資源簡介

壓軸題04 立體幾何壓軸題
題型/考向一：點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
題型/考向二：外接球、內切球等相關問題
題型/考向三：平行關系、垂直關系、二面角等相關問題
空間幾何體的體積、表面積
熱點一 空間幾何體的側面積、表面積
柱體、錐體、臺體和球的表面積公式：
(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.
熱點二 空間幾何體的體積
柱體、錐體、臺體和球的體積公式：
(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(3)V臺體＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分別為上、下底面面積，h為高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、內切球問題
類型一 外接球問題
考向1 墻角模型
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.
則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常見的有以下三種類型：
考向2 對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如圖.
考向3 漢堡模型
漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，
由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝，則R＝.
類型二 內切球問題
內切球問題的解法(以三棱錐為例)
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；
第二步：設內切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
類型三 球的截面問題
解決球的截面問題抓住以下幾個方面：
(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構成的直角三角形).
平行關系和垂直關系的證明、二面角等
熱點一 空間線、面位置關系的判定
判斷空間線、面位置關系的常用方法
(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.
(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷.
(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.
熱點二 幾何法證明平行、垂直
1.直線、平面平行的判定及其性質
(1)線面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)線面平行的性質定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直線、平面垂直的判定及其性質
(1)線面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
熱點三 空間向量法證明平行、垂直
1.用向量證明空間中的平行關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合) v1∥v2.
(2)設直線l的方向向量為v，在平面α內的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l α 存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l α v⊥u.
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β u1∥u2.
2.用向量證明空間中的垂直關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α v∥u.
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
四、空間角、距離問題
熱點一 異面直線所成的角
求異面直線所成角的方法
方法一：綜合法.步驟為：①利用定義構造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或將兩條直線同時平移到某個特殊的位置；②證明找到(或作出)的角即為所求角；③通過解三角形來求角.
方法二：空間向量法.步驟為：①求出直線a，b的方向向量，分別記為m，n；②計算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
熱點二 直線與平面所成的角
求直線與平面所成角的方法
方法一：幾何法.步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.
方法二：空間向量法.步驟為：①求出平面α的法向量n與直線AB的方向向量；②計算cos〈，n〉＝；③利用sin θ＝|cos〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
熱點三 平面與平面的夾角
求平面與平面的夾角方法
方法一：幾何法.步驟為：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角)；②證明所找的角就是要求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.求二面角的平面角的口訣：點在棱上，邊在面內，垂直于棱，大小確定.
方法二：空間向量法.步驟為：①求兩個平面α，β的法向量m，n；②計算cos〈m，n〉＝；③設兩個平面的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.
熱點四 距離問題
1.空間中點、線、面距離的相互轉化關系
2.空間距離的求解方法有：(1)作垂線段；(2)等體積法；(3)等價轉化；(4)空間向量法.
一 點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
一、單選題
1．在正方體中，直線、分別在平面和內，且，則下列命題中正確的是（ ）
A．若垂直于，則垂直于 B．若垂直于，則不垂直于
C．若不垂直于，則垂直于 D．若不垂直于，則不垂直于
2．在中國古代數學經典著作九章算術中，稱圖中的多面體為“芻甍”書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是芻甍的高，即點到平面的距離若底面是邊長為的正方形，，且，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．已知一個三棱錐型玩具容器的外包裝紙（包裝紙厚度忽略不計，外包裝紙面積恰為該容器的表面積）展開后是如圖所示的邊長為10的正方形（其中點為中點，點為中點），則該玩具的體積為（ ）
A． B． C．125 D．
4．攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑 園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6，腰長為5的等腰三角形，則該屋頂的體積約為（ ）
A． B． C． D．
5．已知為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
6．在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
7．已知三棱錐中，底面ABC是邊長為的正三角形，點P在底面上的射影為底面的中心，且三棱錐外接球的表面積為，球心在三棱錐內，則二面角的平面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知直線a，b，c兩兩異面，且，，下列說法正確的是（ ）
A．存在平面α，β，使，，且，
B．存在平面α，β，使，，且，
C．存在平面γ，使，，且
D．存在唯一的平面γ，使，且a，b與γ所成角相等
10．已知正方體的外接球表面積為，分別在線段，，上，且四點共面，則（ ）．
A．
B．若四邊形為菱形，則其面積的最大值為
C．四邊形在平面與平面內的正投影面積之和的最大值為6
D．四邊形在平面與平面內的正投影面積之積的最大值為4
三、解答題
11．如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，平面，點在棱上．
(1)證明：；
(2)若三棱錐的體積為，求點到平面的距離．
12．如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點.
(1)證明：；
(2)已知是邊長為1的等邊三角形，已知點在棱的中點，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
二 外接球、內切球等相關問題
一、單選題
1．已知是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球O的球面上，若球O的體積為，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
3．一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在一個球面上，且這個球的半徑為5，則這個圓錐的體積的最大值時，圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
4．已知圓錐的側面積為，母線與底面所成角的余弦值為，則該圓錐的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，若該幾何體存在外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上）．已知，則該組合體的體積等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內壁的半徑的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．6
8．已知三棱錐的四個頂點均在球的球面上，，，，為球的球面上一動點，則點到平面的最大距離為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為______．
10．如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
11．如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側面是半球底面圓的內接正方形，則直三棱柱的體積為___________.
12．如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均相等的六邊形是某棱錐的側面展開圖，若該六邊形的面積為，則該棱錐的內切球半徑為___．
三 平面關系、垂直關系、二面角等相關問題
1．已知多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是直角梯形，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
2．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面．
(1)證明：平面平面；
(2)若，，，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．
3．如圖所示，在三棱錐中，滿足，點M在CD上，且，為邊長為6的等邊三角形，E為BD的中點，F為AE的三等分點，且.
(1)求證：面ABC；
(2)若二面角的平面角的大小為，求直線EM與面ABD所成角的正弦值.
4．已知底面是正方形，平面，，，點、分別為線段、的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．
5．如圖，為圓O的直徑，點在圓O上，，矩形所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求證：平面平面；
(2)當的長為何值時，二面角的大小為？
6．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點D為棱AC上的動點（不與A、C重合），平面與棱交于點.
(1)求證；
(2)若平面平面，，判斷是否存在點D使得平面與平面所成的銳二面角為，并說明理由.
1壓軸題04 立體幾何壓軸題答案
題型/考向一：點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
題型/考向二：外接球、內切球等相關問題
題型/考向三：平行關系、垂直關系、二面角等相關問題
空間幾何體的體積、表面積
熱點一 空間幾何體的側面積、表面積
柱體、錐體、臺體和球的表面積公式：
(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.
熱點二 空間幾何體的體積
柱體、錐體、臺體和球的體積公式：
(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(3)V臺體＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分別為上、下底面面積，h為高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、內切球問題
類型一 外接球問題
考向1 墻角模型
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.
則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常見的有以下三種類型：
考向2 對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如圖.
考向3 漢堡模型
漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，
由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝，則R＝.
類型二 內切球問題
內切球問題的解法(以三棱錐為例)
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；
第二步：設內切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
類型三 球的截面問題
解決球的截面問題抓住以下幾個方面：
(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構成的直角三角形).
平行關系和垂直關系的證明、二面角等
熱點一 空間線、面位置關系的判定
判斷空間線、面位置關系的常用方法
(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.
(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷.
(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.
熱點二 幾何法證明平行、垂直
1.直線、平面平行的判定及其性質
(1)線面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)線面平行的性質定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直線、平面垂直的判定及其性質
(1)線面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
熱點三 空間向量法證明平行、垂直
1.用向量證明空間中的平行關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合) v1∥v2.
(2)設直線l的方向向量為v，在平面α內的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l α 存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l α v⊥u.
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β u1∥u2.
2.用向量證明空間中的垂直關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α v∥u.
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
四、空間角、距離問題
熱點一 異面直線所成的角
求異面直線所成角的方法
方法一：綜合法.步驟為：①利用定義構造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或將兩條直線同時平移到某個特殊的位置；②證明找到(或作出)的角即為所求角；③通過解三角形來求角.
方法二：空間向量法.步驟為：①求出直線a，b的方向向量，分別記為m，n；②計算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
熱點二 直線與平面所成的角
求直線與平面所成角的方法
方法一：幾何法.步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.
方法二：空間向量法.步驟為：①求出平面α的法向量n與直線AB的方向向量；②計算cos〈，n〉＝；③利用sin θ＝|cos〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
熱點三 平面與平面的夾角
求平面與平面的夾角方法
方法一：幾何法.步驟為：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角)；②證明所找的角就是要求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.求二面角的平面角的口訣：點在棱上，邊在面內，垂直于棱，大小確定.
方法二：空間向量法.步驟為：①求兩個平面α，β的法向量m，n；②計算cos〈m，n〉＝；③設兩個平面的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.
熱點四 距離問題
1.空間中點、線、面距離的相互轉化關系
2.空間距離的求解方法有：(1)作垂線段；(2)等體積法；(3)等價轉化；(4)空間向量法.
一、單選題
1．在正方體中，直線、分別在平面和內，且，則下列命題中正確的是（ ）
A．若垂直于，則垂直于 B．若垂直于，則不垂直于
C．若不垂直于，則垂直于 D．若不垂直于，則不垂直于
【答案】C
【詳解】AB選項，若垂直于，由面面，面面，可得垂直于面，
即面內的所有直線均與垂直，而可能垂直于，也可能不垂直于，故A錯誤，B錯誤；
CD選項，若不垂直于，則為面內的兩條相交直線，由題可知，，則垂直面，又面，所以垂直于，故C正確，D錯誤.
故選：C
2．在中國古代數學經典著作九章算術中，稱圖中的多面體為“芻甍”書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是芻甍的高，即點到平面的距離若底面是邊長為的正方形，，且，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖所示，
設點在底面的射影為，分別為的中點，
連接，
則即為芻甍的高，
由，平面，平面，
所以平面，
又平面，且平面平面，
所以，
在“芻甍”中，和是等腰三角形，
所以一定在上，
由題意底面是邊長為的正方形，，
可知，
在是等腰直角三角形，且，
所以，
所以，
所以.
故選：B.
3．已知一個三棱錐型玩具容器的外包裝紙（包裝紙厚度忽略不計，外包裝紙面積恰為該容器的表面積）展開后是如圖所示的邊長為10的正方形（其中點為中點，點為中點），則該玩具的體積為（ ）
A． B． C．125 D．
【答案】B
【詳解】該玩具為三棱錐，即三棱錐，則底面，且，面積為，所以.
故選：B.
4．攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑 園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6，腰長為5的等腰三角形，則該屋頂的體積約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，
由題知該圓錐的底面半徑為3m，高為，所以該屋頂的體積約為.
故選:D.
5．已知為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【詳解】對于A，若，則或，故A錯誤；
對于B，若，則或，
若，因為，則，
若，如圖所示，則在平面一定存在一條直線，
因為，所以，
又，所以，
綜上若，則，故B正確；
對于C，若，則直線相交或平行或異面，故C錯誤；
對于D，若，則直線相交或平行或異面，故D錯誤.
故選：B.
6．在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【詳解】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，
則，所以，則，
外接圓的半徑為，
所以棱柱外接球的半徑為，
令，則，則，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，
則該三棱柱外接球表面積最小值為.
故選：C.
7．已知三棱錐中，底面ABC是邊長為的正三角形，點P在底面上的射影為底面的中心，且三棱錐外接球的表面積為，球心在三棱錐內，則二面角的平面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設正的中心為，有，而平面，則，
延長交于點D，則點為的中點，有，，
即為二面角的平面角，
由，得，顯然三棱錐為正三棱錐，其外接球的球心M在線段上，
由三棱錐的外接球的表面積為，則該球半徑，由，解得，
，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值為.
故選：B
8．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，
而平面，因此平面，
在等腰中，，則，，
令的外接圓圓心為，則平面，，
有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，
從而，四邊形為平行四邊形，，又，
因此球O的半徑，
所以球的表面積.
故選：A
二、多選題
9．已知直線a，b，c兩兩異面，且，，下列說法正確的是（ ）
A．存在平面α，β，使，，且，
B．存在平面α，β，使，，且，
C．存在平面γ，使，，且
D．存在唯一的平面γ，使，且a，b與γ所成角相等
【答案】ABC
【詳解】對于A,平移直線到與直線相交，設平移后的直線為，因為，所以，
設直線確定的平面為α，則，，直線和相交，所以，
同理可得：，故A對；
對于B,平移直線到與直線相交，設平移后的直線為，設直線確定的平面為α，
因為//，且，所以，同理可得：，故B對；
對于C,同時平移直線和直線，令平移后的直線相交，設平移后的直線為，因為，，所以，，設直線確定的平面為γ，則，，且，故C對；
對于D，由對稱性可知，存在兩個平面γ，使，且a，b與γ所成角相等，故D錯誤；
故選：ABC.
10．已知正方體的外接球表面積為，分別在線段，，上，且四點共面，則（ ）．
A．
B．若四邊形為菱形，則其面積的最大值為
C．四邊形在平面與平面內的正投影面積之和的最大值為6
D．四邊形在平面與平面內的正投影面積之積的最大值為4
【答案】ABD
【詳解】作出圖形如圖所示．
設正方體的棱長為a，則外接球直徑即為正方體體對角線長，
依題意，，解得．
因為平面平面，
且平面平面，平面平面，
故，同理可得，，
故四邊形為平行四邊形，則，故A正確；
若四邊形為菱形，則，即,
則，則，
由于菱形面積等于其兩對角線乘積的一半，
故要使得該菱形的面積最大，只需最大即可，
而AN的最大值為，此時點N與點重合，
故菱形的面積的最大值為，戰B正確；
設，，由題意知，則，
記四邊形在平面與平面內的正投影面積分別為，，
則M在平面上的投影落在上，設為G，N在平面上的投影落在上，設為H，
則四邊形為四邊形在平面上的投影，
由于,則≌,故，
又，故四邊形為平行四邊形，
則，同理求得，故，，
（當時取“＝”），故C錯誤，D正確，
故選：ABD
三、解答題
11．如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，平面，點在棱上．
(1)證明：；
(2)若三棱錐的體積為，求點到平面的距離．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
因為四邊形為菱形，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，所以平面，
又因為平面，所以．
（2）解：設點到平面的距離為，
則三棱錐的體積
，解得．
因為平面，，所以，即是棱的中點.
設，如圖，連接，則平面，所以，
過點作的垂線，垂足為，由（1）知，平面，所以，
又，所以平面，即線段的長度就是點到平面的距離．
因為，，所以．
又因為
，
因為，所以．
所以，即點到平面的距離為．
12．如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點.
(1)證明：；
(2)已知是邊長為1的等邊三角形，已知點在棱的中點，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：，為的中點，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，．
（2）取的中點，
因為為等邊三角形，所以，
過作，與交于，則，
由（1）可知平面，
因為平面，所以，
所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設，因為平面，所以是平面的一個法向量，
設平面的一個法向量為，因為.
所以，令，則，
因為二面角的大小為，所以，解得，
所以.
二 外接球、內切球等相關問題
一、單選題
1．已知是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球O的球面上，若球O的體積為，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示：
因為是邊長為3的等邊三角形，且的中心為，
所以，
又因為球O的體積為，
所以，
解得，即，
所以，
即球心O到平面ABC的距離為1，
故選：C
2．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題知三棱錐的外接球即為側棱為鄰邊的正方體的外接球，
因為三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，
所以，
以為鄰邊的正方體的體對角線長為，
所以，其外接球的直徑，表面積為.
故選：D
3．一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在一個球面上，且這個球的半徑為5，則這個圓錐的體積的最大值時，圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，設圓錐的底面半徑為r，球半徑，球心為O．
過圓錐的頂點P作底面的垂線，垂足為．則球心O必定在上，連接OB，則．
所以圓錐的高或者．要求體積的最大值，所以取．
則，．
令，．則，（），
，
，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，圓錐體積最大．
此時，．
故選：C.
4．已知圓錐的側面積為，母線與底面所成角的余弦值為，則該圓錐的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，內切球的半徑為R，由題知，∴，∴，∴，∴，∴.在圓錐的軸截面中，易知，即，∴，∴該圓錐的內切球的體積為.
故選：C.
5．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，若該幾何體存在外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上）．已知，則該組合體的體積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設該組合體外接球的球心為，半徑為，易知球心在中點，則.
則圓柱的底面半徑為，
則該組合體的體積等于.
故選：A
6．已知矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題可知矩形所在截面圓的半徑即為的對角線長度的一半，
，，
，
由矩形的面積，
則到平面的距離為滿足：，
解得，
故球的半徑，
故球的表面積為：，
故選：A．
7．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內壁的半徑的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【詳解】要使半球形容器內壁的半徑的最小，只需保證小球與球各面（含球面部分）都相切，
此時，如上圖示，為半球的球心，為其中一個小球球心，則是棱長為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點與共線，
所以半球形容器內壁的半徑的最小值為小球半徑與長度之和，即,
故選：C
8．已知三棱錐的四個頂點均在球的球面上，，，，為球的球面上一動點，則點到平面的最大距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，，，
可將三棱錐補成如圖所示的長方體，
，，，
，球的半徑；
在中，，則．
設的外接圓半徑為，則，解得：，
則球心到平面的距離，
點到平面的最大距離為．
故選：B．
二、填空題
9．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為______．
【答案】
【詳解】由題可知三棱錐的體積為：
，當且僅當時等號成立，
此時，，將三棱錐補成長方體，
則三棱錐外接球的直徑為，則，
因此，三棱錐外接球的體積為.
故答案為：.
10．如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
【答案】
【詳解】取的中點E，連接AE，如圖．
因為，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
設，則，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面積．
故答案為：
11．如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側面是半球底面圓的內接正方形，則直三棱柱的體積為___________.
【答案】
【詳解】如圖所示，由題意知，球心在底面的中心O上，故為截面圓的直徑，
則，
取的中點，連接
易知：底面中∥，，
則面，即為直角三角形，由勾股定理可得：，故
所以
故答案為：
12．如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均相等的六邊形是某棱錐的側面展開圖，若該六邊形的面積為，則該棱錐的內切球半徑為___．
【答案】
【詳解】設六邊形邊長為a，將圖形還原得四棱錐，如下圖，
由題意，側面展開圖的面積，解得．
由，，面，則面，
所以為的高，
設內切球的球心為O，半徑為r，則，
即，解得．
故答案為：
三 平面關系、垂直關系、二面角等相關問題
1．已知多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是直角梯形，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）因為四邊形是邊長為4的正方形，
所以⊥，⊥，
因為四邊形是直角梯形，，
所以⊥，⊥，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
由勾股定理得，，
因為，所以，由勾股定理逆定理得⊥，
因為⊥，，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
因為，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，
設平面的法向量為，則，
解得，令，則，故，
設直線與平面所成角的大小為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
2．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面．
(1)證明：平面平面；
(2)若，，，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．
【詳解】（1）
取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，
且平面平面，平面平面，面，所以平面，
又平面，所以，
又因為，，平面，所以平面，
又因為平面，所以，
因為為中點，所以，且，平面，所以平面，
且平面，所以平面平面.
（2）
由（1）可知，且，，所以平面，
且平面，所以，
以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
設，則可得，
即，，
設平面的法向量為，
則，則可得，取，則，
所以平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角為，
所以，
解得，或，即或
當時，則，
所以.
當時，，
所以.
3．如圖所示，在三棱錐中，滿足，點M在CD上，且，為邊長為6的等邊三角形，E為BD的中點，F為AE的三等分點，且.
(1)求證：面ABC；
(2)若二面角的平面角的大小為，求直線EM與面ABD所成角的正弦值.
【詳解】（1）在BE上取一點N，使得，連接FN，NM，
∵，∴，，，
∵，∴，
則，又面ABC，面ABC，
∴面ABC，
∵，∴.
∵面ABC，面ABC，∴面ABC，
∵，面FNM，
∴面面ABC，又面FNM，
∴面ABC；
（2）∵，，
所以二面角的平面角為.
又∵，面AEC，
∴面AEC，∵面ABD，
∴面面AEC，
∵面面，在面AEC內過點C作于H，則面ABD，
則.
∵，
∴，即C到面ABD的距離為，
∵，∴M到面ABD的距離為.
計算EM：，
在中，，，
∴.
∴EM與面ABD所成角的正弦值為.
4．已知底面是正方形，平面，，，點、分別為線段、的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．
【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點、，連接、、，
由題意可知點、分別為線段、的中點．所以，，
因為，所以，所以點、、、四點共面，
因為、分別為、的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，平面，平面，所以平面，
又因為，、平面，所以平面平面，
因為平面，所以平面；
法二：因為為正方形，且平面，所以、、兩兩互相垂直，
以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
所以，易知平面的一個法向量，
所以，所以，
又因為平面，所以平面．
（2）解：設平面的法向量，，，
則，取，可得，
所以平面的一個法向量為，
易知平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角余弦值為；
（3）解：假設存在點，使得，其中，
則，
由（2）得平面的一個法向量為，
由題意可得，
整理可得．即，
因為，解得或，所以，或．
5．如圖，為圓O的直徑，點在圓O上，，矩形所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求證：平面平面；
(2)當的長為何值時，二面角的大小為？
【詳解】（1）證明：∵平面平面，，平面平面，
∴平面．
∵平面，∴，
又為圓O的直徑，∴，
而，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）設中點為G，以O為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
設，則，，，，
∴，，
設平面的法向量為，則，
即，令，可得
取平面的一個法向量為，
，即，解得，
則當的長為時，二面角的大小為．
6．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點D為棱AC上的動點（不與A、C重合），平面與棱交于點.
(1)求證；
(2)若平面平面，，判斷是否存在點D使得平面與平面所成的銳二面角為，并說明理由.
【詳解】（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）連接，取AC中點O，連接，，在菱形中，，
∴是等邊三角形，
又∵O為AC中點，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以點為原點，，，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
假設存在點D，滿足題意，設，
，，，，
，，
設平面的一個法向量為，
則，所以，令，則，，
故，
設平面的法向量為
，，
，，令，則，，故，
，解，
所以點D在點C的位置時，平面與平面所成銳角為，
由于D不與A、C重合，故AC上不存滿足題意的點.
1壓軸題04 立體幾何壓軸題
題型/考向一：點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
題型/考向二：外接球、內切球等相關問題
題型/考向三：平面關系、垂直關系、體積、表面積等綜合問題
空間幾何體的體積、表面積
熱點一 空間幾何體的側面積、表面積
柱體、錐體、臺體和球的表面積公式：
(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.
熱點二 空間幾何體的體積
柱體、錐體、臺體和球的體積公式：
(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(3)V臺體＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分別為上、下底面面積，h為高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、內切球問題
類型一 外接球問題
考向1 墻角模型
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.
則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常見的有以下三種類型：
考向2 對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如圖.
考向3 漢堡模型
漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，
由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝，則R＝.
類型二 內切球問題
內切球問題的解法(以三棱錐為例)
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；
第二步：設內切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
類型三 球的截面問題
解決球的截面問題抓住以下幾個方面：
(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構成的直角三角形).
平行關系和垂直關系的證明、二面角等
熱點一 空間線、面位置關系的判定
判斷空間線、面位置關系的常用方法
(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.
(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷.
(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.
熱點二 幾何法證明平行、垂直
1.直線、平面平行的判定及其性質
(1)線面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)線面平行的性質定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直線、平面垂直的判定及其性質
(1)線面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面
一 點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
一、單選題
1．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
2．將半徑為6的半圓卷成一個無底圓錐（鋼接處不重合），則該無底圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．在正方體中，直線、分別在平面和，且，則下列命題中正確的是（ ）
A．若垂直于，則垂直于 B．若垂直于，則不垂直于
C．若不垂直于，則垂直于 D．若不垂直于，則不垂直于
4．如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為，則該款粉碎機進物倉的容積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知在春分或秋分時節，太陽直射赤道附近.若赤道附近某地在此季節的日出時間為早上6點，日落時間為晚上18點，該地有一個底面半徑為的圓錐形的建筑物，且該建筑物在一天中恰好有四個小時在地面上沒有影子，則該建筑物的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側面積與底面積的比為（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱錐中，，平面經過的中點，并且與垂直，則截此三棱錐所得的截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．已知圓臺的母線長為4，上底面圓和下底面圓半徑的比為1：3，其側面展開圖所在扇形的圓心角為，則圓臺的高為（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
9．已知平面α，β，直線l，m，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則“”是“”的充分不必要條件
D．若，，則“”是“”的必要不充分條件
10．下列說法正確的是（ ）
A．若直線a不平行于平面，，則內不存在與a平行的直線
B．若一個平面內兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則
C．設l，m，n為直線，m，n在平面內，則“”是“且”的充要條件
D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補
三、解答題
11．已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
12．如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
二 外接球、內切球等相關問題
一、單選題
1．已知是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球O的球面上，若球O的體積為，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
3．一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在一個球面上，且這個球的半徑為5，則這個圓錐的體積的最大值時，圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
4．已知圓錐的側面積為，母線與底面所成角的余弦值為，則該圓錐的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，若該幾何體存在外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上）．已知，則該組合體的體積等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內壁的半徑的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．6
8．已知三棱錐的四個頂點均在球的球面上，，，，為球的球面上一動點，則點到平面的最大距離為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為______．
10．如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
11．如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側面是半球底面圓的內接正方形，則直三棱柱的體積為___________.
12．如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均相等的六邊形是某棱錐的側面展開圖，若該六邊形的面積為，則該棱錐的內切球半徑為___．
三 平面關系、垂直關系、體積、表面積等綜合問題
1．已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
2．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，底面是棱長為2的菱形，平面 平面，是的中點，.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
3．如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
4．如圖1，在直角梯形中，，，，E為的中點，將沿折起，使折起后的平面與平面垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體中：
(1)求證：平面；
(2)點F在棱上，且滿足，求幾何體的體積.
5．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為菱形，，，，，，點F在平面ABCD內的射影恰為BC的中點G．
(1)求證：平面平面BED；
(2)求該幾何體的體積．
1壓軸題04 立體幾何壓軸題答案
題型/考向一：點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
題型/考向二：外接球、內切球等相關問題
題型/考向三：平面關系、垂直關系、體積、表面積等綜合問題
空間幾何體的體積、表面積
熱點一 空間幾何體的側面積、表面積
柱體、錐體、臺體和球的表面積公式：
(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.
熱點二 空間幾何體的體積
柱體、錐體、臺體和球的體積公式：
(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)；
(3)V臺體＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分別為上、下底面面積，h為高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、內切球問題
類型一 外接球問題
考向1 墻角模型
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.
則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常見的有以下三種類型：
考向2 對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如圖.
考向3 漢堡模型
漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，
由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝，則R＝.
類型二 內切球問題
內切球問題的解法(以三棱錐為例)
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；
第二步：設內切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
類型三 球的截面問題
解決球的截面問題抓住以下幾個方面：
(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構成的直角三角形).
平行關系和垂直關系的證明、二面角等
熱點一 空間線、面位置關系的判定
判斷空間線、面位置關系的常用方法
(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.
(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷.
(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.
熱點二 幾何法證明平行、垂直
1.直線、平面平行的判定及其性質
(1)線面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)線面平行的性質定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直線、平面垂直的判定及其性質
(1)線面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
一 點、線、面間的位置關系和空間幾何體的體積、表面積
一、單選題
1．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【詳解】對選項A，若，，則與的位置關系是平行，相交和異面，故A錯誤.
對選項B，若，，則與的位置關系是平行和相交，故B錯誤.
對選項C，若，，則根據線面垂直的性質得與的位置關系是平行，故C正確.
對選項D，若，，則與的位置關系是平行和相交，故D錯誤.
故選：C
2．將半徑為6的半圓卷成一個無底圓錐（鋼接處不重合），則該無底圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意知，所卷成的無底圓錐母線長為6，
設該無底圓錐的底面半徑為，高為，則，所以，
所以，所以.
故選：C.
3．在正方體中，直線、分別在平面和，且，則下列命題中正確的是（ ）
A．若垂直于，則垂直于 B．若垂直于，則不垂直于
C．若不垂直于，則垂直于 D．若不垂直于，則不垂直于
【答案】C
【詳解】如圖所示：
A選項，若垂直于，則面內的所有直線均與垂直，無法證明的關系，故A選項錯誤，B選項與A同理；
C選項，若不垂直于，因為，所以當時，，又因為，所以垂直于；D選項與C同理.
故選：C
4．如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為，則該款粉碎機進物倉的容積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
畫出滿足題意的正四棱臺，如圖所示，則．過點D作于點E，則，所以該正四棱臺的體積為．
故選：C
5．已知在春分或秋分時節，太陽直射赤道附近.若赤道附近某地在此季節的日出時間為早上6點，日落時間為晚上18點，該地有一個底面半徑為的圓錐形的建筑物，且該建筑物在一天中恰好有四個小時在地面上沒有影子，則該建筑物的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，一天有12個小時的日照時間，因為，所以圓錐軸截面的頂角，
即軸截面為等邊三角形，因為圓錐的底面半徑為，所以圓錐的高，
所以圓錐的體積為，即該建筑物的體積為.
故選：B
6．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側面積與底面積的比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設底面棱長為，正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60°，則側面為等邊三角
形，則該正四棱錐的側面積與底面積的比為.
故選：D
7．在三棱錐中，，平面經過的中點，并且與垂直，則截此三棱錐所得的截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】取靠近的四等分點，的中點，連接，，．
由，可知，
同理可知，又，面，所以平面，
所以平面即為平面，
又因為，所以，
所以截此三棱錐所得的截面面積為，
當時，取得最大值，為，
故選：D．
8．已知圓臺的母線長為4，上底面圓和下底面圓半徑的比為1：3，其側面展開圖所在扇形的圓心角為，則圓臺的高為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】如圖，將圓臺還原為圓錐，
上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，底面圓周長為，
因為圓臺的母線長為4，根據上下底面圓的半徑為為1：3，所以上圓錐的母線長為2，
則圓臺所在圓錐的母線長為6，
因為圓臺展開圖所在扇形的圓心角為，所以，得，
如圖，圓臺的高
故選：B
二、多選題
9．已知平面α，β，直線l，m，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則“”是“”的充分不必要條件
D．若，，則“”是“”的必要不充分條件
【答案】ACD
【詳解】由面面垂直的性質定理可知A正確,
對于B,若，，則,或者異面，故B錯誤,
對于C,若,則,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正確，
對于D,若，，,不能得到,因為有可能異面，但是，，，則，故D正確，
故選：ACD
10．下列說法正確的是（ ）
A．若直線a不平行于平面，，則內不存在與a平行的直線
B．若一個平面內兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則
C．設l，m，n為直線，m，n在平面內，則“”是“且”的充要條件
D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補
【答案】AB
【詳解】選項A，若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線與平面平行，與條件相矛盾，故選項A正確；
選項B，由面面平行的判定定理可知選項B正確；
選項C，當直線不相交時，由線面垂直的判定定理知：且時，得不到，故選項C錯誤；
選項D，當，時，可滿足題設條件，此時平面與平面所成的二面角為,平面與平面所成的二面角為，故選項D錯誤.
故選：AB
三、解答題
11．已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【詳解】（1）連接AC交BD于點，連接，
在直四棱柱中，，
所以四邊形為平行四邊形，即，，
又因為底面ABCD為菱形，所以點為AC的中點，
點為的中點，即點為的中點，所以，，
即四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因為上底面為菱形，所以，
因為平面，
所以平面，
因為在中，，
且點為BD的中點，所以，即，
所以．
12．如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
【詳解】（1）為中點，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱結構特征可知：平面平面，
點到平面的距離即為點到平面的距離，
又，
.
二 外接球、內切球等相關問題
一、單選題
1．已知是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球O的球面上，若球O的體積為，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示：
因為是邊長為3的等邊三角形，且的中心為，
所以，
又因為球O的體積為，
所以，
解得，即，
所以，
即球心O到平面ABC的距離為1，
故選：C
2．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題知三棱錐的外接球即為側棱為鄰邊的正方體的外接球，
因為三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，
所以，
以為鄰邊的正方體的體對角線長為，
所以，其外接球的直徑，表面積為.
故選：D
3．一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在一個球面上，且這個球的半徑為5，則這個圓錐的體積的最大值時，圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，設圓錐的底面半徑為r，球半徑，球心為O．
過圓錐的頂點P作底面的垂線，垂足為．則球心O必定在上，連接OB，則．
所以圓錐的高或者．要求體積的最大值，所以取．
則，．
令，．則，（），
，
，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，圓錐體積最大．
此時，．
故選：C.
4．已知圓錐的側面積為，母線與底面所成角的余弦值為，則該圓錐的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，內切球的半徑為R，由題知，∴，∴，∴，∴，∴.在圓錐的軸截面中，易知，即，∴，∴該圓錐的內切球的體積為.
故選：C.
5．如圖，幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，若該幾何體存在外接球（即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上）．已知，則該組合體的體積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設該組合體外接球的球心為，半徑為，易知球心在中點，則.
則圓柱的底面半徑為，
則該組合體的體積等于.
故選：A
6．已知矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題可知矩形所在截面圓的半徑即為的對角線長度的一半，
，，
，
由矩形的面積，
則到平面的距離為滿足：，
解得，
故球的半徑，
故球的表面積為：，
故選：A．
7．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內壁的半徑的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【詳解】要使半球形容器內壁的半徑的最小，只需保證小球與球各面（含球面部分）都相切，
此時，如上圖示，為半球的球心，為其中一個小球球心，則是棱長為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點與共線，
所以半球形容器內壁的半徑的最小值為小球半徑與長度之和，即,
故選：C
8．已知三棱錐的四個頂點均在球的球面上，，，，為球的球面上一動點，則點到平面的最大距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，，，
可將三棱錐補成如圖所示的長方體，
，，，
，球的半徑；
在中，，則．
設的外接圓半徑為，則，解得：，
則球心到平面的距離，
點到平面的最大距離為．
故選：B．
二、填空題
9．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為______．
【答案】
【詳解】由題可知三棱錐的體積為：
，當且僅當時等號成立，
此時，，將三棱錐補成長方體，
則三棱錐外接球的直徑為，則，
因此，三棱錐外接球的體積為.
故答案為：.
10．如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
【答案】
【詳解】取的中點E，連接AE，如圖．
因為，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
設，則，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面積．
故答案為：
11．如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側面是半球底面圓的內接正方形，則直三棱柱的體積為___________.
【答案】
【詳解】如圖所示，由題意知，球心在底面的中心O上，故為截面圓的直徑，
則，
取的中點，連接
易知：底面中∥，，
則面，即為直角三角形，由勾股定理可得：，故
所以
故答案為：
12．如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均相等的六邊形是某棱錐的側面展開圖，若該六邊形的面積為，則該棱錐的內切球半徑為___．
【答案】
【詳解】設六邊形邊長為a，將圖形還原得四棱錐，如下圖，
由題意，側面展開圖的面積，解得．
由，，面，則面，
所以為的高，
設內切球的球心為O，半徑為r，則，
即，解得．
故答案為：
三 平面關系、垂直關系、體積、表面積等綜合問題
1．已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【詳解】（1）連接AC交BD于點，連接，
在直四棱柱中，，
所以四邊形為平行四邊形，即，，
又因為底面ABCD為菱形，所以點為AC的中點，
點為的中點，即點為的中點，所以，，
即四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因為上底面為菱形，所以，
因為平面，
所以平面，
因為在中，，
且點為BD的中點，所以，即，
所以．
2．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，底面是棱長為2的菱形，平面 平面，是的中點，.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
【詳解】（1）
證明：連結，
∵底面是菱形，，∴為等邊三角形，
又是的中點，∴，
∵平面 平面，平面 平面，平面，
∴平面.
（2）設點到平面的距離為，易知，
在中，，，∴，
由，得，解得,
點到平面的距離為.
3．如圖，在三棱柱中，為邊長為的正三角形，為的中點，，且，平面平面.
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積.
【詳解】（1）為中點，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱結構特征可知：平面平面，
點到平面的距離即為點到平面的距離，
又，
.
4．如圖1，在直角梯形中，，，，E為的中點，將沿折起，使折起后的平面與平面垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體中：
(1)求證：平面；
(2)點F在棱上，且滿足，求幾何體的體積.
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴在中，.
∴.
∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）∵，
又∵E為的中點，∴為的中位線. ∴F為的中點，
由（Ⅰ）知，，
，
∴.
5．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為菱形，，，，，，點F在平面ABCD內的射影恰為BC的中點G．
(1)求證：平面平面BED；
(2)求該幾何體的體積．
【詳解】（1）如圖，設AC與BD交于點O，連接OG，OE．
因為O，G分別為BD，BC的中點，所以，．
因為，，所以四邊形EFGO為平行四邊形，所以.
又FG⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD．
因為平面ABCD，所以OE⊥AC，
又四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．
因為平面BED，平面BED，，所以AC⊥平面BED.
又平面ACE，故平面ACE⊥平面BED；
（2）因為FG⊥平面ABCD，所以，，
所以，所以．
由（1）可知，由題可知，所以，
所以四邊形CDEF為等腰梯形．
過G點向CD作垂線，垂足為H，連接FH．
因為，，平面FGH，平面FGH，，
所以平面FGH.又平面CDEF，故平面平面FGH．
過G作GQ垂直于FH，垂足為Q，則平面CDEF．
由題可知，，
因為，所以．
因為G為BC的中點，所以B點到平面CDEF的距離為．
又，
故．
又，
故該幾何體的體積為．
1

展開更多......

收起↑