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七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十八 角度計算中的動態問題串講
解題策略：
角度計算中的動態問題通常以線動、形動構成的問題為多，它以幾何圖形為載體，運動變化為主線，將多個知識點綜合起來，構成以角度為載體的壓軸題。
①結合線段中的動點、動線段問題進行思考，用類比線段動態問題的方法學習角的動態問題。
②注意角的內部、外部變化帶來的分類討論問題。
類型一、射線的旋轉
方法：①設元，一般表示較小的角這個量，用代數式表示其他相關聯的量。
②推理計算這個量的結果。
【例1-1】直線AB外有一定點C，O是直線AB上的一個動點．
（1）如圖1所示，當點O從左向右運動時，觀察∠α的變化情況，正確的是 　 　．
A．逐漸變大
B．逐漸變小
C．大小不變
D．無法確定
（2）當點O運動到∠α＝140°時，點O運動停止，然后將射線OB繞著點O順時針旋轉到如圖2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求圖2中∠AOC，∠BOC的度數；
②在圖2的基礎上，作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如圖3，求∠MON的度數．
【例1-2】已知：如圖，∠AOB是一個直角，作射線OC，再分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE．
（1）當∠BOC＝70°時，求∠DOE的度數：
（2）當射線OC在∠AOB內繞O點旋轉時，∠DOE的大小是否發生變化？說明理由；
（3）當射線OC在∠AOB外繞O點旋轉且∠AOC為鈍角時，直接寫出相應的∠DOE的度數（不必寫出過程）
【例1-3】已知：如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代數式表示∠MOA的度數．
（2）在運動過程中，當∠AOB第二次達到60°時，求t的值．
（3）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．
針對練習1
1．已知如圖ON是∠BOC的平分線，OM是∠AOC的平分線，∠AOC＝28°，∠COB＝42°．
（1）求∠MON的度數．
（2）當射線OC在∠AOB的內部線繞點O轉動時，射線OM、ON的位置是否發生變化？說明理由．
（3）在（2）的條件下，∠MON的大小是否發生變化？如果不變，求其度數；如果變化，說出其變化范圍．
2．（1）如圖1，∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，OE為∠AOD的平分線，求∠AOD的大小，請補全解題過程．
解：∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝　 　°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝　 　°，
∵OE為∠AOD的平分線，則∠AOD＝2∠DOE＝120°．
（2）已知OC是∠AOB內部的一條射線，M，N分別為OA，OC上的點，線段OM，ON同時分別以30°/s，10°/s的速度繞點O逆時針轉動，設轉動時間為t s．
如圖2，若∠AOB＝120°，OM，ON逆時針轉動到OM'，ON'處．
①若OM，ON的轉動時間t為2，則∠BON'+∠COM'＝　 °　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，則∠M'ON'＝　 　°．
3．如圖所示已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）∠MON＝　 　°；
（2）如圖∠AOB＝90°，將OC繞O點向下旋轉，使∠BOC＝2x°，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數？若能，求出其值；若不能，試說明理由；
（3）∠AOB＝α，∠BOC＝β，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數？若能，求∠MON的度數；并從你的求解中看出什么規律嗎？
4．如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．
（1）一個角的角平分線 　 　這個角的奇妙線．（填是或不是）
（2）如圖2，若∠MPN＝60°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉，當∠QPN首次等于180°時停止旋轉，設旋轉的時間為t（s）．
①當t為何值時，射線PM是∠QPN的奇妙線？
②若射線PM同時繞點P以每秒6°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止旋轉．請求出當射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值．
類型二、角的旋轉
【例2-1】如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本題中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，則∠MON＝　 　°；
（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度數；
（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），直接寫出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【例2-2】如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝70°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：∠DOE＝90°）
（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝　20　°；
（2）如圖②，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數；
（3）如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系？并說明理由．
針對練習2
1．如圖，將直角三角板OPQ的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AOQ．
（1）如圖（1），若∠BOQ＝60°，求∠AOP的度數；
（2）如圖（2），若∠COQ＝2∠BOQ，求∠COP的度數；
（3）將直角三角板OPQ繞頂點O按逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中：當∠BOQ＝80°時，求∠COP的度數．
2．已知O為直線AB上一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF＝35°，求∠BOE的度數；
（2）如圖1，若∠BOE等于m度，求∠COF的度數；（用含m的代數式表示）
（3）當∠COE繞點O逆時針旋轉到如圖2的位置時，∠BOE與∠COF的數量關系是什么？請說明理由．
3．已知O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，①若∠AOC＝60°，則∠DOE＝　 　度；
②若∠AOC＝α°，則∠DOE＝　 　度；（用含α的代數式表示）；
（2）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α°，那么②中所求出的結論是否還成立？請說明理由．
4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）
（1）如圖1，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數；
（2）按以下條件畫圖并完成探究：
探究一：當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜70）時，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，請求出這個值；若不是，請說明理由；
探究二：當∠COD從圖1所示位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）時，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在請求出n的值，若不存在，請說明理由．
類型三、直角三角板的旋轉
注意利用三角形旋轉時公共頂點的角是定角的特點，表示相關的角。
【例3-1】將一副三角板的兩個銳角頂點重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線．
（1）如圖1，當OB與OC重合時，則∠MON的大小為 　 　；
（2）當∠COD繞著點O旋轉至如圖2所示，且∠BOC＝10°時，求∠MON的度數；
（3）當∠COD繞著點O旋轉至如圖3所示，且∠BOC＝n°時，求∠MON的度數．
【例3-2】如圖，平面內點O為直線AB上一點，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的
直角頂點與O重合，OM平分∠BOD，設∠AOC＝α．（本題中所有角均小于等于180°）．
（1）如圖，請直接寫出∠AOM＝　135°+　（用含α的式子表示）；
（2）若圖中α＝50°，三角板COD從圖中的位置出發，繞O點以每秒5°的速度順時針旋轉，同時ON從OA出發，以每秒2°的速度逆時針旋轉．設運動時間為t秒（0＜t＜30）．
①當t為何值時，∠AOM+∠CON＝270°？
②是否存在一負數k，使得∠AOM+k∠CON取值與t無關．若存在，求此時k的值；若不存在，說明理由．
針對練習3
1．如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起．
（1）∠ACE 　 　∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）當∠DCE＝15°時，求∠ACB的度數；
（3）猜想∠ACB與∠DCE的數量關系，并說明理由；
（4）將三角板ACD繞點C逆時針旋轉一周，請直接寫出此時∠ACE為多少度時，∠ECD與∠ACB的大小是二倍關系．
2．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為 　 　；
（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數為 　 　；
（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由．
3．將一副三角板按圖1擺放在直線MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝　 　；∠FAG＝　 　；
（2）如圖2，若將三角板ABC繞A點以5°/秒的速度順時針旋轉t秒（t＜21），求∠FAG的度數；
（3）如圖3，三角板ABC繞A點以m°/秒的速度順時針旋轉，同時，三角板ADE繞A點以n°/秒的速度逆時針旋轉，當AD與AB邊首次重合時兩三角板都停止運動，若運行t秒時，有∠MAD＝∠CAE成立，試求此時m與n的關系．
4．將一副三角板中的含有60°角的三角板的頂點和另一塊的45°角的頂點重合于一點O，繞著點O旋轉60°的三角板，拼成如圖的情況（OB在∠COD內部），請回答問題：
（1）如圖1放置，將含有60°角的一邊與45°角的一邊重合，求出此時∠AOD的度數．
（2）繞著點O，轉動三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此時∠AOD的度數應該是多少？
（3）是否存在這種情況，∠AOC的度數恰好等于∠BOD度數的3倍．如果存在，請求出∠AOD的度數，如果不存在請說明理由．
類型四、鐘表的表針旋轉。
時鐘的時針每分鐘轉0.5度。鐘表上有12個數字，時針轉1圈為360度，每兩個相鄰數字之間的角度是：360÷12=30度。1小時等于60分鐘，則時針每走過1分鐘對應的角度應為：30÷60=0.5度。
時鐘的分針每分鐘轉6度。
【例4-1】某電視臺錄制的“奔跑吧兄弟第四季”將在周五21：10播出，此時時鐘上的分針與時針所成的角是多少度？在如圖中大致標出此時的角（用短箭頭、長箭頭分別表示時針和分針），并用至少兩種方式寫出這個角？（可在表盤上標注相應的字母或數字）
【例4-2】觀察常用時鐘，回答下列問題：
（1）早晨7時整，時針和分針構成多少度的角？
（2）時針多長時間轉一圈？它轉動的速度是每小時多少度？
（3）從7：00到7：40，分針轉動了多少度？
針對練習4
1．鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖，在鐘面上，點O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規定：鐘面圓的半徑OA表示時針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時刻都介于0點整到12點整之間．
（1）時針每分鐘轉動的角度為 　 　°，分針每分鐘轉動的角度為 　 °；
（2）8點整，鐘面角∠AOB＝　 °，鐘面角與此相等的整點還有：　 　點；
（3）如圖，設半徑OC指向12點方向，在圖中畫出6點15分時半徑OA、OB的大概位置，并求出此時∠AOB的度數．
2．知識的遷移與應用
問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的 A、B兩地出發，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時出發，同向而行（乙車在前甲車在后），　5或25　后兩車相距120km？
問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個圓形時鐘的表面上，OA表示時針，OB表示分針（O為兩針的旋轉中心）．下午3點時，OA與OB成直角．
（1）3：40時，時針與分針所成的角度　 　；
（2）分針每分鐘轉過的角度為　 　，時針每分鐘轉過的角度為　 　；
（3）在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經過多少分鐘，時針與分針成60°角？
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十八 角度計算中的動態問題串講（解析版）
解題策略：
角度計算中的動態問題通常以線動、形動構成的問題為多，它以幾何圖形為載體，運動變化為主線，將多個知識點綜合起來，構成以角度為載體的壓軸題。
①結合線段中的動點、動線段問題進行思考，用類比線段動態問題的方法學習角的動態問題。
②注意角的內部、外部變化帶來的分類討論問題。
類型一、射線的旋轉
方法：①設元，一般表示較小的角這個量，用代數式表示其他相關聯的量。
②推理計算這個量的結果。
【例1-1】直線AB外有一定點C，O是直線AB上的一個動點．
（1）如圖1所示，當點O從左向右運動時，觀察∠α的變化情況，正確的是 　B　．
A．逐漸變大
B．逐漸變小
C．大小不變
D．無法確定
（2）當點O運動到∠α＝140°時，點O運動停止，然后將射線OB繞著點O順時針旋轉到如圖2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求圖2中∠AOC，∠BOC的度數；
②在圖2的基礎上，作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如圖3，求∠MON的度數．
【分析】（1）由圖形及角的概念即可得到答案；
（2）①根據α的度數可得∠AOC＝40°，再根據比例可得∠BOC的度數；
②根據角之間的比例關系可得∠CON和∠MOC的度數，再根據角的和差可得答案．
【解答】解：（1）由圖可知，當點O從左向右運動時，∠α逐漸變小，
故選：B；
（2）①當∠α＝140°時，∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠BOC＝2∠AOC＝80°，
答：∠AOC＝40°，∠BOC＝80°；
②由①得，∠BOC＝80°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝20°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝AOC＝20°，
∴∠MON＝20°+20°＝40°．
【點評】此題主要考查角的運算和旋轉的基礎知識，理清圖形中的角的和差關系，以及旋轉的意義是解題的關鍵．
【例1-2】已知：如圖，∠AOB是一個直角，作射線OC，再分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE．
（1）當∠BOC＝70°時，求∠DOE的度數：
（2）當射線OC在∠AOB內繞O點旋轉時，∠DOE的大小是否發生變化？說明理由；
（3）當射線OC在∠AOB外繞O點旋轉且∠AOC為鈍角時，直接寫出相應的∠DOE的度數（不必寫出過程）
【分析】（1）根據角平分線的定義，OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，則可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）結合角的特點，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得結果進行判斷和計算；
（3）正確作出圖形，判斷大小變化．
【解答】解：（1）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠COD＝∠AOC＝×20°＝10°，
∴∠DOE＝45°；
（2）∠DOE的大小不變等于45°，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠BOC+∠AOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×90°
＝45°；
（3）∠DOE的大小發生變化，∠DOE＝45°或135度．
如圖①，則為45°；如圖②，則為135°．（說明過程同（2））
【點評】本題考查了角的計算，正確作圖，熟記角的特點與角平分線的定義是解決此題的關鍵．
【例1-3】已知：如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代數式表示∠MOA的度數．
（2）在運動過程中，當∠AOB第二次達到60°時，求t的值．
（3）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）∠AOM的度數等于OA旋轉速度乘以旋轉時間；
（2）當∠AOB第二次達到60°時，射線OB在OA的左側，根據∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；
（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：
①OB平分∠AOM時，根據∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB平分∠MON時，根據∠BOM＝∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON時，根據∠BON＝∠AON，列方程求解．
【解答】解：（1）∠MOA＝2t°；
（2）如圖，
根據題意知：∠AOM＝2t°，∠BON＝4t°，
當∠AOB第二次達到60°時，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒時，∠AOB第二次達到60°；
（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：
①OB平分∠AOM時，∵∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；
②OB平分∠MON時，∵∠BOM＝∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5；
③OB平分∠AON時，∵∠BON＝∠AON，
∴4t＝（180﹣2t），
解得：t＝18；
綜上，當t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．
【點評】本題主要考查角的計算和角平分線性質的運用，OB為角平分線時分類討論是解題的關鍵和難點．
針對練習1
1．已知如圖ON是∠BOC的平分線，OM是∠AOC的平分線，∠AOC＝28°，∠COB＝42°．
（1）求∠MON的度數．
（2）當射線OC在∠AOB的內部線繞點O轉動時，射線OM、ON的位置是否發生變化？說明理由．
（3）在（2）的條件下，∠MON的大小是否發生變化？如果不變，求其度數；如果變化，說出其變化范圍．
【分析】（1）根據角平分線的定義得出，進而根據即可求解；
（2）根據，則OC轉動時OM同樣在動，同理ON也在動；
（3）根據（1）的結論即可求解．
【解答】解：（1）解：∵ON是∠BOC的平分線，OM是∠AOC的平分線，∠AOC＝28°，∠COB＝42°
∴，
∴
（2）∵，
∴OC轉動時OM同樣在動，
同理ON同樣轉動；
（3）∠MON不變同樣35°；
當射線OC在∠AOB的內部線繞點O轉動時，
∵ON是∠BOC的平分線，OM是∠AOC的平分線，∠AOC＝28°，∠COB＝42°
∴，
∴．
【點評】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算是解題的關鍵．
2．（1）如圖1，∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，OE為∠AOD的平分線，求∠AOD的大小，請補全解題過程．
解：∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝　 　°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝　 　°，
∵OE為∠AOD的平分線，則∠AOD＝2∠DOE＝120°．
（2）已知OC是∠AOB內部的一條射線，M，N分別為OA，OC上的點，線段OM，ON同時分別以30°/s，10°/s的速度繞點O逆時針轉動，設轉動時間為t s．
如圖2，若∠AOB＝120°，OM，ON逆時針轉動到OM'，ON'處．
①若OM，ON的轉動時間t為2，則∠BON'+∠COM'＝　 °　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，則∠M'ON'＝　 　°．
【分析】（1）先求出∠EOC＝80°，進而求出∠DOE＝60°，再根據角平分線的定義即可得到∠AOD＝2∠DOE＝120°；
（2）①求出∠AOM'＝60°，∠CON'＝20°，則∠BON'+∠COM'＝∠AOB﹣∠CON'﹣∠AOM'＝40°；②根據角平分線的定義得到，可得，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝80°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝60°，
∵OE為∠AOD的平分線，則∠AOD＝2∠DOE＝120°．
故答案為：80，60；
（2）①當t＝2時，∠AOM'＝60°，∠CON'＝20°，
∴∠BON'+∠COM'＝∠AOB﹣∠CON'﹣∠AOM'＝40°，
故答案為：40°；
②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，
∴，
∴，
∴∠M'ON'＝60°，
故答案為：60．
【點評】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，利用數形結合的思想求解是解題的關鍵．
3．如圖所示已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）∠MON＝　 　°；
（2）如圖∠AOB＝90°，將OC繞O點向下旋轉，使∠BOC＝2x°，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數？若能，求出其值；若不能，試說明理由；
（3）∠AOB＝α，∠BOC＝β，仍然分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數？若能，求∠MON的度數；并從你的求解中看出什么規律嗎？
【分析】（1）根據角平分線的以求出∠MOC與∠NOC的度數，然后相減即可求出∠MON的度數；
（2）根據（1）的求解思路，先利用角平分線的定義表示出∠MOC與∠NOC的度數，然后相減即可得到∠MON的度數；
（3）根據前兩題的求解思路把具體數據換為α、β，然后整理即可得出規律．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝×120°＝60°，
∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣15°＝45°；（3分）
（2）能．
∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2x°，
∴∠AOC＝90°+2x°，（4分）
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（90°+2x°）＝45°+x，
∴∠CON＝∠BOC＝x°，（5分）
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝45°+x﹣x＝45°；（6分）
（3）能．
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β，（7分）
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），
∠CON＝∠BOC＝β，（8分）
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α，
即∠MON＝α．（9分）
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，讀懂題意，看懂題目圖形找準解題思路是解題的關鍵，此類題目通常都是各小題都用同一個解題思路，所以準確確定思路比較關鍵．
4．如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．
（1）一個角的角平分線 　 　這個角的奇妙線．（填是或不是）
（2）如圖2，若∠MPN＝60°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉，當∠QPN首次等于180°時停止旋轉，設旋轉的時間為t（s）．
①當t為何值時，射線PM是∠QPN的奇妙線？
②若射線PM同時繞點P以每秒6°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止旋轉．請求出當射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值．
【分析】（1）根據奇妙線定義即可求解；
（2）①分3種情況，根據奇妙線定義得到方程求解即可；
②分3種情況，根據奇妙線定義得到方程求解即可．
【解答】解：（1）一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；
（2）①依題意有
（a）10t＝60+×60，
解得t＝9；
（b）10t＝2×60，
解得t＝12；
（c）10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故當t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“奇妙線”；
②依題意有
（a）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（b）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（c）10t＝（6t+60），
解得t＝．
故當射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值為或或．
故答案為：是．
【點評】本題考查了旋轉的性質，奇妙線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關鍵．
類型二、角的旋轉
【例2-1】如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本題中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，則∠MON＝　 　°；
（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度數；
（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），直接寫出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【分析】（1）當∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根據已知條件進行計算即可；
（2）根據∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），分兩種情況畫圖：①當0＜n＜60時，如（圖1），②當60＜n＜120時，如（圖2），結合（1）進行角的和差計算即可；
（3）根據∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），∠MON＝2∠BOC，分兩種情況畫圖：①當0＜n＜60時，如圖3，②當60＜n＜180時，如圖4，結合（2）進行角的和差計算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
當∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOC+BOD
＝×120°+60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案為：100°；
（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），
①當0＜n＜60時，如（圖1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
＝（120°﹣n°）+n°+（60°﹣n°）
＝100°；
②當60＜n＜120時，如（圖2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
＝（120°﹣n°）+60°+（n°﹣60°）
＝100°；
綜上所述：∠MON的度數為100°；
（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），∠MON＝2∠BOC，
①當0＜n＜60時，如圖3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
＝（120°+n°）+60°﹣（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②當60＜n＜180時，如圖4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（240°﹣n°）﹣120°﹣（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
綜上所述：n的值為50或70．
【點評】本題考查了角的計算，解決本題的關鍵是分情況畫圖討論．
【例2-2】如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝70°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：∠DOE＝90°）
（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝　20　°；
（2）如圖②，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數；
（3）如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系？并說明理由．
【分析】（1）根據圖形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根據角平分線定義求出∠EOB＝2∠BOC＝140°，代入∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD＝∠BOC﹣∠BOD求出即可；
（3）根據圖形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相減即可求出答案．
【解答】解：（1）如圖①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
故答案為：20；
（2）如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°．
【點評】本題考查了角的計算的應用，能根據圖形求出各個角的度數是解此題的關鍵．
針對練習2
1．如圖，將直角三角板OPQ的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AOQ．
（1）如圖（1），若∠BOQ＝60°，求∠AOP的度數；
（2）如圖（2），若∠COQ＝2∠BOQ，求∠COP的度數；
（3）將直角三角板OPQ繞頂點O按逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中：當∠BOQ＝80°時，求∠COP的度數．
【分析】（1）OPQ為直角三角板，所以∠POQ＝90°，又因為∠BOQ＝60°，所以∠AOP＝180°﹣∠POQ﹣∠BOQ＝30°；
（2）OC平分∠AOQ，所以∠AOC＝∠COQ，又因為∠COQ＝2∠BOQ，根據∠AOC+∠COQ+∠BOQ＝180°，得到∠BOQ＝36°，∠COQ＝72°，即可得到∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝18°；
（3）分類討論，當OQ在直線AB上方時并作圖；當OQ在直線AB下方時并作圖，根據圖形信息和條件信息進行列式計算即可．
【解答】解：（1）∵OPQ為直角三角板，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BOQ＝60°，∠AOP+∠POQ+∠BOQ＝180°，
∴∠AOP＝180°﹣∠POQ﹣∠BOQ＝180﹣90°﹣60°＝30°；
（2）∵OC平分∠AOQ，
∴∠AOC＝∠COQ，
∵∠COQ＝2∠BOQ，
設∠BOQ＝x，則∠COQ＝∠AOC＝2x，
∵∠AOC+∠COQ+∠BOQ＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，x＝36°，
∴∠BOQ＝36°，∠COQ＝72°，
由（1）得∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝90°﹣72°＝18°，
（3）①如圖3.1，當OQ在直線AB上方時，
∵∠BOQ＝80°，
∴∠AOQ＝100°，
∵OC平分∠AOQ，
∴，
∵∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝90°﹣50°＝40°，
②如圖3.2，當OQ在直線AB下方時，
∵∠BOQ＝80°，
∴∠AOQ＝100°，
∵OC平分∠AOQ，
∴，
∵∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ+∠COQ＝90°+50°＝140°；
綜上所述：∠COP的度數為40°或140°．
【點評】本題主要考查了角平分線的定義及角的計算，熟練掌握角平分線的定義及角的計算的方法進行求解是解決本題的關鍵．
2．已知O為直線AB上一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF＝35°，求∠BOE的度數；
（2）如圖1，若∠BOE等于m度，求∠COF的度數；（用含m的代數式表示）
（3）當∠COE繞點O逆時針旋轉到如圖2的位置時，∠BOE與∠COF的數量關系是什么？請說明理由．
【分析】（1）先由直角的定義得到∠COE＝90°，進而得到∠COF＝35°，再由角平分線的定義得到∠AOE＝2∠EOF＝110°，則由平角的定義可得答案；
（2）先由平角的定義得到∠AOE＝180°﹣m°，再由角平分線的定義得到，由直角的定義得到∠COE＝90°，則；
（3）先由直角的定義得到∠COE＝90°，則∠EOF＝90°﹣∠COF，再由角平分線的定義得到∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，則由平角的定義可得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝2∠COF．
【解答】解：（1）∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝55°，
∴∠COF＝35°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝110°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝70°；
（2）∵∠BOE＝m°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣m°，
∵OF平分∠AOE，
∴，
∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵；
（3）∠BOE＝2∠COF，理由如下：
∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝2∠COF，
∴∠BOE＝2∠COF．
【點評】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理清角之間的關系是解題的關鍵．
3．已知O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，①若∠AOC＝60°，則∠DOE＝　 　度；
②若∠AOC＝α°，則∠DOE＝　 　度；（用含α的代數式表示）；
（2）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α°，那么②中所求出的結論是否還成立？請說明理由．
【分析】（1）①根據平角的定義和∠COD＝90°，從而∠AOC+∠BOD＝90°，結合∠AOC＝60°求得∠BOD＝30°，由角平分線定義得，利用角的差可得結論；
②根據平角的定義和∠COD＝90°，從而∠AOC+∠BOD＝90°，結合∠AOC＝α°求得∠BOD＝90°﹣α°，由角平分線定義得，利用角的差可得結論；
（2）根據平角的定義得，根據角的差可得②中的結論還成立．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝30°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°；
故答案為：30；
②∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α°，
∴∠BOD＝90°﹣α°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）②中的結論還成立．理由如下：
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α°，
∴∠BOC＝180°﹣α°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴．
【點評】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和差，能根據圖形確定所求角和已知各角的關系是解此題的關鍵．
4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）
（1）如圖1，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數；
（2）按以下條件畫圖并完成探究：
探究一：當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜70）時，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，請求出這個值；若不是，請說明理由；
探究二：當∠COD從圖1所示位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）時，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在請求出n的值，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）首先根據角平分線的定義求得∠EOB和∠COF的度數，然后根據∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由題意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再運用角平分線定義即可求得答案；
探究二：分三種情況討論：①當0＜n＜30時，②當30＜n＜110時，③當110＜n＜140時．
【解答】解：（1）如圖1，當OB、OC重合時，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠AOC＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下：
如圖2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝55°+n°，∠BOF＝∠BOD＝n°+15°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°+n°）﹣（n°+15°）＝40°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值為40°，是定值；
探究二：
①當0＜n＜30時，如圖3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠BOF＝∠BOD＝15°﹣n°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°﹣n°）+n°+（15°﹣n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合題意，舍去）；
②當30＜n＜110時，如圖4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°﹣n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60，符合題意；
③當110＜n＜140時，如圖5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOA＝∠AOC＝n°﹣55°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合題意，舍去）；
綜上所述，n的值為60．
【點評】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質，理解角度之間的和差關系是關鍵．
類型三、直角三角板的旋轉
注意利用三角形旋轉時公共頂點的角是定角的特點，表示相關的角。
【例3-1】將一副三角板的兩個銳角頂點重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線．
（1）如圖1，當OB與OC重合時，則∠MON的大小為 　 　；
（2）當∠COD繞著點O旋轉至如圖2所示，且∠BOC＝10°時，求∠MON的度數；
（3）當∠COD繞著點O旋轉至如圖3所示，且∠BOC＝n°時，求∠MON的度數．
【分析】（1）根據角平分線定義當OB與OC重合時，即可求得∠MON的大小；
（2）根據角平分線定義當∠COD繞著點O旋轉至如圖②所示，當∠BOC＝10°時，即可求得∠MON的大小；
（3）根據角平分線定義當∠COD繞著點O旋轉至如圖③所示，當∠BOC＝n°時，即可求得∠MON的大小．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，
∴∠BON＝∠BOD＝15°，∠MOB＝∠AOC＝22.5°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝37.5°．
故答案為：37.5°；
（2）當∠BOC＝10°時，
∠AOC＝35°，∠BOD＝20°，
∴∠BON＝∠BOD＝10°，
∴∠MOC＝∠AOC＝17.5°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝17.5°+10°+10°＝37.5°．
答：∠MON的大小為37.5°；
（3）當∠BOC＝n°時，∠AOC＝45°+n°，∠BOD＝30°+n°，
∵∠BON＝∠BOD
＝（30°+n°）＝15°+n°，
∴∠MOB＝∠AOC﹣∠BOC
＝（45°+n°）﹣n°
＝22.5°﹣n°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝15°+n°+22.5°﹣n°
＝37.5°．
答：∠MON的大小為37.5°．
【點評】本題考查了角的計算、角平分線定義，加減本題的關鍵是掌握角平分線定義．
【例3-2】如圖，平面內點O為直線AB上一點，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的
直角頂點與O重合，OM平分∠BOD，設∠AOC＝α．（本題中所有角均小于等于180°）．
（1）如圖，請直接寫出∠AOM＝　135°+　（用含α的式子表示）；
（2）若圖中α＝50°，三角板COD從圖中的位置出發，繞O點以每秒5°的速度順時針旋轉，同時ON從OA出發，以每秒2°的速度逆時針旋轉．設運動時間為t秒（0＜t＜30）．
①當t為何值時，∠AOM+∠CON＝270°？
②是否存在一負數k，使得∠AOM+k∠CON取值與t無關．若存在，求此時k的值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）利用平角的定義和角平分線的定義解答即可；
（2）①依題意列出關于t的方程，解方程即可得出結論；
②利用①中的方法用t表示，求得∠AOM+k∠CON的值，整理后令t的系數為0即可求得結論．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝α，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝45°﹣α．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝135°+．
故答案為：135°+；
（2）①根據題意需要分以下三種情況：
Ⅰ、當OD在直線AB上方時，如題圖，此時0＜t＜8：
由題意得：t秒后，∠AOC＝50°+5°t，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°﹣5°t＝40°﹣5°t．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝20°﹣2.5°t．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝160°+2.5°t．
t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴160+2.5t+50+7t＝270，
解得：t＝，
Ⅱ、當射線OD在直線AB下方，且OC，ON共線前，如圖，此時8＜t＜，
由題意得：t秒后，∠AOC＝50°+5t°，
∴∠BOD＝5°t﹣40°．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝2.5°t﹣20°．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．
t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴200﹣2.5t+50+7t＝270，
解得：t＝＜8，舍去；
Ⅲ、當OC，ON共線后，如圖，此時＜t＜30，
由Ⅱ可知，∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．
t秒后，∠CON＝360°﹣（50°+5°t）﹣2°t＝310°﹣7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴200﹣2.5t+310﹣7t＝270，
解得：t＝＜，舍去；
故t的值為或；
②根據題意需要分以下三種情況：
Ⅰ、當OD在直線AB上方時，如題圖，此時0＜t＜8：
由上可知，∠AOM＝160°+2.5°t，∠CON＝50°+7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝160°+2.5°t+50°k+7°kt＝（7k+2.5）°t+160°+50°k，
∵∠AOM+k∠CON取值與t無關，
∴7k+2.5＝0，
解得：k＝﹣；
Ⅱ、當射線OD在直線AB下方，且OC，ON共線前，如圖，此時8＜t＜，
由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝50°+7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+50°k+7°kt＝（7k﹣2.5）°t+200°+50°k，
∴7k﹣2.5＝0，
解得：k＝，不合題意，舍去；
Ⅲ、當OC，ON共線后，如圖，此時＜t＜30，
由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝310°﹣7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+310°k﹣7°kt＝（﹣7k﹣2.5）°t+200°+310°k，
∴﹣7k﹣2.5＝0，
解得：k＝﹣，
綜上可知，存在，此時k＝﹣．
【點評】本題考查了角的計算，利用角的和或差得出等量關系，再利用等量代換最后得出結論，解決本題的關鍵是分情況畫圖討論．
針對練習3
1．如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起．
（1）∠ACE 　 　∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）當∠DCE＝15°時，求∠ACB的度數；
（3）猜想∠ACB與∠DCE的數量關系，并說明理由；
（4）將三角板ACD繞點C逆時針旋轉一周，請直接寫出此時∠ACE為多少度時，∠ECD與∠ACB的大小是二倍關系．
【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，可得∠ACE＝∠BCD；
（2）∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，可得∠ACE的值，進而可求出∠ACB的度數；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°；由∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，可證∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）分類討論，當2∠ECD＝∠ACB時，由∠ACB+∠DCE＝180°，可得∠ECD＝60°，進而可得∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°；當2∠ECD＝∠ACB時，∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，可求得∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
故答案為：“＝”；
（2）∵∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝75°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°+90°＝165°；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，
∴（∠ACE+∠DCE+∠BCD）+∠DCE＝180°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）①當2∠ECD＝∠ACB時，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，2∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACE為30°，∠ECD與∠ACB的大小是二倍關系；
②當∠ECD＝2∠ACB時，
∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝180°，
∵∠ECD＝2∠ACB，
∴∠ECD＝60°，∠ACB＝120°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACE為150°，∠ECD與∠ACB的大小是二倍關系；
綜上所述，當∠ACE為30°或150°時，∠ECD與∠ACB的大小是二倍關系．
【點評】本題考查了角的計算，熟練掌握角平分線的定義以及角的相關計算是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適中．
2．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為 　 　；
（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數為 　 　；
（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由．
【分析】（1）利用∠ACD減去∠DCE求出∠ACE，然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答；
（2）利用∠ACB減去∠ACD求出∠DCB，然后再利用∠ECB減去∠DCB即可解答；
（3）根據已知可得∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，結合圖形可知∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，然后進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，
故答案為：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，
故答案為：35°18′；
（3）∠ACB與∠DCE互補，
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
即∠ACB與∠DCE互補．
【點評】本題考查了角的大小比較，角的計算，度分秒的換算，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．
3．將一副三角板按圖1擺放在直線MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝　 　；∠FAG＝　 　；
（2）如圖2，若將三角板ABC繞A點以5°/秒的速度順時針旋轉t秒（t＜21），求∠FAG的度數；
（3）如圖3，三角板ABC繞A點以m°/秒的速度順時針旋轉，同時，三角板ADE繞A點以n°/秒的速度逆時針旋轉，當AD與AB邊首次重合時兩三角板都停止運動，若運行t秒時，有∠MAD＝∠CAE成立，試求此時m與n的關系．
【分析】（1）如圖1．根據平角的定義可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；根據角平分線定義可得∠BAF＝∠BAD＝52.5°，∠BAG＝∠BAE＝67.5°，代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，計算即可求解；
（2）如圖2，根據平角的定義可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝135°﹣5t；根據角平分線定義可得∠BAF＝∠BAD＝（105°﹣5t），∠BAG＝∠BAE＝（135°﹣5t），代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，計算即可求解；
（3）如圖3．根據平角的定義可得∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．根據∠MAD＝∠CAE列出方程150°﹣nt＝（180°﹣mt﹣nt），解方程即可得出m與n的關系．
【解答】解：（1）如圖1．
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠BAD＝52.5°，∠BAG＝∠BAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝67.5°﹣52.5°＝15°．
故答案為105°；15°；
（2）如圖2，
由題意可知：
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣30°﹣5t＝105°﹣5t；
∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣5t＝135°﹣5t；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠BAD＝（105°﹣5t），
∠BAG＝∠BAE＝（135°﹣5t），
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝（135°﹣5t）﹣（105°﹣5t）＝15°；
（3）如圖3．
∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝180°﹣30°﹣nt＝150°﹣nt，
∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．
當∠MAD＝∠CAE時，有150°﹣nt＝（180°﹣mt﹣nt），
解得n＝5m．
即當n＝5m時，有∠MAD＝∠CAE成立．
【點評】本題考查了角平分線定義，平角的定義以及角的計算，利用數形結合得出等式是解題關鍵，注意理清角之間的關系．
4．將一副三角板中的含有60°角的三角板的頂點和另一塊的45°角的頂點重合于一點O，繞著點O旋轉60°的三角板，拼成如圖的情況（OB在∠COD內部），請回答問題：
（1）如圖1放置，將含有60°角的一邊與45°角的一邊重合，求出此時∠AOD的度數．
（2）繞著點O，轉動三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此時∠AOD的度數應該是多少？
（3）是否存在這種情況，∠AOC的度數恰好等于∠BOD度數的3倍．如果存在，請求出∠AOD的度數，如果不存在請說明理由．
【分析】（1）表示出∠AOD，即可求解；
（2）由OB平分∠COD，表示出∠AOD，即可求解；
（3）令∠BOC＝x°，表示出∠AOC，∠BOD，求出x，即可．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠AOB+∠COD＝60°+45°＝105°，
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝∠COD＝22.5°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60+22.5°＝82.5°；
（3）存在這種情況，∠AOC的度數恰好等于∠BOD度數的3倍．
令∠BOC＝x°，
∴∠AOC＝60°﹣x°，∠BOD＝45°﹣x°，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60﹣x＝3（45﹣x），
∴x＝37.5，
∴∠BOD＝45°﹣37.5°＝7.5°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+7.5°＝67.5°．
【點評】本題考查角平分線定義，角的和差，關鍵是準確表示出有關的角．
類型四、鐘表的表針旋轉。
時鐘的時針每分鐘轉0.5度。鐘表上有12個數字，時針轉1圈為360度，每兩個相鄰數字之間的角度是：360÷12=30度。1小時等于60分鐘，則時針每走過1分鐘對應的角度應為：30÷60=0.5度。
時鐘的分針每分鐘轉6度。
【例4-1】某電視臺錄制的“奔跑吧兄弟第四季”將在周五21：10播出，此時時鐘上的分針與時針所成的角是多少度？在如圖中大致標出此時的角（用短箭頭、長箭頭分別表示時針和分針），并用至少兩種方式寫出這個角？（可在表盤上標注相應的字母或數字）
【分析】直接利用時針每分鐘走0.5°，分鐘每分鐘走6°，進而求出答案．
【解答】解：如圖所示：∵時針每分鐘走0.5°，
分鐘每分鐘走6°，
21點時分針與時針的夾角為90°，
∴10×6°＝60°，10×0.5°＝5°，
21點10分時夾角為：90°+60°﹣5°＝145°．
可以表示為∠1，∠AOB等．
【點評】此題主要考查了鐘面角以及角的表示方法，正確得出時針與分鐘轉動速度是解題關鍵．
【例4-2】觀察常用時鐘，回答下列問題：
（1）早晨7時整，時針和分針構成多少度的角？
（2）時針多長時間轉一圈？它轉動的速度是每小時多少度？
（3）從7：00到7：40，分針轉動了多少度？
【分析】（1）因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，找出7時時針和分針之間相差的大格數，用大格數乘30°即可；
（2）由時鐘可知時針12個小時轉一圈，圓周角是360°即一圈是360°，所以速度為360÷12＝30；
（3）若時針由7：00到7：40，共經過40分鐘，時針一小時即60分鐘轉30°，一分鐘轉動0.5°，分針一小時轉360°，一分鐘轉6°，據此作答．
【解答】解：（1）7時，時針和分針中間相差5個大格．
∵鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°，
∴7時，分針與時針的夾角是5×30°＝150°，
答：早晨7時整，時針和分針構成150度的角；
（2）由時鐘可知時針12個小時轉一圈，
360°÷12＝30°，
答：時針12個小時轉一圈，它轉動的速度是每小時30度；
（3）分針轉過的角度：（360°÷60）×40＝240°，
答：分針轉動了240度．
【點評】本題考查鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉動的度數關系：分針每轉動1°時針轉動（）°，并且利用起點時間時針和分針的位置關系建立角的圖形．
針對練習4
1．鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖，在鐘面上，點O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規定：鐘面圓的半徑OA表示時針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時刻都介于0點整到12點整之間．
（1）時針每分鐘轉動的角度為 　 　°，分針每分鐘轉動的角度為 　 °；
（2）8點整，鐘面角∠AOB＝　 °，鐘面角與此相等的整點還有：　 　點；
（3）如圖，設半徑OC指向12點方向，在圖中畫出6點15分時半徑OA、OB的大概位置，并求出此時∠AOB的度數．
【分析】（1）根據時針旋轉一周12小時，可得時針旋轉的速度，根據分針旋轉一周60分鐘，可得分針旋轉的速度；
（2）根據時針與分針相距的份數乘每份的度數，可得答案；
（3）根據時針旋轉的角度減去分針旋轉的角度，可得答案．
【解答】解：（1）時針每分鐘轉動的角度為0.5°，分針每分鐘轉動的角度為6°；
故答案為：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4點時0.5×60×4＝120°，
故答案為：120，4；
（3）如圖，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
【點評】本題考查了鐘面角，利用時針時針旋轉的角度減去分針旋轉的角度是解題關鍵．
2．知識的遷移與應用
問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的 A、B兩地出發，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時出發，同向而行（乙車在前甲車在后），　5或25　后兩車相距120km？
問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個圓形時鐘的表面上，OA表示時針，OB表示分針（O為兩針的旋轉中心）．下午3點時，OA與OB成直角．
（1）3：40時，時針與分針所成的角度　 　；
（2）分針每分鐘轉過的角度為　 　，時針每分鐘轉過的角度為　 　；
（3）在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經過多少分鐘，時針與分針成60°角？
【分析】問題一：分兩種情況解答：①乙車在前甲車在后，②甲車在前乙車在后；列出方程求解即可；
問題二：（1）根據鐘面的特點，平均分成12份，可得每份30°，根據時針與分針相距的份數乘以每份的度數，可得答案．
（2）鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，分針每分鐘轉過的角是分，即×30°＝6°；時鐘的時針每小時轉過的角是一份，即30°，可得時針每分鐘轉過的角度為0.5°；
（3）分①當分針在時針上方時②當分針在時針下方時兩種情況列出方程解答即可．
【解答】解：問題一：設xh后兩車相距120km，
若相遇前，則36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，則36x﹣24x＝180+120，
解得x＝25．
故兩車同時出發，同向而行（乙車在前甲車在后），5或25后兩車相距120km；
（1）30°×（5﹣）＝130°．
故3：40時，時針與分針所成的角度130°；
（2）分針每分鐘轉過的角度為6°，時針每分鐘轉過的角度為0.5°；
（3）設在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經過x分鐘，時針與分針成60° 角．
①當分針在時針上方時，
由題意得：（3+）×30﹣6x＝60，
解得：x＝；
②當分針在時針下方時，
由題意得：6x﹣（3+）×30＝60
解得：x＝．
答：在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經過或分鐘，時針與分針成60° 角．
故答案為：5或25；130°；6°；0.5°．
【點評】問題一：考查了一元一次方程的應用，主要利用了相遇問題等量關系，追及問題等量關系，熟練掌握行程問題的等量關系是解題的關鍵，難點在于分情況討論．
問題二：考查了鐘面角，時針與分針相距的份數乘以每份的度數．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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