資源簡介

壓軸題06 統計與概率壓軸題
題型/考向一：計數原理與概率
題型/考向二：隨機變量及其分布列
題型/考向三：統計與成對數據的統計分析
一、計數原理與概率
熱點一 排列與組合
解決排列、組合問題的一般步驟
(1)認真審題弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；
(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數是多少及取出多少元素．
熱點二 二項式定理
1．求(a＋b)n的展開式中的特定項一般要應用通項公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n)．
2．求兩個因式積的特定項，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討論求解．
3．求三項展開式的特定項，一般轉化為二項式求解或用定義法．
4．求解系數和問題應用賦值法．
熱點三 概 率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．條件概率公式
設A，B為隨機事件，且P(A)＞0，
則P(B|A)＝.
3．全概率公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
一 計數原理與概率
一、單選題
1．現將甲乙丙丁四個人全部安排到市 市 市三個地區工作，要求每個地區都有人去，則甲乙兩個人至少有一人到市工作的安排種數為（ ）
A．12 B．14 C．18 D．22
2．世界數學三大猜想：“費馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國數學家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數，都可以寫成兩個質數之和．在不超過17的質數中，隨機選取兩個不同的數，其和為奇數的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．在的展開式中，項的系數為（ ）
A．60 B．30 C．20 D．
4．在的展開式中，含的項的系數為（ ）
A． B． C． D．
5．甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有三個小區可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區.則每個小區至少有一名志愿者，且甲不在小區的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．一袋中有大小相同的個白球和個紅球，現從中任意取出個球，記事件“個球中至少有一個白球”，事件“個球中至少有一個紅球”，事件“個球中有紅球也有白球”，下列結論不正確的是（ ）
A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨立事件
C． D．
7．某學校為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能積極選擇自己喜歡的社團．目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收1名學生，恰好含甲、乙的4名同學前來教務科申請加入，按學校規定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．第十四屆“中華人民共和國全國人民代表大會”和“中國人民政治協商會議”分別于2023年3月5日和3月4日勝利召開，為實現新時代新征程的目標任務匯聚智慧和力量．某市計劃開展“學兩會，爭當新時代先鋒”知識競賽活動．某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機選取4人組成代表隊參賽．在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，則黨員甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．在的展開式中，下列結論正確的是（ ）
A．第6項和第7項的二項式系數相等 B．奇數項的二項式系數和為256
C．常數項為84 D．有理項有2項
10．已知，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．事件B與事件相互獨立 D．、、兩兩互斥
12．爆竹聲聲辭舊歲，銀花朵朵賀新春．除夕夜里小光用3D投影為家人進行虛擬現實表演，表演分為“燃爆竹、放煙花、辭舊歲、迎新春”4個環節．小光按照以上4個環節的先后順序進行表演，每個環節表演一次．假設各環節是否表演成功互不影響，若每個環節表演成功的概率均為，則（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹環節”與事件“成功表演辭舊歲環節”互斥
B．“放煙花”、“迎新春”環節均表演成功的概率為
C．表演成功的環節個數的期望為3
D．在表演成功的環節恰為3個的條件下“迎新春”環節表演成功的概率為
二、隨機變量及其分布列
熱點一 分布列的性質及應用
離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
熱點二 隨機變量的分布列
1.二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2.超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·.
熱點三 正態分布
解決正態分布問題的三個關鍵點
(1)對稱軸x＝μ.
(2)樣本標準差σ.
(3)分布區間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區間.
二 隨機變量及其分布列
一、單選題
1．某班級有50名學生，期末考試數學成績服從正態分布，已，則的學生人數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
2．在某個獨立重復實驗中，事件，相互獨立，且在一次實驗中，事件發生的概率為，事件發生的概率為，其中．若進行次實驗，記事件發生的次數為，事件發生的次數為，事件發生的次數為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業為調查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機調查得到了1200個樣本，據統計該型號新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（ ）
A．180輛 B．360輛 C．600輛 D．840輛
4．設，這兩個正態分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是（ ）
A．對任意實數，
B．對任意實數，
C．
D．
5．下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于
B．設，且，則
C．線性回歸直線一定經過樣本點的中心
D．隨機變量，若，則
6．某地區有20000名考生參加了高三第二次調研考試．經過數據分析，數學成績X近似服從正態分布，則數學成績位于[80，88]的人數約為（ ）
參考數據：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
7．某種品牌手機的電池使用壽命X（單位：年）服從正態分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機電池至少使用6年的概率為（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1
8．法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．假設面包師的說法是真實的，記隨機購買一個面包的質量為X，若，則買一個面包的質量大于900g的概率為（ ）
（附：①隨機變量服從正態分布，則，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
二、多選題
9．已知隨機變量X服從二項分布，隨機變量，則下列說法正確的是（ ）
A．隨機變量X的數學期望 B．
C．隨機變量X的方差 D．隨機變量Y的方差
10．隨機變量且，隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
11．李明每天7：00從家里出發去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，則（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車
D．李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車
12．假設某廠有兩條包裝食鹽的生產線甲、乙，生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽質量服從正態分布（單位：g），生產線乙正常情況下生產出來包裝食鹽質量為xg，隨機變量x服從正態密度函數，其中，則（ ）
附：隨機變量，則，，．
A．正常情況下，從生產線甲任意抽取一包食鹽，質量小于485g的概率為0.15%
B．生產線乙的食鹽質量
C．生產線乙產出的包裝食鹽一定比生產線甲產出的包裝食鹽質量重
D．生產線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質量均大于515g，于是判斷出該生產線出現異常是合理的
三、解答題
13．學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班，假設每名候選人都有相同的機會被選到．
(1)求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；
(2)用X表示選中的候選人中來自甲班的人數，求；
(3)求（2）中X的分布列及數學期望．
14．網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇．某小區物業對本小區三月份參與網購生鮮蔬菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖：
假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響·
(1)從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；
(2)從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數為X，估計X的數學期望；
(3)從A組和B組中分別隨機抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差與的大小．（結論不要求證明）
15．2022世界機器人大會在北京召開，來自各個領域的參展機器人給參觀者帶來了不同的高科技體驗．現有A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人，其工作程序依次分為三個步驟：分撿，歸類，處理，每個步驟完成后進入下一步驟．若分撿步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為20分，若歸類步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為30分，若處理步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為50分．若各步驟完成但效能沒有達到95%，則該步驟得分為0分，在第三個步驟完成后，機器人停止工作．現已知A款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率依次為，，，B款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率均為，每款機器人完成每個步驟且效能是否達到95%及以上都相互獨立．
(1)求B款機器人只有一個步驟的效能達到95%及以上的概率；
(2)若準備在A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人中選擇一款機器人，從最后總得分的期望角度來分析，你會選擇哪一種型號？
三、統計與成對數據的統計分析
熱點一 用樣本估計總體
1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×.
2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數.
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數.
(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和相等.
(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
熱點二 回歸分析
求經驗回歸方程的步驟
(1)依據成對樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略).
(2)計算出，，x，xiyi的值.
(3)計算，.
(4)寫出經驗回歸方程.
熱點三 獨立性檢驗
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據列2×2列聯表；
(2)根據公式χ2＝，計算χ2的值；
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統計判斷.χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
三 統計與成對數據的統計分析
一、單選題
1．已知一組數據的方差為1，則數據的方差為（ ）
A．3 B．1 C． D．
2．某企業為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業的營銷部門和研發部門抽取部分員工體檢，已知該企業營銷部門和研發部門的員工人數之比是4：1且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數比研發部門的人數多72，則參加體檢的人數是（ ）
A．90 B．96 C．102 D．120
3．某校1000名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．頻率分布直方圖中的值為0.004
B．估計這20名學生考試成績的第60百分位數為75
C．估計這20名學生數學考試成績的眾數為80
D．估計總體中成績落在內的學生人數為150
4．如圖，一組數據，的平均數為5，方差為，去除，這兩個數據后，平均數為，方差為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．某市質量檢測部門從轄區內甲、乙兩個地區的食品生產企業中分別隨機抽取9家企業，根據食品安全管理考核指標對抽到的企業進行考核，并將各企業考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結論中正確是（ ）
A．若，則甲地區考核得分的極差大于乙地區考核得分的極差
B．若，則甲地區考核得分的平均數小于乙地區考核得分的平均數
C．若，則甲地區考核得分的方差小于乙地區考核得分的方差
D．若，則甲地區考核得分的中位數小于乙地區考核得分的中位數
6．下列關于統計概率知識的判斷，正確的是（ ）
A．將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為和，且已知，則總體方差
B．在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數越接近于1
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：；乙組：，若這兩組數據的第30百分位數 第50百分位數都分別對應相等，則
7．若數據，，…，的平均數為2，方差為3，則下列說法錯誤的是（ ）
A．數據，，…，的平均數為9 B．
C．數據，，…，的方差為 D．
8．在研究急剎車的停車距離問題時，通常假定停車距離等于反應距離（，單位：m）與制動距離（，單位：m）之和.如圖為某實驗所測得的數據，其中“KPH”表示剎車時汽車的初速度（單位：km/h）.根據實驗數據可以推測，下面四組函數中最適合描述，與的函數關系的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．數據5，7，8，11，10，15，20的中位數為11
B．一組數據7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數為18.5
C．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則這3個數能構成直角三角形三邊長的概率為0.1
D．設隨機事件和，已知，，，則
10．為了加強學生對黨的二十大精神的學習，某大學開展了形式靈活的學習活動．隨后組織該校大一學生參加二十大知識測試（滿分：100分），隨機抽取200名學生的測試成績，這200名學生的成績都在區間內，將其分成5組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．根據此頻率分布直方圖，視頻率為概率，同一組中的數據用該組區間的中點值為代表，則（ ）
A．該校學生測試成績不低于76分的學生比例估計為76%
B．該校學生測試成績的中位數估計值為80
C．該校學生測試成績的平均數大于學生測試成績的眾數
D．從該校學生中隨機抽取2人，則這2人的成績不低于84分的概率估計值為0.16
11．隨著生活水平的不斷提高，旅游已經成為人們生活的一部分．某地旅游部門從2022年到該地旅游的游客中隨機抽取10000位游客進行調查，得到各年齡段游客的人數和旅游方式，如圖所示，則（ ）
A．估計2022年到該地旅游的游客中中年人和青年人占游客總人數的80%
B．估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的游客占游客總人數的26.25%
C．估計2022年到該地旅游且選擇自助游的游客中青年人超過一半
D．估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的青年人比到該地旅游的老年人還要多
12．如圖為國家統計局于2022年12月27日發布的有關數據，則（ ）
A．營業收入增速的中位數為 B．營業收入增速極差為
C．利潤總額增速越來越小 D．利潤總額增速的平均數大于
三、解答題
13．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發現小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立．
抗體 指標值 合計
小于60 不小于60
有抗體
沒有抗體
合計
(1)填寫下面的2×2列聯表，并根據列聯表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關．（單位：只）
(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小自鼠產生抗體．
（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p；
（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量X．試驗后統計數據顯示，當X =99時，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗的人數n．
參考公式：（其中為樣本容量）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
14．某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數據：
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 a b c 0.07 0.06
材積量 0.25 0.41 0.22 0.54 0.53 0.34 0.35 0.39 0.43 0.44 0.39
其中a，b，c為等差數列，并計算得：，，．
(1)求b的值；
(2)若選取前6個樣本號對應數據，判斷這種樹木的根部橫截面積與材積量是否具有很強的線性相關性，并求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程（若，則認為兩個變量的線性相關性一般；若，則認為兩個變量的線性相關性很強）；
附：相關系數，
回歸直線中，，．
(3)根據回歸直線方程估計a，c的值（精確到0.01）．
1壓軸題06 統計與概率壓軸題答案
題型/考向一：計數原理與概率
題型/考向二：隨機變量及其分布列
題型/考向三：統計與成對數據的統計分析
一、計數原理與概率
熱點一 排列與組合
解決排列、組合問題的一般步驟
(1)認真審題弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；
(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數是多少及取出多少元素．
熱點二 二項式定理
1．求(a＋b)n的展開式中的特定項一般要應用通項公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n)．
2．求兩個因式積的特定項，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討論求解．
3．求三項展開式的特定項，一般轉化為二項式求解或用定義法．
4．求解系數和問題應用賦值法．
熱點三 概 率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．條件概率公式
設A，B為隨機事件，且P(A)＞0，
則P(B|A)＝.
3．全概率公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
一 計數原理與概率
一、單選題
1．現將甲乙丙丁四個人全部安排到市 市 市三個地區工作，要求每個地區都有人去，則甲乙兩個人至少有一人到市工作的安排種數為（ ）
A．12 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【詳解】若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，其余3人到另外兩個地方工作，先將3人分為兩組，再進行排列，有安排種數，故有種；
若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，丙丁中一人到市工作，有種選擇，其余2人到另外兩個地方工作，有種選擇，故安排種數有種；
若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外兩個地方工作，安排種數有種，
故總共有12+8+2=22種.
故選：D
2．世界數學三大猜想：“費馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國數學家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數，都可以寫成兩個質數之和．在不超過17的質數中，隨機選取兩個不同的數，其和為奇數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】不超過17的質數有：2，3，5，7，11，13，17，共7個，
隨機選取兩個不同的數，基本事件總數，
其和為奇數包含的基本事件有：，共6個，
所以.
故選：B
3．在的展開式中，項的系數為（ ）
A．60 B．30 C．20 D．
【答案】D
【詳解】由，可得其二項展開式，
若先滿足項中y的次數，則，可得，
其中展開式的通項為，
令，得，可得，
故項的系數為.
故選：D.
4．在的展開式中，含的項的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由二項式定理可知：展開式各項的表達式為：，
其中，，；
令得：，或，
含的項的系數為.
故選：D.
5．甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有三個小區可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區.則每個小區至少有一名志愿者，且甲不在小區的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，
再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，
5人被分為或
當5人被分為時，情況數為;
當5人被分為時，情況數為；
所以共有.
由于所求甲不去，情況數較多，反向思考，求甲去的情況數，最后用總數減即可，
當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則
共計種，
當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，
所以甲不在小區的概率為
故選：B.
6．一袋中有大小相同的個白球和個紅球，現從中任意取出個球，記事件“個球中至少有一個白球”，事件“個球中至少有一個紅球”，事件“個球中有紅球也有白球”，下列結論不正確的是（ ）
A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨立事件
C． D．
【答案】D
【詳解】根據題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球.
故事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，且；
事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個紅球，且；
事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球，且.
所以，，，
因為，則事件與事件不為互斥事件，A選項錯誤；
，故事件與事件不是相互獨立事件，B正確；
，故D錯誤；
，故C正確；
故選：D.
7．某學校為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能積極選擇自己喜歡的社團．目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收1名學生，恰好含甲、乙的4名同學前來教務科申請加入，按學校規定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】4名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有種，
其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有種，
由古典概型的概率計算公式可得，按學校規定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為，
故選：C.
8．第十四屆“中華人民共和國全國人民代表大會”和“中國人民政治協商會議”分別于2023年3月5日和3月4日勝利召開，為實現新時代新征程的目標任務匯聚智慧和力量．某市計劃開展“學兩會，爭當新時代先鋒”知識競賽活動．某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機選取4人組成代表隊參賽．在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，則黨員甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】記“隨機選取4人”為事件，“代表隊中既有黨員又有民主黨派人士”為事件A，“黨員甲被選中”為事件B，
則可得，
則，
故在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，則黨員甲被選中的概率為.
故選：C.
二、多選題
9．在的展開式中，下列結論正確的是（ ）
A．第6項和第7項的二項式系數相等 B．奇數項的二項式系數和為256
C．常數項為84 D．有理項有2項
【答案】BC
【詳解】的展開式中共有10項，由二項式系數的性質可得展開式中的第5項和第6項的二項式系數相等，故A錯誤；
由已知可得二項式系數之和為，且展開式中奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，
所以奇數項的二項式系數和為，故B正確；
展開式的通項為 ，令，解得．
故常數項為，故C正確；
有理項中x的指數為整數，故，2，4，6，8，故有理項有5項，故D錯誤．
故選：BC
10．已知，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【詳解】，
展開式的通項為，
對選項A：令，可得，正確；
對選項B：，所以，正確；
對選項C：令，可得，錯誤；
對選項D：，兩邊同時求導，得，令，，正確．
故選：ABD
11．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．事件B與事件相互獨立 D．、、兩兩互斥
【答案】BD
【詳解】A選項，，，，
故，A錯誤；
B選項，，故，B正確；
C選項，因為，故，所以事件B與事件不相互獨立，C錯誤；
D選項，因為，故、、兩兩互斥，D正確.
故選：BD
12．爆竹聲聲辭舊歲，銀花朵朵賀新春．除夕夜里小光用3D投影為家人進行虛擬現實表演，表演分為“燃爆竹、放煙花、辭舊歲、迎新春”4個環節．小光按照以上4個環節的先后順序進行表演，每個環節表演一次．假設各環節是否表演成功互不影響，若每個環節表演成功的概率均為，則（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹環節”與事件“成功表演辭舊歲環節”互斥
B．“放煙花”、“迎新春”環節均表演成功的概率為
C．表演成功的環節個數的期望為3
D．在表演成功的環節恰為3個的條件下“迎新春”環節表演成功的概率為
【答案】BCD
【詳解】事件“成功表演燃爆竹環節”與事件“成功表演辭舊歲環節”可以同時發生，故不互斥，A錯誤；
“放煙花”、“迎新春”環節均表演成功的概率為，B正確；
記表演成功的環節個數為X，則，期望為，C正確；
記事件M：“表演成功的環節恰為3個”，事件N：“迎新春環節表演成功”.
，
由條件概率公式，D正確，
故選：BCD
二、隨機變量及其分布列
熱點一 分布列的性質及應用
離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
熱點二 隨機變量的分布列
1.二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2.超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·.
熱點三 正態分布
解決正態分布問題的三個關鍵點
(1)對稱軸x＝μ.
(2)樣本標準差σ.
(3)分布區間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區間.
二 隨機變量及其分布列
一、單選題
1．某班級有50名學生，期末考試數學成績服從正態分布，已，則的學生人數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】D
【詳解】因為期末考試數學成績服從正態分布，所以期末考試數學成績關于對稱，
則，所以，
所以的學生人數為：人.
故選：D.
2．在某個獨立重復實驗中，事件，相互獨立，且在一次實驗中，事件發生的概率為，事件發生的概率為，其中．若進行次實驗，記事件發生的次數為，事件發生的次數為，事件發生的次數為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由已知，，∴，，
，∴，，
∵事件，相互獨立，
∴一次實驗中，，同時發生的概率，
∴，
∴，，
對于A，，，
不一定成立，故選項A說法不正確；
對于B，，，
，不一定成立，故選項B說法不正確；
對于C，，，
成立，故選項C說法正確；
對于D，，，
不一定成立，故選項D說法不正確.
故選：C.
3．新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業為調查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機調查得到了1200個樣本，據統計該型號新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（ ）
A．180輛 B．360輛 C．600輛 D．840輛
【答案】A
【詳解】因為，且，
所以，
所以樣本中耗電量不小于的汽車大約（輛）.
故選：A.
4．設，這兩個正態分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是（ ）
A．對任意實數，
B．對任意實數，
C．
D．
【答案】B
【詳解】依題意，由圖可得，
對任意實數，，
因為，
所以，故A錯誤，B正確；
，故C錯誤；
因為，所以，故D錯誤；
故選：B.
5．下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于
B．設，且，則
C．線性回歸直線一定經過樣本點的中心
D．隨機變量，若，則
【答案】B
【詳解】根據相關系數的意義可知，兩個隨機變量的線性相關性越強，
相關系數的絕對值越接近于，
故A正確；
由，知，
即概率密度函數的圖像關于直線對稱，
所以，
則，
故B錯誤；
根據線性回歸直線的性質可知，
線性回歸直線一定經過樣本點的中心，
故C正確；
隨機變量，若，
則，
故D正確；
故選：B.
6．某地區有20000名考生參加了高三第二次調研考試．經過數據分析，數學成績X近似服從正態分布，則數學成績位于[80，88]的人數約為（ ）
參考數據：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
【答案】B
【詳解】由題意可知，，
則數學成績位于[80，88]的人數約為.
故選：B
7．某種品牌手機的電池使用壽命X（單位：年）服從正態分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機電池至少使用6年的概率為（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1
【答案】D
【詳解】由題得：，故，
因為，所以根據對稱性得：.
故選：D.
8．法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．假設面包師的說法是真實的，記隨機購買一個面包的質量為X，若，則買一個面包的質量大于900g的概率為（ ）
（附：①隨機變量服從正態分布，則，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【詳解】由題意得，
故面包的質量大于900g的概率為.
故選：C
二、多選題
9．已知隨機變量X服從二項分布，隨機變量，則下列說法正確的是（ ）
A．隨機變量X的數學期望 B．
C．隨機變量X的方差 D．隨機變量Y的方差
【答案】AC
【詳解】因為X服從二項分布，
故，，故選項A，C正確；
又，故B選項錯誤，
又，則，故選項D錯誤.
故選：AC.
10．隨機變量且，隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】解：因為且，
所以，故，，選項A正確，選項B錯誤；
因為，所以，
所以，解得，選項C正確；
，選項D正確.
故選：ACD.
11．李明每天7：00從家里出發去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，則（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車
D．李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車
【答案】BCD
【詳解】A.由條件可知，，根據對稱性可知，故A錯誤；
B., ，所以，故B正確；
C. =，所以，故C正確；
D. ，，所以，故D正確.
故選：BCD
12．假設某廠有兩條包裝食鹽的生產線甲、乙，生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽質量服從正態分布（單位：g），生產線乙正常情況下生產出來包裝食鹽質量為xg，隨機變量x服從正態密度函數，其中，則（ ）
附：隨機變量，則，，．
A．正常情況下，從生產線甲任意抽取一包食鹽，質量小于485g的概率為0.15%
B．生產線乙的食鹽質量
C．生產線乙產出的包裝食鹽一定比生產線甲產出的包裝食鹽質量重
D．生產線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質量均大于515g，于是判斷出該生產線出現異常是合理的
【答案】AD
【詳解】由條件可知，設生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽的質量為，
其中，其中，，
則，故A正確；
B. 隨機變量x服從正態密度函數，可知，，，
所以生產線乙的食鹽質量，故B錯誤；
C.不一定，可能小概率事件發生，生產線乙產出的包裝食鹽比生產線甲產出的包裝食鹽質量輕，故C錯誤；
D. ，說明生產線甲抽到質量大于515g的可能性很低，所以隨機抽取兩包質量均大于515g，說明判斷出該生產線出現異常是合理的，故D正確.
故選：AD
三、解答題
13．學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班，假設每名候選人都有相同的機會被選到．
(1)求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；
(2)用X表示選中的候選人中來自甲班的人數，求；
(3)求（2）中X的分布列及數學期望．
【詳解】（1）記事件A為恰有1名甲班的候選人被選中，則．
（2）．
（3）由題可知X＝0，1，2，3，4，X服從超幾何分布，，，，，．故X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P
．
14．網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇．某小區物業對本小區三月份參與網購生鮮蔬菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖：
假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響·
(1)從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；
(2)從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數為X，估計X的數學期望；
(3)從A組和B組中分別隨機抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差與的大小．（結論不要求證明）
【詳解】（1）設“該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20”為事件，在組10戶中超過20次的有3戶，由樣本頻率估計總體概率，則.
（2）由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，二單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，X的可能取值為0，1，2，所以，
，，
，．
（3）依題可知，，的可能取值為0，1，2，且，服從超幾何分布，
，，，
，，，
因為，，所以，
，
，所以，．
15．2022世界機器人大會在北京召開，來自各個領域的參展機器人給參觀者帶來了不同的高科技體驗．現有A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人，其工作程序依次分為三個步驟：分撿，歸類，處理，每個步驟完成后進入下一步驟．若分撿步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為20分，若歸類步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為30分，若處理步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為50分．若各步驟完成但效能沒有達到95%，則該步驟得分為0分，在第三個步驟完成后，機器人停止工作．現已知A款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率依次為，，，B款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率均為，每款機器人完成每個步驟且效能是否達到95%及以上都相互獨立．
(1)求B款機器人只有一個步驟的效能達到95%及以上的概率；
(2)若準備在A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人中選擇一款機器人，從最后總得分的期望角度來分析，你會選擇哪一種型號？
【詳解】（1）記“B款機器人只有一個步驟的效能達到及以上”為事件，
則．
（2）設款機器人完成所有工作總得分為，
則的可能取值為，
所以，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 20 30 50 70 80 100
則．
設款機器人完成所有工作總得分為，
則的可能取值為，
所以，
，
所以的分布列為：
0 20 30 50 70 80 100
則
因為，
所以，
所以從最后總得分的期望角度來分析，應該選擇種型號的機器人．
三、統計與成對數據的統計分析
熱點一 用樣本估計總體
1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×.
2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數.
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數.
(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和相等.
(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
熱點二 回歸分析
求經驗回歸方程的步驟
(1)依據成對樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略).
(2)計算出，，x，xiyi的值.
(3)計算，.
(4)寫出經驗回歸方程.
熱點三 獨立性檢驗
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據列2×2列聯表；
(2)根據公式χ2＝，計算χ2的值；
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統計判斷.χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
三 統計與成對數據的統計分析
一、單選題
1．已知一組數據的方差為1，則數據的方差為（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】D
【詳解】設數據的平均數為，則，
數據的平均數為，
數據的方差為，
數據的方差
，解得，
所以數據的方差為.
故選：D
2．某企業為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業的營銷部門和研發部門抽取部分員工體檢，已知該企業營銷部門和研發部門的員工人數之比是4：1且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數比研發部門的人數多72，則參加體檢的人數是（ ）
A．90 B．96 C．102 D．120
【答案】D
【詳解】設參加體檢的人數是，則，解得．
故選：D
3．某校1000名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．頻率分布直方圖中的值為0.004
B．估計這20名學生考試成績的第60百分位數為75
C．估計這20名學生數學考試成績的眾數為80
D．估計總體中成績落在內的學生人數為150
【答案】D
【詳解】由可得，故A錯誤；
前三個矩形的面積和為，所以這20名學生數學考試成績的第60百分位數為80，故B錯誤；
這20名學生數學考試成績的眾數為75，故C錯誤；
總體中成績落在內的學生人數為，故D正確.
故選：D
4．如圖，一組數據，的平均數為5，方差為，去除，這兩個數據后，平均數為，方差為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【詳解】由題意可得：，則，
故，
∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數據后，整體波動性減小，故.
故選：D.
5．某市質量檢測部門從轄區內甲、乙兩個地區的食品生產企業中分別隨機抽取9家企業，根據食品安全管理考核指標對抽到的企業進行考核，并將各企業考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結論中正確是（ ）
A．若，則甲地區考核得分的極差大于乙地區考核得分的極差
B．若，則甲地區考核得分的平均數小于乙地區考核得分的平均數
C．若，則甲地區考核得分的方差小于乙地區考核得分的方差
D．若，則甲地區考核得分的中位數小于乙地區考核得分的中位數
【答案】C
【詳解】對于A：甲地區考核得分的極差為，乙地區考核得分的極差為，
即甲地區考核得分的極差小于乙地區考核得分的極差，故A錯誤；
對于B：甲地區考核得分的平均數為
乙地區考核得分的平均數為，
即甲地區考核得分的平均數大于乙地區考核得分的平均數，故B錯誤；
對于C：甲地區考核得分從小到大排列為：75，78，81，84，85，88，92，93，94
乙地區考核得分從小到大排列為：74，77，80，83，84，87，91，95，99
由以上數據可知，乙地區考核得分的波動程度比甲地區考核得分的波動程度大，
即甲地區考核得分的方差小于乙地區考核得分的方差，故C正確；
對于D：由莖葉圖可知，甲地區考核得分的中位數為，乙地區考核得分的中位數為，則甲地區考核得分的中位數大于乙地區考核得分的中位數，故D錯誤；
故選：C
6．下列關于統計概率知識的判斷，正確的是（ ）
A．將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為和，且已知，則總體方差
B．在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數越接近于1
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：；乙組：，若這兩組數據的第30百分位數 第50百分位數都分別對應相等，則
【答案】C
【詳解】對于A項，總體方差與樣本容量有關，故A項錯誤；
對于B項，相關性越強，越接近于1；故B項錯誤；
對于C項，若，則，所以，故C項正確；
對于D項，甲組：第30百分位數為30，第50百分位數為，乙組：第30百分位數為，第50百分位數為，
所以，解得：，故.故D項錯誤.
故選：C.
7．若數據，，…，的平均數為2，方差為3，則下列說法錯誤的是（ ）
A．數據，，…，的平均數為9 B．
C．數據，，…，的方差為 D．
【答案】C
【詳解】A：由原數據期望，則新數據期望，正確；
B：，正確；
C：由原數據方差，則新數據期望，錯誤；
D：由，
所以，正確.
故選：C
8．在研究急剎車的停車距離問題時，通常假定停車距離等于反應距離（，單位：m）與制動距離（，單位：m）之和.如圖為某實驗所測得的數據，其中“KPH”表示剎車時汽車的初速度（單位：km/h）.根據實驗數據可以推測，下面四組函數中最適合描述，與的函數關系的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】設，.
由圖象知，過點，，，，，，，，，，，，，，.
作出散點圖，如圖1.
由圖1可得，與呈現線性關系，可選擇用.
過點，，，，，，，，，，，，，，.
作出散點圖，如圖2.
由圖2可得，與呈現非線性關系，比較之下，可選擇用.
故選：B.
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．數據5，7，8，11，10，15，20的中位數為11
B．一組數據7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數為18.5
C．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則這3個數能構成直角三角形三邊長的概率為0.1
D．設隨機事件和，已知，，，則
【答案】BCD
【詳解】對于A，選項中的數據按從小到大順序排列為，
故中位數為10，故A錯誤；
對于B，選項中的數據共有10個數，，
即第8個數與第9個數的平均數為18.5，則這組數據的第80百分位數是18.5，故B正確；
對于C，只有3，4，5這三個數符合，則，故C正確；
對于D，由全概率公式，
故D正確.
故選：BCD.
10．為了加強學生對黨的二十大精神的學習，某大學開展了形式靈活的學習活動．隨后組織該校大一學生參加二十大知識測試（滿分：100分），隨機抽取200名學生的測試成績，這200名學生的成績都在區間內，將其分成5組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．根據此頻率分布直方圖，視頻率為概率，同一組中的數據用該組區間的中點值為代表，則（ ）
A．該校學生測試成績不低于76分的學生比例估計為76%
B．該校學生測試成績的中位數估計值為80
C．該校學生測試成績的平均數大于學生測試成績的眾數
D．從該校學生中隨機抽取2人，則這2人的成績不低于84分的概率估計值為0.16
【答案】ACD
【詳解】由題圖可知，，所以．該校學生測試成績不低于76分的學生比例估計為，A正確．
該校學生測試成績在內的頻率為，測試成績在內的頻率為，所以學生測試成績的中位數在區間內．設中位數為分，則，解得，B錯誤．
該校學生測試成績的平均數估計值為
．又知該校學生測試成績的眾數估計值為，故該校學生測試成績的平均數大于學生測試成績的眾數，C正確．
從該校學生中隨機抽取1人，此人成績在內的概率為，故從該校學生中隨機抽取2人，這2人的成績不低于84分的概率估計值為，D正確．
故選：ACD．
11．隨著生活水平的不斷提高，旅游已經成為人們生活的一部分．某地旅游部門從2022年到該地旅游的游客中隨機抽取10000位游客進行調查，得到各年齡段游客的人數和旅游方式，如圖所示，則（ ）
A．估計2022年到該地旅游的游客中中年人和青年人占游客總人數的80%
B．估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的游客占游客總人數的26.25%
C．估計2022年到該地旅游且選擇自助游的游客中青年人超過一半
D．估計2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的青年人比到該地旅游的老年人還要多
【答案】ABC
【詳解】設2022年到該地旅游的游客總人數為，
由題意可知游客中老年人、中年人、青年人的人數分別為，，，
其中選擇自助游的老年人、中年人、青年人的人數分別為，，，
所以2022年到該地旅游的游客中中年人和青年人的人數為，所以A正確；
因為2022年到該地旅游的游客選擇自助游的人數，
所以B正確；
因為2022年到該地旅游且選擇自助游的游客的人數為，其中青年人的人數為，所以C正確；
因為2022年到該地旅游的游客中選擇自助游的青年人的人數為，而到該地旅游的老年人的人數為，所以D錯誤．
故選：ABC.
12．如圖為國家統計局于2022年12月27日發布的有關數據，則（ ）
A．營業收入增速的中位數為 B．營業收入增速極差為
C．利潤總額增速越來越小 D．利潤總額增速的平均數大于
【答案】ABD
【詳解】由表中數據易知營業收入增速的中位數為，故選項正確；
營業收入增速的極差為，故選項正確；
利潤總額增速2022年1-3月累計比2022年1-2月累計上升，故選項錯誤；
利潤總額增速的平均數
，故選項正確；
故選：.
三、解答題
13．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發現小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立．
抗體 指標值 合計
小于60 不小于60
有抗體
沒有抗體
合計
(1)填寫下面的2×2列聯表，并根據列聯表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關．（單位：只）
(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小自鼠產生抗體．
（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p；
（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量X．試驗后統計數據顯示，當X =99時，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗的人數n．
參考公式：（其中為樣本容量）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：
在內有（只）；
在內有（只）；
在內有（只）；
在內有（只），
在內有（只）．
由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；
而指標值小于60的小白鼠共有只，
所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，
同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，
故列聯表如下：單位：只
抗體 指標值 合計
小于60 不小于60
有抗體 50 110 160
沒有抗體 20 20 40
合計 70 130 200
零假設為:注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯．
根據列聯表中數據，得，
根據的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關，
此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產生抗體’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”，
記事件A，B，C發生的概率分別為，
則，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率，
（ii）由題意，知隨機變量，
，
因為最大，
所以，
解得
是整數，所以或，
接受接種試驗的人數為109或110．
14．某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數據：
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 a b c 0.07 0.06
材積量 0.25 0.41 0.22 0.54 0.53 0.34 0.35 0.39 0.43 0.44 0.39
其中a，b，c為等差數列，并計算得：，，．
(1)求b的值；
(2)若選取前6個樣本號對應數據，判斷這種樹木的根部橫截面積與材積量是否具有很強的線性相關性，并求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程（若，則認為兩個變量的線性相關性一般；若，則認為兩個變量的線性相關性很強）；
附：相關系數，
回歸直線中，，．
(3)根據回歸直線方程估計a，c的值（精確到0.01）．
【詳解】（1）由a，b，c為等差數列，得，由表格得該樹木根部橫截面積的平均值為，
可得，
故，解得．
（2）由已知得，
，
相關系數，故這種樹木的根部橫截面積與材積量具有很強的線性相關性．
，，
所以該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程為．
（3）由表格數據可得，根部橫截面積為a，c時對應的材積量分別為，，
代入回歸直線方程分別得，，解得，．
1壓軸題06 統計與概率壓軸題
題型/考向一：統計與概率
題型/考向二：統計案例
一、統計與概率
熱點一 用樣本估計總體
1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×.
2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數.
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數.
(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和相等.
(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
熱點二 概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．條件概率公式
設A，B為隨機事件，且P(A)＞0，
則P(B|A)＝.
3．全概率公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
一 統計與概率
一、單選題
1．對某校中學學生的身高進行統計，并將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），則該校學生身高數據的中位數為（ ）
A．165 B．165.75 C．166 D．166.25
2．如圖，一組數據，的平均數為5，方差為，去除，這兩個數據后，平均數為，方差為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知數據是某市個普通職工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，組成個數據，則下列說法正確的是（ ）
A．年收入的平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變
B．年收入的平均數大大增加，中位數可能不變，方差變大
C．年收入的平均數大大增加，中位數可能不變，方差變小
D．年收入的平均數大大增加，中位數一定變大，方差可能不變
4．甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（圖1），莖葉圖中甲的得分有部分數據丟失，但甲得分的折線圖（圖2）完好，則（ ）
A．甲的單場平均得分比乙低 B．乙的60%分位數為19
C．甲、乙的極差均為11 D．乙得分的中位數是16.5
5．某省普通高中學業水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績根據學生考試時的原始卷面分數，由高到低進行排序，評定為五個等級.某高中2022年參加“選擇考”總人數是2020年參加“選擇考”總人數的2倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平，統計了該校2020年和2022年“選擇考”成績等級結果，得到如下統計圖.針對該校“選擇考”情況，2022年與2020年比較，下列說法正確的是（ ）
A．獲得A等級的人數減少了 B．獲得B等級的人數增加了1.5倍
C．獲得D等級的人數減少了一半 D．獲得E等級的人數相同
6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個素數中，任取2個不同的數，則這兩個數之和仍為素數的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．2022年11月30日，神舟十五號、神舟十四號乘組在太空“勝利會師”，在中國人自己的“太空家園”里留下了一張足以載入史冊的太空合影.某班級開展了關于太空知識的分享交流活動，活動中有2名男生、3名女生發言，活動后從這5人中任選2人進行采訪，則這2人中至少有1名男生的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．不透明箱子中裝有大小相同標號為1，2，3，4，5的5個冰墩墩（北京冬奧會吉祥物），隨機抽取2個冰墩墩，則被抽到的2個冰墩墩標號相鄰的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．如圖是國家統計局公布的2021年5月至2021年12月的規模以上工業日均發電量的月度走勢情況，則（ ）．
A．2021年7月至2021年10月，規模以上工業月度日均發電量呈現下降趨勢
B．2021年5月至2021年12月，規模以上工業月度日均發電量的中位數為228
C．2021年11月，規模以上工業發電總量約為6758億千瓦時
D．從2021年5月至2021年12月中隨機抽取2個月份，規模以上工業月度日均發電量都超過230億千瓦時的概率為
10．樹人中學班某科研小組，持續跟蹤調查了他們班全體同學一學期中周鍛煉身體的時長，經過整理得到男生、女生各周鍛煉身體的平均時長（單位：）的數據如下：
男生：、、、、、、、、、、、、、、、；
女生：、、、、、、、、、、、、、、、.
以下判斷中正確的是（ ）
A．女生每周鍛煉身體的平均時長的平均值等于
B．男生每周鍛煉身體的平均時長的分位數是
C．男生每周鍛煉身體的平均時長大于的概率的估計值為
D．與男生相比，女生每周鍛煉身體的平均時長波動性比較大
11．已知甲袋內有a個紅球，b個黑球，乙袋內有b個紅球，a個黑球，從甲、乙兩袋內各隨機取出1個球，記事件“取出的2個球中恰有1個紅球”，“取出的2個球都是紅球”，“取出的2個球都是黑球”，則（ ）
A． B．
C． D．
12．某中學為了能充分調動學生對學術科技的積極性，鼓勵更多的學生參與到學術科技之中，提升學生的創新意識，該學校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學校做兩場專題講座．學校有東、西兩個禮堂，第一次講座地點的安排不影響下一次講座的安排，假設選擇東、西兩個禮堂作為講座地點是等可能的，則下列敘述正確的是（ ）
A．兩次講座都在東禮堂的概率是
B．兩次講座安排在東、西禮堂各一場的概率是
C．兩次講座中至少有一次安排在東禮堂的概率是
D．若第一次講座安排在東禮堂，下一次講座安排在西禮堂的概率是
三、解答題
13．春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策” ．某路橋公司為了解春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點發現大年初三上午9：20~10：40這一時間段內有600輛車通過，將其通過該收費點的時刻繪成頻率分布直方圖．其中時間段9：20~9：40記作區間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點04分，記作時刻64．
(1)估計這600輛車在9：20~10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取5輛，再從這5輛車中隨機抽取3輛，則恰有1輛為9：20~10：00之間通過的概率是多少？
14．我國某醫藥研究所在針對某種世界疾病難題的解決方案中提到了中醫療法，為證實此方法的效用，該研究所購進若干副某種中草藥，現按照每副該中草藥的重量大小（單位：克）分為4組：，，，，并繪制頻率分布直方圖如下所示：
(1)估計每副該中草藥的平均重量（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）；
(2)現從每副重量在，內的中草藥中按照分層抽樣的方式一共抽取6副該中草藥，再從這6副中草藥中隨機取出2副進行分析，求取出的2副中僅有1副重量在中的概率．
二、統計案例
熱點一 回歸分析
求經驗回歸方程的步驟
(1)依據成對樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略).
(2)計算出，，x，xiyi的值.
(3)計算，.
(4)寫出經驗回歸方程.
熱點二 獨立性檢驗
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據列2×2列聯表；
(2)根據公式χ2＝，計算χ2的值；
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統計判斷.χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
二 統計案例
一、單選題
1．以模型去擬合一組數據時，設，將其變換后得到線性回歸方程，則（ ）
A． B． C． D．e
2．下列說法正確的有（ ）
①對于分類變量與，它們的隨機變量的觀測值越大，說明“與有關系”的把握越大；
②我校高一、高二、高三共有學生人，其中高三有人.為調查需要，用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為的樣本，那么應從高三年級抽取人；
③若數據、、、的方差為，則另一組數據、、、的方差為；
④把六進制數轉換成十進制數為：.
A．①④ B．①② C．③④ D．①③
3．給出以下四個命題：
①在回歸分析中，可用相關指數的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；
②回歸模型中離差是實際值與估計值的差，離差點所在的帶狀區域寬度越窄，說明模型擬合精度越高；
③在一組樣本數據（，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的線性相關系數為；
④對分類變量與的統計量來說，值越小，判斷“與有關系”的把握程度越大.
其中，真命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖是近十年來全國城鎮人口、鄉村人口的折線圖（數據來自國家統計局）．
根據該折線圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．城鎮人口與年份呈現正相關 B．鄉村人口與年份的相關系數接近
C．城鎮人口逐年增長率大致相同 D．可預測鄉村人口仍呈現下降趨勢
5．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關數據如表所示，
6 8 10 12
6 m 3 2
則下列說法中錯誤的有（ ）
A．變量之間呈現負相關關系 B．變量之間的相關系數
C．的值為5 D．該回歸直線必過點
6．設兩個相關變量和分別滿足下表：
若相關變量和可擬合為非線性回歸方程，則當時，的估計值為（ ）
（參考公式：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；）A． B． C． D．
7．通過隨機詢問相同數量的不同性別大學生在購買食物時是否看營養說明，得知有的男大學生“不看”，有的女大學生“不看”，若有99%的把握認為性別與是否看營養說明之間有關，則調查的總人數可能為（ ）
A．150 B．170 C．240 D．175
8．已知一組樣本數據，根據這組數據的散點圖分析x與y之間的線性相關關系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
二、多選題
9．下列關于成對數據的統計說法正確的有（ ）
A．若當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關
B．樣本相關系數r的絕對值大小可以反映成對樣本數據之間線性相關的程度
C．通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據
D．決定系數越大，模型的擬合效果越差
10．某服裝生產商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如下表所示：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
體重/kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由表中數據制作成如下所示的散點圖：
由最小二乘法計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為；經過殘差分析確定為離群點（對應殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數據計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為．則以下結論中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命題中為真命題的是（ ）
A．用最小二乘法求得的一元線性回歸模型的殘差和一定是0．
B．一組數按照從小到大排列后為：，，…，，計算得：，則這組數的25%分位數是．
C．在分層抽樣時，如果知道各層的樣本量、各層的樣本均值及各層的樣本方差，可以計算得出所有數據的樣本均值和方差．
D．從統計量中得知有97%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指推斷有3%的可能性出現錯誤．
12．給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．某病8位患者的潛伏期（天）分別為3，3，8，4，2，7，10，18，則它們的第50百分位數為
B．已知數據的平均數為2，方差為3，那么數據，，的平均數和方差分別為5，13
C．在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯一確定
D．樣本相關系數
三、解答題
13．國家發改委和住建部等六部門發布通知，提到：2025年，農村生活垃圾無害化處理水平將明顯提升.現階段我國生活垃圾有填埋 焚燒 堆肥等三種處理方式，隨著我國生態文明建設的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據國家統計局公布的數據，對2013-2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數y（單位：座）進行統計，得到如下表格：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼 1 2 3 4 5 6 7 8
垃圾焚燒無害化 處理廠的個數 y 166 188 220 249 286 331 389 463
(1)根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明（精確到0.01）；
(2)求出關于的經驗回歸方程，并預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數；
(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數，還能用（2）所求的經驗回歸方程預測嗎？請簡要說明理由.
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
參考數據：，
14．為加快推動旅游業復蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民政府規定自2023年1月21日起至3月31日在全省實施景區門票減免，全省國有A級旅游景區免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區首道門票至少半價優惠．本次門票優惠幾乎涵蓋了全省所有知名的重點景區，據統計，活動開展以來游客至少去過兩個及以上景區的人數占比約為90%．某市旅游局從游客中隨機抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實施景區門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統計得到如下不完整的列聯表：
不滿意 滿意 總計
50周歲及以下 55
50周歲以上 15
總計 100
(1)根據統計數據完成以上列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區門票減免活動是否滿意與年齡有關聯？
(2)現從本市游客中隨機抽取3人了解他們的出游情況，設其中至少去過兩個及以上景區的人數為，若以本次活動中至少去過兩個及以上景區的人數的頻率為概率．
①求的分布列和數學期望；
②求．
參考公式及數據：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
1壓軸題06 統計與概率壓軸題答案
題型/考向一：統計與概率
題型/考向二：統計案例
一、統計與概率
熱點一 用樣本估計總體
1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×.
2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數.
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數.
(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和相等.
(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
熱點二 概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．條件概率公式
設A，B為隨機事件，且P(A)＞0，
則P(B|A)＝.
3．全概率公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
一 統計與概率
一、單選題
1．對某校中學學生的身高進行統計，并將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），則該校學生身高數據的中位數為（ ）
A．165 B．165.75 C．166 D．166.25
【答案】D
【詳解】由頻率分布直方圖知，數據在的頻率依次為，
顯然中位數，則，解得，
所以該校學生身高數據的中位數為166.25.
故選：D
2．如圖，一組數據，的平均數為5，方差為，去除，這兩個數據后，平均數為，方差為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【詳解】由題意可得：，則，
故，
∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數據后，整體波動性減小，故.
故選：D.
3．已知數據是某市個普通職工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，組成個數據，則下列說法正確的是（ ）
A．年收入的平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變
B．年收入的平均數大大增加，中位數可能不變，方差變大
C．年收入的平均數大大增加，中位數可能不變，方差變小
D．年收入的平均數大大增加，中位數一定變大，方差可能不變
【答案】B
【詳解】因為數據是某市個普通職工的年收入，
而是世界首富的年收入，則會遠遠大于，
故這個數據中，年收入的平均數大大增加，中位數可能不變，也可能稍微變大，
由于數據的集中程度也受到比較大的影響，而更加離散，則方差變大.
故選:B
4．甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（圖1），莖葉圖中甲的得分有部分數據丟失，但甲得分的折線圖（圖2）完好，則（ ）
A．甲的單場平均得分比乙低 B．乙的60%分位數為19
C．甲、乙的極差均為11 D．乙得分的中位數是16.5
【答案】D
【詳解】A：由莖葉圖和直方圖，甲比賽得分為，平均得分為，
乙比賽得分為，平均得分為，甲高于乙，錯誤；
B：由，故乙的60%分位數為17，錯誤；
C：甲的極差為，乙的極差為，錯誤；
D：乙得分的中位數是，正確.
故選：D
5．某省普通高中學業水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績根據學生考試時的原始卷面分數，由高到低進行排序，評定為五個等級.某高中2022年參加“選擇考”總人數是2020年參加“選擇考”總人數的2倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平，統計了該校2020年和2022年“選擇考”成績等級結果，得到如下統計圖.針對該校“選擇考”情況，2022年與2020年比較，下列說法正確的是（ ）
A．獲得A等級的人數減少了 B．獲得B等級的人數增加了1.5倍
C．獲得D等級的人數減少了一半 D．獲得E等級的人數相同
【答案】B
【詳解】由題可知：設2020年參加選擇考的總人數為a，則2022年參加選擇考的總人數為2a人；
2020年評定為五個等級的人數為：；
2022年評定為五個等級的人數為∶；
由此可知獲得A等級的人數增加了，A錯誤；
由于，即獲得B等級的人數增加了1.5倍，B正確；
獲得D等級的人數增加了，C錯誤；
獲得E等級的人數增加了1倍，D錯誤；
故選∶B．
6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個素數中，任取2個不同的數，則這兩個數之和仍為素數的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】這8個素數中，任取2個不同的數，有如下基本事件：
共有28個基本事件，
這兩個數之和仍為素數的基本事件有：共4個，
所以這兩個數之和仍為素數的概率是，
故選:C.
7．2022年11月30日，神舟十五號、神舟十四號乘組在太空“勝利會師”，在中國人自己的“太空家園”里留下了一張足以載入史冊的太空合影.某班級開展了關于太空知識的分享交流活動，活動中有2名男生、3名女生發言，活動后從這5人中任選2人進行采訪，則這2人中至少有1名男生的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】記2名男生為，記3名女生為，
從5人中任選2人的試驗含有的基本事件為，共10個結果，
其中至少有1名男生的事件M含有的基本事件為，共7個結果，
所以這2人中至少有1名男生的概率.
故選：D
8．不透明箱子中裝有大小相同標號為1，2，3，4，5的5個冰墩墩（北京冬奧會吉祥物），隨機抽取2個冰墩墩，則被抽到的2個冰墩墩標號相鄰的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：根據題意，隨機取出的2個冰墩墩的編號的可能情況有：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共10種；
其中被抽到的2個冰墩墩標號相鄰的情況有：12,23,34,45，共4種；
所以，被抽到的2個冰墩墩標號相鄰的概率是.
故選：B
二、多選題
9．如圖是國家統計局公布的2021年5月至2021年12月的規模以上工業日均發電量的月度走勢情況，則（ ）．
A．2021年7月至2021年10月，規模以上工業月度日均發電量呈現下降趨勢
B．2021年5月至2021年12月，規模以上工業月度日均發電量的中位數為228
C．2021年11月，規模以上工業發電總量約為6758億千瓦時
D．從2021年5月至2021年12月中隨機抽取2個月份，規模以上工業月度日均發電量都超過230億千瓦時的概率為
【答案】AD
【詳解】由圖可知，2021年7月至2021年10月，規模以上工業月度日均發電量數據由大變小，故A正確；
將2021年5月至2021年12月的月度日均發電量的數據從小到大排序，第4個數為225，第5個數為228.7，則所求中位數為226.85，故B錯誤；
2021年11月，規模以上工業發電總量為億千瓦時，故C錯誤；
從2021年5月至2021年12月中隨機抽取2個月份，規模以上工業月度日均發電量都超過230億千瓦時的概率為，故D正確．
故選：AD
10．樹人中學班某科研小組，持續跟蹤調查了他們班全體同學一學期中周鍛煉身體的時長，經過整理得到男生、女生各周鍛煉身體的平均時長（單位：）的數據如下：
男生：、、、、、、、、、、、、、、、；
女生：、、、、、、、、、、、、、、、.
以下判斷中正確的是（ ）
A．女生每周鍛煉身體的平均時長的平均值等于
B．男生每周鍛煉身體的平均時長的分位數是
C．男生每周鍛煉身體的平均時長大于的概率的估計值為
D．與男生相比，女生每周鍛煉身體的平均時長波動性比較大
【答案】BD
【詳解】對于A選項，由平均數公式可知，
女生每周鍛煉身體的平均時長的平均值等于
，A錯；
對于B選項，因為，
因此，男生每周鍛煉身體的平均時長的分位數是，B對；
對于C選項，男生每周鍛煉身體的平均時長大于的有周，
所求概率為，C錯；
對于D選項，男生每周鍛煉身體的平均時長分布在區間內共有個，女生有個，
男生每周鍛煉身體的平均時長分布在區間內的共個，女生為個，
男生每周鍛煉身體的平均時長的極差為，女生為，
據此可知與男生相比，女生每周鍛煉身體的平均時長波動性比較大，
所以，與男生相比，女生每周鍛煉身體的平均時長波動性比較大，D對.
故選：BD.
11．已知甲袋內有a個紅球，b個黑球，乙袋內有b個紅球，a個黑球，從甲、乙兩袋內各隨機取出1個球，記事件“取出的2個球中恰有1個紅球”，“取出的2個球都是紅球”，“取出的2個球都是黑球”，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】解：若取出的2個球為1個紅球1個黑球，其概率，
若2個球都是紅球，其概率，
若2個球都是黑球，其概率，且，
故B正確，C錯誤；
而，故A錯誤；
，D正確，
故選：BD．
12．某中學為了能充分調動學生對學術科技的積極性，鼓勵更多的學生參與到學術科技之中，提升學生的創新意識，該學校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學校做兩場專題講座．學校有東、西兩個禮堂，第一次講座地點的安排不影響下一次講座的安排，假設選擇東、西兩個禮堂作為講座地點是等可能的，則下列敘述正確的是（ ）
A．兩次講座都在東禮堂的概率是
B．兩次講座安排在東、西禮堂各一場的概率是
C．兩次講座中至少有一次安排在東禮堂的概率是
D．若第一次講座安排在東禮堂，下一次講座安排在西禮堂的概率是
【答案】ABC
【詳解】總的情況有種，兩次講座都在東禮堂有1種情況，所以的概率是，故A正確；
兩次講座安排在東、西禮堂各一場有第一次安排在東禮堂，第二次安排在西禮堂和第一次安排在西禮堂，第二次安排在東禮堂兩種情況，所以概率是，故B正確；
兩次講座至少有一次安排在東禮堂的對立事件為兩次講座都安排在西禮堂，所以概率是，故C正確；
第一次講座安排在東禮堂，下一次講座安排在西禮堂的概率是，故D錯.
故選：ABC.
三、解答題
13．春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策” ．某路橋公司為了解春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點發現大年初三上午9：20~10：40這一時間段內有600輛車通過，將其通過該收費點的時刻繪成頻率分布直方圖．其中時間段9：20~9：40記作區間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點04分，記作時刻64．
(1)估計這600輛車在9：20~10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取5輛，再從這5輛車中隨機抽取3輛，則恰有1輛為9：20~10：00之間通過的概率是多少？
【詳解】（1）這600輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值為，即：10點04分.
（2）由題意知，時間段內抽取車輛數為，分別記為：，，
時間段內抽取車輛數為，分別記為：，，
時間段內抽取車輛數為，記為：，
所以從這5輛車中隨機抽取3輛的基本事件有：，，，，，，，，，共10個，
恰有1輛為之間通過的基本事件有：，，，，，共有6個，
所以恰有1輛為之間通過的概率為.
14．我國某醫藥研究所在針對某種世界疾病難題的解決方案中提到了中醫療法，為證實此方法的效用，該研究所購進若干副某種中草藥，現按照每副該中草藥的重量大小（單位：克）分為4組：，，，，并繪制頻率分布直方圖如下所示：
(1)估計每副該中草藥的平均重量（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）；
(2)現從每副重量在，內的中草藥中按照分層抽樣的方式一共抽取6副該中草藥，再從這6副中草藥中隨機取出2副進行分析，求取出的2副中僅有1副重量在中的概率．
【詳解】（1）根據題意可得（克），
所以每副該中草藥的平均重量約為32克．
（2）因為重量在的頻率為，
重量在的頻率為，
所以按照分層抽樣的方式，取出的6副該中草藥中重量在中的有4副，
重量在中的有2副，
所以從這6副中草藥中隨機取出2副有種方法，
滿足取出的2副中僅有1副重量在中（記為事件A）有種方法，
所以．
故取出的2副中僅有1副重量在中的概率為．
二、統計案例
熱點一 回歸分析
求經驗回歸方程的步驟
(1)依據成對樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略).
(2)計算出，，x，xiyi的值.
(3)計算，.
(4)寫出經驗回歸方程.
熱點二 獨立性檢驗
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據列2×2列聯表；
(2)根據公式χ2＝，計算χ2的值；
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統計判斷.χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
二 統計案例
一、單選題
1．以模型去擬合一組數據時，設，將其變換后得到線性回歸方程，則（ ）
A． B． C． D．e
【答案】C
【詳解】因為，所以，
令，所以，即.
故選：C
2．下列說法正確的有（ ）
①對于分類變量與，它們的隨機變量的觀測值越大，說明“與有關系”的把握越大；
②我校高一、高二、高三共有學生人，其中高三有人.為調查需要，用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為的樣本，那么應從高三年級抽取人；
③若數據、、、的方差為，則另一組數據、、、的方差為；
④把六進制數轉換成十進制數為：.
A．①④ B．①② C．③④ D．①③
【答案】A
【詳解】對于①，對于分類變量與，它們的隨機變量的觀測值越大，說明“與有關系”的把握越大，①對；
對于②，由分層抽樣可知，應從高三年級抽取的人數為，②錯；
對于③，記，則，
所以，數據、、、的平均數為
，
其方差為
，③錯；
對于④，把六進制數轉換成十進制數為：，④對.
故選：A.
3．給出以下四個命題：
①在回歸分析中，可用相關指數的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；
②回歸模型中離差是實際值與估計值的差，離差點所在的帶狀區域寬度越窄，說明模型擬合精度越高；
③在一組樣本數據（，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的線性相關系數為；
④對分類變量與的統計量來說，值越小，判斷“與有關系”的把握程度越大.
其中，真命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對于①，由相關指數的定義知：越大，模型的擬合效果越好，①正確；
對于②，離差點所在的帶狀區域寬度越窄，則離差平方和越小，模型擬合精度越高，②正確；
對于③，若所有樣本點都在直線上，則線性相關系數，③錯誤；
對于④，由獨立性檢驗的思想知：值越大，“與有關系”的把握程度越大，④錯誤.
故選：B.
4．如圖是近十年來全國城鎮人口、鄉村人口的折線圖（數據來自國家統計局）．
根據該折線圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．城鎮人口與年份呈現正相關 B．鄉村人口與年份的相關系數接近
C．城鎮人口逐年增長率大致相同 D．可預測鄉村人口仍呈現下降趨勢
【答案】B
【詳解】對于A選項，由折線圖可知，城鎮人口與年份呈現正相關，A對；
對于B選項，因為鄉村人口與年份呈負線性相關關系，且線性相關性很強，所以接近，B錯；
對于C選項，城鎮人口與年份呈現正相關，且線性相關性很強，相關系數接近，
故城鎮人口逐年增長率大致相同，C對；
對于D選項，由折線圖可知，鄉村人口與年份呈負線性相關關系，可預測鄉村人口仍呈現下降趨勢，D對.
故選：B.
5．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關數據如表所示，
6 8 10 12
6 m 3 2
則下列說法中錯誤的有（ ）A．變量之間呈現負相關關系 B．變量之間的相關系數
C．的值為5 D．該回歸直線必過點
【答案】B
【詳解】對于A∶根據線性回歸方程為,可知回歸系數 ，
故判斷之間呈現負相關關系，A正確；
對于C，根據表中數據，計算， ，
代入回歸方程得 ，解得 ，C正確；
對于B︰變量之間的相關系數，B錯誤；
對于D∶由以上分析知，線性回歸方程一定過點，
∴線性回歸方程過點 ，D正確，
故選：B．
6．設兩個相關變量和分別滿足下表：
若相關變量和可擬合為非線性回歸方程，則當時，的估計值為（ ）
（參考公式：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；）A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因為非線性回歸方程為：，則有，
令，即，列出相關變量關系如下：
0 1 3 3 4
所以，，
，，
所以，
所以，所以，
即，即，因為，所以，
當時，.
故選：B
7．通過隨機詢問相同數量的不同性別大學生在購買食物時是否看營養說明，得知有的男大學生“不看”，有的女大學生“不看”，若有99%的把握認為性別與是否看營養說明之間有關，則調查的總人數可能為（ ）
A．150 B．170 C．240 D．175
【答案】C
【詳解】設男女大學生各有m人，根據題意畫出2×2列聯表，如下圖：
看 不看 合計
男 m
女 m
合計 2m
所以，因為有99%的把握認為性別與對產品是否滿意有關，所以，解得，所以總人數2m可能為240．
故選：C．
8．已知一組樣本數據，根據這組數據的散點圖分析x與y之間的線性相關關系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【詳解】把代入，得，
所以在樣本點處的殘差.
故選：B.
二、多選題
9．下列關于成對數據的統計說法正確的有（ ）
A．若當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關
B．樣本相關系數r的絕對值大小可以反映成對樣本數據之間線性相關的程度
C．通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據
D．決定系數越大，模型的擬合效果越差
【答案】ABC
【詳解】對于A，如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關，故A正確；
對于B，在回歸分析中，成對樣本數據的樣本相關系數r的絕對值越大，成對樣本數據的線性相關程度越強，故B正確；
對于C，殘差圖可以發現原始數據中的可疑數據，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C正確；
對于D，在回歸分析中，可用決定系數的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，故D錯誤．
故選：ABC．
10．某服裝生產商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如下表所示：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
體重/kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由表中數據制作成如下所示的散點圖：
由最小二乘法計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為；經過殘差分析確定為離群點（對應殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數據計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為．則以下結論中正確的有（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】身高的平均數為，
因為離群點的橫坐標168小于平均值，縱坐標89相對過大，
所以去掉離群點后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，
所以，，所以A正確，B錯誤；
去掉離群點后成對樣本數據的線性相關程度更強，擬合效果會更好，
所以，所以C正確，D錯誤．
故選：AC．
11．下列命題中為真命題的是（ ）
A．用最小二乘法求得的一元線性回歸模型的殘差和一定是0．
B．一組數按照從小到大排列后為：，，…，，計算得：，則這組數的25%分位數是．
C．在分層抽樣時，如果知道各層的樣本量、各層的樣本均值及各層的樣本方差，可以計算得出所有數據的樣本均值和方差．
D．從統計量中得知有97%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指推斷有3%的可能性出現錯誤．
【答案】ACD
【詳解】對于A，根據殘差定義及最小二乘法
故A正確；
對于B，由百分位數定義，結果應為，故B錯誤；
對于C，在分層抽樣時，如果知道各層的樣本量、各層的樣本均值及各層的樣本方差，可以計算得出所有數據的樣本均值和方差，故C正確；
對于D，從統計量中得知有97%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指推斷有3%的可能性出現錯誤，故D正確.
故選：ACD．
12．給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．某病8位患者的潛伏期（天）分別為3，3，8，4，2，7，10，18，則它們的第50百分位數為
B．已知數據的平均數為2，方差為3，那么數據，，的平均數和方差分別為5，13
C．在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯一確定
D．樣本相關系數
【答案】AC
【詳解】選項A,將3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列為2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位數即為中位數，這組數的中位數為，故A正確，
選項B,由數據的平均數為2，方差為3，則數據，，的平均數為，方差為,故B錯誤，
選項C,在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯一確定，故C正確．
選項D中，樣本的相關系數應滿足，故D錯誤．
故選:AC
三、解答題
13．國家發改委和住建部等六部門發布通知，提到：2025年，農村生活垃圾無害化處理水平將明顯提升.現階段我國生活垃圾有填埋 焚燒 堆肥等三種處理方式，隨著我國生態文明建設的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據國家統計局公布的數據，對2013-2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數y（單位：座）進行統計，得到如下表格：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼 1 2 3 4 5 6 7 8
垃圾焚燒無害化 處理廠的個數 y 166 188 220 249 286 331 389 463
(1)根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明（精確到0.01）；
(2)求出關于的經驗回歸方程，并預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數；
(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數，還能用（2）所求的經驗回歸方程預測嗎？請簡要說明理由.
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
參考數據：，
【詳解】（1）
相關系數
因為與的相關系數，接近1，所以與的線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關系.
（2）
所以與的線性回歸方程為
又2022年對應的年份代碼，當時，，
所以預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數為513.
（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數，不能由（2）所求的線性回歸方程預測，理由如下（說出一點即可）：
①線性回歸方程具有時效性，不能預測較遠情況；
②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數有可能達到上限，一段時間內不再新建；
③受國家政策的影響，可能產生新的生活垃圾無害化處理方式.
14．為加快推動旅游業復蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民政府規定自2023年1月21日起至3月31日在全省實施景區門票減免，全省國有A級旅游景區免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區首道門票至少半價優惠．本次門票優惠幾乎涵蓋了全省所有知名的重點景區，據統計，活動開展以來游客至少去過兩個及以上景區的人數占比約為90%．某市旅游局從游客中隨機抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實施景區門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統計得到如下不完整的列聯表：
不滿意 滿意 總計
50周歲及以下 55
50周歲以上 15
總計 100
(1)根據統計數據完成以上列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區門票減免活動是否滿意與年齡有關聯？
(2)現從本市游客中隨機抽取3人了解他們的出游情況，設其中至少去過兩個及以上景區的人數為，若以本次活動中至少去過兩個及以上景區的人數的頻率為概率．
①求的分布列和數學期望；
②求．
參考公式及數據：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【詳解】（1）由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，補全的列聯表如下：
不滿意 滿意 總計
50周歲及以下 5 55 60
50周歲以上 15 25 40
總計 20 80 100
則.
所以在犯錯誤的概率不超過0.001的情況下認為對全省實施景區門票減免活動是否滿意與年齡有關聯.
（2）①由題意可得，游客至少去過兩個及以上景區的概率為0.9，
則，的所有可能取值為0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
因為，所以數學期望.
②.
1

展開更多......

收起↑