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七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十六 第四章 幾何圖形初步大串講專題
知識點大串講
一、 幾何圖形
①幾何圖形的定義：我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形。
②幾何圖形分為立體圖形圖形平面圖形圖形。
③ 平面圖形：圖形所表示的各個部分都在同一平面 內的圖形，如直線、三角形等。
④ 立體圖形：圖形所表示的各個部分不在同一平面內的圖形，如圓柱體。
二、常見的立體圖形
①柱體：A棱柱： B 圓柱 ② 椎體：A棱錐 B圓錐 球體等
立體圖形的三視圖：
從不同方向觀察幾何體,從正面、上面、左面三個不同方向看一個物體，然后描出三張所看到的圖（分別叫做主視圖、左視圖、俯視圖），這樣就可以把立體圖形轉化為平面圖形。
①會觀察小正方體堆積圖形畫出三視圖 ②會根據三視圖知道堆積的小正方體的個數
立體圖形的展開圖
①圓柱的側面展開圖是長方形。②圓錐的側面展開圖是扇形。③n棱柱的側面展開圖是 n邊 形 ，n棱柱有 兩個底面，都是n邊形 ，n棱柱的側面展開圖是長方形。④n棱錐的側面展開圖是 n個三角形 形 ，n棱錐有一個底面，是多邊形。⑤正方體的展開圖共分四類：
①掌握在正方體展開圖中找相對面的方法 ②會根據展開圖中的圖案判斷是哪個圖形的展開圖
點、線、面、體
立體圖形是幾何體，簡稱體；包圍著體的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點。
2、幾何圖形都是由點、線、面、體組成，點是構成圖形的基本元素。
六、直線、射線、線段
1、線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫線段，這兩個點叫線段的端點。
射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。
直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。
2、點與直線的位置關系：點p在直線a上(或說直線a經過點p)；
點p不在直線a上(或說直線a不經過點p) 。
過一點可畫無數條直線，過兩點有且僅有一條直線。簡述為：兩點確定一條直線。
3、線段的中點：把一線段分成兩相等線段的點。
兩點的所有連線中，線段最短，簡述為：兩點之間，線段最短。
兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度。
線段的長短比較：⑴度量法；⑵疊合法
角：
1 .角：由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點旋轉而成）。
2.角的表示：三個大寫字母;一個大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個數字;一個希臘字母。
3.角的要素：頂點和邊，角的大小與邊的長短無關。
4.角的單位：度,分,秒 ①1°的60分之一為1分，記作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一為1秒，記作1″，即1′＝60″
5.角的大小比較：⑴度量法；⑵疊合法。
6.角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個等角，這條射線叫角平分線。
7.余角和補角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角；如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角。
8.性質：等角的補角相等；等角的余角相等。
七、數學思想
1.分類思想：位置不確定需要分類，數量關系不確定需要分類
2 .方程思想：在處理有關角的大小，線段大小的計算時利用方程列出等量關系
化歸思想.在進行線段、射線、直線、角以及相關圖形的計數時總要化歸到公式的具體運用上來.
高頻考點練練練
【考點1】立體圖形與平面圖形
【例1-1】如圖，下列五個幾何體中，柱體有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-2】下列說法錯誤的是（　　）
A．柱體的上、下兩個底面一樣大
B．棱柱至少由5個面圍成
C．長方體屬于棱柱
D．圓錐由兩個面圍成，且這兩個面都是曲面
針對練習1
1．下列幾何體是棱錐的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列幾何圖形中，不屬于平面圖形的是（　　）
A．三角形 B．球 C．圓 D．長方形
【考點2】立體圖形的展開圖
【例2-1】下列圖形中，經過折疊不能得到三棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
【例2-2】現有4枚相同的骰子，骰子的表面展開圖如圖所示．這4枚骰子摞在一起后，如圖所示，相互接觸的兩個面的點數之和都是8，每枚骰子都有一個面被陰影遮住了，你能說出每個被陰影遮住的面的點數嗎？
針對練習2
1．如圖，白紙上有一個表面涂滿染料的小正方體．在不脫離白紙的情況下，轉動正方體，使其各面染料都能印在白紙上，切各面僅能接觸白紙一次，則在白紙上可以形成的圖形有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2 .把正方體的六個面分別標上1，2，3，4，5，6，現將上述四個完全一樣的正方體排成一個如圖水平放置的長方體那么長方體的下底面的所有數字之和為 　12　．
【考點3】三視圖
【例3-1】如圖所示，在一次數學活動課上，小明用16個小正方體搭成了一個幾何體，然后他想用其他同樣的小正方體繼續搭成一個長方體，若不改變小明開始所搭幾何體的形狀，那么他至少還需要 　20　個小正方體才能搭成長方體．
【例3-2】如圖所示，在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為3cm正方體堆成的一個幾何體．如果在這個幾何體的表面（露出的部分）噴上黃色的漆，求這個幾何體噴漆的面積 　 　．
針對練習3
1．把5個正方體按如圖所示方式擺放，沿箭頭方向觀察這個立體圖形，得到的平面圖形是（　　）
A． B．
C． D．
2．搭出同時符合下面要求的物體，需要（　　）個小正方體．
A．10 B．7 C．8 D．9
【考點4】點、線、面、體
【例4-1】．探究：有一長6cm，寬4cm的矩形紙板，現要求以其一組對邊中點所在直線為軸，旋轉180°，得到一個圓柱，現可按照兩種方案進行操作：
方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖①；
方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖②．
（1）請通過計算說明哪種方法構造的圓柱體積大；
（2）如果該矩形的長寬分別是5cm和3cm呢？請通過計算說明哪種方法構造的圓柱體積大；
（3）通過以上探究，你發現對于同一個矩形（不包括正方形），以其一組對邊中點所在直線為軸旋轉得到一個圓柱，怎樣操作所得到的圓柱體積大（不必說明原因）？
【例4-2】探究：有一長9cm，寬6cm的長方形紙板，現要求以其一組對邊中點所在直線為軸，旋轉180°，得到一個圓柱，現可按照兩種方案進行操作：方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖①；方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖②．
（1）請通過計算說明哪種方案構造的圓柱體積大；
（2）若將此長方形繞著它的其中一條邊所在的直線為軸旋轉360°，則得到的圓柱體積為多少？
針對練習4
1．如圖，將長方形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B．
C． D．
2．“槍打一條線，棍掃一大片”從字面上理解這句話所描述的現象，用數學知識可解釋為：　 　．
【考點5】直線、射線、線段
【例5-1】探究歸納題：
（1）試驗分析：
如圖1，直線上有兩點A與B，圖中有線段　 　條；
（2）拓展延伸：
圖2直線上有A，B，C三個點，以A為端點，有線段AB，線段AC；同樣以C為端點，有線段CA，線段CB；以B為端點，有線段BA，線段BC，去除重復線段，圖2共有　 　條線段；
同樣方法探究出圖3中有　 　條線段；
（3）探索歸納：
如果直線上有n（n為正整數）個點，則共有　 　條線段．（用含n的式子表示）
（4）解決問題：
①中職籃（CBA）2018﹣﹣2019賽季，比賽隊伍數仍然為20支，截止2018年12月14日，賽程已經過半（每兩隊之間都賽了一場），請你幫助計算一下目前一共進行了多少場比賽？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高鐵喀左站客運專線路基工程全部完成，將正式進入軌道鋪設階段，預計2020年7月1日通車，北京至赤峰有北京星火站，順義西站，懷柔南站，密云站，興隆西站，安匠站，承德南站，承德縣北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，寧城站、平莊西站、赤峰西站等共計14個車站，請你幫助計算一下，應該設計多少種高鐵車票？
【例5-2】根據下列語句，畫出圖形．如圖，已知四點A，B，C，D．
（1）順次連接A、B、C、D；
（2）在線段AB反向延長線上取一點E，使AE＝AD；
（3）在四邊形ABCD內取一點O，連OA，OB，OC，OD，使A、O、C三點不共線；B、O、D三點不共線．
（4）在四邊形ABCD內找一點P，使PA+PB+PC+PD最小．
針對練習5
1．如圖，在同一個平面內有四個點，請用直尺和圓規按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）：
（1）作射線AB；
（2）作直線AC與直線BD相交于點O；
（3）在射線AB上作線段AC′，使線段AC′與線段AC相等．
2．如圖，在平面內有A，B，C三點．
（1）畫直線AB；畫射線AC；畫線段BC；
（2）在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接AD，并延長AD至點E，使DE＝AD；
（3）數一數，此時圖中共有多少條線段？多少條射線？
【考點6】線段的大小比較
【例6-1】如圖所示，已知點C是線段AB的中點，D是AC上任意一點，M、N分別是AD、DB的中點，若AB＝16，求MN的長．
【例6-2】已知AB＝10cm，直線AB上有一點C，BC＝4cm，M是線段AC的中點，求AM的長．
針對練習6
1．如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是線段AC的中點的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．已知，B是線段AD上一點，C是線段AD的中點，若AD＝10，BC＝3，則AB＝　 　．
3．如圖，已知點A、B、C、D、E在同一直線上，且AC＝BD，E是線段BC的中點．
（1）點E是線段AD的中點嗎？說明理由；
（2）當AD＝10，AB＝3時，求線段BE的長度．
4．如圖，已知C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，AB＝10cm，求AD的長度．
【考點7】角
【例7-1】觀察圖，回答下列問題：
（1）在圖①中有幾個角？
（2）在圖②中有幾個角？
（3）在圖③中有幾個角？
（4）以此類推，如圖④所示，若一個角內有n條射線，此時共有多少個角？
【例7-2】鐘面上的角的問題．
（1）3點45分，時針與分針的夾角是多少？
（2）在9點與10點之間，什么時候時針與分針成100°的角？
針對練習7
1．如圖，回答下列問題：
（1）寫出能用一個字母表示的角：　 　；
（2）寫出以B為頂點的角：　 　；
（3）圖中共有幾個小于平角的角？分別把它們表示出來．
2．（1）如圖①所示，當以點O為端點的射線有3條時，圖中共有 　 　個角，它們分別是 　 　；
（2）如圖②所示，當以點O為端點的射線有4條時，圖中共有 　 　個角，它們分別是 　 　；
（3）如圖③所示，當以點O為端點的射線有5條時，圖中共有 　 　個角，它們分別是 　 ；
（4）當以點O為端點的射線有n（n為大于或等于3的正整數）條時，請你猜想共有 　　個角，并簡述理由．
3．（1）鐘表上2時15分時，時針與分針所成的銳角的度數是多少？
（2）若時針由2點30分走到2點55分，問分針轉過多大的角度？
4．計算：．
【考點8】角的比較與運算
【8-1】（1）如圖1，射線OC在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度數；
（2）射線OC，OD在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度數；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他條件不變，請用含m，n的代數式表示MON的度數（不用說理）．
【8-2】已知：點O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線．
（1）當點C、D、E在直線AB的同側（如圖1）時，
①若∠COE＝30°，求∠AOD的度數
②若∠COE＝β，則∠AOD＝　2β　．（用含β的式子表示）
（2）當點C與點D，E在直線AB的兩側（如圖2）時，（1）中②的結論是否仍然成立？請給出你的結論并說明理由．
針對練習8
1．如圖，O是直線CE上一點，以O為頂點作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直線CE兩側，OB平分∠COD．
（1）當∠AOC＝60°時，求∠DOE的度數；
（2）請你猜想∠AOC和∠DOE的數量關系，并說明理由．
2．如圖，射線OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數是否會發生變化？簡單說明理由．
3．如圖，已知點O是直線AD上一點，射線OC、OE分別是∠AOB、∠BOD的平分線．
（1）若∠AOC＝20°，求∠BOE的度數和∠COE的度數．
（2）如果把“∠AOC＝20°”條件去掉，那么∠COE的度數有變化嗎？請說明理由．
【考點9】方向角
【例9-1】如圖，射線OA的方向是北偏東15°，射線OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射線OD是OB的反向延長線．
（1）射線OC的方向是　北偏東70°　；
（2）求∠COD的度數；
（3）若射線OE平分∠COD，求∠AOE的度數．
【例9-2】如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發，客船與貨船的速度比為4：3，出發1小時后，客船比貨船多走了10海里．客船沿北偏東25°方向航行，2小時后貨船到達B處，客船到達C處，若此時兩船相距100海里．
（1）求兩船的速度分別是多少？
（2）求貨船航行的方向．
針對練習9
1．如圖，射線OA表示的方向是北偏東44°，射線OB表示的方向是北偏東76°，已知圖中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度數；
（2）寫出射線OC的方向．
2．如圖，B處在C處的南偏東30°方向，B處在A處的北偏東70°方向，C處在A處的北偏東45°方向，求∠ABC的度數．
【考點10】余角、補角
【例10-1】以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝60°，將一個直角三角形DOE的直角頂點放在點O處．
（1）如圖1，若直角三角形DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝　30°　；
（2）如圖2，將直角三角形DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，請判斷OD是否平分∠BOC，并說明理由；
（3）將三角形DOE繞點O逆時針轉動到某個位置時，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度數．
【例10-2】如圖，在直線AD上任取一點O，過點O做射線OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，當∠AOC＝27°58'時，求∠DOE的度數．
針對練習10
1．如圖1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC內部從點O出發的一條射線，OE平分∠AOD．
（1）【基礎嘗試】如圖2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度數；
（2）【畫圖探究】設∠COE＝x°，用x的代數式表示∠BOD的度數；
（3）【拓展運用】若∠COE與∠BOD互余，∠AOB與∠COD互補，求∠AOB的度數．
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足為O．
（1）寫出圖中所有與∠AOD互補的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度數．
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十六 第四章 幾何圖形初步大串講專題
知識點大串講
一、 幾何圖形
①幾何圖形的定義：我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形。
②幾何圖形分為立體圖形圖形平面圖形圖形。
③ 平面圖形：圖形所表示的各個部分都在同一平面 內的圖形，如直線、三角形等。
④ 立體圖形：圖形所表示的各個部分不在同一平面內的圖形，如圓柱體。
二、常見的立體圖形
①柱體：A棱柱： B 圓柱 ② 椎體：A棱錐 B圓錐 球體等
立體圖形的三視圖：
從不同方向觀察幾何體,從正面、上面、左面三個不同方向看一個物體，然后描出三張所看到的圖（分別叫做主視圖、左視圖、俯視圖），這樣就可以把立體圖形轉化為平面圖形。
①會觀察小正方體堆積圖形畫出三視圖 ②會根據三視圖知道堆積的小正方體的個數
立體圖形的展開圖
①圓柱的側面展開圖是長方形。②圓錐的側面展開圖是扇形。③n棱柱的側面展開圖是 n邊 形 ，n棱柱有 兩個底面，都是n邊形 ，n棱柱的側面展開圖是長方形。④n棱錐的側面展開圖是 n個三角形 形 ，n棱錐有一個底面，是多邊形。⑤正方體的展開圖共分四類：
①掌握在正方體展開圖中找相對面的方法 ②會根據展開圖中的圖案判斷是哪個圖形的展開圖
點、線、面、體
立體圖形是幾何體，簡稱體；包圍著體的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點。
2、幾何圖形都是由點、線、面、體組成，點是構成圖形的基本元素。
六、直線、射線、線段
1、線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫線段，這兩個點叫線段的端點。
射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。
直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。
2、點與直線的位置關系：點p在直線a上(或說直線a經過點p)；
點p不在直線a上(或說直線a不經過點p) 。
過一點可畫無數條直線，過兩點有且僅有一條直線。簡述為：兩點確定一條直線。
3、線段的中點：把一線段分成兩相等線段的點。
兩點的所有連線中，線段最短，簡述為：兩點之間，線段最短。
兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度。
線段的長短比較：⑴度量法；⑵疊合法
角：
1 .角：由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點旋轉而成）。
2.角的表示：三個大寫字母;一個大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個數字;一個希臘字母。
3.角的要素：頂點和邊，角的大小與邊的長短無關。
4.角的單位：度,分,秒 ①1°的60分之一為1分，記作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一為1秒，記作1″，即1′＝60″
5.角的大小比較：⑴度量法；⑵疊合法。
6.角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個等角，這條射線叫角平分線。
7.余角和補角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角；如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角。
8.性質：等角的補角相等；等角的余角相等。
七、數學思想
1.分類思想：位置不確定需要分類，數量關系不確定需要分類
2 .方程思想：在處理有關角的大小，線段大小的計算時利用方程列出等量關系
化歸思想.在進行線段、射線、直線、角以及相關圖形的計數時總要化歸到公式的具體運用上來.
高頻考點練練練
【考點1】立體圖形與平面圖形
【例1-1】如圖，下列五個幾何體中，柱體有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】柱體的結構特征：有兩個面互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做柱體．
【解答】解：左邊第一個圖是四棱錐；左邊第二個圖是圓柱；左邊第三個圖是圓錐；左邊第四個圖是三棱柱；左邊第五個圖是球；
綜上分析可知，柱體有2個，故C正確．
故選：C．
【點評】本題主要考查了立體圖形的認識，關鍵是對圓柱體結構特征的認識．
【例1-2】下列說法錯誤的是（　　）
A．柱體的上、下兩個底面一樣大
B．棱柱至少由5個面圍成
C．長方體屬于棱柱
D．圓錐由兩個面圍成，且這兩個面都是曲面
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據各幾何體面的構成特點逐一解答即可．
【解答】解：對于A選項，根據柱體的特點可以得出該選項正確，不符合題意；
對于B選項，根據棱柱的特點可以得出該選項正確，不符合題意；
對于C選項，根據棱柱和長方體的特點可以得出該選項正確，不符合題意；
對于D選項，根據圓錐是由兩個面圍成，它的側面是曲面，底面是平面，可以得出該選項不正確，符合題意；
故選：D．
【點評】此題考查了幾何體的面的定義及分類，正確掌握面的及各幾何體的特點是解題的關鍵．
針對練習1
1．下列幾何體是棱錐的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據棱錐的定義判定，即可．
【解答】解：A、屬于棱錐，符合題意；
B、 是圓柱，不符合題意；
C、 是圓錐，不符合題意；
D、是棱柱，不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查棱錐的知識，解題的關鍵是理解棱錐的定義：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫棱錐．
2．下列幾何圖形中，不屬于平面圖形的是（　　）
A．三角形 B．球 C．圓 D．長方形
【考點】認識平面圖形．版權所有
【分析】根據幾何圖形的分類結合所給幾何圖形進行分析判斷即可．
【解答】解：A、三角形是平面圖形，不符合題意；
B、球是立體圖形，不是平面圖形，符合題意；
C、圓是平面圖形，不符合題意；
D、長方形是平面圖形，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了幾何圖形的分類，熟悉常見幾何圖形中的平面圖形和立體圖形是解答本題的關鍵．
【考點2】立體圖形的展開圖
【例2-1】下列圖形中，經過折疊不能得到三棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據三棱柱展開圖的特征進行判斷即可．
【解答】解：根據三棱柱的展開圖的特征可知，選項C中的展開圖不能折疊成三棱柱，
故選：C．
【點評】本題考查認識立體圖形，掌握三棱柱的形體特征是正確判斷的前提．
【例2-2】現有4枚相同的骰子，骰子的表面展開圖如圖所示．這4枚骰子摞在一起后，如圖所示，相互接觸的兩個面的點數之和都是8，每枚骰子都有一個面被陰影遮住了，你能說出每個被陰影遮住的面的點數嗎？
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據幾何體的展開圖和相互接觸的兩個面的點數之和都是8，逐項分析判斷即可．
【解答】解：①為1；②為6；③4；④為3．
【點評】本題考查了立體圖形的展開圖，從幾何體的展開圖和相互接觸的兩個面的點數之和都是8是解題的關鍵．
針對練習2
1．如圖，白紙上有一個表面涂滿染料的小正方體．在不脫離白紙的情況下，轉動正方體，使其各面染料都能印在白紙上，切各面僅能接觸白紙一次，則在白紙上可以形成的圖形有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據圖形能否折疊成正方體及各面僅能接觸白紙一次逐一分析即可．
【解答】解：①能折疊成正方體且各面僅能接觸白紙一次，符合題意；
②能折疊成正方體且各面僅能接觸白紙一次，符合題意；
③不能折疊成正方體，不符合題意；
④不能折疊成正方體，不符合題意；
綜上分析可知，符合題意的有2個，故B正確．
故選：B．
【點評】本題主要考查了正方體的展開圖，解題的關鍵是熟練掌握正方體展開圖的特點．
2 .把正方體的六個面分別標上1，2，3，4，5，6，現將上述四個完全一樣的正方體排成一個如圖水平放置的長方體那么長方體的下底面的所有數字之和為 　12　．
【考點】認識立體圖形；有理數的加法．版權所有
【分析】根據題意得圖中四個小正方體的上面可以看到數字，則求長方體的下底面的數字之和就是求上面已知的四個數字的對面數字之和；由于最右邊的小正方體各面的已知數字看到的最多，結合左面兩個小正方體的已知數字中都有3，則可知3的四個相鄰面的數字，則3的對面數字即可推出；繼而可知1的四個相鄰面的數字，其對面數字可知，則剩余一對對面數字即可得出；按得出的三對相對面的數字即可求出上面已知的四個數字的對面數字，計算出和即可．
【解答】解：因為觀察3的相鄰面有2，4，1，6，
所以3的對面為5，
因為1的相鄰面有2，6，3，5，
所以1的對面是4，
所以6的對面是2．
所以長方體下底面數字之和為5+1+4+2＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查立體圖形中正方體的展開與折疊，正確判斷出“對面”是解決問題的關鍵．
【考點3】三視圖
【例3-1】如圖所示，在一次數學活動課上，小明用16個小正方體搭成了一個幾何體，然后他想用其他同樣的小正方體繼續搭成一個長方體，若不改變小明開始所搭幾何體的形狀，那么他至少還需要 　20　個小正方體才能搭成長方體．
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】根據小明所搭長方體的長、寬、高分別由3個正方體、3個正方體、4個正方體構成，可得出所搭長方體所用小正方體的個數，進而根據小明用了16個小正方體可得出答案．
【解答】解：依題意得：小明所搭長方體的長、寬、高分別由3個正方體、3個正方體、4個正方體構成，
∴所搭長方體所用小正方體的個數為：3×3×4＝36（個）
又∵小明用了16個小正方體，
∴他至少還需要的小正方體個數為：36﹣16＝20（個）．
故答案為：20．
【點評】此題主要考查了長方體的認識，長方體的體積，理解題意，準確識圖，熟練掌握長方體的體積計算公式是解決問題的關鍵．
【例3-2】如圖所示，在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為3cm正方體堆成的一個幾何體．如果在這個幾何體的表面（露出的部分）噴上黃色的漆，求這個幾何體噴漆的面積 　288cm2　．
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】求出這個組合體的主視圖、左視圖、俯視圖的面積，再根據表面積的定義和計算方法進行計算即可．
【解答】解：這個組合體的主視圖的面積為3×3×6＝54（cm2），左視圖的面積為3×3×6＝54（cm2），俯視圖的面積為3×3×6＝54（cm2），
所以這個幾何體噴漆的面積為54×5+3×3×2＝288（cm2），
故答案為：288cm2．
【點評】本題考查認識立體圖形，求出這個組合體的主視圖、左視圖、俯視圖的面積以及被“遮擋”的面積是正確解答的關鍵．
針對練習3
1．把5個正方體按如圖所示方式擺放，沿箭頭方向觀察這個立體圖形，得到的平面圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】認識平面圖形；認識立體圖形．版權所有
【分析】根據觀察方向即可求解．
【解答】解：由題意可知：該立體圖形的正視圖為A．
故選：A．
【點評】本題考查立體圖的三視圖．屬于簡單題．
2．搭出同時符合下面要求的物體，需要（　　）個小正方體．
A．10 B．7 C．8 D．9
【考點】認識立體圖形．版權所有
【分析】關鍵三視圖的形狀，在俯視圖的相應位置標注所擺放的小正方體的個數即可．
【解答】解：由這個組合體的三視圖的形狀，在俯視圖的相應位置標注所擺放的小正方體的個數如圖所示：上
所以需要的小正方體的個數為7個，
故選：B．
【點評】本題考查認識立體圖形，掌握簡單組合體三視圖的畫法和形狀是正確解答的前提．
【考點4】點、線、面、體
【例4-1】．探究：有一長6cm，寬4cm的矩形紙板，現要求以其一組對邊中點所在直線為軸，旋轉180°，得到一個圓柱，現可按照兩種方案進行操作：
方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖①；
方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖②．
（1）請通過計算說明哪種方法構造的圓柱體積大；
（2）如果該矩形的長寬分別是5cm和3cm呢？請通過計算說明哪種方法構造的圓柱體積大；
（3）通過以上探究，你發現對于同一個矩形（不包括正方形），以其一組對邊中點所在直線為軸旋轉得到一個圓柱，怎樣操作所得到的圓柱體積大（不必說明原因）？
【考點】點、線、面、體．版權所有
【分析】（1）根據矩形旋轉是圓柱，可得幾何體，根據圓柱的體積公式，可得答案；
（2）根據矩形旋轉是圓柱，可得幾何體，根據圓柱的體積公式，可得答案；
（3）根據矩形旋轉所的幾何體的大小比較，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3），
方案二：π×22×6＝24π（cm3），
∵36π＞24π，
∴方案一構造的圓柱的體積大；
（2）方案一：π×（）2×3＝π（cm3），
方案二：π×（）2×5＝π（cm3），
∵π＞π，
∴方案一構造的圓柱的體積大；
（3）由（1）、（2），得
以較長一組對邊中點所在直線為軸旋轉得到的圓柱的體積大．
【點評】本題考查了點線面體，利用矩形旋轉得圓柱是解題關鍵．
【例4-2】探究：有一長9cm，寬6cm的長方形紙板，現要求以其一組對邊中點所在直線為軸，旋轉180°，得到一個圓柱，現可按照兩種方案進行操作：方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖①；方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉，如圖②．
（1）請通過計算說明哪種方案構造的圓柱體積大；
（2）若將此長方形繞著它的其中一條邊所在的直線為軸旋轉360°，則得到的圓柱體積為多少？
【考點】點、線、面、體．版權所有
【分析】（1）根據矩形旋轉是圓柱，可得幾何體，根據圓柱的體積公式，可得答案；
（2）根據圓柱的體積公式，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×（4.5）2×6＝121.5π（cm3），
方案二：π×32×9＝81π（cm3），
∵121.5π＞81π，
∴方案一構造的圓柱的體積大；
（2）以較短一條邊所在的直線為軸旋轉360°，其體積為：π×92×6＝486π（cm3），
以較長一條邊所在的直線為軸旋轉360°，其體積為：π×62×9＝324π（cm3）．
【點評】本題考查了點線面體，掌握矩形旋轉得圓柱是關鍵．
針對練習4
1．如圖，將長方形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】點、線、面、體．版權所有
【分析】根據面動成體：一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱，據此判斷即可．
【解答】解：由題意可知：
一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱．
故選：A．
【點評】本題考查了圓柱的概念和面動成體，屬于應知應會題型，熟練掌握基礎知識是解題關鍵．
2．“槍打一條線，棍掃一大片”從字面上理解這句話所描述的現象，用數學知識可解釋為：　點動成線，線動成面　．
【考點】點、線、面、體．版權所有
【分析】子彈可看作一個點，棍可看作一條線，由此可得出這個現象的本質．
【解答】解：“槍打一條線，棍掃一大片”從字面上理解這句話所描述的現象，用數學知識可解釋為：點動成線，線動成面，
故答案為：點動成線，線動成面．
【點評】本題考查了點、線、面、體，把生活中的實物抽象為數學上的模型是解題的關鍵．
【考點5】直線、射線、線段
【例5-1】探究歸納題：
（1）試驗分析：
如圖1，直線上有兩點A與B，圖中有線段　1　條；
（2）拓展延伸：
圖2直線上有A，B，C三個點，以A為端點，有線段AB，線段AC；同樣以C為端點，有線段CA，線段CB；以B為端點，有線段BA，線段BC，去除重復線段，圖2共有　3　條線段；
同樣方法探究出圖3中有　6　條線段；
（3）探索歸納：
如果直線上有n（n為正整數）個點，則共有　　條線段．（用含n的式子表示）
（4）解決問題：
①中職籃（CBA）2018﹣﹣2019賽季，比賽隊伍數仍然為20支，截止2018年12月14日，賽程已經過半（每兩隊之間都賽了一場），請你幫助計算一下目前一共進行了多少場比賽？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高鐵喀左站客運專線路基工程全部完成，將正式進入軌道鋪設階段，預計2020年7月1日通車，北京至赤峰有北京星火站，順義西站，懷柔南站，密云站，興隆西站，安匠站，承德南站，承德縣北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，寧城站、平莊西站、赤峰西站等共計14個車站，請你幫助計算一下，應該設計多少種高鐵車票？
【考點】直線的性質：兩點確定一條直線；列代數式；直線、射線、線段．版權所有
【分析】（1）根據線段的定義解答；
（2）根據線段的定義解答；
（3）根據線段的定義解答；
（4）根據線段的定義解答即可得到結論．
【解答】解：（1）直線上有兩點A與B，圖中有線段1條；
故答案為：1；
（2）圖2直線上有A，B，C三個點，以A為端點，有線段AB，線段AC；同樣以C為端點，有線段CA，線段CB；以B為端點，有線段BA，線段BC，去除重復線段，圖2共有3條線段；
同樣方法探究出圖3中有6條線段，
故答案為：3條，6條；
（3）如果直線上有n（n為正整數）個點，則共有條，
故答案為：；
（4）①20×（20﹣1）÷2＝190場，
答：一共進行了190場比賽；
②14×（14﹣1）＝182種，
答：應該設計182種高鐵車票．
【點評】本題考查了直線、射線、線段，角的概念，熟記概念是解題的關鍵，要注意兩站之間需要兩種車票．
【例5-2】根據下列語句，畫出圖形．如圖，已知四點A，B，C，D．
（1）順次連接A、B、C、D；
（2）在線段AB反向延長線上取一點E，使AE＝AD；
（3）在四邊形ABCD內取一點O，連OA，OB，OC，OD，使A、O、C三點不共線；B、O、D三點不共線．
（4）在四邊形ABCD內找一點P，使PA+PB+PC+PD最小．
【考點】線段的性質：兩點之間線段最短；直線、射線、線段．版權所有
【分析】（1）根據題意連接順次連接A、B、C、D即可；
（2）延長BA，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BA的延長線于點E，點E即為所求，
（3）根據題意畫出點O即可；
（4）連接AC，BD交于點P，點P即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，
（2）如圖所示，延長BA，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BA的延長線于點E，點E即為所求，
（3）如圖所示，
（4）如圖所示，連接AC，BD交于點P，點P即為所求．
【點評】此題考查了作線段等于已知線段，兩點之間線段最短，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間線段最短．
針對練習5
1．如圖，在同一個平面內有四個點，請用直尺和圓規按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）：
（1）作射線AB；
（2）作直線AC與直線BD相交于點O；
（3）在射線AB上作線段AC′，使線段AC′與線段AC相等．
【考點】直線、射線、線段．版權所有
【分析】（1）（2）按要求作圖；
（3）根據作一條線段等于已知線段作圖即可．
【解答】解：（1）作射線AB，如圖所示；
（2）作直線AC與直線BD相交于點O，如圖所示；
（3）作法：以A為圓心，線段AC′的長為半徑，在射線AB上畫弧，交射線AB于C′，線段AC′就是所求．
【點評】本題考查了作線段、直線和射線的基本作圖，還考查了角平分線的定義，難度不大，屬于基礎題．
2．如圖，在平面內有A，B，C三點．
（1）畫直線AB；畫射線AC；畫線段BC；
（2）在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接AD，并延長AD至點E，使DE＝AD；
（3）數一數，此時圖中共有多少條線段？多少條射線？
【考點】直線、射線、線段．版權所有
【分析】（1）依據直線、射線、線段的定義，即可得到直線AB，射線AC，線段BC；
（2）依據在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接線段AD，并延長AD至點E，使DE＝AD作圖即可求解；
（3）根據圖中的線段為AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到圖中線段的條數，再根據端點得到圖中射線的條數．
【解答】解：（1）如圖，直線AB，線段BC，射線AC即為所求；
（2）如圖，線段AD和線段DE即為所求；
（3）圖中共有8條線段，6條射線．
【點評】本題主要考查了直線、射線、線段的定義，熟練掌握各定義是解題的關鍵．
3 .舉一個實際例子，說明“經過兩點有一條而且只有一條直線”的應用．
【考點】直線的性質：兩點確定一條直線．版權所有
【分析】例如，挖地基在地上畫線時，先在地上釘兩根木樁，就可以拉一條線．
【解答】解：例如，挖地基在地上畫線時，先在地上釘兩根木樁，就可以拉一條線；這就說明經過兩點有一條而且只有一條直線．
【點評】本題考查的是直線的性質：兩點確定一條直線．學生要熟練掌握直線的性質，并要善于應用，在實踐中遇到畫直線的問題時，由兩點即可確定．
【考點6】線段的大小比較
【例6-1】如圖所示，已知點C是線段AB的中點，D是AC上任意一點，M、N分別是AD、DB的中點，若AB＝16，求MN的長．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】由圖可看出AD+BD等于AB的長，已知N，M分別是AD，DB的中點，所以NM即AB的一半．
【解答】解：∵點C是線段AB的中點，D是AC上任意一點，M、N分別是AD、DB的中點，AB＝16
∴AD+BD＝AB＝16
∴MN＝MD+DN＝（AD+BD）＝8．
【點評】此題主要考查學生的讀圖能力及線段長短的比較．
【例6-2】已知AB＝10cm，直線AB上有一點C，BC＝4cm，M是線段AC的中點，求AM的長．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】由已知條件可知，分兩種情況討論：
（1）點C在線段AB上；
（2）點C在線段AB的延長線上．
【解答】解：
（1）如圖1，點C在線段AB上，
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm），
∵M是AC的中點，
∴AM＝AC＝3（cm）．
（2）如圖2，點C在線段AB的延長線上．
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm），
∵M是AC的中點，
∴AM＝AC＝7（cm）．
∴AM的長為3cm或7cm．
【點評】利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
針對練習6
1．如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是線段AC的中點的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】根據題意，畫出圖形，觀察圖形，一一分析選項，排除錯誤答案．
【解答】
解：如圖，若B是線段AC的中點，
則AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB，
而AB+BC＝AC，B可是線段AC上的任意一點，
∴表示B是線段AC的中點的有①②③3個．
故選：C．
【點評】利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性，同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
2．已知，B是線段AD上一點，C是線段AD的中點，若AD＝10，BC＝3，則AB＝　2或8　．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】根據題意，正確畫出圖形，顯然此題有兩種情況：
當點B在中點C的左側時，AB＝AC﹣BC；
當點B在中點C的右側時，AB＝AC+BC．
【解答】
解：如圖，∵C是線段AD的中點，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴當點B在中點C的左側時，AB＝AC﹣BC＝2．
當點B在中點C的右側時，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【點評】注意此類題要分情況畫圖，然后根據中點的概念以及圖形進行相關計算．
3．如圖，已知點A、B、C、D、E在同一直線上，且AC＝BD，E是線段BC的中點．
（1）點E是線段AD的中點嗎？說明理由；
（2）當AD＝10，AB＝3時，求線段BE的長度．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】（1）點E是線段AD的中點．由于AC＝BD可以得到AB＝CD，又E是線段BC的中點，利用中點的性質即可證明結論；
（2）由于AD＝10，AB＝3，由此求出BC，然后利用中點的性質即可求出BE的長度．
【解答】解：（1）點E是線段AD的中點．（1分）
∵AC＝BD，
∴AB+BC＝BC+CD，
∴AB＝CD．（3分）
∵E是線段BC的中點，
∴BE＝EC，
∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED，
∴點E是線段AD的中點．（5分）
（2）∵AD＝10，AB＝3，
∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4，
∴BE＝BC＝×4＝2．
即線段BE的長度為2．（8分）．
【點評】此題主要考查了線段的長度的比較，其中利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
4．如圖，已知C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，AB＝10cm，求AD的長度．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】根據C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，可知AC＝CB＝AB，CD＝CB，AD＝AC+CD，又AB＝10cm，繼而即可求出答案．
【解答】解：∵C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，AB＝10cm，
∴AC＝CB＝AB＝5cm，CD＝BC＝2.5cm，
∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5cm．
【點評】本題考查了比較線段的長短的知識，注意理解線段的中點的概念．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵．
【考點7】角
【例7-1】觀察圖，回答下列問題：
（1）在圖①中有幾個角？
（2）在圖②中有幾個角？
（3）在圖③中有幾個角？
（4）以此類推，如圖④所示，若一個角內有n條射線，此時共有多少個角？
【考點】角的概念．版權所有
【分析】解答此題首先要弄清楚題目的規律：當角內有n條射線時，每條射線都與（n﹣1）條射線構成了（n﹣1）個角，則共有n（n﹣1）個角，由于兩條射線構成一個角，因此角的總數為：，可根據這個規律，直接求出（1）（2）（3）的結論；
在解答（4）題時，首先要弄清圖中共有多少條射線，已知角內共n條射線，那么圖中共有（n+2）條射線，代入上面的規律，即可得到所求的結論．
【解答】解：由分析知：
（1）①圖中有2條射線，則角的個數為：＝1（個）；
（2）②圖中有3條射線，則角的個數為：＝3（個）；
（3）③圖中有4條射線，則角的個數為：＝6（個）；
（4）由前三問類推，角內有n條射線時，圖中共有（n+2）條射線，則角的個數為個．
【點評】解答此類規律型問題，一定要弄清題目的規律，可以從簡單的圖形入手進行總結，然后得到一般化結論再進行求解．
【例7-2】鐘面上的角的問題．
（1）3點45分，時針與分針的夾角是多少？
（2）在9點與10點之間，什么時候時針與分針成100°的角？
【考點】鐘面角．版權所有
【分析】（1）由圖知，由3點到3點45分，分針轉了270°，時針轉了270°×，180°減去時針轉的度數，即為夾角；
（2）設分針轉的度數為x，則時針轉的度數為，可根據關系式，①90°+x﹣＝100°，②90°+﹣（x﹣180°）＝100°，求得x值，根據分針走1分，其轉動6°，可得到時間；
【解答】解：（1）如圖，∵由3點到3點45分，分針轉了270°，時針轉了270°×，
∴時針與分針的夾角是：180°﹣270°×＝157.5°；
（2）設分針轉的度數為x，則時針轉的度數為，
得①90°+x﹣＝100°，
解得，x＝°，
°÷6°＝（分）；
②90°+﹣（x﹣180°）＝100°，
解得，x＝°，
°÷6°＝（分）；
∴9點過或分鐘時，時針與分針成100°的角．
【點評】本題考查了鐘表分針所轉過的角度計算．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉動的度數關系：分針每轉動1°時針轉動（）°，并且利用起點時間時針和分針的位置關系建立角的圖形．
針對練習7
1．如圖，回答下列問題：
（1）寫出能用一個字母表示的角：　∠A，∠C　；
（2）寫出以B為頂點的角：　∠ABE，∠ABC，∠EBC　；
（3）圖中共有幾個小于平角的角？分別把它們表示出來．
【考點】角的概念．版權所有
【分析】根據角的概念和角的表示方法，依題意求得答案．
【解答】解：（1）能用一個字母表示的角有2個：∠A，∠C；
（2）以B為頂點的角有3個：∠ABE，∠ABC，∠EBC；
（3）圖中小于平角的角有7個：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC．
故答案為：∠A，∠C；∠ABE，∠ABC，∠EBC；7個．
【點評】利用了角的概念求解．從一點引出兩條射線組成的圖形就叫做角．角的表示方法一般有以下幾種：
1、角+3個大寫英文字母；
2、角+1個大寫英文字母；
3、角+小寫希臘字母；
4、角+阿拉伯數字．
2．（1）如圖①所示，當以點O為端點的射線有3條時，圖中共有 　3　個角，它們分別是 　∠AOC、∠AOB、∠BOC　；
（2）如圖②所示，當以點O為端點的射線有4條時，圖中共有 　6　個角，它們分別是 　∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB　；
（3）如圖③所示，當以點O為端點的射線有5條時，圖中共有 　10　個角，它們分別是 　∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB　；
（4）當以點O為端點的射線有n（n為大于或等于3的正整數）條時，請你猜想共有 　　個角，并簡述理由．
【考點】角的概念．版權所有
【分析】（1）根據角的定義解決此題．
（2）根據角的定義解決此題．
（3）根據角的定義解決此題．
（4）根據角的定義解決此題．
【解答】解：（1）圖①中角的個數有2+1＝3（個），分別為∠AOC、∠AOB、∠BOC．
故答案為：3，∠AOC、∠AOB、∠BOC．
（2）圖②中角的個數有3+2+1＝6（個），分別為∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB．
故答案為：6，∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB．
（3）圖③中角的個數有4+3+2+1＝10（個），分別為∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB．
故答案為：10，∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB．
（4）當以點O為端點的射線有n（n為大于或等于3的正整數）條時，角的個數為n﹣1+n﹣2+…+2+1＝（個）．
故答案為：．
【點評】本題主要考查角，熟練掌握角的定義是解決本題的關鍵．
3．（1）鐘表上2時15分時，時針與分針所成的銳角的度數是多少？
（2）若時針由2點30分走到2點55分，問分針轉過多大的角度？
【考點】鐘面角．版權所有
【分析】（1）利用鐘表的鐘面上每一格的度數為30度，然后利用時針從數字2開始轉動的角度為15×0.5°＝7.5°，然后用30°減去7.5°得到時針與分針所成的銳角的度數；
（2）利用分針每分鐘轉動6°求解．
【解答】解：（1）2點15分時分針指向數字3，而時針從數字2開始轉動的角度為15×0.5°＝7.5°，
所以鐘表上2時15分時，時針與分針所成的銳角的度數為30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分針轉過的角度為25×6°＝150°．
【點評】本題考查了鐘面角：分針每分鐘轉動的角度為：360°÷60＝6°；時針每分鐘轉動的角度為：360°÷12÷60＝0.5°．
4．計算：．
【考點】度分秒的換算．版權所有
【分析】根據度分秒的進制，進行計算即可解答．
【解答】解：
＝
＝36°16'+14°20'
＝50°36'．
【點評】本題考查了角度的運算、度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．
【考點8】角的比較與運算
【8-1】（1）如圖1，射線OC在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度數；
（2）射線OC，OD在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度數；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他條件不變，請用含m，n的代數式表示MON的度數（不用說理）．
【考點】角的計算；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）根據角平分線的定義可得：∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，相加可得∠MON的度數；
（2）根據角平分線的定義可得：∠COM＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，將∠MON分成三個角相加，并等量代換可得結論；
（3）同理可得結論．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理∠CON＝∠BOC，
∵∠MON＝∠COM+∠CON，
∴∠MON＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝×110°＝55°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理可得：∠DON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD，
＝∠AOC+∠BOD+∠COD，
＝（∠AOC+∠BOD）+∠COD，
＝（∠AOB﹣∠COD）+∠COD，
＝（∠AOB+∠COD），
∵∠AOB＝100°，∠COD＝20°，
∴∠MON＝（100°+20°）＝60°，
（3）由（2）得：∠MON＝（m+n）°．
【點評】本題是有關角的計算，考查了角平分線的定義及角的和差倍分，注意利用數形結合的思想．
【8-2】已知：點O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線．
（1）當點C、D、E在直線AB的同側（如圖1）時，
①若∠COE＝30°，求∠AOD的度數
②若∠COE＝β，則∠AOD＝　2β　．（用含β的式子表示）
（2）當點C與點D，E在直線AB的兩側（如圖2）時，（1）中②的結論是否仍然成立？請給出你的結論并說明理由．
【考點】角的計算；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）①根據∠COD＝90°，∠COE＝30°，求出∠EOD，再根據角平分線得到∠BOD，即可得到答案；②根據∠COD＝90°，∠COE＝β，求出∠EOD，再根據角平分線得到∠BOD，即可得到答案；
（2）根據∠COD＝90°，∠COE＝β，求出∠EOD，再根據角平分線得到∠BOD，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝30°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣30°＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝2×60°＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°；
②∵∠COD＝90°，∠COE＝β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣β，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝180°﹣2β；
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β，
故答案為：2β；
（2）（1）中結論仍然成立，理由如下，
∵∠COD＝90°，∠COE＝β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣β，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝180°﹣2β；
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β．
【點評】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
針對練習8
1．如圖，O是直線CE上一點，以O為頂點作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直線CE兩側，OB平分∠COD．
（1）當∠AOC＝60°時，求∠DOE的度數；
（2）請你猜想∠AOC和∠DOE的數量關系，并說明理由．
【考點】角的計算；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）根據互余，可求出∠BOC，再根據角平分線，求出∠BOD，最后根據補角的意義求出∠DOE；
（2）由特殊到一般，利用等量代換得出結論．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，
理由如下：∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC．
【點評】本題考查角的計算、角平分線的意義，等量代換和恒等變形是常用的方法．
2．如圖，射線OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數是否會發生變化？簡單說明理由．
【考點】角的計算；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）由OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，利用角平分線的定義及等量代換即可得出所求角的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數不會發生變化，根據（1）的過程即可得到結果．
【解答】解：（1）∵OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
＝
＝
＝45°；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數不會發生變化，
由（1）可得，
所以只要∠AOB的大小不變，無論OC在∠AOB內怎樣轉動，∠MON的度數不會發生變化．
【點評】此題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．
3．如圖，已知點O是直線AD上一點，射線OC、OE分別是∠AOB、∠BOD的平分線．
（1）若∠AOC＝20°，求∠BOE的度數和∠COE的度數．
（2）如果把“∠AOC＝20°”條件去掉，那么∠COE的度數有變化嗎？請說明理由．
【考點】角的計算；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）根據兩角互補和是180°，求得∠BOD＝120°，在利用角平分線的定義，很容易求出所求角的度數；
（2）由角平分線的定義得∠BOE＝∠BOD，∠BOC＝，再根據角的和差得∠COE＝＝（∠BOD+∠AOB），便可得結論．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOC＝20°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝40°，∠BOC＝∠AOC＝20°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝140°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝70°．
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝70°+20°＝90°；
（2）∠COE的度數不變化，理由如下：
∵射線OC、OE分別是∠AOB、∠BOD的平分線，
∴∠BOE＝∠BOD，∠BOC＝，
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝∠BOD+∠AOB＝（∠BOD+∠AOB）＝＝90°，
∴∠COE的度數不變化．
【點評】本題考查了角平分線的定義．此題關鍵是充分利用角平分線的定義和兩角互補的定義．
【考點9】方向角
【例9-1】如圖，射線OA的方向是北偏東15°，射線OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射線OD是OB的反向延長線．
（1）射線OC的方向是　北偏東70°　；
（2）求∠COD的度數；
（3）若射線OE平分∠COD，求∠AOE的度數．
【考點】方向角．版權所有
【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度數，即可確定OC的方向；
（2）根據∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，進而求出∠COD的度數；
（3）根據射線OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏東15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏東70°；
故答案為：北偏東70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射線OD是OB的反向延長線，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
（3）∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【點評】此題主要考查了方向角的表達即方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）多少度．
【例9-2】如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發，客船與貨船的速度比為4：3，出發1小時后，客船比貨船多走了10海里．客船沿北偏東25°方向航行，2小時后貨船到達B處，客船到達C處，若此時兩船相距100海里．
（1）求兩船的速度分別是多少？
（2）求貨船航行的方向．
【考點】方向角．版權所有
【分析】（1）設客船與貨船的速度分別是4x海里/小時和3x海里/小時，依據客船1小時比貨船多走10海里，列方程求解即可；
（2）依據AC2+AB2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根據貨船航行方向，即可得到客船航行的方向．
【解答】解：（1）設客船與貨船的速度分別是4x海里/小時和3x海里/小時，
根據題意得4x﹣3x＝10，
解得x＝10，
∴4x＝40，3x＝30，
即客船與貨船的速度分別是40海里/小時和30海里/小時；
（2）∵AB＝30×2＝60海里，AC＝40×2＝80海里，BC＝100海里，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠DAC＝25°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAC＝65°，
即貨船航行的方向為南偏東65°．
【點評】本題主要考查了方向角以及勾股定理的應用，正確得出AB的長是解題的關鍵．
針對練習9
1．如圖，射線OA表示的方向是北偏東44°，射線OB表示的方向是北偏東76°，已知圖中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度數；
（2）寫出射線OC的方向．
【考點】方向角．版權所有
【分析】（1）根據方向角的定義，結合圖形中角的和差關系得出答案；
（2）根據角的和差關系求出∠NOC即可．
【解答】解：（1）如圖，射線OA表示的方向是北偏東44°，即∠NOA＝44°
射線OB表示的方向是北偏東76°，即∠NOB＝76°，
∴∠AOB＝∠NOB﹣∠NOA＝76°﹣44°＝32°，
即∠AOB＝32°；
（2）∵∠BOC＝122°，∠NOB＝76°，
∴∠NOC＝∠BOC﹣∠NOB
＝122°﹣76°
＝46°，
∴射線OC的方向為北偏西46°．
【點評】本題考查方向角，理解方向角的定義以及角的和差關系是正確解答的前提．
2．如圖，B處在C處的南偏東30°方向，B處在A處的北偏東70°方向，C處在A處的北偏東45°方向，求∠ABC的度數．
【考點】方向角．版權所有
【分析】根據平行線的性質和利用三角形內角和定理進行計算即可解答．
【解答】解：由題知∠EAC＝45°，∠BCF＝30°，∠EAB＝70°，
∵AE∥CF，
∴∠ACF＝∠EAC＝45°，
∵∠BCF＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∵∠EAC＝45°，∠EAB＝70°，
∴∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝80°．
【點評】本題考查了方向角，三角形內角和定理，熟練掌握方向角的定義，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．
【考點10】余角、補角
【例10-1】以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝60°，將一個直角三角形DOE的直角頂點放在點O處．
（1）如圖1，若直角三角形DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝　30°　；
（2）如圖2，將直角三角形DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，請判斷OD是否平分∠BOC，并說明理由；
（3）將三角形DOE繞點O逆時針轉動到某個位置時，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度數．
【考點】余角和補角；角的計算．版權所有
【分析】（1）根據∠COE＝∠DOE﹣∠BOC即可作答；
（2）由∠BOC＝60°，得∠AOC＝180°﹣60°＝120°，根據OE恰好平分∠AOC，有∠EOC＝120°÷2＝60°，即可得∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，即可得∠BOD＝∠COD，問題得解；
（3）由∠AOE＝5∠COD，設∠COD＝x，則∠AOE＝5x，分兩種情況：第一種OD在∠AOC內，第二種OD在∠BOC內，列出方程，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°，
故答案為：30°；
（2）OD平分∠BOC，理由如下：
∵直線AB上一點O，
∴∠AOB＝180°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴∠EOC＝120°÷2＝60°，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BOD＝∠COD，
∴OD平分∠BOC；
（3）∵∠AOE＝5∠COD，
∴設∠COD＝x，則∠AOE＝5x．
分兩種情況：
①如圖，OD在∠AOC內，
∵∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC＝180°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
∴6x＝30°，
∴x＝5，
∴∠COD＝5°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°+5°＝65°；
②如圖，OD在∠BOC內，
∵∠AOE+∠BOD＝∠AOB﹣∠EOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AOE+∠BOC﹣∠COD＝90°，
∴5x+60°﹣x＝90°，
解得x＝7.5°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5°＝52.5°；
綜上∠BOD＝65°或52.5°．
【點評】本題考查了角平分線定義和角的計算，能根據圖形和已知求出各個角的度數是解此題的關鍵．
【例10-2】如圖，在直線AD上任取一點O，過點O做射線OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，當∠AOC＝27°58'時，求∠DOE的度數．
【考點】余角和補角；角的概念；度分秒的換算；角平分線的定義．版權所有
【分析】先根據角平分線的定義得到∠AOB＝55°56'，再由平角的定義求出∠BOD＝124°4'，即可由角平分線的定義得到∠DOE＝62°2'．
【解答】解：OC平分∠AOB，∠AOC＝27°58'，
∴∠AOB＝2∠AOC＝55°56'，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝124°4'，
∵OE平分∠DOB，
∴．
【點評】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算，正確求出∠BOD＝124°4'是解題的關鍵．
針對練習10
1．如圖1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC內部從點O出發的一條射線，OE平分∠AOD．
（1）【基礎嘗試】如圖2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度數；
（2）【畫圖探究】設∠COE＝x°，用x的代數式表示∠BOD的度數；
（3）【拓展運用】若∠COE與∠BOD互余，∠AOB與∠COD互補，求∠AOB的度數．
【考點】余角和補角；角平分線的定義．版權所有
【分析】（1）由角平分線的定義，得出∠AOC＝∠COB＝60°，再結合圖形，即可求解；
（2）由角平分線的定義，得出，表示出∠COE，即可求解；
（3）由（2）得∠BOD＝2∠COE，再由題意確定∠COE＝30°，∠BOD＝60°，結合圖形，列出關于∠AOB的方程組，即可求解．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠COB＝60°，
∵∠COD＝10°，
∴∠AOD＝60°+10°＝70°，
∵OE平分∠AOD，
∴．
（2）∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
∴，
∵∠COE＝x°，
∴，
即，
∴∠BOD＝2x°；
（3）∵由（2）得∠BOD＝2∠COE，
∵∠COE與∠BOD互余，∠COE+∠BOD＝90°，
∴∠COE＝30°，∠BOD＝60°，
∵∠AOB與∠COD互補，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵，
∴∠AOB，
∴∠AOB＝160°．
【點評】本題考查的是余角和補角，角的計算及一元一次方程的應用，解題關鍵是由角平分線定義得出有關等式．
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足為O．
（1）寫出圖中所有與∠AOD互補的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度數．
【考點】余角和補角．版權所有
【分析】（1）根據鄰補角的定義確定出∠AOC和∠BOD，再根據角平分線的定義可得∠AOF＝∠EOF，根據垂直的定義可得∠COF＝∠DOF＝90°，然后根據等角的余角相等求出∠DOE＝∠AOC，從而最后得解；
（2）根據角平分線的定義求出∠AOF，再根據余角的定義求出∠AOC，然后根據對頂角相等解答．
【解答】解：（1）∵直線AB，CD相交于點O，
∴∠AOC和∠BOD與∠AOD互補，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴∠DOE也是∠AOD的補角，
∴與∠AOD互補的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
【點評】本題考查了余角和補角，對頂角相等的性質，角平分線的定義，難點在于（1）根據等角的余角相等確定出與∠AOD互補的第三個角．
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