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專題04 指數、對數函數
1. 指數與指數運算
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念 符號表示 備注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*
當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數 零的n次方根是零
當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，它們互為相反數 ± 負數沒有偶次方根
(2)兩個重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必須使有意義)．
2．分數指數冪
(1)正數的正分數指數冪是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正數的負分數指數冪是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)0的正分數指數冪是0，0的負分數指數冪無意義．
3．實數指數冪的運算性質
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
4. 冪函數
函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
圖象
定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 函數 偶 函數 奇 函數 非奇非偶 函數 奇 函數
單調性 在R上單 調遞增 在(－∞，0) 上單調遞減， 在(0，＋∞) 上單調遞增 在R上 單調遞增 在[0，＋∞) 上單調遞增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上單調遞減
5.指數函數圖象與性質
指數函數的概念、圖象和性質
定義 函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指數函數
底數 a>1 0圖象
性質 函數的定義域為R，值域為(0，＋∞)
函數圖象過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，恒有y>1； 當x<0時，恒有00時，恒有01
函數在定義域R上為增函數 函數在定義域R上為減函數
6. 常用對數和自然對數
以10為底的對數叫作常用對數,并把記作lg_N.以無理數e=2.718 28…為底的對數稱為自然對數,并且把記為ln_N.
7.對數的性質：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1)．
8.對數恒等式：
alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
9.對數的換底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
10.對數的運算法則：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
11.對數函數的圖象和性質
圖象 a＞1 0＜a＜1
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當0＜x＜1時，y<0； 當x＞1時，y＞0 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時，y＜0
在(0，＋∞)上為增函數 在(0，＋∞)上為減函數
1.指數冪的運算
2.對數的運算
3.解指對數方程
4.比較冪式大小
5.解簡單的不等式．
7. 求復合函數的單調區間
1. 轉化思想
2.函數與方程思想
3. 數形結合思想
考點一 指數冪的運算
例1．計算： ．
【答案】
【分析】利用分數指數冪和對數的運算直接求解即可.
【詳解】原式．
故答案為：9
例2． .
【答案】/
【分析】由指數冪的運算化簡求值.
【詳解】.
故答案為：
【變式探究】1.
【答案】
【分析】根據分數指數冪的運算法則計算出答案.
【詳解】
.
故答案為：
2. .
【答案】/
【分析】根據指數冪以及根式的運算即可求解.
【詳解】原式為
.
故答案為：
考點二 對數的運算
例3．計算： ．
【答案】
【分析】根據指對數直接計算即可.
【詳解】原式.
故答案為：1.
例4．化簡： .
【答案】4
【分析】利用對數運算及換底公式計算即得.
【詳解】.
故答案為：4
【變式探究】1. ．
【答案】10
【分析】由對數的運算性質求解即可.
【詳解】．
故答案為：10．
2. 計算 .
【答案】
【分析】利用分數指數冪和對數運算法則計算即可.
【詳解】
.
故答案為：
考點三 與指對函數有關的定義域
例5．函數的定義域為 .
【答案】
【分析】由解析式可得，求解即可.
【詳解】由題意可得,故，即.
故函數的定義域為.
故答案為:.
例6．函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】利用對數、分式、根式的性質列不等式，求的范圍，即得定義域.
【詳解】由函數解析式，知：，解得且.
故答案為：.
【變式探究】函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據對數函數中真數大于0與零次冪中底數不等于0列式求解即可.
【詳解】由題意知，且，
故函數的定義域為.
故選：B.
考點三 比較冪式大小
例7．已知則之間的大小關系為 ．
【答案】
【分析】根據指數函數的性質判斷之間的大小關系.
【詳解】由，則.
故答案為：
例8．設，，，則，，從小到大排序是 ．（用“”連接）
【答案】
【分析】根據指數函數的單調性和指數冪的運算性質依次判斷a、b、c的取值范圍即可求解.
【詳解】由題意知，
，即，
，即，
，即，
所以.
故答案為：.
【變式探究】已知，，，則a，b，c三個數的大小關系是 .
【答案】/
【分析】利用指數函數的單調性，根據，同底，可比較，的大小，利用指數函數的運算性質，將，的指數部分化為一致，結合冪函數的單調性，可比較，的大小．
【詳解】解：，故函數為減函數
故
，故函數為減函數
又，
故答案為：
考點四 解指對數方程
例9．解指數方程： .
【答案】或
【分析】直接對方程兩邊取以3為底的對數，討論和，解出方程即可.
【詳解】由得，即，當即時，顯然成立；
當時，，解得；故方程的解為：或.
故答案為：或.
例10．解對數方程
【詳解】原式可化為：，
再化為，
即，
也即，整理得：，
解方程，得，，
經檢驗：是原方程增根，所以原方程的根是；
【變式探究】1. 指數方程的解是 .
【答案】
【分析】由方程看成關于的二次方程，解得（舍或，從而得到方程的解．
【詳解】：，
（舍或，解得．
故答案為：．
2. 若對數方程的兩根為，則 .
【答案】/
【分析】利用因式分解法，結合對數的運算性質進行求解即可.
【詳解】，或，
由，由，
所以，
故答案為：
考點五 解簡單的不等式
例11．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】結合指數函數的單調性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【詳解】，即，
由于在R上單調遞減，所以，即
解得，所以不等式的解集為.
故答案為：.
例12．不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據對數函數的性質，求對數不等式解集即可.
【詳解】由在定義域上為單調增函數且，知：
，解得.
故答案為：.
【變式探究】1. 不等式的解集為 .
【答案】
【分析】利用指數函數的單調性解原不等式，即可得解.
【詳解】因為函數為上的增函數，由可得，
故原不等式的解集為.
故答案為：.
2. 使成立的實數x的集合是 .
【答案】
【分析】根據對數函數的單調性結合條件即得.
【詳解】由，可得,
所以，即，
所以
故答案為：
考點六 求復合函數的單調區間
例13．函數的增區間為 .
【答案】
【分析】利用復合函數的單調區間的求解方法，即“同增異減”，進行求解
【詳解】設，則，
因為在區間上為減函數，區間上為增函數，為減函數，
所以的增區間為.
故答案為：
例14．的單調增區間是 .
【答案】
【分析】根據對數型復合函數的單調性求解方法求解.
【詳解】要使函數有意義，
則，解得或，
因為二次函數在單調遞減，單調遞增，
所以的單調增區間是.
故答案為：.
【變式探究】1. 函數的單調遞減區間為 .
【答案】(－∞，1]
【分析】根據復合函數的單調性可知，函數的單調遞增區間就是函數的單調遞減區間.
【詳解】因為函數的單調遞增區間為(－∞，1]，且，
所以函數的單調遞減區間為(－∞，1].
故答案為：(－∞，1].
2. 函數的遞減區間為 .
【答案】
【分析】由復合函數的單調性只需求出的單調遞增區間，且要滿足，從而求出答案.
【詳解】因為在上單調遞減，
由復合函數的單調性可知，的遞減區間為的單調遞增區間，
且要滿足，解得或，
其中在上單調遞增，
故的遞減區間為.
故答案為：
1. （2022年）函數 .
解析：
2. （2022年）方程的解為 .
解析：
經檢驗，是原方程的根.
3. （2022年）函數的定義域為 .
解析：要使得 有意義，則，故函數的定義域為
4. （2022年），則a,b,c由小到大的順序為 .
解析：
5. （2022年） .
解析：
6. （2021年）函數的定義域為 .
解析：，定義域為
7. （2021年） .
解析：
8. （2021年）已知方程，則x= .
解析：
9. （2021年），則a,b,c由大到小的順序為 .
解析：
10. （2021年）不等式的解集為 .
解析：{1}
故不等式的解集為{1}.
11.（2020年）計算：= .
【答案】2
【解析】原式=1+++1=2.
12.(2020年河北對口)若,則a,b,c按由小到大順序排列為 .
【答案】b【解析】，而在定義域內是增函數，所以b13.（2020年）不等式的解集為 ．（用區間表示）
【答案】
【解析】,而，所以答案為.
14. （2019年）若a2A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】a215. （2019年）已知 ，a，b，c 按由小到大的順序排列 ．
【答案】c【解析】,所以c16. （2019年）函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】,故答案為.
17. （2019年）計算：= 。
【答案】0
【解析】
18.（2018年）計算： = 。
【答案】
【解析】
19. （2018年）函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】，故答案為.
20. (2018年河北對口) 不等式的解集為
【答案】
【解析】,所以答案為.
21. （2017年）計算： .
【答案】
【解析】
22.(2017年河北對口) 若，則的最小值為 .
【答案】-2
【解析】
所以的最小值為-2.
23.(2017年河北對口) 設函數，若，則 .
【答案】
【解析】
24.（2017年）已知函數的定義域是 .
【答案】
【解析】,故答案為.
25. （2016年）函數的定義域是 ．
【答案】
【解析】,故答案為.專題04 指數、對數函數
1. 指數與指數運算
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念 符號表示 備注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*
當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數 零的n次方根是零
當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，它們互為相反數 ± 負數沒有偶次方根
(2)兩個重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必須使有意義)．
2．分數指數冪
(1)正數的正分數指數冪是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正數的負分數指數冪是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)0的正分數指數冪是0，0的負分數指數冪無意義．
3．實數指數冪的運算性質
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
4. 冪函數
函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
圖象
定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 函數 偶 函數 奇 函數 非奇非偶 函數 奇 函數
單調性 在R上單 調遞增 在(－∞，0) 上單調遞減， 在(0，＋∞) 上單調遞增 在R上 單調遞增 在[0，＋∞) 上單調遞增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上單調遞減
5.指數函數圖象與性質
指數函數的概念、圖象和性質
定義 函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指數函數
底數 a>1 0圖象
性質 函數的定義域為R，值域為(0，＋∞)
函數圖象過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，恒有y>1； 當x<0時，恒有00時，恒有01
函數在定義域R上為增函數 函數在定義域R上為減函數
6. 常用對數和自然對數
以10為底的對數叫作常用對數,并把記作lg_N.以無理數e=2.718 28…為底的對數稱為自然對數,并且把記為ln_N.
7.對數的性質：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1)．
8.對數恒等式：
alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
9.對數的換底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
10.對數的運算法則：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
11.對數函數的圖象和性質
圖象 a＞1 0＜a＜1
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當0＜x＜1時，y<0； 當x＞1時，y＞0 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時，y＜0
在(0，＋∞)上為增函數 在(0，＋∞)上為減函數
1.指數冪的運算
2.對數的運算
3.解指對數方程
4.比較冪式大小
5.解簡單的不等式．
7. 求復合函數的單調區間
1. 轉化思想
2.函數與方程思想
3. 數形結合思想
考點一 指數冪的運算
例1．計算： ．
例2． .
【變式探究】1.
.
考點二 對數的運算
例3．計算： ．
例4．化簡： .
【變式探究】1. ．
2. 計算 .
考點三 與指對函數有關的定義域
例5．函數的定義域為 .
例6．函數的定義域為 ．
【變式探究】函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
考點三 比較冪式大小
例7．已知則之間的大小關系為 ．
例8．設，，，則，，從小到大排序是 ．（用“”連接）
【變式探究】已知，，，則a，b，c三個數的大小關系是 .
考點四 解指對數方程
例9．解指數方程： .
例10．解對數方程
【變式探究】1. 指數方程的解是 .
2. 若對數方程的兩根為，則 .
考點五 解簡單的不等式
例11．不等式的解集是 .
例12．不等式的解集為 ．
【變式探究】1. 不等式的解集為 .
2. 使成立的實數x的集合是 .
考點六 求復合函數的單調區間
例13．函數的增區間為 .
例14．的單調增區間是 .
【變式探究】1. 函數的單調遞減區間為 .
2. 函數的遞減區間為 .
1. （2022年）函數 .
2. （2022年）方程的解為 .
3. （2022年）函數的定義域為 .
4. （2022年），則a,b,c由小到大的順序為 .
5. （2022年） .
6. （2021年）函數的定義域為 .
7. （2021年） .
8. （2021年）已知方程，則x= .
9. （2021年），則a,b,c由大到小的順序為 .
10. （2021年）不等式的解集為 .
11.（2020年）計算：= .
12.(2020年河北對口)若,則a,b,c按由小到大順序排列為 .
13.（2020年）不等式的解集為 ．（用區間表示）
14.（2019年）已知 ，a，b，c 按由小到大的順序排列 ．
15. （2019年）函數的定義域為 ．
17. （2019年）計算：= 。
18.（2018年）計算： = 。
19.（2018年）函數的定義域為 ．
20. (2018年河北對口) 不等式的解集為
21.（2017年）計算： .
22.(2017年河北對口) 若，則的最小值為 .
23.(2017年河北對口) 設函數，若，則 .
24.（2017年）已知函數的定義域是 .
.25. （2016年）函數的定義域是 ．

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