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專題5 三角函數(shù)的應(yīng)用
【題型01 在面積問題上的應(yīng)用】
【題型02 交流電的電壓問題】
【題型03 測量與計算問題】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
（2）變形
3. 三角形的面積公式
4. 實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語
名稱 定義 圖示
仰角 在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角
俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角
方向角 從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于）
方位角 從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角
【題型01 在面積問題上的應(yīng)用】
【典例1】某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測量，這塊三角形空地的兩邊長分別為32m和68m，它們的夾角是.已知改造費用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費用為（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】求出三角形空地的面積，即可求出這塊三角形空地的改造費用.
【詳解】由題意，三角形空地的面積為，
改造費用為50元，
這塊三角形空地的改造費用為：元.
故選：C.
【點睛】本題主要考查的是正弦定理中的面積公式的應(yīng)用，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.
【題型02 交流電的電壓問題】
【典例1】在日常生活中，我們的家庭用電是交流電，若電流電的電壓U（單位：V）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系可用U=220來表示，求：
（1）開始時的電壓；
（2）電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；
（3）電壓的最大值和第一次達到最大值的時刻。
【詳解】（1）取t=0，得開始時的電壓U=220 sin=110 (V),即該交流電開始時的電壓為110 V
（2）由于電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔即為函數(shù)的一個周期，故電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔為
T= =0.02（s）即電壓值經(jīng)0.02s重復(fù)出現(xiàn)；
（3）當(dāng)=1時，得電壓的最大值U =220 V,此時=2k+
當(dāng)k=0時，t= （s）,因此，電壓第一次達到最大值的時刻為 s.
【題型03 測量與計算問題】
【典例1】如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由題意可知,
由余弦定理可得，
故選：D
【典例2】如圖，在高速公路建設(shè)中，要確定隧道的長度，工程人員測得隧道兩端的兩點到點的距離分別為，且，則隧道長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理得出隧道長度.
【詳解】由余弦定理可得：
．
故選：C
練 習(xí)
一、單選題
1．在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是，且到A的距離為2，C點的俯角為，且到A的距離為3，則B、C間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意可知，
由余弦定理得，
所以.
故選：D

2．泰姬陵于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A處測得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出輔助線，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，進而得到.
【詳解】由題設(shè)且，
過點作平行于，則，，

故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故選：A
3．某人在山外一點測得山頂?shù)难鼋菫?2°，沿水平面退后30米，又測得山頂?shù)难鼋菫?9°，則山高為（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)
A．180米 B．214米 C．242米 D．266米
【答案】C
【分析】利用正弦定理求得，進而求得，也即是求得山高.
【詳解】依題意，如圖所示，，則，
在三角形中，，
由正弦定理得，所以.
在中，米.
故選：C

4．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（ ）
A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出各角的度數(shù)，確定，故燈塔A在燈塔B的南偏西方向上.
【詳解】由條件及題圖可知，為等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此燈塔A在燈塔B的南偏西方向上．
故選：D．
5．兩座燈塔和與海岸觀察站的距離相等，燈塔在觀察站北偏東，燈塔在觀察站南偏東，則燈塔在燈塔的（ ）
A．北偏東 B．北偏西
C．南偏東 D．南偏西
【答案】B
【分析】作出燈塔，的相對位置圖，分別求出，，的值即可求解.
【詳解】燈塔，的相對位置如圖所示，
由已知得，，則，
即北偏西．
故選：B.
6．在某測量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
【答案】A
【分析】根據(jù)方向角的概念判斷即可.
【詳解】根據(jù)方向角的概念可知A正確．
故選：A.
7．如圖，一輪船從A點沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（ ）
A．北偏東； B．北偏東；
C．北偏東； D．北偏東；
【答案】C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解長度.
【詳解】由題意得：，，故，所以從A到C的航向為北偏東，由余弦定理得：，故.
故選：C
8．某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形．經(jīng)測量，其長度分別為，則（ ）
A．能作出二個銳角三角形 B．能作出一個直角三角形
C．能作出一個鈍角三角形 D．不能作出這樣的三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)高可得三邊之比，再根據(jù)余弦定理可得正確的選項
【詳解】因為三條高線的長度為，故三邊之比為，
設(shè)最大邊所對的角為，則，
而為三角形內(nèi)角，故為鈍角，故三角形為鈍角三角形，
故選：C.
二、填空題
1．如圖，小剛同學(xué)從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為，看另一邊B處的俯角為，樓高為米，則樓下公園的湖寬= m．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù):，，，）
【答案】
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求解.
【詳解】由題意，得，．
在中，米，∴，∴（米），
在中，則米，
∴（米）．
所以湖寬約為米．
故答案為：42
2．中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要45秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米如圖所示，旗桿底部與第一排在同一個水平面上，要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為 米/秒．

【答案】/
【分析】根據(jù)題意求得角，利用正弦定理求得邊長，再根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系求出旗桿的高度即可求解.
【詳解】依題意知，，
所以,
由正弦定理知,
所以，
所以在中，，
因為國歌奏唱需要45s，所以升旗手升旗的速度應(yīng)為.
故答案為: .
3．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 ．

【答案】
【分析】根據(jù)已知，利用正弦定理以及直角三角形的性質(zhì)計算求解.
【詳解】
如圖，在中，，，所以，
又，由正弦定理有：，即，
解得，
又是直角三角形，且，所以，
所以此山的高度m.
故答案為：.
三、解答題
1．A，B兩地之間隔著一個水塘（如圖），現(xiàn)選擇另一點C，測得，，，求A，B兩地之間的距離（精確到1m，）．

【答案】168m
【分析】利用余弦定理求兩地間距離即可.
【詳解】由余弦定理，得
，
所以，即A，B兩地之間的距離約為168m．
2．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點C與D．現(xiàn)測得，，，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，求塔高．

【答案】
【分析】利用正弦定理以及解直角三角形來求得.
【詳解】在△BCD中，，，，
由正弦定理，，
，
在中，.
3．信陽南灣湖以源遠流長的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而著稱；以幽、樸、秀、奇的獨特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風(fēng)景區(qū).如圖，為迎接第九屆開漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚時，天氣預(yù)報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達B處，測得，海里.
(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；
(2)求的值；
(3)為保護南灣湖水源自然環(huán)境，請寫出兩條建議（言之有物即可）.
【答案】(1)（海里）
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）在△中利用余弦定理即可求解；
（2）在△中利用余弦定理即可求解；
（3）結(jié)合保護自然環(huán)境提出建議即可.
【詳解】（1）∵，，，
∴在△中由余弦定理得，
∴（海里）.
（2）∵，由正弦定理得，
∴.
（3）不要向南灣湖里投扔垃圾；建立各種保護機制；防止水污染物直接排入水體；限制保護區(qū)內(nèi)從事餐飲、住宿等經(jīng)營活動；禁止垂釣、游泳等娛樂活動.
1專題5 三角函數(shù)的應(yīng)用
【題型01 在面積問題上的應(yīng)用】
【題型02 交流電的電壓問題】
【題型03 測量與計算問題】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
（2）變形
3. 三角形的面積公式
4. 實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語
名稱 定義 圖示
仰角 在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角
俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角
方向角 從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于）
方位角 從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角
【題型01 在面積問題上的應(yīng)用】
【典例1】某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測量，這塊三角形空地的兩邊長分別為32m和68m，它們的夾角是.已知改造費用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費用為（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【題型02 交流電的電壓問題】
【典例1】在日常生活中，我們的家庭用電是交流電，若電流電的電壓U（單位：V）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系可用U=220來表示，求：
（1）開始時的電壓；
（2）電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；
（3）電壓的最大值和第一次達到最大值的時刻。
【題型03 測量與計算問題】
【典例1】如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如圖，在高速公路建設(shè)中，要確定隧道的長度，工程人員測得隧道兩端的兩點到點的距離分別為，且，則隧道長度為（ ）
A． B． C． D．
練 習(xí)
一、單選題
1．在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是，且到A的距離為2，C點的俯角為，且到A的距離為3，則B、C間的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．泰姬陵于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A處測得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（ ）

A． B． C． D．
3．某人在山外一點測得山頂?shù)难鼋菫?2°，沿水平面退后30米，又測得山頂?shù)难鼋菫?9°，則山高為（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)
A．180米 B．214米 C．242米 D．266米
4．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（ ）
A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上
5．兩座燈塔和與海岸觀察站的距離相等，燈塔在觀察站北偏東，燈塔在觀察站南偏東，則燈塔在燈塔的（ ）
A．北偏東 B．北偏西
C．南偏東 D．南偏西
6．在某測量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
7．如圖，一輪船從A點沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（ ）
A．北偏東； B．北偏東；
C．北偏東； D．北偏東；
8．某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形．經(jīng)測量，其長度分別為，則（ ）
A．能作出二個銳角三角形 B．能作出一個直角三角形
C．能作出一個鈍角三角形 D．不能作出這樣的三角形
二、填空題
1．如圖，小剛同學(xué)從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為，看另一邊B處的俯角為，樓高為米，則樓下公園的湖寬= m．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù):，，，）
2．中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要45秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米如圖所示，旗桿底部與第一排在同一個水平面上，要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為 米/秒．

3．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 ．

三、解答題
1．A，B兩地之間隔著一個水塘（如圖），現(xiàn)選擇另一點C，測得，，，求A，B兩地之間的距離（精確到1m，）．

2．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點C與D．現(xiàn)測得，，，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，求塔高．

3．信陽南灣湖以源遠流長的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而著稱；以幽、樸、秀、奇的獨特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風(fēng)景區(qū).如圖，為迎接第九屆開漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚時，天氣預(yù)報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達B處，測得，海里.
(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；
(2)求的值；
(3)為保護南灣湖水源自然環(huán)境，請寫出兩條建議（言之有物即可）.
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