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專題4 解三角形
【題型01 三角形面積公式】
【題型02 正弦定理】
【題型03 余弦定理】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
（2）變形
3. 三角形的面積公式
【題型01 三角形面積公式】
【典例1】已知中，，且的面積為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【詳解】因為中，，且的面積為
.
所以，所以或.
故選：B.
【典例2】 在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面積公式求解.
【詳解】因為，
所以，解得，
即，
故選：A.

【典例3】在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件直接利用三角形的面積公式求解即可
【詳解】在中，，，則
，
故選：D
【題型02 正弦定理】
【典例1】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b=（ ）
A． B． C．3 D．或3
【答案】D
【分析】根據(jù)可得，再利用余弦定理求解即可
【詳解】由題，因為，故為銳角，故，又由余弦定理可得，故，化簡得，故或3故選：D
【典例2】在中，，則等于（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得.
故選：B.
【題型03 余弦定理】
【典例1】在中，角的對邊分別是，已知，，，則（ ）
A．7 B．19 C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正確答案.
【詳解】由余弦定理得，
所以．
所以．
故選：D
【典例2】在中，， ，，則（ ）
A． B．5 C．10 D．
【答案】B
【分析】運用余弦定理解三角形即可.
【詳解】由余弦定理得，
即，解得（負值已舍去）.
故選：B.
練 習
一、單選題
1．在中，下列式子與的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【詳解】在中，由正弦定理知，
所以，故C正確，其余選項不一定成立.
故選：C.
2．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若則的值可以為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】由正弦定理求出，結(jié)合求出答案.
【詳解】由正弦定理得，即，
故，
因為，所以，故.
故選：A
3．如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由題意可知,
由余弦定理可得，
故選：D
4．在中，角所對的邊長分別為.若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【詳解】因為，則，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以或.
故選：D.
5．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理計算即可.
【詳解】由正弦定理知：得.
故選：B
6．在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推論即可求解.
【詳解】由及余弦定理的推論，得，
因為，
所以.
故選：B.
7．在中，角的對邊分別為，若，則b＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理計算即可.
【詳解】因為，由正弦定理得，．
故選：D．
8．在中，邊長，，，則邊長（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理解三角形.
【詳解】在中，邊長，，，
由正弦定理得，
所以.
故選：C
9．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方關(guān)系和正弦定理求解.
【詳解】由得.
由正弦定理得.
故選：A
10．在中，角的對邊分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得正確答案.
【詳解】由正弦定理得，
.
故選：D
11．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由余弦定理變形得到，代入求解即可.
【詳解】，
即，解得，負值舍去.
故選：A
12．在中，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．10cm
【答案】B
【分析】由已知利用三角形的內(nèi)角和定理可求B的值，進而根據(jù)正弦定理即可求解AC的值.
【詳解】因為，，，
所以，
所以由正弦定理，可得.
故選：B.
13．在中，角所對的邊分別為，若，則角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意，，即，
所以，所以為銳角，所以.
故選：B
14．在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)二倍角公式求出，再結(jié)合余弦定理求即可.
【詳解】由題意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故選：D
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形邊角性質(zhì)求解即可.
【詳解】在中，因為，所以，故，又，故．
故選：B
16．在中， ，則（ ）
A．9 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦定理即可求得答案.
【詳解】由題意知中，，
故
，
故，
故選：D
17．在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角函數(shù)的同角公式，求出，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解．
【詳解】，，，
則，
，
，
的面積為．
故選：．
18．在中，已知，則角A等于（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運算求解.
【詳解】因為，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故選：C.
19．在中，若，，，則的面積為（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)面積公式即可求解.
【詳解】∵，∴，
∴面積．
故選：B
20．在中，若，則等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件利用余弦定理直接求解即可
【詳解】在中，若，由余弦定理得
，得，
故選：A
21．的三內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，則角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用余弦定理計算可得.
【詳解】依題意由余弦定理，
又，所以.
故選：A
22．設(shè)中角，，所對的邊分別為，，；若，，；則為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由余弦定理可得,故為銳角，
由于，因此均為銳角，故為銳角三角形，
故選：A
二、填空題
1．中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，，，則的面積為 .
【答案】/
【分析】先由余弦定理求出，再用求出面積即可.
【詳解】由余弦定理可得
，
解得，或（舍）
所以面積，
故答案為：
2．在中，，則 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【詳解】.
故答案為：
3．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則角A的大小為 ．
【答案】/
【分析】余弦定理結(jié)合已知條件直接求解即可．
【詳解】解：因為，
所以，
因此，
又因為，所以.
故答案為:
4．在中，，且最大邊長為14，則該三角形的面積為 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，進而求得，再用面積公式求解即可.
【詳解】因為，且最大邊長為14，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
故答案為: .
5．已知三角形三邊長為3，4，，則這個三角形中最大的內(nèi)角為 ．
【答案】/
【分析】由大邊對大角，所對角為最大角，結(jié)合余弦定理求解即可.
【詳解】因為大邊對大角，設(shè)最大內(nèi)角為，
則，所以，
故答案為：
6．已知三角形三邊長度為、、則三角形中最大的角的角度為 度．
【答案】/
【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)該三角形的最大內(nèi)角為，則，
因為，因此，.
故答案為：.
三、解答題
1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判斷的形狀．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入給定等式計算作答.
（3）根據(jù)已知條件可得，再結(jié)合（1）確定三角形的形狀作答.
【詳解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，則，由（1）知，
所以為正三角形.
2．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，．
(1)求的面積；
(2)求邊長及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方關(guān)系和面積公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】（1）由，且，
則，
所以．
（2）由，
則，
又，則．
3．在中，，，.
(1)求的面積；
(2)求c及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方關(guān)系求得，應(yīng)用三角形面積公式求的面積；
（2）余弦公式求c，再應(yīng)用正弦定理求.
【詳解】（1）由且，則，
所以.
（2）由，則，
而，則.
4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，
(1)若，求b；
(2)若，求b．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）依據(jù)余弦定理結(jié)合條件即得；
（2）依據(jù)正弦定理結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）由余弦定理，得，
解得（負值舍去），
故.
（2）由正弦定理，得，
∵，
∴或，
當時，，∴；
當時，，∴．
綜上，或．
5．的內(nèi)角的對邊分別為，若，求：
(1)的值；
(2)和的面積．
【答案】(1)
(2)，三角形面積為
【分析】（1）應(yīng)用余弦定理列方程求值即可；
（2）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，應(yīng)用正弦定理求，三角形面積公式求的面積.
【詳解】（1）由余弦定理得：，解得．
（2）由，則，
由正弦定理得，又，則，
．
6．已知在中，，，，求、的值.
【答案】，或，.
【分析】根據(jù)三角形的余弦定理和面積公式求解.
【詳解】在中，由余弦定理與面積公式得，
，化為，，
解得，或，.
1專題4 解三角形
【題型01 三角形面積公式】
【題型02 正弦定理】
【題型03 余弦定理】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
（2）變形
3. 三角形的面積公式
【題型01 三角形面積公式】
【典例1】已知中，，且的面積為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
【典例2】 在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．

【典例3】在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型02 正弦定理】
【典例1】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b=（ ）
A． B． C．3 D．或3
【典例2】在中，，則等于（ ）
A． B． C． D．不確定
【題型03 余弦定理】
【典例1】在中，角的對邊分別是，已知，，，則（ ）
A．7 B．19 C． D．
【典例2】在中，， ，，則（ ）
A． B．5 C．10 D．
練 習
一、單選題
1．在中，下列式子與的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若則的值可以為（ ）
A． B． C． D．或
3．如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所對的邊長分別為.若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
5．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的對邊分別為，若，則b＝（　　）
A． B． C． D．
8．在中，邊長，，，則邊長（ ）
A． B． C． D．
9．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
10．在中，角的對邊分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
11．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．在中，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．10cm
13．在中，角所對的邊分別為，若，則角（ ）
A． B． C． D．
14．在中，，則（ ）
A． B． C． D．
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（ ）
A． B． C． D．
16．在中， ，則（ ）
A．9 B． C． D．3
17．在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．21
18．在中，已知，則角A等于（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
19．在中，若，，，則的面積為（ ）．
A． B． C． D．3
20．在中，若，則等于（ ）
A． B． C．3 D．
21．的三內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，則角的大小（ ）．
A． B． C． D．
22．設(shè)中角，，所對的邊分別為，，；若，，；則為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能
二、填空題
1．中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，，，則的面積為 .
2．在中，，則 .
3．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則角A的大小為 ．
4．在中，，且最大邊長為14，則該三角形的面積為 ．
5．已知三角形三邊長為3，4，，則這個三角形中最大的內(nèi)角為 ．
6．已知三角形三邊長度為、、則三角形中最大的角的角度為 度．
三、解答題
1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判斷的形狀．
2．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，．
(1)求的面積；
(2)求邊長及的值．
3．在中，，，.
(1)求的面積；
(2)求c及的值.
4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，
(1)若，求b；
(2)若，求b．
5．的內(nèi)角的對邊分別為，若，求：
(1)的值；
(2)和的面積．
6．已知在中，，，，求、的值.
1

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