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八年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題二十四 分式運(yùn)算技巧大串講
分式運(yùn)算的一般方法就是按照分式運(yùn)算的法則、運(yùn)算的順序進(jìn)行，但對一些運(yùn)算量大的題目，運(yùn)用一般方法計(jì)算量太大，導(dǎo)致出錯，需要根據(jù)分式特點(diǎn)選擇運(yùn)算技巧。
類型一、一般的分式運(yùn)算
策略：
運(yùn)算法則：1.分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质剑缓笤偌訙p。
5 .混合運(yùn)算:運(yùn)算順序和有理數(shù)運(yùn)算順序相同
【例1-1】計(jì)算：．
【例1-2】化簡：，并給出x的值，使得該式的值為0．
【例1-3】已知：＝，＝，＝．求代數(shù)式a+b+c的值．
針對練習(xí)1
1．計(jì)算：
（1）；
（2）．
2．計(jì)算：
（1）；
（2）．
3．計(jì)算：．
類型二、分段分步法
策略
一次通分計(jì)算量大利用相鄰分母之間的特點(diǎn)，分步通分，構(gòu)造公式，使運(yùn)算簡化。此法也用于解這類特征的分式方程
【例2-1】求分式，當(dāng)a＝2時的值．
【例2-2】解方程：
針對練習(xí)2
1 .請閱讀某同學(xué)解下面分式方程的具體過程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程檢驗(yàn)知是原方程的解．
請你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具體做法是 ；
得到③式的具體做法是 ；
得到④式的根據(jù)是 ．
（2）上述解答正確嗎？如果不正確，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？答： ．錯誤的原因是 （若第一格回答“正確”的，此空不填）．
2．解方程：.
類型三、分裂整數(shù)法
策略
當(dāng)算式中各分子的次數(shù)與分母次數(shù)相同時，一般利用分裂整數(shù)法把分子降次后再通分。
【例3-1】閱讀下面材料并解答問題
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為，可設(shè)，
則
∵對任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
這樣，分式被拆分成了一個整式與一個分式的和
解答：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式
（2）求出的最小值．
【例3-2】閱讀下列材料：
通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：＝＝2+＝2
我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．
如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：；
再如：＝x+1+
解決下列問題：
（1）分式是　真　分式（填“真”或“假”）；
（2）將假分式化為帶分式的形式為　1﹣　；
（3）把分式化為帶分式；如果的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
針對練習(xí)3
閱讀下列材料，并解答問題：
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母x+1，可設(shè)x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵對于任意x上述等式成立
∴解得：
∴
這樣，分式就拆分成一個整式x﹣2與一個分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式為　　；
（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝　 　；
（3）當(dāng)﹣1＜x＜1時，求分式的最小值．
2 .我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)．如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則，等等．小學(xué)里，把分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)．類似地，我們把分子整式的次數(shù)小于分母整式的次數(shù)的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，屬于真分式的是：　③　（填序號）；
①　　 ② ③　 　④
（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝　2　+　　，若假分式的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值為　﹣2、1或3　；
（3）將假分式 化成整式與真分式的和的形式：＝　a+1+　．
類型四、拆項(xiàng)法
策略
當(dāng)分式的分母因式分解后是連續(xù)的（遞增或遞減）的因式的積，可以將各分式拆項(xiàng)，相互抵消，達(dá)到化簡的目的。
【例4-1】觀察下列各式：，，，
(1)由此可推測： ______；
(2)依照上述規(guī)律，寫出的推測過程；
(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規(guī)律，用含（表示整數(shù)）的等式表示出來，并說明理由；
(4)請直接用（3）中的規(guī)律計(jì)算的值．
【例4-2】我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)，如，，，…任何一個單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如＝+，＝+，＝+，…
（1）根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)＝+，則a＝　6　，b＝　30　；
（2）進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)＝+（n是不小于2的正整數(shù)），則x＝　n（n+1）　（用n的代數(shù)式表示）
（3）計(jì)算：+++…+．
針對練習(xí)4
1 .例：∵
∴
＝
＝
認(rèn)真領(lǐng)悟上例的解法原理，并根據(jù)原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
2 .探究性問題：，，，則＝　﹣　．
試用上面規(guī)律解決下面的問題：
（1） 計(jì)算 ；
（2） 已知，求的值．
3 .神奇的等式：在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一類特殊的等式：例如：，，，，…
(1)特例驗(yàn)證：請?jiān)賹懗鲆粋€具有上述特征的等式：　 　；
(2)猜想結(jié)論：用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述等式為：　 　；
(3)證明推廣：（2）中的等式一定成立嗎？若成立，請證明；若不成立說明理由．
類型五、換元法
策略
當(dāng)分式中式子有共同特征時，可以用同一個字母表示這個共同特征，即換元。
【例5-1】請仔細(xì)閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學(xué)時我們學(xué)過，任何一個假分?jǐn)?shù)都可以化為一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù).
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數(shù)有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù).
（2）當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，求分式的最大（或最小）值.
針對練習(xí)5
1.．
2．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且＝＝，則的值為　2　．
八年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題二十四 分式運(yùn)算技巧大串講（解析版）
分式運(yùn)算的一般方法就是按照分式運(yùn)算的法則、運(yùn)算的順序進(jìn)行，但對一些運(yùn)算量大的題目，運(yùn)用一般方法計(jì)算量太大，導(dǎo)致出錯，需要根據(jù)分式特點(diǎn)選擇運(yùn)算技巧。
類型一、一般的分式運(yùn)算
策略：
運(yùn)算法則：1.分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质剑缓笤偌訙p。
5 .混合運(yùn)算:運(yùn)算順序和有理數(shù)運(yùn)算順序相同
【例1-1】計(jì)算：．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
【例1-2】化簡：，并給出x的值，使得該式的值為0．
【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的式子，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，然后令化簡的結(jié)果為0，求出相應(yīng)的x的值，再選出使得原分式有意義的x的值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝x（x+2）
＝x2+2x，
令x2+2x＝0，
解得x＝0或x＝﹣2，
∵x≠﹣2，原分式無意義，
∴當(dāng)x＝0時，原式＝0．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【例1-3】已知：＝，＝，＝．求代數(shù)式a+b+c的值．
【分析】首先取倒數(shù)組成三元一次方程組，再解方程組可得答案．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴，，，
組成方程組為：
，
解得：a＝1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝1+2+3＝6．
【點(diǎn)評】本題考查分式的混合運(yùn)算，借助倒數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為三元一次方程組是解題關(guān)鍵．
針對練習(xí)1
1．計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而約分即可；
（2）先計(jì)算括號內(nèi)分式的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)而約分即可．
【解答】解：（1）
＝
＝2a；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查分式的混合運(yùn)算和整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
2．計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先約分，再根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則計(jì)算；
（2）先算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分即可．
【解答】解：（1）
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
3．計(jì)算：．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
類型二、分段分步法
策略
一次通分計(jì)算量大利用相鄰分母之間的特點(diǎn)，分步通分，構(gòu)造公式，使運(yùn)算簡化。此法也用于解這類特征的分式方程
【例2-1】求分式，當(dāng)a＝2時的值．
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)，化簡后代入a的值即可．
【解答】解：原式＝++++
＝++++
＝+++
＝+++
＝++
＝
＝，把a(bǔ)＝2時代入得：
原式＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，難度適中，關(guān)鍵是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），將分式分步通分．
【例2-2】解方程：
【答案】x=.
【分析】先將原方程變形，再進(jìn)一步化簡轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.
【詳解】解:原方程可變形為，
，
化簡得，，
即，
∴2x+5=0，
解得，x=,
檢驗(yàn)，把x=代入≠0，
∴原方程的解為x=.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵.
針對練習(xí)2
1 .請閱讀某同學(xué)解下面分式方程的具體過程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程檢驗(yàn)知是原方程的解．
請你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具體做法是 ；
得到③式的具體做法是 ；
得到④式的根據(jù)是 ．
（2）上述解答正確嗎？如果不正確，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？答： ．錯誤的原因是 （若第一格回答“正確”的，此空不填）．
【答案】（1）得到①式的做法是移項(xiàng);得到②式的具體做法是方程兩邊分別通分;得到③式的具體做法是方程兩邊同除以（-2x+10）;得到④式的根據(jù)是分式值相等，分子相等且不為0，則分母相等.
（2）有錯誤．從第③步出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是方程兩邊同時除以了(-2x+10)，而-2x+10可能為零，當(dāng)-2x+10為零時，方程兩邊同時除以了0，不符合等式的性質(zhì).
【分析】本題考查解分式方程的能力，應(yīng)先根據(jù)方程特點(diǎn)，進(jìn)行整理然后去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
【詳解】解：（1）得到①式的做法是移項(xiàng);
得到②式的具體做法是方程兩邊分別通分;
得到③式的具體做法是方程兩邊同除以（-2x+10）;
得到④式的根據(jù)是分式值相等，分子相等且不為0，則分母相等；
（2）有錯誤．從第③步出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是方程兩邊同時除以了(-2x+10)，而-2x+10可能為零，當(dāng)-2x+10為零時，方程兩邊同時除以了0，不符合等式的性質(zhì)；
【點(diǎn)睛】解分式方程要根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的方法，并且要考慮全面，不能漏解，不能出現(xiàn)增根．
2．解方程：.
【答案】.
【分析】原方程變形為，再去分母求解方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
【詳解】原方程可化為，
即，
，
，
，
，
，
.
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.
∴原方程的解是.
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定要注意驗(yàn)根.
類型三、分裂整數(shù)法
策略
當(dāng)算式中各分子的次數(shù)與分母次數(shù)相同時，一般利用分裂整數(shù)法把分子降次后再通分。
【例3-1】閱讀下面材料并解答問題
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為，可設(shè)，
則
∵對任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
這樣，分式被拆分成了一個整式與一個分式的和
解答：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式
（2）求出的最小值．
【答案】（1）3+；（2）8
【分析】（1）直接把分子變形為3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母為-x2+1，可設(shè)-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照題意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
【詳解】解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母為，
可設(shè)，
則
．
∵對于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴當(dāng)x=0時，取得最小值8，即 的最小值是8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料中的方法，并能加以正確應(yīng)用．
【例3-2】閱讀下列材料：
通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：＝＝2+＝2
我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．
如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：；
再如：＝x+1+
解決下列問題：
（1）分式是　真　分式（填“真”或“假”）；
（2）將假分式化為帶分式的形式為　1﹣　；
（3）把分式化為帶分式；如果的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
【分析】（1）根據(jù)真分式的定義即可判斷；
（2）根據(jù)例題把分式的分子化成x+2的形式，然后逆用同分母的分式的加法法則求解；
（3）分式化為帶分式，把分子化成2（x+1）﹣3的形式，然后逆用同分母的分式的加法法則化成帶分式；
的值為整數(shù)，則的值一定是整數(shù)，則x+1一定是3的約數(shù)，從而求得x的值．
【解答】解：（1）是真分式，故答案為：真；
（2）＝＝1﹣．
故答案為：1﹣；
（3）＝＝＝2﹣；
∵的值為整數(shù)，且x為整數(shù)；
∴x+1為3的約數(shù)，
∴x+1的值為1或﹣1或3或﹣3；
∴x的值為0或﹣2或2或﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算，正確對分式的分母進(jìn)行變形，逆用同分母的分式的加法法則是關(guān)鍵．
針對練習(xí)3
閱讀下列材料，并解答問題：
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母x+1，可設(shè)x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵對于任意x上述等式成立
∴解得：
∴
這樣，分式就拆分成一個整式x﹣2與一個分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式為　　；
（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝　4、16、2、﹣10　；
（3）當(dāng)﹣1＜x＜1時，求分式的最小值．
【分析】（1）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式；
（2）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，根據(jù)整除運(yùn)算解答；
（3）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可設(shè)x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b
則x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b
∵對于任意x上述等式成立，
∴，
解得，
拆分成，
故答案為：；
（2）由分母x﹣3，可設(shè)2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
則2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b
∵對于任意x上述等式成立，
，
解得，
拆分成2x+11+，
則滿足條件的整數(shù)x＝4、16、2、﹣10，
故答案為：4、16、2、﹣10；
（3）由分母x2+1，可設(shè)x4+3x2﹣2＝（x2+1）（x2+a）+b
則x4+3x2﹣2＝（x2+1）（x2+a）+b＝x4+ax2+x2+a+b＝x4+（a+1）x2+a+b
∵對于任意x上述等式成立，
，
解得，，
∴，
當(dāng)x＝0時，這兩式之和最小，所以最小值為﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
2 .我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)．如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則，等等．小學(xué)里，把分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)．類似地，我們把分子整式的次數(shù)小于分母整式的次數(shù)的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，屬于真分式的是：　③　（填序號）；
①　　 ② ③　 　④
（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝　2　+　　，若假分式的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值為　﹣2、1或3　；
（3）將假分式 化成整式與真分式的和的形式：＝　a+1+　．
【分析】（1）根據(jù)題意可以判斷題目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根據(jù)題意可以將題目中的式子寫出整式與真分式的和的形式；
（3）根據(jù)題意可以將題目中的式子化簡變?yōu)檎脚c真分式的和的形式．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，
、、都是假分式，是真分式，
故答案為：③；
（2）由題意可得，
＝，
若假分式的值為正整數(shù)，
則或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，
解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，
故答案為：2、，﹣2、1或3；
（3）＝，
故答案為：a+1+．
【點(diǎn)評】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答問題．
類型四、拆項(xiàng)法
策略
當(dāng)分式的分母因式分解后是連續(xù)的（遞增或遞減）的因式的積，可以將各分式拆項(xiàng)，相互抵消，達(dá)到化簡的目的。
【例4-1】觀察下列各式：，，，
(1)由此可推測： ______；
(2)依照上述規(guī)律，寫出的推測過程；
(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規(guī)律，用含（表示整數(shù)）的等式表示出來，并說明理由；
(4)請直接用（3）中的規(guī)律計(jì)算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由見解析
(4)0
【分析】本題考查了分式的規(guī)律探究，分式的加減運(yùn)算．根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求解即可；
（2）將分解成兩個相鄰整數(shù)的乘積，進(jìn)而可得結(jié)果；
（3）根據(jù)題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律，然后證明即可；
（4）根據(jù)題意進(jìn)行拆分，然后加減運(yùn)算即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，
故答案為：；
（2）解：由題意知，
；
（3）解：，理由如下：
右邊．
．
（4）解：
．
【例4-2】我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)，如，，，…任何一個單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如＝+，＝+，＝+，…
（1）根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)＝+，則a＝　6　，b＝　30　；
（2）進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)＝+（n是不小于2的正整數(shù)），則x＝　n（n+1）　（用n的代數(shù)式表示）
（3）計(jì)算：+++…+．
【分析】（1）根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求出a與b的值．
（2）根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出x的表達(dá)式
（3）根據(jù)（2）中給出的規(guī)律進(jìn)行拆分即可求出答案．
【解答】解：（1）a＝6，b＝30
（2）∵＝
∴x＝n（n+1）
（3）原式＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝
故答案為：（1）6；30
（2）n（n+1）
【點(diǎn)評】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的規(guī)律，本題屬于中等題型．
針對練習(xí)4
1 .例：∵
∴
＝
＝
認(rèn)真領(lǐng)悟上例的解法原理，并根據(jù)原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以解答本題；
（2）根據(jù)（1）中的解答可以解答本題．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
2 .探究性問題：，，，則＝　﹣　．
試用上面規(guī)律解決下面的問題：
（1） 計(jì)算 ；
（2） 已知，求的值．
【分析】由已知的三個等式總結(jié)出一般性的規(guī)律，
（1）利用總結(jié)的規(guī)律把三項(xiàng)化為六項(xiàng)后，抵消合并，然后利用分式的通分法則化簡即可；
（2）根據(jù)兩非負(fù)數(shù)之和為0得到兩個非負(fù)數(shù)同時為0，求出a與b的值，然后把a(bǔ)與b的值代入到原式中，利用找出的規(guī)律化簡，抵消合并即可求出原式的值．
【解答】解：根據(jù)已知的三個等式，總結(jié)規(guī)律得＝﹣，
（1）原式＝
＝﹣+﹣+﹣＝﹣＝；
（2）由得：a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1且ab＝2，
所以b＝2，
則原式＝，
＝，
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1﹣＝．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生會從特殊的式子中找出一般性的規(guī)律，靈活運(yùn)用找出的規(guī)律化簡求值，掌握兩非負(fù)數(shù)之和為0時的條件，是一道規(guī)律型的中檔題．
3 .神奇的等式：在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一類特殊的等式：例如：，，，，…
(1)特例驗(yàn)證：請?jiān)賹懗鲆粋€具有上述特征的等式：　 　；
(2)猜想結(jié)論：用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述等式為：　 　；
(3)證明推廣：（2）中的等式一定成立嗎？若成立，請證明；若不成立說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)等式成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律即可解答；
（2）用含n的是式子表示所得規(guī)律即可；
（3）根據(jù)分式的混合運(yùn)算計(jì)算等式左右兩邊即可即解答．
【詳解】（1）解：．
故答案為：．
（2）解：用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述等式為：．
故答案為：．
（3）解：等式成立，理由如下：
∵左邊＝
右邊＝，
∴左邊＝右邊，
∴等式成立．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算、數(shù)字規(guī)律等知識點(diǎn)，根據(jù)已知等式得出規(guī)律及掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
類型五、換元法
策略
當(dāng)分式中式子有共同特征時，可以用同一個字母表示這個共同特征，即換元。
【例5-1】請仔細(xì)閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學(xué)時我們學(xué)過，任何一個假分?jǐn)?shù)都可以化為一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù).
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數(shù)有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數(shù)低于分母次數(shù).
（2）當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，求分式的最大（或最小）值.
【答案】（1）；（2）最小值為.
【分析】（1）根據(jù)題意將分式變形即可；
（2）根據(jù)題意將分式變形，即可確定出最小值．
【詳解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
則原式最小值為4 .
【點(diǎn)睛】此題考查分式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則進(jìn)行變形.
針對練習(xí)5
1.．
【分析】令++…+＝x，將原代數(shù)式變形，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算后合并同類項(xiàng)即可求解．
【解答】解：令++…+＝x，則有
（x+）（1+x）﹣x（1+x+）
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
【點(diǎn)評】考查了分式的混和運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是設(shè)++…+＝x，將代數(shù)式靈活變形，簡化計(jì)算．
2．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且＝＝，則的值為　2　．
【分析】可設(shè)＝＝＝，則＝＝＝＝k，即＝，＝，＝k，設(shè)＝＝k1，＝＝k2，由＝k可得k＝，由+＝得k1+k2＝k，代入計(jì)算即可求解．
【解答】解：設(shè)＝＝＝，則＝＝＝＝k，
整理得+＝+＝+＝＝k，
∴＝，＝，＝k，
設(shè)＝＝k1，＝＝k2，
由＝k得k＝，
由+＝得k1+k2＝k，
∴原式＝2×+2×＝＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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