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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十五 分式巧求值方法歸納
類型一、利用分式的基本性質求值
分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：
其中A,B,C為整式，且B、C≠0。
【例1-1】若，求的值＝　 　．
【例1-2】．已知x2﹣4xy+4y2＝0，那么分式的值等于多少？
【例1-3】．已知，求分式的值．　　
針對練習1
1．已知+＝3，求的值．
2．閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
3．已知：，求代數式的值．
4．已知：＝2，求的值．
5．已知a+＝5，求的值．
6．閱讀材料題：
已知：＝＝，求分式的值．
解：設＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，所以＝＝＝．
參照上述材料解題：
（1）已知＝＝，求分式的值．
（2）已知＝＝，其中x+y+z≠0，求的值．
類型二、分式化簡求值
按分式的運算順序(先乘方再乘除，最后加減，有括號先算括號內)先化簡，再代入求值。
代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．
【例2-1】先化簡，再求值：，其中a＝5．
【例2-2】先化簡，再從﹣2，2，4，0中選擇一個合適的數代入求值．
【例2-3】先化簡，再求值：，然后從0，1，2，3中選擇一個合適的m的值，代入求值．
針對練習2
1．先化簡，再求值：，其中a＝﹣1．
2．先化簡分式，再代入求值：，其中a是﹣1＜a≤2的整數．
3．先化簡：，再從﹣1，0，1，2中取一個合適的數作為a的值代入求值．
．
類型三、整體代入求值
所給的值不是具體的字母的值，而是一個代數式的值，按分式的運算順序先化簡，求值時把給出的式子整體代入。
【例3-1】先化簡，再求值：，a滿足a2+a﹣3＝0．
【例3-2】先化簡再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
【例3-3】先化簡，再求值：，其中x滿足x2+3x﹣4＝0．
針對練習3
1．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，則的值等于 （　?。?br/>A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
2．如果a+2b＝2，那么代數式的值是（　?。?br/>A．﹣2 B．2 C． D．
3．已知a2﹣a﹣3＝0，求代數式的值．
4．先化簡，再求值：（x﹣）÷，其中x滿足x2+x﹣5＝0．
5．先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣2x﹣2＝0．
類型四、倒數法求值
所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．
【例4-1】在初中數學學習階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．
材料一：在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．
例：已知：，求代數式x2+的值．
解：∵，∴＝4即＝4
∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸雲怠発”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當變形解決問題．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則x＝，y＝，z＝，∴
根據材料回答問題：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【例4-2】例：已知，求代數式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
根據材料回答問題：
（1）若，求的值；
（2）在（1）條件下求的值；
（3）已知，求的值．
【例4-3】用四塊完全相同的小長方形拼成的一個“回字”正方形．
（1）用兩種不同的方法由代數式來表示圖中陰影部分的面積，并用等號連接；
（2）若a＞b，利用（1）中的等式計算a+b＝1，ab＝，求（a﹣b）2的值；
（3）若x2﹣3x+1＝0，利用（1）中的等式，求x﹣的值．
針對練習4
1 .已知：，求，的值．
2．閱讀理解：已知：x2﹣3x+1＝0，求的值．
解：因為x2﹣3x+1＝0，所以：x2+1＝3x．
又因為x≠0，所以．
所以，即，所以．
請運用以上解題方法，解答下列問題：
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
3 ..在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算求值的目的．
例：已知，求代數式x2的值．
解：∵，∴5即5，∴x5．
（1）請繼續完成上面問題的求值過程；
（2）請仿照上述方法解決問題：已知4，求的值．
4 .閱讀下列解題過程：
已知，求的值．
解：由，知x≠0，所以，即．
∴
∴的值為7的倒數，即．
以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數”，然后求出待求式子倒數的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面問題：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
類型五、消元求值
消元求值作為解決代數式求值時一種常用方法，在實際解題過程中應用非常廣泛，常見的消元方法有：代入消元法，加減消元法、比值消元法，倒數消元法．
【例5-1】閱讀下列材料：
消元求值作為解決代數式求值時一種常用方法，在實際解題過程中應用非常廣泛，常見的消元方法有：代入消元法，加減消元法、比值消元法等方法，下面介紹一種倒數消元法．
（1）已知，，則＝　﹣1?。?br/>（2）已知，，求證：；
（3）已知（其中a、b、c互不相等），求t的值．
【例5-2】閱讀材料：《見微知著》談到，從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
問題解決：（1）已知xy＝1．
①代數式的值為 　1　；
②求證：；
（2）若x滿足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
針對練習5
1.已知，，，求的值．
2 .定義：如果一個分式能化成一個非零整式與一個分子為非零常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如：，，則和都是“和諧分式”．
（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是：?、佗邸。ㄌ钚蛱枺?；①；②；③．
（2）判斷分式是否為和諧分式，并說明你的理由．
（3）當整數x取 　﹣3　時，的值為整數．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十五 分式巧求值方法歸納（解析版）
類型一、利用分式的基本性質求值
分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：
其中A,B,C為整式，且B、C≠0。
【例1-1】若，求的值＝　 ?。?br/>【分析】將通分變形，轉化為x﹣y＝﹣3xy，再把它整體代入原式約分求值．
【解答】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整體代入原式：＝＝3．
故答案為3．
【點評】正確對已知的式子進行變形，用已知的式子把未知的式子表示出來，是代數式求值的一種基本思路．
【例1-2】．已知x2﹣4xy+4y2＝0，那么分式的值等于多少？
【分析】根據已知條件x2﹣4xy+4y2＝0，求出x與y的關系，再代入所求的分式中進行解答．
【解答】解：∵x2﹣4xy+4y2＝0，
∴（x﹣2y）2＝0，
∴x＝2y，
∴＝＝．
故分式的值等于．
【點評】根據已知條件x2﹣4xy+4y2＝0，求出x與y的關系是解答本題的關鍵．
【例1-3】．已知，求分式的值．　　
【分析】先將整理變形，轉化為，再將分式化簡，求出分式的值．
【解答】解：由整理變形，轉化為，分式＝．
故答案為．
【點評】解決本題的關鍵是將式子整理變形，對分式進行化簡．
針對練習1
1．已知+＝3，求的值．
【分析】由+＝3，得y+x＝3xy，代入所求的式子化簡即可．
【解答】解：∵+＝3，
∴y+x＝3xy，
∴＝＝＝．
【點評】運用整體代入法是解答本題的關鍵．
2．閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根據提示，先設比值為k，再利用等式列出三元一次方程組，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代數式．
【解答】解：設＝＝＝k，
則：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝＝＝．
【點評】本題主要考查分式的基本性質，重點是設“k”法．
3．已知：，求代數式的值．
【分析】設t＝，則x、y、z可以用同一個字母來表示，然后將其代入代數式，然后將代數式化簡即可．
【解答】解：設t＝，則
x＝2t ①
y＝3t ②
z＝4t ③
將①②③代入代數式，得
＝＝，
所以，代數式的值是．
【點評】本題體現了轉化思想，將未知數x、y、z轉化為含有相同字母的量，然后代入所求代數式，只要將代數式化簡即可．
4．已知：＝2，求的值．
【分析】根據已知條件求出（a﹣b）與ab的關系，再代入所求的分式進行求值．
【解答】解：∵＝2，
∴b﹣a＝2ab，故a﹣b＝﹣2ab，
∴＝＝＝＝5．
【點評】根據已知條件求出（a﹣b）與ab的關系，再進行整體代入是解答本題的關鍵．
5．已知a+＝5，求的值．
【分析】把已知條件兩邊同時乘方，再根據完全平方公式展開，求出a2+的值，然后根據分式的基本性質，分子分母都除以a2，整體代入進行計算即可求解．
【解答】解：∵a+＝5，
∴（a+）2＝25，
即a2+2+＝25，
∴a2+＝23，
＝a2+1+＝23+1＝24．
故答案為：24．
【點評】本題考查了分式的基本性質以及完全平方公式，整體思想的利用是解題的關鍵．
6．閱讀材料題：
已知：＝＝，求分式的值．
解：設＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，所以＝＝＝．
參照上述材料解題：
（1）已知＝＝，求分式的值．
（2）已知＝＝，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】（1）按照例子解題即可；
（2）設＝＝＝k，y+y，x+y＝kz，三式相加得：2（x+y+z）＝k（x+y+z），求得k＝2，代入計算即可．
【解答】解：（1）設＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝6k，
∴＝＝＝；
（2）設＝＝＝k，
∴y+y，x+y＝kz，
三式相加得：2（x+y+z）＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴＝＝．
【點評】本題考查了分式的基本性質，設k法是分式運算中較為重要的方法，需要熟練掌握．
類型二、分式化簡求值
按分式的運算順序(先乘方再乘除，最后加減，有括號先算括號內)先化簡，再代入求值。
代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．
【例2-1】先化簡，再求值：，其中a＝5．
【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面同分計算，再根據分式混合運算的運算法則和運算順序進行化簡，最后將a的值代入計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
當a＝5時，原式＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則是解題的關鍵．
【例2-2】先化簡，再從﹣2，2，4，0中選擇一個合適的數代入求值．
【分析】根據分式混合運算法則先化簡，再將使原式有意義的數代入計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當a＝4時，原式＝．
【點評】本題主要考查分式的運算及化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則計算是解決本題的關鍵．
【例2-3】先化簡，再求值：，然后從0，1，2，3中選擇一個合適的m的值，代入求值．
【分析】先計算乘除，最后計算加減，取有意義的m的值代入求解．
【解答】解：原式＝×﹣
＝m﹣
＝
＝2m，
當m＝2時，原式＝4．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是正確分式的混合運算法則．
針對練習2
1．先化簡，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先計算括號內的同分母的減法，再將分子因式分解，約分即可化簡，最后代入a的值，計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵a＝﹣1，
∴原式＝1﹣1＝0．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的基本性質與通分、約分及分式的混合運算順序是解題的關鍵．
2．先化簡分式，再代入求值：，其中a是﹣1＜a≤2的整數．
【分析】先算括號內的式子，再算括號外的除法，然后根據a是﹣1＜a≤2的整數，從中選取一個使得原分式有意義的整數，代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：
＝
＝（﹣）
＝
＝，
∵﹣1＜a≤2，且a為整數，
∴a可為0，1，2，
又∵a＝0或±2時，原分式無意義，
∴a只能取1．
當a＝1時，原式＝＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練運用分式的運算法則進行化簡是解題的關鍵，注意取值時要使分式有意義．
3．先化簡：，再從﹣1，0，1，2中取一個合適的數作為a的值代入求值．
【分析】先將原分式化簡，再根據分式有意義的條件選擇合適的數代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
根據分式有意義的條件可知：a≠0，a﹣1≠0，a+1≠0，
則有a≠0，a≠1，a≠﹣1，
在﹣1，0，1，2中，a只能取2，
當a≠2時，有：原式＝，
即化簡結果為：，值為：﹣1．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
類型三、整體代入求值
所給的值不是具體的字母的值，而是一個代數式的值，按分式的運算順序先化簡，求值時把給出的式子整體代入。
【例3-1】先化簡，再求值：，a滿足a2+a﹣3＝0．
【分析】根據分式的加法法則、除法法則把原式化簡，整體代入計算得到答案．
【解答】解：原式＝（+）
＝ （a+2）
＝a2+a+2，
∵a2+a﹣3＝0，
∴a2+a＝3，
∴原式＝3+2＝5．
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
【例3-2】先化簡再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
【分析】先計算括號，再計算除法，最后代入計算．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝×
＝，
∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
當x2+3x＝5時，原式＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算法則．
【例3-3】先化簡，再求值：，其中x滿足x2+3x﹣4＝0．
【分析】先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式＝x+1，接著利用因式分解法解一元二次方程，然后根據分式有意義的條件確定x＝4，最后把x＝4代入計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x+1，
解方程x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1
∵x﹣1≠0且x+1≠0，
∴x＝﹣4，
當x＝﹣4時，原式＝﹣4+1＝﹣3．
【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．也考查了因式分解法解一元二次方程
針對練習3
1．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，則的值等于 （　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【分析】根據完全平方公式展開得出a2+2ab+b2＝4，a2﹣2ab+b2＝8，求出a2+b2＝6，ab＝﹣1，再通分，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，
∴a2+2ab+b2＝4①，a2﹣2ab+b2＝8②，
①+②得：2a2+2b2＝12，
a2+b2＝6，
①﹣②得：4ab＝﹣4，
ab＝﹣1，
∴＝＝＝﹣6．
故選：B．
【點評】本題考查了完全平方公式和分式的化簡求值，能求出a2+b2＝6和ab＝﹣1是解此題的關鍵．
2．如果a+2b＝2，那么代數式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】先計算同分母分式的減法，再將分子、分母因式分解，最后約分，繼而將a+2b＝2代入計算可得．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+2b＝2，
∴原式＝，
故選：B．
【點評】本題主要考查分式的加減法，掌握分式的加減法則是解題關鍵．
3．已知a2﹣a﹣3＝0，求代數式的值．
【分析】根據分式運算的法則，將分式進行化簡，然后根據化簡后的結果將a2﹣a﹣3＝0進行化簡，代入求值即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a2﹣a﹣3＝0，
∴a2＝a+3，
∴原式＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，解決本題的關鍵是熟練掌握分式的化簡的步驟方法，將代數式化簡到最簡分式是解決本題的重點．
4．先化簡，再求值：（x﹣）÷，其中x滿足x2+x﹣5＝0．
【分析】先通分括號內的式子，然后計算括號外的除法，再根據x2+x﹣5＝0，可以得到x2+x＝5，然后整體代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：（x﹣）÷
＝
＝
＝
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
∴原式＝5．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
5．先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x2＝2x+2代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴當x2＝2x+2時，原式＝＝＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
類型四、倒數法求值
所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．
【例4-1】在初中數學學習階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．
材料一：在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．
例：已知：，求代數式x2+的值．
解：∵，∴＝4即＝4
∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解決某些連等式問題時，通常可以引入參數“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當變形解決問題．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則x＝，y＝，z＝，∴
根據材料回答問題：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【分析】（1）根據題意，可知，然后變形整理，即可得到所求式子的值；
（2）根據材料2中的例子，可以求得所求式子的值；
（3）根據材料中的例子，將題目中的式子整理，化簡，即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）設，則a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴；
（3）設，
∴①，
②，
③，
①+②+③，得
，
④，
④﹣①，得：，
④﹣②，得：，
④﹣③，得：，
∴，，，
∵
∴，
∴，
解得，k＝4，
∴，，，
∴．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．
【例4-2】例：已知，求代數式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
根據材料回答問題：
（1）若，求的值；
（2）在（1）條件下求的值；
（3）已知，求的值．
【分析】（1）根據材料中的解法，直接取倒數求解即可得到答案；
（2）根據材料中的解法，直接求解即可得到答案；
（3）根據材料中的解法，直接求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
（2）由（1）知，
∴＝＝＝＝；
（3）∵，
∴，即，
∴，
∴＝＝＝62﹣2＝34．
【點評】本題考查代數式求值，涉及完全平方公式變形求值，讀懂題意，準確變形求值是解決問題的關鍵．
【例4-3】用四塊完全相同的小長方形拼成的一個“回字”正方形．
（1）用兩種不同的方法由代數式來表示圖中陰影部分的面積，并用等號連接；
（2）若a＞b，利用（1）中的等式計算a+b＝1，ab＝，求（a﹣b）2的值；
（3）若x2﹣3x+1＝0，利用（1）中的等式，求x﹣的值．
【分析】（1）根據陰影部分面積＝4個長方形面積之和，陰影部分面積＝大正方形面積﹣小正方形面積，列出代數式即可解答；
（2）把a+b＝1，ab＝代入4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2中，即可求解；
（3）根據x2﹣3x+1＝0可得，在根據（1）的結論變形，最后代入即可求解．
【解答】解：（1）陰影部分的面積為：
；
（2）∵a+b＝1，ab＝，
由（1）知，4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∴，
解得：；
（3）∵要使x﹣有意義，
∴必須x≠0，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴，
即，
根據（1）結論可得，
，
∴，
解得：，
∴的值為．
【點評】此題考查了分式的化簡求值，以及完全平方公式的幾何背景，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
針對練習4
1 .已知：，求，的值．
【分析】先根據完全平方公式進行變形得出a2+＝（a+）2﹣2，（a﹣）2＝（a+）2﹣4，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴
＝（a+）2﹣2a
＝（1+）2﹣2
＝1+10+2﹣2
＝9+2；
＝（a+）2﹣4a
＝（1+）2﹣4
＝1+10+2﹣4
＝7+2．
【點評】本題考查了分式的化簡求值和完全平方公式，能正確根據完全平方公式進行變形是解此題的關鍵．
2．閱讀理解：已知：x2﹣3x+1＝0，求的值．
解：因為x2﹣3x+1＝0，所以：x2+1＝3x．
又因為x≠0，所以．
所以，即，所以．
請運用以上解題方法，解答下列問題：
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據已知等式得到，根據完全平方公式計算，得到答案；
（2）根據完全平方公式、平方根的概念計算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵m≠0，
∴，
∴，即，
∴；
（2）∵，
，
＝11，
∴＝±
【點評】本題考查的是分式的化簡求值、完全平方公式，正確利用完全平方公式進行變形是解題的關鍵．
3 ..在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算求值的目的．
例：已知，求代數式x2的值．
解：∵，∴5即5，∴x5．
（1）請繼續完成上面問題的求值過程；
（2）請仿照上述方法解決問題：已知4，求的值．
【分析】（1）把x5兩邊平方，利用完全平方公式化簡，計算即可求出所求；
（2）已知等式左右兩邊求倒數，變形后求出x的值，兩邊平方利用完全平方公式化簡，原式變形后代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）把x5兩邊平方得：
（x）2＝25，即x22＝25，
則x223；
（2）∵4，
∴，即x﹣1，
整理得：x，
兩邊平方得：（x）2，
整理得：x22，x2，
則原式．
【點評】此題考查了約分，以及完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
4 .閱讀下列解題過程：
已知，求的值．
解：由，知x≠0，所以，即．
∴
∴的值為7的倒數，即．
以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數”，然后求出待求式子倒數的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面問題：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
【分析】
（1）把已知等式變形求出x的值，再把所求的式子變形后進行計算即可；
（2）把已知等式變形求出x的值，再把所求的式子變形后進行計算即可；
（3）把已知三個等式變形后相加可以求出的值，再把所求的式子變形后進行計算即可．
【詳解】解：（1）由，知x≠0，
所以，
即，
∴x2
＝（x）2﹣2
＝22﹣2
＝2，
∴的值為2的倒數，即；
（2）由，知x≠0，
所以：7，
∴x﹣17，
即，
∴x2﹣1
＝（x）2﹣3
＝82﹣3
＝61，
∴的值為61的倒數，即；
（3）由，知x≠0，y≠0，
∴，
∴①，
由，知y≠0，z≠0，
∴，
∴②，
由，知z≠0，x≠0，
∴，
∴③，
①+②+③得：
2（），
∴1，
∴1，
∴的值為1的倒數，即1．
類型五、消元求值
消元求值作為解決代數式求值時一種常用方法，在實際解題過程中應用非常廣泛，常見的消元方法有：代入消元法，加減消元法、比值消元法，倒數消元法．
【例5-1】閱讀下列材料：
消元求值作為解決代數式求值時一種常用方法，在實際解題過程中應用非常廣泛，常見的消元方法有：代入消元法，加減消元法、比值消元法等方法，下面介紹一種倒數消元法．
（1）已知，，則＝　﹣1??；
（2）已知，，求證：；
（3）已知（其中a、b、c互不相等），求t的值．
【分析】（1）依據題意，根據已知條件分別求出b和，然后再相乘得1，然后再變形可以得解；
（2）依據題意，類似（1）求出再與x相乘可得y，z的式子，再變形可以得解；
（3）依據題意，通過消元法建立關于t的方程t2﹣2＝0，進而可以得解．
【解答】解：（1）由題意，＝﹣1﹣a，b＝﹣1﹣，
∴b ＝（﹣1﹣a）（﹣1﹣）＝1+a++＝1．
∴a＝﹣．
∴c＝﹣．
∴c+＝+＝＝﹣1．
故答案為：﹣1．
（2）由題意，∵y＝3﹣，
∴＝3﹣y．
∴＝．
∴x ＝（3﹣） ＝1．
∴3﹣＝．
∴1﹣＝．
∴＝1﹣．
∴z＝3﹣．
（3）由a+＝t得：ab+2＝bt①，
由b+＝t得：b＝t﹣②，
把②代入①得：ab+2＝t（t﹣）＝t2﹣，
∴abc+2c＝ct2﹣2t．
∴abc+2t＝c（t2﹣2）．
同理得：abc+2t＝a（t2﹣2），
abc+2t＝b（t2﹣2），
∴a（t2﹣2）＝b（t2﹣2）＝c（t2﹣2）．
∵a、b、c互不相等，
∴t2﹣2＝0，
∴t＝±．
【點評】本題是閱讀材料問題，也是分式的化簡問題，考查了分式的基本性質，有難度．
【例5-2】閱讀材料：《見微知著》談到，從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
問題解決：（1）已知xy＝1．
①代數式的值為 　1??；
②求證：；
（2）若x滿足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
【分析】（1）①由題意可得xy＝1，代入所求式中可求值；
②由題意可得xy＝1，則x2021y2021＝1，代入第1個加數中可求值；
（2）把2021﹣x看作a，把2020﹣x看作b，根據完全平方公式可得答案．
【解答】（1）①解：∵xy＝1，
∴+＝＝+＝1，
故答案為：1；
②證明：∵xy＝1，
∴x2023y2023＝1，
∴
＝
＝
＝1；
（2）∵[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2
＝（2023﹣x）2﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）+（2022﹣x）2，
∵（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，
∴4047﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）＝1，
∴（2023﹣x）（2022﹣x）＝2023．
【點評】本題考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中將所求式子中的1換成xy是本題的關鍵．
針對練習5
1.已知，，，求的值．
【分析】根據求出+＝1①，根據求出+＝②，根據求出+＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴x+y＝xy，
除以xy得：
+＝1①，
∵，
∴2y+2z＝yz，
除以yz得：
+＝1，
∴+＝②，
∵，
∴3z+3x＝xz，
∴+＝1，
∴+＝，
∴①+②+③得：
2（）＝1++＝，
∴++＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．
2 .定義：如果一個分式能化成一個非零整式與一個分子為非零常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如：，，則和都是“和諧分式”．
（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是：?、佗邸。ㄌ钚蛱枺?；①；②；③．
（2）判斷分式是否為和諧分式，并說明你的理由．
（3）當整數x取 　﹣3　時，的值為整數．
【分析】（1）根據給出的“和諧分式”的定義，逐個判斷得結論；
（2）可仿照定義后的例子，把分式變形為“和諧分式”；
（3）先化簡分式，再把分式化為“和諧分式”的形式，根據值為整數，確定x的值．
【解答】解：（1）
＝+＝1+，是“和諧分式”；
不能化成一個非零整式與一個分子為非零常數的分式的和的形式，所以這個分式不是“和諧分式”；
＝+
＝y+，是“和諧分式”；
故答案為：①③；
（2）是和諧分式，
理由：＝＝x﹣1+，
∴是和諧分式；
（3）﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝+
＝2+，
當x＝﹣3，﹣2，0，1時，2+的值為整數．
由于x＝﹣1，0，1，﹣2時，原分式沒有意義，
所以當x＝﹣3時，分式的值為整數，
故答案為：﹣3．
【點評】本題考查了分式的化簡、分式有意義的條件及分式的混合運算．解決本題的關鍵是弄清楚“和諧分式”的定義．注意（二）（3）x的取值范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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