資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題二十七 分式方程的應(yīng)用大串講
類型一、工程問題
工程問題 基本公式：工作量=工時(shí)×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)，恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若由乙隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)，需要超過規(guī)定時(shí)間15天才能完成，如果先由甲、乙兩隊(duì)合做10天，再由乙隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)正好按時(shí)完成．
（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？
（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5000元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3000元，為了縮短工期以減少對(duì)居民交通的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成，那么該工程施工費(fèi)用是多少？
【例1-2】某校利用暑假進(jìn)行田徑場的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場施工，計(jì)劃用30天時(shí)間完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該田徑場舉行，要求比原計(jì)劃提前8天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號(hào)與一號(hào)施工隊(duì)共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程．
（1）若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
（2）若此項(xiàng)工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
針對(duì)練習(xí)1
1 .正所謂“道路通達(dá)，百業(yè)興旺”，某村決定對(duì)村里的部分道路進(jìn)行整改，將工程交由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多修0.4km，如果甲工程隊(duì)修6.4km所用的天數(shù)是乙工程隊(duì)修9.6km所用天數(shù)的一半．
（1）求甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少km？
（2）現(xiàn)計(jì)劃再修建長度為24km的道路，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為2.4萬元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為1.5萬元，求在總費(fèi)用不超過33.6萬元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天？
2．甲．乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩人各加工600個(gè)這種零件，甲比乙少用5天．求甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)這種零件？
3．甲、乙二人組裝一批機(jī)械零件承擔(dān)，甲乙二人對(duì)話信息如下：
甲說：我每小時(shí)比乙少做6個(gè)；
乙說：你做60個(gè)與我做90個(gè)所用時(shí)間相等．
求甲、乙每小時(shí)各組裝零件多少個(gè)．
4．2021年12月，我市某區(qū)千畝“三月紅”柑橘掛滿枝頭，采摘人員的需求也隨之增多，為了盡快搶收成熟柑橘，某脫貧攻堅(jiān)辦公室緊急組織了一支志愿者服務(wù)隊(duì)．某村種植合作社共需要采摘柑橘240噸，村民采摘40噸后，志愿者服務(wù)隊(duì)加入一起采摘．已知志愿者服務(wù)隊(duì)采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，從村民開始采摘到全部采摘完畢，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少噸？
（2）已知合作社每天需要支出給村民勞務(wù)費(fèi)2000元，志愿者服務(wù)隊(duì)是義務(wù)勞動(dòng)，不需支出勞務(wù)費(fèi)，只需每天支出飲食費(fèi)500元，問志愿者服務(wù)隊(duì)加入后可幫助合作社節(jié)省多少元？
類型二、行程問題
行程問題：（1）路程=速度x時(shí)間
順?biāo)俣? 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例2-1】核酸檢測(cè)時(shí)需要先采集樣本，采集樣本結(jié)束后，再統(tǒng)一把樣本送檢測(cè)中心檢驗(yàn)，且采集的樣本和送達(dá)的樣本的時(shí)間必須在4小時(shí)內(nèi)完成，超過4小時(shí)送達(dá)，樣本就會(huì)失效．已知A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)到檢測(cè)中心的路程分別為30km、36km，經(jīng)過了解獲得A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)的送檢車有如下信息：
信息一：B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度1.2倍；
信息二：A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車行駛的時(shí)間之和為2小時(shí)．
（1）A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車的平均速度分別是多少？
（2）若B采樣點(diǎn)從開始采集樣本到送檢車出發(fā)用了2.6小時(shí)，判斷樣本送達(dá)檢測(cè)中心后會(huì)不會(huì)失效？
【例2-2】“藝綻新時(shí)代，技炫新未來！”第五屆中國雜技藝術(shù)節(jié)于2022年11月8日—13日在濮陽隆重舉行．某校初二年級(jí)的學(xué)生從學(xué)校出發(fā)乘大巴去市文化官參加“第五屆中國雜技藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)，市文化宮距離該校12千米，1號(hào)車出發(fā)3分鐘后，2號(hào)車才出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)，已知2號(hào)車的平均速度是1號(hào)車的平均速度的1.2倍，求2號(hào)車的平均速度（千米/分鐘）．
【例2-3】面對(duì)新一輪疫情，蕪湖市開展圍繞家庭戰(zhàn)“疫”健身活動(dòng)，周末張華和張明兄弟兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知張華騎行的速度是張明的1.2倍．
（1）若張明先騎行2千米，張華才開始從A地出發(fā)，則張華出發(fā)半小時(shí)恰好追上張明，求張華騎行的速度；
（2）若張明先騎行20分鐘，張華才開始從A地出發(fā)，則兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地，求張華騎行的速度．
針對(duì)練習(xí)2
1．斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對(duì)生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A﹣B﹣C橫穿雙向行駛車道，其中AB＝BC＝12米，在綠燈亮?xí)r，小敏共用22秒通過AC路段，其中通過BC路段的速度是通過AB路段速度的1.2倍，則小敏通過AB路段時(shí)的速度是（　　）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
2．《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一封信件用慢馬送到1000里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多2天；若用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍．小明認(rèn)為規(guī)定的時(shí)間為7天，小亮認(rèn)為規(guī)定的時(shí)間為8天，關(guān)于兩個(gè)人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（　　）
A．小明的觀點(diǎn)正確 B．小亮的觀點(diǎn)正確
C．兩人的觀點(diǎn)都不正確 D．無法確定
3．馬小虎的家距離學(xué)校1800米，一天馬小虎從家去上學(xué)，出發(fā)10分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)課本忘記拿了，立即帶上課本去追他，在距離學(xué)校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是馬小虎速度的2倍，求馬小虎的速度．設(shè)馬小虎的速度為x米/分．
（1）依題意，填寫下表：
路程 速度 時(shí)間
小虎 　1600　 x 　　
爸爸 1600 2x
（2）根據(jù)上表，列方程解決問題．
4．甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3000米．甲同學(xué)先步行600米，然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘．
（1）求乙騎自行車的速度；
（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
類型三、營銷類問題
總價(jià)=數(shù)量x單價(jià)
【例3-1】某中學(xué)為了止學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng)，據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；
（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元，學(xué)校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費(fèi)用不超過2400元，求在菜苗基地購買A種菜苗至少多少捆．
【例3-2】端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市節(jié)前購進(jìn)了甲、乙兩種暢銷口味的粽子．已知購進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍．求乙種粽子的單價(jià)是多少元？
【例3-3】2023年4月24日，在“中國航天日”主場活動(dòng)啟動(dòng)儀式上，國家航天局和中國科學(xué)院聯(lián)合發(fā)布了中國首次火星探測(cè)火星全球影像圖．我國航天事業(yè)的飛速發(fā)展激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣．某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，決定購入A、B兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)是B款套裝單價(jià)的1.2倍，用9600元購買的A款套裝數(shù)量比用7200元購買的B款套裝數(shù)量多5套，問A、B兩款套裝的單價(jià)分別是多少元？
針對(duì)練習(xí)3
1．學(xué)期末，班主任為獲得“文明學(xué)生”和“勞動(dòng)積極分子”稱號(hào)的學(xué)生準(zhǔn)備了A，B兩種禮物．已知A，B兩種禮物的總價(jià)分別為450元和420元，且A種禮物比B種禮物多10份，A，B兩種禮物的單價(jià)分別是這一批禮物平均單價(jià)的和1.2倍，則這一批禮物的平均單價(jià)是（　　）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
2．為深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，我國綠色發(fā)展成就顯著，在今年的植樹造林活動(dòng)期間，某苗圃公司第一天賣出一批小葉欖仁樹苗共收款8000元，第二天又賣出同樣的樹苗收款17000元，所賣數(shù)量是第一天的2倍，售價(jià)比第一天每棵多了5元，第二天每棵樹苗售價(jià)是 　85　元．
3．2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A、B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元購進(jìn)兩種文化衫，應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫多少件．
4．列方程解應(yīng)用題．
某商店老板第一次用1000元購進(jìn)了一批口罩，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每個(gè)口罩的進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批口罩，所購進(jìn)口罩的數(shù)量是第一批購進(jìn)口罩?jǐn)?shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批口罩的售價(jià)均為15元．
（1）求第二次購進(jìn)了多少個(gè)口罩？
（2）商店老板第一次購進(jìn)的口罩有30元的損耗，第二次購進(jìn)的口罩有125元的損耗，問商店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？
類型四、商品利潤問題
售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤 進(jìn)價(jià)x利潤率=利潤 標(biāo)價(jià)x折扣=售價(jià)
【例4-1】現(xiàn)有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數(shù)和單價(jià)如表．商店以糖果的平均價(jià)格作為什錦糖的單價(jià)，要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，需加入甲種糖 　10　千克．
甲種糖果 乙種糖果
千克數(shù) 20 30
單價(jià)（元/千克） 25 15
【例4-2】2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A、B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元購進(jìn)兩種文化衫，應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫多少件．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司購買了A、B兩種不同型號(hào)的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同．
（1）A、B兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司還需要增加購買一些口罩，增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過3600元，則增加購買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？
針對(duì)練習(xí)4
1．某物美超市同時(shí)賣出了兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的冰墩墩A和B，售價(jià)均為90元，按成本計(jì)算，超市人員發(fā)現(xiàn)冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B卻虧損了40%，則這次超市是（　　）
A．不賺不賠 B．賺了 C．賠了 D．無法判斷
2．2月開學(xué)季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學(xué)大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)之比為2～4～5，銷量之比為7～1～2．開學(xué)后不久，根據(jù)市場需求，在2月下旬文具店老板店對(duì)三種主題大禮包售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，其中B主題大禮包售價(jià)比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價(jià)的基礎(chǔ)上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為4～7～5，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為 　6：5　．
3．為深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，我國綠色發(fā)展成就顯著，在今年的植樹造林活動(dòng)期間，某苗圃公司第一天賣出一批小葉欖仁樹苗共收款8000元，第二天又賣出同樣的樹苗收款17000元，所賣數(shù)量是第一天的2倍，售價(jià)比第一天每棵多了5元，第二天每棵樹苗售價(jià)是 　85　元．
4．一商店用800元買進(jìn)玩具若干個(gè)，其中有2個(gè)損壞無法出售，剩余的以每個(gè)比進(jìn)價(jià)多10元的價(jià)格出售，若剩余的全部賣完，則這批玩具共賺100元．則這批玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)是 　40　元．
類型五、最優(yōu)方案問題
用代數(shù)式表示出不同的方案，利用不等式確定最優(yōu)方案
【例5-1】疫情防控，人人有責(zé)．某公司為了解決員工的口罩問題上，準(zhǔn)備采購A、B兩種型號(hào)的口罩，A種口罩每件單價(jià)比B種口罩每件多100元，用2000元購進(jìn)A種口罩和用1200元購進(jìn)B種口罩的數(shù)量相同．
（1）A種口罩每件的單價(jià)和B種口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）公司計(jì)劃用4000元的資金購進(jìn)A、B兩種型號(hào)的口罩共20件，其中A種口罩?jǐn)?shù)量不得低于B種口罩?jǐn)?shù)量的一半，該公司有幾種采購方案，哪種購買方式最劃算？
【例5-2】某區(qū)在進(jìn)行雨水、污水管道改造工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需120天．若由乙先單獨(dú)做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需要多少天？
（2）甲隊(duì)施工一天，需付1.5萬元工程費(fèi)，乙隊(duì)施工一天，需付2.5萬元工程費(fèi)，若該工程計(jì)劃在90天內(nèi)完成，在不超過工程計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢，還是由甲、乙全程共同完成更省錢，說明理由．
【例5-2】永州市萬達(dá)廣場籌建之初的一項(xiàng)挖土工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，每施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬元，付乙工程隊(duì)工程款1.8萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：
（方案一）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好按規(guī)定工期完成：
（方案二）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙兩隊(duì)合作做5天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好按規(guī)定工期完工．
（1）請(qǐng)你求出完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間；
（2）如果你是工程領(lǐng)導(dǎo)小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時(shí)又能如期完工，你將選擇哪一種方案？說明理由．
針對(duì)練習(xí)5
1．為響應(yīng)對(duì)口扶貧，深圳某單位和西部某鄉(xiāng)結(jié)對(duì)幫扶，采購該鄉(xiāng)農(nóng)副產(chǎn)品助力鄉(xiāng)村振興．已知1件A產(chǎn)品價(jià)格比1件B產(chǎn)品價(jià)格少20元，300元購買A產(chǎn)品件數(shù)與400元購買B產(chǎn)品件數(shù)相同．
（1）A產(chǎn)品和B產(chǎn)品每件分別是多少元？
（2）深圳該對(duì)口單位動(dòng)員職工采購該鄉(xiāng)A、B兩種農(nóng)副產(chǎn)品，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：職工響應(yīng)積極，兩種預(yù)計(jì)共購買150件，A的數(shù)量不少于B的2倍，當(dāng)采購A、B兩種農(nóng)副產(chǎn)品為多少時(shí)，購買總費(fèi)用最大？并求購買總費(fèi)用的最大值．
2．為落實(shí)“雙減政策”某學(xué)校購進(jìn)“紅色教育”和“傳統(tǒng)文化”兩種經(jīng)典讀本，花費(fèi)分別是12000元和5000元，已知“紅色教育”經(jīng)典讀本的訂購單價(jià)是“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的訂購單價(jià)的1.2倍，并且訂購的“紅色教育”經(jīng)典讀本的數(shù)量比“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的數(shù)量多500本．
（1）求該學(xué)校訂購的兩種經(jīng)典讀本的單價(jià)分別是多少元；
（2）該學(xué)校擬計(jì)劃再訂購這兩種經(jīng)典讀本共1000本，其中“紅色教育”經(jīng)典讀本訂購數(shù)量不低于600本且總費(fèi)用不超過11500元，求該學(xué)校訂購這兩種讀本的最低總費(fèi)用．
3．某公司舉行周年慶典，決定訂購一批印有公司logo的記事本贈(zèng)送給客戶，購買甲種記事本共花費(fèi)3000元，購買乙種記事本共花費(fèi)2100元，購買甲種記事本的數(shù)量是購買乙種記事本數(shù)量的2倍，且購買一個(gè)乙種記事本比購買一個(gè)甲種記事本多花20元．
（1）求購買一個(gè)甲種記事本，一個(gè)乙種記事本各需多少元？
（2）由于公司業(yè)務(wù)的擴(kuò)大，公司決定再次購買甲、乙兩種記事本共40個(gè)，且乙種記事本不少于23個(gè)，預(yù)算金額不超過2400元，購買時(shí)恰逢該店對(duì)兩種記事本的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種記事本售價(jià)比第一次購買時(shí)提高了10%，乙種記事本售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%，請(qǐng)問該公司有哪幾種方案購買這批記事本？
4．羽毛球運(yùn)動(dòng)由于高強(qiáng)度、低對(duì)抗、適齡廣的特點(diǎn)，成為男女老少喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．某商家購進(jìn)了耐打型羽毛球和競技型羽毛球進(jìn)行銷售，已知一筒競技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)多40元，其中購買耐打型羽毛球花費(fèi)5000元，購買競技型羽毛球花費(fèi)4500元，且購買耐打型羽毛球數(shù)量是購買競技型羽毛球數(shù)量的2倍．
（1）求一筒競技型羽毛球的進(jìn)價(jià)是多少元．
（2）商家第一次購進(jìn)的羽毛球很快售完，決定再次購進(jìn)同種類型的耐打型羽毛球和競技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)比第一次購買時(shí)提高了18%，而競技型的進(jìn)價(jià)在第一次購買時(shí)進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上打95折，如果商家此次購買耐打型羽毛球和競技型羽毛球的總費(fèi)用不超過8140元，那么此次最多可購買多少筒競技型羽毛球？
類型六、圖形圖表問題
從圖形圖表上挖掘信息，建立等量關(guān)系
【例6-1】劉峰和李明相約周末去科技館看展覽，根據(jù)他們的談話內(nèi)容，試求李明乘公交車、劉峰騎自行車每小時(shí)各行多少千米？
【例6-2】近期，受俄烏局勢(shì)影響，國內(nèi)汽油價(jià)格不斷上漲．請(qǐng)你根據(jù)下面的信息（如圖），計(jì)算今年4月份汽油的價(jià)格．
【例6-3】某汽車網(wǎng)站對(duì)兩款價(jià)格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評(píng)測(cè)，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
燃油車 純電新能源車
油箱容積：48升 電池容量：90千瓦時(shí)
油價(jià)：8元/升 電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)
（1）設(shè)兩款車的續(xù)航里程均為a千米，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；
（2）若燃油車每千米行駛費(fèi)用比純電新能源車多0.55元．
①請(qǐng)分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用；
②若燃油車和純電新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和8100元．問：每年行駛里程超過多少千米時(shí)，新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）
針對(duì)練習(xí)6
1．春節(jié)即將到來，家家戶戶貼春聯(lián)，掛燈籠，歡天喜地迎新年．某百貨超市計(jì)劃購進(jìn)春聯(lián)和燈籠這兩種商品．請(qǐng)你根據(jù)下面的信息（如圖），計(jì)算每個(gè)燈籠和每副春聯(lián)的進(jìn)價(jià)．
2．為進(jìn)一步推進(jìn)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，某縣準(zhǔn)備修建一條縣級(jí)公路．開工時(shí)政府部門要求工程隊(duì)每天的平均進(jìn)度要比原計(jì)劃提高20%，結(jié)果提前20天完成了任務(wù)．
（1）設(shè)這條縣級(jí)公路長為akm，該工程隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建公路x km，請(qǐng)用含a，x的代數(shù)式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天數(shù)/天
原計(jì)劃 x
實(shí)際 　（1+20%）x　 　　
（2）若這條要修建的公路長度為50km，該工程隊(duì)實(shí)際平均每天修建公路多少千米？
3．根據(jù)素材，完成活動(dòng)任務(wù)：
素材一 為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加學(xué)校勞動(dòng)，養(yǎng)成勞動(dòng)習(xí)慣，培養(yǎng)勞動(dòng)品質(zhì)某校“方志實(shí)踐”勞動(dòng)基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地．已知圍欄的橫杠長為15dm，豎杠長為8dm，一副圍欄由2個(gè)橫杠，5個(gè)豎杠制作而成．
素材二 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組到市場了解到：現(xiàn)木材市場的這種規(guī)格的圍欄材料每根長為40dm，價(jià)格為50元/根．為了深度參與學(xué)校蔬菜基地的建立，項(xiàng)目化小組打算自己購買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄同時(shí)為了圍欄的牢固性，用料不能是拼接而成．
解決問題
任務(wù)要求 解決辦法
任務(wù)一 一根40dm長的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢） 方法①：當(dāng)只裁剪8dm長的豎杠時(shí)，最多可裁剪 　5　根；方法②：當(dāng)先裁剪下1根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠 　3　根；方法③：當(dāng)先裁剪下2根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠 　1　根．
任務(wù)二 基地負(fù)責(zé)老師告訴項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組：搭建蔬菜基地需要用到的圍欄長為75dm（即需要制作5副圍欄，需要的用料為：25個(gè)豎杠，10個(gè)橫杠），請(qǐng)完成裁剪并計(jì)算費(fèi)用． 項(xiàng)目化小組打算用“任務(wù)一”中的方法②和方法③完成裁剪任務(wù)．請(qǐng)計(jì)算：分別用“任務(wù)一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm長的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料？并求出購買圍欄材料的費(fèi)用．
任務(wù)三 某安裝技術(shù)人員告訴項(xiàng)目化小組同學(xué)：我們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)可以安裝m根豎杠或（7﹣m）根橫杠．現(xiàn)需知道技術(shù)人員的安裝效率． 任務(wù)二中的5副圍欄安裝完畢時(shí)，項(xiàng)目化小組發(fā)現(xiàn)技術(shù)人員安裝豎杠所需的時(shí)間與安裝橫杠所需的時(shí)間相同，則m＝　5　．
八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題二十七 分式方程的應(yīng)用大串講
類型一、工程問題
工程問題 基本公式：工作量=工時(shí)×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)，恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若由乙隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)，需要超過規(guī)定時(shí)間15天才能完成，如果先由甲、乙兩隊(duì)合做10天，再由乙隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)正好按時(shí)完成．
（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？
（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5000元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3000元，為了縮短工期以減少對(duì)居民交通的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成，那么該工程施工費(fèi)用是多少？
【分析】（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)甲、乙隊(duì)先合做10天，余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先計(jì)算甲、乙合作需要的時(shí)間，然后計(jì)算費(fèi)用即可．
【解答】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意得：
（+）×10+＝1．
解得：x＝30．
經(jīng)檢驗(yàn)x＝30是原分式方程的解．
答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．
（2）該工程由甲、乙隊(duì)合做完成，所需時(shí)間為：1÷（+）＝18（天），
則該工程施工費(fèi)用是：18×（5000+3000）＝144000（元），
答：該工程的費(fèi)用為144000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答此類工程問題，經(jīng)常設(shè)工作量為“單位1”，注意仔細(xì)審題，運(yùn)用方程思想解答．
【例1-2】某校利用暑假進(jìn)行田徑場的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場施工，計(jì)劃用30天時(shí)間完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該田徑場舉行，要求比原計(jì)劃提前8天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號(hào)與一號(hào)施工隊(duì)共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程．
（1）若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
（2）若此項(xiàng)工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
【分析】（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝45，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要45天．
（2）根據(jù)題意得：（天），
答：若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要18天．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
針對(duì)練習(xí)1
1 .正所謂“道路通達(dá)，百業(yè)興旺”，某村決定對(duì)村里的部分道路進(jìn)行整改，將工程交由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多修0.4km，如果甲工程隊(duì)修6.4km所用的天數(shù)是乙工程隊(duì)修9.6km所用天數(shù)的一半．
（1）求甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少km？
（2）現(xiàn)計(jì)劃再修建長度為24km的道路，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為2.4萬元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為1.5萬元，求在總費(fèi)用不超過33.6萬元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天？
【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x km，則甲工程隊(duì)每天修路（x+0.4）km，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合甲工程隊(duì)修6.4km所用的天數(shù)是乙工程隊(duì)修9.6km所用天數(shù)的一半，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可求出乙工程隊(duì)每天修路長度，再將其代入（x+0.4）中，即可求出甲工程隊(duì)每天修路長度；
（2）設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工天，利用總費(fèi)用＝甲工程隊(duì)每天所需費(fèi)用×甲工程隊(duì)工作時(shí)間+乙工程隊(duì)每天所需費(fèi)用×乙工程隊(duì)工作時(shí)間，結(jié)合總費(fèi)用不超過33.6萬元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x km，則甲工程隊(duì)每天修路（x+0.4）km，
根據(jù)題意得：＝×，
解得：x＝1.2，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.2是所列方程的解，且符合題意，
∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6．
答：甲工程隊(duì)每天修路1.6km，乙工程隊(duì)每天修路1.2km；
（2）設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工天，
根據(jù)題意得：2.4×+1.5m≤33.6，
解得：m≥8，
∴m的最小值為8．
答：至少安排乙工程隊(duì)施工8天．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
2．甲．乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩人各加工600個(gè)這種零件，甲比乙少用5天．求甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)這種零件？
【分析】設(shè)乙每天加工零件x個(gè)，則甲每天加工零件1.5x個(gè)，根據(jù)兩人各加工600個(gè)這種零件，甲比乙少用5天列出方程，解方程并檢驗(yàn)即可．
【解答】解：設(shè)乙每天加工零件x個(gè)，則甲每天加工零件1.5x個(gè)，
由題意得，，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝40是原分式方程的解且符合題意，1.5x＝60，
答：甲每天加工零件60個(gè)，乙每天加工零件40個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
3．甲、乙二人組裝一批機(jī)械零件承擔(dān)，甲乙二人對(duì)話信息如下：
甲說：我每小時(shí)比乙少做6個(gè)；
乙說：你做60個(gè)與我做90個(gè)所用時(shí)間相等．
求甲、乙每小時(shí)各組裝零件多少個(gè)．
【分析】設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，乙每小時(shí)做（x+6）個(gè)零件，根據(jù)甲做60個(gè)與乙做90個(gè)所用時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則乙每小時(shí)做（x+6）個(gè)零件，
由題意得：，
解得：x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝12是分式方程的解，且符合題意，
∴分式方程的解為：x＝12，
∴x+6＝18
答：甲每小時(shí)做12個(gè)零件，乙每小時(shí)做18個(gè)零件．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用；熟練掌握工作時(shí)間等于工作量除以工作效率是解題的關(guān)鍵．
4．2021年12月，我市某區(qū)千畝“三月紅”柑橘掛滿枝頭，采摘人員的需求也隨之增多，為了盡快搶收成熟柑橘，某脫貧攻堅(jiān)辦公室緊急組織了一支志愿者服務(wù)隊(duì)．某村種植合作社共需要采摘柑橘240噸，村民采摘40噸后，志愿者服務(wù)隊(duì)加入一起采摘．已知志愿者服務(wù)隊(duì)采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，從村民開始采摘到全部采摘完畢，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少噸？
（2）已知合作社每天需要支出給村民勞務(wù)費(fèi)2000元，志愿者服務(wù)隊(duì)是義務(wù)勞動(dòng)，不需支出勞務(wù)費(fèi)，只需每天支出飲食費(fèi)500元，問志愿者服務(wù)隊(duì)加入后可幫助合作社節(jié)省多少元？
【分析】（1）設(shè)村民每天采摘柑橘x噸，則志愿服務(wù)隊(duì)每天采摘柑橘1.5x噸，由題意：從村民開始采摘到全部采摘完畢，一共用了15天．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出原計(jì)劃村民需要的天數(shù)和志愿隊(duì)工作的天數(shù)，再求出實(shí)際花費(fèi)的費(fèi)用，即可解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)村民每天采摘柑橘x噸，則志愿服務(wù)隊(duì)每天采摘柑橘1.5x噸，
依題意得：+＝15，
解得：x＝8，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原分式方程的解，且符合題意，
則1.5x＝1.5×8＝12，
答：村民每天采摘柑橘8噸．
（2）原計(jì)劃村民需＝30（天）才能完成，則需花費(fèi)2000×30＝60000（元）．
志愿隊(duì)工作了＝10（天），村民工作了+10＝15（天），
∴實(shí)際花費(fèi)為：2000×15+500×10＝35000（元），
共節(jié)省了：60000﹣35000＝25000（元），
答：志愿者服務(wù)隊(duì)加入后可幫助合作社節(jié)省25000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
類型二、行程問題
行程問題：（1）路程=速度x時(shí)間
順?biāo)俣? 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例2-1】核酸檢測(cè)時(shí)需要先采集樣本，采集樣本結(jié)束后，再統(tǒng)一把樣本送檢測(cè)中心檢驗(yàn)，且采集的樣本和送達(dá)的樣本的時(shí)間必須在4小時(shí)內(nèi)完成，超過4小時(shí)送達(dá)，樣本就會(huì)失效．已知A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)到檢測(cè)中心的路程分別為30km、36km，經(jīng)過了解獲得A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)的送檢車有如下信息：
信息一：B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度1.2倍；
信息二：A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車行駛的時(shí)間之和為2小時(shí)．
（1）A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車的平均速度分別是多少？
（2）若B采樣點(diǎn)從開始采集樣本到送檢車出發(fā)用了2.6小時(shí)，判斷樣本送達(dá)檢測(cè)中心后會(huì)不會(huì)失效？
【分析】（1）根據(jù)B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度1.2倍，設(shè)A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是x km/h，則B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是1.2x km/h，根據(jù)A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車行駛的時(shí)間之和為2小時(shí)，由此可算出A、B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度；
（2）最后根據(jù)（1）中求出的B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度，利用路程與速度關(guān)系算出時(shí)間，由此即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是x km/h，則B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是1.2x km/h，
根據(jù)題意可知，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意，
∴A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是30km/h，B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是36km/h；
（2）由（1）可知B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度是36km/h，
∴B采集點(diǎn)送檢車的行駛時(shí)間為36÷36＝1h，
2.6+1＝3.6h＜4h，
∴B采集點(diǎn)送達(dá)檢測(cè)中心的樣本不會(huì)失效．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，路程問題，理解A采樣點(diǎn)送檢車的平均速度與B采樣點(diǎn)送檢車的平均速度，A、B兩個(gè)采樣點(diǎn)送檢車行駛的時(shí)間關(guān)系，求出各自的速度和時(shí)間是解題的關(guān)鍵．
【例2-2】“藝綻新時(shí)代，技炫新未來！”第五屆中國雜技藝術(shù)節(jié)于2022年11月8日—13日在濮陽隆重舉行．某校初二年級(jí)的學(xué)生從學(xué)校出發(fā)乘大巴去市文化官參加“第五屆中國雜技藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)，市文化宮距離該校12千米，1號(hào)車出發(fā)3分鐘后，2號(hào)車才出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)，已知2號(hào)車的平均速度是1號(hào)車的平均速度的1.2倍，求2號(hào)車的平均速度（千米/分鐘）．
【分析】設(shè)1號(hào)車的平均速度為x千米/分鐘，則2號(hào)車的平均速度為1.2x千米/分鐘，根據(jù)題干條件列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)1號(hào)車的平均速度為x千米/分鐘，則2號(hào)車的平均速度為1.2x千米/分鐘，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn) 是原方程的根，
（千米/分鐘），
答：2號(hào)車的平均速度為0.8千米/分鐘．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用及解分式方程，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中提取出等量關(guān)系和熟練掌握分式方程的解法．
【例2-3】面對(duì)新一輪疫情，蕪湖市開展圍繞家庭戰(zhàn)“疫”健身活動(dòng)，周末張華和張明兄弟兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知張華騎行的速度是張明的1.2倍．
（1）若張明先騎行2千米，張華才開始從A地出發(fā)，則張華出發(fā)半小時(shí)恰好追上張明，求張華騎行的速度；
（2）若張明先騎行20分鐘，張華才開始從A地出發(fā)，則兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地，求張華騎行的速度．
【分析】（1）設(shè)張明騎行的速度是x千米/小時(shí)，則張華騎行的速度是1.2x千米/小時(shí)，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合張華出發(fā)半小時(shí)恰好追上張明，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再將其代入1.2x中，即可求出張華騎行的速度；
（2）設(shè)張明騎行的速度是y千米/小時(shí)，則張華騎行的速度是1.2y千米/小時(shí)，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合張明比張華多用20分鐘，可列出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出y的值，再將其代入1.2y中，即可求出張華騎行的速度．
【解答】解：（1）設(shè)張明騎行的速度是x千米/小時(shí)，則張華騎行的速度是1.2x千米/小時(shí)，
根據(jù)題意得：2+0.5x＝0.5×1.2x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：張華騎行的速度是24千米/小時(shí)；
（2）設(shè)張明騎行的速度是y千米/小時(shí)，則張華騎行的速度是1.2y千米/小時(shí)，
根據(jù)題意得：﹣＝，
解得：y＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，y＝15是所列方程的解，且符合題意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：張華騎行的速度是18千米/小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
針對(duì)練習(xí)2
1．斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對(duì)生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A﹣B﹣C橫穿雙向行駛車道，其中AB＝BC＝12米，在綠燈亮?xí)r，小敏共用22秒通過AC路段，其中通過BC路段的速度是通過AB路段速度的1.2倍，則小敏通過AB路段時(shí)的速度是（　　）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【分析】設(shè)小敏通過AB路段時(shí)的速度是x米/秒，則小敏通過BC路段時(shí)的速度是1.2x米/秒，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合小敏共用22秒通過AC路段，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)小敏通過AB路段時(shí)的速度是x米/秒，則小敏通過BC路段時(shí)的速度是1.2x米/秒，
依題意得：+＝22，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是原方程的解，且符合題意，
∴小敏通過AB路段時(shí)的速度是1米/秒．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
2．《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一封信件用慢馬送到1000里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多2天；若用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍．小明認(rèn)為規(guī)定的時(shí)間為7天，小亮認(rèn)為規(guī)定的時(shí)間為8天，關(guān)于兩個(gè)人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（　　）
A．小明的觀點(diǎn)正確 B．小亮的觀點(diǎn)正確
C．兩人的觀點(diǎn)都不正確 D．無法確定
【分析】首先設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則快馬所需的時(shí)間為（x﹣3）天，慢馬所需的時(shí)間為（x+2）天，由題意得等量關(guān)系：慢馬速度×2＝快馬速度，根據(jù)等量關(guān)系，可得方程，再解方程可得答案．
【解答】解：設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則快馬所需的時(shí)間為（x﹣3）天，慢馬所需的時(shí)間為（x+2）天，由題意得：
，
解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)x＝8是原方程的根且符合題意；
∴規(guī)定的時(shí)間為8天，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．
3．馬小虎的家距離學(xué)校1800米，一天馬小虎從家去上學(xué)，出發(fā)10分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)課本忘記拿了，立即帶上課本去追他，在距離學(xué)校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是馬小虎速度的2倍，求馬小虎的速度．設(shè)馬小虎的速度為x米/分．
（1）依題意，填寫下表：
路程 速度 時(shí)間
小虎 　1600　 x 　　
爸爸 1600 2x
（2）根據(jù)上表，列方程解決問題．
【分析】（1）由爸爸追上馬小虎時(shí)，兩人的路程相同，可得出此時(shí)馬小虎走過的路程為1600米，集合馬小虎的速度，可求出馬小虎所用的時(shí)間；
（2）結(jié)合爸爸追上馬小虎時(shí)，爸爸比馬小虎少用10分鐘，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵爸爸追上馬小虎時(shí)，爸爸走過的路程為1600米，
∴馬小虎走過的路程為1600米；
又∵馬小虎的速度為x米/分，
∴馬小虎所用的時(shí)間為分鐘．
故答案為：1600，；
（2）根據(jù)題意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是所列方程的解，且符合題意．
答：馬小虎的速度為80米/分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
4．甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3000米．甲同學(xué)先步行600米，然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘．
（1）求乙騎自行車的速度；
（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
【分析】（1）設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）300×2＝600米即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，
根據(jù)題意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分鐘，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝300是方程的根，
答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；
（2）∵300×2＝600米，
答：當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有600米．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乙的運(yùn)動(dòng)速度是解題關(guān)鍵．
類型三、營銷類問題
總價(jià)=數(shù)量x單價(jià)
【例3-1】某中學(xué)為了止學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng)，據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；
（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元，學(xué)校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費(fèi)用不超過2400元，求在菜苗基地購買A種菜苗至少多少捆．
【分析】（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，根據(jù)用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元；
（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，由本次購買花費(fèi)不超過2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，
根據(jù)題意得：﹣＝5，
解得x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元；
（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的費(fèi)用不超過2400元，在菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．
答：菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．
【例3-2】端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市節(jié)前購進(jìn)了甲、乙兩種暢銷口味的粽子．已知購進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍．求乙種粽子的單價(jià)是多少元？
【分析】設(shè)乙種粽子的單價(jià)是x元，則甲種粽子的單價(jià)是2x元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用1200元購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比用800元購進(jìn)乙種粽子的數(shù)量少50個(gè)，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)乙種粽子的單價(jià)是x元，則甲種粽子的單價(jià)是2x元，
根據(jù)題意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是所列方程的解，且符合題意．
答：乙種粽子的單價(jià)是4元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【例3-3】2023年4月24日，在“中國航天日”主場活動(dòng)啟動(dòng)儀式上，國家航天局和中國科學(xué)院聯(lián)合發(fā)布了中國首次火星探測(cè)火星全球影像圖．我國航天事業(yè)的飛速發(fā)展激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣．某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，決定購入A、B兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)是B款套裝單價(jià)的1.2倍，用9600元購買的A款套裝數(shù)量比用7200元購買的B款套裝數(shù)量多5套，問A、B兩款套裝的單價(jià)分別是多少元？
【分析】設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是1.2x元，根據(jù)用9600元購買的A款套裝數(shù)量比用7200元購買的B款套裝數(shù)量多5套，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是1.2x元，
由題意得：﹣＝5，
解得：x＝160，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝160是原方程的解，且符合題意，
∴1.2x＝1.2×160＝192，
答：A款套裝的單價(jià)是192元，B款套裝的單價(jià)是160元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵,。
針對(duì)練習(xí)3
1．學(xué)期末，班主任為獲得“文明學(xué)生”和“勞動(dòng)積極分子”稱號(hào)的學(xué)生準(zhǔn)備了A，B兩種禮物．已知A，B兩種禮物的總價(jià)分別為450元和420元，且A種禮物比B種禮物多10份，A，B兩種禮物的單價(jià)分別是這一批禮物平均單價(jià)的和1.2倍，則這一批禮物的平均單價(jià)是（　　）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
【分析】設(shè)這一批禮物平均單價(jià)是x元，則A禮物的單價(jià)是0.9x元，B禮物的單價(jià)是1.2x元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合A種禮物比B種禮物多10份，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)這一批禮物平均單價(jià)是x元，則A禮物的單價(jià)是0.9x元，B禮物的單價(jià)是1.2x元，
依題意得：﹣＝10，
解得：x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，且符合題意．
答：這一批禮物平均單價(jià)是15元．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
2．為深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，我國綠色發(fā)展成就顯著，在今年的植樹造林活動(dòng)期間，某苗圃公司第一天賣出一批小葉欖仁樹苗共收款8000元，第二天又賣出同樣的樹苗收款17000元，所賣數(shù)量是第一天的2倍，售價(jià)比第一天每棵多了5元，第二天每棵樹苗售價(jià)是 　85　元．
【分析】設(shè)第二天每棵樹苗售價(jià)為x元，根據(jù)第二天所賣數(shù)量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：設(shè)第二天每棵樹苗售價(jià)為x元，
根據(jù)題意，得，
解得x＝85，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝85是原分式方程的根，且符合題意，
故答案為：85．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A、B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元購進(jìn)兩種文化衫，應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫多少件．
【分析】（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可求出B款文化衫的單價(jià)，再將其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的單價(jià)；
（2）設(shè)購進(jìn)B款文化衫y件，則購進(jìn)A款文化衫（300﹣y）件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不多于14800元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）設(shè)購進(jìn)B款文化衫y件，則購進(jìn)A款文化衫（300﹣y）件，
根據(jù)題意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫20件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
4．列方程解應(yīng)用題．
某商店老板第一次用1000元購進(jìn)了一批口罩，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每個(gè)口罩的進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批口罩，所購進(jìn)口罩的數(shù)量是第一批購進(jìn)口罩?jǐn)?shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批口罩的售價(jià)均為15元．
（1）求第二次購進(jìn)了多少個(gè)口罩？
（2）商店老板第一次購進(jìn)的口罩有30元的損耗，第二次購進(jìn)的口罩有125元的損耗，問商店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？
【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)了x個(gè)口罩，則第二次購進(jìn)了2x個(gè)口罩，利用單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每個(gè)口罩的進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元，可列出關(guān)于x的分式方程，解之可求出第一次購進(jìn)口罩的數(shù)量，再將其代入2x中，即可求出第二次購進(jìn)口罩的數(shù)量；
（2）利用商店老板在這兩筆生意中的總利潤＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨總價(jià)﹣兩次購進(jìn)口罩的損耗，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)了x個(gè)口罩，則第二次購進(jìn)了2x個(gè)口罩，
根據(jù)題意得：﹣＝2.5，
解得：x＝100，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是所列方程的解，且符合題意，
∴2x＝2×100＝200．
答：第二次購進(jìn)了200個(gè)口罩；
（2）根據(jù)題意得：15×（100+200）﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝15×300﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝4500﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝845（元）．
答：商店老板在這兩筆生意中共盈利845元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算．
類型四、商品利潤問題
售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤 進(jìn)價(jià)x利潤率=利潤 標(biāo)價(jià)x折扣=售價(jià)
【例4-1】現(xiàn)有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數(shù)和單價(jià)如表．商店以糖果的平均價(jià)格作為什錦糖的單價(jià)，要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，需加入甲種糖 　10　千克．
甲種糖果 乙種糖果
千克數(shù) 20 30
單價(jià)（元/千克） 25 15
【分析】設(shè)需加入甲種糖x千克，利用單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)需加入甲種糖x千克，
根據(jù)題意得：﹣＝1，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是所列方程的解，且符合題意，
∴需加入甲種糖10千克．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【例4-2】2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A、B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元購進(jìn)兩種文化衫，應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫多少件．
【分析】（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用500元購進(jìn)A款文化衫和用400元購進(jìn)B款文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可求出B款文化衫的單價(jià)，再將其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的單價(jià)；
（2）設(shè)購進(jìn)B款文化衫y件，則購進(jìn)A款文化衫（300﹣y）件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不多于14800元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）設(shè)購進(jìn)B款文化衫y件，則購進(jìn)A款文化衫（300﹣y）件，
根據(jù)題意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：應(yīng)至少購進(jìn)B款文化衫20件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司購買了A、B兩種不同型號(hào)的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同．
（1）A、B兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司還需要增加購買一些口罩，增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過3600元，則增加購買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？
【分析】（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣1.5）元，根據(jù)“用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同”列出方程并解答；
（2）設(shè)增加購買A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，根據(jù)“增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過3600元”列出不等式．
【解答】解：（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣1.5）元，
根據(jù)題意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，且符合題意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的單價(jià)為4元，則B型口罩的單價(jià)為2.5元；
（2）設(shè)增加購買A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，
根據(jù)題意，得：2.5×2m+4m≤3600．
解不等式，得：m≤400．
因?yàn)閙為正整數(shù)，所以正整數(shù)m的最大值為400．
答：增加購買A型口罩的數(shù)量最多是400個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
針對(duì)練習(xí)4
1．某物美超市同時(shí)賣出了兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的冰墩墩A和B，售價(jià)均為90元，按成本計(jì)算，超市人員發(fā)現(xiàn)冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B卻虧損了40%，則這次超市是（　　）
A．不賺不賠 B．賺了 C．賠了 D．無法判斷
【分析】根據(jù)利潤率＝利潤÷成本，從而可求出相應(yīng)的成本，即可求解．
【解答】解：設(shè)冰墩墩A的成本為x元，依題意得：
，
解得：x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60是原方程的根，
設(shè)冰墩墩B的成本為y元，依題意得：
，
解得：y＝150，
經(jīng)檢驗(yàn)：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故這次超市賠了．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系．
2．2月開學(xué)季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學(xué)大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)之比為2～4～5，銷量之比為7～1～2．開學(xué)后不久，根據(jù)市場需求，在2月下旬文具店老板店對(duì)三種主題大禮包售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，其中B主題大禮包售價(jià)比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價(jià)的基礎(chǔ)上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為4～7～5，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為 　6：5　．
【分析】設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為2x，4x，5x，銷量為7y，y，2y，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為4a，7a，5a，根據(jù)“2月下旬A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的”列出方程，然后分別求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額，進(jìn)而求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售量，即可解答．
【解答】解：設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為2x，4x，5x，銷量為7y，y，2y，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為4a，7a，5a，
根據(jù)題意，得，
解得a＝2xy，
∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額分別為4x y+7a＝18xy，5x 2y+5a＝20xy，
∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售之比為：＝6：5．
故答案為：6：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程方程是應(yīng)用，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
3．為深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，我國綠色發(fā)展成就顯著，在今年的植樹造林活動(dòng)期間，某苗圃公司第一天賣出一批小葉欖仁樹苗共收款8000元，第二天又賣出同樣的樹苗收款17000元，所賣數(shù)量是第一天的2倍，售價(jià)比第一天每棵多了5元，第二天每棵樹苗售價(jià)是 　85　元．
【分析】設(shè)第二天每棵樹苗售價(jià)為x元，根據(jù)第二天所賣數(shù)量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：設(shè)第二天每棵樹苗售價(jià)為x元，
根據(jù)題意，得，
解得x＝85，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝85是原分式方程的根，且符合題意，
故答案為：85．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．一商店用800元買進(jìn)玩具若干個(gè)，其中有2個(gè)損壞無法出售，剩余的以每個(gè)比進(jìn)價(jià)多10元的價(jià)格出售，若剩余的全部賣完，則這批玩具共賺100元．則這批玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)是 　40　元．
【分析】設(shè)每個(gè)玩具的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)這批玩具共賺100元，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)每個(gè)玩具的進(jìn)價(jià)為x元，
由題意得：（﹣2）（x+10）﹣800＝100，
解得：x1＝40，x2＝﹣100，
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝40，x2＝﹣100是原方程的解，但x2＝﹣100不合題意，舍去，
∴x＝40
即這批玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)是40元，
故答案為：40．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
類型五、最優(yōu)方案問題
【例5-1】疫情防控，人人有責(zé)．某公司為了解決員工的口罩問題上，準(zhǔn)備采購A、B兩種型號(hào)的口罩，A種口罩每件單價(jià)比B種口罩每件多100元，用2000元購進(jìn)A種口罩和用1200元購進(jìn)B種口罩的數(shù)量相同．
（1）A種口罩每件的單價(jià)和B種口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）公司計(jì)劃用4000元的資金購進(jìn)A、B兩種型號(hào)的口罩共20件，其中A種口罩?jǐn)?shù)量不得低于B種口罩?jǐn)?shù)量的一半，該公司有幾種采購方案，哪種購買方式最劃算？
【分析】（1）設(shè)A種口罩每件的單價(jià)為x元，則B種口罩的單價(jià)為（x﹣100）元．由題意：用2000元購進(jìn)A種口罩和用1200元購進(jìn)B種口罩的數(shù)量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)A種口罩購進(jìn)y件，則B種口罩購進(jìn)（20﹣y）件．由題意：公司計(jì)劃用4000元的資金購進(jìn)A、B兩種型號(hào)的口罩共20件，其中A種口罩?jǐn)?shù)量不得低于B種口罩?jǐn)?shù)量的一半，列出一元一次不等式組，解不等式組，取正整數(shù)解，再計(jì)算結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)A種口罩每件的單價(jià)為x元，則B種口罩的單價(jià)為（x﹣100）元．
由題意，得：，
解得：x＝250．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝250是原方程的解，且符合題意，
則x﹣100＝150（元）．
答：A種口罩每件的單價(jià)為250元，則B種口罩的單價(jià)為150元．
（2）設(shè)A種口罩購進(jìn)y件，則B種口罩購進(jìn)（20﹣y）件．
由題意，得：
解得：．∵y為正整數(shù)，∴y＝7或8或9或10．∴該公司4種采購方案：
方案一：A種口罩購進(jìn)7件，B種口罩購進(jìn)13件，費(fèi)用為：250×7+150×13＝3700元；
方案二：A種口罩購進(jìn)8件，B種口罩購進(jìn)12件，費(fèi)用為：250×8+150×12＝3800元；
方案三：A種口罩購進(jìn)9件，B種口罩購進(jìn)11件，費(fèi)用為：250×9+150×11＝3900元；
方案四：A種口罩購進(jìn)10件，B種口罩購進(jìn)10件，費(fèi)用為：250×10+150×10＝4000元；
∴共有4種方案，其中方案一：A種口罩購進(jìn)7件，B種口罩購進(jìn)13件最劃算．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
【例5-2】某區(qū)在進(jìn)行雨水、污水管道改造工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需120天．若由乙先單獨(dú)做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需要多少天？
（2）甲隊(duì)施工一天，需付1.5萬元工程費(fèi)，乙隊(duì)施工一天，需付2.5萬元工程費(fèi)，若該工程計(jì)劃在90天內(nèi)完成，在不超過工程計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢，還是由甲、乙全程共同完成更省錢，說明理由．
【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，由題意：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需120天．若由乙先單獨(dú)做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出甲、乙兩隊(duì)施工天數(shù)得出需要施工費(fèi)用，即可分析得出．
【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天．
由題意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原分式方程的解，且符合題意，
答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要80天．
（2）由甲、乙全程共同完成更省錢．理由如下：
由乙隊(duì)獨(dú)做需費(fèi)用：2.5×80＝200（萬元）；
甲隊(duì)獨(dú)做工期超過90天，不符合要求；
設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作，完成這項(xiàng)工程需y天，
由題意得：y（+）＝1，
解得：y＝48，
需要施工費(fèi)用 為（1.5+2.5）×48＝192（萬元），
∵192＜200，
∴由甲、乙全程共同完成更省錢．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
【例5-2】永州市萬達(dá)廣場籌建之初的一項(xiàng)挖土工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，每施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬元，付乙工程隊(duì)工程款1.8萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：
（方案一）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好按規(guī)定工期完成：
（方案二）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙兩隊(duì)合作做5天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好按規(guī)定工期完工．
（1）請(qǐng)你求出完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間；
（2）如果你是工程領(lǐng)導(dǎo)小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時(shí)又能如期完工，你將選擇哪一種方案？說明理由．
【分析】（1）設(shè)完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為x天，則甲工程隊(duì)需x天完成這項(xiàng)工程，乙工程隊(duì)需（x+6）天完成這項(xiàng)工程，由題意：由甲、乙兩隊(duì)合作做5天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好按規(guī)定工期完工．即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)總費(fèi)用＝每天需付費(fèi)用×工作天數(shù)，分別求出方案一、三需付的工程款，比較后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為x天，則甲工程隊(duì)需x天完成這項(xiàng)工程，乙工程隊(duì)需（x+6）天完成這項(xiàng)工程，
根據(jù)題意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意．
答：完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為30天．
（2）選擇方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（萬元）；
方案二不能如期完工，不符合題意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（萬元）．
∵72＞66，
∴選擇方案三．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計(jì)算．
針對(duì)練習(xí)5
1．為響應(yīng)對(duì)口扶貧，深圳某單位和西部某鄉(xiāng)結(jié)對(duì)幫扶，采購該鄉(xiāng)農(nóng)副產(chǎn)品助力鄉(xiāng)村振興．已知1件A產(chǎn)品價(jià)格比1件B產(chǎn)品價(jià)格少20元，300元購買A產(chǎn)品件數(shù)與400元購買B產(chǎn)品件數(shù)相同．
（1）A產(chǎn)品和B產(chǎn)品每件分別是多少元？
（2）深圳該對(duì)口單位動(dòng)員職工采購該鄉(xiāng)A、B兩種農(nóng)副產(chǎn)品，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：職工響應(yīng)積極，兩種預(yù)計(jì)共購買150件，A的數(shù)量不少于B的2倍，當(dāng)采購A、B兩種農(nóng)副產(chǎn)品為多少時(shí)，購買總費(fèi)用最大？并求購買總費(fèi)用的最大值．
【分析】（1）設(shè)A產(chǎn)品每件x元，則B產(chǎn)品每件（x+20）元，然后根據(jù)300元購買A產(chǎn)品件數(shù)與400元購買B產(chǎn)品件數(shù)相同列出方程求解即可；
（2）設(shè)購買A產(chǎn)品a件，則購買B產(chǎn)品（150﹣a）件，所需費(fèi)用為w元，根據(jù)總費(fèi)用＝A的費(fèi)用+B的費(fèi)用，列出w關(guān)于a的一次函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合，A的數(shù)量不少于B的2倍，求出a的取值范圍，最后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)A產(chǎn)品每件x元，則B產(chǎn)品每件（x+20）元，
由題意得，
解得，x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原分式方程的解，
∴x+20＝80，
答：A產(chǎn)品每件60元，則B產(chǎn)品每件80元；
（2）設(shè)購買A產(chǎn)品a件，則購買B產(chǎn)品（150﹣a）件，所需費(fèi)用為w元，
∴w＝60a+80（150﹣a）＝﹣20a+12000，
∵A的數(shù)量不少于B的2倍，
∴a≥2（150﹣a），
∴a≥100，
∵﹣20＜0，
∴w隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a＝100時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝﹣20×100+12000＝10000，
∴當(dāng)購買A產(chǎn)品100件，則購買B產(chǎn)品50件，購買總費(fèi)用最大，最大值為10000元．
答：購買A產(chǎn)品100件，則購買B產(chǎn)品50件，購買總費(fèi)用最大，最大值為10000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出對(duì)應(yīng)的方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
2．為落實(shí)“雙減政策”某學(xué)校購進(jìn)“紅色教育”和“傳統(tǒng)文化”兩種經(jīng)典讀本，花費(fèi)分別是12000元和5000元，已知“紅色教育”經(jīng)典讀本的訂購單價(jià)是“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的訂購單價(jià)的1.2倍，并且訂購的“紅色教育”經(jīng)典讀本的數(shù)量比“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的數(shù)量多500本．
（1）求該學(xué)校訂購的兩種經(jīng)典讀本的單價(jià)分別是多少元；
（2）該學(xué)校擬計(jì)劃再訂購這兩種經(jīng)典讀本共1000本，其中“紅色教育”經(jīng)典讀本訂購數(shù)量不低于600本且總費(fèi)用不超過11500元，求該學(xué)校訂購這兩種讀本的最低總費(fèi)用．
【分析】（1）設(shè)“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的單價(jià)是x元，則“紅色教育”經(jīng)典讀本的單價(jià)是1.2x元，由題意：訂購的“紅色教育”經(jīng)典讀本的數(shù)量比“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的數(shù)量多500本．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)訂購“紅色教育”經(jīng)典讀本a本，則訂購“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本（1000﹣a）本，由題意：“紅色教育”經(jīng)典讀本訂購數(shù)量不低于600本且總費(fèi)用不超過11500元，列出一元一次不等式組，解得600≤a≤750，再設(shè)訂購兩種讀本的總費(fèi)用為w元，由題意得出w關(guān)于a的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的單價(jià)是x元，則“紅色教育”經(jīng)典讀本的單價(jià)是1.2x元，
由題意得：﹣＝500，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“紅色教育”的訂購單價(jià)是12元，“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本的單價(jià)是10元；
（2）設(shè)訂購“紅色教育”經(jīng)典讀本a本，則訂購“傳統(tǒng)文化”經(jīng)典讀本（1000﹣a）本，
由題意得：，
解得：600≤a≤750，
設(shè)訂購兩種讀本的總費(fèi)用為w元，
由題意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w隨a的增大而增大，
∴當(dāng)a＝600時(shí)，w有最小值為2×600+10000＝11200，
此時(shí)，1000﹣600＝400，符合題意，
答：訂購這兩種經(jīng)典讀本的總費(fèi)用最低為11200元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組和一次函數(shù)關(guān)系式．
3．某公司舉行周年慶典，決定訂購一批印有公司logo的記事本贈(zèng)送給客戶，購買甲種記事本共花費(fèi)3000元，購買乙種記事本共花費(fèi)2100元，購買甲種記事本的數(shù)量是購買乙種記事本數(shù)量的2倍，且購買一個(gè)乙種記事本比購買一個(gè)甲種記事本多花20元．
（1）求購買一個(gè)甲種記事本，一個(gè)乙種記事本各需多少元？
（2）由于公司業(yè)務(wù)的擴(kuò)大，公司決定再次購買甲、乙兩種記事本共40個(gè)，且乙種記事本不少于23個(gè)，預(yù)算金額不超過2400元，購買時(shí)恰逢該店對(duì)兩種記事本的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種記事本售價(jià)比第一次購買時(shí)提高了10%，乙種記事本售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%，請(qǐng)問該公司有哪幾種方案購買這批記事本？
【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)甲種記事本需要x元，則購買一個(gè)乙種記事本需要（x+20）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用3000元購買甲種記事本的數(shù)量是用2100元購買乙種記事本數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該公司購進(jìn)乙種記事本m個(gè)，則購進(jìn)甲種記事本（40﹣m）個(gè)，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合預(yù)算金額不超過2400元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)即可得出m的值，進(jìn)而可找出各購買方案．
【解答】解：（1）設(shè)購買一個(gè)甲種記事本需要x元，則購買一個(gè)乙種記事本需要（x+20）元，
依題意，得：＝2×，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，
∴x+20＝70．
答：購買一個(gè)甲種記事本需要50元，購買一個(gè)乙種記事本需要70元．
（2）設(shè)該公司購進(jìn)乙種記事本m個(gè)，則購進(jìn)甲種記事本（40﹣m）個(gè)，
依題意，得：，
解得：23≤m≤25．
又∵m為正整數(shù)，
∴m＝23，24或25，
∴該公司有三種購買方案：①購進(jìn)甲種記事本17個(gè)，乙種記事本23個(gè)；②購進(jìn)甲種記事本16個(gè)，乙種記事本24個(gè)；③購進(jìn)甲種記事本15個(gè)，乙種記事本25個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
4．羽毛球運(yùn)動(dòng)由于高強(qiáng)度、低對(duì)抗、適齡廣的特點(diǎn)，成為男女老少喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．某商家購進(jìn)了耐打型羽毛球和競技型羽毛球進(jìn)行銷售，已知一筒競技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)多40元，其中購買耐打型羽毛球花費(fèi)5000元，購買競技型羽毛球花費(fèi)4500元，且購買耐打型羽毛球數(shù)量是購買競技型羽毛球數(shù)量的2倍．
（1）求一筒競技型羽毛球的進(jìn)價(jià)是多少元．
（2）商家第一次購進(jìn)的羽毛球很快售完，決定再次購進(jìn)同種類型的耐打型羽毛球和競技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)比第一次購買時(shí)提高了18%，而競技型的進(jìn)價(jià)在第一次購買時(shí)進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上打95折，如果商家此次購買耐打型羽毛球和競技型羽毛球的總費(fèi)用不超過8140元，那么此次最多可購買多少筒競技型羽毛球？
【分析】（1）設(shè)一筒耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意列出方程即可求解；
（2）設(shè)購買競技型羽毛球a筒，根據(jù)題意列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)一筒耐打型羽毛球的進(jìn)價(jià)為x元，則一筒競技型羽毛球的進(jìn)價(jià)為（x+40）元，
根據(jù)題意得，
解得x＝50，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝50是原方程的解，
∴x+40＝90（元），
則一筒競技型羽毛球的進(jìn)價(jià)是90元．
（2）設(shè)購買競技型羽毛球a筒，購買耐打型羽毛球（120﹣a）筒，
（1+18%）×50×（120﹣a）+95%×90×a≤8140，
解得a≤40，
答：最多可購買40筒競技型羽毛球．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用．正確理解題意是解題關(guān)鍵．
類型六、圖形圖表問題
從圖形圖表上挖掘信息，建立等量關(guān)系
【例6-1】劉峰和李明相約周末去科技館看展覽，根據(jù)他們的談話內(nèi)容，試求李明乘公交車、劉峰騎自行車每小時(shí)各行多少千米？
【分析】設(shè)劉峰騎自行車的速度為每小時(shí)x千米，則李明乘車的速度為每小時(shí)3x千米，根據(jù)他們的行駛時(shí)間相差0.5小時(shí)列出方程并解答即可．
【解答】解：設(shè)劉峰騎自行車每小時(shí)行x千米，則李明乘公交車每小時(shí)行3x千米，
由題意得：＝+，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，且符合題意，
∴3x＝60，
答：劉峰騎自行車每小時(shí)行20千米，則李明乘公交車每小時(shí)行60千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【例6-2】近期，受俄烏局勢(shì)影響，國內(nèi)汽油價(jià)格不斷上漲．請(qǐng)你根據(jù)下面的信息（如圖），計(jì)算今年4月份汽油的價(jià)格．
【分析】設(shè)去年10月份汽油價(jià)格每升為x元，則今年4月份的汽油價(jià)格每升為（1+20%）x元，由題意：用450元給汽車加油，今年4月份的加油量比去年少10升，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)去年10月份汽油價(jià)格每升為x元，則今年4月份的汽油價(jià)格每升為（1+20%）x元，
由題意得：﹣＝10，
解得：x＝7.5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝7.5是原方程的解，且符合題意，
則（1+20%）x＝（1+20%）×7.5＝9，
答：今年4月份的汽油價(jià)格每升為9元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【例6-3】某汽車網(wǎng)站對(duì)兩款價(jià)格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評(píng)測(cè)，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
燃油車 純電新能源車
油箱容積：48升 電池容量：90千瓦時(shí)
油價(jià)：8元/升 電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)
（1）設(shè)兩款車的續(xù)航里程均為a千米，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；
（2）若燃油車每千米行駛費(fèi)用比純電新能源車多0.55元．
①請(qǐng)分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用；
②若燃油車和純電新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和8100元．問：每年行駛里程超過多少千米時(shí)，新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）
【分析】（1）根據(jù)表中的信息，可以表示出燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；
（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解決問題；
②設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，由年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）燃油車每千米行駛費(fèi)用為＝（元），純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為＝（元），
答：燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元；
（2）①由題意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
經(jīng)檢驗(yàn)，a＝600是分式方程的解，且符合題意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油車每千米行駛費(fèi)用為0.64元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為0.09元；
②設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低，
由題意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：當(dāng)每年行駛里程大于6000千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）正確列出代數(shù)式；（2）①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；②找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
針對(duì)練習(xí)6
1．春節(jié)即將到來，家家戶戶貼春聯(lián)，掛燈籠，歡天喜地迎新年．某百貨超市計(jì)劃購進(jìn)春聯(lián)和燈籠這兩種商品．請(qǐng)你根據(jù)下面的信息（如圖），計(jì)算每個(gè)燈籠和每副春聯(lián)的進(jìn)價(jià)．
【分析】設(shè)每副春聯(lián)的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)燈籠的進(jìn)價(jià)是（x+15）元，根據(jù)題意得：，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【解答】解：設(shè)每副春聯(lián)的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)燈籠的進(jìn)價(jià)是（x+15）元，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是所列方程的解，且符合題意，
∴x+15＝20+15＝35，
答：每個(gè)燈籠的進(jìn)價(jià)是35元，每副春聯(lián)的進(jìn)價(jià)是20元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系列出方程．
2．為進(jìn)一步推進(jìn)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，某縣準(zhǔn)備修建一條縣級(jí)公路．開工時(shí)政府部門要求工程隊(duì)每天的平均進(jìn)度要比原計(jì)劃提高20%，結(jié)果提前20天完成了任務(wù)．
（1）設(shè)這條縣級(jí)公路長為akm，該工程隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建公路x km，請(qǐng)用含a，x的代數(shù)式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天數(shù)/天
原計(jì)劃 x
實(shí)際 　（1+20%）x　 　　
（2）若這條要修建的公路長度為50km，該工程隊(duì)實(shí)際平均每天修建公路多少千米？
【分析】（1）實(shí)際每天鋪設(shè)管廊（1+20%）x米，根據(jù)工作時(shí)間＝總工作量÷工作效率可得完成全部工程所需天數(shù)；
（2）根據(jù)時(shí)間比原計(jì)劃提前20天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如下表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天數(shù)/天
原計(jì)劃 x
實(shí)際 （1+20%）x
故答案為：（1+20%）x，；
（ 2）由題意可列方程，
﹣＝20，
解得x＝
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝是原分式方程的解，
∴（1+20%）x＝×1.2＝0.5，
．
答：該工程隊(duì)實(shí)際平均每天修建公路0.5km．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
3．根據(jù)素材，完成活動(dòng)任務(wù)：
素材一 為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加學(xué)校勞動(dòng)，養(yǎng)成勞動(dòng)習(xí)慣，培養(yǎng)勞動(dòng)品質(zhì)某校“方志實(shí)踐”勞動(dòng)基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地．已知圍欄的橫杠長為15dm，豎杠長為8dm，一副圍欄由2個(gè)橫杠，5個(gè)豎杠制作而成．
素材二 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組到市場了解到：現(xiàn)木材市場的這種規(guī)格的圍欄材料每根長為40dm，價(jià)格為50元/根．為了深度參與學(xué)校蔬菜基地的建立，項(xiàng)目化小組打算自己購買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄同時(shí)為了圍欄的牢固性，用料不能是拼接而成．
解決問題
任務(wù)要求 解決辦法
任務(wù)一 一根40dm長的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢） 方法①：當(dāng)只裁剪8dm長的豎杠時(shí)，最多可裁剪 　5　根；方法②：當(dāng)先裁剪下1根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠 　3　根；方法③：當(dāng)先裁剪下2根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠 　1　根．
任務(wù)二 基地負(fù)責(zé)老師告訴項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組：搭建蔬菜基地需要用到的圍欄長為75dm（即需要制作5副圍欄，需要的用料為：25個(gè)豎杠，10個(gè)橫杠），請(qǐng)完成裁剪并計(jì)算費(fèi)用． 項(xiàng)目化小組打算用“任務(wù)一”中的方法②和方法③完成裁剪任務(wù)．請(qǐng)計(jì)算：分別用“任務(wù)一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm長的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料？并求出購買圍欄材料的費(fèi)用．
任務(wù)三 某安裝技術(shù)人員告訴項(xiàng)目化小組同學(xué)：我們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)可以安裝m根豎杠或（7﹣m）根橫杠．現(xiàn)需知道技術(shù)人員的安裝效率． 任務(wù)二中的5副圍欄安裝完畢時(shí)，項(xiàng)目化小組發(fā)現(xiàn)技術(shù)人員安裝豎杠所需的時(shí)間與安裝橫杠所需的時(shí)間相同，則m＝　5　．
【分析】根據(jù)圍欄材料不同裁剪方法，分別計(jì)算出需要的豎杠或橫杠；利用方法②與方法③列出方程組求解即可；利用在單位時(shí)間內(nèi)可以安裝m根豎杠或（7﹣m）根橫杠，所用的時(shí)間相同，建立分式方程，求解即可．
【解答】解：任務(wù)一：40÷8＝5（根），
方法①：當(dāng)只裁剪8dm長的豎杠時(shí)，最多可裁剪5根．
，
方法②：當(dāng)先裁剪下1根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠3根．
，
方法③：當(dāng)先裁剪下2根15dm長的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠1根．
任務(wù)二：設(shè)方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依據(jù)題意得：
，解得：．
50×（8+1）＝450（元）．
答：方法②和方法③各裁剪8根與1根40dm長的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料，購買圍欄材料的費(fèi)用共需45元．
任務(wù)三：依據(jù)題意得，解得：m＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組與分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，正確列出方程．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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