資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十九 余角和補角題型串講
一、知識點大串講
（一）余角和補角
1.余角和補角概念
兩個角的和等于90°，這兩個角互為余角。
兩個角的和等于180°，這兩個角互為補角。
2.余角和補角性質
同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的補角相等
余角和補角的題型大串講
類型一、求一個角的余角
【例1-1】如圖，OC是∠AOB的平分線，且∠AOD＝90°．
（1）圖中∠COD的余角是　 　；
（2）如果∠COD＝24°45′，求∠BOD的度數．
【例1-2】．已知：如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝25°．求∠AOC的度數．
針對練習1
1．已知∠α＝37°45′，則∠α的余角等于 　 　．
2．若∠A的余角為22°37'，則∠A的大小為 　 　．
．
類型二、求一個角的補角
【例2-1】如圖，O是直線AB上一點，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（Ⅰ）求∠DOE的大小；
（Ⅱ）圖中與∠COE互補的角是 　 　；與∠AOE互補的角是 　 　；
（Ⅲ）圖中與∠BOE互余的角是 　 ．
【例2-2】．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有兩個角的頂點重合于一點O，∠AOB＝∠D＝90°，∠COD＝60°．
（1）如圖1，當OB與OC重合時，寫出圖中互補的角（寫出三對即可）．
（2）繞著點O轉動三角板COD（兩個三角板有重疊），∠AOD+∠BOC的大小是否發生變化？若不發生變化，求出它的值；若發生變化，說明理由．
（3）在（2）的條件下，當∠AOC＝3∠BOD時，求∠BOD的度數．
針對練習2
1．已知一個角的補角是它的5倍，求這個角的余角．
2．一個角的補角比這個角的余角3倍還多10°，求這個角的度數．
3．如圖，已知∠AOB的補角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度數；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度數．
類型三、與余角、補角有關的計算
【例3-1】如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，
（1）指出圖中以點O為頂點的角中，互為補角的角并說明理由．
（2）若∠COB＝∠AOD，求∠AOD的度數．
【例3-2】如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°，OF⊥AB．
（1）寫出圖中任意一對互余的角和一對互補的角：互余的角是　 　；互補的角是　 ；
（2）求∠EOF的度數．
針對練習3
1．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足為O．
（1）寫出圖中所有與∠AOD互補的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度數．
2．一個角的余角比它的補角的還少20°，求這個角．
3．以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝70°，將一個直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）頂點放在點O處．
（1）將直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，如圖1所示，則∠COE的度數為 　，其補角的度數為 　 　；
（2）將直角三角板DOE繞點O轉動到如圖2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數；
（3）如圖3，將直角三角板DOE繞點O轉動，OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE之間的數量關系，并說明理由；
（4）將直角三角板DOE繞點O轉動，OD始終在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，請直接寫出∠COE的度數．
類型四、余角、補角的性質的應用
【例4-1】如圖1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的補角的少10°．
（1）求∠BOC的度數；
（2）如圖1，當射線OP從OB處繞點O以4度/秒的速度逆時針旋轉，在旋轉過程中，保持射線OP始終在∠BOA的內部，當∠POC＝10°時，求旋轉時間．
（3）如圖2，若射線OD為∠AOC的平分線，當射線OP從OB處繞點O以4度/秒的速度逆時針旋轉，同時射線OT從射線OD處以x度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當這兩條射線重合于射線OE處（OE在∠DOC的內部）時，，求x的值．（注：本題中所涉及的角都是小于180°的角）
【例4-2】如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為反余角，其中一個角叫做另一個角的反余角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°．∠1﹣∠2＝90°，則∠1和∠2互為反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角．
（1）如圖，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°＝∠DOE，∠AOE的反余角是　 　，則∠BOE的反余角是　 　．
（2）若一個角的反余角是它的補角的，求這個角的度數．
針對練習4
1．如圖，點O是直線AB上一點，OC為任一條射線，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
（1）寫出圖中∠AOD和∠AOC的補角；
（2）試說明∠COD和∠COE具有怎樣的數量關系，寫出證明過程．
2．①如圖1，點A、C、B在同一直線上，CD平分∠ACB，∠ECF＝90°．回答下列問題：
（1）寫出圖中所有的直角　 　
（2）寫出圖中與∠ACE相等的　 　
（3）寫圖中∠DCE所有的余角　 　
（4）寫圖中∠ACE所有的余角　 　
（5）寫圖中∠FCD的補角　 　
（6）寫圖中∠DCE的補角　 　
②如圖2，已知點A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數．
3．如圖，已知∠AOB、∠COD都為平角，∠AOE、∠BOE、∠COF、∠DOF都等于90°．
（1）寫出∠AOF的所有余角；
（2）寫出∠BOD的所有補角；
（3）如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF的度數．
4．如圖，將一副三角尺的直角頂點重合在一起．
（1）若∠DOB與∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度數．
（2）若疊合所成的∠BOC＝n°（0＜n＜90），則∠AOD的補角的度數與∠BOC的度數之比是多少？
5．如圖1，OB、OC是∠AOD內部兩條射線．
（1）若∠AOD和∠BOC互為補角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度數；
（2）如圖2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分別作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，請寫出∠DOM、∠AON、∠BOC之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，已知∠AOD＝120°，射線OE平分∠AOD，若將OB繞O點從OA出發以每秒6°逆時針旋轉，OC繞O點從OD出發以每秒5°順時針旋轉，OB、OC同時運動；當OC運動一周回到OD時，OB、OC同時停止運動．若運動t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分線，則此時t的值為 　或或　（直接寫出答案）．
6．如圖1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內的一條射線，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．
（1）分別求∠AOB的補角和∠AOC的度數；
（2）現有射線OE，使得∠BOE＝30°．
①小明在圖2中補全了射線OE，根據小明所補的圖，求∠DOE的度數；
②小靜說：“我覺得小明所想的情況并不完整，∠DOE還有其他的結果．”請你判斷小靜說的是否正確？若正確，請求出∠DOE的其他結果；若不正確，請說明理由．
類型五、余角、補角實際應用
【例5-1】如圖，已知，則射線的方位角是 ．
【例5-2】如圖，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC， OD平分∠AOE．
（1）求∠COD的度數；
（2）若以O為觀測中心，OA為正東方向，則射線OD的方位角是 ；
（3）若∠AOC、射線OE分別以每秒5°、每秒3°的速度同時繞點O逆時針方向旋轉，其他條件不變，當OA回到原處時，全部停止運動，則經過多長時間，∠BOE=28°？
針對練習5
1．如圖，是北偏東30°方向的一條射線，若，則的方位角是（ ）

A．北 B．北偏西60° C．北偏東30° D．北偏東60°
2．如圖，是點O北偏東方向的一條射線，若射線與射線垂直，則的方位角是（ ）

A．西偏北 B．北偏西 C．西北方向 D．東偏北
3．如圖，是北偏東方向的一條射線，若，則的方位角是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
七年級數學上期末培優專題復習
專題十九 余角和補角題型歸納（解析版）
一、余角和補角
1.余角和補角概念
兩個角的和等于90°，這兩個角互為余角。
兩個角的和等于180°，這兩個角互為補角。
2.余角和補角性質
同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的補角相等
余角和補角的題型歸納
類型一、求一個角的余角
【例1-1】如圖，OC是∠AOB的平分線，且∠AOD＝90°．
（1）圖中∠COD的余角是　 　；
（2）如果∠COD＝24°45′，求∠BOD的度數．
【分析】（1）由于∠AOD＝90°，則∠AOC+∠COD＝90°；因此∠AOC是∠COD的余角，而OC平分∠AOB，即∠BOC＝∠AOC，因此∠BOC也是∠COD的余角．
（2）由于∠COD和∠AOC互余，可求出∠AOC的度數，進而可求出∠AOB的度數，然后根據∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD，可求出∠BOD的度數．
【解答】解：（1）∠AOC，∠BOC；（答對1個給1分）（2分）
（2）∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝90°﹣24°45′＝65°15′（3分）
∵OC是∠AOB的平分線，所以∠AOB＝2∠AOC＝130°30′（4分）
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝130°30′﹣90°＝40°30′．（5分）
【點評】此題綜合考查角平分線，余角和補角．要注意圖中角與角之間的關系．
【例1-2】．已知：如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝25°．求∠AOC的度數．
【分析】根據∠AOB＝90°，∠BOD＝25°可求得∠AOD＝65°，進而可得∠AOC的度數；
【解答】解：∵∠BOD＝25°，∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝65°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝65°+90°＝155°．
【點評】此題主要考查了余角，以及角的計算，掌握余角的定義是關鍵．
針對練習1
1．已知∠α＝37°45′，則∠α的余角等于 　 　．
【分析】根據∠α的余角＝90°﹣∠α求出答案即可．
【解答】解：∵∠α＝37°45′，
∴∠α的余角是90°﹣∠α＝90°﹣37°45′＝52°15′，
故答案為：52°15′．
【點評】本題考查了補角與余角，能熟記∠α的余角＝90°﹣∠α是解此題的關鍵．
2．若∠A的余角為22°37'，則∠A的大小為 　 　．
【分析】根據互余的兩角之和為90°即可求解．
【解答】解：∵∠A的余角為22°37'，
∴∠A＝90°﹣22°37'＝67°23'．
故答案為：67°23'．
【點評】本題主要考查余角，度分秒的換算，解答的關鍵是明確互余的兩角之和為90°．
類型二、求一個角的補角
【例2-1】如圖，O是直線AB上一點，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（Ⅰ）求∠DOE的大小；
（Ⅱ）圖中與∠COE互補的角是 　 　；與∠AOE互補的角是 　 　；
（Ⅲ）圖中與∠BOE互余的角是 　 ．
【分析】（Ⅰ）根據角平分線的定義及平角的定義求出∠DOE的大小；
（Ⅱ）根據∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE＝∠BOE，通過等量代換得出∠COE互補的角；
根據角平分線的定義及平角的定義，通過等量代換得出∠AOE互補的角；
（Ⅲ）根據∠DOC+∠COE＝90°，∠COE＝∠BOE，通過等量代換得出∠BOE互余的角．
【解答】解：（Ⅰ）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠COB，
∵∠AOC+∠COB＝180°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
即∠DOE＝90°；
（Ⅱ）∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE＝∠BOE，
∴與∠COE互補的角是∠AOE，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴與∠AOE互補的角是∠BOE或∠COE；
故答案為：∠AOE；∠BOE或∠COE；
（Ⅲ）∵∠DOC+∠COE＝90°，∠COE＝∠BOE，
∴∠BOE+∠COD＝90°，
∵∠COD＝∠DOA，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
∴與∠BOE互余的角是∠COD或∠DOA；
故答案為：∠COD或∠DOA．
【點評】本題考查余角和補角、角平分線的定義，掌握角平分線的定義的應用，余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系，只要度數之和滿足了定義，則它們就具備相應的關系是解題的關鍵．
【例2-2】．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有兩個角的頂點重合于一點O，∠AOB＝∠D＝90°，∠COD＝60°．
（1）如圖1，當OB與OC重合時，寫出圖中互補的角（寫出三對即可）．
（2）繞著點O轉動三角板COD（兩個三角板有重疊），∠AOD+∠BOC的大小是否發生變化？若不發生變化，求出它的值；若發生變化，說明理由．
（3）在（2）的條件下，當∠AOC＝3∠BOD時，求∠BOD的度數．
【分析】（1）觀察圖形可得答案；
（2）由∠AOD＝∠AOC+∠COD，可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°；
（3）設∠BOD＝α，可得∠BOC＝60°﹣α＝90°﹣3α或∠BOC＝60°+α＝90°﹣3α，即可解得答案．
【解答】解：（1）由圖可知，互補的角有：∠AOB和∠CDO，∠AOD和∠C，∠ABC和∠A；
（2）∠AOD+∠BOC的大小不發生變化，理由如下：
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，
∴∠AOD+∠BOC的大小不發生變化，它的值是150°；
（3）設∠BOD＝α，則∠AOC＝3α，
∴∠BOC＝60°﹣α＝90°﹣3α或∠BOC＝60°+α＝90°﹣3α，
解得α＝15°或α＝7.5°，
∴∠BOD＝15°或∠BOD＝7.5°．
【點評】本題考查余角與補角，解題的關鍵是掌握角的和差運算．
針對練習2
1．已知一個角的補角是它的5倍，求這個角的余角．
【分析】設這個角為x，則余角為（90°﹣x），補角為（180°﹣x），再由這個角的補角是它的5倍，可得出方程，解出即可．
【解答】解：設這個角為x，則余角為（90°﹣x），補角為（180°﹣x），
由題意得：180°﹣x＝5x，
解得：x＝30，
∴這個角的余角為60°．
【點評】本題考查了余角和補角的知識，注意掌握互余的兩角之和為90°，互補的兩角之和為180°．
2．一個角的補角比這個角的余角3倍還多10°，求這個角的度數．
【分析】設這個角為x，根據余角和補角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：設這個角為x，
由題意得，180°﹣x＝3（90°﹣x）+10°，
解得x＝50°．
答：這個角的度數為50°．
【點評】本題考查了余角和補角的概念，掌握若兩個角的和為90°，則這兩個角互余，兩個角的和等于180°，則這兩個角互補是關鍵．
3．如圖，已知∠AOB的補角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度數；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度數．
【分析】（1）利用設元法列方程求解即可．
（2）設∠BOD＝y，利用題目條件列出關于y的方程求解即可．
【解答】解：（1）設∠AOB＝x，
由題意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），
解得x＝80°．
所以∠AOB的度數為80°．
（2）設∠BOD＝y，則∠AOC＝3y，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，
由題意得：3y+2y+80°＝360°，
解得y＝56°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+56°＝136°．
【點評】本題考查角度的計算、補角和余角的概念，熟練掌握設元法求角的方法是解題關鍵．
類型三、與余角、補角有關的計算
【例3-1】如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，
（1）指出圖中以點O為頂點的角中，互為補角的角并說明理由．
（2）若∠COB＝∠AOD，求∠AOD的度數．
【分析】（1）通過計算，尋找和為180°的兩個角；
（2）由于∠AOD與∠COB互補，把∠COB＝∠AOD代入求出∠AOD．
【解答】解：（1）互為補角的角有：∠AOD與∠COB，∠AOB與∠COD
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOB+∠COD＝180°，
∠COD＝∠COB+∠BOD
∴∠AOB+∠BOD+∠COB＝180°，
即∠AOD+∠COB＝180°．
（2）∵∠COB＝∠AOD，
又∵∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝126°．
∠AOD的度數為126°．
【點評】本題考查了互補、角的和差的計算等知識．利用互補關系及角間關系，通過方程的思想是解決本題的關鍵．
【例3-2】如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°，OF⊥AB．
（1）寫出圖中任意一對互余的角和一對互補的角：互余的角是　 　；互補的角是　 ；
（2）求∠EOF的度數．
【分析】（1）由垂線的定義得出互余的角，由平角的定義得出互補的角；
（2）由對頂角相等和角平分線的定義得出∠AOE的度數，再由互余關系，即可得出∠EOF的度數．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOE+∠EOF＝90°，
即∠AOE和∠EOF互余；
∵直線AB與直線CD相交于點O，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC和∠BOC互補；
故答案為：∠AOE和∠EOF；∠AOC和∠BOC；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝70°，OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝35°，
∴∠EOF＝90°﹣∠AOE＝90°﹣35°＝55°．
【點評】本題考查了余角和補角、角平分線的定義、對頂角相等的性質，比較簡單，屬于基礎題目．
針對練習3
1．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足為O．
（1）寫出圖中所有與∠AOD互補的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度數．
【分析】（1）根據鄰補角的定義確定出∠AOC和∠BOD，再根據角平分線的定義可得∠AOF＝∠EOF，根據垂直的定義可得∠COF＝∠DOF＝90°，然后根據等角的余角相等求出∠DOE＝∠AOC，從而最后得解；
（2）根據角平分線的定義求出∠AOF，再根據余角的定義求出∠AOC，然后根據對頂角相等解答．
【解答】解：（1）∵直線AB，CD相交于點O，
∴∠AOC和∠BOD與∠AOD互補，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴∠DOE也是∠AOD的補角，
∴與∠AOD互補的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
【點評】本題考查了余角和補角，對頂角相等的性質，角平分線的定義，難點在于（1）根據等角的余角相等確定出與∠AOD互補的第三個角．
2．一個角的余角比它的補角的還少20°，求這個角．
【分析】首先根據余角與補角的定義，設這個角為x，則它的余角為（90°﹣x），補角為（180°﹣x），再根據題中給出的等量關系列方程即可求解．
【解答】解：設這個角為x，則它的余角為（90°﹣x），補角為（180°﹣x），
根據題意，可得90°﹣x＝（180°﹣x）﹣20°，
解得x＝75°．
故答案為75°．
【點評】此題綜合考查余角與補角，屬于基礎題中較難的題，解答此類題一般先用未知數表示所求角的度數，再根據一個角的余角和補角列出代數式和方程求解．
3．以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝70°，將一個直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）頂點放在點O處．
（1）將直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，如圖1所示，則∠COE的度數為 　，其補角的度數為 　 　；
（2）將直角三角板DOE繞點O轉動到如圖2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數；
（3）如圖3，將直角三角板DOE繞點O轉動，OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE之間的數量關系，并說明理由；
（4）將直角三角板DOE繞點O轉動，OD始終在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，請直接寫出∠COE的度數．
【分析】（1）根據圖形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出∠COE的度數，再利用補角的定義可求解；
（2）根據角平分線定義求出∠BOE＝140°，代入∠BOD＝∠BOC﹣∠DOE，再利用∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可求解；
（3）根據圖形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相減即可求出答案；
（4）將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD在∠BOC的外部，在備用圖中畫出三角板DOE的四個位置，即可求出∠COE的度數．
【解答】解：（1）若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，
則∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°．
∴其補角為180°﹣20°＝160°，
故答案為：20；160°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°；
（4）如圖，
∵∠BOC＝70°，∠BOD＝80°，
∴∠COD＝80°﹣70°＝10°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+10°＝100°；
如圖，
∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝150°﹣90°＝60°，
綜上，∠COE的度數為100°或60°．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖、余角和補角、旋轉作圖，解決本題的關鍵是準確畫出旋轉后的三角板的位置．
類型四、余角、補角的性質的應用
【例4-1】如圖1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的補角的少10°．
（1）求∠BOC的度數；
（2）如圖1，當射線OP從OB處繞點O以4度/秒的速度逆時針旋轉，在旋轉過程中，保持射線OP始終在∠BOA的內部，當∠POC＝10°時，求旋轉時間．
（3）如圖2，若射線OD為∠AOC的平分線，當射線OP從OB處繞點O以4度/秒的速度逆時針旋轉，同時射線OT從射線OD處以x度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當這兩條射線重合于射線OE處（OE在∠DOC的內部）時，，求x的值．（注：本題中所涉及的角都是小于180°的角）
【分析】（1）根據“∠BOC的余角比它的補角的少10°”建立方程，求解即可．
（2）根據射線OP的運動可知，需要分兩種情況，和OC相遇前，和OC相遇后，分別列出方程求解即可．
（3）當兩射線重合時，可分別求出∠DOE，∠BOC，∠COE，根據給出的等式建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）根據題意可知，90°﹣∠BOC＝（180°﹣∠BOC）﹣10°，
解得∠BOC＝20°；
（2）設旋轉時間為t秒，
根據射線的運動可知，∠BOP＝4°t，
當OP到達OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，
∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；
當OP到達OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，
∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；
∴當∠POC＝10°時，旋轉時間為2.5秒或7.5秒．
（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，
設相遇時，旋轉的時間為t秒，
根據射線的運動可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，
∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，
∠BOD＝4°t+x°t＝90°，
∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，
∵，
∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，
解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，
∴4°×10+10 x°＝90°，解得x＝5．
【點評】本題主要考查一元一次方程的應用，角度的和差計算等知識，（3）中關鍵是找到等量關系：∠DOE+∠BOC+∠COE＝90°．
8．如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為反余角，其中一個角叫做另一個角的反余角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°．∠1﹣∠2＝90°，則∠1和∠2互為反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角．
（1）如圖，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°＝∠DOE，∠AOE的反余角是　 　，則∠BOE的反余角是　 　．
（2）若一個角的反余角是它的補角的，求這個角的度數．
【分析】（1）由∠AOD﹣∠AOE＝90°，得出∠AOE的反余角是∠AOD；由∠BOE﹣∠EOC＝90°，再證出∠BOD＝∠EOC，得出∠BOE的反余角為∠EOC和∠DOB；
（2）設這個角為x°，分情況討論，根據題意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴∠AOE的反余角是∠AOD；
∵∠BOE﹣∠EOC＝90°，OC⊥AB，OE⊥CD，
∴∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠EOC，
∴∠BOE﹣∠BOD＝90°，
∴∠BOE的反余角為∠EOC和∠DOB；
故答案為：∠AOD；∠EOC和∠DOB；
（2）設這個角為x°，
若這個角是銳角，則它的反余角為（90+x）°，
由題意，得90+x＝（180﹣x），
解得x＝18，
若這個角是鈍角，則它的反余角為（x﹣90）°，
由題意，得x﹣90＝（180﹣x），
解得x＝126，
綜上所述，這個角為18°或 126°．
【點評】本題考查了余角、補角以及反余角的知識；仔細觀察圖形理解兩個角的反余角關系、互補關系是解題的關鍵．
針對練習4
1．如圖，點O是直線AB上一點，OC為任一條射線，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
（1）寫出圖中∠AOD和∠AOC的補角；
（2）試說明∠COD和∠COE具有怎樣的數量關系，寫出證明過程．
【分析】（1）根據補角的定義，和是180度的兩個角互補，一個角是另一個角的補角；
（2）根據角平分線的定義得到∠DOE＝∠AOB＝90°，據此即可判斷．
【解答】解：（1）∠AOD的補角是：∠BOD；
∠AOC的補角是∠BOC；
（2）∠COD+∠COE＝90°．
理由是：如圖，∵OD是∠AOC的角平分線，OE是∠BOC的角平分線，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°．
【點評】本題考查了角平分線的定義．根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．
2．①如圖1，點A、C、B在同一直線上，CD平分∠ACB，∠ECF＝90°．回答下列問題：
（1）寫出圖中所有的直角　 　
（2）寫出圖中與∠ACE相等的　 　
（3）寫圖中∠DCE所有的余角　 　
（4）寫圖中∠ACE所有的余角　 　
（5）寫圖中∠FCD的補角　 　
（6）寫圖中∠DCE的補角　 　
②如圖2，已知點A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數．
【分析】①由直角的定義、角平分線的定義、余角和補角的定義可得結果；
②由∠COD＝90°，易得∠AOC+∠BOD＝90°，利用角平分線的性質可得∠COE+∠DOF＝45°，可得∠EOF的度數．
【解答】解：①∵CD平分∠ACB，∠ECF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠FCD，∠BCF＝∠ECD，
（1）圖中所有的直角有：∠ACD，∠BCD，∠ECF；
（2）與∠ACE相等的角有∠DCF；
（3）∠DCE所有的余角有∠ACE，∠DCF；
（4）∠ACE所有的余角有∠DCE，∠BCF；
（5）∠FCD的補角∠BCE；
（6）∠DCE的補角∠ACF．
故答案為：∠ACD，∠BCD，∠ECF；∠DCF；∠ACE，∠DCF；∠DCE，∠BCF；∠BCE；∠ACF．；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE+∠DOF＝（∠AOC+∠BOD）＝＝45°，
∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝135°．
【點評】本題主要考查了直角的定義、角平分線的定義、余角和補角的定義等，根據圖形和定義解答是關鍵．
3．如圖，已知∠AOB、∠COD都為平角，∠AOE、∠BOE、∠COF、∠DOF都等于90°．
（1）寫出∠AOF的所有余角；
（2）寫出∠BOD的所有補角；
（3）如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF的度數．
【分析】（1）余角即與另一個角的和為90°的角；
（2）補角即與另一個角的和為180°的角；
（3）利用平角為180°求解．
【解答】解：（1）∠AOF的所有余角有∠EOF、∠BOD、∠AOC；
（2）∠BOD的所有補角∠AOD、∠BOC；
（3）∵∠AOC＝∠EOF，∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝4∠EOF，
∴5∠AOC＝180°，
∴∠EOF＝∠AOC＝36°．
故∠EOF的度數是36°．
【點評】本題考查了余角和補角的定義以及性質、平角的定義，若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．等角的補角相等．等角的余角相等．
4．如圖，將一副三角尺的直角頂點重合在一起．
（1）若∠DOB與∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度數．
（2）若疊合所成的∠BOC＝n°（0＜n＜90），則∠AOD的補角的度數與∠BOC的度數之比是多少？
【分析】根據條件可知∠AOB＝∠COD＝90°，并且∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，根據這個關系就可以求解．
【解答】解：（1）設∠DOB＝2x°，則∠DOA＝11x°，
∵∠AOB＝∠COD
∴∠AOC＝∠DOB＝2x°，∠BOC＝7x°．
又∵∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC
則得方程：11x＝180﹣7x
解得：x＝10
∴∠BOC＝70°．
（2）∵∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC
∴∠AOD與∠BOC互補，
則∠AOD的補角等于∠BOC．
故∠AOD的補角的度數與∠BOC的度數之比是1：1．
【點評】正確認識∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC這一個關系是解題的關鍵，這是一個常用的關系，需熟記．
5．如圖1，OB、OC是∠AOD內部兩條射線．
（1）若∠AOD和∠BOC互為補角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度數；
（2）如圖2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分別作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，請寫出∠DOM、∠AON、∠BOC之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，已知∠AOD＝120°，射線OE平分∠AOD，若將OB繞O點從OA出發以每秒6°逆時針旋轉，OC繞O點從OD出發以每秒5°順時針旋轉，OB、OC同時運動；當OC運動一周回到OD時，OB、OC同時停止運動．若運動t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分線，則此時t的值為 　或或　（直接寫出答案）．
【分析】（1）由∠AOD和∠BOC互為補角，∠AOD＝2∠BOC，可得3∠BOC＝180°，進而求解．
（2）設∠BOC＝α，則∠AOD＝2α，由余角的定義可知，∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝180°，所以∠AOB+∠COD＝∠AOD﹣∠BOC＝2α﹣α＝α，∠DOM+∠AON＝180°﹣α，則∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°﹣α+α＝180°．
（3）根據射線的運動，需要分三種情況討論：①OB到達OE前，②當射線OC到達射線OE后，③當射線OB旋轉一周后，建立等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD和∠BOC互為補角，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴3∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝120°．
（2）∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°，
設∠BOC＝α，則∠AOD＝2α，
∵∠DOM和∠AON分別是∠COD和∠AOB的余角，
∴∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝∠AOD﹣∠BOC＝2α﹣α＝α，
∠DOM+∠AON＝180°﹣α，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°﹣α+α＝180°．
（3）①OB到達OE前，如圖3①，
由點的運動可知，∠AOB＝6°t，∠DOC＝5°t，
∴∠BOC＝120°﹣6°t﹣5°t＝120°﹣11°t，∠BOE＝60°﹣6°t，∠COE＝60°﹣5°t，
由題意可知，120°﹣11°t＝4（60°﹣6°t），解得t＝，
②當射線OC到達射線OE后，如圖3②，
此時，∠COE＝5°t﹣60°，∠BOE＝6°t﹣60°，
則∠BOC＝∠COE+∠BOE＝11°t﹣120°，
根據題意可知，4（5°t﹣60°）＝11°t﹣120°，解得t＝；
③當射線OB旋轉一周后，如圖3③，
此時，∠COE＝360°﹣5°t+60°＝420°﹣5°t，∠BOE＝60°﹣（6°t﹣360°）＝420°﹣6°t，
∴∠BOC＝∠COE+∠BOE＝840°﹣11t，
根據題意得，4（420°﹣6°t）＝840°﹣11t，解得t＝．
故答案為：或或．
【點評】本題主要考查角度的和差計算，余角和補角的定義以及一元一次方程的應用等內容．（3）關鍵是根據射線的運動進行正確的討論，根據數量關系得出等式．
6．如圖1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內的一條射線，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．
（1）分別求∠AOB的補角和∠AOC的度數；
（2）現有射線OE，使得∠BOE＝30°．
①小明在圖2中補全了射線OE，根據小明所補的圖，求∠DOE的度數；
②小靜說：“我覺得小明所想的情況并不完整，∠DOE還有其他的結果．”請你判斷小靜說的是否正確？若正確，請求出∠DOE的其他結果；若不正確，請說明理由．
【分析】（1）先根據補角的定義求出∠AOB的補角，再根據給出∠AOC和∠AOB的關系求出∠AOC的度數；
（2）①根據角平分線的性質求出∠AOD的度數，再根據角度的和差計算求出∠DOE的度數；
②當射線OE在射線OB的上方時，畫出圖形，根據角平分線的性質及角度的和差計算求出∠DOE的度數．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，
∴∠AOB的補角為：180°﹣120°＝60°，
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝80°；
（2）①∵OD平分∠AOC，∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝×80°＝40°．
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝80°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝110°；
②小靜的說法正確，∠DOE＝50°；理由如下：
當射線OE在射線OB的上方時，如圖所示，
∵OD平分∠AOC，∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝×80°＝40°．
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝80°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝50°．
【點評】本題主要考查角度的計算，涉及角平分線的性質，角度的和差計算，分類討論思想等知識，關鍵是根據題意判斷出射線OE的位置不確定，需要進行分類討論．
類型五、余角、補角實際應用
【例5-1】如圖，已知，則射線的方位角是 ．
【答案】北偏東
【分析】本題考查方位角．根據方位角的定義：從正北開始，順時針到目標所在線的夾角，進行判斷即可．
【詳解】解：由題意，得：射線的方位角的度數為，
∴射線的方位角是：北偏東；
故答案為：北偏東．
【例5-2】如圖，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC， OD平分∠AOE．
（1）求∠COD的度數；
（2）若以O為觀測中心，OA為正東方向，則射線OD的方位角是 ；
（3）若∠AOC、射線OE分別以每秒5°、每秒3°的速度同時繞點O逆時針方向旋轉，其他條件不變，當OA回到原處時，全部停止運動，則經過多長時間，∠BOE=28°？
【答案】（1）∠COD= 5°；（2）北偏東25°；（3）經過36秒或者64秒
【分析】（1）由角平分線的定義求出∠AOD、∠AOC的度數，然后根據角的和差計算即可；
（2）作OF⊥OA，求出∠FOD的度數，然后根據方向角的表示方法，可得答案；
（3）設經過x秒，∠BOE=28°，分兩種情況列出方程并解答即可．
【詳解】（1）因為OB平分∠AOC， OD平分∠AOE，
所以∠AOC=2∠AOB=60°， ∠AOD=∠AOE=65°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=65°-60°= 5° ；
（2）如圖，作OF⊥OA，
∵∠AOD=65°，
∴∠FOD=90°-65°=25°，
∴射線OD的方位角是北偏東25°；
（3）因為∠AOB=30°，∠AOE=130°，
所以∠EOB=∠AOE-∠AOB=100°
設經過x秒∠BOE=28°，則3x+100-5x=28，
解得x=36 ；
或 5x-（3x+100）=28，
解得x=64．
答：經過36秒或者64秒∠BOE=28°．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，方向角，一元一次方程的應用，角的和差，以及分類討論的數學思想．掌握角平分線的定義是解（1）的關鍵，掌握方向角的定義是解（2）的關鍵，分類討論是解（3）的關鍵．
針對練習5
1．如圖，是北偏東30°方向的一條射線，若，則的方位角是（ ）

A．北 B．北偏西60° C．北偏東30° D．北偏東60°
【答案】B
【分析】根據方向角的定義可得：，然后利用角的和差關系可求出，從而根據方向角的定義，即可解答．
【詳解】解：如圖：

由題意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故選：B．
【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．
2．如圖，是點O北偏東方向的一條射線，若射線與射線垂直，則的方位角是（ ）

A．西偏北 B．北偏西 C．西北方向 D．東偏北
【答案】B
【分析】根據方位角的定義和垂直的意義得出，繼而求出，再根據方位角的定義作答即可．
【詳解】如圖，

∵是點O北偏東方向的一條射線，射線與射線垂直，
∴，
∴，
∴的方位角是北偏西，
故選：B．
【點睛】本題考查了方位角的定義，準確求出角度是解題的關鍵．
3．如圖，是北偏東方向的一條射線，若，則的方位角是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
【答案】C
【分析】根據已知計算即可．
【詳解】解：如圖：
由題意得：，
∵，
∴，
∴的方位角是北偏西，
故選：C．
【點睛】本題考查了方位角，直角的意義，熟練掌握方位角的意義是解題的關鍵
1
2
3
4
1
2
3
4
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑