資源簡介

1.簡諧運動
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
1.通過實驗，認識簡諧運動的特征 2．能用圖像描述簡諧運動 物理觀念 初步形成簡諧運動的概念
科學(xué)思維 通過對彈簧振子的分析，理解簡諧運動這一理想化模型
科學(xué)探究 通過對彈簧振子的x t圖像的繪制，理解簡諧運動的特點
科學(xué)態(tài)度 與責(zé)任 養(yǎng)成觀察、分析、猜想、驗證的良好習(xí)慣
必備知識·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、彈簧振子
1.機械振動：物體或物體的一部分在一個位置附近的________運動稱為機械振動，簡稱________．
2．振動特點：振動是一種________運動，具有________和________．
3．彈簧振子模型：如圖所示，如果________及球與桿之間的摩擦可以________，且彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比也可以________，則該裝置為彈簧振子，有時也簡稱為________。
4．平衡位置：振子原來________時的位置。
5．振子的位移：振子相對________的位移。
二、彈簧振子的位移—時間圖像
1．建立坐標系：以小球的________為坐標原點，沿振動方向建立坐標軸．規(guī)定小球在平衡位置右邊時，位移為正，在平衡位置左邊時，位移為________．這樣小球的位置坐標反映了小球相對于平衡位置的________，小球的位置—時間圖像就是小球的______—時間圖像．
2．圖像繪制：用頻閃照相的方法來顯示振子在不同時刻的________．兩個坐標軸分別代表時間t和振子位移x，繪制出的圖像就是振子在平衡位置附近往返運動時的位移—時間圖像，即x t圖像．
三、簡諧運動
如果物體的位移與時間的關(guān)系遵從________的規(guī)律，即它的振動圖像(x t圖像)是一條________，這樣的振動是一種簡諧運動．簡諧運動是最基本的振動．
【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)彈簧振子是一種理想化的模型．(　　)
(2)彈簧振子的平衡位置都在原長處．(　　)
(3)平衡位置即速度為零時的位置．(　　)
(4)振子的位移－5 cm小于1 cm.(　　)
(5)簡諧運動的軌跡是一條正弦(或余弦)曲線．(　　)
(6)簡諧運動是一種勻變速直線運動．(　　)
情境思考：
圖中小球和彈簧組成的系統(tǒng)在什么情況下可看成彈簧振子？在可看成彈簧振子的情況下，小球的運動有什么特征？
A：左最大位移
O：平衡位置
B：右最大位移
提示：一要彈簧的質(zhì)量和小球相比可忽略，二要忽略小球與桿之間的摩擦阻力及空氣阻力．小球在平衡位置兩側(cè)做等幅振動，其運動關(guān)于平衡位置對稱．
關(guān)鍵能力·合作探究——突出綜合性　素養(yǎng)形成
探究點一　彈簧振子和簡諧運動的特點
探究總結(jié)
1.實際物體看作彈簧振子的四個條件
(1)彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以認為質(zhì)量集中于振子(小球)；
(2)構(gòu)成彈簧振子的小球體積足夠小，可以認為小球是一個質(zhì)點；
(3)忽略彈簧以及小球與水平桿之間的摩擦力；
(4)小球從平衡位置被拉開的位移在彈性限度內(nèi)．
2．簡諧運動的對稱性
如圖所示，物體在A點和B點之間運動，O點為平衡位置，C和D兩點關(guān)于O點對稱，則：
(1)時間的對稱
①振動質(zhì)點來回通過相同的兩點間所用的時間相等，如tDB＝tBD.
②質(zhì)點經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段所用的時間相等，圖中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的對稱
①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移和加速度的對稱
①物體經(jīng)過同一點(如C點)時，位移相同．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等，方向相反．
典例示范
例1 關(guān)于簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．簡諧運動一定是水平方向的運動
B．所有的振動都可以看作簡諧運動
C．物體做簡諧運動時一定可以得到正弦曲線形的軌跡線
D．只要振動圖像是正弦曲線，物體一定做簡諧運動
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (多選)彈簧上端固定在O點，下端連接一小球，組成一個振動系統(tǒng)，如圖所示，用手向下拉小球，拉一小段距離后釋放，小球便上下振動起來，關(guān)于小球的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．在小球運動的最低點
B．在彈簧處于原長時的位置
C．在小球速度最大時的位置
D．在小球原來靜止時的位置
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練1　(多選)彈簧振子做簡諧運動的過程中，有兩點A、A′關(guān)于平衡位置對稱，則振子(　　)
A．在兩點處的位移相同
B．在兩點處的速度可能相同
C．在兩點處的速率一定相同
D．在兩點處的動能一定相同
針對訓(xùn)練2　[2022·陜西咸陽高二上質(zhì)檢](多選)如圖所示的彈簧振子，O點為它的平衡位置，關(guān)于振子的運動，下列說法正確的是(　　)
A．振子從A點運動到C點時位移大小為OC，方向向右
B．振子從C點運動到A點時位移大小為CA，方向向右
C．振子從A點運動到C點的過程中，速度在增大，加速度在減小
D．振子從A點運動到O點的過程中，速度先增大后減小，加速度先減小后增大
探究點二　簡諧運動的圖像
探究總結(jié)
1.圖像形狀：正(余)弦曲線
2．圖像應(yīng)用
(1)任意時刻質(zhì)點位移的大小和方向．如圖甲所示，質(zhì)點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2.
(2)任意時刻質(zhì)點的振動方向：看下一時刻質(zhì)點的位置，如圖乙中a點，下一時刻離平衡位置更遠，故a點此刻向上振動．圖乙中b點，下一時刻離平衡位置更近，故b此刻向上振動．
(3)某段時間內(nèi)位移、速度、加速度的變化情況判斷：先判斷質(zhì)點在這段時間內(nèi)的振動方向，從而確定各物理量的變化．如圖甲所示，質(zhì)點在t1時刻到t0時刻這段時間內(nèi)，離平衡位置的位移變小，故質(zhì)點正向平衡位置運動，速度增大，位移和加速度都變小；t2時刻，質(zhì)點從負位移處遠離平衡位置運動，則速度為負值且減小，位移、加速度增大．
典例示范
例3 [2022·浙江金華十校聯(lián)考]如圖甲所示，一水平彈簧振子在A、B兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置，取水平向右為正方向，其振動圖像如圖乙所示．由振動圖像可知(　　)
A．t1時刻振子位于O點
B．t3時刻振子的速度為零
C．t2時刻振子的運動方向與t4時刻振子的運動方向相反
D．從t1時刻到t3時刻，振子運動的加速度逐漸減小
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
利用彈簧振子位移—時間圖像的解題思路
(1)把x t圖像與質(zhì)點的實際振動過程聯(lián)系起來，并畫出振子振動模型．
(2)圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(tài)(位置、振動方向等)，其加速度方向總是指向平衡位置．
(3)質(zhì)點的位移相同時，加速度一定相同，但速度不一定相同．
(4)判斷振動方向的關(guān)鍵是看下一時刻的位移是增大還是減小，增大時遠離平衡位置，減小時向平衡位置振動．
針對訓(xùn)練3　(多選)如圖所示為某物體做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移先減小后增大
D．由M→N速度一直減小
針對訓(xùn)練4　(多選)如圖所示為獲取彈簧振子的位移—時間圖像的一種方法，小球的運動軌跡是往復(fù)運動的一段線段，而簡諧運動的圖像是正弦(或余弦)曲線．下列說法正確的是(　　)
A．如果紙帶不動，作出的振動圖像仍然是正弦(或余弦)曲線
B．如果紙帶不動，作出的振動圖像是一段線段
C．圖示時刻，振子正經(jīng)過平衡位置向右運動
D．若紙帶運動的速度不恒定，則紙帶上描出的仍然是簡諧運動的圖像
學(xué)科素養(yǎng)提升 生活、生產(chǎn)中的振動問題
1．用手撥動的彈簧片，上下跳動的皮球，小鳥飛離后顫動的樹枝．
(1)以上物體的運動有什么共同點？
(2)以上物體的運動是簡諧運動嗎？
2．在心電圖儀、地震儀等儀器工作過程中，要進行振動記錄．如圖甲所示是一個常用的記錄方法，在彈簧振子的小球上安裝一支記錄用筆P，在下面放一條白紙帶．當小球振動時，勻速拉動紙帶(紙帶速度與振子振動方向垂直)，筆就在紙帶上畫出一條曲線，如圖乙所示．
(1)記錄用筆P做什么運動？
(2)若勻速拉動紙帶的速度為1 m/s，作出P的振動圖像．
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1.關(guān)于簡諧運動，下列說法中正確的是(　　)
A．彈簧振子的運動是簡諧運動
B．簡諧運動就是指彈簧振子的運動
C．簡諧運動是勻變速運動
D．簡諧運動是機械運動中最簡單、最基本的一種
2．如圖所示的彈簧振子，O點為它的平衡位置，當振子m離開O點，再從A點運動到C點時，振子離開平衡位置的位移是(　　)
A．大小為OC，方向向左 B．大小為OC，方向向右
C．大小為AC，方向向左 D．大小為AC，方向向右
3．(多選)如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移—時間圖像，下列有關(guān)該圖像的說法正確的是(　　)
A．該圖像的坐標原點是建立在彈簧振子小球的平衡位置
B．從圖像可以看出小球在振動過程中是沿t軸方向移動的
C．為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直x軸方向勻速運動
D．圖像中小球的疏密顯示出相同時間內(nèi)小球位置變化快慢不同
4．如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在M、N兩點之間做簡諧運動．振子的位移x隨時間t的變化圖像如圖乙所示．下列判斷正確的是(　　)
A．0.4 s時振子的加速度為零
B．0.8 s時振子的速度最大
C．0.4 s和1.2 s時振子的加速度相同
D．0.8 s和1.6 s時振子的速度相同
5．如圖所示是某質(zhì)點做簡諧運動的振動圖像，根據(jù)圖像中的信息，回答下列問題：
(1)質(zhì)點在第2 s末的位移是多少？
(2)質(zhì)點振動過程中的最大位移是多少？
(3)在前4 s內(nèi)，質(zhì)點經(jīng)過的路程是多少？
1．簡諧運動
必備知識·自主學(xué)習(xí)
一、
1．往復(fù)　振動
2．往復(fù)　周期性　往復(fù)性
3．空氣阻力　忽略　忽略　振子
4．靜止
5．平衡位置
二、
1．平衡位置　負　位移　位移
2．位置
三、
正弦函數(shù)　正弦曲線
思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
關(guān)鍵能力·合作探究
探究點一
【例1】　【解析】　A錯：物體的簡諧運動并不一定只在水平方向發(fā)生，各個方向都有可能發(fā)生．B錯：簡諧運動是最簡單的振動．C錯：物體做簡諧運動的軌跡線并不是正弦曲線．D對：物體振動的圖像是正弦曲線，一定是做簡諧運動．
【答案】　D
【例2】　【解析】　平衡位置是振動系統(tǒng)不振動時，小球(振子)處于平衡狀態(tài)時所處的位置，可知此時小球所受的重力大小與彈簧的彈力大小相等，即mg＝kx，也即小球原來靜止的位置，故選項D正確，A、B錯誤；當小球處于平衡位置時，其加速度為零，速度最大，選項C正確．
【答案】　CD
針對訓(xùn)練1　解析：根據(jù)簡諧運動的特點可知，關(guān)于平衡位置的對稱點，振子的位移大小相等，但方向相反，選項A錯誤；振子的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故選項B、C正確；由于速度大小相等，動能自然相同，選項D正確．
答案：BCD
針對訓(xùn)練2　解析：振子從A點運動到C點時的位移是以O(shè)點為起點，C點為終點，故位移大小為OC，方向向右，A正確；振子從C點運動到A點時位移是以O(shè)點為起點，A點為終點，故位移大小為OA，方向向右，B錯誤；振子的合外力為彈簧的彈力，振子從A點運動到C點的過程和從A點運動到O點的過程中，彈力都在減小，故加速度都在減小，速度方向與加速度方向相同，故速度在增大，C正確，D錯誤．
答案：AC
探究點二
【例3】　【解析】　A錯：由圖乙知在t1時刻振子位于正向位移最大處，即B點．B錯：t3時刻振子位于平衡位置，所以此時速度最大．C錯：由題意可知，t2時刻振子處于從B向O的運動過程中，t4時刻振子處于從O向A的運動過程中，所以兩時刻運動方向相同．D對：從t1時刻到t3時刻，振子從最大位移B處向平衡位置O處運動，所以加速度越來越小，速度越來越大．
【答案】　D
針對訓(xùn)練3　解析：A對，B錯：由P→Q，物體遠離平衡位置運動，位移在增大而速度在減小；C對，D錯：由M→N，物體先向平衡位置運動，經(jīng)平衡位置后又遠離平衡位置，因而位移先減小后增大，速度先增大后減小．
答案：AC
針對訓(xùn)練4　解析：當紙帶不動時，描出的是振子在平衡位置兩側(cè)往復(fù)運動的軌跡，是一段線段，A錯誤，B正確；由振動圖像可以看出，圖示時刻振子正由平衡位置向右運動，C正確；只有當紙帶勻速運動時，振動圖像才是正弦(或余弦)函數(shù)曲線，而簡諧運動的圖像一定是正弦(或余弦)函數(shù)曲線，D錯誤．
答案：BC
學(xué)科素養(yǎng)提升
1．解析：(1)以上物體的運動都具有往復(fù)性，都是機械振動．
(2)用手撥動的彈簧片和顫動的樹枝在忽略空氣阻力的情況下可看成簡諧運動，上下跳動的皮球即使在忽略空氣阻力的情況下也不能看成簡諧運動．
答案：見解析
2．解析：
(1)在忽略空氣阻力和摩擦阻力的情況下可認為P的運動為簡諧運動．
(2)由圖乙可知，P運動的最大位移為2 cm，且其運動具有周期性，周期為T＝＝0.2 s，可作出P的振動圖像如圖：
答案：見解析
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：A對，B錯：彈簧振子的運動是簡諧運動，但簡諧運動并不都是彈簧振子的運動．C、D錯：簡諧運動是機械振動(非機械運動)中最簡單、最基本的一種，其振動的加速度時刻變化．
答案：A
2．解析：振子離開平衡位置，以O(shè)點為起點，C點為終點，位移大小為OC，方向向右．
答案：B
3．解析：A對，B錯：由圖看出，彈簧振子在x軸方向做簡諧運動，小球并不是沿t軸方向運動，由對稱性可知，該圖像的坐標原點是建立在彈簧振子小球的平衡位置．C對：類似于沙擺實驗，為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直x軸方向勻速運動．D對：圖像中小球的疏密反映了小球在x方向運動的快慢，越密速度越小，位置變化越慢．
答案：ACD
4．解析：A錯：0.4 s時振子處于振幅最大處，加速度最大．B對：0.8 s時振子處于平衡位置，速度最大，加速度為零．C錯：0.4 s和1.2 s時加速度大小相同，方向不同．D錯：0.8 s和1.6 s時速度大小相同，方向相反．
答案：B
5．解析：(1)由x t圖像可以讀出第2 s末質(zhì)點的位移為0.
(2)質(zhì)點的最大位移在前4 s內(nèi)發(fā)生在1 s末和3 s末，位移大小為10 cm.
(3)前4 s內(nèi)，質(zhì)點先向正方向運動了10 cm到最大位移后又運動了10 cm返回平衡位置，又在負方向上運動了10 cm到負方向的最大位移后，又運動了10 cm返回平衡位置，故總路程為40 cm.
答案：(1)0　(2)10 cm　(3)40 cm2.簡諧運動的描述
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
1.知道振幅、周期、頻率和相位的概念，理解周期和頻率的關(guān)系 2．能用公式描述簡諧運動 物理觀念 初步形成全振動的概念，知道振幅、周期、頻率概念及其相互關(guān)系，知道全振動和圓頻率的含義
科學(xué)思維 了解相位、初相位和相位差的概念、相互關(guān)系及相位的物理意義
科學(xué)態(tài)度 與責(zé)任 通過有關(guān)簡諧運動描述量的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的物理素養(yǎng)和科學(xué)精神
必備知識·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、振幅
振動物體離開________的最大距離，叫作振動的振幅．振幅是表示振動________的物理量，常用字母A表示．
二、周期和頻率
1．全振動
如圖所示，如果從振動物體向右通過O的時刻開始計時，它將運動到M，然后向左________O，又繼續(xù)________運動到達M′，之后又向右回到O.這樣一個________的振動過程稱為一次全振動．
2．周期
(1)定義：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間，叫作振動的周期．用T表示周期．
(2)單位：在國際單位制中，周期的單位是____________，符號____________．
提升：全振動的五個特征
①振動特征：一個完整的振動過程．
②物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同．
③時間特征：歷時一個周期．
④路程特征：振幅的4倍．
⑤相位特征：增加2π.　
3.頻率：
(1)定義：周期的倒數(shù)叫作振動的頻率，數(shù)值等于單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)．用f表示頻率．
(2)單位：在國際單位制中，頻率的單位是________，簡稱________，符號是________．1 Hz＝1 s－1.
(3)周期和頻率的關(guān)系：f＝________．
(4)物理意義：周期和頻率都是表示物體振動快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示振動越快．
三、相位
1．相位
物理學(xué)中把(ωt＋φ)叫作相位．φ是t＝0時的相位，稱作初相位，或初相．
2．相位差
實際上，經(jīng)常用到的是兩個具有________的簡諧運動的相位差．如果兩個簡諧運動的頻率相同，其初相分別是φ1和φ2，當φ1＞φ2時，它們的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________
3．簡諧運動的表達式
(1)表達式：x＝________．
(2)A表示簡諧運動的________．
(3)ω是一個與周期成反比、與頻率成正比的量，叫作簡諧運動的“圓頻率”．它也表示簡諧運動的快慢．ω＝＝2πf.
【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)振幅就是指振子的最大位移．(　　)
(2)振動物體的周期越大，表示振動越快．(　　)
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程為一次全振動過程．(　　)
(4)簡諧運動表達式x＝A sin (ωt＋φ)中，ω表示振動的快慢，ω越大，振動的周期越小．(　　)
(5)一個物體運動時其相位變化2π，就意味著完成一次全振動．(　　)
關(guān)鍵能力·合作探究——突出綜合性　素養(yǎng)形成
探究點一　描述簡諧運動的物理量及其關(guān)系
導(dǎo)學(xué)探究
如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡諧運動，若OA＝OB＝10 cm，則該振子做簡諧運動的振幅是多少？最大位移是多少？二者相同嗎？
探究總結(jié)
簡諧運動中振幅和幾個物理量的關(guān)系
(1)振幅和振動系統(tǒng)的能量：對一個確定的振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)能量僅由振幅決定．振幅越大，振動系統(tǒng)的能量越大．
(2)振幅、位移和路程的關(guān)系
振幅 位移 路程
定義 振動物體離開平衡位置的最大距離 從平衡位置指向振子所在位置的有向線段 運動軌跡的長度
矢、標性 標量 矢量 標量
變化 在穩(wěn)定的振動系統(tǒng)中不發(fā)生變化 大小和方向隨時間做周期性變化 隨時間增加
聯(lián)系 ①振幅等于最大位移的大小； ②振子在一個周期內(nèi)的位移等于零，在一個周期內(nèi)的路程等于4倍振幅，在半個周期內(nèi)的路程等于2倍振幅
提醒：對振幅的理解
①在一個穩(wěn)定的振動系統(tǒng)中，振幅是不變的，它與振動系統(tǒng)的周期(頻率)或質(zhì)點的位移無關(guān)．
②振幅是標量，它沒有負值，也無方向，它等于振子最大位移的大小，卻不是最大位移．
典例示范
例1 彈簧振子以O(shè)點為平衡位置在b、c兩點之間做簡諧運動．b、c相距20 cm.某時刻振子處于O點正向右運動．經(jīng)過0.5 s，振子首次到達b點．求：(取向右為正方向)
(1)振動的頻率f和振幅A.
(2)振子在5.5 s內(nèi)通過的路程及位移．
(3)如果彈簧的k＝100 N/m，小球質(zhì)量為0.5 kg，則5.5 s末小球的加速度大小和方向是多少？
教你解決問題
(1)“b、c相距20 cm”2個振幅為20 cm，故A＝10 cm.
(2)“經(jīng)過0.5 s，振子首次到達b點”0.5 s為個周期，故T＝2 s.
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針對訓(xùn)練1　如圖所示是某質(zhì)點做簡諧運動的振動圖像，則下列說法正確的是(　　)
A．振動周期為4 s，振幅為5 m
B．前2 s內(nèi)質(zhì)點的路程為0
C．t＝1 s時，質(zhì)點位移最大，速度為零
D．t＝2 s時，質(zhì)點的運動方向沿x軸正方向
針對訓(xùn)練2　如圖所示，一質(zhì)點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過M、N兩點，歷時1 s，質(zhì)點通過N點后經(jīng)過1 s第2次通過N點，在這2 s內(nèi)質(zhì)點通過的總路程為12 cm.則質(zhì)點的振動周期和振幅分別為(　　)
A．3 s，6 cm B．4 s，9 cm
C．4 s，6 cm D．2 s，8 cm
探究點二　簡諧運動的對稱性和周期性
探究總結(jié)
1.對稱性
(1)瞬時量的對稱性：各物理量關(guān)于平衡位置對稱．以水平彈簧振子為例，振子通過關(guān)于平衡位置對稱的兩點，位移、速度、加速度大小相等，動能、勢能、機械能相等．
(2)過程量的對稱性：振動質(zhì)點來回通過相同的兩點間的時間相等，如tBC＝tCB；質(zhì)點經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，如tBC＝tB′C′，如圖所示．
2．周期性
(1)若t2－t1＝nT，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同．
(2)若t2－t1＝nT＋T，則t1、t2兩時刻，描述運動的物理量(x，F(xiàn)，a，v)均大小相等，方向相反．
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，則當t1時刻物體到達最大位移處時，t2時刻物體到達平衡位置；當t1時刻物體在平衡位置時，t2時刻物體到達最大位移處；若t1時刻物體在其他位置，t2時刻物體到達何處就要視具體情況而定．
典例示范
例2 [2022·廣東實驗中學(xué)高二期中](多選)一水平彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則(　　)
A．振子的位移為x和－x的兩個時刻，振子的速度一定大小相等、方向相反
B．振子的速度為v和－v的兩個時刻，振子的位移一定大小相等、方向可能相同
C．若Δt＝T，則在t時刻和t＋Δt時刻振子振動的速度一定相等
D．若Δt＝，則在t時刻和t＋Δt時刻彈簧的長度一定相等
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練3　如圖所示，水平方向的彈簧振子振動過程中，振子先后經(jīng)過a、b兩點時的速度相同，且從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，aO＝bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動頻率為(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
探究點三　簡諧運動的表達式及應(yīng)用
探究總結(jié)
用簡諧運動表達式解答振動問題的方法
(1)明確表達式中各物理量的意義，可直接讀出振幅、圓頻率、初相．
(2)ω＝＝2πf是解題時常涉及的表達式．
(3)解題時畫出其振動圖像，會使解答更簡捷明了．
典例示范
例3 (多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移與時間的關(guān)系式為x＝3sin (t＋) cm，則(　　)
A．質(zhì)點的振幅為3 m
B．質(zhì)點振動的周期為3 s
C．質(zhì)點振動的周期為 s
D．t＝0.75 s時刻，質(zhì)點回到平衡位置
例4 彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10－3 sin (4πt＋) m
B．x＝4×10－3sin (4πt－) m
C．x＝8×10－3sin (2πt＋) m
D．x＝4×10－3sin (2πt－) m
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　涉及簡諧運動表達式問題的求解技巧
首先應(yīng)確定振幅A、周期T、頻率f的數(shù)值，其中T＝，f＝，然后把確定的物理量與所要解決的問題對應(yīng)起來．
針對訓(xùn)練4　一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8 cm，圓頻率為0.5 Hz，在t＝0時，位移是8 cm.
(1)試寫出用正弦函數(shù)表示的振動方程．
(2)求10 s內(nèi)物體通過的路程．
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1．彈簧振子在BC間做簡諧運動，O為平衡位置，BC間距離為10 cm，由B→C運動的最短時間為1 s，則(　　)
A．從B開始經(jīng)過0.25 s，振子通過的路程是2.5 cm
B．經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程為80 cm
C．該振子任意1 s內(nèi)通過的路程都一定是10 cm
D．振動周期為2 s，振幅為10 cm
2．一彈簧振子的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝0.1sin (2.5πt)，位移x的單位為m，時間t的單位為s.則(　　)
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的運動速度為零
D．在任意0.2 s時間內(nèi)，振子的位移均為0.1 m
3．一質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系圖像如圖所示，由圖可知(　　)
A．質(zhì)點振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．質(zhì)點經(jīng)過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內(nèi)，質(zhì)點通過的路程為6 cm
D．t＝3 s時，質(zhì)點的振幅為零
4．某質(zhì)點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，求：
(1)在前10 s內(nèi)質(zhì)點通過的路程s；
(2)質(zhì)點做簡諧運動的位移隨時間變化的關(guān)系式．
2．簡諧運動的描述
必備知識·自主學(xué)習(xí)
一、
平衡位置　幅度大小
二、
1．回到　向左　完整
2．秒　s
3．赫茲　赫　Hz　
三、
2．相同頻率　φ1－φ2
3．A sin (ωt＋φ)　振幅
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
關(guān)鍵能力·合作探究
探究點一
　提示：振幅為10 cm，最大位移的大小為10 cm，但最大位移有正、負．振幅和最大位移不同，振幅是標量，位移是矢量．
【例1】　【解析】　(1)設(shè)振幅為A，由題意bc＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm.振子從O到b所用時間t＝0.5 s，為周期T的，所以T＝2.0 s，f＝＝ Hz.(2)振子從平衡位置開始運動，在1個周期內(nèi)通過的路程為4A，故在t′＝5.5 s＝T內(nèi)通過的路程s＝×4A＝110 cm.5.5 s內(nèi)振子振動了個周期，所以5.5 s末振子到達c點，所以它的位移為－10 cm.(3)5.5 s末振子到達c點，所以它的位移為－10 cm，振子加速度a＝－＝－ m/s2＝20 m/s2，方向與位移的方向相反，向右．
【答案】　(1) Hz　10 cm
(2)110 cm　－10 cm
(3)20 m/s2　向右
針對訓(xùn)練1　解析：A錯：分析振動圖像可知，周期T＝4 s，振幅A＝5 cm，而不是5 m；B錯：前2 s內(nèi)，即半個周期內(nèi)，質(zhì)點運動的路程為2A＝10 cm；C對：t＝1 s時，質(zhì)點位于正向最大位移處，速度為零；D錯：t＝2 s時，質(zhì)點運動方向沿x軸負方向．
答案：C
針對訓(xùn)練2　解析：做簡諧運動的質(zhì)點，先后以同樣的速度通過M、N兩點，則可判定M、N兩點關(guān)于平衡位置O點對稱，所以質(zhì)點由M到O的時間與由O到N的時間相等．那么質(zhì)點從平衡位置O點到N點的時間t1＝0.5 s，因過N點后再經(jīng)過t＝1 s質(zhì)點再次通過N點，則質(zhì)點從N點到最大位移的時間t2＝0.5 s．因此，質(zhì)點振動的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s．質(zhì)點總路程的一半，即為振幅，所以振幅A＝ cm＝6 cm.
答案：C
探究點二
【例2】　【解析】　
A錯：振子的位移為x和－x的兩個時刻，振子的速度一定大小相等，方向可能相同，如圖中a、d兩點．B對：振子的速度為v和－v的兩個時刻，位移具有對稱性，位移一定大小相等，方向不一定相同．C對：相隔一個周期T的兩個時刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相同．D錯：相隔的兩個時刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置關(guān)于平衡位置對稱，彈簧分別處于壓縮和拉伸狀態(tài)，彈簧的長度并不相等，只有兩時刻均在平衡位置時，彈簧長度才相等．
【答案】　BC
針對訓(xùn)練3　解析：由題可知，a、b兩點關(guān)于平衡位置對稱，從a到b歷時t1＝0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，即從b到c所用時間為t2＝ s＝0.1 s，所以彈簧振子振動的周期為T＝2t1＋4t2＝0.8 s，則該振子振動頻率為f＝＝1.25 Hz.
答案：B
探究點三
【例3】　【解析】　A錯：根據(jù)題意可知，振幅為3 cm.B對、C錯：根據(jù)題意可知，圓頻率為ω＝ rad/s，故周期T＝＝3 s．D對：t＝0.75 s時，代入解得x＝0，故質(zhì)點回到平衡位置．
【答案】　BD
【例4】　【解析】　振子振動范圍為0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期為0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始時刻具有正向最大加速度，即在負的最大位移處，綜上可得：x＝4×10－3sin m.
【答案】　B
針對訓(xùn)練4　解析：(1)簡諧運動振動方程的一般表達式為x＝A sin (ωt＋φ0)
根據(jù)題給條件有A＝0.08 m，ω＝2πf＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s，所以x＝0.08 sin (πt＋φ0) m
將t＝0時，x0＝0.08 m代入解得φ0＝
故振動方程為x＝0.08 sin m
(2)周期為T＝＝2 s，
故10 s內(nèi)通過的路程為s＝×4A＝×4×0.08 m＝1.6 m.
答案：(1)x＝0.08 sin m
(2)1.6 m
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：A錯：由B→C運動時間最短為1 s，則周期T＝2 s，則從B開始經(jīng)過0.25 s＝，振子通過的路程小于2.5 cm.B錯：一次全振動振子運動的路程為20 cm，則經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程為40 cm.C對：由運動的對稱性可知，該振子任意1 s內(nèi)通過的路程一定是10 cm.D錯：振動周期為2 s，振幅為5 cm.
答案：C
2．解析：由x＝0.1sin (2.5πt)知，彈簧振子的振幅為0.1 m，選項A錯誤；彈簧振子的周期為T＝＝ s＝0.8 s，選項B錯誤；在t＝0.2 s時，x＝0.1 m，即振子到達最高點，此時振子的運動速度為零，選項C正確；只有當振子從平衡位置或者從最高點(或最低點)開始計時時，經(jīng)過0.2 s，振子的位移才為A＝0.1 m，選項D錯誤．
答案：C
3．解析：A錯：由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz.B錯：質(zhì)點在1 s即個周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個振幅．C對：因為t＝0時質(zhì)點在最大位移處，0～3 s為T，質(zhì)點通過的路程為3A＝6 cm.D錯：振幅等于質(zhì)點偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點的位移有著本質(zhì)的區(qū)別，t＝3 s時，質(zhì)點的位移為零，但振幅仍為2 cm.
答案：C
4．解析：(1)因T＝4 s，則10 s＝2.5T，則質(zhì)點在前10 s內(nèi)通過的路程s＝2.5×4A＝100 cm＝1 m
(2)由圖知，質(zhì)點的振動周期為T＝4 s，圓頻率為ω＝＝ rad/s
則質(zhì)點做簡諧運動的位移隨時間變化的關(guān)系式為
y＝A sin ωt＝10sin t(cm)
答案：(1)1 m　(2)y＝10sin t(cm)3.簡諧運動的回復(fù)力和能量
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
1.理解回復(fù)力的概念和特點 2．會用動力學(xué)方法分析簡諧運動中位移、速度、回復(fù)力和加速度的變化規(guī)律 3．會用能量守恒的觀點分析彈簧振子動能、勢能、總能量的變化規(guī)律 物理觀念 回復(fù)力、簡諧運動的能量
科學(xué)思維 (1)利用能量守恒研究彈簧振子； (2)模型法理解簡諧運動
科學(xué)探究 探究彈簧振子系統(tǒng)的機械能守恒
科學(xué)態(tài)度 與責(zé)任 能應(yīng)用回復(fù)力特點分析日常生活中的振動問題
必備知識·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、簡諧運動的回復(fù)力
1.簡諧運動回復(fù)力
(1)定義：使物體在平衡位置附近做________的力稱為回復(fù)力．
(2)方向：總是指向________．
(3)大小：F＝________．
(4)效果：總是要把物體拉回到________．
2．簡諧運動的動力學(xué)定義：如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小________，并且總是指向________，質(zhì)點的運動就是簡諧運動．
二、簡諧運動的能量
1．理論上可以證明，如果不考慮摩擦等阻力造成的損耗，在彈簧振子振動的任意位置，系統(tǒng)的動能和勢能之和是________，即簡諧運動的能量是________．一旦供給系統(tǒng)一定的能量，使它開始振動，它就以一定的振幅永不停息地持續(xù)振動．簡諧運動是一種________的振動．
2．簡諧運動中的能量跟________有關(guān)，________越大，振動的能量越大．將物體釋放后，若只有重力或彈簧的彈力做功，則振動物體在振動過程中，________能和________能相互轉(zhuǎn)化，總________能不變。
【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)回復(fù)力的方向總是與速度的方向相反．(　　)
(2)回復(fù)力的方向總是與加速度的方向相反．(　　)
(3)水平彈簧振子運動到平衡位置時，回復(fù)力為零，因此能量一定為零．(　　)
(4)回復(fù)力的大小與速度大小無關(guān)，速度增大時，回復(fù)力可能增大，也可能減小．(　　)
(5)簡諧運動是一種理想化的振動．(　　)
(6)彈簧振子位移最大時，勢能也最大．(　　)
情境思考：
水平彈簧振子運動到平衡位置O時(如圖所示)，它的位移、速度、回復(fù)力、加速度都有什么特點呢？
提示：水平彈簧振子運動到平衡位置時，位移為0、速度最大、回復(fù)力為0、加速度為0.
關(guān)鍵能力·合作探究——突出綜合性　素養(yǎng)形成
探究點一　簡諧運動的回復(fù)力
導(dǎo)學(xué)探究
如圖所示為放在光滑水平面上的彈簧振子的模型，O點為振子的平衡位置，A、O間和B、O間距離都是x.
(1)振子在O點時受到幾個力的作用？分別是什么力？
(2)振子在A、B點時受到哪些力的作用？
(3)除重力、支持力、彈簧彈力外，振子在O、A、B點還受到回復(fù)力的作用嗎？
探究總結(jié)
1.回復(fù)力的來源
(1)回復(fù)力是指將振動的物體拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果來命名的，分析物體的受力時，不分析回復(fù)力．
(2)回復(fù)力可以由某一個力提供(如彈力)，也可以由幾個力的合力或某一個力的分力提供．
2．簡諧運動的加速度：據(jù)牛頓第二定律，a＝＝－x，表明簡諧運動的加速度大小也與位移大小成正比，加速度方向與位移方向相反．
典例示范
例1 [對回復(fù)力的理解](多選)下列關(guān)于簡諧運動回復(fù)力的說法正確的是(　　)
A．回復(fù)力是使物體回到平衡位置的力
B．回復(fù)力一定是變力
C．回復(fù)力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方向相同
D．回復(fù)力的方向總是跟物體的速度方向相反
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 [物體是否做簡諧運動的判斷](多選)
如圖所示，物體系在兩彈簧之間，彈簧勁度系數(shù)分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然狀態(tài)．現(xiàn)在向右拉動物體，然后釋放，物體在B、C間振動，O為平衡位置(不計阻力)，設(shè)向右為正方向，物體相對O點的位移為x，則下列判斷正確的是(　　)
A．物體做簡諧運動，OC＝OB
B．物體做簡諧運動，OC≠OB
C．物體所受合力F＝－kx
D．物體所受合力F＝－3kx
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷物體的運動是否為簡諧運動的方法
(1)運動學(xué)角度判斷：若振動質(zhì)點的位移與時間滿足關(guān)系式x＝A sin (ωt＋φ)或振動圖像是正弦函數(shù)圖像，則該振動為簡諧運動．
(2)動力學(xué)角度判斷：找出質(zhì)點振動方向上的合力與位移關(guān)系，若滿足F＝－kx，可判斷該振動是簡諧運動．
針對訓(xùn)練1　如圖所示，A、B兩物體組成彈簧振子，在振動過程中，A、B始終保持相對靜止．圖中能正確反映振動過程中A所受摩擦力Ff與振子的位移x關(guān)系的圖像應(yīng)為(　　)
探究點二　簡諧運動的能量
探究總結(jié)
1.對簡諧運動能量的三點認識
(1)決定因素：對于一個確定的振動系統(tǒng)，簡諧運動的能量由振幅決定，振幅越大，系統(tǒng)的能量越大．
(2)能量獲得：系統(tǒng)開始振動的能量是通過外力做功由其他形式的能轉(zhuǎn)化來的．
(3)能量轉(zhuǎn)化：當振動系統(tǒng)自由振動后，如果不考慮阻力作用，系統(tǒng)只發(fā)生動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒．
2．動能、勢能隨位置的變化情況
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零．
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小．
3．實際的運動都有一定的能量損耗，所以簡諧運動是一種理想化的物理模型．
典例示范
例3 如圖所示，由輕質(zhì)彈簧下面懸掛一物塊組成一個沿豎直方向振動的彈簧振子，彈簧的上端固定于天花板上，當物塊處于靜止狀態(tài)時，取它的重力勢能為零，現(xiàn)將物塊向下拉一小段距離后放手，此后彈簧振子在平衡位置附近上下做簡諧運動，不計空氣阻力，則(　　)
A．彈簧振子速度最大時，振動系統(tǒng)的勢能為零
B．彈簧振子速度最大時，物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能相等
C．彈簧振子經(jīng)平衡位置時，振動系統(tǒng)的勢能最小
D．彈簧振子在振動過程中，振動系統(tǒng)的機械能不守恒
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練2　(多選)如圖所示是彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，可以判定(　　)
A．從t1到t2時間內(nèi)系統(tǒng)的動能不斷增大，勢能不斷減小
B．從t2到t3時間內(nèi)振幅不斷增大
C．t3時刻振子處于平衡位置處，動能最大
D．t1、t4時刻振子的動能、速度都相同
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1.(多選)物體做簡諧運動時，下列敘述正確的是(　　)
A．平衡位置就是回復(fù)力為零的位置
B．處于平衡位置的物體，一定處于平衡狀態(tài)
C．物體到達平衡位置，合力一定為零
D．物體到達平衡位置，回復(fù)力一定為零
2．彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，在振子向著平衡位置運動的過程中(　　)
A．振子所受的回復(fù)力逐漸增大
B．振子相對平衡位置的位移逐漸增大
C．振子的速度逐漸增大
D．振子的加速度逐漸增大
3．(多選)如圖所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質(zhì)量為M.則振子在振動過程中，下列說法中正確的是(　　)
A．振子在平衡位置，動能最大，勢能最小
B．振子在最大位移處，勢能最大，動能最小
C．振子在向平衡位置運動時，由于振子振幅減小，故總機械能減小
D．在任意時刻，動能與勢能之和保持不變
4．如圖是一彈簧振子在水平面內(nèi)做簡諧運動的x t圖像，則下列說法正確的是(　　)
A．t1時刻和t2時刻具有相同的動能和動量
B．t2到1.0 s時間內(nèi)加速度變小，速度減小
C．彈簧振子的振動方程是x＝0.10 sin (πt) m
D．t2等于3倍的t1
5．勁度系數(shù)為20 N/cm的彈簧振子，它的振動圖像如圖所示，在圖中A點對應(yīng)的時刻(　　)
A．振子所受的回復(fù)力大小為0.5 N，方向指向x軸的負方向
B．振子的速度方向指向x軸的正方向
C．在0～4 s內(nèi)振子做了1.75次全振動
D．在0～4 s內(nèi)振子通過的路程為0.35 cm，位移為0
3．簡諧運動的回復(fù)力和能量
必備知識·自主學(xué)習(xí)
一、
1．往復(fù)運動　平衡位置　－kx　平衡位置
2．成正比　平衡位置
二、
1．一定的　守恒的　能量守恒
2．振幅　振幅　動　勢　機械
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
關(guān)鍵能力·合作探究
探究點一
　提示：(1)兩個力；重力、支持力．
(2)在A點時，受重力、支持力、彈簧對其向右的彈力；在B點時，受重力、支持力、彈簧對其向左的彈力．
(3)不受．回復(fù)力是指將振動的物體拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果來命名的，不是一種另外受到的力，所以分析物體的受力時，不分析回復(fù)力．
【例1】　【解析】　A、B對：回復(fù)力是做簡諧運動的物體所受到的指向平衡位置的力，由F＝－kx可知，回復(fù)力是變力．C、D錯：回復(fù)力的方向總是指向平衡位置，跟物體離開平衡位置的位移方向相反，可能跟物體的速度方向相反，也可能跟物體的速度方向相同．
【答案】　AB
【例2】　【解析】　通過題圖可以得到以下信息：(1)振動物體在水平方向受兩彈簧的彈力，且兩彈力的方向相同．(2)物體做簡諧運動時其振動范圍關(guān)于O點對稱．C錯，D對：物體的位移為x，則物體所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx.A對，B錯：物體做的是簡諧運動，由簡諧運動的對稱性可得OC＝OB.
【答案】　AD
針對訓(xùn)練1　解析：A、B整體在水平方向只受到彈簧的彈力作用，因此，應(yīng)做簡諧運動，故A也應(yīng)做簡諧運動，即A的回復(fù)力也應(yīng)滿足F＝－kx，即選C.當然本題也可從整體法與隔離法的思想求出A受到的靜摩擦力的表達式．在振動過程中A、B始終保持相對靜止，可以把A、B看成整體．設(shè)A、B的質(zhì)量為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k，則有(mA＋mB)a＝－kx，得a＝－，A受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx.
答案：C
探究點二
【例3】　【解析】　A、B錯：彈簧振子在平衡位置時的速度最大，此時的重力勢能為零，但是彈簧的彈性勢能不為零，故振動系統(tǒng)的勢能不為零．在平衡位置時，物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能不相等．C對，D錯：因為只有重力和彈簧彈力做功，則彈簧振子的動能、重力勢能及彈簧的彈性勢能守恒；在平衡位置時動能最大，故振動系統(tǒng)的勢能最小．
【答案】　C
針對訓(xùn)練2　解析：t1到t2時間內(nèi)，x減小，彈力做正功，系統(tǒng)的動能不斷增大，勢能不斷減小，A項正確；振幅不隨時間而改變，B項錯誤；t3時刻振子位移為零，速度最大，動能最大，C項正確；t1和t4時刻振子位移相同，即位于同一位置，其動能相同，但速度等大反向，D項錯誤．
答案：AC
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：平衡位置是回復(fù)力等于零的位置，但在平衡位置物體所受合力不一定為零，物體也就不一定處于平衡狀態(tài)，故A、D正確，B、C錯誤．
答案：AD
2．解析：在振子向著平衡位置運動的過程中，振子所受的回復(fù)力逐漸減小，振子相對平衡位置的位移逐漸減小，振子的速度逐漸增大，振子的加速度逐漸減小，選項C正確．
答案：C
3．解析：振子在平衡位置兩側(cè)往復(fù)運動，在最大位移處速度為零，動能為零，此時彈簧的形變最大，勢能最大，所以B正確；在任意時刻只有彈簧的彈力做功，所以機械能守恒，D正確；到平衡位置處速度達到最大，動能最大，勢能最小，所以A正確；振幅的大小與振子的位置無關(guān)，所以C錯誤．故選A、B、D.
答案：ABD
4．解析：由x t圖像知，t1時刻和t2時刻振子的速度大小相等、方向相反，彈簧振子具有相同的動能，動量大小相等、方向相反，A錯誤；由題圖知t2到1.0 s時間內(nèi)位移變小，則加速度變小，速度增大，B錯誤；由題圖知彈簧振子振動周期T＝2.0 s，則ω＝＝π rad/s，故振動方程為x＝A sin ωt＝0.10sin (πt) m，C正確；由三角函數(shù)知識可知，t2應(yīng)為t1的5倍，D錯誤．
答案：C
5．解析：由題圖可知A在t軸上方，位移x＝0.25 cm，所以回復(fù)力F＝－kx＝－5 N，即回復(fù)力大小為5 N，方向指向x軸的負方向，A錯誤；由圖像可知振子此時向正向最大位移處運動，則知振子的速度方向指向x軸的正方向，B正確；在0～4 s內(nèi)振子完成了兩次全振動，在這段時間內(nèi)振子通過的路程為2×4×0.5 cm＝4 cm，C、D錯誤．
答案：B4.單擺
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
1.通過實驗，探究單擺的周期與擺長的定量關(guān)系 2．知道單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系 物理觀念 知道什么是單擺，初步形成單擺的回復(fù)力及周期的概念
科學(xué)思維 理解單擺振動的特點及其做簡諧運動的條件；知道單擺周期的決定因素，掌握其周期公式
科學(xué)探究 能用實驗探究影響單擺周期的因素，能定量探究單擺周期與擺長的關(guān)系
科學(xué)態(tài)度與責(zé)任 學(xué)會觀察、實驗、分析及歸納判斷的方法和能力
必備知識·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、單擺的回復(fù)力
1.單擺
如果細線的長度不可改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以________，球的直徑與線的長度相比也可以________，這樣的裝置就叫作單擺．
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿________方向的分力．
(2)回復(fù)力的特點：在偏角很小時，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成________，方向總指向________，即F＝________．
二、單擺的周期
1．定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：________法．
(2)實驗結(jié)論：
①單擺振動的周期與擺球的質(zhì)量________．
②振幅較小時，周期與振幅________．
③擺長越長，周期________；擺長越短，周期________．
2.定量探究單擺的周期與擺長的關(guān)系
(1)周期的測量：用停表測出單擺N(30～50)次全振動的時間t，利用________計算它的周期．
(2)擺長的測量：用________測出細線長度l0，用________測出小球直徑D，利用l＝l0＋求出擺長．
(3)數(shù)據(jù)處理：改變________，測量不同________及對應(yīng)周期，作出T l、T l2或T 圖像，得出結(jié)論．
3．周期公式
(1)公式的提出：意大利物理學(xué)家________發(fā)現(xiàn)了單擺的________性，荷蘭物理學(xué)家________首先提出了單擺的周期公式T＝2π，并發(fā)明了鐘擺．
(2)公式：T＝2π，即T與擺長l的二次方根成________，與重力加速度g的二次方根成________．
【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)實際上，擺的擺動都可以看作是簡諧運動．(　　)
(2)單擺回復(fù)力的方向總是指向懸掛位置．(　　)
(3)單擺的回復(fù)力是由擺球重力的分力提供的．(　　)
(4)單擺的振幅越大周期越大．(　　)
(5)單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)．(　　)
(6)擺長應(yīng)是從懸點到擺球球心的距離．(　　)
情境思考：
如圖所示，蕩秋千是人們特別是小孩子們一項喜聞樂見的運動．那么，蕩秋千時小孩的運動有什么特點？其運動是簡諧運動嗎？
提示：蕩秋千時小孩在豎直平面內(nèi)做往復(fù)運動，在滿足一定的條件下可看成是簡諧運動．
關(guān)鍵能力·合作探究——突出綜合性　素養(yǎng)形成
探究點一　單擺及其回復(fù)力
探究總結(jié)
1.單擺
(1)單擺是實際擺的理想化模型．
(2)實際擺看作單擺的條件
①擺線的形變量與擺線長度相比可忽略；
②擺線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比可忽略；
③擺球的直徑與擺線長度相比可忽略；
④空氣等阻力與擺球的重力及細線的拉力相比可忽略．
2．單擺的回復(fù)力
如圖所示，重力G沿圓弧切線方向的分力G2是擺球沿運動方向的合力，正是這個力提供了使擺球做簡諧運動的回復(fù)力F＝G2＝G sin θ(θ很小)．
3．單擺的運動特點
(1)擺球以懸點為圓心做變速圓周運動，因此在運動過程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力(最高點其向心力為零)．向心力由細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力提供．
(2)擺球在平衡位置附近做往復(fù)運動，因此在運動過程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都受回復(fù)力．
典例示范
例1 關(guān)于做簡諧運動的單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球經(jīng)過平衡位置時所受合力為零
B．擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高點時，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力
D．擺球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線拉力的合力
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練1　[2022·福建三明高二上月考]如圖所示，O點為單擺的固定懸點，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復(fù)力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，回復(fù)力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
針對訓(xùn)練2　一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A.t1時刻擺球速度最大，擺球的回復(fù)力最大
B．t2時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小
C．t3時刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小
D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大
探究點二　單擺的周期
探究總結(jié)
單擺周期公式T＝2π，成立條件是擺角很小．
(1)擺長＝細線長度＋擺球半徑．
(2)單擺周期與擺長和重力加速度有關(guān)，與振幅和質(zhì)量無關(guān)．
(3)擺長、重力加速度一定時，周期和頻率也一定，通常稱為單擺的固有周期和固有頻率．
(4)可以通過改變擺長來改變單擺的周期．
典例示范
例2 將秒擺(周期為2 s)的周期變?yōu)? s，下列措施可行的是(　　)
A．將擺球的質(zhì)量減半 B．擺長減為原來的
C．擺長減半 D．振幅減半
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練3　(多選)如圖所示，三根細線于O點處打結(jié)，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°.已知OC線長是L，下端C點系著一個小球(忽略小球半徑)，下面說法正確的是(　　)
A．讓小球在紙面內(nèi)小角度擺動，周期T＝2π
B．讓小球垂直紙面小角度擺動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內(nèi)小角度擺動，周期T＝2π
D．讓小球垂直紙面小角度擺動，周期T＝π
針對訓(xùn)練4　小明在實驗室做單擺實驗時得到如圖甲所示的單擺振動情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的左右最遠位置．小明通過實驗測得當?shù)刂亓铀俣葹間＝9.8 m/s2，并且根據(jù)實驗情況繪制了單擺的振動圖像如圖乙所示．設(shè)圖甲中單擺向右擺動為正方向，g≈π2，則下列選項正確的是(　　)
A.此單擺的振動頻率是2 Hz
B．根據(jù)圖乙可知開始計時時擺球在C點
C．圖中P點向正方向振動
D．根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求得此單擺的擺長為1.0 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
學(xué)科素養(yǎng)提升 單擺模型的應(yīng)用
理想模型
如圖是一半徑為R的光滑凹槽，現(xiàn)將一半徑為r的小球從稍稍偏離最低點的位置釋放，小球做往復(fù)運動的回復(fù)力與單擺振動的回復(fù)力均為重力沿圓弧切線方向的分力，其運動與擺長為(R－r)的單擺等效，故其周期T＝2π.
素養(yǎng)訓(xùn)練
1．如圖所示是半徑很大的光滑凹球面的一部分，有一個小球第一次自A點由靜止開始滑下，到達最低點O時的速度為v1，用時為t1；第二次自B點由靜止開始滑下，到達最低點O時的速度為v2，用時為t2，下列關(guān)系正確的是(　　)
A．t1＝t2，v1>v2B．t1>t2，v1C.t1v2 D．t1>t2，v1>v2
2．如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，O點在球心的正下方，一小球M在距O點很近的A點由靜止釋放，同時在O點正上方另有一小球N(圖中未畫出)自由落下，若運動中阻力不計．求：小球應(yīng)從多高處自由落下時，兩球在O點第一次相碰( R)．
遷移拓展　在上述[T2]中，若去掉“第一次”，其余條件不變，即問題變?yōu)椋簽槭箖汕蛟贠點相碰，小球應(yīng)從多高處自由落下？( R)．
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1.在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
2．(多選)對于做簡諧運動的單擺，當所受回復(fù)力逐漸增大時，隨之變小的物理量是(　　)
A．擺線上的張力 B．擺球的振幅
C．擺球的重力勢能 D．擺球的動能
3．如圖所示，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方l的O′處有一固定細鐵釘．將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時．當小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃酰O(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正．下列圖像中，能描述小球在開始一個周期內(nèi)的x t關(guān)系的是(　　)
A
B
C
D
4．甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示，根據(jù)振動圖像可以斷定(　　)
A．甲、乙兩單擺振動的周期之比是3∶2
B．甲、乙兩單擺振動的頻率之比是2∶3
C．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
D．若甲、乙兩單擺擺長相同，在不同地點擺動，則甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4
5．(多選)如圖甲所示是演示簡諧運動圖像的裝置，它由一根較長的細線和較小的沙漏組成．當沙漏擺動時，漏斗的細沙均勻流出，同時勻速拉出沙漏正下方的木板，漏出的細沙在板上會形成一條曲線，這條曲線可以理解為沙漏擺動的振動圖像，圖乙是同一個沙漏分別在兩塊木板上形成的曲線(圖中的虛線)，已知P、Q分別是木板上的兩點，木板1、2的移動速度分別為v1、v2，則(　　)
A．P處堆積的細沙與Q處一樣多
B．P處堆積的細沙比Q處多
C．v1∶v2＝4∶3
D．v1∶v2＝3∶4
4．單擺
必備知識·自主學(xué)習(xí)
一、
1．忽略　忽略
2．圓弧切線　正比　平衡位置　－x
二、
1．(1)控制變量　(2)無關(guān)　無關(guān)　越長　越短
2．(1)T＝　(2)刻度尺　游標卡尺　(3)擺長　擺長
3．(1)伽利略　等時　惠更斯　(2)正比　反比
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
關(guān)鍵能力·合作探究
探究點一
【例1】　【解析】　A錯：擺球經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，合力不為零，合力提供向心力，方向指向懸點。B錯：擺球所受回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，重力沿擺線方向的分力與擺線對擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小不成正比。C對，D錯：根據(jù)牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時，速度為零，向心加速度為零，重力沿擺線方向的分力等于擺線對擺球的拉力，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力，在其他位置時，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿擺線方向的分力小于擺線對擺球的拉力，回復(fù)力不等于重力和擺線拉力的合力．
【答案】　C
針對訓(xùn)練1　解析：A錯，D對：擺球在重力和細線拉力作用下沿圓弧AC做圓周運動，在最高點A、C處速度為零，所受合力不為零，在最低點B處，速度最大，細線上拉力最大．B、C錯：擺球的回復(fù)力F＝mg sin θ中，θ為擺線偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動過程中，在最高點A、C處回復(fù)力最大，在最低點B處回復(fù)力為零．
答案：D
針對訓(xùn)練2　解析：由振動圖像知，t1和t3時刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時擺球的速度為零，擺球的回復(fù)力最大，A、C項不合題意；t2和t4時刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，由于擺球做圓周運動，由牛頓第二定律得出懸線對擺球拉力最大，故B項不合題意，D項符合題意．
答案：D
探究點二
【例2】　【解析】　秒擺的周期由2 s變?yōu)? s，周期變?yōu)樵瓉淼模蓡螖[周期公式T＝2π可知：A錯：單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，將擺球的質(zhì)量減半，周期不變．B對：將擺長減為原來的，周期變?yōu)樵瓉淼模疵霐[(周期為2 s)的周期變?yōu)? s．C錯：將擺長減半，周期變?yōu)樵瓉淼谋叮粗芷谧優(yōu)?s．D錯：單擺的周期與振幅無關(guān)，振幅減半，周期不變．
【答案】　B
針對訓(xùn)練3　解析：A對，C錯：當小球在紙面內(nèi)小角度擺動時，圓心是O點，擺長為L，故周期為T＝2π.B錯，D對：當小球在垂直紙面方向小角度擺動時，圓心在水平面AB上且在O點正上方，等效擺長為l′＝(1＋)L，故周期為T＝2π＝π.
答案：AD
針對訓(xùn)練4　解析：由單擺的振動圖線可知，單擺的周期T＝2.0 s，則單擺的頻率f＝＝0.5 Hz，故A錯誤；單擺向右擺動為正方向，可知在t＝0時刻，單擺處于負的最大位移處，即在圖中的B點，故B錯誤；圖中P點處于正向位移處，且位移減小，可知P向負方向運動，故C錯誤；根據(jù)T＝2π得單擺的擺長為L＝＝1.0 m，故D正確．
答案：D
學(xué)科素養(yǎng)提升
素養(yǎng)訓(xùn)練
1．解析：小球從A、B點由靜止開始下滑均做等效單擺的運動，t1＝＝，t2＝＝，R為球面半徑，故t1＝t2；A點離平衡位置遠些，與平衡位置的高度差較大，由機械能守恒定律可知從A點下滑到達平衡位置O時的速度較大，即v1>v2.故A正確．
答案：A
2．解析：小球由A點開始沿球內(nèi)表面運動時，只受重力和支持力作用，等效為單擺的運動．因為 R，所以小球自A點釋放后做簡諧運動，要使兩球在O點第一次相碰，兩者到O點的運動時間相等．小球從A點由靜止釋放運動到O點的時間為t＝＝，由于從O點正上方自由落下的小球到O點的時間也為時兩球才能在O點相碰，所以所求高度h＝gt2＝.
答案：
遷移拓展　解析：小球由A點開始沿球內(nèi)表面運動時，只受重力和支持力作用，等效為單擺的運動．因為 R，所以小球自A點釋放后做簡諧運動，要使兩球在O點相碰，兩者到O點的運動時間相等．小球從A點由靜止釋放運動到O點的時間為T＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)，由于從O點正上方自由落下的小球到O點的時間也為(2n－1)時兩球才能在O點相碰，所以h＝gt2＝g·(2n－1)2＝(2n－1)2(n＝1，2，3…)
答案：(2n－1)2(n＝1，2，3…)
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：單擺是由不可伸長的細線和金屬小球組成的，其懸點應(yīng)在擺球擺動過程中固定不變，故只有A項正確．
答案：A
2．解析：回復(fù)力逐漸增大時，擺球的重力沿切線方向的分力增大，速度變小，動能變小，重力勢能增大，向心力減小，張力減小，振幅不變．
答案：AD
3．解析：由單擺的周期公式T＝2π可知，小球在釘子右側(cè)時，振動周期為在左側(cè)時振動周期的2倍，所以B、D項錯誤；由機械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移處距離最低點的高度相同，但由于擺長不同，所以小球在左、右兩側(cè)擺動時相對平衡位置的最大水平位移不同，當小球在右側(cè)擺動時，最大水平位移較大，故A正確，C錯誤．
答案：A
4．解析：A錯：根據(jù)圖像可知，甲和乙的周期之比為T甲∶T乙＝2∶3.B錯：因為f＝，所以甲、乙的頻率之比為f甲∶f乙＝3∶2.C錯：根據(jù)單擺的周期公式可知T＝2π，同一地點，重力加速度相同，則甲、乙的擺長之比和周期的平方成正比，即為4∶9.D對：擺長相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4.
答案：D
5．解析：設(shè)單擺的周期為T，木板1運動的時間t1＝2T，木板2運動的時間t2＝T.由v＝得，＝＝.由于單擺在最大位移處速度小，經(jīng)歷的時間會長一些，故P處堆積的細沙比Q處多．
答案：BD5.實驗：用單擺測量重力加速度
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
會用單擺測量重力加速度的大小 (1)明確用單擺測定重力加速度的原理和方法
(2)知道如何選擇實驗器材，能熟練地使用停表
(3)會用游標卡尺測量擺球的直徑，會測量實際單擺的擺長
(4)會測量單擺的振動時間，用平均值法求周期
實驗屬性 學(xué)生必做實驗 (5)會用平均值法、圖像法求重力加速度
(6)通過實驗培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，數(shù)據(jù)處理能力及實事求是的科學(xué)思維
實驗必備·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、實驗思路
當擺角較小時，單擺做簡諧運動，根據(jù)其周期公式可得g＝________．
要根據(jù)上式測量重力加速度，需要測量單擺的________和________.
1．測量擺長需要________．
2．測量周期需要________．
二、實驗裝置
如圖所示，在細線的一端打一個比小球上的孔徑________些的結(jié)，將細線穿過球上的________，并把細線上端固定在鐵架臺上，就制成一個________．將鐵夾固定在鐵架臺的上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，方便使用不同長度的擺線．
三、物理量的測量
1．擺長的測量
擺長是擺線長度和小球半徑之和．
方法①：用刻度尺直接測量小球________與懸掛點之間的距離作為________的測量值，用如圖所示的方法減小誤差；
方法②：用游標卡尺測量小球的______________，算出它的______________，再測量懸掛點與小球上端之間的______________，以兩者之和作為______________的測量值．
2．周期的測量
用停表測量單擺的周期．
方法①：測量單擺做一次________的時間作為它的________的測量值．
方法②：測量單擺做多次________(例如幾十次)的時間，然后通過計算求出它的________的測量值．
方法②可以減少停表的測量誤差，是最優(yōu)方法．
四、數(shù)據(jù)分析
方法①：計算法→從測量的數(shù)據(jù)中選擇幾組，根據(jù)前面推導(dǎo)的公式，分別計算重力加速度，然后取平均值作為測量結(jié)果．
方法②：圖像法→根據(jù)g＝得，T2＝l畫出T2 l圖像，則是一條過原點的________，直線的斜率k＝，由斜率k的值可求得重力加速度g.
精析典例·提升能力——突出綜合性　素養(yǎng)形成
類型一　實驗原理與實驗操作
探究總結(jié)
1.實驗器材
鐵架臺及鐵夾、金屬小球(上面有一個通過球心的小孔)、秒表、細線(長1 m左右)、刻度尺(最小刻度為1 mm)、游標卡尺．
2．實驗步驟
(1)做單擺：讓細線穿過球上的小孔，在細線的穿出端打一個稍大一些的線結(jié)，制成一個單擺．
(2)記錄平衡位置：將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂．在單擺平衡位置處做上標記．
(3)測擺長：用刻度尺量出懸線長l′(準確到mm)，用游標卡尺測出擺球的直徑d(準確到mm)，然后計算出懸點到球心的距離l＝l′＋，即為擺長．
(4)測周期：把此單擺從平衡位置拉開一個很小的角度(這個角度最好不大于5°)，再釋放小球．當擺球擺動穩(wěn)定以后，經(jīng)過最低位置時，用停表開始計時，測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期．
(5)變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復(fù)步驟3、4，將數(shù)據(jù)填入表格．
(6)根據(jù)單擺的周期公式，計算出每次實驗的重力加速度；求出幾次實驗得到的重力加速度的平均值，即本地區(qū)的重力加速度的值．
(7)將測得的重力加速度數(shù)值與當?shù)刂亓铀俣葦?shù)值加以比較，如有誤差，分析產(chǎn)生誤差的原因．
典例示范
例1 實驗小組的同學(xué)做“用單擺測量重力加速度”的實驗．
(1)實驗前他們根據(jù)單擺周期公式導(dǎo)出了重力加速度的表達式g＝，其中l(wèi)表示擺長，T表示周期．對于此式的理解，四位同學(xué)說出了自己的觀點：
同學(xué)甲：T一定時，g與l成正比
同學(xué)乙：l一定時，g與T2成反比
同學(xué)丙：l變化時，T2是不變的
同學(xué)丁：l變化時，l與T2的比值是定值
其中正確的是同學(xué)________(選填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的觀點．
(2)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1 m的細線
B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球
D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表
F．時鐘
G．最小刻度為毫米的米尺
實驗小組的同學(xué)選用了最小刻度為毫米的米尺，他們還需要從上述器材中選擇________(填寫器材前面的字母)．
(3)他們將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，將其上端固定，下端自由下垂(如圖所示)．用刻度尺測量懸點到________之間的距離記為單擺的擺長l.
(4)在小球平穩(wěn)擺動后，他們記錄小球完成n次全振動的總時間t，則單擺的周期T＝________．
(5)如果實驗得到的結(jié)果是g＝10.29 m/s2，比當?shù)氐闹亓铀俣戎荡螅治隹赡苁悄男┎划數(shù)膶嶋H操作造成這種結(jié)果，并寫出其中一種：________．
針對訓(xùn)練1　根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可以通過實驗測量當?shù)氐闹亓铀俣龋鐖D甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺．
(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________ mm.
(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有________．
a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些
b．擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的
c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度
d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T
e．拉開擺球，使擺線偏離平衡不大于5°，釋放擺球，當擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝
類型二　數(shù)據(jù)處理與誤差分析
典例示范
例2 在用單擺測“重力加速度”的實驗中
(1)小博同學(xué)制作了如圖所示的甲、乙、丙三個單擺，你認為他應(yīng)選用 ________圖所示的單擺來做實驗．
(2)實驗過程中小博同學(xué)分別用了如圖(a)、(b)所示的兩種不同方式懸掛小球，你認為________[選填“(a)”或“(b)”]懸掛方式較好．
(3)某同學(xué)用停表測得單擺完成40次全振動的時間如圖所示，則單擺的周期為________s.
(4)若單擺在任意擺角θ時的周期公式可近似為T＝T0(1＋a sin2)，式中T0為擺角趨近于0°時的周期，a為常數(shù)．為了用圖像法驗證該關(guān)系式，需要測量的物理量有________；某同學(xué)在實驗中得到了如圖所示的圖線，則圖線的斜率表示________．
針對訓(xùn)練2　物理實驗小組的同學(xué)做“用單擺測重力加速度”的實驗．
(1)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1m的細線
B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球
D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表
F．時鐘
G．最小刻度為1毫米的刻度尺
實驗小組的同學(xué)需要從上述器材中選擇________(填寫器材前面的字母)．
(2)下列振動圖像真實地描述了對擺長約為1 m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點O為計時起點，A、B、C均為30次全振動的圖像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________(填字母代號)．
(3)某同學(xué)利用單擺測重力加速度，測得的g值與真實值相比偏大，可能的原因是________．
A．測擺長時記錄的是擺線的長度
B．開始計時時，秒表過早按下
C．擺線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
D．實驗中誤將29次全振動記為30次
針對訓(xùn)練3　在“探究單擺周期與擺長的關(guān)系”實驗中：
(1)圖1操作中正確的是________(選填選項前的字母)．
A．甲圖：小球從偏離平衡位置60°開始擺動
B．乙圖：細線上端用鐵夾固定住
C．丙圖：小球到達最高點時作為計時開始與終止位置
D．丁圖：小球自由下垂時測量擺長
(2)實驗過程中，改變擺長，測量多組不同擺長情況下單擺的周期，以擺長為橫坐標，周期的平方T2為縱坐標，作出了T2 l圖像，理論上T2 l圖線是一條過坐標原點的直線，但小周同學(xué)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出的圖線如圖2所示，則造成圖線不過坐標原點的原因可能是______________________________________________；由圖像求出的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86)
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1.(多選)在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，如果測得g值偏小，可能的原因是(　　)
A．測擺線長時擺線拉得過緊
B．擺線上端懸點未固定，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加
C．開始計時時，停表過早按下
D．單擺振動時，振幅較小
2．在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，用擺長l和周期T計算重力加速度的公式是g＝________．若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是________m．若測定了40次全振動的時間如圖乙中停表所示，則停表讀數(shù)是________s，單擺擺動周期是________s．
　
3．下表是用單擺測定重力加速度實驗中獲得的有關(guān)數(shù)據(jù)：
擺長l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2/s2 2.0 2.4 3.2 4.4
(1)利用上述數(shù)據(jù)，在坐標系中描繪出l T2圖像．
(2)利用圖像，取T2＝4.2 s2時，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.
4．用單擺測定重力加速度的實驗裝置如圖所示．
(1)組裝單擺時，應(yīng)在下列器材中選用________(選填選項前的字母)．
A．長度為1 m左右的細線
B．長度為30 cm左右的細線
C．直徑為1.8 cm的塑料球
D．直徑為1.8 cm的鐵球
(2)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．
(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理．
組次 1 2 3
擺長L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動時間t/s 90.0 95.5 100.5
振動周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73
請計算出第3組實驗中的T＝________s，g＝________m/s2.
5．實驗：用單擺測量重力加速度
實驗必備·自主學(xué)習(xí)
一、
　擺長　周期
1．刻度尺
2．停表
二、
稍大　小孔　單擺
三、
1．球心　擺長　直徑　半徑　距離　擺長
2．全振動　周期　全振動　周期
四、
　直線
精析典例·提升能力
類型一
【例1】　【解析】　(1)重力加速度g的大小只由星球、緯度、高度決定，而與擺長和周期的大小無關(guān)；表達式g＝為計算式，可知l變化時，T2是變化的，但是l與T2的比值不變．故正確的是同學(xué)丁的觀點．(2)單擺模型中，擺球密度要大，體積要小，空氣阻力的影響才小，小球視為質(zhì)點，故要選擇直徑約2 cm的均勻鐵球，長度1 m左右的細線，不能用橡皮繩，否則擺長會變化，停表可以控制開始計時和結(jié)束計時的時刻，還需要ACE.(3)擺長為懸點到球心之間的距離．(4)根據(jù)題意可知，周期T＝.(5)g比當?shù)氐闹亓铀俣戎荡螅鶕?jù)表達式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振動次數(shù)n計多了或在計時的時候停表開始計時晚了)、可能是測得的擺長l偏大(從懸點量到了小球底部記為擺長)．
【答案】　(1)丁　(2)ACE　(3)擺球球心　(4)　(5)見解析
針對訓(xùn)練1　解析：(1)(18＋6×0.1) mm＝18.6 mm.
(2)擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些，擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的，都是為了更加符合單擺的構(gòu)成條件，故a、b是正確的；擺線相距平衡位置的角度，以不大于5°為宜，故c是錯誤的；拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，釋放擺球，當擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝，故d錯，e對．
答案：(1)18.6　(2)a、b、e
類型二
【例2】　【解析】　(1)單擺在擺動過程中，空氣等對它的阻力要盡量小，甚至忽略不計，所以擺球選鐵球；擺線要盡可能細一些，擺長不能過短，一般取1 m左右的細線，選乙．
(2)如果選(a)所示懸掛方式，擺動過程中，擺長在不斷變化，無法準確測量，故選(b)懸掛方式較好．(3)由題圖可知，單擺完成40次全振動的時間t＝60 s＋15.6 s＝75.6 s，所以單擺的周期為T＝ s＝1.89 s．(4)根據(jù)T＝T0(1＋a sin2)可知，需要測量的物理量有T(或t、n)、θ.由T＝T0(1＋a sin2)，可得sin2＝T－，所以圖示圖線的斜率為.
【答案】　(1)乙　(2)(b)　(3)1.89　(4)T(或t，n)、θ　
針對訓(xùn)練2　解析：(1)需要選擇：長約1m的細線，直徑約2 cm的均勻鐵球，停表(測量30次全振動的時間)，最小刻度為1毫米的刻度尺(測量擺線長)．
(2)單擺振動的擺角θ<5°，當θ＝5°時單擺振動的振幅A＝l sin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，為計時準確，在擺球擺至平衡位置時開始計時且記錄多次全振動的時間，故四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是選項A.
(3)根據(jù)單擺的周期公式推導(dǎo)出重力加速度的表達式g＝.將擺線的長誤認為擺長，即測量值偏小，所以重力加速度的測量值偏小，故A錯誤；開始計時時，秒表過早按下，周期的測量值大于真實值，所以重力加速度的測量值偏小，故B錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，即擺長L的測量值偏小，所以重力加速度的測量值就偏小，故C錯誤；設(shè)單擺29次全振動的時間為t，則單擺的周期T＝，若誤計為30次，則T測＝<，即周期的測量值小于真實值，所以重力加速度的測量值偏大，故D正確．
答案：(1)ACEG　(2)A　(3)D
針對訓(xùn)練3　解析：(1)擺線與豎直方向的夾角要很小時，可以認為擺球的運動為簡諧運動，故A錯誤；細線上端應(yīng)用鐵夾子固定，防止松動引起擺長的變化，故B正確；當小球運動到最低點時開始計時誤差較小，故C錯誤；實驗時應(yīng)該讓小球自由下垂時測量擺長，故D正確．故選BD.
(2)圖像不通過坐標原點，將圖像向右平移就會通過坐標原點，故相同的周期下，擺長偏小，故可能是漏加小球半徑；由T＝2π得，T2＝4π2，
則有＝k
解得：g＝＝ m/s2＝9.86 m/s2
答案：(1)BD　(2)計算擺長時漏加小球半徑　9.86
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：測擺線長時擺線拉得過緊，l偏大，由g＝可知，所測重力加速度g偏大，故A錯誤；擺線上端懸點未固定，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，即所測擺長偏小，由g＝可知，所測重力加速度偏小，故B正確；開始計時時，停表過早按下，所測周期T偏大，由g＝可知，所測重力加速度偏小，故C正確；單擺振動時，振幅大小不影響周期，不影響重力加速度的測量，故D錯誤．
答案：BC
2．解析：由T＝2π可知g＝.
由題圖甲可知擺長
l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
停表的讀數(shù)t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，
所以T＝＝1.88 s.
答案：　0.875 0　75.2　1.88
3．解析：
(1)由T＝2π得l＝·T2，所以圖像是過原點且斜率為的一條直線．
l T2圖像如圖所示．
(2)由周期公式T＝2π得，l＝·T2.由l T2圖像可得＝ m/s2＝m/s2，即l＝T2.當T2＝時l＝1.05 m．由＝ m/s2得g＝9.86 m/s2.
答案：(1)見解析　(2)1.05　9.86
4．解析：(1)為減小實驗誤差，應(yīng)選擇1 m左右的細線，故選A；為減小空氣阻力影響，擺球應(yīng)選質(zhì)量大而體積小的金屬球，故選D.
(2)單擺的周期：T＝，由單擺周期公式T＝2π，
解得g＝＝.
(3)由表中實驗數(shù)據(jù)可知，第三組實驗中，周期T＝ s＝2.01 s，
代入數(shù)據(jù)有g(shù)＝＝ m/s2≈9.76 m/s2.
答案：(1)AD　(2)　(3)2.01　9.766.受迫振動　共振
新課程標準 核心素養(yǎng)目標
1.通過實驗，認識受迫振動的特點 2．了解產(chǎn)生共振的條件及其應(yīng)用 物理觀念 知道什么是固有振動和固有頻率，知道什么是阻尼振動，什么是驅(qū)動力，什么是受迫振動，初步形成共振的概念
科學(xué)思維 了解阻尼振動中的能量轉(zhuǎn)化，知道受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，能根據(jù)共振曲線研究共振
科學(xué)探究 通過實驗研究受迫振動的頻率，通過實驗探究共振現(xiàn)象的產(chǎn)生條件及其特點
科學(xué)態(tài)度 與責(zé)任 通過實驗探究受迫振動及共振，培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作意識及實事求是的科學(xué)精神，通過理解共振的應(yīng)用與防止，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識與能力
必備知識·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性　素養(yǎng)夯基
一、振動中的能量損失
1.固有振動：沒有外力干預(yù)的情況下的振動，周期或頻率與振幅________，僅由________自身的性質(zhì)決定，我們把這種振動稱為固有振動，其振動頻率稱為________．
2．阻尼振動
(1)定義：振幅隨時間逐漸________的振動稱為阻尼振動，其振動圖像如圖所示．
(2)能量衰減的兩種方式
①由于振動系統(tǒng)受到摩擦________的作用，使振動系統(tǒng)的機械能逐漸轉(zhuǎn)化為________．
②由于振動系統(tǒng)引起鄰近介質(zhì)中各質(zhì)點的振動，使能量向四周________出去，從而自身機械能減少．
二、受迫振動
1．驅(qū)動力：周期性的________作用于振動系統(tǒng)，外力對系統(tǒng)做功，補償系統(tǒng)的________損耗，使系統(tǒng)的振動維持下去．這種________的外力叫作驅(qū)動力．
2．受迫振動：系統(tǒng)在________作用下的振動叫作受迫振動．
3．受迫振動的頻率：做受迫振動的物體振動穩(wěn)定后，其振動頻率等于________的頻率，與物體的________無關(guān)．
三、共振現(xiàn)象及其應(yīng)用
1．共振：當驅(qū)動力的頻率等于________時，物體做受迫振動的振幅達到________值，這種現(xiàn)象稱為共振．
2．條件：驅(qū)動力頻率________物體的固有頻率．
3.受迫振動振幅與驅(qū)動力頻率的關(guān)系
4．共振的應(yīng)用與防止
(1)應(yīng)用：①共振破碎機　②音叉共鳴箱　③電磁波接收中的電諧振
(2)防止：在橋梁、碼頭等各種建筑的設(shè)計施工中，以及飛機、汽車、輪船的發(fā)動機等機器設(shè)備的設(shè)計、制造、安裝中，都必須考慮防止共振產(chǎn)生的危害，以保證建筑和設(shè)備的安全．
【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)固有頻率由系統(tǒng)本身決定．(　　)
(2)阻尼振動的頻率不斷減小．(　　)
(3)阻尼振動的振幅不斷減小．(　　)
(4)受迫振動的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率．(　　)
(5)生活中應(yīng)盡量使驅(qū)動力的頻率接近振動系統(tǒng)的固有頻率．(　　)
(6)驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，發(fā)生共振現(xiàn)象．(　　)
情境思考：
生活中會見到陣風(fēng)吹過樹枝，使樹枝左右搖擺，一會兒樹枝就會停下來，而蕩秋千的小朋友在一旁大人的不斷推動下不停地擺動．
(1)樹枝的運動是什么運動？
(2)秋千的擺動是什么運動？
提示：(1)阻尼振動　(2)受迫振動
關(guān)鍵能力·合作探究——突出綜合性　素養(yǎng)形成
探究點一　阻尼振動與受迫振動
探究總結(jié)
1.認識三種振動
(1)簡諧運動是一種理想化模型，物體運動過程中的一切阻力都不考慮．
(2)阻尼振動考慮阻力的影響，是更實際的一種運動．
(3)受迫振動是物體做阻尼振動時受到周期性驅(qū)動力作用下的振動．
2．簡諧運動、阻尼振動與受迫振動的比較
振動 類型 簡諧運動 阻尼振動 受迫振動
產(chǎn)生 條件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和 驅(qū)動力作用
頻率 固有頻率 固有頻率 驅(qū)動力頻率
振幅 不變 減小 大小變 化不確定
振動 圖像 形狀不 確定
實例 彈簧振子振動，單擺做小角度擺動 敲鑼打鼓發(fā)出的聲音越來越弱，是因振幅越來越小 揚聲器紙盆振動發(fā)聲，鐘擺的擺動
典例示范
例1 [2022·陜西銅川一中高二上期中](多選)如圖所示，曲軸上掛一個彈簧振子，轉(zhuǎn)動搖把，曲軸可帶動彈簧振子上下振動．開始時不轉(zhuǎn)動搖把，讓振子自由振動，測得其頻率為2 Hz.現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動搖把，轉(zhuǎn)速為240 r/min.則(　　)
A．當振子穩(wěn)定振動時，它的振動周期是0.5 s
B．當振子穩(wěn)定振動時，它的振動頻率是4 Hz
C．當轉(zhuǎn)速增大時，彈簧振子的振幅先增大后減小
D．當轉(zhuǎn)速減小時，彈簧振子的振幅先增大后減小
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
針對訓(xùn)練1　如圖所示，擺球質(zhì)量相同的四個擺的擺長分別為L1＝2 m，L2＝1.5 m，L3＝1 m，L4＝0.5 m，懸于同一根繃緊的橫線上，用一周期為2 s的驅(qū)動力作用在橫線上，使它們做受迫振動，穩(wěn)定時(　　)
A．擺1的周期最長
B．擺2的振幅最大
C．擺3的振幅最大
D．四個擺的周期不同，但振幅相等
針對訓(xùn)練2　(多選)如圖所示是單擺做阻尼振動的振動圖線，下列說法中正確的是(　　)
A．擺球A時刻的動能等于B時刻的動能
B．擺球A時刻的勢能等于B時刻的勢能
C．擺球A時刻的機械能等于C時刻的機械能
D．擺球B時刻的機械能大于C時刻的機械能
探究點二　共振
探究總結(jié)
1.共振的條件：驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率．
2．共振現(xiàn)象的特點：發(fā)生共振時，振動物體的振幅最大．
如圖所示，由共振曲線可知，當驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率相等時，受迫振動的振幅最大；驅(qū)動力的頻率跟固有頻率相差越大，振幅越小．
3．共振的防止與應(yīng)用
(1)防止時，應(yīng)盡量使驅(qū)動力的頻率和物體的固有頻率不相等，而且相差越大越好．
(2)應(yīng)用時，應(yīng)盡量使驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率一致．
典例示范
例2 (多選)如圖甲所示，豎直圓盤轉(zhuǎn)動時，可帶動固定在圓盤上的T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個彈簧和小球，共同組成一個振動系統(tǒng)．當圓盤靜止時，小球可穩(wěn)定振動．現(xiàn)使圓盤以4 s的周期勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過一段時間后，小球振動達到穩(wěn)定．改變圓盤勻速轉(zhuǎn)動的周期，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動力的頻率f的關(guān)系)如圖乙所示，則(　　)
A.此振動系統(tǒng)的固有頻率約為0.25 Hz
B．此振動系統(tǒng)的固有頻率約為3 Hz
C．若圓盤勻速轉(zhuǎn)動的周期增大，系統(tǒng)振動的固有頻率不變
D．若圓盤勻速轉(zhuǎn)動的周期增大，共振曲線的“峰”將向右移動
課堂筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分析共振問題的方法
(1)在分析解答有關(guān)共振問題時，要抓住產(chǎn)生共振的條件：驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，振動的振幅最大．
(2)利用與防止共振問題：利用共振時要使物體所受驅(qū)動力的頻率等于或接近物體的固有頻率；防止共振時，要使驅(qū)動力頻率遠離物體的固有頻率．
針對訓(xùn)練3 (多選)如圖所示為單擺在兩次受迫振動中的共振曲線，下列說法正確的是(　　)
A．若兩次受迫振動分別在月球上和地球上進行，且擺長相同，則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線
B．若兩次受迫振動是在地球上同一地點進行，則兩次擺長之比l1∶l2＝25∶4
C．圖線Ⅱ若是在地球上完成的，則該擺擺長約為1 m
D．若擺長均為1 m，則圖線Ⅰ是在地球上完成的
學(xué)科素養(yǎng)提升 生活中的共振現(xiàn)象
素養(yǎng)訓(xùn)練
1.[蜘蛛感知昆蟲“落網(wǎng)”](多選)蜘蛛會根據(jù)絲網(wǎng)的振動情況感知是否有昆蟲“落網(wǎng)”，若絲網(wǎng)的固有頻率為200 Hz，下列說法正確的是(　　)
A.“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率越大，絲網(wǎng)的振幅越大
B.當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率低于200 Hz時，絲網(wǎng)不振動
C.當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的周期為0.005 s時，絲網(wǎng)的振幅最大
D.昆蟲“落網(wǎng)”時，絲網(wǎng)振動的頻率由“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率決定
2．[汽車過減速帶]為了交通安全，常在公路上設(shè)置如圖所示的減速帶，減速帶使路面稍微拱起以達到使車輛減速的目的．如果某路面上的一排減速帶的間距為1.5 m，一輛固有頻率為2 Hz的汽車勻速駛過這排減速帶，下列說法正確的是(　　)
A.當汽車以5 m/s的速度行駛時，其振動頻率為2 Hz
B.當汽車以5 m/s的速度行駛時，其振動頻率為0.3 Hz
C.當汽車以3 m/s的速度行駛時顛簸最厲害
D.汽車速度越大，顛簸越厲害
3．[共振篩](多選)把一個篩子用四根彈簧支撐起來，篩子上裝一個電動偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個驅(qū)動力，這就做成了一個共振篩，如圖甲所示．該共振篩的共振曲線如圖乙所示，已知增大電壓，可使偏心輪轉(zhuǎn)速提高，增大篩子質(zhì)量，可增大篩子的固有周期．現(xiàn)在，在某電壓下電動偏心輪的轉(zhuǎn)速是42 r/min.為了使篩子的振幅增大，下列說法正確的是(　　)
A．提高輸入電壓 B．降低輸入電壓
C.增大篩子質(zhì)量 D．減小篩子質(zhì)量
課堂檢測·素養(yǎng)提升——突出創(chuàng)新性　素養(yǎng)達標
1.(多選)關(guān)于阻尼振動，以下說法中正確的是(　　)
A．機械能不斷減小 B．動能不斷減小
C．振幅不斷減小 D．一定不是簡諧運動
2．在飛機的發(fā)展史中有一個階段，飛機上天后不久，飛機的機翼很快就抖動起來，而且越抖越厲害，后來人們經(jīng)過了艱苦地探索，利用在飛機機翼前緣處裝置一個配重桿的方法，解決了這一問題．在飛機機翼前裝置配重桿的主要目的是(　　)
A．加大飛機的慣性 B．使機體更加平衡
C．使機翼更加牢固 D．改變機翼的固有頻率
3．脫水機把衣服脫完水后切斷電源，電動機還要轉(zhuǎn)一會兒才能停下來，在這一過程中，發(fā)現(xiàn)脫水機在某一時刻振動得很劇烈，然后又慢慢振動直至停止運轉(zhuǎn)，其中振動很劇烈的原因是(　　)
A．脫水機沒有放平穩(wěn)
B．電動機在這一時刻轉(zhuǎn)快了
C．電動機在這一時刻的轉(zhuǎn)動頻率跟脫水機的固有頻率相等
D．是脫水機出現(xiàn)了故障
4．A、B兩個單擺，A擺的固有頻率為4f，B擺的固有頻率為f，若讓它們在頻率為5f的驅(qū)動力作用下做受迫振動，則兩單擺比較(　　)
A．A擺振幅較大，振動頻率為f
B．B擺振幅較大，振動頻率為4f
C．A擺振幅較大，振動頻率為5f
D．B擺振幅較大，振動頻率為5f
6．受迫振動　共振
必備知識·自主學(xué)習(xí)
一、
1．無關(guān)　系統(tǒng)　固有頻率
2．(1)減小　(2)阻力　內(nèi)能　輻射
二、
1．外力　能量　周期性
2．驅(qū)動力
3．驅(qū)動力　固有頻率
三、
1．固有頻率　最大
2．等于
思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
關(guān)鍵能力·合作探究
探究點一
【例1】　【解析】　A錯，B對：現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動搖把，轉(zhuǎn)速為240 r/min，知驅(qū)動力的周期T＝0.25 s，則f＝4 Hz，知振子穩(wěn)定振動時，它的振動周期為0.25 s，振動頻率為4 Hz.C錯，D對：當轉(zhuǎn)速從240 r/min減小時，驅(qū)動力的頻率減小，等于振子的固有頻率時，發(fā)生共振，故振子的振幅先增大后減小；當轉(zhuǎn)速從240 r/min增大時，同理可知，振子的振幅將減小．
【答案】　BD
針對訓(xùn)練1　解析：根據(jù)單擺的周期公式T＝2π可知，將四個單擺的擺長代入公式，分別求得它們的周期約為2.84 s、2.45 s、2.01 s、1.42 s，由于四個擺的擺長不同，所以四個擺的固有周期不同，但四個擺振動起來后，驅(qū)動力使得擺做受迫振動，振動的周期都等于2 s，所以各擺振動的周期都相等；由于擺3的固有周期與驅(qū)動力的周期最接近，故擺3振幅最大．
答案：C
針對訓(xùn)練2　解析：單擺做阻尼振動，因此機械能不斷減小，選項D正確，C錯誤；A、B兩時刻關(guān)于平衡位置對稱，高度相等，重力勢能相同，B正確；因機械能越來越小，所以B時刻動能小于A時刻動能，選項A錯誤．
答案：BD
探究點二
【例2】　【解析】　A錯，B對：由共振曲線可得，此振動系統(tǒng)的固有頻率約為3 Hz.C對，D錯：共振曲線的峰值對應(yīng)振子的固有頻率，它是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，與驅(qū)動力的頻率無關(guān)，共振曲線的“峰”不因驅(qū)動力周期的變化而改變．
【答案】　BC
針對訓(xùn)練3　解析：圖線中振幅最大處對應(yīng)頻率應(yīng)與做受迫振動的單擺的固有頻率相等，從圖線上可以看出，兩擺的固有頻率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz
根據(jù)周期公式可得f＝＝
當兩擺分別在月球上和地球上做受迫振動且擺長相等時，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線，選項A正確．若兩次受迫振動是在地球上同一地點進行，則g相同，兩次擺長之比l1∶l2＝＝25∶4，所以選項B正確．
圖線Ⅱ若是在地球上完成的，將g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入頻率的計算公式可解得l2＝1 m，所以選項C正確．D錯誤．
答案：ABC
學(xué)科素養(yǎng)提升
素養(yǎng)訓(xùn)練
1．解析：根據(jù)共振的條件可知，當驅(qū)動力的頻率越接近系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)的振幅越大，A錯誤；當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率低于200 Hz時，絲網(wǎng)仍然振動，B錯誤；當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的周期為0.005 s時，其頻率f＝＝ Hz＝200 Hz，與絲網(wǎng)的固有頻率相等，所以絲網(wǎng)的振幅最大，C正確；受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，所以昆蟲“落網(wǎng)”時，絲網(wǎng)振動的頻率由“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率決定，D正確．
答案：CD
2．解析：A、B錯：當汽車以5 m/s的速度行駛時，振動的驅(qū)動力的周期T＝＝＝0.3 s，受迫振動的周期等于驅(qū)動力的周期，故振動周期為0.3 s，振動頻率f＝≈3.3 Hz.C對，D錯：由T＝可知汽車的固有周期為T0＝ s，則汽車的速度為v＝＝ m/s＝3 m/s時，汽車發(fā)生共振，顛簸最厲害．
答案：C
3．解析：根據(jù)題意，在某電壓下，電動偏心輪的轉(zhuǎn)速是42 r/min，所以驅(qū)動力的頻率為0.7 Hz；篩子的固有頻率f0＝0.8 Hz>f；由于驅(qū)動力的頻率小于篩子的固有頻率，所以要使振幅變大，要增大驅(qū)動力的頻率，或減小篩子的固有頻率(即增大固有周期)，可以提高偏心輪的電壓或增大篩子的質(zhì)量．
答案：AC
課堂檢測·素養(yǎng)提升
1．解析：阻尼振動是振幅不斷減小的振動，故阻尼振動一定不是簡諧運動，而振幅是振動能量的標志，故阻尼振動中機械能不斷減小，但動能在振動過程中是不斷變化的，并不是不斷減小，故B錯誤，A、C、D正確．
答案：ACD
2．解析：當驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率相等時，發(fā)生共振，振幅最大，因此要減弱機翼的振動，必須改變機翼的固有頻率，D正確．
答案：D
3．解析：電動機的轉(zhuǎn)動使脫水機做受迫振動．切斷電源后，電動機轉(zhuǎn)動的頻率是逐漸變化的，當它的頻率等于脫水機的固有頻率時，發(fā)生共振現(xiàn)象，脫水機振動得很劇烈，C正確．
答案：C
4．解析：受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，當系統(tǒng)的固有頻率等于驅(qū)動力的頻率時，系統(tǒng)達到共振，振幅最大．故A、B兩個單擺都做受迫振動，頻率為5f，A擺的固有頻率接近驅(qū)動力的頻率，則A擺的振幅較大．
答案：C

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