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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十三 分式考點知識大串講
知識點大串講
一、分式的定義
一般地，如果A和B為兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A為分子，B為分母。
1.分式有意義，要求分母不為0，隱含分母要有字母；
2.分式無意義，分母為0；
3.分式值為0，分子為0 ，且分母不為0；
4.分式值為負或小于0，分子分母異號；
5.分式值為正或大于0，分子分母同號；
6.分式值為1，分子分母值相等；
7.分式值為-1，分子分母值互為相反數；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要滿足兩個條件的，a>不為0，b>必須含有字母，分式與整式的和，也是分式。
二、分式的基本性質
分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：
其中A,B,C為整式，且B、C≠0。
1.分式的符號，分式的分子分母和分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；
2.分式的約分，就是把一個分式的分子和分母的公因式約去，約至它們再也沒有公因式時就是最簡分式了。
點撥：分子分母均為單項式時可以直接約分，即約去它們系數的最大公約數，然后約去分子分母的相同因式的最低次冪；分子分母為多項式時，要先將它們進行因式分解，再約分。
3.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步驟就是最簡公分母的確定。
三、分式的運算
1.分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
2.分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變為同分母分式，然后再加減。
5.混合運算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。
6.正整數指數冪運算性質也可以推廣到整數指數冪．(m,n是整數)
（1）同底數的冪的乘法：；
（2）冪的乘方：;
（3）積的乘方：；
（4）同底數的冪的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科學記數法：把一個數表示成的形式（其中，n是整數）的記數方法叫做科學記數法。
用科學記數法表示絕對值大于10的n位整數時，其中10的指數是。
用科學記數法表示絕對值小于1的正小數時,其中10的指數是第一個非0數字前面0的個數(包括小數點前面的一個0)。
四、分式方程的概念
1 .分母中含有未知數的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.
（2）分式方程和整式方程的區別就在于分母中是否有未知數（不是一般的字母系數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的聯系：分式方程可以轉化為整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程，轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母。在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根。
3.解分式方程的一般步驟：
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
（4）增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0，二是其值應是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解應用題的基本步驟： 　　
(1)審——仔細審題，找出等量關系； 　　
(2)設——合理設未知數； 　　
(3)列——根據等量關系列出方程； 　　
(4)解——解出方程； 　　
(5)驗——檢驗增根； 　　
(6)答——答題．
應用題的幾種類型：
行程問題：基本公式：路程=速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題。
工程問題 基本公式：工作量=工時×工效。
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【考點1】分式的意義
【例1-1】7．當a取何值時，分式的值為零．
【例1-2】．當x取什么值時，分式的值為零？
【例1-3】當x＝2時分式沒有意義，求a的值．
【例1-4】下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
，，x2y，﹣，，﹣，，4a，，，．
針對練習1
1．下列各式，a2﹣b2，，，，，中，分式有（　　）個．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．對于分式，下列說法不正確的是（　　）
A．x＝0時，分式值為0
B．x＝3時，分式無意義
C．x＜0時，分式值為負數
D．x＞3時，分式的值為正數
3．若分式的值大于零，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞1 B．x＜0 C．x＜1 D．x＞0
4．若分式不論x取何實數總有意義，則m的取值范圍為 　 　．
5．要使分式的值為1，則x應滿足的條件是 　 　．
6．關于x的不等式組恰有兩個整數解，且的值為正整數，則整數m的值為 　 　．
【考點2】分式的基本性質
【例2-1】已知y＝3xy+x，求代數式的值．
【例2-2】約分：．
【例2-3】通分：
（1），；
（2），．
【例2-4】將下列分式化為最簡分式．
（1）；
（2）．
針對練習2
1．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果將分式中的x和y都擴大到原來的3倍，那么分式的值（　　）
A．不變 B．擴大到原來的9倍
C．縮小到原來的 D．擴大到原來的3倍
3．下列從左到右的變形中，一定正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
【考點3】分式的乘除
【例3-1】計算： ．
【例3-2】（1）
（2）．
針對練習3
1．如表為張小亮的答卷，他的得分應是（　　）
姓名張小亮得分？判斷題（每小題20分，共100分）（1）當x≠0時，分式有意義．（√）（2）當x＝﹣1時，分式的值為0．（√）（3）．（×）（4）．（√）（5）．（√）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
2．如圖，小琪的作業本上有這樣一道填空題，其中有一部分被墨水污染了，若該題化簡的結果為．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）該題化簡的結果能等于嗎？為什么？
【考點4】分式的加減
【例4-1】計算++．
【例4-2】下面是小明化簡分式﹣的過程，請認真閱讀并完成相應任務：
解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝…第四步＝…第五步
【任務一】填空：
①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是 　 　；
②第 　 　步是進行分式的通分，通分的依據是 　 　；
③第 　 　步開始出現錯誤．
【任務二】請直接寫出正確的化簡結果：　 　．
【例4-3】已知，求A、B的值．小明同學解法如下：
解：左邊分母分解因式，得：，
去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴可得．
請結合小明的思路解答下列各題：
（1）已知等式成立，求A、B的值；
（2）計算：[++]（x+7），并求x取何整數時，這個式子的值為正整數．
針對練習4
1．設，，則m，n的關系是（　　）
A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝0
2．如果a﹣b＝3，那么代數式的值為（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
3．若，則M，N的值分別為（　　）
A．M＝2，N＝3 B．M＝，N＝ C．M＝3，N＝2 D．M＝，N＝
4．小剛在化簡時，整式M看不清楚了，通過查看答案，發現得到的化簡結果是，則整式M是（　　）
A． B．a+b C．a﹣b D．
5．設，求的值．
【考點5】分式的混合運算
【例5-1】先化簡：，再從﹣1，0，1，2中取一個合適的數作為a的值代入求值．
【例5-2】先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣2x﹣2＝0．
【例5-3】先化簡，再對a取一個適當的數，代入求值．﹣÷．
針對練習5
1．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
2．若代數式（A﹣） 的化簡結果為3a﹣6，則整式A為（　　）
A．﹣a+1 B．a﹣1 C．﹣a﹣1 D．a+1
3．陽陽同學在復習老師已經批閱的作業本時，發現有一道填空題破了一個洞（如圖所示），■表示破損的部分．則破損部分的式子可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．小敏在做數學作業時，不小心將式子中除號后邊的代數式污染，即，通過查看答案，答案為，則被污染的代數式*為（　　）
A． B． C． D．
5．如果a+2b＝2，那么代數式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
6．先化簡，然后從﹣3＜x＜3中選擇一個合適的整數作為x的值代入求值．
【考點6】負整數指數冪
【例6-1】計算：．
【例6-2】已知ax＝3的值．求的值．
【例6-3】計算：（1）（3×10﹣3）×（5×10﹣4）；（2）（6×10﹣3）2÷（6×10﹣1）2．
針對練習6
1．若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，則（　　）
A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b
2．計算：﹣（2022﹣π）0＝　 　．
3．隨著電子制造技術的不斷進步，電子元件的尺寸大幅度縮小，在芯片上某種電子元件大約只占0.0000008（毫米2），這個數用科學記數法表示為 　 　．
4．計算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
【考點7】分式方程
【例7-1】解方程：．
【例7-2】若數a使關于x的分式方程＝3的解為非負數，且使關于y的不等式組的解集為y≤1，則符合條件的所有整數a的和．
【例7-3】a為何值時，關于x的方程+＝無解？
【例7-4】已知關于x的方程有增根，求m的值．
針對練習7
1．分式方程的解為（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．無解
2．若分式方程無解，則k的值為（　　）
A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2
3．對于代數式m，n，定義運算“※”：，例如：，若，則2A+B＝　 　．
4．當m＝　 　時，解分式方程會出現增根．
5．解分式方程：．
【考點8】分式方程的應用
【例8-1】某中學為創建“綠色學校”，響應“節能減排”號召，決定購進甲、乙兩種型號的節能燈，已知甲型號節能燈的單價比乙型號節能燈的單價貴5元，用1080元購買甲型號節能燈恰好與用900元購買乙型號節能燈的盞數相同．
（1）甲、乙兩種型號的節能燈的單價各是多少元？
（2）李老師購買這兩種節能燈共60盞，且投入的經費不超過1700元，那么最多可購買多少盞甲型號節能燈？
（3）根據“節能減排”要求，為了更省電，學校對原燈泡進行了更換，發現李老師買的節能燈不夠，又派出劉老師去購買，且兩種型號的節能燈都要買，她一共花了300元，你知道她甲、乙兩種型號的節能燈各購買多少盞嗎？
【例8-2】2020年11月20日，婁底市榮獲“第六屆全國文明城市”稱號．為鞏固“國家文明城市”創建成果，共享文明健康美好生活，我市政府擬對城區部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施全面更新改造．現有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍．若甲、乙兩工程隊合作只需要10天完成．求甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？
【例8-3】某學校八年級舉行數學解題大賽，為表彰獲勝的選手，學校準備在商店購買A，B兩種文具作為獎品．已知A文具的單價比B文具的單價少8元，且用320元購買A文具的數量與用480元購買B文具的數量相同．
（1）求A，B兩種文具的單價；
（2）若學校需要購買A，B兩種文具共60件，且購買這兩種文具的總費用不超過1200元，則學校至少購買A種文具多少件？
針對練習8
1．一項工程需在規定日期完成，如果甲隊獨做，就要超規定日期1天，如果乙隊單獨做，要超過規定日期4天，現在由甲、乙兩隊共做3天，剩下工程由乙隊單獨做，剛好在規定日期完成，則規定日期為（　　）
A．6天 B．8天 C．10天 D．7.5天
2．“我市為處理污水，需要鋪設一條長為4000米的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成任務．”根據題意可得方程，則方程中x表示（　　）
A．實際每天鋪設管道的長度
B．實際施工的天數
C．原計劃每天鋪設管道的長度
D．原計劃施工的天數
3．甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲、乙兩人每天共加工35個玩具，求甲、乙兩人每天各加工多少個玩具．
（1）設甲每天加工x個玩具，用含x的代數式表示：乙每天加工 　 　個玩具，甲加工90個玩具所用的時間為 　 　，乙加工120個玩具所用的時間為 　 　；
（2）根據（1）中數據，列方程解答問題．
4．某地區要修一條長為6公里的鄉村旅游公路，準備承包給甲、乙兩個工程隊來合作完成，已知甲隊每天完成的工作量是乙隊的2倍，兩隊各完成400米時，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少米？
（2）若甲隊每天的工程費用為1.5萬元，乙隊每天的工程費用為0.9萬元，要使完成全部工程的總費用不超過120萬元，則最多安排乙隊修路多少天？
5 .某超市中秋節前購進了甲、乙兩種暢銷口味的月餅禮盒．已知購進甲種月餅禮盒的金額是12000元，購進乙種月餅禮盒的金額是8000元，購進甲種月餅禮盒的數量比乙種月餅禮盒的數量少50盒，甲種月餅禮盒的單價是乙種月餅禮盒單價的2倍．
（1）求甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是多少元；
（2）為滿足消費者需求，超市準備再次購進甲、乙兩種月餅禮盒共200盒，若總金額不超過11500元，問最多購進多少盒甲種月餅禮盒？
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十三 分式考點知識大串講（解析版）
知識點串講
一、分式的定義
一般地，如果A和B為兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A為分子，B為分母。
1.分式有意義，要求分母不為0，隱含分母要有字母；
2.分式無意義，分母為0；
3.分式值為0，分子為0 ，且分母不為0；
4.分式值為負或小于0，分子分母異號；
5.分式值為正或大于0，分子分母同號；
6.分式值為1，分子分母值相等；
7.分式值為-1，分子分母值互為相反數；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要滿足兩個條件的，a>不為0，b>必須含有字母，分式與整式的和，也是分式。
二、分式的基本性質
分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：
其中A,B,C為整式，且B、C≠0。
1.分式的符號，分式的分子分母和分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；
2.分式的約分，就是把一個分式的分子和分母的公因式約去，約至它們再也沒有公因式時就是最簡分式了。
點撥：分子分母均為單項式時可以直接約分，即約去它們系數的最大公約數，然后約去分子分母的相同因式的最低次冪；分子分母為多項式時，要先將它們進行因式分解，再約分。
3.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步驟就是最簡公分母的確定。
三、分式的運算
1.分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
2.分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變為同分母分式，然后再加減。
5.混合運算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。
6.正整數指數冪運算性質也可以推廣到整數指數冪．(m,n是整數)
（1）同底數的冪的乘法：；
（2）冪的乘方：;
（3）積的乘方：；
（4）同底數的冪的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科學記數法：把一個數表示成的形式（其中，n是整數）的記數方法叫做科學記數法。
用科學記數法表示絕對值大于10的n位整數時，其中10的指數是。
用科學記數法表示絕對值小于1的正小數時,其中10的指數是第一個非0數字前面0的個數(包括小數點前面的一個0)。
四、分式方程的概念
1 .分母中含有未知數的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.
（2）分式方程和整式方程的區別就在于分母中是否有未知數（不是一般的字母系數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的聯系：分式方程可以轉化為整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程，轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母。在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根。
3.解分式方程的一般步驟：
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
（4）增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0，二是其值應是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解應用題的基本步驟： 　　
(1)審——仔細審題，找出等量關系； 　　
(2)設——合理設未知數； 　　
(3)列——根據等量關系列出方程； 　　
(4)解——解出方程； 　　
(5)驗——檢驗增根； 　　
(6)答——答題．
應用題的幾種類型：
行程問題：基本公式：路程=速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題。
工程問題 基本公式：工作量=工時×工效。
高頻考點練練練
【考點1】分式的意義
【例1-1】7．當a取何值時，分式的值為零．
【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據此可以解答本題．
【解答】解：由分式的值為零，得
3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．
解得a＝3，
當a＝3時，分式的值為零．
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．
【例1-2】．當x取什么值時，分式的值為零？
【分析】根據分子為零，分母不為零，則分式的值為零，即可求解．
【解答】解：由題意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
∴x＝﹣1，
即當x＝﹣1時，分式的值為零．
【點評】本題考查了分式值為零的條件，特別注意當分子為零時，還要考慮分母不為零．
【例1-3】當x＝2時分式沒有意義，求a的值．
【分析】根據分式無意義的條件可得3x﹣a＝0，再把x＝2代入即可算出a的值．
【解答】解：由題意得：3x﹣a＝0，
再把x＝2代入可得6﹣a＝0，
解得a＝6．
【點評】此題主要考查了分式無意義的條件，分式無意義的條件是分母等于零．
【例1-4】下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
，，x2y，﹣，，﹣，，4a，，，．
【分析】的分母3π是常數，說明是整式．的分母是字母x，說明是分式．
【解答】解：∵的分母3π是常數，說明是整式．
整式有：，x2y，﹣，，4a；
分式有：，，﹣，，，．
【點評】本題側重考查分式的定義、整式的定義，掌握分式的定義、整式的定義是解題的關鍵．
針對練習1
1．下列各式，a2﹣b2，，，，，中，分式有（　　）個．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】形如（A、B均為整式，且B中含有字母）的式子叫分式，根據定義解答．
【解答】解：分式有：，，，共3個．
故選：B．
【點評】本題考查了分式的定義，掌握分式的定義是解題的關鍵．
2．對于分式，下列說法不正確的是（　　）
A．x＝0時，分式值為0
B．x＝3時，分式無意義
C．x＜0時，分式值為負數
D．x＞3時，分式的值為正數
【分析】分別根據x的值和范圍判斷即可．
【解答】解：當x＝0時，＝﹣1，故A符合題意；
當x＝3時，x﹣3＝0，
所以當x＝3時，分式無意義，故B不符合題意；
當x＜0時，x﹣3＜0，
所以分式的值為負數，故C選項不符合題意；
當x＞3時，x﹣3＞0，
所以分式的值為正數，故D不符合題意，
故選：A．
【點評】本題考查了分式的值，分式的值為零，分式有意義的條件，分式的符號的判斷，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
3．若分式的值大于零，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞1 B．x＜0 C．x＜1 D．x＞0
【分析】根據題意可得x﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵分式的值大于零，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故選：A．
【點評】本題主要考查了分式的值，根據題意得到x﹣1＞0是解題的關鍵．
4．若分式不論x取何實數總有意義，則m的取值范圍為 　m＞4　．
【分析】若分式不論x取何實數總有意義，則其分母x2+4x+m會寫成（a+b）2+k（k＞0）的形式，利用k＞0，求字母的范圍．
【解答】解：方法一、∵當Δ＝b2﹣4ac＜0時，x2+4x+m＝0無解，
即42﹣4m＜0，解得m＞4，
∴當m＞4時，不論x取何實數，分式總有意義．
方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，
∴當﹣4+m＞0時，分式不論x取何實數總有意義，
∴m＞4，
故答案為m＞4．
【點評】此題主要考查了分式的意義，要求掌握．意義：對于任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義．當分母是個二項式時，分式有意義的條件是分母能整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式，即一個完全平方式與一個正數的和的形式．只要這樣不論未知數取何值，式子（a+b）2+k（k＞0）恒大于零，分式總有意義．
5．要使分式的值為1，則x應滿足的條件是 　x＝﹣1　．
【分析】根據題意要使分式值為1，即分母為2，進行計算即可得出答案．
【解答】解：要使分式的值為1，
即1﹣x＝2，
解得：x＝﹣1．
故答案為：x＝﹣1．
【點評】本題考查了分式的值，熟練掌握分式的值的求法是解決本題的關鍵．
6．關于x的不等式組恰有兩個整數解，且的值為正整數，則整數m的值為 　5　．
【分析】解不等式組求得解集，從而確定m的值，代入分式驗證即可．
【解答】解：不等式組的解集為：≤x≤3，
∵關于x的不等式組恰有兩個整數解，
∴1＜≤2．
∴3＜m≤6，
∴整數m的值為4，5，6，
∵當m＝5時，的值為正整數，
∴整數m的值為5．
故答案為：5．
【點評】本題主要考查了分式的值，一元一次不等式組的整數解，準確求得不等式組的解集是解題的關鍵．
【考點2】分式的基本性質
【例2-1】已知y＝3xy+x，求代數式的值．
【分析】根據已知條件y＝3xy+x，求出x﹣y與xy的關系，再將所求分式的分子、分母整理成x﹣y與xy和的形式，進行整體代入求解．
【解答】解：因為y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，當x﹣y＝﹣3xy時，．
【點評】運用整體代入法時解答本題的關鍵．本題首先根據已知條件得到x﹣y＝﹣3xy，再把要求的代數式化簡成含有x﹣y的式子，然后整體代入，使代數式中只含有xy，約分后得解．
【例2-2】約分：．
【分析】分子、分母因式分解后約分即可．
【解答】解：＝＝．
【點評】本題考查約分，解題的關鍵是先將分子、分母轉化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數字系數的約分．
【例2-3】通分：
（1），；
（2），．
【分析】找出各項的最簡公分母，通分即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【點評】此題考查了通分，找出各項的最簡公分母是解本題的關鍵．
【例2-4】將下列分式化為最簡分式．
（1）；
（2）．
【分析】（1）式子中分子、分母都含有因式5y，約分即可得到結果；
（2）將的分子分母約去公因式（x﹣y），即可得到結果．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝．
【點評】本題考查最簡分式，解題的關鍵是掌握最簡分式的定義，屬于中考常考題型
針對練習2
1．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據分式的基本性質分別判斷即可．
【解答】解：A．＝＝，故該項符合題意；
B．不一定等于，故該項不符合題意；
C．當a≠0時，＝，故該項不符合題意；
D.＝﹣，故該項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
2．如果將分式中的x和y都擴大到原來的3倍，那么分式的值（　　）
A．不變 B．擴大到原來的9倍
C．縮小到原來的 D．擴大到原來的3倍
【分析】依題意分式中每個未知量都擴大3倍后，再進行化簡即可求解．
【解答】解：把x和y都擴大3倍后，原式＝＝，
約分后縮小到原來的，
故選：C．
【點評】本題考查了分式的基本性質，利用分式的基本性質是解題的關鍵．
3．下列從左到右的變形中，一定正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據分式的基本性質逐個判斷即可．
【解答】解：A．，故本選項不符合題意；
B．，故本選項符合題意；
C．，故本選項不符合題意；
D．，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了分式的基本性質，能熟記分式的基本性質是解此題的關鍵．
4．化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】將分母因式分解，再約分即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝，
故選：B．
【點評】本題主要考查了分式的約分，先將分母進行因式分解是解答本題的關鍵．注意不要遺漏式子的符號．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
【分析】找出最簡公分母，根據分式的通分法則計算即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【點評】本題考查的是分式的通分、約分，掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
【考點3】分式的乘除
【例3-1】計算： ．
【分析】先將分式的分子與分母進行因式分解
【解答】解：原式＝
＝
＝
【點評】本題考查分式的乘除法，涉及因式分解法，題目較為綜合．
【例3-2】（1）
（2）．
【分析】（1）把分式的分子和分母分解因式，同時把除法變成乘法，再進行約分即可；
（2）把分式的分子和分母分解因式，同時把除法變成乘法，再進行約分即可．
【解答】解：（1）原式＝××
＝﹣；
（2）原式＝××
＝﹣．
【點評】本題考查了分式的約分、分式的乘除法、分解因式的運用，能熟練地分解因式和約分是解此題的關鍵．
針對練習3
1．如表為張小亮的答卷，他的得分應是（　　）
姓名張小亮得分？判斷題（每小題20分，共100分）（1）當x≠0時，分式有意義．（√）（2）當x＝﹣1時，分式的值為0．（√）（3）．（×）（4）．（√）（5）．（√）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
【分析】先判斷出張小亮答對了幾道題，再求出他的得分即可．
【解答】解：（1）當x≠0時，分式有意義．正確；
（2）當x＝﹣1時，分式的值為0．正確；
（3），錯誤；
（4）當n＝0時，，錯誤；
（5），正確；
∴張小亮答對了4道題，
∴他的得分應是：20×4＝80（分）．
故選：C．
【點評】本題考查了分式有意義的條件，分式的值為零，分式的性質以及分式的運算，掌握相關知識點是解題的關鍵．
2．如圖，小琪的作業本上有這樣一道填空題，其中有一部分被墨水污染了，若該題化簡的結果為．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）該題化簡的結果能等于嗎？為什么？
【分析】（1）根據分式的乘除混合運算的法則計算即可；
（2）根據分式有意義的條件即可得到結論．
【解答】解：（1）設被墨水污染的部分是A，
由題意得：÷＝，
＝，
＝1，
解得：A＝x﹣4；
故被墨水污染的部分為x﹣4；
（2）解：不能，理由如下：
若＝，
則x＝4，
由分式，÷＝ ，
當x＝4時，原分式無意義，
所以不能．
【點評】本題考查了分式的值，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．
【考點4】分式的加減
【例4-1】計算++．
【分析】先對分母因式分解，通過十字相乘法和提取公因式即可將原式變形為，通過拆項可將原式變為﹣+﹣+﹣，化簡，再根據異分母分式減法法則進行計算，即可求解．
【解答】解：++
＝
＝
＝﹣+﹣+﹣
＝
＝
【點評】本題考查分式的加減，正確進行變形是本題解題關鍵．
【例4-2】下面是小明化簡分式﹣的過程，請認真閱讀并完成相應任務：
解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝…第四步＝…第五步
【任務一】填空：
①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是 　因式分解　；
②第 　三　步是進行分式的通分，通分的依據是 　分式的基本性質　；
③第 　四　步開始出現錯誤．
【任務二】請直接寫出正確的化簡結果：　﹣　．
【分析】利用分式的加減混合運算的法則解答即可．
【解答】
【任務一】填空：
①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是因式分解；
②第三步是進行分式的通分，通分的依據是分式的基本性質；
③第四步開始出現錯誤．
故答案為：①因式分解；②三；分式的基本性質；③四；
【任務二】：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點評】本題主要考查了分式的加減混合運算，分式的通分和約分，熟練掌握上述法則與性質是解題的關鍵．
8．已知，求A、B的值．小明同學解法如下：
解：左邊分母分解因式，得：，
去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴可得．
請結合小明的思路解答下列各題：
（1）已知等式成立，求A、B的值；
（2）計算：[++]（x+7），并求x取何整數時，這個式子的值為正整數．
【分析】（1）依據題意，將等式右邊進行通分，然后左右兩邊同分母，進而通過分子進行比較可以得解；
（2）依據題意，將中括號內式子分別通過拆項進行變形，再通分，最后適當變形后即可判斷．
【解答】解：（1）由題意，等式右邊＝
＝．
又等式左邊＝，
∴．
∴②﹣①得，A＝3．
把A＝3代入①得，B＝﹣1．
綜上，A＝3，B＝﹣1．
（2）由題意，原式＝[（﹣）+（﹣）+（﹣）]（x+7）
＝（﹣+﹣+﹣）（x+7）
＝（﹣）（x+7）
＝ （x+7）
＝．
∴要使上述式子值為整數，（x+1）是3的因數．
∴x+1＝±1或±3．
∴滿足題意整數x的值為﹣4，﹣2，0，2．
【點評】本題主要考查了分式的加減法，解題時需要熟練掌握并理解．
針對練習4
1．設，，則m，n的關系是（　　）
A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝0
【分析】根據分式的運算法則即可求出答案．
【解答】解：m＝＝﹣＝；
n＝＝﹣＝，
則可以看出m＝﹣n，
即m+n＝0．
故選：D．
【點評】本題考查分式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
2．如果a﹣b＝3，那么代數式的值為（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【分析】將分式運算后代入數值計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2（b﹣a），
∵a﹣b＝3，
∴b﹣a＝﹣3，
故原式＝2×（﹣3）＝﹣6，
故選：A．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
3．若，則M，N的值分別為（　　）
A．M＝2，N＝3 B．M＝，N＝ C．M＝3，N＝2 D．M＝，N＝
【分析】已知等式左邊通分并利用同分母分式的減法計算，根據分母相同，分式值相同，得到分子相同，利用多項式相等的條件求出M與N的值即可．
【解答】解：∵﹣＝＝，且﹣＝，
∴＝，即（3M﹣2N）x+（2M+N）＝5x+8，
∴3M﹣2N＝5，2M+N＝8，
解得：M＝3，N＝2．
故選：C．
【點評】此題考查了分式的加減法，分式加減法的關鍵是通分，通分的關鍵是找出各分母的最簡公分母．
4．小剛在化簡時，整式M看不清楚了，通過查看答案，發現得到的化簡結果是，則整式M是（　　）
A． B．a+b C．a﹣b D．
【分析】由題意列出算式，利用分式的加減法法則解答即可得出結論．
【解答】解：∵化簡時，整式M看不清楚了，通過查看答案，發現得到的化簡結果是，
∴＝
＝
＝
＝，
∴M＝a+b．
故選：B．
【點評】本題主要考查了分式的加減法，利用已知條件列出算式是解題的關鍵．
5．設，求的值．
【分析】根據題意，將式子進行通分，化成同分母分數相加，化簡之后將代入式子，即可求解．
【解答】解：根據題意，
原式＝
＝
＝
＝
＝，
當時，
原式＝
＝．
【點評】本題考查了分式的加減法及分式的化簡求值，將原式化簡成是解題的關鍵．
【考點5】分式的混合運算
【例5-1】先化簡：，再從﹣1，0，1，2中取一個合適的數作為a的值代入求值．
【分析】先將原分式化簡，再根據分式有意義的條件選擇合適的數代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
根據分式有意義的條件可知：a≠0，a﹣1≠0，a+1≠0，
則有a≠0，a≠1，a≠﹣1，
在﹣1，0，1，2中，a只能取2，
當a≠2時，有：原式＝，
即化簡結果為：，值為：﹣1．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
8．先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x2＝2x+2代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴當x2＝2x+2時，原式＝＝＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
9．先化簡，再對a取一個適當的數，代入求值．﹣÷．
【分析】原式第二項利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣＝，
當a＝1時，原式＝﹣．
【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
針對練習5
1．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先算括號里面的，再算除法即可．
【解答】解：
＝（﹣）
＝﹣
＝，
故選：B．
【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
2．若代數式（A﹣） 的化簡結果為3a﹣6，則整式A為（　　）
A．﹣a+1 B．a﹣1 C．﹣a﹣1 D．a+1
【分析】列出A的式子，化簡即可．
【解答】解：由題意A＝（3a﹣6）÷+
＝3（a﹣2）×+
＝+
＝
＝a+1．
故選：D．
【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是理解題意，正確列出式子計算．
3．陽陽同學在復習老師已經批閱的作業本時，發現有一道填空題破了一個洞（如圖所示），■表示破損的部分．則破損部分的式子可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據題意殘損部分的式子為 +，再計算即可．
【解答】解：殘損部分的式子為 +
＝﹣
＝，
故選：A．
【點評】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．
4．小敏在做數學作業時，不小心將式子中除號后邊的代數式污染，即，通過查看答案，答案為，則被污染的代數式*為（　　）
A． B． C． D．
【分析】先列出算式，再計算即可．
【解答】解：根據題意，被污染的代數式*為：
（﹣1）÷
＝ （1﹣a）
＝ [﹣（a﹣1）]
＝，
故選：C．
【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是讀懂題意列出算式，掌握分式基本性質把分式通分和約分．
5．如果a+2b＝2，那么代數式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】先計算同分母分式的減法，再將分子、分母因式分解，最后約分，繼而將a+2b＝2代入計算可得．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+2b＝2，
∴原式＝，
故選：B．
【點評】本題主要考查分式的加減法，掌握分式的加減法則是解題關鍵．
6．先化簡，然后從﹣3＜x＜3中選擇一個合適的整數作為x的值代入求值．
【分析】根據分式的運算進行化簡，再根據分母不為零代入一個數求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵﹣3＜x＜3，且x為整數，
∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，
∵x+1≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，±2，
當x＝0時，原式＝．
【點評】此題主要考查分式的混合運算以及化簡求值，解題的關鍵是熟知分式運算法則．
【考點6】負整數指數冪
【例6-1】計算：．
【分析】直接根據有關冪的運算法則進行計算，從而得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣1+（﹣8）+32
＝﹣8+9
＝1．
【點評】本題考查了零指數冪，負整數指數冪，同底數冪的除法等，熟記“一個非零數的零次冪等于1，一個非零數的負整數指數冪等于它正整數指數冪的倒數”是解題的關鍵．
【例6-2】已知ax＝3的值．求的值．
【分析】根據負整數的意義先化簡分式，然后代入法求值．
【解答】解：＝＝
方法二：原式＝＝ax+a﹣x＝3+＝．
【點評】本題主要考查負整數指數冪的運算．掌握．計算負整數冪時，一定要根據負整數冪的意義計算．
【例6-3】計算：（1）（3×10﹣3）×（5×10﹣4）；（2）（6×10﹣3）2÷（6×10﹣1）2．
【分析】用科學記數法表示的式子的運算，可利用乘法交換律和結合律，把a×10﹣n中的a與n分別相乘．
【解答】解：（1）原式＝（3×5）×（10﹣3×10﹣4）
＝1.5×10﹣6；
（2）原式＝（62÷62）×（10﹣6÷10﹣2）
＝1×10﹣4．
故答案為1.5×10﹣6、1×10﹣4．
【點評】此題是用科學記數法表示的式子的運算，靈活地運用了乘法交換律和結合律
針對練習6
1．若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，則（　　）
A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b
【分析】分別進行化簡，然后再進行比較，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝0.42＝0.16，，，，
∴b＜a＜d＜c，故B正確．
故選：B．
【點評】本題主要考查了零指數冪，負整數指數冪，乘方的運算，以及有理數的比較大小，解題的關鍵是熟練掌握運算法則正確的進行化簡．
2．計算：﹣（2022﹣π）0＝　 　．
【分析】根據負整數指數冪的性質和有理數減法的法則以及零指數冪的性質計算即可．
【解答】解：﹣（2022﹣π）0
＝2﹣1
＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查了負整數指數冪，有理數減法，零指數冪，熟練掌握負整數指數冪，有理數減法，零指數冪是解題的關鍵．
3．隨著電子制造技術的不斷進步，電子元件的尺寸大幅度縮小，在芯片上某種電子元件大約只占0.0000008（毫米2），這個數用科學記數法表示為 　 　．
【分析】科學記數法就是將一個數字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整數．即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數點，再乘以10的n次冪．本題0.000 000 73＜1時，n為負數．
【解答】解：0.0000008＝8×10﹣7．
故答案為：8×10﹣7．
【點評】本題考查了用科學記數法表示一個較小的數，為a×10n的形式，注：n為負整數．
4．計算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
【分析】首先應用平方差公式，可得（x﹣2﹣y﹣2）＝（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1），據此推得（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）＝；然后根據負整數指數冪的運算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
＝（x﹣1+y﹣1）÷[（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1）]
＝
＝
＝
【點評】此題主要考查了負整數指數冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①a﹣p＝（a≠0，p為正整數）；②計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算；③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數．
【考點7】分式方程
【例7-1】解方程：．
【分析】按步驟解分式方程并檢驗即可．
【解答】解：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），
1﹣x2+1＝﹣x﹣x2，
x＝﹣2．
檢驗：當x＝﹣2時，1﹣x2≠0，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關鍵．
【例7-2】若數a使關于x的分式方程＝3的解為非負數，且使關于y的不等式組的解集為y≤1，則符合條件的所有整數a的和．
【分析】先解分式方程，根據方程的解的情況得到a≤5且a≠3，再解一元一次不等式組，求出a的取值范圍，由此得到所有整數解及解的和．
【解答】解：，
，
x+2﹣a＝3（x﹣1），
解得且x≠1，
∵解為非負數，
∴且，
解得a≤5且a≠3．
，
解不等式①得，y≤1，
解不等式②得，y≤a，
因為關于y的不等式組的解集為y≤1，
所以a≥1，
所以1≤a≤5且a≠3，
因為a為整數，
所以a為1、2、4、5，
所以符合條件的所有整數的和為1+2+4+5＝12．
【點評】此題考查已知分式方程的解的情況求參數，解一元一次不等式組，正確掌握分式方程的解法及一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．
【例7-3】a為何值時，關于x的方程+＝無解？
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解確定出a的值即可．
【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），
整理得：（a﹣1）x＝﹣10，
（i）當a﹣1＝0，即a＝1時，原方程無解；
（ii）當a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，
當x＝2時，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；
當x＝﹣2時，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，
即當a＝1，﹣4或6時原方程無解．
【點評】此題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程無解的條件是解本題的關鍵．
【例7-4】已知關于x的方程有增根，求m的值．
【分析】先化為整式方程，將x＝3代入，即可求解．
【解答】解：去分母，整理得（m+3）x＝4m+8，
解得：，
∵關于x的方程有增根，
∴x＝3，
∴，
解得m＝1．
【點評】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關鍵是掌握分式方程的解法．
針對練習7
1．分式方程的解為（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．無解
【分析】去分母，去括號，移項，化系數為1，檢驗可得結論．
【解答】解：去分母，得4（x+2）﹣16＝6（x﹣2），
4x+8﹣16＝6x﹣12，
4x﹣6x＝﹣12+16﹣8
﹣2x＝﹣4
∴x＝2，
經檢驗，x＝2是增根，
∴原分式方程無解．
故選：D．
【點評】本題考查了分式方程的求解，要始終注意分母不為0這個條件．分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
2．若分式方程無解，則k的值為（　　）
A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2
【分析】先去分母，方程兩邊同時乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出來，然后根據各個選項中的k值，進行判斷方程有解無解，從而得到正確的答案．
【解答】解：，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣kx＝2，
（2﹣k）x＝2，
∵分式方程無解，
∴x﹣2＝0，x＝2，
2﹣k＝0，k＝2，
當k＝1時，原方程為：，
2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，
2x﹣4+1﹣x+1＝0，
x＝2，
檢驗：當x＝2時，x﹣2＝0，
∴k＝1時，原方程無解；
綜上可知：分式方程無解時，k的值為1或2，
故選：C．
【點評】本題主要考查了分式方程的解，解題關鍵是熟練掌握分式方程有解和無解的判斷方法．
3．對于代數式m，n，定義運算“※”：，例如：，若，則2A+B＝　1　．
【分析】由（x﹣1）※、可得答案．
【解答】解：（x﹣1）※，
，
由題意，得：，
解得：，
∴2A+B＝2×（﹣1）+3＝1．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的加減混合運算順序和運算法則．
4．當m＝　6　時，解分式方程會出現增根．
【分析】分式方程的增根使分式中分母為0，所以分式方程會出現增根只能是，增根不符合原分式方程，但是適合分式方程去分母后的整式方程，于是將代入該分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【解答】解：分式方程會出現增根，
則2x﹣1＝0即，
，
去分母得，2x﹣1+m＝6，
將代入得m＝6，
即當m＝6時，原分式方程會出現增根．
故答案為：6．
【點評】本題考查了分式方程增根的概念，增根是使最簡公分母等于0，不適合原分式方程，但是適合去分母后的整式方程．
5．解分式方程：．
【分析】按照去分母，再移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程，再檢驗即可得到答案．
【解答】解：
方程兩邊同時乘以（x+2）（x﹣2）去分母得：x﹣2+4x＝x+2，
移項得：x+4x﹣x＝2+2，
合并同類項得：4x＝4，
系數化為1得：x＝1，
檢驗，當x＝1時，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝1是原方程的解，
∴原方程的解為x＝1．
【點評】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是掌握解分式方程的步驟．
【考點8】分式方程的應用
【例8-1】某中學為創建“綠色學校”，響應“節能減排”號召，決定購進甲、乙兩種型號的節能燈，已知甲型號節能燈的單價比乙型號節能燈的單價貴5元，用1080元購買甲型號節能燈恰好與用900元購買乙型號節能燈的盞數相同．
（1）甲、乙兩種型號的節能燈的單價各是多少元？
（2）李老師購買這兩種節能燈共60盞，且投入的經費不超過1700元，那么最多可購買多少盞甲型號節能燈？
（3）根據“節能減排”要求，為了更省電，學校對原燈泡進行了更換，發現李老師買的節能燈不夠，又派出劉老師去購買，且兩種型號的節能燈都要買，她一共花了300元，你知道她甲、乙兩種型號的節能燈各購買多少盞嗎？
【分析】（1）設甲種的節能燈的單價為x元，則乙種節能燈的單價為（x﹣5）元，由題意：用1080元購買甲型號節能燈恰好與用900元購買乙型號節能燈的盞數相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）購買m盞甲型號節能燈，由題意：李老師購買這兩種節能燈共60盞，且投入的經費不超過1700元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）設甲種型號的節能燈購買a盞，乙種型號的節能燈購買b盞，由題意：又派出劉老師去購買，且兩種型號的節能燈都要買，她一共花了300元，列出二元一次方程，求出正整數解即可．
【解答】解：（1）設甲種的節能燈的單價為x元，則乙種節能燈的單價為（x﹣5）元，
依題意得：＝，
解得：x＝30，
經檢驗，x＝30是原方程的解，且符合題意，
則x﹣5＝25，
答：甲種的節能燈的單價為30元，乙種節能燈的單價為25元；
（2）購買m盞甲型號節能燈，
由題意得：30m+25（60﹣m）≤1700，
解得：m≤40，
答：最多可購買40盞甲型號節能燈；
（3）設甲種型號的節能燈購買a盞，乙種型號的節能燈購買b盞，
由題意得：30a+25b＝300，
整理得：a＝10﹣b，
∵a、b均為正整數，
∴，
答：甲種型號的節能燈購買5盞，乙種型號的節能燈購買6盞．
【點評】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式；（3）找準等量關系，正確列出二元一次方程．
【例8-2】2020年11月20日，婁底市榮獲“第六屆全國文明城市”稱號．為鞏固“國家文明城市”創建成果，共享文明健康美好生活，我市政府擬對城區部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施全面更新改造．現有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍．若甲、乙兩工程隊合作只需要10天完成．求甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？
【分析】此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時間．設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需2x天．再根據“甲、乙兩隊合作完成工程需要10天”，列出方程解決問題．
【解答】解：根據題意得：，
方程兩邊同乘以2x，得2x＝30，
解得：x＝15，
經檢驗，x＝15是原方程的解．
∴當x＝15時，2x＝30，
答：單獨完成此項工程甲需要15天，乙需要30天．
【點評】本題考查了工程問題，分析題意，找到合適的等量關系是解決本題的關鍵．
【例8-3】某學校八年級舉行數學解題大賽，為表彰獲勝的選手，學校準備在商店購買A，B兩種文具作為獎品．已知A文具的單價比B文具的單價少8元，且用320元購買A文具的數量與用480元購買B文具的數量相同．
（1）求A，B兩種文具的單價；
（2）若學校需要購買A，B兩種文具共60件，且購買這兩種文具的總費用不超過1200元，則學校至少購買A種文具多少件？
【分析】（1）設A種文具的單價為x元，則B種文具的單價為（x+8）元，根據“用320元購買A文具的數量與用480元購買B文具的數量相同”找到等量關系并列分式方程，求解即可；
（2）設學校購買A種文具y件，則購買B種文具（60﹣y）件，根據“購買這兩種文具的總費用不超過1200元”找到不等關系并列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：（1）設A種文具的單價為x元，則B種文具的單價為（x+8）元，
由題意列方程，得＝．
解方程，得x＝16．
經檢驗，x＝16是分式方程的解且符合題意．
所以x+8＝24．
答：A種文具的單價為16元，則B種文具的單價為24元；
（2）設學校購買A種文具y件，則購買B種文具（60﹣y）件，
根據題意，得16y+24（60﹣y）≤1200．
解得y≥30．
答：學校至少購買A種文具30件．
【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，理解題意并根據數量關系列分式方程或不等式是解題的關鍵．
針對練習8
1．一項工程需在規定日期完成，如果甲隊獨做，就要超規定日期1天，如果乙隊單獨做，要超過規定日期4天，現在由甲、乙兩隊共做3天，剩下工程由乙隊單獨做，剛好在規定日期完成，則規定日期為（　　）
A．6天 B．8天 C．10天 D．7.5天
【分析】首先設工作總量為1，未知的規定日期為x．則甲單獨做需x+1天，乙隊需x+4天．由工作總量＝工作時間×工作效率這個公式列方程易求解．
【解答】解：設工作總量為1，規定日期為x天，則若單獨做，甲隊需x+1天，乙隊需x+4天，根據題意列方程得
3（+）+＝1，
解方程可得x＝8，
經檢驗x＝8是分式方程的解，
故選：B．
【點評】本題涉及分式方程的應用，難度中等．考生需熟記工作總量＝工作時間×工作效率這個公式．
2．“我市為處理污水，需要鋪設一條長為4000米的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成任務．”根據題意可得方程，則方程中x表示（　　）
A．實際每天鋪設管道的長度
B．實際施工的天數
C．原計劃每天鋪設管道的長度
D．原計劃施工的天數
【分析】根據方程中的實際意義求解即可．
【解答】解：由方程可得，
方程中x表示實際每天鋪設管道的長度．
故選：A．
【點評】本題考查了分式方程的實際應用題，能正確分析題目中的等量關系是解題的關鍵．
3．甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲、乙兩人每天共加工35個玩具，求甲、乙兩人每天各加工多少個玩具．
（1）設甲每天加工x個玩具，用含x的代數式表示：乙每天加工 　（35﹣x）　個玩具，甲加工90個玩具所用的時間為 　天　，乙加工120個玩具所用的時間為 　天　；
（2）根據（1）中數據，列方程解答問題．
【分析】（1）設甲每天加工x個玩具，則乙每天加工（35﹣x）個玩具，再由時間（天）＝，列式即可；
（2）根據甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）設甲每天加工x個玩具，則乙每天加工（35﹣x）個玩具，
甲加工90個玩具所用的時間為：天，
乙加工120個玩具所用的時間為：天，
故答案為：（35﹣x），天，天；
（2）由題意得：＝，
解得：x＝15，
經檢驗，x＝15是原方程的解，且符合題意，
∴35﹣x＝35﹣15＝20（個），
答：甲每天加工15個玩具，乙每天加工20個玩具．
【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
4．某地區要修一條長為6公里的鄉村旅游公路，準備承包給甲、乙兩個工程隊來合作完成，已知甲隊每天完成的工作量是乙隊的2倍，兩隊各完成400米時，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少米？
（2）若甲隊每天的工程費用為1.5萬元，乙隊每天的工程費用為0.9萬元，要使完成全部工程的總費用不超過120萬元，則最多安排乙隊修路多少天？
【分析】（1）設乙隊每天筑路x米，則甲每天筑路2x米．由題意列出分式方程，解方程即可；
（2）設乙筑路t天，則甲筑路天數為天，由題意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設乙隊每天筑路x米，則甲每天筑路2x米．
依題意，得：，
解得：x＝40，
經檢驗：x＝40是原分式方程的解，
則2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）設乙筑路t天，則甲筑路天數為天，
依題意：0.9t+1.5（75﹣0.5t）≤120，解得：t≤50，
答：最多安排乙隊修路50天．
【點評】本題考查分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的數量關系列出方程或不等式是解決問題的關鍵．
5 .某超市中秋節前購進了甲、乙兩種暢銷口味的月餅禮盒．已知購進甲種月餅禮盒的金額是12000元，購進乙種月餅禮盒的金額是8000元，購進甲種月餅禮盒的數量比乙種月餅禮盒的數量少50盒，甲種月餅禮盒的單價是乙種月餅禮盒單價的2倍．
（1）求甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是多少元；
（2）為滿足消費者需求，超市準備再次購進甲、乙兩種月餅禮盒共200盒，若總金額不超過11500元，問最多購進多少盒甲種月餅禮盒？
【分析】（1）設乙種月餅禮盒的單價是x元，則甲種月餅禮盒的單價是2x元，利用數量＝總價÷單價，結合購進甲種月餅禮盒的數量比乙種月餅禮盒的數量少50盒，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出乙種月餅禮盒的單價，再將其代入2x中，即可求出甲種月餅禮盒的單價；
（2）設購進m盒甲種月餅禮盒，則購進（200﹣m）盒乙種月餅禮盒，利用總價＝單價×數量，結合總價不超過11500元，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數值，即可得出結論．
【解答】解：（1）設乙種月餅禮盒的單價是x元，則甲種月餅禮盒的單價是2x元，
根據題意得：﹣＝50，
解得：x＝40，
經檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴2x＝2×40＝80（元）．
答：甲種月餅禮盒的單價是80元，乙種月餅禮盒的單價是40元；
（2）設購進m盒甲種月餅禮盒，則購進（200﹣m）盒乙種月餅禮盒，
根據題意得：80m+40（200﹣m）≤11500，
解得：m≤87.5，
又∵m為正整數，
∴m的最大值為87．
答：最多購進87盒甲種月餅禮盒．
【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
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