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七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十七 直線、射線、線段上的動(dòng)點(diǎn)問題大串講
解題策略：
點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱為動(dòng)態(tài)幾何問題，它以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，將多個(gè)知識點(diǎn)綜合起來，構(gòu)成各類考試的壓軸題。
這類問題往往與行程問題中的相遇、追及問題相結(jié)合，因此應(yīng)用方程方法解決這類問題是常用的方法之一。同時(shí)問題中經(jīng)常涉及多個(gè)不同情況或不同過程，分類討論思想也是一個(gè)重要的考查點(diǎn)，有時(shí)還與定值問題相關(guān)聯(lián)。
類型一、線段（直線）上的動(dòng)點(diǎn)
方法：①設(shè)元，表示這個(gè)量，用代數(shù)式表示其他相關(guān)聯(lián)的量。
②推理計(jì)算這個(gè)量的結(jié)果。
【例1-1】（1）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在線段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求線段CD的長度；
（2）若將（1）中的“點(diǎn)D在線段CB上”改為“點(diǎn)D在直線CB上”，其他條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)線段CD的長度；
（3）若線段AB＝12cm，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)，EF＝　 　cm；
②當(dāng)AC＝4cm時(shí)，EF＝　 　cm；
③當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合），求線段EF的長度．
【例1-2】【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．
【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
【綜合運(yùn)用】
（1）填空：
①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝　 　，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為 　 　；
②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　 　；點(diǎn)Q表示的數(shù)為 　 　．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；
（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．
【例1-3】已知，直線l上線段AB＝6、線段CD＝2（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．
（1）若線段BC＝1，則線段AD＝　7或9　；
（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，求線段PQ的長度；
（3）若線段CD從點(diǎn)B開始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若MN＝2DN，求線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
針對練習(xí)1
1．如圖，已知線段AB＝15cm，CD＝3cm，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)．
（1）若AC＝4cm，求線段CF的長；
（2）當(dāng)線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C，D不與點(diǎn)A、B重合），試判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出線段EF的長；若變化，請說明理由．
2．如圖，在射線OM上有三點(diǎn)A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如圖所示），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）當(dāng)PA＝2PB時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70cm．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，求的值．
3．已知線段AB＝12，CD＝6，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B、C左側(cè)，C在D左側(cè)）．
（1）M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，若BC＝4，求MN；
（2）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，P是線段AB延長線上一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值；②是定值，請作出正確的選擇，并求出其定值．
4．如圖，P是定長線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD＝2AC，請說明P點(diǎn)在線段AB上的位置；
（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．
5．（1）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在線段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求線段CD的長度；
（2）若將（1）中的“點(diǎn)D在線段CB上”改為“點(diǎn)D在直線CB上”，其他條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)線段CD的長度；
（3）若線段AB＝12cm，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)，EF＝　6　cm；
②當(dāng)AC＝4cm時(shí)，EF＝　6　cm；
③當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合），求線段EF的長度．
類型二、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)
①確定動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)② 確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向③ 用代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)
向右運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)數(shù)+運(yùn)動(dòng)路程；向左運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)數(shù)-運(yùn)動(dòng)路程
【例2-1】已知數(shù)軸上A，B，C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a，b，c，且滿足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)A出發(fā)，且點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．
（1）直接寫出a＝　 ，b＝　 　，c＝ 　；
（2）若M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，試判斷在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q再從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度在A，C之間往返運(yùn)動(dòng)，直至P點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第　 ， 　秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2．
【例2-2】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，C是數(shù)軸上一點(diǎn)，且AC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示線段CP的長度；
（2）設(shè)M是AP的中點(diǎn)，N是CP的中點(diǎn)．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說出理由，若不變，求MN長度．
【例2-3】已知數(shù)軸上三點(diǎn)A，O，B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣6，0，1，點(diǎn)M為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．
（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是　 　，若點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，那么x的值是　 　；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離之和是59？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如果點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒5個(gè)單位長度和每秒1個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動(dòng)，且三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾秒種后點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，且點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？
針對練習(xí)2
1．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．
【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
【綜合運(yùn)用】
（1）填空：
①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝　 　，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為 　 　；
②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　 　；點(diǎn)Q表示的數(shù)為 　 　．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；
（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．
2．已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c，且滿足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若點(diǎn)P到A點(diǎn)距離是到B點(diǎn)距離的2倍，求點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，再立即以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A．在點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)后第幾秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4？請說明理由．
3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上三點(diǎn)，O為原點(diǎn)．點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．
（1）求點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N在線段CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．
①求點(diǎn)M、N對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）； ②t為何值時(shí)，OM＝2BN．
4．先閱讀材料：如圖（1），在數(shù)軸上A表示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即AB＝b﹣a．
解決問題：如圖（2），數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，點(diǎn)C表示的數(shù)是6．
（1）若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且AD＝3，則點(diǎn)D表示的數(shù)為 　 　；
（2）點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和3個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過后，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC．
則點(diǎn)A表示的數(shù)是 　 　（用含t的代數(shù)式表示），BC＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）．
（3）請問：3BC﹣AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
5．如圖，點(diǎn)A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點(diǎn)A、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC的長為　 　，當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC的長為　 　．
（2）用含有t的代數(shù)式表示AC的長為　 　．
（3）當(dāng)t＝　6　秒時(shí)AC﹣BD＝5，當(dāng)t＝　 　秒時(shí)AC+BD＝15．
（4）若點(diǎn)A與線段CD同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)A的速度為每秒2個(gè)單位，在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得AC＝2BD，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
6．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和8．
（1）線段AB的長為 　 　．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，PA＝ 　，PB＝　 　，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　 　.（用含t的式子表示）
②若M是線段PA的中點(diǎn)，N是線段PB的中點(diǎn)，試判斷線段MN的長度是否與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t有關(guān)．若有關(guān)，請求出線段MN的長度與t的關(guān)系式；若無關(guān)，請說明理由，并求出線段MN的長度．
類型三、動(dòng)點(diǎn)與定值
【例3-1】如圖，線段AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．
（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM；
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．
（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變； ②MN+PN的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．
【例3-2】已知b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足：|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）直接寫出a、b、c的值：a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　7　．
（2）數(shù)a、b、c所表示的點(diǎn)分別為數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)：點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x，且0≤x≤3，化簡|x﹣1|﹣|x+2|+|x﹣7|．
（3）在（1）（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請問3BC﹣2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，求其值．
針對練習(xí)3
1．如圖，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，AD＝10cm，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t不超過10秒）
（1）當(dāng)t＝2秒時(shí)，AB＝　 　cm；
（2）當(dāng)t＝8秒時(shí)，求線段CD的長度；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，若AB的中點(diǎn)為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發(fā)生變化，請說明理由．
2．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上位于點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn)，且AB＝22，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是 　 　；點(diǎn)P表示的數(shù)是 　 　（用含t的代數(shù)式表示）
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q？
（3）若M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．
3．如圖，線段AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．
（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM？
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．
（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．
七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十七 直線、射線、線段上的動(dòng)點(diǎn)問題大串講（解析版）
解題策略：
點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱為動(dòng)態(tài)幾何問題，它以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，將多個(gè)知識點(diǎn)綜合起來，構(gòu)成各類考試的壓軸題。
這類問題往往與行程問題中的相遇、追及問題相結(jié)合，因此應(yīng)用方程方法解決這類問題是常用的方法之一。同時(shí)問題中經(jīng)常涉及多個(gè)不同情況或不同過程，分類討論思想也是一個(gè)重要的考查點(diǎn)，有時(shí)還與定值問題相關(guān)聯(lián)。
類型一、線段（直線）上的動(dòng)點(diǎn)
方法：①設(shè)元，表示這個(gè)量，用代數(shù)式表示其他相關(guān)聯(lián)的量。
②推理計(jì)算這個(gè)量的結(jié)果。
【例1-1】（1）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在線段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求線段CD的長度；
（2）若將（1）中的“點(diǎn)D在線段CB上”改為“點(diǎn)D在直線CB上”，其他條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)線段CD的長度；
（3）若線段AB＝12cm，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)，EF＝　6　cm；
②當(dāng)AC＝4cm時(shí)，EF＝　6　cm；
③當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合），求線段EF的長度．
【分析】（1）根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；
（2）分類討論：①點(diǎn)D在線段BC上，②點(diǎn)D在CB的延長線上，根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，
∴AB＝10cm，
∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，
∴CB＝5cm，
∴CD＝CB﹣DB＝5﹣3.5＝1.5（cm）．
故答案為：1.5．
（2）①點(diǎn)D在線段BC上，則CD＝1.5cm，
②點(diǎn)D在CB的延長線上：
，
則AB＝AD﹣DB＝3．
∴BC＝1.5，
∴DC＝1.5+3.5＝5；
答：此時(shí)線段 CD 的長度為 1.5 cm 或5 cm；
（3）①設(shè)AC＝xcm，則BC＝（12﹣x）cm
因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段 AC，BC的中點(diǎn)，
所以CE＝xcm，CF＝（12﹣x）cm，所以 EF＝CE+CF＝＝6（cm）．
答：線段 EF 的長度為6 cm．
②設(shè)AC＝4cm，則BC＝（12﹣4）＝8cm
因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段 AC，BC的中點(diǎn)，
所以CE＝2cm，CF＝4cm，
FE＝CE+CF＝6cm，
③設(shè)AC＝xcm，則BC＝（12﹣x）cm，
又D、E分別為AC、BC中點(diǎn)，
CD＝，CE＝，
DE＝CD+CE＝+＝6（cm）．
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．
【例1-2】【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．
【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
【綜合運(yùn)用】
（1）填空：
①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝　10　，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為 　3　；
②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　﹣2+3t　；點(diǎn)Q表示的數(shù)為 　8﹣2t　．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；
（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．
【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等列方程得到t＝2，于是得到當(dāng)t＝2時(shí)，P、Q相遇，即可得到結(jié)論；
（3）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到結(jié)論；
（4）由點(diǎn)M表示的數(shù)為 ＝﹣2，點(diǎn)N表示的數(shù)為 ＝+3，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，P、Q相遇，
此時(shí)，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；
（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴當(dāng)：t＝1或3時(shí)，PQ＝AB；
（4）不變．
∵點(diǎn)M表示的數(shù)為 ＝﹣2，
點(diǎn)N表示的數(shù)為 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
【例1-3】已知，直線l上線段AB＝6、線段CD＝2（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．
（1）若線段BC＝1，則線段AD＝　7或9　；
（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，求線段PQ的長度；
（3）若線段CD從點(diǎn)B開始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若MN＝2DN，求線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)BC＝x，則AD＝AB+BC+CD＝12+x，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到PD＝AD＝6+x，CQ＝x，于是得到結(jié)論；
（3）線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AM＝2t，BC＝t，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵AB＝6，BC＝1，CD＝2，
∴AC＝5，
∴AD＝AC+CD＝7，
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
∵AB＝6，BC＝1，CD＝2，
∴AD＝AB+BC+CD＝9，
∴線段AD＝7或9；
故答案為：7或9；
（2）設(shè)BC＝x，
則AD＝AB+BC+CD＝8+x，
∵點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，
∴PD＝AD＝4+x，CQ＝x，
∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝4+x﹣2﹣x＝2；
（3）線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
則AM＝2t，BC＝t，
∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2t或BM＝AM﹣AB＝2t﹣6，BD＝BC+CD＝t+2，
∵點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，
∴DN＝BN＝BD＝t+1，
∵M(jìn)N＝2DN，
∴6﹣2t+t+1＝2（t+1）或（2t﹣6）﹣（t+1）＝2（t+1），
解得：t＝2或t＝18
故線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或18s．
【點(diǎn)評】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，依據(jù)線段的和差關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．
針對練習(xí)1
1．如圖，已知線段AB＝15cm，CD＝3cm，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)．
（1）若AC＝4cm，求線段CF的長；
（2）當(dāng)線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C，D不與點(diǎn)A、B重合），試判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出線段EF的長；若變化，請說明理由．
【分析】（1）由BD＝AB﹣AC﹣CD可求解BD的長，結(jié)合中點(diǎn)的定義可求解CF的長；
（2）由中點(diǎn)的定義可得，根據(jù)EF＝AB﹣AE﹣BF可求解EF的長為定值，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，AC＝4cm，CD＝3cm，AB＝15cm，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD
＝15﹣4﹣3
＝8（cm），
根據(jù)題意，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴，
∴CF＝CD+DF
＝3+4
＝7（cm）；
（2）線段EF的長度不發(fā)生變化．
根據(jù)題意，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴，
，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF
＝
＝
＝
＝15﹣×12
＝9（cm）．
【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，掌握中點(diǎn)的定義求解線段的長是關(guān)鍵．
2．如圖，在射線OM上有三點(diǎn)A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如圖所示），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）當(dāng)PA＝2PB時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70cm．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，求的值．
【分析】此題較為復(fù)雜，但仔細(xì)閱讀，讀懂題意根據(jù)速度公式就可求解．
（1）從題中我們可以看出點(diǎn)P及Q是運(yùn)動(dòng)的，不是靜止的，當(dāng)PA＝2PB時(shí)實(shí)際上是P正好到了AB的三等分點(diǎn)上，而且PA＝40，PB＝20．由速度公式就可求出它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即是點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，這里的三等分點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)，因此此題就有二種情況，分別是AQ＝時(shí)，BQ＝時(shí)，由此就可求出它的速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70cm，這也有兩種情況即當(dāng)它們相向而行時(shí)，和它們直背而行時(shí)，此題可設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，按速度公式就可解了．
（3）此題就可把它當(dāng)成一個(gè)靜止的線段問題來解決了，但必須借助圖形．
【解答】解：（1）①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為60秒．
若AQ＝時(shí)，BQ＝40，CQ＝50，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為50÷60＝（cm/s）；
若BQ＝時(shí)，BQ＝20，CQ＝30，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為30÷60＝（cm/s）．
②點(diǎn)P在線段AB延長線上時(shí)，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為140秒．
若AQ＝時(shí)，BQ＝40，CQ＝50，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為50÷140＝（cm/s）；
若BQ＝時(shí)，BQ＝20，CQ＝30，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為30÷140＝（cm/s）．
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t+3t＝90±70，t＝5或40，
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)Q最多運(yùn)動(dòng)30秒，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)30秒到點(diǎn)O時(shí)PQ＝OP＝30cm，之后點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)40秒，則
PQ＝OP＝70cm，此時(shí)t＝70秒，
故經(jīng)過5秒或70秒兩點(diǎn)相距70cm；
（3）如圖1，設(shè)OP＝x cm，點(diǎn)P在線段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x，
EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，
∴＝＝2．
【點(diǎn)評】做這類題時(shí)學(xué)生一定要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀，利用已知條件求出未知值．學(xué)生平時(shí)就要培養(yǎng)自己的思維能力．而且要圖形結(jié)合，與生活實(shí)際聯(lián)系起來，也可以把此題當(dāng)成一道路程題來對待．
3．已知線段AB＝12，CD＝6，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B、C左側(cè)，C在D左側(cè)）．
（1）M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，若BC＝4，求MN；
（2）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，P是線段AB延長線上一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值；②是定值，請作出正確的選擇，并求出其定值．
【分析】（1）需要分類討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM、DN的長度，然后計(jì)算MN＝AD﹣AM﹣DN；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度；
（2）計(jì)算①或②的值是一個(gè)常數(shù)的，就是符合題意的結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM＝AC＝（AB+BC）＝8，
DN＝BD＝（CD+BC）＝5，
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝9；
如圖2，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM＝AC＝（AB﹣BC）＝4，
DN＝BD＝（CD﹣BC）＝1，
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；
（2）①正確．
證明：＝2．
∵＝＝＝2，
∴①是定值2．
【點(diǎn)評】本題考查了比較線段的長短．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．
4．如圖，P是定長線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD＝2AC，請說明P點(diǎn)在線段AB上的位置；
（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．
【分析】（1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD＝2PC，再由已知條件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以點(diǎn)P在線段AB上距離A的處；
（2）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系；
（3）當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有，從而求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以．
【解答】解：（1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD＝2PC
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∴點(diǎn)P在線段AB上的處；
（2）如圖：
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ；
又AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∴，
∴．
當(dāng)點(diǎn)Q'在AB的延長線上時(shí)
AQ'﹣AP＝PQ'
所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB
所以＝1；
（3）②．
理由：當(dāng)CD＝AB時(shí)，點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)CP＝5，AB＝30
①如圖，當(dāng)M，N在點(diǎn)P的同側(cè)時(shí)
MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝
②如圖，當(dāng)M，N在點(diǎn)P的異側(cè)時(shí)
MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝
∴＝＝
當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以，＝．
【點(diǎn)評】本題考查了比較線段的長短．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．
5．（1）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在線段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求線段CD的長度；
（2）若將（1）中的“點(diǎn)D在線段CB上”改為“點(diǎn)D在直線CB上”，其他條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)線段CD的長度；
（3）若線段AB＝12cm，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)，EF＝　6　cm；
②當(dāng)AC＝4cm時(shí)，EF＝　6　cm；
③當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合），求線段EF的長度．
【分析】（1）根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；
（2）分類討論：①點(diǎn)D在線段BC上，②點(diǎn)D在CB的延長線上，根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，
∴AB＝10cm，
∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，
∴CB＝5cm，
∴CD＝CB﹣DB＝5﹣3.5＝1.5（cm）．
故答案為：1.5．
（2）①點(diǎn)D在線段BC上，則CD＝1.5cm，
②點(diǎn)D在CB的延長線上：
，
則AB＝AD﹣DB＝3．
∴BC＝1.5，
∴DC＝1.5+3.5＝5；
答：此時(shí)線段 CD 的長度為 1.5 cm 或5 cm；
（3）①設(shè)AC＝xcm，則BC＝（12﹣x）cm
因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段 AC，BC的中點(diǎn)，
所以CE＝xcm，CF＝（12﹣x）cm，所以 EF＝CE+CF＝＝6（cm）．
答：線段 EF 的長度為6 cm．
②設(shè)AC＝4cm，則BC＝（12﹣4）＝8cm
因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段 AC，BC的中點(diǎn)，
所以CE＝2cm，CF＝4cm，
FE＝CE+CF＝6cm，
③設(shè)AC＝xcm，則BC＝（12﹣x）cm，
又D、E分別為AC、BC中點(diǎn)，
CD＝，CE＝，
DE＝CD+CE＝+＝6（cm）．
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．
類型二、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)
方法：①確定動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)② 確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向③ 用代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)
向右運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)數(shù)+運(yùn)動(dòng)路程；向左運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)數(shù)-運(yùn)動(dòng)路程
【例2-1】已知數(shù)軸上A，B，C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a，b，c，且滿足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)A出發(fā)，且點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．
（1）直接寫出a＝　 ，b＝　 　，c＝ 　；
（2）若M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，試判斷在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q再從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度在A，C之間往返運(yùn)動(dòng)，直至P點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第　 ， 　秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，分為點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，分別將點(diǎn)M，N表示的數(shù)求出來，再相減得出MN的長度，即可判斷；
（3）根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度可知點(diǎn)Q從A運(yùn)動(dòng)至C的時(shí)間為7s，點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C所需時(shí)間為15s，即可將P，Q兩點(diǎn)距離為2的情況分為4種，利用線段之間的等量關(guān)系分別求解即可．
【解答】解：（1）非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都對應(yīng)0得：
a+12＝0，b+6＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9，
故答案為：﹣12，﹣6，9；
（2）線段MN的長度不發(fā)生變化，理由如下：
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
①當(dāng)P在A，B之間時(shí)，PA＝t，PB＝6﹣t，
M為PA的中點(diǎn)，則PM＝AM＝，
N為PB的中點(diǎn)，則PN＝BN＝，
MN＝PM+PN
＝+
＝3；
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的右邊時(shí)，PA＝t，PB＝6﹣t，
M為PA的中點(diǎn)，則PM＝AM＝，
N為PB的中點(diǎn)，則PN＝BN＝，
MN＝PM﹣PN
＝﹣
＝3，
故線段MN的長度不發(fā)生變化；
（3）∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q再從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，PQ＝2；
點(diǎn)Q再從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度在A，C之間往返運(yùn)動(dòng)，
∵AB＝﹣6﹣（﹣12）＝6，BC＝9﹣（﹣6）＝15，AC＝9﹣（﹣12）＝21，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C的時(shí)間為：＝15s，點(diǎn)Q從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C的時(shí)間為：＝7s，
∴可將P，Q兩點(diǎn)距離為2的情況分為以下4種，
設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)t s后，P，Q兩點(diǎn)距離為2，
∴BP＝t，AQ＝3t，PQ＝2，
①如圖，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AP＝AQ+PQ，
∴t+6＝3t+2，
解得：t＝2，
∴AP＝t+6＝8s，
∴P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第8秒，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AQ＝AP+PQ，
∴3t＝t+6+2，
解得：t＝4，
∴AP＝t+6＝10s，
∴P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第10秒，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2；
③如圖，當(dāng)點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+PQ+CQ，
∴21＝t+6+2+3t﹣21，
解得：t＝8.5，
∴AP＝t+6＝14.5s，
∴P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第14.5秒，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2；
④如圖，當(dāng)點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+CQ﹣PQ，
∴21＝t+6+3t﹣21﹣2，
解得：t＝9.5，
∴AP＝t+6＝15.5s，
∴Q點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后的第15.5秒，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2；
綜上，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸的應(yīng)用，非負(fù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論逐一討論．
【例2-2】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，C是數(shù)軸上一點(diǎn)，且AC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示線段CP的長度；
（2）設(shè)M是AP的中點(diǎn)，N是CP的中點(diǎn)．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說出理由，若不變，求MN長度．
【分析】（1）C點(diǎn)表示的數(shù)為4﹣8＝﹣4，線段CP的長度為|1﹣6t+4|；
（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、C兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)；利用中點(diǎn)的定義和線段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）C點(diǎn)表示的數(shù)為4﹣8＝﹣4，線段CP的長度為|1﹣6t+4|＝|5﹣6t|；
（2）線段MN的長度不發(fā)生變化．
理由：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在A、C兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖：
MN＝MP+NP＝PA+PC＝AC＝4；
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的左邊時(shí)，如圖：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣PC＝AC＝4．
綜上所述，線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為4．
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)已知得出各線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，注意第二問需要分類討論．
【例2-3】已知數(shù)軸上三點(diǎn)A，O，B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣6，0，1，點(diǎn)M為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．
（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是　 　，若點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，那么x的值是　 　；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離之和是59？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如果點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒5個(gè)單位長度和每秒1個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動(dòng)，且三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾秒種后點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，且點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？
【分析】（1）由點(diǎn)A，B對應(yīng)的數(shù)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到A、B兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)中點(diǎn)距離公式得到x的值；
（2）根據(jù)題意得方程，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)t秒種后點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，且點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是1﹣（﹣6）＝7，若點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，那么x的值是（﹣6+1）÷2＝﹣2.5；
（2）根據(jù)題意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣1|＝59，
解得：x＝﹣32或27；
∴當(dāng)x為＝﹣32或27時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和是59；
（3）設(shè)t秒種后點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，且點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，依題意有
﹣2t﹣（﹣6+5t）＝（1+t）﹣（﹣2t），
解得t＝0.5．
故0.5秒種后點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，且點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等．
故答案為：7，﹣2.5．
【點(diǎn)評】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
針對練習(xí)2
1．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．
【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
【綜合運(yùn)用】
（1）填空：
①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝　 　，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為 　 　；
②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　 　；點(diǎn)Q表示的數(shù)為 　 　．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；
（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．
【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等列方程得到t＝2，于是得到當(dāng)t＝2時(shí)，P、Q相遇，即可得到結(jié)論；
（3）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到結(jié)論；
（4）由點(diǎn)M表示的數(shù)為 ＝﹣2，點(diǎn)N表示的數(shù)為 ＝+3，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，P、Q相遇，
此時(shí)，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；
（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴當(dāng)：t＝1或3時(shí)，PQ＝AB；
（4）不變．
∵點(diǎn)M表示的數(shù)為 ＝﹣2，
點(diǎn)N表示的數(shù)為 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
2．已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c，且滿足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若點(diǎn)P到A點(diǎn)距離是到B點(diǎn)距離的2倍，求點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，再立即以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A．在點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)后第幾秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)絕對值和偶次冪具有非負(fù)性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；
（2）分兩種情況討論可求點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)；
（3）分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)的右側(cè)，且Q點(diǎn)還沒追上P點(diǎn)時(shí)；當(dāng)P在Q點(diǎn)左側(cè)時(shí)，且Q點(diǎn)追上P點(diǎn)后；當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)左側(cè)時(shí)；當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離是4，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，
∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；
（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，
①點(diǎn)P在AB之間，AP＝14×＝，
﹣24+＝﹣，
點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)是﹣；
②點(diǎn)P在AB的延長線上，AP＝14×2＝28，
﹣24+28＝4，
點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)是4；
（3）當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)的右側(cè)，且Q點(diǎn)還沒追上P點(diǎn)時(shí)，3t+4＝14+t，解得t＝5；
當(dāng)P在Q點(diǎn)左側(cè)時(shí)，且Q點(diǎn)追上P點(diǎn)后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；
當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)左側(cè)時(shí)，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；
當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)右側(cè)時(shí)，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，
綜上所述：當(dāng)Q點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后第5、9、12.5、14.5秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合數(shù)軸解決問題．
3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上三點(diǎn)，O為原點(diǎn)．點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．
（1）求點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N在線段CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．
①求點(diǎn)M、N對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）； ②t為何值時(shí)，OM＝2BN．
【分析】（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是6﹣4，點(diǎn)A表示的數(shù)是2﹣12，求出即可；
（2）①求出AM，CN，根據(jù)A、C表示的數(shù)求出M、N表示的數(shù)即可；②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)是6﹣4＝2，
∵AB＝12，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)是2﹣12＝﹣10．
（2）①∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度，時(shí)間是t，
∴AP＝6t，CQ＝3t，
∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，N在CQ上，且CN＝CQ，
∴AM＝AP＝3t，CN＝CQ＝t，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣10，C表示的數(shù)是6，
∴M表示的數(shù)是﹣10+3t，N表示的數(shù)是6+t．
②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN，
∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t，
由﹣10+3t＝8+2t，得t＝18，
由﹣10+3t＝﹣（8+2t），得t＝，
故當(dāng)t＝18秒或t＝秒時(shí)OM＝2BN．
【點(diǎn)評】本題考查了線段中點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定義進(jìn)行計(jì)算的能力，有一定的難度．
4．先閱讀材料：如圖（1），在數(shù)軸上A表示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即AB＝b﹣a．
解決問題：如圖（2），數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，點(diǎn)C表示的數(shù)是6．
（1）若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且AD＝3，則點(diǎn)D表示的數(shù)為 　 　；
（2）點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和3個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過后，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC．
則點(diǎn)A表示的數(shù)是 　 　（用含t的代數(shù)式表示），BC＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）．
（3）請問：3BC﹣AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為d，于是得到|﹣4﹣d|＝3，求得d＝﹣1或﹣7，于是得到結(jié)論；
（2）利用題意結(jié)合數(shù)軸表示出A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為d，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，AD＝3，
∴|﹣4﹣d|＝3，
解得：d＝﹣1或﹣7，
∴點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7或﹣1，
故答案為：﹣7或﹣1；
（2）點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4﹣t，點(diǎn)B表示的數(shù)是2t+2，點(diǎn)C表示的數(shù)是3t+6，
∴BC＝（3t+6）﹣（2t+2）＝t+4，
故答案為：﹣4﹣t，t+4；
（3）不變，理由如下：3BC﹣AB＝3（t+4）﹣（3t+6）
＝3t+12﹣3t﹣6，
＝6．
【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點(diǎn)能求出兩點(diǎn)間的距離．
5．如圖，點(diǎn)A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點(diǎn)A、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC的長為　 　，當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC的長為　 　．
（2）用含有t的代數(shù)式表示AC的長為　 　．
（3）當(dāng)t＝　6　秒時(shí)AC﹣BD＝5，當(dāng)t＝　 　秒時(shí)AC+BD＝15．
（4）若點(diǎn)A與線段CD同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)A的速度為每秒2個(gè)單位，在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得AC＝2BD，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）依據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|求解即可；
（2）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長度，從而點(diǎn)C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|求解即可．
（3）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長度，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長度，從而可得到點(diǎn)A、點(diǎn)D表示的數(shù)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|表示出AC、BD，根據(jù)AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，分別解方程即可得出結(jié)論；
（4）假設(shè)能夠相等，找出AC、BD，根據(jù)AC＝2BD即可列出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；
當(dāng)t＝2秒時(shí)，移動(dòng)后C表示的數(shù)為2，
∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．
故答案為：2；4．
（2）點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)為t；
∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．
故答案為t+2．
（3）∵t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長度，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長度，
∴C表示的數(shù)是t，D表示的數(shù)是3+t，
∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，
∵AC﹣BD＝5，
∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．
解得：t＝6．
∴當(dāng)t＝6秒時(shí)AC﹣BD＝5；
∵AC+BD＝15，
∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，
t＝11；
當(dāng)t＝11秒時(shí)AC+BD＝15，
故答案為6，11；
（4）假設(shè)能相等，則點(diǎn)A表示的數(shù)為2t﹣2，C表示的數(shù)為t，D表示的數(shù)為t+3，B表示的數(shù)為12，
∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，
∵AC＝2BD，
∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，
解得：t1＝16，t2＝．
故在運(yùn)動(dòng)的過程中使得AC＝2BD，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒和秒．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和8．
（1）線段AB的長為 　 　．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，PA＝ 　，PB＝　 　，點(diǎn)P表示的數(shù)為 　 　.（用含t的式子表示）
②若M是線段PA的中點(diǎn)，N是線段PB的中點(diǎn)，試判斷線段MN的長度是否與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t有關(guān)．若有關(guān)，請求出線段MN的長度與t的關(guān)系式；若無關(guān)，請說明理由，并求出線段MN的長度．
【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式求得線段AB的長；
（2）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可求點(diǎn)P與點(diǎn)A之間的距離，進(jìn)一步得到點(diǎn)P表示的數(shù)；
②先利用中點(diǎn)公式求得點(diǎn)M和點(diǎn)N表示的數(shù)，再計(jì)算MN的線段長度．
【解答】解：（1）線段AB的長為|8﹣（﹣2）|＝10；
故答案為：10；
（2）①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，PA＝t，PB＝10﹣t，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣2+t；
故答案為：t，10﹣t，﹣2+t；
②MN的長與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無關(guān)．
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，PA＝t，PB＝10﹣t，因?yàn)镸，N分別是PA，PB的中點(diǎn)，
所以，，
所以，
當(dāng)t＞10時(shí)，PA＝t，PB＝t﹣10，
因?yàn)镸，N分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以，，
所以，
綜上所述，MN的長與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無關(guān)，MN的長度為5．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是弄清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向、速度，并且用代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)的距離．
類型三、動(dòng)點(diǎn)與定值
【例3-1】如圖，線段AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．
（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM；
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．
（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變； ②MN+PN的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．
【分析】（1）分兩種情況討論，①點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊，②點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，分別求出t的值即可．
（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化簡即可得出結(jié)論．
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，分別表示出MN，MN+PN的長度，即可作出判斷．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)出發(fā)x秒后PB＝2AM，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，
由題意得，24﹣2x＝2x，
解得：x＝6；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，
由題意得：2x﹣24＝2x，方程無解；
綜上可得：出發(fā)6秒后PB＝2AM．
（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；
（3）選①；
如圖2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，
∴①M(fèi)N＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；
②MN+PN＝12+x﹣12＝x（變化）．
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長度，有一定難度．
【例3-2】已知b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足：|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）直接寫出a、b、c的值：a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　7　．
（2）數(shù)a、b、c所表示的點(diǎn)分別為數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)：點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x，且0≤x≤3，化簡|x﹣1|﹣|x+2|+|x﹣7|．
（3）在（1）（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請問3BC﹣2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，求其值．
【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根據(jù)x的范圍，確定x﹣1，x﹣7，x+2的符號，然后根據(jù)絕對值的意義即可化簡；
（3）先求出3BC﹣2AB＝12，從而得出3BC﹣2AB的值隨著時(shí)間的變化是不變的．
【解答】解：（1）依題意得，b＝1，a+2＝0，c﹣7＝0，
解得a＝﹣2，c＝7；
故答案為：﹣2，1，7；
（2）∵0≤x≤3，
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x﹣1≤0，x﹣7＜0，x+2＞0，原式＝1﹣x﹣2﹣x+7﹣x＝﹣3x+6；
當(dāng)1＜x≤3時(shí)，x﹣1＞0，x﹣7＜0，x+2＞0，原式＝x﹣1﹣x﹣2+7﹣x＝﹣x+4；
（3）不變化．理由如下：
t秒時(shí)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為﹣2﹣t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為2t+1，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為4t+7．
∴BC＝（4t+7）﹣（2t+1）＝2t+6，AB＝（2t+1）﹣（﹣2﹣t）＝3t+3，
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝12，
即3BC﹣2AB的值隨著時(shí)間t的變化是不變的．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸與絕對值，通過數(shù)軸把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
針對練習(xí)3
1．如圖，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，AD＝10cm，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t不超過10秒）
（1）當(dāng)t＝2秒時(shí)，AB＝　 　cm；
（2）當(dāng)t＝8秒時(shí)，求線段CD的長度；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，若AB的中點(diǎn)為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發(fā)生變化，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)速度乘以時(shí)間等于路程，可得答案；
（2）根據(jù)速度乘以時(shí)間等于路程，可得BD的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得EB，BC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）當(dāng)t＝2秒時(shí)，AB＝2×2＝4cm，
故答案為：4；
（2）當(dāng)t＝8秒時(shí)，BD＝（8﹣5）×2＝6cm，
CD＝BD＝×6＝3cm，
線段CD的長度時(shí)3cm；
（3）不變，理由如下：
由AB的中點(diǎn)為E，C是線段BD的中點(diǎn)，得
EB＝AB，BC＝BD．
EC＝AB+BD＝AD＝×10＝5cm，
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出EB、BC的長是解題關(guān)鍵．
2．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上位于點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn)，且AB＝22，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是 　 　；點(diǎn)P表示的數(shù)是 　 　（用含t的代數(shù)式表示）
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q？
（3）若M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．
【分析】（1）根據(jù)已知可得B點(diǎn)表示的數(shù)為8﹣22；點(diǎn)P表示的數(shù)為8﹣5t；
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，則AC＝5x，BC＝3x，根據(jù)AC﹣BC＝AB，列出方程求解即可；
（3）分①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用中點(diǎn)的定義和線段的和差求出MN的長即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB＝22，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)是8﹣22＝﹣14，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8﹣5t．
故答案為：﹣14，8﹣5t；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，
則AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝22，
解得：x＝11，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)11秒時(shí)追上點(diǎn)Q；
（3）線段MN的長度不發(fā)生變化，都等于11；理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)：
MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝×22＝11，
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝11，
∴線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為11．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況進(jìn)行討論．
3．如圖，線段AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．
（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM？
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．
（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．
【分析】（1）由題意表示：AP＝2t，則PB＝12﹣2t，根據(jù)PB＝2AM列方程即可；
（2）把BM＝12﹣t和BP＝12﹣2t代入2BM﹣BP中計(jì)算即可；
（3）分別代入求MN和MA+PN的值，發(fā)現(xiàn)①正確；②不正確．
【解答】解：（1）如圖1，由題意得：AP＝2t，則PB＝|12﹣2t|，
∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，
∴AM＝t，
由PB＝2AM得：|12﹣2t|＝2t，
即12﹣2t＝2t或2t﹣12＝2t，
t＝3，
答：出發(fā)3秒后，PB＝2AM；
（2）如圖1，當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BM＝12﹣t，
2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，
∴當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2BM﹣BP為定值12；
（3）選①；
如圖2，由題意得：MA＝t，PB＝2t﹣12，
∵N為BP的中點(diǎn)，
∴PN＝BP＝（2t﹣12）＝t﹣6，
①M(fèi)N＝PA﹣MA﹣PN＝2t﹣t﹣（t﹣6）＝6，
∴當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN長度不變；
所以選項(xiàng)①敘述正確；
②MA+PN＝t+（t﹣6）＝2t﹣6，
∴當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MA+PN的值會(huì)改變．
所以選項(xiàng)②敘述不正確．
【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長度，有一定難度．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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