資源簡介

壓軸題05 解析幾何壓軸題
題型/考向一：直線與圓、直線與圓錐曲線
題型/考向二：圓錐曲線的性質綜合
題型/考向三：圓錐曲線的綜合應用
直線與圓、直線與圓錐曲線
熱點一 直線與圓、圓與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.
判斷方法：
(1)點線距離法(幾何法).
(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組
消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離 Δ<0，直線與圓相切 Δ＝0，直線與圓相交 Δ>0.
2.圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.
熱點二 中點弦問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
(1)若橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，則k＝－·；
(2)若雙曲線E的方程為－＝1(a>0，b>0)，則k＝·；
(3)若拋物線E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝.
熱點三 弦長問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
熱點四 圓錐曲線的切線問題
1.直線與圓錐曲線相切時，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項系數不為零)的判別式為零.
2.橢圓＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)處的切線方程為＋＝1；雙曲線－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)處的切線方程為－＝1；拋物線y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)處的切線方程為y0y＝p(x＋x0).
熱點五 直線與圓錐曲線位置關系的應用
直線與圓錐曲線位置關系的判定方法
(1)聯立直線的方程與圓錐曲線的方程.
(2)消元得到關于x或y的一元二次方程.
(3)利用判別式Δ，判斷直線與圓錐曲線的位置關系.
圓錐曲線的性質綜合
熱點一 圓錐曲線的定義與標準方程
1.圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.
2.求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”
所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值.
熱點二 橢圓、雙曲線的幾何性質
1.求離心率通常有兩種方法
(1)橢圓的離心率e＝＝(01).
(2)根據條件建立關于a，b，c的齊次式，消去b后，轉化為關于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.
2.與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0).
熱點三 拋物線的幾何性質
拋物線的焦點弦的幾個常見結論：
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的傾斜角，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＋＝.
(4)以線段AB為直徑的圓與準線x＝－相切.
圓錐曲線的綜合應用
求解范圍、最值問題的常見方法
(1)利用判別式來構造不等關系.
(2)利用已知參數的范圍，在兩個參數之間建立函數關系.
(3)利用隱含或已知的不等關系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
一 直線與圓、直線與圓錐曲線
一、單選題
1．過圓上的動點作圓的兩條切線，則連接兩切點線段的長為（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．過拋物線C：的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，若，則拋物線C的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若直線與曲線恰有兩個公共點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線交于A，B兩點，則（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F且斜率為的直線與C交于A，B兩點，D為AB的中點，且于點M，AB的垂直平分線交x軸于點N，四邊形DMFN的面積為，則（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知圓，直線經過點與圓C相交于A，B兩點，且滿足關系（O為坐標原點）的點M也在圓C上，則直線的斜率為（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若四邊形為矩形，則C的離心率為（ ）
A． B．3 C． D．
二、多選題
9．在平面直角坐標系xOy中，已知圓，過原點O的直線l與圓C交于A，B兩點，則（ ）
A．當圓C與y軸相切，且直線l的斜率為1時，
B．當時，存在l，使得
C．若存在l，使得的面積為4，則r的最小值為
D．若存在兩條不同l，使得，則r的取值范圍為
10．已知，曲線，曲線，直線，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，曲線離心率為
B．當時，曲線離心率為
C．直線l與曲線有且只有一個公共點
D．存在正數m，n，使得曲線截直線l的弦長為
11．已知拋物線，過焦點的直線與交于兩點，與關于原點對稱，直線和直線的傾斜角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．
12．已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且，則下列結論正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．若是雙曲線上的動點，則滿足的點共有兩個
C．
D．內切圓的半徑為
二 圓錐曲線的性質綜合
一、單選題
1．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P為C上一點，的中點為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
3．若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A．6 B．或 C． D．或
4．已知雙曲線的實軸為4，拋物線的準線過雙曲線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
5．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，有如下說法：
①雙紐線關于原點中心對稱；
②；
③雙紐線上滿足的點有兩個；
④的最大值為.
其中所有正確的說法為（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
6．如圖所示，，是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足，與雙曲線的左支的交點A平分線段，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．已知橢圓和雙曲線的焦點相同，記左、右焦點分別為，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，設點為與在第一象限內的公共點，且滿足，若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發出的光線經過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知曲線：，則（ ）
A．當時，是雙曲線，其漸近線方程為
B．當時，是橢圓，其離心率為
C．當時，是圓，其圓心為，半徑為
D．當，時，是兩條直線
10．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖可以近似看成雙紐線，在平面直角坐標系中，把到定點和距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是雙紐線C上一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則的面積為
B．
C．雙紐線C關于原點O對稱
D．雙紐線上C滿足的點P有三個
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓內部，點N在橢圓上，橢圓C的離心率為e，則以下說法正確的是（ ）
A．離心率e的取值范圍為
B．存在點N，使得
C．當時，的最大值為
D．的最小值為1
12．已知P，Q是雙曲線上關于原點對稱的兩點，過點P作軸于點M，MQ交雙曲線于點N，設直線PQ的斜率為k，則下列說法正確的是（ ）
A．k的取值范圍是且 B．直線MN的斜率為
C．直線PN的斜率為 D．直線PN與直線QN的斜率之和的最小值為
三 圓錐曲線的綜合應用
1．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標為．求直線的方程．
2．已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F(1，0)，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線m：x＝－2相交于M，N兩點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)求證：△ABO與△MNO的面積之比為定值．
3．已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.
4．如圖，平面直角坐標系中，直線與軸的正半軸及軸的負半軸分別相交于兩點，與橢圓相交于兩點（其中在第一象限），且與關于軸對稱，延長交 圓于點.
(1)設直線的斜率分別為，證明：為定值；
(2)求直線的斜率的最小值.
5．已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點到的距離的最小值為1．
(1)求的方程；
(2)設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．
1壓軸題05 解析幾何壓軸題答案
題型/考向一：直線與圓、直線與圓錐曲線
題型/考向二：圓錐曲線的性質綜合
題型/考向三：圓錐曲線的綜合應用
直線與圓、直線與圓錐曲線
熱點一 直線與圓、圓與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.
判斷方法：
(1)點線距離法(幾何法).
(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組
消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離 Δ<0，直線與圓相切 Δ＝0，直線與圓相交 Δ>0.
2.圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.
熱點二 中點弦問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
(1)若橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，則k＝－·；
(2)若雙曲線E的方程為－＝1(a>0，b>0)，則k＝·；
(3)若拋物線E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝.
熱點三 弦長問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
熱點四 圓錐曲線的切線問題
1.直線與圓錐曲線相切時，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項系數不為零)的判別式為零.
2.橢圓＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)處的切線方程為＋＝1；雙曲線－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)處的切線方程為－＝1；拋物線y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)處的切線方程為y0y＝p(x＋x0).
熱點五 直線與圓錐曲線位置關系的應用
直線與圓錐曲線位置關系的判定方法
(1)聯立直線的方程與圓錐曲線的方程.
(2)消元得到關于x或y的一元二次方程.
(3)利用判別式Δ，判斷直線與圓錐曲線的位置關系.
圓錐曲線的性質綜合
熱點一 圓錐曲線的定義與標準方程
1.圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.
2.求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”
所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值.
熱點二 橢圓、雙曲線的幾何性質
1.求離心率通常有兩種方法
(1)橢圓的離心率e＝＝(01).
(2)根據條件建立關于a，b，c的齊次式，消去b后，轉化為關于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.
2.與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0).
熱點三 拋物線的幾何性質
拋物線的焦點弦的幾個常見結論：
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的傾斜角，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＋＝.
(4)以線段AB為直徑的圓與準線x＝－相切.
圓錐曲線的綜合應用
求解范圍、最值問題的常見方法
(1)利用判別式來構造不等關系.
(2)利用已知參數的范圍，在兩個參數之間建立函數關系.
(3)利用隱含或已知的不等關系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
一 直線與圓、直線與圓錐曲線
一、單選題
1．過圓上的動點作圓的兩條切線，則連接兩切點線段的長為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【詳解】令點P是圓上的動點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，如圖，
則，而，于是，又，
因此為正三角形，，
所以連接兩切點線段的長為.
故選：D
2．過拋物線C：的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，若，則拋物線C的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】C：的焦點，因為，且直線AB經過焦點F，故代入得：，化簡得：，
設直線的傾斜角為，則過點作軸于 軸與準線交于，所以 ，同理可得則拋物線的焦半徑公式得：，故，解得，
故拋物線的標準方程是，
故選：A.
3．若直線與曲線恰有兩個公共點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】可化為且，
即曲線是以為圓心，1為半徑的圓的下半圓，
作出曲線，如圖，
作直線，而直線與直線平行，
當直線過時，，
當直線與半圓相切時，由得舍去），
由圖象可知的取值范圍是．
故選：B．
4．已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線交于A，B兩點，則（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【詳解】因為拋物線的焦點為，則，所以拋物線方程為，
設，不妨令，
則可得，即，
所以.
故選:D
5．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F且斜率為的直線與C交于A，B兩點，D為AB的中點，且于點M，AB的垂直平分線交x軸于點N，四邊形DMFN的面積為，則（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【詳解】由題意知，直線AB的方程為．
設，由，得，
所以，所以，
由，得．
如圖所示，作軸于點E，則．
因為，
故，，
又，故，
又，得四邊形DMFN為平行四邊形．
所以其面積為，解得．
故選：A
6．已知圓，直線經過點與圓C相交于A，B兩點，且滿足關系（O為坐標原點）的點M也在圓C上，則直線的斜率為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設直線的方程為，聯立
整理得，設，．
由韋達定理得，，則，
由，點M在圓C上，可知，
所以，所以，
所以，即，
所以，解得．
故選：D.
7．已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設，的中點為，
因為都在橢圓上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因為，所以，
又因為為△BMN的重心，所以，
所以，則，
所以，整理得，即，
所以，則，
所以離心率.
故選: A.
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若四邊形為矩形，則C的離心率為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】顯然直線與交于原點O，
由雙曲線對稱性知，若四邊形是矩形，則，
設點，而
由得，解得，
則，
則，化簡得，即，，
解得，
則.
故選：C.
二、多選題
9．在平面直角坐標系xOy中，已知圓，過原點O的直線l與圓C交于A，B兩點，則（ ）
A．當圓C與y軸相切，且直線l的斜率為1時，
B．當時，存在l，使得
C．若存在l，使得的面積為4，則r的最小值為
D．若存在兩條不同l，使得，則r的取值范圍為
【答案】BC
【詳解】直線l的斜率為1且過原點，所以直線，當圓C與y軸相切時，，C到l的距離，
所以，即A錯誤；
當時， ,所以O在圓C內，若，
則C到l的距離，所以存在l符合題意，即B正確；
設的面積為S，，則，即，
所以，當且僅當時取等，即C正確；
因為存在兩條不同l，使得，則最大弦長，即，
若O在圓外或圓上，即時，顯然存在兩條，
若O在圓內，即時，最短弦長為，所以，即D錯誤．
故選：BC
10．已知，曲線，曲線，直線，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，曲線離心率為
B．當時，曲線離心率為
C．直線l與曲線有且只有一個公共點
D．存在正數m，n，使得曲線截直線l的弦長為
【答案】ACD
【詳解】當時，曲線是焦點在y軸上的橢圓，
，
離心率，故A正確．
當時，曲線是焦點在x軸上的雙曲線，
，
離心率，故B錯誤，
又，直線：過點，斜率，
雙曲線的漸近線方程為，
直線l過的一個頂點且與的漸近線平行，
所以直線l與曲線有且只有一個公共點，故C正確．
曲線：與x軸的交點是，
與y軸的交點是．
所以直線l與曲線相交，弦長為，當時，，曲線截直線l的弦長為，
故D正確，
故選：ACD．
11．已知拋物線，過焦點的直線與交于兩點，與關于原點對稱，直線和直線的傾斜角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】作軸于，作軸于，則
由，則，
拋物線的焦點，因為，所以，即，
所以直線的斜率存在設為，可得直線的方程為，
與拋物線方程聯立，整理得，所以，
則，
對于A：，所以，故A錯誤；
對于B：因為，所以，
所以直線與的傾斜角互補，即，故B正確；
對于C：因為，所以，即，因為，所以，故錯誤；
對于D：因為，所以，，所以，所以，即，故D正確，
故選：BD.
12．已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且，則下列結論正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．若是雙曲線上的動點，則滿足的點共有兩個
C．
D．內切圓的半徑為
【答案】ACD
【詳解】雙曲線中，實半軸長，虛半軸長，半焦距，焦點，
對于A，雙曲線的漸近線方程為，A正確；
對于B，設點，則，，解得或，
當時，，當時，有兩個值，即符合條件的點P有3個，B錯誤；
對于C，由雙曲線定義知，而，且，
則，即有，
因此，C正確；
對于D，由雙曲線定義知，因為，所以內切圓的半徑：
，D正確.
故選：ACD
二 圓錐曲線的性質綜合
一、單選題
1．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【詳解】設，，則，解得，，
，，
又因為，
所以有，
解得，則該雙曲線的離心率為．
故選：A
2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P為C上一點，的中點為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設雙曲線C的半焦距為．由題可知，即．
因為的中點為Q，為等邊三角形，
所以，所以，，
故，所以，，
所以，所以，所以，．
所以雙曲線C的方程為．
故選：A
3．若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【答案】D
【詳解】當焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為；
當焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為．
故選：D．
4．已知雙曲線的實軸為4，拋物線的準線過雙曲線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得，，故雙曲線左頂點坐標為，
拋物線的準線為，故，解得，
點為拋物線與雙曲線的一個交點，故，，
即，解得，解得，
故雙曲線的漸近線方程為.
故選：A
5．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，有如下說法：
①雙紐線關于原點中心對稱；
②；
③雙紐線上滿足的點有兩個；
④的最大值為.
其中所有正確的說法為（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【詳解】對于①，因為定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，所以，
用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，所以①正確；
對于②，根據三角形的等面積法可知，
即，所以，所以②正確；
對于③，若雙紐線上的點滿足，則點在軸上，即，
所以，得，所以這樣的點只有一個，所以③錯誤；
對于④，因為，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值為，所以④正確，
故選：D
6．如圖所示，，是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足，與雙曲線的左支的交點A平分線段，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設，由雙曲線的定義得，，，
由得，
解得，所以，，
在中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即雙曲線的離心率 ，
故選：C．
7．已知橢圓和雙曲線的焦點相同，記左、右焦點分別為，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，設點為與在第一象限內的公共點，且滿足，若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【詳解】設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，半焦距為，雙曲線的實半軸長、虛半軸長分別為，半焦距為，
則有，
又因為點為與在第一象限內的公共點，且滿足，
所以且，
由橢圓的定義可得，
所以，
由雙曲線的定義可得，
所以，
所以
所以，
又因為，
解得(舍)或，
故選：A.
8．古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發出的光線經過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，可作圖如下：
則，，即，
可設，，，
由，則，即，
，在中，，
則.
故選：D.
二、多選題
9．已知曲線：，則（ ）
A．當時，是雙曲線，其漸近線方程為
B．當時，是橢圓，其離心率為
C．當時，是圓，其圓心為，半徑為
D．當，時，是兩條直線
【答案】AC
【詳解】對于選項A，或，
當時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，
其漸近線方程為，
當時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，
其漸近線方程為，故A正確；
對于選項B，當時，，原方程可化為，
所以是焦點在軸上的橢圓，所以，
所以，故B錯誤；
對于選項C，當時，原方程可化為，所以是圓，
其圓心為，半徑為，故C正確；
對于選項D，若，時，原方程可化為，
當時，，此時是兩條直線，
當時，上面方程無解，此時不表示任何圖形，故D錯誤．
故選：AC．
10．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖可以近似看成雙紐線，在平面直角坐標系中，把到定點和距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是雙紐線C上一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則的面積為
B．
C．雙紐線C關于原點O對稱
D．雙紐線上C滿足的點P有三個
【答案】BC
【詳解】因為定義在平面直角坐標系中，把到定點，，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，則，即，
對于A, 根據三角形的面積為，故A錯誤，
對于B,由等面積法可知，
即，所以，故B正確，
對于C，用替換方程中的得，即，故原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，所以C正確；
對于D，若，則點，在的中垂線即軸上．
故此時，代入，可得，即僅有一個，故D錯誤；
故選：BC
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓內部，點N在橢圓上，橢圓C的離心率為e，則以下說法正確的是（ ）
A．離心率e的取值范圍為
B．存在點N，使得
C．當時，的最大值為
D．的最小值為1
【答案】AC
【詳解】A：由已知可得，，所以，即，
則，故，正確；
B：由知，共線，故必為橢圓的右頂點，
而，即，則，
所以，不合A分析結果，錯誤；
C：由已知且，所以，.
又，則.
根據橢圓的定義可得，
所以，
如上圖示，當且僅當三點共線時取得等號，正確；
D：因為.
所以，
當且僅當，即時等號成立.
所以，的最小值為，錯誤.
故選：AC
12．已知P，Q是雙曲線上關于原點對稱的兩點，過點P作軸于點M，MQ交雙曲線于點N，設直線PQ的斜率為k，則下列說法正確的是（ ）
A．k的取值范圍是且 B．直線MN的斜率為
C．直線PN的斜率為 D．直線PN與直線QN的斜率之和的最小值為
【答案】ABC
【詳解】設點，，，直線與雙曲線兩支各有一個交點，
則斜率k在兩條漸近線斜率之間，即且，選項A正確；
∵，，選項B正確；
設，則，
，
因為，在橢圓上，
所以，兩式相減，則，
所以，
又，∴，選項C正確；
，當且僅當，即時取等，即，
但，所以等號無法取得，選項D錯誤．
故選：ABC.
三 圓錐曲線的綜合應用
1．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標為．求直線的方程．
【詳解】（1）由橢圓的長軸長是短軸長的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以橢圓的標準方程為．
（2）設，，
由，得．
則，．
因為線段中點的橫坐標為，
所以．
解得，即，經檢驗符合題意．
所以直線l的方程為．
2．已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F(1，0)，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線m：x＝－2相交于M，N兩點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)求證：△ABO與△MNO的面積之比為定值．
【詳解】（1）由焦點坐標可知，＝1，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.
（2）證明：當直線垂直于x軸時，△ABO與△MNO相似，
所以＝()2＝.
當直線與x軸不垂直時，設直線AB方程為y＝k(x－1)，設M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，
所以＝＝＝·＝，綜上，＝.
3．已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.
【詳解】（1）由題意，設右焦點的坐標為，
雙曲線的漸近線方程為：，
右焦點到其中一條漸近線的距離為，可得，
又因為，解得，
故雙曲線的標準方程為.
（2）當直線的斜率不為0時，設，則
聯立方程組，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直線過定點.
當直線的斜率為0時，此時直線:，此時均在軸上，故直線過定點.
綜上：直線過定點.
4．如圖，平面直角坐標系中，直線與軸的正半軸及軸的負半軸分別相交于兩點，與橢圓相交于兩點（其中在第一象限），且與關于軸對稱，延長交 圓于點.
(1)設直線的斜率分別為，證明：為定值；
(2)求直線的斜率的最小值.
【詳解】（1）設，
由可得.
直線的斜率，
直線的斜率，
此時，所以為定值.
（2）設，直線的方程為，直線的方程為
，
聯立整理得.
由，可得，
所以.
同理.
所以，
，
所以.
因為，
所以，等號當且僅當時取得，
所以直線的斜率的最小值為.
5．已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點到的距離的最小值為1．
(1)求的方程；
(2)設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．
【詳解】（1）設,
則由已知得,
解得,
所以的方程.
（2）由(1)得,,
設，則
于是,
同理,
由，得
即
即,
整理得，
因為，所以,
所以的方程可化為
因此過定點 .
又因為垂足為,所以動點 在以為直徑的圓上，
該圓的方程為.
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