2＋x作模擬函數與1998年的實際數據較為接近，用f(x)＝x2＋x作模擬函數較好．
題型23：求函數的零點或判斷零點的個數
例23：（1）求函數f(x)＝x3－7x＋6的零點．
（2）探求函數f(x)＝ax－x－a零點的個數
【答案】D
【詳解】解析：（1）令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴x3－x－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函數f(x)＝x3－7x＋6的零點是1,2，－3.
（2）作y＝ax及y＝x＋a的圖象，當01時，圖象如②所示．
由圖可知：當0當a>1時，兩圖象有2個交點，即原函數有2個零點．
針對訓練
23.（1）已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A.，0　　　 　B．－2,0 C. D．0
（2）函數f(x)＝ln x－的零點的個數是(　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）若函數f(x)＝－2a有兩個零點，則實數a的取值范圍是(　　 )
A. B．(0,1) C. D．(1，＋∞)
【答案】（1）D（2）C（3）
【詳解】解析：（1）當x≤1時，令2x－1＝0，得x＝0；當x＞1時，令1＋log2x＝0，得x＝，此時無解．綜上所述，函數f(x)的零點為0.故選D.
（2）如圖，畫出y＝ln x與y＝的圖象，由圖知y＝ln x與y＝(x>0，且x≠1)的圖象有兩個交點．故函數f(x)＝ln x－的零點有2個．
（3）由題意可得f(x)＝－2a＝0，即＝2a，
函數f(x)＝－2a有兩個零點，
即函數y＝與y＝2a的圖象有兩個交點，
作出圖象，如圖所示：則0＜2a＜1，即0＜a＜.故選A.
題型24：判斷函數的零點、方程的根所在的區間
例24：(1)函數y＝2x＋x的零點所在的區間是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若方程log3x＋x＝3的解所在的區間是(k，k＋1)且k∈Z，則k＝________.
【答案】（1）B（2）2
【詳解】解析：(1)記f(x)＝2x＋x，則f(－2)＝2－2＋(－2)＝－<0，f(－1)＝2－1＋(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，所以零點所在的區間為(－1,0)．
(2)令f(x)＝log3x＋x－3，
則f(2)＝log32－1＜0，
f(3)＝1＞0，由零點存在性定理得f(2)·f(3)＜0，
∴零點所在區間為(2,3)，∴k＝2.
技巧：確定函數f(x)零點所在區間的常用方法
解方程法 當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上
零點存 在定理 首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點
數形結合法 通過畫函數圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷
針對訓練
24.（1）函數f(x)＝2x＋log2x－3的零點所在區間為 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
（2）若函數f(x)＝x－x＋a的零點在區間(1，＋∞)上，則實數a的取值范圍是________．
【答案】（1）B（2）
【詳解】解析：（1）由題意，可得函數在定義域上為增函數，f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，
所以f(1)f(2)＜0，根據零點存在定理，f(x)的零點所在區間為(1,2)．故選B.
（2）易知函數f(x)＝x－x＋a在定義域上單調遞增，
又∵函數f(x)＝x－x＋a的零點在區間(1，＋∞)上，
∴f(1)＝＋a＜0，∴a＜－.
題型25：二次函數零點分布問題
例25：已知二次函數f(x)＝x2－2ax＋4，分別求出下列條件成立的情況下，實數a的取值范圍：
(1)兩個零點均大于1；
(2)一個零點大于1，一個零點小于1；
(3)一個零點在(0,1)內，另一個零點在(6,8)內．
【答案】
【詳解】解析：(1)由已知并結合二次函數的圖象，得
解得2≤a＜，故實數a的取值范圍是.
(2)由已知并結合二次函數的圖象得f(1)＝5－2a＜0，
解得a＞，因此實數a的取值范圍是.
(3)由已知并結合二次函數的圖象與零點存在定理，
得解得＜a＜，
因此實數a的取值范圍是.
針對訓練
25.方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有兩個實根x1，x2，且滿足0＜x1＜1＜x2＜4，則m的取值范圍是(　　)
A. B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. D．
【答案】A
【詳解】解析：設f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，由題意可得，
即解得－＜m＜－，故選A.
題型26：指數函數模型
例26：一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變為.為保護生態環境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a.
(1)求p%的值；
(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多還能砍伐多少年？
【答案】
【詳解】(1)由題意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)設經過m年森林面積為a，則a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，
解得m＝5.故到今年為止，已砍伐了5年．
(3)設從今年開始，n年后森林面積為a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，故今后最多還能砍伐15年．
針對訓練
26.據報道，青海湖的湖水在最近50年內減少了10%，如果按此規律，設2000年的湖水量為m，從2000年起，過x年后湖水量y與x的函數關系式為________．
【答案】
【詳解】解析：設每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9，即x年后的湖水量為0.9·m.
題型27：對數函數模型
例27：2018年12月8日，我國的“長征”三號火箭成功發射了嫦娥四號探測器，這標志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步．火箭的起飛質量M是箭體(包括搭載的飛行器)的質量m(噸)和燃料質量x(噸)之和．在不考慮空氣阻力的條件下，假設火箭的最大速度y(km/s)關于x(噸)的函數關系式為y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．當燃料質量為(－1)m噸時，該火箭的最大速度為4 km/s.
(1)求“長征”四號系列火箭的最大速度y與燃料質量x之間的函數關系式；
(2)已知“長征”四號火箭的起飛質量M是479.8噸，則應裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s？(結果精確到0.1噸，e取2.718)
【答案】
【詳解】(1)由題意得
4＝k{ln[m＋(－1)m]－ln(m)}＋4ln 2，
解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
則m＝479.8－x，又y＝8，
則8＝8ln，解得x≈303.3.
故應裝載大約303.3噸燃料，才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s.
針對訓練
27.有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產卵，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數v＝log3－lg x0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，x0代表測量過程中該類候鳥每分鐘的耗氧量偏差
(參考數據：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．
(1)當x0＝2，候鳥每分鐘的耗氧量為8 100個單位時，候鳥的飛行速度是多少？
(2)當x0＝5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少單位？
(3)若雄鳥的飛行速度為2.5 km/min，同類雌鳥的飛行速度為1.5 km/min，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？
【答案】
【詳解】解析：(1)由題意，x0＝2，x＝8 100，
得v＝log3－lg 2≈1.7，
故此時候鳥的飛行速度為1.7 km/min.
(2)由題意得，當候鳥停下休息時，它的速度是0，
可得0＝log3－lg 5，
即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得x≈466，
故候鳥停下休息時每分鐘的耗氧量約為466個單位．
(3)設雄鳥的耗氧量為x1，雌鳥的耗氧量為x2，
由題意得，
兩式相減可得1＝log3，解得＝9，故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍．

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