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壓軸題04 解三角形壓軸題答案
題型/考向一：正弦定理、余弦定理的綜合
題型/考向二：解三角形實(shí)際問題
題型/考向三：解三角形的綜合應(yīng)用
一、正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用
1.利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般流程：
2.涉及正、余弦定理與三角形面積的綜合問題
求三角形面積時(shí)常用S＝absin C形式的面積公式.
一 正弦定理、余弦定理的綜合
一、單選題
1．是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【詳解】在中，由已知及余弦定理得，即，
由正弦定理邊化角得：，
而，即，則，即有，又的外接圓半徑，
所以.
故選：C
2．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，則的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br/>則根據(jù)正弦定理和余弦定理有
.
故選：B.
3．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若外接圓的面積為，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知及正弦定理得，所以，
所以，又，所以．
由的外接圓面積為，得外接圓的半徑為1．
由正弦定理得，所以，所以，
解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
故選：B．
4．在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由正弦定理得，
所以
因?yàn)殇J角△ABC中，，所以，所以，
所以，所以，
即．
故選:B.
5．中是外接圓圓心，是的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】過點(diǎn) 作，垂足分別為，
如圖，因 是外接圓圓心，則分別為的中點(diǎn)，
在 中，，
則 ，
即 ，
同理
則
由正弦定理得：，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”，
所以的最大值為.
故選：A.
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，
根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，
，，，即，
，則，則，解得,則，
所以，則，
又僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
根據(jù)余弦定理得，即，
設(shè)的周長(zhǎng)為，則，
設(shè)，則，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，
故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.
故選：B
7．若的內(nèi)角A，B，C滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，,
，
由正弦和余弦定理可得，，
化簡(jiǎn)得，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為，
故選：C
8．銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，得，由余弦定理得，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，
∴，
即.
∵，∴，∴，
又為銳角三角形，∴，
∴，解得，
又，，，∴，
∴.
故選：B.
9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【詳解】由余弦定理以及可得：，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故選：A．
二、填空題
10．在如圖所示的平面四邊形中，，則的值為___________.
11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因?yàn)椋裕?br/>可得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案為：.
12．在如圖所示的平面四邊形中，，，記，的面積分別為，則的最大值為__________．
【答案】
【詳解】在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，整理可得：；
，，
，
則當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
13．如圖，在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線的兩側(cè)，且，則的最大值是__________．
【詳解】在中，設(shè)，則，由及正弦定理，得，即，解得，因?yàn)椋裕瑒t.
在中，設(shè)，則由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，所以.
在中，由余弦定理可得，
即
，
當(dāng)時(shí)，得長(zhǎng)度取得最大值，最大值為，
故答案為：.
14．如圖所示，在中，已知，，，，，分別在邊，，上，且為等邊三角形．則的面積的最小值是______．
【答案】##
【詳解】不妨設(shè)的邊長(zhǎng)為，，
在中，，
因?yàn)椋?br/>所以在中，可得，
根據(jù)正弦定理可得，所以，
所以，其中，
易知，則
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
面積的最小值為，
故答案為：．
15．在等邊三角形中，，點(diǎn)在內(nèi)部，且滿足，則的最大值為_______
【答案】
【詳解】設(shè)，,則，在中，..
由正弦定理可得，
則.
.
當(dāng)時(shí)，，取最大值2.
故答案為：2.
二 解三角形實(shí)際問題
一、單選題
1．中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為37，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為30°和45°，在處測(cè)得樓頂部的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（ ）
A．64 B．74 C．52 D．91
【答案】B
【詳解】因?yàn)橹校停琺，，
所以m，
因?yàn)橹校停?br/>所以，
由題意得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，
故m，
故m
故選：B
2．冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想．某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊筆畫都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求．該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了，測(cè)得，，，，若點(diǎn)恰好在邊上，請(qǐng)幫忙計(jì)算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，
，
因?yàn)椋裕?br/>在中，由正弦定理，
即，解得.
故選：A.
3．下圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點(diǎn)，，分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，測(cè)得柱子與之間的距離是（為測(cè)量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，如圖所示：其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，
因?yàn)樵摻ㄖP(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，
，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)
所以，，，
所以為直角三角形，四邊形為矩形，
所以且，
又，所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以.
故選：A.
4．中國(guó)最早的天文觀測(cè)儀器叫“圭表” ，最早裝置圭表的觀測(cè)臺(tái)是西周初年在陽(yáng)城建立的周公測(cè)景（影）臺(tái)．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽(yáng)光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長(zhǎng)（1尺=10寸）．用圭表測(cè)量太陽(yáng)照射在竹竿上的影長(zhǎng)，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日內(nèi)，南北兩地的日影長(zhǎng)短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為A，太陽(yáng)光線通過頂部A投影到“圭”上的點(diǎn)為B．同一日內(nèi)，甲地日影長(zhǎng)是乙地日影長(zhǎng)的，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且則甲、乙兩地之間的距離約為（ ）
A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里
【答案】C
【詳解】依題意，甲地中線段AB的長(zhǎng)為寸，則甲地的日影長(zhǎng)為寸，
于是乙地的日影長(zhǎng)為寸，甲、乙兩地的日影長(zhǎng)相差12寸，
所以甲、乙兩地之間的距離是12千里.
故選：C
5．矗立在上饒市市民公園的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方．某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處測(cè)得銅雕頂端處仰角分別為，，，且，則四門通天的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)的投影為，且，在中，，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分別用余弦定理得，
解得或（舍去），即四門通天的高度為.
故選：B
6．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股 定理的證明， 后人稱其為 “趙爽弦圖”. 如圖 1 ， 它由四個(gè)全等的直角三 角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形. 我們通過類比得到圖 2， 它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形 拼成的一 個(gè)大等邊三角形， 若， 則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
而 ，
在 中， 設(shè)，則，
由正弦定理得 ， 解得，
由余弦定理 ，
所以.
故選：C.
7．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC 100 m，則該球體建筑物的高度約為（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
【答案】B
【詳解】如圖，
設(shè)球的半徑為
，
，
，
故選：B
8．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計(jì)算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【詳解】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個(gè)等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，
所以，
整理可得，
由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，
所以，
整理可得，
所以
故選：B
二、填空題
9．蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標(biāo)，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊(yùn)及黃河文化的獨(dú)特魅力．某同學(xué)為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得黃河樓頂部A的仰角分別為，并測(cè)得，則黃河樓的估計(jì)高度為_____________米．
【答案】90
【詳解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黃河樓的估計(jì)高度為米.
故答案為：
10．如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高_(dá)_______.
【答案】
【詳解】在中，，，所以．
在中，，，從而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案為：．
三 解三角形的綜合應(yīng)用
一、多選題
1．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列命題中，正確的是（ ）
A．在中，若，則
B．在中，若，，則
C．在中，若，則
D．在中，
【答案】ABD
【詳解】在中，由及正弦定理得：，因此，A正確；
在中，由及正弦定理得：，B正確；
在中，，則，因?yàn)椋?br/>則有或，即有或，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，a與b不一定相等，C錯(cuò)誤；
令為外接圓半徑，則，于是，D正確.
故選：ABD
2．已知中，角所對(duì)的邊分別為，則下列條件中能判斷為鈍角三角形的有（ ）
A． B．
C． D．的三條高分別為
【答案】BCD
應(yīng)用兩角和差正切公式及正切值正負(fù)判斷C,根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理可以判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，,又，
化簡(jiǎn)得0，所以為直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將平方化簡(jiǎn)得，故為鈍角，為鈍角三角形，故B正確；
對(duì)于C,因?yàn)?，
則角中必有一個(gè)角為鈍角，為鈍角三角形，故C正確；
對(duì)于D，假設(shè)邊上的高分別為，則，
設(shè)，則，所以由余弦定理得，
所以為鈍角，為鈍角三角形，故D正確．
故選：BCD．
3．已知對(duì)任意角均有公式．設(shè)的內(nèi)角A，B，C滿足，面積S滿足，記a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】根據(jù)題意，由可得：
即，
故，故，
故選項(xiàng)A正確．
又由三角形的面積公式，可得，
因此，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
而，有，從而，故選項(xiàng)C正確．
根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，有，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD.
4．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6
C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為
D．設(shè)，且，則的最小值為
【答案】BCD
【詳解】A選項(xiàng)，，由正弦定理可得：，
而，
故，
因?yàn)榍椅挥诜帜肝恢茫剩?br/>所以，
又，
所以，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知：，由余弦定理得：
，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，所以周長(zhǎng)的最大值為6，故B正確；
C選項(xiàng)，結(jié)合三角形面積公式得，，，
則，
又因?yàn)椋裕?br/>結(jié)合余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以，
所以的最大值為，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋矗?br/>，
兩邊平方并化簡(jiǎn)得，
即，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確．
故選：BCD．
5．某社區(qū)規(guī)劃在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)如圖所示的四邊形休閑區(qū).已知米，米，且修建該休閑區(qū)的費(fèi)用是200元/平方米，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則米
B．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則修建該休閑區(qū)的總費(fèi)用為4萬(wàn)元
C．若時(shí)，則該社區(qū)修建該休閑區(qū)的修建費(fèi)用為6萬(wàn)元
D．若要修建完成該休閑區(qū)，則該社區(qū)需要準(zhǔn)備的修建費(fèi)用最多為萬(wàn)元
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅蔚乃膫€(gè)頂點(diǎn)共圓，所以，設(shè)，則，由余弦定理可得，
，因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，所以（米），A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕郑裕缘拿娣e為，的面積為，所以四邊形的總面積為，所以修建該休閑區(qū)的總費(fèi)用為（萬(wàn)元），B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，由余弦定理可得，，
所以，，所以
，
的面積為，的面積為，所以四邊形的總面積為，設(shè)，則，
所以，又，所以，又，所以，
所以四邊形的總面積為，所以修建該休閑區(qū)的總費(fèi)用為6（萬(wàn)元），C正確；
對(duì)于D，設(shè)，，由余弦定理可得，，
所以，，所以
，
的面積為，的面積為，所以四邊形的總面積為，設(shè)，則，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，所以的最大值為，故的最大值為，所以該社區(qū)需要準(zhǔn)備的修建費(fèi)用最多為萬(wàn)元，D正確.
故選：ACD.
二、解答題
6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.
(1)求；
(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，___________，求的面積.
請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.
①的三個(gè)頂點(diǎn)都在以為圓心的圓上，且；
②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.
【詳解】（1）在中，因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理，得，
因?yàn)椋裕?br/>化簡(jiǎn)，得，因?yàn)椋?
（2）選條件①：
設(shè)的外接圓半徑為，
則在中，由正弦定理得，即，
由題意知：，
由余弦定理知：，
所以.
在中，由正弦定理知：，
所以，
從而，所以為等邊三角形，
的面積.
選條件②：
由條件知：，
由，得，
因?yàn)椋裕矗?br/>由（1）可得，即，
所以，即，
又因?yàn)椋裕?br/>所以的面積.
7．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積，求的周長(zhǎng)．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋?
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周長(zhǎng)為．
8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【詳解】（1）∵，
∴，
∴由余弦定理得：，即：，
由正弦定理得：，
∴，
整理得：，即：，
又∵，
∴，即：.
（2）∵，
∴，
又∵，，，
∴由正弦定理得：
，
又∵，
∴，
令，則，，
∵對(duì)稱軸為，
∴在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴，即：的范圍為.
9．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【詳解】（1）∵，由正弦定理可得，
則，
可得，
整理得，
注意到，且，則，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，
∵，則，
即，整理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的取值范圍為.
10．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>又，所以，
所以，即，，
又，
所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>在中，由余弦定理得
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即線段的最大值為.
1壓軸題04 解三角形壓軸題
題型/考向一：正弦定理、余弦定理的綜合
題型/考向二：解三角形實(shí)際問題
題型/考向三：解三角形的綜合應(yīng)用
一、正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用
1.利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般流程：
2.涉及正、余弦定理與三角形面積的綜合問題
求三角形面積時(shí)常用S＝absin C形式的面積公式.
一 正弦定理、余弦定理的綜合
一、單選題
1．是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
2．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，則的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若外接圓的面積為，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．中是外接圓圓心，是的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．
7．若的內(nèi)角A，B，C滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
二、填空題
10．在如圖所示的平面四邊形中，，則的值為___________.
11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．
12．在如圖所示的平面四邊形中，，，記，的面積分別為，則的最大值為__________．
13．如圖，在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線的兩側(cè)，且，則的最大值是__________．
14．如圖所示，在中，已知，，，，，分別在邊，，上，且為等邊三角形．則的面積的最小值是______．
15．在等邊三角形中，，點(diǎn)在內(nèi)部，且滿足，則的最大值為_______
二 解三角形實(shí)際問題
一、單選題
1．中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為37，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為30°和45°，在處測(cè)得樓頂部的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（ ）
A．64 B．74 C．52 D．91
2．冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想．某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊筆畫都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求．該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了，測(cè)得，，，，若點(diǎn)恰好在邊上，請(qǐng)幫忙計(jì)算的值（ ）
A． B． C． D．
3．下圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點(diǎn)，，分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，測(cè)得柱子與之間的距離是（為測(cè)量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
4．中國(guó)最早的天文觀測(cè)儀器叫“圭表” ，最早裝置圭表的觀測(cè)臺(tái)是西周初年在陽(yáng)城建立的周公測(cè)景（影）臺(tái)．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽(yáng)光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長(zhǎng)（1尺=10寸）．用圭表測(cè)量太陽(yáng)照射在竹竿上的影長(zhǎng)，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日內(nèi)，南北兩地的日影長(zhǎng)短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為A，太陽(yáng)光線通過頂部A投影到“圭”上的點(diǎn)為B．同一日內(nèi)，甲地日影長(zhǎng)是乙地日影長(zhǎng)的，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且則甲、乙兩地之間的距離約為（ ）
A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里
5．矗立在上饒市市民公園的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方．某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處測(cè)得銅雕頂端處仰角分別為，，，且，則四門通天的高度為（ ）
A． B． C． D．
6．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股 定理的證明， 后人稱其為 “趙爽弦圖”. 如圖 1 ， 它由四個(gè)全等的直角三 角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形. 我們通過類比得到圖 2， 它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形 拼成的一 個(gè)大等邊三角形， 若， 則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC 100 m，則該球體建筑物的高度約為（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
8．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計(jì)算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空題
9．蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標(biāo)，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊(yùn)及黃河文化的獨(dú)特魅力．某同學(xué)為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得黃河樓頂部A的仰角分別為，并測(cè)得，則黃河樓的估計(jì)高度為_____________米．
10．如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高_(dá)_______.
三 解三角形的綜合應(yīng)用
一、多選題
1．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列命題中，正確的是（ ）
A．在中，若，則
B．在中，若，，則
C．在中，若，則
D．在中，
2．已知中，角所對(duì)的邊分別為，則下列條件中能判斷為鈍角三角形的有（ ）
A． B．
C． D．的三條高分別為
3．已知對(duì)任意角均有公式．設(shè)的內(nèi)角A，B，C滿足，面積S滿足，記a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6
C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為
D．設(shè)，且，則的最小值為
5．某社區(qū)規(guī)劃在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)如圖所示的四邊形休閑區(qū).已知米，米，且修建該休閑區(qū)的費(fèi)用是200元/平方米，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則米
B．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則修建該休閑區(qū)的總費(fèi)用為4萬(wàn)元
C．若時(shí)，則該社區(qū)修建該休閑區(qū)的修建費(fèi)用為6萬(wàn)元
D．若要修建完成該休閑區(qū)，則該社區(qū)需要準(zhǔn)備的修建費(fèi)用最多為萬(wàn)元
二、解答題
6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.
(1)求；
(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，___________，求的面積.
請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.
①的三個(gè)頂點(diǎn)都在以為圓心的圓上，且；
②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.
7．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積，求的周長(zhǎng)．
8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
9．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．
10．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.
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