資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
七年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十二 一元一次方程的應(yīng)用 （一）
方法大串講
一元一次方程應(yīng)用一般步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程；（4）解方程；（5）驗(yàn)算；（6）作答。
弄清題目中“幾倍、多、少、差、幾分之幾”等關(guān)鍵詞體現(xiàn)的等量關(guān)系。
解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵：
一元一次方程應(yīng)用題的解題關(guān)鍵就是：先找出等量關(guān)系，根據(jù)基本量設(shè)未知數(shù)。一般是問(wèn)什么設(shè)什么，但是一些特殊的題目為了使方程簡(jiǎn)便有時(shí)會(huì)設(shè)一些中間量為未知數(shù)。解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。
找等量關(guān)系：①?gòu)念}目中的關(guān)鍵語(yǔ)句入手尋找等量關(guān)系；②利用某些基本公式尋找等量關(guān)系；③從變化的關(guān)系中尋找不變的量，進(jìn)而找到等量關(guān)系。
不管是什么問(wèn)題，關(guān)鍵是要了解各個(gè)具體問(wèn)題所具有的基本量，并了解各個(gè)問(wèn)題所本身隱含的等量關(guān)系，結(jié)合具體的問(wèn)題，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
類型一、行程問(wèn)題
行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。
等量關(guān)系為：①路程=速度×?xí)r間；
②速度=路程/時(shí)間；
③時(shí)間=路程/速度
1.航行問(wèn)題
①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；
②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。
由此可得到航行問(wèn)題中一個(gè)重要等量關(guān)系：
順?biāo)L(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）＝逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）＝靜水（無(wú)風(fēng)）速度。
【例1-1】一架飛機(jī)從A地到B地順風(fēng)航行需要2.8小時(shí)，沿相同的路線返回時(shí)需要3.2小時(shí)，若航行時(shí)風(fēng)的速度為28千米/時(shí)，求飛機(jī)無(wú)風(fēng)航行時(shí)的速度？
2.相遇問(wèn)題
A走的路程+B走的路程=兩地之間的距離
【例1-2】甲乙兩人同時(shí)從相距3000米的兩地相向而行，甲每分鐘行70米，乙每分鐘行80米．一只小狗與甲一起出發(fā)，每分鐘跑100米，狗與乙相遇后立即掉頭向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反復(fù)直到兩人相遇，這只狗跑了多少米？
3.追擊問(wèn)題
同時(shí)不同地出發(fā)：A走的路程-B走的路程=被追趕的路程（A、B出發(fā)時(shí)相距的距離）
【例1-3】甲、乙兩人相距40km，甲先出發(fā)1.5h后乙再出發(fā)，甲在后，乙在前，兩人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，問(wèn)甲出發(fā)幾小時(shí)后追上乙？
4.環(huán)形問(wèn)題
（1）同向行駛，如果A速度較快，則A走的路程-B走的路程=n環(huán)/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行駛，A走的路程+B走的路程=n環(huán)/圈（n表示第n次相遇）
【例1-4】甲、乙二人繞學(xué)校操場(chǎng)的環(huán)形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒，兩人同時(shí)同地同向跑，則第一次相遇要經(jīng)過(guò)　 　秒．
針對(duì)練習(xí)1
1．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海，大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1
C． D．
2．我國(guó)古代有很多經(jīng)典的數(shù)學(xué)題，其中有一道題目是：良馬日行二百里，駑馬日行一百二十里，駑馬先行十日，問(wèn)良馬幾何追及之．意思是：跑得快的馬每天走200里，跑得慢的馬每天走120里，慢馬先走10天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意可列方程為（　　）
A．120+10x＝200x B．120+200x＝120×10
C．200x＝120x+120×10 D．200x＝120x+200×10
3 .湖的周圍有一條環(huán)行的公共汽車線路．從路上一點(diǎn)A乘車向右繞湖一周時(shí)，從A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11時(shí)整，汽車甲從A出發(fā)向右開，同時(shí)汽車乙從A地出發(fā)向左開．途中兩車在11時(shí)28分相遇，然后甲在12時(shí)整，乙在11時(shí)48分，分別回到A地．公共汽車走平路、上坡路和下坡路的速度分別為20公里/小時(shí)、15公里/小時(shí)和30公里/小時(shí)，不考慮途中停車的時(shí)間．問(wèn)：
（1）相遇處在哪一段路上：AB、BC還是CA，說(shuō)明理由；
（2）求平路AB的長(zhǎng)．
4．甲、乙兩站相距240千米，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90千米，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行150千米．
（1）若慢車先開出1小時(shí)，快車再開，兩車相向而行，快車開出 　　小時(shí)后兩車相遇．
（2）若兩車同時(shí)同向開出，快車再慢車后面，快車開出 　4　小時(shí)后兩車相遇．
（3）若兩車同時(shí)開出，相向而行，慢車幾小時(shí)后兩車相距150千米？（第1問(wèn)和第2問(wèn)直接寫答案，第3問(wèn)寫出解答過(guò)程）
5．一列高鐵列車和一列動(dòng)車都從A市駛向B市，高鐵列車用了5h，動(dòng)車用了7.5h，已知高鐵列車的速度是動(dòng)車的2倍少100km/h，求高鐵列車的速度和A、B兩市之間的路程．
6 .2022年11月30日，陜西省交通廳召開新聞發(fā)布會(huì)，西安至延安高速鐵路開工建設(shè)，標(biāo)志著西延高鐵全線開工．該高鐵開通后，西安至延安的運(yùn)行時(shí)間由目前的2.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了約30千米．已知高鐵的平均速度比目前列車的平均速度每小時(shí)快180千米，求高鐵的平均速度．
7 .兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)掖嫠魉俣仁莂 km/h．
（1）若兩船在靜水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（2）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個(gè)碼頭間往返．其中去程的時(shí)間是回程的時(shí)間3倍，則小快艇在靜水中的速度m與水流速度a的關(guān)系是 　 ．
8．以下是兩張不同類型火車（“Dxxx次”表示動(dòng)車，“Gxxx次”表示高鐵）的車票：
（1）根據(jù)車票中的信息填空：該列動(dòng)車和高鐵是 　同　（填“相”或“同”）向而行，該列動(dòng)車比高鐵發(fā)車 　 　（填“早”或“晚”）．
（2）已知該列動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，兩列火車的長(zhǎng)度不計(jì)，高鐵比動(dòng)車早到1h，求A，B兩地之間的距離．
（3）在（2）的條件下，求高鐵出發(fā)多少小時(shí)后兩車相距150km．
類型二、工程問(wèn)題
1.工程問(wèn)題的基本量有：工作量、工作效率、工作時(shí)間。關(guān)系式為：工作量=工作效率×工作時(shí)間；
工作時(shí)間=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作時(shí)間。
2 .常見的相等關(guān)系有兩種：
①如果以工作量作相等關(guān)系，A工作量+B工作量 =總工作量。
②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，對(duì)于同一工作：A工作時(shí)間-B工作時(shí)間=時(shí)間差
一般情況下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
工作總量不明
工程問(wèn)題中，在工作總量不明的情況下一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為1/t。
【例2-1】某廠接到一所中學(xué)的冬季校服訂做任務(wù)，計(jì)劃用A、B兩臺(tái)大型設(shè)備進(jìn)行加工.如果單獨(dú)用A型設(shè)備需要90天做完，如果單獨(dú)用B型設(shè)備需要60天做完，為了同學(xué)們能及時(shí)領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)趕制.(1).兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需多少天才能完成 (2).若兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工30天后，B型設(shè)備出了故障，暫時(shí)不能工作，此時(shí)離發(fā)冬季校服時(shí)間還有13天.如果由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，會(huì)不會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間 請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
工作總量確定
【例2-2】某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件．若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件．(1).求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)
(2).為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí)，引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的 個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%．按此測(cè)算，恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，求原計(jì)劃安排的工人人數(shù)．
針對(duì)練習(xí)2
1 .由甲、乙兩個(gè)工程公司共同修建一條高速公路.若由甲公司單獨(dú)施工，則需要3年完成；若由乙公司單獨(dú)施工，則需要2年完成.在實(shí)際施工中，甲公司單獨(dú)施工半年后，求乙公司才加入施工.乙公司施工后多長(zhǎng)時(shí)間能建成這條公路
2 .一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做40天可以完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)做100天可以完成，若乙工程隊(duì)先做30天后，剩下的再由甲、乙兩工程隊(duì)合作完成.(1).求甲、乙兩工程隊(duì)合作的天數(shù).(2).若將該工程分成兩部分，甲做其中的一部分，乙做另一部分，共用了79天，問(wèn)甲、乙各做了多少天
3 .一項(xiàng)工程，由一個(gè)人做需要80個(gè)小時(shí)完成.計(jì)劃先由一部分人做2個(gè)小時(shí)，再增加5人做8個(gè)小時(shí)，共完成了這項(xiàng)工程的.請(qǐng)問(wèn)先安排多少人做2個(gè)小時(shí) (假設(shè)個(gè)人的工作效率相同)
4 .要加工200個(gè)零件，甲先單獨(dú)加工了5小時(shí)，然后又與乙一起加工了4小時(shí)完成了任務(wù)．已知甲每小時(shí)比乙多加工2個(gè)零件，問(wèn)甲、乙二人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？
類型三、配套問(wèn)題
將配套問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例問(wèn)題解決。
比例的性質(zhì)：若，則
【例3-1】某口罩廠有50名工人，每人每天可以生產(chǎn)500個(gè)口罩面或1000個(gè)口罩耳繩，一個(gè)口罩面需要配兩個(gè)耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設(shè)安排名工人生產(chǎn)口罩面，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】石城是“中國(guó)白蓮之鄉(xiāng)”，某食品加工廠對(duì)白蓮進(jìn)行深加工做成即食罐頭，需要用白鐵皮做罐頭盒．已知每張白鐵皮可制盒身25個(gè)或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套．
(1)若用5張白鐵皮制作盒底，需要用______張白鐵皮制作盒身，才能正好做成罐頭盒，此時(shí)可以做成______個(gè)罐頭盒．
(2)現(xiàn)在有36張鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩恚嗌購(gòu)堉坪械祝墒购猩砼c盒底正好配套？
針對(duì)練習(xí)3
1 .某防護(hù)服廠有54名工人，每人每天可加工防護(hù)服8件或防護(hù)面罩10個(gè)，已知一件防護(hù)服配一個(gè)防護(hù)面罩．

(1)為了使每天生產(chǎn)的防護(hù)服與防護(hù)面罩正好配套，需要安排多少人生產(chǎn)防護(hù)服？
(2)由于有新疫情爆發(fā)，該廠接到任務(wù)，要在10天內(nèi)加工3000件防護(hù)服和3000個(gè)防護(hù)面罩，按照（1）中的安排，在不增加工人工作量的情況下，該廠是否能按時(shí)完成任務(wù)？為什么？
2 .做自己健康第一責(zé)任人，抗擊疫情，人人有責(zé)．某檢測(cè)儀器成了抗疫必備器械，一套檢測(cè)儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成，用鋼材可以做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件．
(1)現(xiàn)在要用鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，可以恰好配成這種儀器多少套？
(2)現(xiàn)在某公司要租賃這批儀器a套，每天的付費(fèi)方案有兩種選擇：
方案一：當(dāng)a不超過(guò)60套時(shí)，每套支付租金100元；當(dāng)a超過(guò)60套時(shí)，超過(guò)的套數(shù)每套支付租金打八折；
方案二：不論租賃多少套，每套支付租金90元．
當(dāng)a超過(guò)60套時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
①若按照方案一租賃，公司每天需支付租金________元（用含a代數(shù)式表示）；若按照方案二租賃，公司每天需支付租金________元（用含a代數(shù)式表示）．
②假如你是公司負(fù)責(zé)人，請(qǐng)你謀劃一下，選擇哪種租賃方案更合算？并說(shuō)明理由．
3 .某車間有名工人，每人每天可以生產(chǎn)個(gè)螺釘或個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，怎樣安排工人生產(chǎn)螺釘？
4 .新型冠狀肺炎疫情蔓延期間，口罩成了人們生活中必不可少的物品．某口罩廠有40名工人，每人每天可以生產(chǎn)1000個(gè)口罩面或1200根耳繩．一個(gè)口罩面需要配兩根耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩與耳繩剛好配套，應(yīng)該安排多少名工人生產(chǎn)口罩面，安排多少工人生產(chǎn)耳繩？該口罩廠每天可生產(chǎn)多少個(gè)口罩？
類型四、銷售盈虧問(wèn)題
1 .價(jià)格費(fèi)用問(wèn)題
費(fèi)用問(wèn)題中的基本量：費(fèi)用（總價(jià)）、單價(jià)、數(shù)量
基本關(guān)系式有
費(fèi)用（總價(jià)）=單價(jià)×數(shù)量
分段計(jì)費(fèi)：總費(fèi)用=第一階段單價(jià)×數(shù)量+第二階段單價(jià)×數(shù)量+……
【例4-1】某市收取水費(fèi)按以下規(guī)定：若每月每戶用水不超過(guò)20立方米，則每立方米按1.2元收費(fèi)；若超過(guò)20立方米，則超過(guò)的部分每立方米按2元收費(fèi)，如果某戶居民某月所交水費(fèi)的平均水價(jià)為每立方米1.5元，那么這一個(gè)月用了多少水？請(qǐng)你設(shè)未知數(shù)并列出方程．
【例4-2】某人購(gòu)買了黑白兩種顏色的文化衫共140件，進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，每件文化衫的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表：
類別 批發(fā)價(jià)（元） 零售價(jià)（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
若文化衫全部售出共獲利1860元，則黑白兩種文化衫各購(gòu)買了多少件？（只列方程）
針對(duì)練習(xí)4-1
1 .為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用階梯價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，價(jià)目表如下圖．
價(jià)目表
每月用水量 單價(jià)
不超過(guò)的部分 3元
超過(guò)不超過(guò)的部分 4元
超過(guò)的部分 6元
注：水費(fèi)按月結(jié)算
(1)若某戶居民1月份用水，則水費(fèi)為_________元．
(2)若某戶居民某月用水，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示水費(fèi)．
(3)若某戶居民3，4月份共用水，且4月份用水量超過(guò)，3月份用水量超過(guò)，共交水費(fèi)94元，則該戶居民3、4月份各用水多少m
2 .某地今年夏季降雨量大幅下降，水電發(fā)電量嚴(yán)重受限，再加上高溫天氣持續(xù)，居民用電量居高不下，電力供需形勢(shì)十分嚴(yán)峻．已知該地為節(jié)約用電，利用價(jià)格調(diào)控的手段，規(guī)定了居民生活用電的階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
價(jià)目表
每月用電量 價(jià)格
不超過(guò)180千瓦時(shí)的部分 0.5元/千瓦時(shí)
超過(guò)180千瓦時(shí)，但不超過(guò)280千瓦時(shí)的部分 0.6元/千瓦時(shí)
超過(guò)280千瓦時(shí)的部分 0.8元/千瓦時(shí)
(1)若小明家8月份用電200千瓦時(shí)，則應(yīng)繳多少電費(fèi)；
(2)若小明家8月份用電a千瓦時(shí)（其中），則應(yīng)繳多少電費(fèi)；（用含a的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）
(3)若小明家8月份繳電費(fèi)326元，求小明家8月份用電多少千瓦時(shí)．
3 .我市某水果批發(fā)市場(chǎng)蘋果的價(jià)格如下表：
購(gòu)買蘋果（千克） 不超過(guò)20千克 20千克以上但不超過(guò)40千克 40千克以上
每千克的價(jià)格 6元 5元 4元
（1）李明分兩次共購(gòu)買蘋果40千克，第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，共付216元，若設(shè)第一次購(gòu)買x千克，用x的代數(shù)式表示第二次購(gòu)買蘋果的數(shù)量為　 　千克．
（2）根據(jù)（1）的題意，列出正確的方程是　 　．
A.6x+4（40﹣x）＝216 B.5x+4（40﹣x）＝216 C.6x+5（40﹣x）＝216 D.5x+6（40﹣x）＝216
（3）張強(qiáng)分兩次共購(gòu)買蘋果100千克，第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，且兩次購(gòu)買每千克蘋果的單價(jià)不相同，共付出432元，請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次，第二次分別購(gòu)買蘋果多少千克？（列方程解應(yīng)用題）
4 .為鼓勵(lì)節(jié)約能源，某電力公司特別出臺(tái)了新的用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：
每戶每月用電量 不超過(guò)210度 超過(guò)210度（超出部分的收費(fèi)）
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 每度元 每度元
(1)小林家4月份用電180度，則小林家4月份應(yīng)付的電費(fèi)為：　　；
(2)小林家6月份用電度，請(qǐng)你用x表示小林家6月份應(yīng)付的電費(fèi)：　　；
(3)小林家11月份交付電費(fèi)181元，請(qǐng)利用方程的知識(shí)，求出小林家11月份的用電量．
2 .銷售利潤(rùn)問(wèn)題
利潤(rùn)問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷售價(jià)（收入）、利潤(rùn)、利潤(rùn)率。
基本關(guān)系式有：
利潤(rùn)＝銷售價(jià)（收入）-成本（進(jìn)價(jià)）；
成本（進(jìn)價(jià)）＝銷售價(jià)（收入）-利潤(rùn)；
利潤(rùn)率＝；
利潤(rùn)＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率。
在有折扣的銷售問(wèn)題中，實(shí)際銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率。打折問(wèn)題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。
打折：n折即表示標(biāo)價(jià)的n/10，如7折為70%
【例4-3】用方程描述下列實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系：
某商場(chǎng)把進(jìn)價(jià)為1980元的某商品按標(biāo)價(jià)的8折出售，仍獲利198元．求該商品的標(biāo)價(jià)．
【例4-4】惠民商場(chǎng)批購(gòu)了一批服裝，價(jià)格為200元/件，商場(chǎng)將服裝價(jià)格提高50%作為售價(jià)，后因銷售不暢，商場(chǎng)兩次將該服裝打折，且每次折數(shù)相同，打折后該服裝每件仍獲利43元，則該服裝每次打了幾折？
針對(duì)練習(xí)4-2
1．商場(chǎng)銷售某種商品，若按原價(jià)銷售每天可賣50件，元旦期間，每件商品降價(jià)20元，結(jié)果銷售量為60件，且每天銷售額相同，求該商品原價(jià)為多少元？
2．“五一”期間，某電器城按成本價(jià)提高30%后標(biāo)價(jià)，再打8折（標(biāo)價(jià)的80%）銷售，售價(jià)為2080元，該電器的成本價(jià)為多少元？（只列方程）
3．列方程解應(yīng)用題：一件襯衫先按進(jìn)價(jià)加價(jià)60元標(biāo)價(jià)，再以8折出售，仍可獲利24元，這件襯衫的進(jìn)價(jià)是多少錢？
審題：A設(shè)：　______________________　．
B：
進(jìn)價(jià) 標(biāo)價(jià) 折數(shù) 售價(jià) 利潤(rùn)
　______ 　______　 　 折　 ________ 　 　 ________ 　 　
C：列方程　_____________　．
4．一件襯衫先按成本加價(jià)60元標(biāo)價(jià)，再以8折出售，仍可獲利24元，這件襯衫的成本是多少錢？設(shè)襯衫的成本為x元．
（1）填寫下表：（用含有x的代數(shù)式表示）
成本 標(biāo)價(jià) 售價(jià)
x 　x+60　 　0.8x+48　
（2）根據(jù)相等關(guān)系列出方程：　 　．
3 .存貸問(wèn)題
存貸問(wèn)題中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其關(guān)系式有：
①利息＝本金×利率×期數(shù)；
②本息和（本利）＝本金+利息
【例4-5】?jī)?chǔ)戶到銀行存款，一段時(shí)間后，銀行要向儲(chǔ)戶付存款利息．
（1）設(shè)銀行一年期的存款利率為x，則1000元存款一年后應(yīng)得的利息是多少；
（2）若小王將20000元人民幣存入銀行，一年后實(shí)際取得的人民幣為20360元，你能算出銀行一年期的存款利率嗎？（只列方程，不求解）
【例4-6】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義列出方程：
某商場(chǎng)對(duì)超過(guò)15000元的物品提供分期付款服務(wù)，顧客可以先付5000元，以后每月付2000元，李叔叔想用分期付款的形式購(gòu)買價(jià)值17000元的電視機(jī)，他需要用多長(zhǎng)時(shí)間才能付清全部貨款？
針對(duì)練習(xí)4-3
1．本人三年前存了一份3000元的教育儲(chǔ)蓄，今年到期時(shí)的本利和為3243元，請(qǐng)你幫我算一算這種儲(chǔ)蓄的年利率．若年利率為x%，則可列方程 　 　．（年存儲(chǔ)利息＝本金×年利率×年數(shù)，不計(jì)利息稅）
2．備小穎5年后上大學(xué)的學(xué)費(fèi)10000元，她的父母現(xiàn)在想為她做教育儲(chǔ)蓄．他們考慮從下面三種儲(chǔ)蓄方式中選擇一種（附：中國(guó)銀行2016年10月最新存款年利率表）
（1）直接存一個(gè)5年期
（2）先存一個(gè)3年期，3年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期；
（3）先存一個(gè)2年期，2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個(gè)3年期．
請(qǐng)按照提供的分析思路，完成以下填空：
解：設(shè)開始存入的本金為x元．
（1）如果按照第一種儲(chǔ)蓄方式，5年后本息和要達(dá)到10000元，則可列方程　 　．
（2）如果按照第二種儲(chǔ)蓄方式，3年后本息和是　 　．再將此本息和轉(zhuǎn)存2年后達(dá)到10000元，可列方程為　 　．
（3）如果按照第三種儲(chǔ)蓄方式，2年后的本息和是　 　，
再將此本息和轉(zhuǎn)存3年后要達(dá)到10000元，可列方程為　 　．
（4）根據(jù)以上的分析，如果計(jì)算出來(lái)哪種方式開始存入的資金　少　（填多或少），哪種方式更合算．
整存整取定期存款 年利率（%）
一年 1.75
二年 2.25
三年 2.75
五年 2.75
3．某人把若干元按三年期的定期儲(chǔ)蓄存入銀行，假設(shè)年利率為，到期支取扣除時(shí)所得稅實(shí)得利息為7200元（銀行存款所得稅的稅率為，所得稅金額所得利息，求存入銀行的本金是多少？（用一元一次方程解答）
4．A公司和B公司是分別擁有96名和100名工人的小型企業(yè)．疫情期間，為了緩解下崗人的再就業(yè)問(wèn)題，兩企業(yè)2021年1月都吸收了部分下崗人員并向銀行貸款：A公司吸收了12名下崗人員，得到的貸款額和兩年的補(bǔ)貼費(fèi)共萬(wàn)元；B公司也吸收了12名下崗人員，但因貸款少，兩年的補(bǔ)貼費(fèi)比A公司的補(bǔ)貼費(fèi)少．國(guó)家對(duì)吸收下崗人員的企業(yè)按季度（一年四個(gè)季度）給予補(bǔ)貼，每季度補(bǔ)貼費(fèi)用=×貸款額×．
(1)2021年1月A公司得到的貸款是多少？
(2)2021年1月B公司得到的貸款是多少？
(3)銀行規(guī)定：企業(yè)還貸款，應(yīng)每年一還，還本金和利息，若第一年沒(méi)還，則第一年的本金和利息作為第二年的貸款本金計(jì)算，以此類推，假設(shè)兩公司第一年都沒(méi)有還貸款的本金和利息，而是在兩年后即2023年1月才一次性還清本金和利息，B公司還貸款的本金和利息比A公司少萬(wàn)元，求企業(yè)貸款年利率．（利息=本金×年利率）
七年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十二 一元一次方程的應(yīng)用 （一）
方法大串講
一元一次方程應(yīng)用一般步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程；（4）解方程；（5）驗(yàn)算；（6）作答。
弄清題目中“幾倍、多、少、差、幾分之幾”等關(guān)鍵詞體現(xiàn)的等量關(guān)系。
解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵：
一元一次方程應(yīng)用題的解題關(guān)鍵就是：先找出等量關(guān)系，根據(jù)基本量設(shè)未知數(shù)。一般是問(wèn)什么設(shè)什么，但是一些特殊的題目為了使方程簡(jiǎn)便有時(shí)會(huì)設(shè)一些中間量為未知數(shù)。解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。
找等量關(guān)系：①?gòu)念}目中的關(guān)鍵語(yǔ)句入手尋找等量關(guān)系；②利用某些基本公式尋找等量關(guān)系；③從變化的關(guān)系中尋找不變的量，進(jìn)而找到等量關(guān)系。
不管是什么問(wèn)題，關(guān)鍵是要了解各個(gè)具體問(wèn)題所具有的基本量，并了解各個(gè)問(wèn)題所本身隱含的等量關(guān)系，結(jié)合具體的問(wèn)題，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
類型一、行程問(wèn)題
行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。
等量關(guān)系為：①路程=速度×?xí)r間；
②速度=路程/時(shí)間；
③時(shí)間=路程/速度
1.航行問(wèn)題
①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；
②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。
由此可得到航行問(wèn)題中一個(gè)重要等量關(guān)系：
順?biāo)L(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）＝逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）＝靜水（無(wú)風(fēng)）速度。
【例1-1】一架飛機(jī)從A地到B地順風(fēng)航行需要2.8小時(shí)，沿相同的路線返回時(shí)需要3.2小時(shí)，若航行時(shí)風(fēng)的速度為28千米/時(shí)，求飛機(jī)無(wú)風(fēng)航行時(shí)的速度？
【分析】根據(jù)順風(fēng)速度＝無(wú)風(fēng)速度+風(fēng)速、逆風(fēng)速度＝無(wú)風(fēng)速度﹣風(fēng)速來(lái)列一元一次方程解答．
【解答】解：設(shè)飛機(jī)無(wú)風(fēng)航行時(shí)的速度x千米/時(shí)．
2.8（x+28）＝3.2（x﹣28），
2.8x+78.4＝3.2x﹣89.6，
0.4x＝168，
x＝420，
答：飛機(jī)無(wú)風(fēng)航行時(shí)的速度420千米/時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵找到題中的等量關(guān)系來(lái)解答．
2.相遇問(wèn)題
A走的路程+B走的路程=兩地之間的距離
【例1-2】甲乙兩人同時(shí)從相距3000米的兩地相向而行，甲每分鐘行70米，乙每分鐘行80米．一只小狗與甲一起出發(fā)，每分鐘跑100米，狗與乙相遇后立即掉頭向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反復(fù)直到兩人相遇，這只狗跑了多少米？
【分析】設(shè)這只狗跑了x分鐘，兩人從出發(fā)到相遇用的時(shí)間與這只狗跑的時(shí)間相同，則兩人行走的距離之和為（70x+80x）米，列方程得70x+80x＝3000，解方程求出x的值，再求出這只狗跑的距離即可．
【解答】解：設(shè)這只狗跑了x分鐘，
根據(jù)題意得70x+80x＝3000，
解得x＝20，
∴100×20＝2000（米），
答：這只狗跑了2000米．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識(shí)與方法，求出這只狗跑的時(shí)間是解題的關(guān)鍵．
3.追擊問(wèn)題
同時(shí)不同地出發(fā)：A走的路程-B走的路程=被追趕的路程（A、B出發(fā)時(shí)相距的距離）
【例1-3】甲、乙兩人相距40km，甲先出發(fā)1.5h后乙再出發(fā)，甲在后，乙在前，兩人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，問(wèn)甲出發(fā)幾小時(shí)后追上乙？
【分析】設(shè)甲出發(fā)x小時(shí)后追上乙，由題意得等量關(guān)系：甲的速度×甲的時(shí)間﹣乙的速度×乙的時(shí)間＝40km，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：設(shè)甲出發(fā)x小時(shí)后追上乙，由題意得：
8x﹣6（x﹣1.5）＝40，
解得x＝15.5，
答：甲出發(fā)15.5小時(shí)后追上乙．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．
4.環(huán)形問(wèn)題
（1）同向行駛，如果A速度較快，則A走的路程-B走的路程=n環(huán)/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行駛，A走的路程+B走的路程=n環(huán)/圈（n表示第n次相遇）
【例1-4】甲、乙二人繞學(xué)校操場(chǎng)的環(huán)形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒，兩人同時(shí)同地同向跑，則第一次相遇要經(jīng)過(guò)　120　秒．
【分析】?jī)扇送蚨邢嘤鰧儆谧芳皢?wèn)題，等量關(guān)系為：甲路程﹣乙路程＝環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng)度，列出方程，即可解答．
【解答】解：設(shè)環(huán)形跑道一圈為a米，x秒后第一次相遇，根據(jù)題意得出：
x＝a，
解得：x＝120．
答：120秒后第一次相遇，
故答案為：120．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，列方程．
針對(duì)練習(xí)1
1．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海，大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1
C． D．
【分析】設(shè)總路程為1，野鴨每天飛，大雁每天飛，當(dāng)相遇的時(shí)候，根據(jù)野鴨的路程+大雁的路程＝總路程即可得出答案．
【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意得：，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找到等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．
2．我國(guó)古代有很多經(jīng)典的數(shù)學(xué)題，其中有一道題目是：良馬日行二百里，駑馬日行一百二十里，駑馬先行十日，問(wèn)良馬幾何追及之．意思是：跑得快的馬每天走200里，跑得慢的馬每天走120里，慢馬先走10天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意可列方程為（　　）
A．120+10x＝200x B．120+200x＝120×10
C．200x＝120x+120×10 D．200x＝120x+200×10
【分析】設(shè)快馬 x 天可追上慢馬，根據(jù)行程相等即可列出一元一次方程，故可求解．
【解答】解：設(shè)快馬 x 天可追上慢馬，
根據(jù)題意可得200x＝120x+120×10，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列方程求解．
3 .湖的周圍有一條環(huán)行的公共汽車線路．從路上一點(diǎn)A乘車向右繞湖一周時(shí)，從A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11時(shí)整，汽車甲從A出發(fā)向右開，同時(shí)汽車乙從A地出發(fā)向左開．途中兩車在11時(shí)28分相遇，然后甲在12時(shí)整，乙在11時(shí)48分，分別回到A地．公共汽車走平路、上坡路和下坡路的速度分別為20公里/小時(shí)、15公里/小時(shí)和30公里/小時(shí)，不考慮途中停車的時(shí)間．問(wèn)：
（1）相遇處在哪一段路上：AB、BC還是CA，說(shuō)明理由；
（2）求平路AB的長(zhǎng)．
【分析】（1）假設(shè)相遇處在AB上，根據(jù)相等長(zhǎng)度的平路上兩車所需時(shí)間應(yīng)該相等推出矛盾，可得相遇處不可能在AB上；假設(shè)相遇處在CA上，求出時(shí)間比，推出與假設(shè)矛盾，可得相遇處不可能在CA上，則相遇處在BC上；
（2）由題意可知時(shí)間差來(lái)自于相同路程的上下坡之分，根據(jù)時(shí)間差和上坡和下坡所需時(shí)間的比求出甲車相遇前上坡段所用時(shí)間，然后可得平路上所用時(shí)間，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）相遇處在BC上；
理由：假設(shè)相遇處在AB上，則甲車前28分鐘都在走平路，乙后20分鐘在走平路，
因?yàn)橄嗟乳L(zhǎng)度的平路上兩車所需時(shí)間應(yīng)該相等，
所以與假設(shè)矛盾，相遇處不可能在AB上；
假設(shè)相遇處在CA上，則乙車前28分鐘在走上坡路，甲車后32分鐘在走下坡路，時(shí)間比為28：32＝7：8，
因?yàn)樯掀滤俣群拖缕滤俣戎葹?5：30＝1：2，
所以相等路程的時(shí)間比為2：1，與假設(shè)矛盾，相遇處不可能在CA上；
所以相遇處在BC上；
（2）由（1）知，兩車相遇在BC上，不妨設(shè)相遇點(diǎn)距離點(diǎn)B的距離為S，
甲車從出發(fā)到相遇，28分鐘內(nèi)走的路程為S平+S上坡，
乙車相遇后，20分鐘內(nèi)走的路程為S平+S下坡，
因?yàn)槠铰飞纤脮r(shí)間相等，
所以時(shí)間差來(lái)自于相同路程的上下坡之分，
因?yàn)槁烦滔嗤瑫r(shí)，上坡和下坡的速度之比為1：2，
所以上坡和下坡所需時(shí)間的比為2：1，
則甲車相遇前上坡段所用時(shí)間為（28﹣20）÷（2﹣1）×2＝16（分鐘），
所以平路上所用時(shí)間為28﹣16＝12（分鐘），
所以平路AB的長(zhǎng)為千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法，有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，掌握路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．甲、乙兩站相距240千米，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90千米，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行150千米．
（1）若慢車先開出1小時(shí)，快車再開，兩車相向而行，快車開出 　　小時(shí)后兩車相遇．
（2）若兩車同時(shí)同向開出，快車再慢車后面，快車開出 　4　小時(shí)后兩車相遇．
（3）若兩車同時(shí)開出，相向而行，慢車幾小時(shí)后兩車相距150千米？（第1問(wèn)和第2問(wèn)直接寫答案，第3問(wèn)寫出解答過(guò)程）
【分析】（1）設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，根據(jù)兩車行駛路程和為240公里列出方程式即可解題；
（2）設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車，根據(jù)快車每小時(shí)比慢車多走（150﹣90）公里即可列出方程式，即可解題；
（3）設(shè)慢車yh后與快車相距150km，列方程240﹣（150+90）y＝150，解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，
則有90+（150+90）x＝240，
解得：x＝．
答：快車開出小時(shí)后兩車相遇；
故答案為：；
（2）設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車，
則有 （150﹣90）x＝240，
解得：x＝4．
答：4小時(shí)后快車追上慢車．
故答案為：4；
（3）設(shè)慢車yh后與快車相距150km，根據(jù)題意得：
240﹣（150+90）y＝150，
解得y＝，
答：慢車小時(shí)后與快車相距150km．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題中根據(jù)每一問(wèn)的速度和路程列出關(guān)于時(shí)間的方程式并求解是解題的關(guān)鍵．
5．一列高鐵列車和一列動(dòng)車都從A市駛向B市，高鐵列車用了5h，動(dòng)車用了7.5h，已知高鐵列車的速度是動(dòng)車的2倍少100km/h，求高鐵列車的速度和A、B兩市之間的路程．
【分析】設(shè)動(dòng)車速度為x km/h，則高鐵列車的速度為（2x﹣100）km/h，根據(jù)A、B兩市之間的路程不變得出方程解答即可．
【解答】解：設(shè)動(dòng)車速度為x km/h，則高鐵列車的速度為（2x﹣100）km/h，
根據(jù)題意可得：7.5x＝5（2x﹣100），
解得：x＝200，
2x﹣100＝300（km/h），
7.5x＝1500（km），
答：高鐵列車的速度為300km/h，A、B兩市之間的路程為1500km．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程解答．
6 .2022年11月30日，陜西省交通廳召開新聞發(fā)布會(huì)，西安至延安高速鐵路開工建設(shè)，標(biāo)志著西延高鐵全線開工．該高鐵開通后，西安至延安的運(yùn)行時(shí)間由目前的2.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了約30千米．已知高鐵的平均速度比目前列車的平均速度每小時(shí)快180千米，求高鐵的平均速度．
【分析】設(shè)高鐵的平均速度為x km/h，則普通列車的平均速度為（x﹣180）km/h，根據(jù)路程＝時(shí)間×速度列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為x km/h，則普通列車的平均速度為（x﹣180）km/h，
由題意，得x+30＝2.5（x﹣180），
解得x＝320．
答：高鐵的平均速度為320km/h．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
7 .兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)掖嫠魉俣仁莂 km/h．
（1）若兩船在靜水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（2）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個(gè)碼頭間往返．其中去程的時(shí)間是回程的時(shí)間3倍，則小快艇在靜水中的速度m與水流速度a的關(guān)系是 　m＝2a　．
【分析】（1）根據(jù)順?biāo)俣龋?0+a，逆水速度＝50﹣a，再根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可計(jì)算出2h后甲船比乙船多航行多少千米；
（2）設(shè)回程用的時(shí)間為x小時(shí)，則去程用的時(shí)間為3x小時(shí)，再根據(jù)去程和回程的路程是一樣的，即可列出相應(yīng)的方程，從而可以求得m與a的關(guān)系．
【解答】解：（1）由題意可得，
2（50+a）﹣2（50﹣a）
＝100+2a﹣100+2a
＝4a（千米），
答：2h后甲船比乙船多航行4a千米；
（2）由題意可得，去程為逆水航行，回程為順?biāo)叫校?br/>設(shè)回程用的時(shí)間為x小時(shí)，則去程用的時(shí)間為3x小時(shí)，
3x（m﹣a）＝x（m+a），
解得m＝2a，
即小快艇在靜水中的速度m與水流速度a的關(guān)系是m＝2a，
故答案為：m＝2a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和代數(shù)式．
8．以下是兩張不同類型火車（“Dxxx次”表示動(dòng)車，“Gxxx次”表示高鐵）的車票：
（1）根據(jù)車票中的信息填空：該列動(dòng)車和高鐵是 　同　（填“相”或“同”）向而行，該列動(dòng)車比高鐵發(fā)車 　早　（填“早”或“晚”）．
（2）已知該列動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，兩列火車的長(zhǎng)度不計(jì)，高鐵比動(dòng)車早到1h，求A，B兩地之間的距離．
（3）在（2）的條件下，求高鐵出發(fā)多少小時(shí)后兩車相距150km．
【分析】（1）根據(jù)票面信息作答即可；
（2）設(shè)A，B兩地之間的距離為x km，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)高鐵出發(fā)y小時(shí)后兩車相距150km，分高鐵未追上動(dòng)車時(shí)，追上動(dòng)車之后，到達(dá)目的地后，三種情況列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由圖可知：該列動(dòng)車和高鐵是同向而行，該列動(dòng)車比高鐵發(fā)車早；
故答案為：同，早；
（2）設(shè)A，B兩地之間的距離為x km．
根據(jù)題意得，
解得x＝1200．
答：A，B兩地之間的距離為1200km．
（3）設(shè)高鐵出發(fā)y小時(shí)后兩車相距150km，
①當(dāng)高鐵還未追上動(dòng)車時(shí)，200（y+1）﹣300y＝150，
解得；
②當(dāng)高鐵追上動(dòng)車后，300y﹣200（y+1）＝150，
解得．
③當(dāng)高鐵到達(dá)B地后，200（y+1）＝1200﹣150，
解得．
答：當(dāng)高鐵出發(fā)或或后兩車相距150km．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．讀懂題意，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
類型二、工程問(wèn)題
1.工程問(wèn)題的基本量有：工作量、工作效率、工作時(shí)間。關(guān)系式為：工作量=工作效率×工作時(shí)間；
工作時(shí)間=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作時(shí)間。
2 .常見的相等關(guān)系有兩種：
①如果以工作量作相等關(guān)系，A工作量+B工作量 =總工作量。
②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，對(duì)于同一工作：A工作時(shí)間-B工作時(shí)間=時(shí)間差
一般情況下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
工作總量不明
工程問(wèn)題中，在工作總量不明的情況下一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為1/t。
【例2-1】某廠接到一所中學(xué)的冬季校服訂做任務(wù)，計(jì)劃用A、B兩臺(tái)大型設(shè)備進(jìn)行加工.如果單獨(dú)用A型設(shè)備需要90天做完，如果單獨(dú)用B型設(shè)備需要60天做完，為了同學(xué)們能及時(shí)領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)趕制.(1).兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需多少天才能完成 (2).若兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工30天后，B型設(shè)備出了故障，暫時(shí)不能工作，此時(shí)離發(fā)冬季校服時(shí)間還有13天.如果由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，會(huì)不會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間 請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
(1).【答案】解：設(shè)共需x天才能完成.
根據(jù)題意得()x=1，
解得x=36.
答：兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需36天才能完成.
【解析】
(2).【答案】解：設(shè)由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)需要y天才能完成.
依題意得()×30+=1，
解得 y=15>13.
答：會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間.
工作總量確定
【例2-2】某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件．若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件．(1).求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)
(2).為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí)，引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的 個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%．按此測(cè)算，恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，求原計(jì)劃安排的工人人數(shù)．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件x個(gè)，依題意有
(1).【答案】 = ，
解得x=2400，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=2400是原方程的根，且符合題意．
∴規(guī)定的天數(shù)為24000÷2400=10（天）．
答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件2400個(gè)，規(guī)定的天數(shù)是10天；
【解析】可設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件x個(gè)，根據(jù)時(shí)間是一定的，列出方程求得原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)，再根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，即可求得規(guī)定的天數(shù)。
【解答】
(2).【答案】設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，依題意有
[5×20×（1+20%）× +2400]×（10﹣2）=24000，
解得y=480，
經(jīng)檢驗(yàn)，y=480是原方程的根，且符合題意．
答：原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為480人．
【解析】可設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，根據(jù)等量關(guān)系：恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，列出方程求解即可．
針對(duì)練習(xí)2
1 .由甲、乙兩個(gè)工程公司共同修建一條高速公路.若由甲公司單獨(dú)施工，則需要3年完成；若由乙公司單獨(dú)施工，則需要2年完成.在實(shí)際施工中，甲公司單獨(dú)施工半年后，求乙公司才加入施工.乙公司施工后多長(zhǎng)時(shí)間能建成這條公路
【答案】解：設(shè)乙公司施工x年后能建成這條公路.根據(jù)題意，得=1，
解得x=1.
答：乙公司施工1年后能建成這條公路.
2 .一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做40天可以完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)做100天可以完成，若乙工程隊(duì)先做30天后，剩下的再由甲、乙兩工程隊(duì)合作完成.(1).求甲、乙兩工程隊(duì)合作的天數(shù).(2).若將該工程分成兩部分，甲做其中的一部分，乙做另一部分，共用了79天，問(wèn)甲、乙各做了多少天
(1).【答案】解：設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)合作了x天.
則30×+x()=1，解得x=20.
答：甲、乙兩工程隊(duì)合作的天數(shù)為20天.
【解析】
(2).【答案】解：設(shè)甲做其中一部分用了y天，乙做另一部分用了(79 y)天.
依題意，得=1，
解得y=14，79 y=65.
答：甲做了14天，乙做了65天.
3 .一項(xiàng)工程，由一個(gè)人做需要80個(gè)小時(shí)完成.計(jì)劃先由一部分人做2個(gè)小時(shí)，再增加5人做8個(gè)小時(shí)，共完成了這項(xiàng)工程的.請(qǐng)問(wèn)先安排多少人做2個(gè)小時(shí) (假設(shè)個(gè)人的工作效率相同)
【答案】解：設(shè)先安排x人做2個(gè)小時(shí).
根據(jù)題意可得，
解得x=2.
答：先安排2人做2個(gè)小時(shí).
4 .要加工200個(gè)零件，甲先單獨(dú)加工了5小時(shí)，然后又與乙一起加工了4小時(shí)完成了任務(wù)．已知甲每小時(shí)比乙多加工2個(gè)零件，問(wèn)甲、乙二人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？
【答案】解：設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)零件，那么甲每小時(shí)加工（x+2）個(gè)零件． 根據(jù)題意，列方程，得
5（x+2）+4（x+x+2）=200，
解這個(gè)方程，得
x=14，
x+2=14+2=16，
答：甲每小時(shí)加工16個(gè)零件，乙每小時(shí)加工14個(gè)零件
【解析】如果乙每小時(shí)加工x個(gè)零件，那么甲每小時(shí)加工（x+2）個(gè)零件，根據(jù)要加工200個(gè)零件，甲先單獨(dú)加工5小時(shí)，然后又與乙一起加工4小時(shí)，完成了任務(wù)以及甲每小時(shí)比乙多加工2個(gè)，可列出方程q求出即可．
類型三、配套問(wèn)題
將配套問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例問(wèn)題解決。
比例的性質(zhì)：若，則
【例3-1】某口罩廠有50名工人，每人每天可以生產(chǎn)500個(gè)口罩面或1000個(gè)口罩耳繩，一個(gè)口罩面需要配兩個(gè)耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設(shè)安排名工人生產(chǎn)口罩面，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，題目已經(jīng)設(shè)出安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，由一個(gè)口罩面需要配兩個(gè)耳繩可知耳繩的個(gè)數(shù)是口罩面?zhèn)€數(shù)的2倍從而得出等量關(guān)系，就可以列出方程．
【詳解】解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，由題意得，
故選：C．
【例3-2】石城是“中國(guó)白蓮之鄉(xiāng)”，某食品加工廠對(duì)白蓮進(jìn)行深加工做成即食罐頭，需要用白鐵皮做罐頭盒．已知每張白鐵皮可制盒身25個(gè)或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套．
(1)若用5張白鐵皮制作盒底，需要用______張白鐵皮制作盒身，才能正好做成罐頭盒，此時(shí)可以做成______個(gè)罐頭盒．
(2)現(xiàn)在有36張鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩恚嗌購(gòu)堉坪械祝墒购猩砼c盒底正好配套？
【答案】(1)4；100
(2)用16張制盒身，20張制盒底
【分析】（1）利用制作盒身所需白鐵皮的數(shù)量制作盒底的數(shù)量，即可求出制作盒身所需白鐵皮的數(shù)量；利用做成罐頭盒的數(shù)量制作盒底的數(shù)量，即可求出做成罐頭盒的數(shù)量；
（2）設(shè)用張制盒身，則用張制盒底，根據(jù)制作盒底的總數(shù)量是制作盒身總數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：（張），
（個(gè)）．
故答案為：4；100．
（2）設(shè)用張制盒身，則用張制盒底，
依題意得：，
解得：，
．
答：用16張制盒身，20張制盒底，可使盒身與盒底正好配套．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
針對(duì)練習(xí)3
1 .某防護(hù)服廠有54名工人，每人每天可加工防護(hù)服8件或防護(hù)面罩10個(gè)，已知一件防護(hù)服配一個(gè)防護(hù)面罩．

(1)為了使每天生產(chǎn)的防護(hù)服與防護(hù)面罩正好配套，需要安排多少人生產(chǎn)防護(hù)服？
(2)由于有新疫情爆發(fā)，該廠接到任務(wù)，要在10天內(nèi)加工3000件防護(hù)服和3000個(gè)防護(hù)面罩，按照（1）中的安排，在不增加工人工作量的情況下，該廠是否能按時(shí)完成任務(wù)？為什么？
【答案】(1)30人
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）設(shè)需要安排x人生產(chǎn)防護(hù)服，則有人生產(chǎn)防護(hù)面罩，根據(jù)生產(chǎn)的防護(hù)服數(shù)量等于防護(hù)面罩，列出方程解方程即可；
（2）求出10天最多可以完成的套數(shù)，然后與3000進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）解：設(shè)需要安排x人生產(chǎn)防護(hù)服，則有人生產(chǎn)防護(hù)面罩，
根據(jù)題意，得，
解得：，
（人），
答：需要安排30人生產(chǎn)防護(hù)服．
（2）解：不能．
∵，且，
∴在不增加工人工作量的情況下，該廠不能按時(shí)完成任務(wù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．
2 .做自己健康第一責(zé)任人，抗擊疫情，人人有責(zé)．某檢測(cè)儀器成了抗疫必備器械，一套檢測(cè)儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成，用鋼材可以做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件．
(1)現(xiàn)在要用鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，可以恰好配成這種儀器多少套？
(2)現(xiàn)在某公司要租賃這批儀器a套，每天的付費(fèi)方案有兩種選擇：
方案一：當(dāng)a不超過(guò)60套時(shí)，每套支付租金100元；當(dāng)a超過(guò)60套時(shí)，超過(guò)的套數(shù)每套支付租金打八折；
方案二：不論租賃多少套，每套支付租金90元．
當(dāng)a超過(guò)60套時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
①若按照方案一租賃，公司每天需支付租金________元（用含a代數(shù)式表示）；若按照方案二租賃，公司每天需支付租金________元（用含a代數(shù)式表示）．
②假如你是公司負(fù)責(zé)人，請(qǐng)你謀劃一下，選擇哪種租賃方案更合算？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)應(yīng)用鋼材做A部件，鋼材做B部件，可以恰好配成這種儀器160套；
(2)①；；②當(dāng)時(shí)，選擇租賃方案二更合算；當(dāng)時(shí)，兩種租賃方案同樣合算；當(dāng)時(shí)，選擇租賃方案一更合算．
【分析】（1）設(shè)用鋼材做A部件，用鋼材做B部件，根據(jù)一個(gè)A部件和兩個(gè)B部件剛好配成套，列方程求解；
（2）①方案一租金根據(jù)當(dāng)a超過(guò)60套時(shí)，超過(guò)的套數(shù)每套支付租金打八折列式計(jì)算可得；方案二租金根據(jù)每套支付租金90元列式計(jì)算可得；
②根據(jù)，得到．分三種情況分析即可．
【詳解】（1）解：設(shè)應(yīng)用鋼材做A部件，鋼材做B部件，
依題意，得，
解得，，
∴，，
答：應(yīng)用鋼材做A部件，鋼材做B部件，可以恰好配成這種儀器160套；
（2）解：①方案一：元，
方案二：元；
故答案為：；；
②由，
得，
∴當(dāng)時(shí)，選擇租賃方案二更合算；
當(dāng)時(shí)，兩種租賃方案同樣合算；
當(dāng)時(shí)，選擇租賃方案一更合算．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，配套問(wèn)題的解決方法，正確理解題意列得方程或列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3 .某車間有名工人，每人每天可以生產(chǎn)個(gè)螺釘或個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，怎樣安排工人生產(chǎn)螺釘？
【答案】安排人生產(chǎn)螺釘
【分析】設(shè)安排x人生產(chǎn)螺釘，則安排人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：設(shè)安排x人生產(chǎn)螺釘，則安排人生產(chǎn)螺母，


答：安排人生產(chǎn)螺釘．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程．
4 .新型冠狀肺炎疫情蔓延期間，口罩成了人們生活中必不可少的物品．某口罩廠有40名工人，每人每天可以生產(chǎn)1000個(gè)口罩面或1200根耳繩．一個(gè)口罩面需要配兩根耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩與耳繩剛好配套，應(yīng)該安排多少名工人生產(chǎn)口罩面，安排多少工人生產(chǎn)耳繩？該口罩廠每天可生產(chǎn)多少個(gè)口罩？
【答案】應(yīng)該安排名工人生產(chǎn)口罩面，安排名工人生產(chǎn)耳繩，該口罩廠每天可生產(chǎn)個(gè)口罩
【分析】設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則安排名工人生產(chǎn)耳繩，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程，然后解方程，即可解答本題．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則安排名工人生產(chǎn)耳繩，
，
解得（人），
生產(chǎn)耳繩的工人數(shù)：（人），
則一天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)量為：（個(gè)），
答：應(yīng)該安排名工人生產(chǎn)口罩面，安排名工人生產(chǎn)耳繩，該口罩廠每天可生產(chǎn)個(gè)口罩．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
類型四、銷售盈虧問(wèn)題
1 .價(jià)格費(fèi)用問(wèn)題
費(fèi)用問(wèn)題中的基本量：費(fèi)用（總價(jià)）、單價(jià)、數(shù)量
基本關(guān)系式有
費(fèi)用（總價(jià)）=單價(jià)×數(shù)量
分段計(jì)費(fèi)：總費(fèi)用=第一階段單價(jià)×數(shù)量+第二階段單價(jià)×數(shù)量+……
【例4-1】某市收取水費(fèi)按以下規(guī)定：若每月每戶用水不超過(guò)20立方米，則每立方米按1.2元收費(fèi)；若超過(guò)20立方米，則超過(guò)的部分每立方米按2元收費(fèi)，如果某戶居民某月所交水費(fèi)的平均水價(jià)為每立方米1.5元，那么這一個(gè)月用了多少水？請(qǐng)你設(shè)未知數(shù)并列出方程．
【分析】設(shè)這一個(gè)月用了水x立方米，根據(jù)該戶居民某月所交水費(fèi)的平均水價(jià)為每立方米1.5元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)這一個(gè)月用了水x立方米，
依題意得：1.2×20+2（x﹣20）＝1.5x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【例4-2】某人購(gòu)買了黑白兩種顏色的文化衫共140件，進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，每件文化衫的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表：
類別 批發(fā)價(jià)（元） 零售價(jià)（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
若文化衫全部售出共獲利1860元，則黑白兩種文化衫各購(gòu)買了多少件？（只列方程）
【分析】根據(jù)“共獲利1860元”列方程求解．
【解答】解：設(shè)黑兩種文化衫購(gòu)買了x件，
則：（25﹣10）x+（20﹣8）（140﹣x）＝1860，
解得：x＝60，
∴140﹣x＝80，
答：黑文化衫買了60件，白文化衫購(gòu)買了80件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
針對(duì)練習(xí)4-1
1 .為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用階梯價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，價(jià)目表如下圖．
價(jià)目表
每月用水量 單價(jià)
不超過(guò)的部分 3元
超過(guò)不超過(guò)的部分 4元
超過(guò)的部分 6元
注：水費(fèi)按月結(jié)算
(1)若某戶居民1月份用水，則水費(fèi)為_________元．
(2)若某戶居民某月用水，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示水費(fèi)．
(3)若某戶居民3，4月份共用水，且4月份用水量超過(guò)，3月份用水量超過(guò)，共交水費(fèi)94元，則該戶居民3、4月份各用水多少m
【答案】(1)18
(2)水費(fèi)為元
(3)該戶居民3月份的用水量為，4月份的用水量為
【分析】（1）利用表格中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)求解即可；
（2）分不超過(guò)的部分、超過(guò)不超過(guò)的部分、超過(guò)的部分三部分計(jì)算求和即可；
（3）設(shè)3月份的用水量為，則4月份的用水量為，根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】（1）解：（元），
故答案為：18；
（2）解：由題意，當(dāng)時(shí)，水費(fèi)為元．
（3）解：設(shè)3月份的用水量為，則4月份的用水量為．
根據(jù)題意，，
則，
解得，
4月份的用水量為．
答：該戶居民3月份的用水量為，4月份的用水量為．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式，理解題意，找到所需的等量關(guān)系，并正確列出代數(shù)式和方程是解答的關(guān)鍵．
2 .某地今年夏季降雨量大幅下降，水電發(fā)電量嚴(yán)重受限，再加上高溫天氣持續(xù)，居民用電量居高不下，電力供需形勢(shì)十分嚴(yán)峻．已知該地為節(jié)約用電，利用價(jià)格調(diào)控的手段，規(guī)定了居民生活用電的階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
價(jià)目表
每月用電量 價(jià)格
不超過(guò)180千瓦時(shí)的部分 0.5元/千瓦時(shí)
超過(guò)180千瓦時(shí)，但不超過(guò)280千瓦時(shí)的部分 0.6元/千瓦時(shí)
超過(guò)280千瓦時(shí)的部分 0.8元/千瓦時(shí)
(1)若小明家8月份用電200千瓦時(shí)，則應(yīng)繳多少電費(fèi)；
(2)若小明家8月份用電a千瓦時(shí)（其中），則應(yīng)繳多少電費(fèi)；（用含a的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）
(3)若小明家8月份繳電費(fèi)326元，求小明家8月份用電多少千瓦時(shí)．
【答案】(1)102元
(2)
(3)500千瓦時(shí)
【分析】（1）由小明家8月份用電200千瓦時(shí)，可知小明家8月份電費(fèi)應(yīng)分2部分計(jì)算；
（2）由，可知小明家8月份電費(fèi)應(yīng)分3部分計(jì)算；
（3）先根據(jù)繳電費(fèi)326元判斷用電量的范圍，再求解即可．
【詳解】（1）（元）
答：應(yīng)繳電費(fèi)102元．
（2）
（3）由于用電280千瓦時(shí)應(yīng)繳電費(fèi)為元，而，
所以用電量超過(guò)了280千瓦時(shí)，
故由（2）得
答：小明家8月份用電500千瓦時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減的應(yīng)用，解一元一次方程的應(yīng)用，掌握一元一次方程的解法，根據(jù)題意列式或列方程是解題關(guān)鍵．
3 .我市某水果批發(fā)市場(chǎng)蘋果的價(jià)格如下表：
購(gòu)買蘋果（千克） 不超過(guò)20千克 20千克以上但不超過(guò)40千克 40千克以上
每千克的價(jià)格 6元 5元 4元
（1）李明分兩次共購(gòu)買蘋果40千克，第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，共付216元，若設(shè)第一次購(gòu)買x千克，用x的代數(shù)式表示第二次購(gòu)買蘋果的數(shù)量為　 　千克．
（2）根據(jù)（1）的題意，列出正確的方程是　 　．
A.6x+4（40﹣x）＝216 B.5x+4（40﹣x）＝216 C.6x+5（40﹣x）＝216 D.5x+6（40﹣x）＝216
（3）張強(qiáng)分兩次共購(gòu)買蘋果100千克，第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，且兩次購(gòu)買每千克蘋果的單價(jià)不相同，共付出432元，請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次，第二次分別購(gòu)買蘋果多少千克？（列方程解應(yīng)用題）
【分析】（1）設(shè)第一次購(gòu)買x千克蘋果，根據(jù)兩次共購(gòu)買蘋果40千克，可得第二次購(gòu)買（40﹣x）千克蘋果；
（2）根據(jù)第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，可得40﹣x＞x，解得x＜20，即第一次購(gòu)買的數(shù)量少于20千克，進(jìn)而得出第二次購(gòu)買的數(shù)量在20千克以上但不超過(guò)40千克，然后根據(jù)兩次購(gòu)買共付出216元建立方程，求解即可；
（3）設(shè)第一次購(gòu)買x千克蘋果，則第二次購(gòu)買（100﹣x）千克蘋果．分三種情況進(jìn)行討論：①第一次購(gòu)買蘋果少于20千克，第二次購(gòu)買蘋果20千克以上但不超過(guò)40千克；②第一次購(gòu)買蘋果少于20千克，第二次購(gòu)買蘋果超過(guò)40千克．③第一次購(gòu)買蘋果20千克以上但不超過(guò)40千克，第二次購(gòu)買蘋果超過(guò)40千克；根據(jù)小強(qiáng)分兩次購(gòu)買100千克，第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，共付出432元建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）由題意，可得第二次購(gòu)買蘋果的數(shù)量為（40﹣x）千克．
故答案為（40﹣x）；
（2）設(shè)第一次購(gòu)買x千克，則第二次購(gòu)買（40﹣x）千克．
∵第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量，
∴40﹣x＞x，解得x＜20，
∴﹣x＞﹣20，
∴40﹣x＞20，
又x＞0，
∴40﹣x＜40，
∴20＜40﹣x＜40．
根據(jù)題意，得6x+5（40﹣x）＝216．
故選C；
（3）設(shè)第一次購(gòu)買x千克蘋果，則第二次購(gòu)買（100﹣x）千克蘋果．分三種情況考慮：
①當(dāng)?shù)谝淮钨?gòu)買蘋果不超過(guò)20千克，第二次購(gòu)買蘋果超過(guò)20千克以上但不超過(guò)40千克的時(shí)候，顯然不夠100千克，不成立；
②當(dāng)?shù)谝淮钨?gòu)買蘋果不超過(guò)20千克，第二次購(gòu)買蘋果超過(guò)40千克，
根據(jù)題意，得6x+4（100﹣x）＝432，
解得：x＝16，
則100﹣x＝100﹣16＝84（千克）；
③第一次購(gòu)買蘋果20千克以上但不超過(guò)40千克，第二次購(gòu)買蘋果超過(guò)40千克，
根據(jù)題意，得5x+4（100﹣x）＝432，
解得：x＝32，
則100﹣x＝100﹣32＝68（千克）．
答：第一次購(gòu)買16千克蘋果，第二次購(gòu)買84千克蘋果或者第一次購(gòu)買32千克蘋果，第二次購(gòu)買68千克蘋果．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過(guò)討論x的取值范圍，得到兩次購(gòu)買蘋果的單價(jià)，進(jìn)而根據(jù)兩次購(gòu)買的總價(jià)列出方程．
4 .為鼓勵(lì)節(jié)約能源，某電力公司特別出臺(tái)了新的用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：
每戶每月用電量 不超過(guò)210度 超過(guò)210度（超出部分的收費(fèi)）
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 每度元 每度元
(1)小林家4月份用電180度，則小林家4月份應(yīng)付的電費(fèi)為：　　；
(2)小林家6月份用電度，請(qǐng)你用x表示小林家6月份應(yīng)付的電費(fèi)：　　；
(3)小林家11月份交付電費(fèi)181元，請(qǐng)利用方程的知識(shí)，求出小林家11月份的用電量．
【答案】(1)
(2)
(3)小林家在11月份的用電量為305度．
【分析】本題考查的是列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．
（1）由可得此時(shí)單價(jià)為每度元，利用總價(jià)等于單價(jià)乘以數(shù)量即可得到答案；
（2）由小林家月份用電度，可得此時(shí)分兩段計(jì)費(fèi)，其中度每度元，超過(guò)部分度，每度元，從而可得答案；
（3）設(shè)小林家在月份的用電量為度，由，可得，再列方程，解方程可得答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴小林家4月份應(yīng)付的電費(fèi)(元)．
故答案為：90；
（2）解：∵小林家6月份用電度，
∴小林家6月份應(yīng)付的電費(fèi)元，
故答案為：；
（3）解：設(shè)小林家在11月份的用電量為x度，
∵，
∴．
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：小林家在11月份的用電量為305度．
2 .銷售利潤(rùn)問(wèn)題
利潤(rùn)問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷售價(jià)（收入）、利潤(rùn)、利潤(rùn)率。
基本關(guān)系式有：
利潤(rùn)＝銷售價(jià)（收入）-成本（進(jìn)價(jià)）；
成本（進(jìn)價(jià)）＝銷售價(jià)（收入）-利潤(rùn)；
利潤(rùn)率＝；
利潤(rùn)＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率。
在有折扣的銷售問(wèn)題中，實(shí)際銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率。打折問(wèn)題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。
打折：n折即表示標(biāo)價(jià)的n/10，如7折為70%
【例4-3】用方程描述下列實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系：
某商場(chǎng)把進(jìn)價(jià)為1980元的某商品按標(biāo)價(jià)的8折出售，仍獲利198元．求該商品的標(biāo)價(jià)．
【分析】利用商品的進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)和打折以及獲利之間的關(guān)系得出等式求出即可．
【解答】解：設(shè)該商品標(biāo)價(jià)為x元，根據(jù)題意可得：
0.8x＝1980+198．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【例4-4】惠民商場(chǎng)批購(gòu)了一批服裝，價(jià)格為200元/件，商場(chǎng)將服裝價(jià)格提高50%作為售價(jià)，后因銷售不暢，商場(chǎng)兩次將該服裝打折，且每次折數(shù)相同，打折后該服裝每件仍獲利43元，則該服裝每次打了幾折？
【分析】設(shè)服裝每次打了x折，根據(jù)打折后該服裝每件仍獲利43元得：200×（1+50%）（）2＝200+43，即可解得答案．
【解答】解：設(shè)服裝每次打了x折，
根據(jù)題意得：200×（1+50%）（）2＝200+43，
解得x＝9或x＝﹣9（舍去），
答：服裝每次打了9折．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程解決問(wèn)題．
針對(duì)練習(xí)4-2
1．商場(chǎng)銷售某種商品，若按原價(jià)銷售每天可賣50件，元旦期間，每件商品降價(jià)20元，結(jié)果銷售量為60件，且每天銷售額相同，求該商品原價(jià)為多少元？
【分析】設(shè)該商品原價(jià)為x元，然后根據(jù)銷售額＝單價(jià)×數(shù)量列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)該商品原價(jià)為x元，
由題意得，50x＝60（x﹣20），
∴50x＝60x﹣1200，
解得x＝120，
答：該商品的原價(jià)為120元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，掌握題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．“五一”期間，某電器城按成本價(jià)提高30%后標(biāo)價(jià)，再打8折（標(biāo)價(jià)的80%）銷售，售價(jià)為2080元，該電器的成本價(jià)為多少元？（只列方程）
【分析】設(shè)該電器的成本價(jià)為x元，根據(jù)成本價(jià)×（1+30%）×80%＝售價(jià)為2080元可列出方程．
【解答】解：設(shè)該電器的成本價(jià)為x元，依題意有
x（1+30%）×80%＝2080．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，掌握銷售問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．列方程解應(yīng)用題：一件襯衫先按進(jìn)價(jià)加價(jià)60元標(biāo)價(jià)，再以8折出售，仍可獲利24元，這件襯衫的進(jìn)價(jià)是多少錢？
審題：A設(shè)：　這件襯衫的進(jìn)價(jià)是x元　．
B：
進(jìn)價(jià) 標(biāo)價(jià) 折數(shù) 售價(jià) 利潤(rùn)
　x元　 　（x+60）元　 　8折　 　0.8（x+60）元　 　[0.8（x+60）﹣x]元　
C：列方程　0.8（x+60）﹣x＝24　．
【分析】設(shè)這件襯衫的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)題意：標(biāo)價(jià)＝成本價(jià)+60，售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×0.8，利潤(rùn)＝銷售價(jià)﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：A設(shè)：這件襯衫的進(jìn)價(jià)是x元，
B：
進(jìn)價(jià) 標(biāo)價(jià) 折數(shù) 售價(jià) 利潤(rùn)
x元 （x+60）元 8折 0.8（x+60）元 [0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24．
故答案為：這件襯衫的進(jìn)價(jià)是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60）﹣x＝24．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，弄清楚，成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、銷售價(jià)，以及利潤(rùn)、成本、售價(jià)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
4．一件襯衫先按成本加價(jià)60元標(biāo)價(jià)，再以8折出售，仍可獲利24元，這件襯衫的成本是多少錢？設(shè)襯衫的成本為x元．
（1）填寫下表：（用含有x的代數(shù)式表示）
成本 標(biāo)價(jià) 售價(jià)
x 　x+60　 　0.8x+48　
（2）根據(jù)相等關(guān)系列出方程：　（0.8x+48）﹣x＝24　．
【分析】（1）設(shè)這件襯衫的成本是x元，根據(jù)題意：標(biāo)價(jià)＝成本價(jià)+60，售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×0.8，由此即可解決問(wèn)題．
（2）設(shè)這件襯衫的成本是x元，根據(jù)：利潤(rùn)＝銷售價(jià)﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：（1）可得：標(biāo)價(jià)為：x+60；售價(jià)為：0.8x+48，
故答案為：x+60；0.8x+48；
（2）根據(jù)題意可得：（0.8x+48）﹣x＝24，
故答案為：（0.8x+48）﹣x＝24．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，搞清楚，成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、銷售價(jià)，以及利潤(rùn)、成本、售價(jià)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
3 .存貸問(wèn)題
存貸問(wèn)題中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其關(guān)系式有：
①利息＝本金×利率×期數(shù)；
②本息和（本利）＝本金+利息
【例4-5】?jī)?chǔ)戶到銀行存款，一段時(shí)間后，銀行要向儲(chǔ)戶付存款利息．
（1）設(shè)銀行一年期的存款利率為x，則1000元存款一年后應(yīng)得的利息是多少；
（2）若小王將20000元人民幣存入銀行，一年后實(shí)際取得的人民幣為20360元，你能算出銀行一年期的存款利率嗎？（只列方程，不求解）
【分析】（1）根據(jù)利息＝成本×利率，即可寫出1000元存款一年后應(yīng)得的利息是多少；
（2）根據(jù)本息和＝本金+利息，即可列出相應(yīng)的方程．
【解答】解：（1）由題意可得，
1000元存款一年后應(yīng)得的利息是1000x元；
（2）設(shè)銀行一年期的存款利率為x，
由題意可得，20000+20000×x×1＝20360，
即20000+20000x＝20360．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．
【例4-6】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義列出方程：
某商場(chǎng)對(duì)超過(guò)15000元的物品提供分期付款服務(wù)，顧客可以先付5000元，以后每月付2000元，李叔叔想用分期付款的形式購(gòu)買價(jià)值17000元的電視機(jī)，他需要用多長(zhǎng)時(shí)間才能付清全部貨款？
【分析】等量關(guān)系為：首付5000+2000×需要的月數(shù)＝17000．
【解答】解：設(shè)阮叔叔需用x月的時(shí)間，則：5000+2000x＝17000，
解得：x＝6，
答：需用6個(gè)月的時(shí)間．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
針對(duì)練習(xí)4-3
1．本人三年前存了一份3000元的教育儲(chǔ)蓄，今年到期時(shí)的本利和為3243元，請(qǐng)你幫我算一算這種儲(chǔ)蓄的年利率．若年利率為x%，則可列方程 　3000+3000×3×x%＝3243　．（年存儲(chǔ)利息＝本金×年利率×年數(shù)，不計(jì)利息稅）
【分析】本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×年數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：∵本金為3000元，年利率為x%，存了3年．
∴利息為3000×x%×3，
∴可列方程為3000+3000×3×x%＝3243，
故答案為：3000+3000×3×x%＝3243．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，明確關(guān)系式：本利和＝本金+利息是解題的關(guān)鍵．
2．備小穎5年后上大學(xué)的學(xué)費(fèi)10000元，她的父母現(xiàn)在想為她做教育儲(chǔ)蓄．他們考慮從下面三種儲(chǔ)蓄方式中選擇一種（附：中國(guó)銀行2016年10月最新存款年利率表）
（1）直接存一個(gè)5年期
（2）先存一個(gè)3年期，3年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期；
（3）先存一個(gè)2年期，2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個(gè)3年期．
請(qǐng)按照提供的分析思路，完成以下填空：
解：設(shè)開始存入的本金為x元．
（1）如果按照第一種儲(chǔ)蓄方式，5年后本息和要達(dá)到10000元，則可列方程　 　．
（2）如果按照第二種儲(chǔ)蓄方式，3年后本息和是　x+2.75%x×3　．再將此本息和轉(zhuǎn)存2年后達(dá)到10000元，可列方程為　 　．
（3）如果按照第三種儲(chǔ)蓄方式，2年后的本息和是　 　，
再將此本息和轉(zhuǎn)存3年后要達(dá)到10000元，可列方程為　 　．
（4）根據(jù)以上的分析，如果計(jì)算出來(lái)哪種方式開始存入的資金　少　（填多或少），哪種方式更合算．
整存整取定期存款 年利率（%）
一年 1.75
二年 2.25
三年 2.75
五年 2.75
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以解答本題；
（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求出相應(yīng)的本息和并列出相應(yīng)的方程；
（3）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求出相應(yīng)的本息和并列出相應(yīng)的方程；
（4）根據(jù)題意，可知存入的本金越少越合算，即可解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
x+2.75%x×5＝10000，
故答案為：x+2.75%x×5＝10000；
（2）如果按照第二種儲(chǔ)蓄方式，3年后本息和是：x+2.75%x×3，
再將此本息和轉(zhuǎn)存2年后達(dá)到10000元，可列方程為：（x+2.75%x×3）+2.25%（x+2.75%x×3）×2＝10000，
故答案為：x+2.75%x×3、（x+2.75%x×3）+2.25%（x+2.75%x×3）×2＝10000；
（3）如果按照第三種儲(chǔ)蓄方式，2年后的本息和是：x+2.25%x×2，
再將此本息和轉(zhuǎn)存3年后要達(dá)到10000元，可列方程為：（x+2.25%x×2）+2.75%（x+2.25%x×2）×3＝10000，
故答案為：x+2.25%x×2、（x+2.25%x×2）+2.75%（x+2.25%x×2）×3＝10000；
（4）根據(jù)以上的分析，如果計(jì)算出來(lái)哪種方式開始存入的資金少，則那種方式更合算，
故答案為：少．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，列出相應(yīng)的方程．
3．某人把若干元按三年期的定期儲(chǔ)蓄存入銀行，假設(shè)年利率為，到期支取扣除時(shí)所得稅實(shí)得利息為7200元（銀行存款所得稅的稅率為，所得稅金額所得利息，求存入銀行的本金是多少？（用一元一次方程解答）
【答案】60000元
【分析】設(shè)存入銀行的本金為x元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)存入銀行的本金為元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：存入銀行的本金為60000元．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意的等量關(guān)系，列出方程是解本題的關(guān)鍵．
2．A公司和B公司是分別擁有96名和100名工人的小型企業(yè)．疫情期間，為了緩解下崗人的再就業(yè)問(wèn)題，兩企業(yè)2021年1月都吸收了部分下崗人員并向銀行貸款：A公司吸收了12名下崗人員，得到的貸款額和兩年的補(bǔ)貼費(fèi)共萬(wàn)元；B公司也吸收了12名下崗人員，但因貸款少，兩年的補(bǔ)貼費(fèi)比A公司的補(bǔ)貼費(fèi)少．國(guó)家對(duì)吸收下崗人員的企業(yè)按季度（一年四個(gè)季度）給予補(bǔ)貼，每季度補(bǔ)貼費(fèi)用=×貸款額×．
(1)2021年1月A公司得到的貸款是多少？
(2)2021年1月B公司得到的貸款是多少？
(3)銀行規(guī)定：企業(yè)還貸款，應(yīng)每年一還，還本金和利息，若第一年沒(méi)還，則第一年的本金和利息作為第二年的貸款本金計(jì)算，以此類推，假設(shè)兩公司第一年都沒(méi)有還貸款的本金和利息，而是在兩年后即2023年1月才一次性還清本金和利息，B公司還貸款的本金和利息比A公司少萬(wàn)元，求企業(yè)貸款年利率．（利息=本金×年利率）
【答案】(1)A公司得到的貸款是60萬(wàn)元
(2)B公司得到的貸款是50萬(wàn)元
(3)企業(yè)貸款年利率為
【分析】（1）貸款額和兩年的補(bǔ)貼費(fèi)共萬(wàn)元，找出等量關(guān)系式，列出方程即可解得；
（2）根據(jù)兩年的補(bǔ)貼費(fèi)比A公司的補(bǔ)貼費(fèi)少，找出等量關(guān)系式，列出方程即可解得；
（3）找出等量關(guān)系式，列出方程即可解得．
【詳解】（1）設(shè)A公司得到的貸款是x萬(wàn)元，
由題意，得：，
解得．
答：A公司得到的貸款是60萬(wàn)元；
（2）設(shè)B公司得到的貸款是y萬(wàn)元，
由題意，得：，
解得．
答：B公司得到的貸款是50萬(wàn)元；
（3）設(shè)企業(yè)貸款年利率是a，由題意得：
，
解得（不符題意，舍去），
答：企業(yè)貸款年利率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了列方程解決問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系式
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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