資源簡介

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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十六 分式方程的解法、增根、無解等大串講
類型一、分式方程的解法串講
解分式方程的一般步驟：
1）（方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
典例
【例1-1】解方程：
（1）；
（2）．
【例1-2】解下列分式方程：
．
【例1-3】閱讀下面材料，解答后面的問題：
解方程：﹣＝0
解：設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經檢驗：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴當y＝2時，＝2，解得x＝﹣1；當y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．
經檢驗：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x＝．
上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：
（1）若在方程中﹣＝4，設 　?。統，則原方程可化為 　y+＝4　，原方程的解為 　x＝或x＝﹣??；
（2）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．
針對練習1
1．分式方程的解為（　?。?br/>A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．無解
2．嘉淇解分式方程的過程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括號，得6＝2x﹣3x﹣3②
移項、合并同類項，得x＝﹣9③
因為x＝﹣9時，各分母均不為0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步驟中，最開始出錯的一步是（　?。?br/>A．① B．② C．③ D．④
3．解分式方程：
（1）；
（2）．
4．閱讀下面材料，解答后面的問題：
解方程：﹣＝0
解：設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經檢驗：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴當y＝2時，＝2，解得x＝﹣1；當y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．
經檢驗：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x＝．
上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：
（1）若在方程中﹣＝4，設 　?。統，則原方程可化為 　y+＝4　，原方程的解為 　x＝或x＝﹣??；
（2）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．
5．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：
解方程（）2﹣6（）+5＝0
解：令＝y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5＝0
（y﹣5）（y﹣1）＝0
解得：y1＝5，y2＝1
∵＝y
∴＝5或＝1
①當＝5時，方程可變為：
x＝5（x﹣1）
解得x＝
②當＝1時，方程可變為：
x＝x﹣1
此時，方程無解
檢驗：將x＝代入原方程，
最簡公分母不為0，且方程左邊＝右面
∴x＝是原方程的根
綜上所述：原方程的根為：x＝
根據以上材料，解關于x的方程x2++x+＝0．
類型二、分式方程的增根串講
增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0，二是其值應是去分母后所的整式方程的根。
典例
【例2-1】解關于x的方程﹣＝時產生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
【例2-2】關于x的分式方程．
（1）若方程的增根為x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．
針對練習2
1．若關于x的方程有增根，則m的值是（　　）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
2．若關于x的分式方程有增根，則m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
3．已知關于x的方程有增根，求m的值．
4．小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：．小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數是多少？
5．已知關于x的方程．
（1）當k＝1時，求該方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
類型三、分式方程無解串講
分式方程無解可以從以下兩種情況去考慮：
轉化成的整式方程無解；
分式方程轉化成整式方程有解，但這個解使最簡公分母為0
典例
【例3-1】（1）當m為何值時，方程+＝會產生增根．
（2）當m為何值時，方程+＝無解．
（3）已知關于x的方程﹣2＝的解為正數，求m的取值范圍．
【例3-2】（1）當a為何值時，方程有增根？
（2）當a為何值時，方程無解？
針對練習3
1．“若關于x的方程無解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移項得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同類項得：（a﹣3）x＝3，∵原方程無解，∴a﹣3＝0，∴a＝3． 丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移項，合并同類項得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程無解，∴x為增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．
下列說法正確的是（　　）
A．尖尖對，丹丹錯
B．尖尖錯，丹丹對
C．兩人都錯
D．兩人的答案合起來才對
2．若關于x的分式方程無解，則m的值是（　?。?br/>A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
3．已知關于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根為x＝1，求m的值；
（2）若方程無解，求m的值．
4．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程無解，求a的值．
5．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程無解，求a的值．
類型四、分式方程有解串講
分式方程有解可以從以下兩種情況去考慮：
轉化成的整式方程有解；
分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例4-1】若關于y的分式方程有解，且關于x的一元一次不等式組有解且至多有2個整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
【例4-2】關于x的分式方程有解，則滿足 ．
針對練習4
1．分式方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．且
2．若關于的分式方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
3．若關于x的分式方程有解，則m的值不等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
4．若關于x的一元一次不等式組有解，且關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
類型五、分式方程有正數解串講
分式方程有正數解可以從以下兩種情況去考慮：
含參數表示出來的方程解的式子大于0
（2）分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例5-1】已知關于x的方程+＝3．
（1）當m取何值時，此方程的解為x＝3；
（2）當m取何值時，此方程會產生增根；
（3）當此方程的解是正數時，求m的取值范圍．
【例5-2】（1）當m為何值時，方程+＝會產生增根．
（2）當m為何值時，方程+＝無解．
（3）已知關于x的方程﹣2＝的解為正數，求m的取值范圍．
針對練習5
1．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正數，求m的取值范圍．
2．關于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解為正數，求a的取值范圍．
3．（1）若解關于x的分式方程+＝會產生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正數，求a的取值范圍．
類型六、分式方程有負數解串講
分式方程有負數解可以從以下兩種情況去考慮：
含參數表示出來的方程解的式子小于0
分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例6-1】若關于x的分式方程的解為負數，求a的取值范圍．
【例6-2】若關于x的方程有非負數解，求m得取值范圍．
【例6-3】若關于x的分式方程的解是負數，當m取最大整數時，求m2+2m+1的平方根．
針對練習6
1．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是負數，求m的取值范圍．
2．已知關于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
3．已知關于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
4．（1）若關于x的方程＝3的解是正數，求m的取值范圍；
（2）關于x的方程＝1解是負數，求a的取值范圍；
（3）已知關于x的方程+＝有增根，求k的值；
（4）若關于x的分式方程﹣＝1無解，求a的值．
5．已知關于x的分式方程．
（1）若這個方程的解是負數，求m取值范圍；
（2）若這個方程無解，則m＝　3或10或﹣4　.（直接寫出答案）
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二十六 分式方程的解法、增根、無解等大串講
類型一、分式方程的解法串講
解分式方程的一般步驟：
（1）（方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
典例
【例1-1】解方程：
（1）；
（2）．
【分析】兩分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＝3（x﹣3），
解得：x＝5，
檢驗：把x＝5代入得：（x﹣2）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解為x＝5；
（2）分式方程整理得：＝﹣﹣2，
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
檢驗：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程無解．
【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
【例1-2】解下列分式方程：
．
【分析】按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答．
【解答】解：，
﹣＝0，
2（x+2）﹣6＝0，
解得：x＝1，
檢驗：當x＝1時，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝1是原方程的根．
【點評】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．
【例1-3】閱讀下面材料，解答后面的問題：
解方程：﹣＝0
解：設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經檢驗：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴當y＝2時，＝2，解得x＝﹣1；當y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．
經檢驗：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x＝．
上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：
（1）若在方程中﹣＝4，設 　?。統，則原方程可化為 　y+＝4　，原方程的解為 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．
【分析】（1）根據換元法，可得答案；
（2）根據分式的加減，可得：﹣＝0，根據換元法，可得答案．
【解答】解：（1）設＝y，則原方程化為：y﹣＝4，
方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4y﹣5＝0，解得：y＝﹣1或5，
經檢驗：y＝﹣1和5都是方程y+＝4的解．
當y＝﹣1時，＝﹣1，解得x＝；
當y＝5時，＝5，解得：x＝﹣．
經檢驗：x＝和x＝﹣是原分式方程的解，
故答案為：，y+＝4，x＝或x＝﹣；
（2）原方程化為：﹣＝0，
設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，
方程兩邊同時乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
經檢驗：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．
當y＝1時，＝1，該方程無解；
當y＝﹣1時，＝﹣1，解得：x＝﹣．
經檢驗：x＝﹣是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣．
【點評】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關鍵．
針對練習1
1．分式方程的解為（　?。?br/>A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．無解
【分析】去分母，去括號，移項，化系數為1，檢驗可得結論．
【解答】解：去分母，得4（x+2）﹣16＝6（x﹣2），
4x+8﹣16＝6x﹣12，
4x﹣6x＝﹣12+16﹣8
﹣2x＝﹣4
∴x＝2，
經檢驗，x＝2是增根，
∴原分式方程無解．
故選：D．
【點評】本題考查了分式方程的求解，要始終注意分母不為0這個條件．分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
2．嘉淇解分式方程的過程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括號，得6＝2x﹣3x﹣3②
移項、合并同類項，得x＝﹣9③
因為x＝﹣9時，各分母均不為0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步驟中，最開始出錯的一步是（　?。?br/>A．① B．② C．③ D．④
【分析】去括號時，如果括號前面是減號，要把括號里的每一項都變號，則可判定最開始出錯的一步是②．
【解答】解：解分式方程的過程如下：
去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3），
去括號，得6＝2x﹣3x+3，
移項、合并同類項，得x＝﹣3，
因為x＝﹣3時，各分母均不為0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣3．
所以最開始出錯的一步是②．
故選：B．
【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解答本題的關鍵．
3．解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程，檢驗是否是增根即可得到答案；
（2）先去分母，再解一元一次方程，檢驗是否是增根即可得到答案．
【解答】解：（1）方程兩邊乘x﹣2，得：
1﹣x＝﹣2﹣2（x﹣2），
解得x＝1，
檢驗：當x＝1時，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解為x＝1；
（2）方程兩邊乘x（x+1）（x﹣1），得：
5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
解得，
檢驗：當時，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解為．
【點評】本題考查解分式方程，解題的關鍵是注意檢驗是否為增根．
4．閱讀下面材料，解答后面的問題：
解方程：﹣＝0
解：設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經檢驗：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴當y＝2時，＝2，解得x＝﹣1；當y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．
經檢驗：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x＝．
上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：
（1）若在方程中﹣＝4，設 　?。統，則原方程可化為 　y+＝4　，原方程的解為 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．
【分析】（1）根據換元法，可得答案；
（2）根據分式的加減，可得：﹣＝0，根據換元法，可得答案．
【解答】解：（1）設＝y，則原方程化為：y﹣＝4，
方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4y﹣5＝0，解得：y＝﹣1或5，
經檢驗：y＝﹣1和5都是方程y+＝4的解．
當y＝﹣1時，＝﹣1，解得x＝；
當y＝5時，＝5，解得：x＝﹣．
經檢驗：x＝和x＝﹣是原分式方程的解，
故答案為：，y+＝4，x＝或x＝﹣；
（2）原方程化為：﹣＝0，
設y＝，則原方程化為：y﹣＝0，
方程兩邊同時乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
經檢驗：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．
當y＝1時，＝1，該方程無解；
當y＝﹣1時，＝﹣1，解得：x＝﹣．
經檢驗：x＝﹣是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣．
【點評】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關鍵．
5．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：
解方程（）2﹣6（）+5＝0
解：令＝y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5＝0
（y﹣5）（y﹣1）＝0
解得：y1＝5，y2＝1
∵＝y
∴＝5或＝1
①當＝5時，方程可變為：
x＝5（x﹣1）
解得x＝
②當＝1時，方程可變為：
x＝x﹣1
此時，方程無解
檢驗：將x＝代入原方程，
最簡公分母不為0，且方程左邊＝右面
∴x＝是原方程的根
綜上所述：原方程的根為：x＝
根據以上材料，解關于x的方程x2++x+＝0．
【分析】先變形，設x+＝a，則原方程化為a2+a﹣2＝0，求出a的值，再代入求出x的值，最后進行檢驗即可．
【解答】解：x2++x+＝0，
（x+）2+x+﹣2＝0，
設x+＝a，則原方程化為：a2+a﹣2＝0，
解得：a＝﹣2或1，
當a＝﹣2時，x+＝﹣2，
x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
當a＝1時，x+＝1，
x2﹣x+1＝0，
此方程無解；
經檢驗x＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解為x＝﹣1．
【點評】本題考查了解分式方程的應用，能正確換元是解此題的關鍵．
類型二、分式方程的增根
增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0，二是其值應是去分母后所的整式方程的根。
典例
【例2-1】解關于x的方程﹣＝時產生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
【分析】根據等式的性質，可得整式方程，根據方程的增跟適合整式方程，可得關于k的方程，根據解方程，可得答案．
【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下兩種情況：
令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5
令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，
綜上所述，k的值為﹣5，或﹣．
【點評】本題考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出關于k的方程是解題關鍵．
【例2-2】關于x的分式方程．
（1）若方程的增根為x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．
【分析】（1）根據分式方程的性質先去分母，再移項并合并同類項，結合題意，通過求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根據分式方程增根的性質，首先得方程的增根為x＝﹣1或x＝2，再通過計算即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，
去分母得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
移項并合并同類項，得：（m﹣1）x+8＝0，
當方程的增根為x＝2時，（m﹣1）×2+8＝0，
∴m＝﹣3；
（2）當方程有增根時，方程的增根為x＝﹣1或x＝2，
當x＝2時，m＝﹣3，
當x＝﹣1時，（m﹣1）×（﹣1）+8＝0，
解得：m＝9，
∴m＝9或m＝﹣3．
【點評】本題考查了分式方程的知識，掌握分式方程的性質是關鍵．
針對練習2
1．若關于x的方程有增根，則m的值是（　?。?br/>A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
【分析】先求出增根，把分式方程化為整式方程，把增根代入整式方程，求出m．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
，
﹣1＝，
2x﹣（x﹣3）＝1﹣m，
x+3＝1﹣m，
把x＝3代入原方程得m＝﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的產生的原因，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值是解題的關鍵．
2．若關于x的分式方程有增根，則m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【分析】根據題意可得：x＝±2，然后把x的值代入到整式方程中進行計算即可解答．
【解答】解：，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
當x＝2時，m﹣4＝2，
∴m＝6，
當x＝﹣2時，m﹣4＝﹣2，
∴m＝2，
∴m的值是6或2，
故選：A．
【點評】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后，代入到整式方程中進行計算是解題的關鍵．
3．已知關于x的方程有增根，求m的值．
【分析】先化為整式方程，將x＝3代入，即可求解．
【解答】解：去分母，整理得（m+3）x＝4m+8，
解得：，
∵關于x的方程有增根，
∴x＝3，
∴，
解得m＝1．
【點評】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關鍵是掌握分式方程的解法．
4．小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：．小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數是多少？
【分析】設？為m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：設？為m，則，
m+3（x﹣2）＝﹣1，
把x＝2代入得
m+3（2﹣2）＝﹣1，
∴m＝﹣1．
所以，原分式方程中“？”代表的數是﹣1．
【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
5．已知關于x的方程．
（1）當k＝1時，求該方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
【分析】（1）把k＝1代入方程計算即可求出解；
（2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入計算即可求出k的值．
【解答】解：（1）把k＝1代入方程得：﹣＝，
去分母得：1﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
解得：x＝，
經檢驗x＝是分式方程的解；
（2）分式方程去分母得：k﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝±1，
把x＝1代入方程得：k﹣10＝0，解得：k＝10；
把x＝﹣1代入方程得：k＝﹣14．
故k的值為10或﹣14．
【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
類型三、分式方程無解
分式方程無解可以從以下兩種情況去考慮：
轉化成的整式方程無解；
分式方程轉化成整式方程有解，但這個解使最簡公分母為0
典例
【例3-1】（1）當m為何值時，方程+＝會產生增根．
（2）當m為何值時，方程+＝無解．
（3）已知關于x的方程﹣2＝的解為正數，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據分式方程增根的定義進行解答即可；
（2）根據分式方程無解的兩種進行解答即可；
（3）先解分式方程，再根據解為正數，得出m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵方程+＝會產生增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
分式方程化為整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，
當x＝1時，m＝﹣10；
當x＝﹣1時，m＝﹣4；
∴當m＝﹣10或﹣4時，方程+＝會產生增根；
（2）分式方程化為整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）＝12，整理得，（3+m）x＝2m+6，
當3+m≠0時，x＝2，經檢驗x＝2是分式方程的增根，
當m＝﹣3時，方程有無數個解，
∴當m≠﹣3時，方程+＝無解；
（3）分式方程化為整式方程后得，x﹣2（x﹣3）＝m，
整理得，﹣x＝m﹣6，
∴x＝6﹣m，
∵關于x的方程﹣2＝的解為正數，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，
m＜6，且m≠3，
∴m的取值范圍m＜6，且m≠3；
【點評】本題考查了分式方程的增根，掌握分式方程有增根的條件是解題的關鍵．
【例3-2】（1）當a為何值時，方程有增根？
（2）當a為何值時，方程無解？
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根據方程有增根，求出x的值，即可求出a的值；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程無解得到x＝﹣1，代入整式方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）分式方程去分母得：x﹣2＝2x﹣6+a，
由分式方程有增根得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3﹣2＝6﹣6+a，即a＝1；
（2）去分母得：3a+1＝ax+a，
當a＝0時，原分式方程無解；
當其有增根時，原分式方程無解，即x+1＝0，即x＝﹣1，
代入整式方程得：3a+1＝﹣a+a，即a＝﹣．
故a＝0或a＝﹣．
【點評】此題考查了分式方程的增根，以及分式方程的解，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
針對練習3
1．“若關于x的方程無解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移項得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同類項得：（a﹣3）x＝3，∵原方程無解，∴a﹣3＝0，∴a＝3． 丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移項，合并同類項得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程無解，∴x為增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．
下列說法正確的是（　?。?br/>A．尖尖對，丹丹錯
B．尖尖錯，丹丹對
C．兩人都錯
D．兩人的答案合起來才對
【分析】先化簡分式方程為（a﹣3）x＝3，根據題意可得x為增根或a﹣3＝0，分別求出對應的a的值即可．
【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移項，合并同類項得：
（a﹣3）x＝3，
∵原方程無解，
∴x為增根或a﹣3＝0，
當3x﹣9＝0，解得x＝3，此時＝3，解得a＝4；
當a﹣3＝0，解得a＝3；
綜上所述：a的值為3或4，
故選：D．
【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程無解的時候滿足的條件是解題的關鍵．
2．若關于x的分式方程無解，則m的值是（　?。?br/>A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解，得到最簡公分母為0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
由分式方程無解，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：m＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．
故選：A．
【點評】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
3．已知關于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根為x＝1，求m的值；
（2）若方程無解，求m的值．
【分析】先去分母，整理得（m+1）x＝﹣5，
（1）根據方程有增根，且增根為x＝1，求解即可；
（2）根據方程無解，分情況討論：當x＝﹣2，x＝1，m+1＝0分別求解即可．
【解答】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1，
整理，得（m+1）x＝﹣5，
（1）將x＝1代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝﹣6；
（2）∵方程無解，
當x＝1時，m＝﹣6；
將x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝，
當m+1＝0時，m＝﹣1，
∴滿足條件的m的值有或﹣6或﹣1．
【點評】本題考查了分式方程的增根和無解，理解分式方程有增根和無解的含義是解題的關鍵．
4．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程無解，求a的值．
【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分兩種情況分別求解即可；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0兩種情況分別求解即可．
【解答】解：（1）兩邊都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
綜上可知，a＝2；
（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，
當a+3＝0時，方程無解，即a＝﹣3，
當a+3≠0時，要使方程無解，則分式方程有增根，由（2）知a＝2，
綜上可知，a＝﹣3或a＝2．
【點評】本題考查了分式方程的增根和無解，理解分式方程有增根和無解的含義是解題的關鍵．
5．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程無解，求a的值．
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分兩種情況分別求解即可；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0兩種情況分別求解即可．
【解答】解：（1）把x＝5代入得，，
解得a＝﹣1；
（2），
兩邊都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
綜上可知，a＝2；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，
當a+3＝0時，方程無解，即a＝﹣3，
當a+3≠0時，要使方程無解，則分式方程有增根，由（2）知a＝2，
綜上可知，a＝﹣3或a＝2．
【點評】此題考查了分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．
類型四、分式方程有解
分式方程有解可以從以下兩種情況去考慮：
轉化成的整式方程有解；
分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例4-1】若關于y的分式方程有解，且關于x的一元一次不等式組有解且至多有2個整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
【答案】26
【分析】根據分式方程有解，確定，根據有解且至多有2個整數解，，確定計算即可．
【詳解】∵解分式方程，
解得：，
∵，
∴，
∵的解集為；的解集為，
∵有解且至多有2個整數解，
∴，
解得，
故a的整數解為7，8，9，10，
∵，
故符合題意a的整數解為7，9，10，
∴，
故答案為：26．
【點睛】本題考查了解分式方程，不等式組的整數解，正確理解題意是解題的關鍵．
【例4-2】關于x的分式方程有解，則滿足 ．
【答案】且
【分析】本題考查了分式方程的含參問題，解題的關鍵重在結合題干的限定，同時不要忘記分母不能為0，故先去分母得到，再通過去括號、移項、合并同類項得到，再根據分式方程有意義的條件即可得到答案．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項、合并同類項得：，
解得：，
∵該方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案為：且．
針對練習4
1．分式方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】先求出m與x的關系，再根據分式方程有解的條件判斷即可．
【詳解】解：
方程兩邊同時乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴．
∵，
∴
∵分式方程有解，
∴且
∴且
∴，
∴，
綜上可知，且，
故選D
【點睛】本題考查了根據分式方程解的情況求參數，解題的關鍵是找出增根．
2．若關于的分式方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解分式方程得到，再根據分式方程有解，進行求解即可．
【詳解】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
∵關于的分式方程有解，
∴，
∴，
∴且，
故選D．
【點睛】本題主要考查了分式方程有解的問題，正確解方程得到是解題的關鍵．
3．若關于x的分式方程有解，則m的值不等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】D
【分析】解分式方程，根據分式方程有解，求得m的取值范圍即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
解得：，
分式方程有解，
，
即，
解得，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，關鍵是明確分式方程有解的條件是分母不為0．
4．若關于x的一元一次不等式組有解，且關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
【答案】7
【分析】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的解；熟練掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，對分式方程切勿遺漏增根的情況是解題的關鍵．由關于的一元一次不等式組有解可得，再由分式方程求解可得為非負整數，考慮時是增根，則可求整數的值為，，1，3，7，其和為7．
【詳解】解：不等式組的解為，
關于的一元一次不等式組有解，
，
，
方程的兩邊同時乘以，得
，
解得：，
解為非負整數，
、、、、、，
，
，
整數的值為，，1，3，7，其和為7．
故答案為：7．
類型五、分式方程有正數解
分式方程有正數解可以從以下兩種情況去考慮：
含參數表示出來的方程解的式子大于0
（2）分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例5-1】已知關于x的方程+＝3．
（1）當m取何值時，此方程的解為x＝3；
（2）當m取何值時，此方程會產生增根；
（3）當此方程的解是正數時，求m的取值范圍．
【分析】（1）把x＝3代入方程+＝3即可得出m的值；
（2）根據增根的定義，得出增根x＝2，從而得出m的值；
（3）把分式方程化為整式方程，根據解為正數，得出m的取值范圍．
【解答】解：（1）把x＝3代入方程+＝3，得
m＝﹣3；
（2）方程的增根為x＝2，
2x+m＝3x﹣6，
所以m＝﹣4；
（3）去分母得，2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
因為x＞0，
所以m+6＞0，
解得m＞﹣6，
因為x≠2，
所以m≠﹣4．
【點評】本題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解題的關鍵．
【例5-2】（1）當m為何值時，方程+＝會產生增根．
（2）當m為何值時，方程+＝無解．
（3）已知關于x的方程﹣2＝的解為正數，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據分式方程增根的定義進行解答即可；
（2）根據分式方程無解的兩種進行解答即可；
（3）先解分式方程，再根據解為正數，得出m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵方程+＝會產生增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
分式方程化為整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，
當x＝1時，m＝﹣10；
當x＝﹣1時，m＝﹣4；
∴當m＝﹣10或﹣4時，方程+＝會產生增根；
（2）分式方程化為整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）＝12，整理得，（3+m）x＝2m+6，
當3+m≠0時，x＝2，經檢驗x＝2是分式方程的增根，
當m＝﹣3時，方程有無數個解，
∴當m≠﹣3時，方程+＝無解；
（3）分式方程化為整式方程后得，x﹣2（x﹣3）＝m，
整理得，﹣x＝m﹣6，
∴x＝6﹣m，
∵關于x的方程﹣2＝的解為正數，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，
m＜6，且m≠3，
∴m的取值范圍m＜6，且m≠3；
【點評】本題考查了分式方程的增根，掌握分式方程有增根的條件是解題的關鍵．
針對練習5
1．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正數，求m的取值范圍．
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程計算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正數，求出m的范圍即可．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x＝，
根據分式方程的解為正數，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
2．關于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解為正數，求a的取值范圍．
【分析】（1）去分母，然后代入增根，進一步可得a的值；
（2）先解分式方程，根據此方程解為正數，可得＞0且≠1，進一步可得a的取值范圍．
【解答】解：（1）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
將增根x＝1代入，得a+1﹣3＝0，
解得a＝2；
（2）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
解得x＝，
∵此方程解為正數，
∴＞0且≠1，
解得a＞﹣2且a≠2．
【點評】本題考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟練掌握解分式方程的增根是解題的關鍵．
3．（1）若解關于x的分式方程+＝會產生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正數，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根，把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．
（2）先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求a的取值范圍．
【解答】解：（1）方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最簡公分母為（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根為x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
綜上，可知m＝﹣4或6．
（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x
解得：x＝，
∵解為正數，
∴，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
【點評】本題考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
類型六、分式方程有負數解
分式方程有負數解可以從以下兩種情況去考慮：
含參數表示出來的方程解的式子小于0
分式方程轉化成整式方程有解，且這個解使最簡公分母不為0
典例
【例6-1】若關于x的分式方程的解為負數，求a的取值范圍．
【分析】分式方程去分母后轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根據解為負數列出不等式，求出不等式的解集得到a的范圍，且將x＝﹣1，2代入求出a的值，即可確定出a的范圍．
【解答】解：分式方程去分母得：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2＝2x+a，
整理得：x2﹣1﹣x2+4x﹣4＝2x+a，
解得：x＝，
根據題意得：＜0，
解得：a＜﹣5，
再將x＝2代入方程得：a＝﹣1；將x＝﹣1代入得：a＝﹣7，
則a的取值范圍為a＜﹣5且a≠﹣7．
【點評】此題考查了分式方程的解，弄清題意是解本題的關鍵．
【例6-2】若關于x的方程有非負數解，求m得取值范圍．
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再結合題意得出關于m的不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，
∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范圍是m≤6且m≠3．
【點評】本題考查了分式方程的解，根據題意得出關于m的不等式組是解決問題的關鍵．
【例6-3】若關于x的分式方程的解是負數，當m取最大整數時，求m2+2m+1的平方根．
【分析】通過解分式方程解出分式方程的解，再確定符合條件的m可取的最大整數解，再計算出此題最后結果即可．
【解答】解：解分式方程，3x﹣2x﹣2＝m
得x＝2+m，
若它的解是負數，
即2+m＜0，且2+m≠﹣1時，
得m＜﹣2且m≠﹣3，
可得m取最大整數﹣4，
當m＝﹣4時，
m2+2m+1的平方根是：＝±3．
【點評】此題考查了對分式方程及不等式的應用能力，關鍵是能正確求解分式方程與不等式，并根據題意正確確定問題的答案．
針對練習6
1．已知關于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是負數，求m的取值范圍．
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x＝1，代入整式方程計算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是負數，求出m的范圍即可．
【解答】解：（1）分式方程有增根，則方程的增根為x＝1，
原方程去分母并整理得5x﹣m+2＝0，
將x＝1代入得5﹣m+2＝0，
解得m＝7；
（2）由（1）得5x﹣m+2＝0，
解這個方程得，
∵方程的解是負數，
∴，
解得m＜2，
∴當m＜2時，分式方程的解是負數．
【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
2．已知關于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
【分析】（1）根據題意可得x＝±1，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答；
（2）根據題意可得＜0且≠±1，然后進行計算即可解答．
【解答】解：（1），
4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
當x＝1時，＝1，
解得：k＝6，
當x＝﹣1時，＝﹣1，
解得：k＝﹣8，
∴k的值為6或﹣8；
（2）∵方程的解為負數，
∴x＜0且x≠±1，
∴＜0且≠±1，
∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8，
∴k的取值范圍為：k＜﹣1且k≠﹣8．
【點評】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后，代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．
3．已知關于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程有增根，得到最簡公分母為0，代入整式方程計算即可求出k的值．
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x，根據解為負數求出k的范圍即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由這個方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
將x＝1代入整式方程得：k＝6，
將x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
則k的值為6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括號合并得：7x﹣1＝k，即x＝，
根據題意得：＜0，且≠1且≠﹣1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【點評】此題考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清題意是解本題的關鍵．
4．（1）若關于x的方程＝3的解是正數，求m的取值范圍；
（2）關于x的方程＝1解是負數，求a的取值范圍；
（3）已知關于x的方程+＝有增根，求k的值；
（4）若關于x的分式方程﹣＝1無解，求a的值．
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程的解為非負數確定出m的范圍即可；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解為負數，列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集即可確定出a的范圍；
（3）先解分式方程，再分式方程的增根的定義求得k．
（4）分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程無解，得到有增根或整式方程無解，確定出a的范圍即可．
【解答】解：（1）去分母得：2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
由分式方程的解為正數，
得到m+6＞0，且m+6≠2，
解得m＞﹣6且m≠﹣4；
（2）去分母得：a＝x+1，
解得x＝a﹣1，
∵方程有解，且解為負數，
∴，
∴a＜1且a≠0；
（3）去分母得：x+1+k（x﹣1）＝（k﹣1）（x+1），
解得x＝k﹣1，
∵關于x的方程+＝有增根，
∴x＝k﹣1＝0或x＝k﹣1＝1或x＝k﹣1＝﹣1．
∴k的值為1或2或0．
（4）分式方程去分母得：x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得（a+2）x＝3，
由分式方程無解，即a+2＝0或＝1，
解得a＝﹣2或1．
【點評】本題考查分式方程的解，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程的步驟，掌握分式方程的增根是解決本題的關鍵．
5．已知關于x的分式方程．
（1）若這個方程的解是負數，求m取值范圍；
（2）若這個方程無解，則m＝　3或10或﹣4　.（直接寫出答案）
【分析】（1）先把方程化為整式方程，再根據題意求解；
（2）根據：“分式方程無解，則整式方程無解，或是增根”求解．
【解答】解：（1）方程兩邊同乘以（x+3）（x﹣3）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
解得：x＝
由題意得：＜0，≠±3，
解得：m＞3且m≠10；
（2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
由題意得：m﹣3＝0或＝±3，
解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4，
故答案為：3或10或﹣4．
【點評】本題考查了分式方程，化分式方程為整式方程是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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