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七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十 第4章幾何圖形初步期末素質測評
時間120分鐘 滿分120分
學校 __ ___ 班級_____ 姓名 _________ 考號________
一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，OC是∠AOB內的一條射線，下列條件中不能確定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
2．下列各圖經過折疊不能圍成一個正方體的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是線段AC的中點的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．下列立體圖形中是圓柱的是（　　）
A． B． C． D．
5．如圖是一個正方體的表面展開圖，如果相對面上所標的兩個數互為相反數，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
6．如圖所示，直線MN表示一條鐵路，鐵路兩旁各有一點A和B，表示兩個工廠．要在鐵路上建一貨站P，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站P應建在AB與MN的交點處，這種做法用幾何知識解釋應是（　　）
A．兩點之間，線段最短
B．射線只有一個端點
C．兩直線相交只有一個交點
D．兩點確定一條直線
7．如圖，O是直線AB上一點，過O作任意射線OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，則∠COD的度數是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．不能確定
8．如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠BOA＝90°，則OB的方位角是（　　）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏東30° D．北偏東60°
9．在朱自清的《春》中描寫春雨“像牛毛，像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里把雨看成了線，這說明了（　　）
A．點動成線 B．線動成面
C．面動成體 D．兩點確定一條直線
10．如圖，小明從A處出發沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西40°方向行走至C處，此時需把方向調整到與出發時一致，則小明應該（　　）
A．左轉80° B．右轉80° C．左轉100° D．右轉100°
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11．一副三角板按如圖所示方式重疊，若圖中∠DCE＝35°25′，則∠ACB＝　 　．
12．已知，B是線段AD上一點，C是線段AD的中點，若AD＝10，BC＝3，則AB＝ ．．
13．如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分線，且∠COD＝36°，則∠AOC的度數為 　 　．
14．小剛每晚19：00都要看央視的“新聞聯播”節目，這時鐘面上時針與分針夾角的度數為　 　度．
15．某復興號列車在哈爾濱和北京之間運行，途中要停靠于3個站點，如果任意兩站之間的票價都不同，那么有 　 　種不同的票價，應發行 　 　種不同的車票．
三．解答題（共8小題，共75分）
16．（8分）如圖，線段AB的長為20，點C在線段AB上，且，點D在線段AB上，且，點M是DB的中點，求線段MB的長．
17．（8分）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點D是線段BC的中點，如果CD＝3cm，那么線段AC的長度是多少？
18．（8分）如圖，射線OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數是否會發生變化？簡單說明理由．
19．（8分）已知點D為線段AB的中點，點C在線段AB上．
（1）如圖1，若AC＝8cm，BC＝6cm，求線段CD的長；
（2）如圖2，若BC＝2CD，點E為BD中點，AE＝18cm，求線段AC的長．
20．（9分）直角三角板ABC的直角頂點C在直線DE上，CF平分∠BCD．
（1）在圖1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　 　；
（2）在圖1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　 　（用含α的式子表示）；
（3）將圖1中的三角板ABC繞頂點C旋轉至圖2的位置，若∠BCE＝150°，試求∠ACF與∠ACE的度數．
21．（10分）根據題意，補全解題過程：
如圖，已知射線OB，OM，ON在∠AOD內部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，求∠AOM的度數．
解：∵ON平分∠BOD，
∴　 　＝2∠DON．
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝　 　．
∵∠AOB＝　 　﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝　 　．
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝ 　 　＝　 　．
22．（12分）如圖，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOC＝30°，射線OP在∠BOC內，∠BOP＝n∠COP．
（1）當n＝1時，請用量角器在圖1中畫出射線OP，求∠DOP的度數；
（2）當n＝2時，OQ平分∠DOP，直接寫出∠BOQ的度數．
23．（12分）已知射線OC在∠AOB的內部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．
（1）一個角的平分線 　 　這個角的奇妙線；（填“是”或“不是”）
（2）如圖，∠MPN＝60°．
①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數為 　 　度；
②射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉3°45'的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當
∠FPN首次等于180°時停止旋轉，設旋轉的時間為t（s）．當t為何值時，射線PM是∠FPN的奇妙線？
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十 第4章幾何圖形初步期末素質測評
時間120分鐘 滿分120分
學校 __ ___ 班級_____ 姓名 _________ 考號________
一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，OC是∠AOB內的一條射線，下列條件中不能確定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
【分析】根據角平分線的定義可直接判定求解．
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以A選項正確，不符合題意；
B、∵∠AOC＝∠AOB，
∴OC平分∠AOB．
所以B選項正確，不符合題意．
C、∵∠AOB＝2∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C選項正確，不符合題意；
D、∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以D選項錯誤，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了角平分線的定義，解決本題的關鍵是掌握角平分線的定義．
2．下列各圖經過折疊不能圍成一個正方體的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題．只要有“田”“凹”“一線超過四個正方形”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．
【解答】解：A、是正方體的展開圖，不符合題意；
B、是正方體的展開圖，不符合題意；
C、是正方體的展開圖，不符合題意；
D、不是正方體的展開圖，缺少一個底面，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了正方體的展開圖，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．
3．如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是線段AC的中點的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】根據題意，畫出圖形，觀察圖形，一一分析選項，排除錯誤答案．
【解答】
解：如圖，若B是線段AC的中點，
則AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB，
而AB+BC＝AC，B可是線段AC上的任意一點，
∴表示B是線段AC的中點的有①②③3個．
故選：C．
【點評】利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性，同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點
4．下列立體圖形中是圓柱的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用圓柱的特征判定即可．
【解答】解：由圓柱的特征判定D為圓柱．
故選：D．
【點評】本題主要考查了認識立體圖形，解題的關鍵是熟記圓柱的特征．
5．如圖是一個正方體的表面展開圖，如果相對面上所標的兩個數互為相反數，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點作答．
【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“x”相對的數字是“﹣8”，故x＝8；
“y”相對的數字是“﹣2”，故y＝2；
“z”相對的數字是“3”，故z＝﹣3．
∴x+y+z＝8+2﹣3＝7．
故選：C．
【點評】本題考查正方體的表面展開圖，掌握正方體的表面展開圖的特征是正確判斷的前提．
6．如圖所示，直線MN表示一條鐵路，鐵路兩旁各有一點A和B，表示兩個工廠．要在鐵路上建一貨站P，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站P應建在AB與MN的交點處，這種做法用幾何知識解釋應是（　　）
A．兩點之間，線段最短
B．射線只有一個端點
C．兩直線相交只有一個交點
D．兩點確定一條直線
【分析】根據兩點之間線段最短即可求出答案．
【解答】解：要在鐵路上建一貨站P，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站P應建在AB與MN的交點處，
這種做法用幾何知識解釋應是：兩點之間，線段最短．
故選：A．
【點評】本題考查了線段的性質，解題的關鍵是正確理解兩點之間線段最短．
7．如圖，O是直線AB上一點，過O作任意射線OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，則∠COD的度數是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．不能確定
【分析】由角平分線的定義得∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM，再利用和角關系即可求得結果．
【解答】解：∵OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，
∴∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM，
∴∠COD＝∠MOC+∠MOD＝∠AOM+∠BOM＝（∠AOM+∠BOM）＝×180°＝90°．
故選：B．
【點評】本題考查了角平分線的定義，角的和差關系等知識，關鍵是結合圖形靈活運用角的和差關系達到求角的目的．
8．如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠BOA＝90°，則OB的方位角是（　　）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏東30° D．北偏東60°
【分析】根據方向角的意義求出∠NOB即可．
【解答】解：由方向角的意義可知，∠AON＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON
＝90°﹣30°
＝60°，
∴OB的方向角為北偏西60°，
故選：B．
【點評】本題考查方向角，理解方向角的意義以及角的和差關系是正確解答的前提．
9．在朱自清的《春》中描寫春雨“像牛毛，像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里把雨看成了線，這說明了（　　）
A．點動成線 B．線動成面
C．面動成體 D．兩點確定一條直線
【分析】根據點動成線，線動成面，面動成體，即可解答．
【解答】解：在朱自清的《春》中描寫春雨“像牛毛、像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里把雨看成了線，這說明了：點動成線．
故選：A．
【點評】本題考查了點、線、面、體的關系，掌握點動成線，線動成面，面動成體是解題的關鍵．
10．如圖，小明從A處出發沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西40°方向行走至C處，此時需把方向調整到與出發時一致，則小明應該（　　）
A．左轉80° B．右轉80° C．左轉100° D．右轉100°
【分析】根據平行線的性質求出∠ABC，根據平行線的性質求出∠FCB，求出∠ECF即可．
【解答】解：
如圖CF∥AB，AD∥CN∥BM，
∵∠DAB＝60°，∠MBC＝40°，
∴∠ABE＝180°﹣∠DAB﹣∠MBC＝80°，
∴∠FCB＝∠ABE＝80°（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠ECF＝180°﹣∠FCB＝100°，
即此時需把方向調整到與出發時一致，則小明應該右轉100°，
故選：D．
【點評】本題考查了平行線的性質和方向角，能根據平行線的性質求出∠ABC和∠FCB的度數是解此題的關鍵．
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11．一副三角板按如圖所示方式重疊，若圖中∠DCE＝35°25′，則∠ACB＝　 　．
【分析】因為∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACD＝90°，而∠DCB和∠DCE互余，利用互余的關系求得∠DCB解決問題．
【解答】解：∵∠DCB和∠DCE互余，
∴∠DCB＝90°﹣35°25′＝54°35′，
∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+54°35′
＝144°35′．
故答案為：144°35′．
【點評】此題考查角的和與差，注意利用三角板中的直角和兩角互余的關系計算得出答案．
12．已知，B是線段AD上一點，C是線段AD的中點，若AD＝10，BC＝3，則AB＝　2或8　．
【考點】比較線段的長短．版權所有
【分析】根據題意，正確畫出圖形，顯然此題有兩種情況：
當點B在中點C的左側時，AB＝AC﹣BC；
當點B在中點C的右側時，AB＝AC+BC．
【解答】
解：如圖，∵C是線段AD的中點，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴當點B在中點C的左側時，AB＝AC﹣BC＝2．
當點B在中點C的右側時，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【點評】注意此類題要分情況畫圖，然后根據中點的概念以及圖形進行相關計算．
13．如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分線，且∠COD＝36°，則∠AOC的度數為 　．
【分析】設∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，求出∠AOD＝∠AOB＝3x°，根據∠COD＝36°得出方程3x﹣x＝36，求出即可．
【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：5，
∴設∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，
∵OD是∠AOB的平分線，
∴∠AOD＝∠AOB＝3x°，
∵∠COD＝36°，
∴3x﹣x＝36，
∴x＝18，
∴∠AOC＝x°＝18°．
故答案為：18°．
【點評】本題考查了角平分線和角的有關計算的應用，掌握題干角的數量關系并用方程表示出來是關鍵．
14．小剛每晚19：00都要看央視的“新聞聯播”節目，這時鐘面上時針與分針夾角的度數為　 　度．
【分析】畫出草圖，利用鐘表表盤的特征解答．
【解答】解：19：00，時針和分針中間相差5個大格．
∵鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°，
∴19：00分針與時針的夾角是5×30°＝150°．
【點評】用到的知識點為：鐘表上12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°．
15．某復興號列車在哈爾濱和北京之間運行，途中要停靠于3個站點，如果任意兩站之間的票價都不同，那么有 　10　種不同的票價，應發行 　20　種不同的車票．
【分析】作出線段圖，然后找出圖中的線段的條數即可．
【解答】解：如圖，途中有3個站點，
共有線段：AC、AD、AE、AB，
CD、CE、CB，
DE、DB，
EB共10條線段，
所以共有10種不同的票價；
因為往返的車票不同，
所以應發行20種不同的車票．
故答案為：10，20．
【點評】本題考查了直線、射線、線段，在線段、射線的計數時，應注重分類討論的方法計數，做到不遺漏，不重復．
三．解答題（共8小題，共75分）
16．（8分）如圖，線段AB的長為20，點C在線段AB上，且，點D在線段AB上，且，點M是DB的中點，求線段MB的長．
【分析】根據線段長的數量關系，依次求出BC，AC，AD，BD的線段長度，然后根據M是DB中點，求出MB的長度即可．
【解答】解：∵AB＝20，
∴BC＝20×＝8，
∴AC＝AB﹣BC＝12，
∴AD＝12×＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝17，
∵點M是DB的中點，
∴MB＝BD＝8.5．
【點評】本題主要考查了線段長度的計算，題目較為簡單．
17．（8分）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點D是線段BC的中點，如果CD＝3cm，那么線段AC的長度是多少？
【分析】已知CD的長度，CD是線段BC的一半，則BC長度可求出，根據3AB＝BC，即可求出AB的長度，進而可求出AC的長度．
【解答】解：∵點D是線段BC的中點，
∴BD＝CD＝3cm，
∴BC＝2CD＝2×3＝6cm，
又∵BC＝3AB，即6＝3AB，
∴AB＝2cm，
AC＝AB+BC
＝2+6
＝8（cm）．
【點評】本題考查的是兩點間的距離，掌握中點的定義是關鍵．
18．（8分）如圖，射線OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數是否會發生變化？簡單說明理由．
【分析】（1）由OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，利用角平分線的定義及等量代換即可得出所求角的度數；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數不會發生變化，根據（1）的過程即可得到結果．
【解答】解：（1）∵OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
＝
＝
＝45°；
（2）當OC在∠AOB內轉動時，∠MON的度數不會發生變化，
由（1）可得，
所以只要∠AOB的大小不變，無論OC在∠AOB內怎樣轉動，∠MON的度數不會發生變化．
【點評】此題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．
19．（8分）已知點D為線段AB的中點，點C在線段AB上．
（1）如圖1，若AC＝8cm，BC＝6cm，求線段CD的長；
（2）如圖2，若BC＝2CD，點E為BD中點，AE＝18cm，求線段AC的長．
【分析】（1）根據線段中點的定義以及線段的和差關系進行計算即可；
（2）根據線段中點的定義可得AD＝BD＝AB，BE＝DE﹣BD，進而得到AE＝AB，求出AB，再根據線段的和差關系以及倍分關系進行計算即可．
【解答】解：（1）∵點D是AB的中點，
∴AD＝BD＝AB
＝（AC+BC）
＝7，
∴CD＝BD﹣BC
＝7﹣6
＝1；
（2）∵點D是AB的中點，
∴AD＝BD＝AB，
∵點E為BD中點，
∴BE＝DE﹣BD，
∴AE＝AB，
∵AE＝18，
∴AB＝24，
∴BD＝AD＝12，
又∵BC＝2CD，
∴CD＝BD＝4，
∴AC＝AD+DC
＝12+4
＝16．
【點評】本題考查兩點間的距離，理解線段中點的定義以及線段的和差、倍分關系是正確解答的前提．
20．（9分）直角三角板ABC的直角頂點C在直線DE上，CF平分∠BCD．
（1）在圖1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　20°　；
（2）在圖1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　α　（用含α的式子表示）；
（3）將圖1中的三角板ABC繞頂點C旋轉至圖2的位置，若∠BCE＝150°，試求∠ACF與∠ACE的度數．
【分析】（1）、（2）結合平角的定義和角平分線的定義解答；
（3）根據角平分線的定義、平角的定義以及角的和差關系解答即可．
【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∠BCD＝180°﹣40°＝140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝70°，
∴∠ACF＝∠DCF﹣∠ACD＝70°﹣50°＝20°；
故答案為：20°；
（2）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝α°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣α°＝90°﹣α，∠BCD＝180°﹣α，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝90°﹣α，
∴∠ACF＝90°﹣α﹣90°+α＝α；
故答案為：α；
（3）如圖2，∵∠BCE＝150°，
∴∠BCD＝30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝＝15°，
∴∠ACF＝90°﹣∠BCF＝75°，
∠ACD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝120°．
【點評】考查了角的計算和角平分線的定義，主要考查學生的計算能力，求解過程類似．
21．（10分）根據題意，補全解題過程：
如圖，已知射線OB，OM，ON在∠AOD內部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，求∠AOM的度數．
解：∵ON平分∠BOD，
∴　 　＝2∠DON．
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝　 °　．
∵∠AOB＝　 　﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝　 　．
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝ 　 　＝　 °　．
【分析】利用角平分線的定義可得∠BOD＝2∠DON＝96°，從而利用角的和差關系可得∠AOB＝60°，然后再利用角平分線的定義進行計算即可解答．
【解答】解：∵ON平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DON，
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝96°，
∵∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝60°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠AOB＝30°，
故答案為：∠BOD，96°，∠AOD，60°，∠AOB，30°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
22．如圖，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOC＝30°，射線OP在∠BOC內，∠BOP＝n∠COP．
（1）當n＝1時，請用量角器在圖1中畫出射線OP，求∠DOP的度數；
（2）當n＝2時，OQ平分∠DOP，直接寫出∠BOQ的度數．
【分析】（1）根據角的和差可得∠BOC＝60°，再次利用角的和差∠BOD＝30°，又由于n＝1，可知OP為∠BOC的角平分線，再次利用角的和差可以求出∠DOP的度數．
（2）由（1）可知∠BOC＝60°，∠BOD＝30°，又知道n＝2，可以得出∠BOP與∠POC的度數，利用OQ為角平分線可得出∠DOQ的度數，再利用角的和差求得∠BOQ的度數．
【解答】解：（1）如圖1，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°（角的和差），
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°（角的和差），
∵n＝1，
（角平分線的性質定理），
∴∠DOP＝∠DOB+∠BOP＝60°（角的和差）．
（2）如圖2，
由（1）可知∠BOC＝60°，∠BOD＝30°
∵n＝2，
∴∠BOP＝2∠COP，
∴∠BOC＝∠BOP+∠COP＝2∠COP+∠COP＝60°，
∴∠COP＝20°，∠BOP＝40°，
∴∠DOP＝∠BOD+∠BOP＝30°+40°＝70°，
∵OQ平分∠DOP，
∴∠DOQ＝∠DOP＝，
∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝35°﹣30°＝5°．
【點評】本題主要考查角的和差、角平分線的性質來解決問題．
23．已知射線OC在∠AOB的內部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．
（1）一個角的平分線 　 　這個角的奇妙線；（填“是”或“不是”）
（2）如圖，∠MPN＝60°．
①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數為 　 　度；
②射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉3°45'的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當
∠FPN首次等于180°時停止旋轉，設旋轉的時間為t（s）．當t為何值時，射線PM是∠FPN的奇妙線？
【分析】（1）根據奇妙線定義即可求解；
（2）①分3種情況，根據奇妙線定義得到方程求解即可；
②分3種情況，根據奇妙線定義得到方程求解即可．
【解答】解：（1）一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；
故答案為：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射線PQ是∠MPN的“奇妙線”，則由“奇妙線”的定義可知有三種情況符合題意：
當∠NPQ＝2∠MPQ時，∠QPN＝40°，
當∠MPQ＝2∠NPQ時，∠QPN＝20°，
當∠NPM＝2∠MPQ時，∠QPN＝30°，
故答案為：20或30或40；
②依題意有，3°45′＝3.75°，
當3.75t＝60+×60時，
解得t＝24；
當3.75t＝2×60時，
解得t＝32；
當3.75t＝60+2×60時，
解得t＝48．
故當t為24或32或48時，射線PM是∠FPN的“奇妙線”；
【點評】本題考查了旋轉的性質，奇妙線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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